Bach. Juan Parraguez Capitán

Bach. Oscar Parraguez Capitán

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS

COMPLEMENTARIOS Y RECIPROCOS

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

1.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

Tenemos las razones trigonométricas del ángulo A:

C

A asen A = cotg A

c

b

a

b ccos A = sec A=

c b

a ctg A = cosec A=

b a

Efectúa el producto que indicaLas flechas, miembro a miembro,Que obtienes:

B

c

a

b

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

1sen

csc

1

cossec

1tan

cot

EJEMPLOS

o

1A)

sen36ocsc 36 o

1B)

cos 17osec 17

sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1

D)sen2 csc 2 1o oC)tan 49 cot 49 1

oE)cos 63 sec 1 o63

F) tan 2 cot 1 2

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

PROPIEDAD :

“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”

sen cos

cos

tan

sen

cot a

b ccot

sec

csc

tan

csc

sec

Razones Trigonométricas de ángulos complementarios:

C

A

B

Tenemos el triángulo rectángulo ABC, rectoen C, cuyos ángulos agudos son A y B, siendo: A + B = 90º

COMPLETA LAS SIGUINTES IGUALDADES:

sen A = cos B =

tg A = cotg B =

sec A = cosec B =

c

a

b

¿CUÁL ES TU CONCLUSIÓN AL RELACIONAR AMBAS COLUMNAS?

EJEMPLOSoA)sen25 oB) tan 43 oC)sec 60

ocos 65ocot 47ocsc 30

...............

...............

...............

o o O25 65 90 o o O43 47 90 o o O60 30 90

oD)sen cos 20 o O20 90 o70

E) tan 5 cot o5 90 o15

F)sen5

cos

5 2

2 5

3

rad10

CONCLUSIONES

• Sen A x Cosec A = 1

• Cos A x Sec A = 1

• Tan A x Ctg A = 1

Son razones trigonométricas recíprocas y el producto de ellas es igual a la unidad, sí y solo sí están aplicadas a un mismo ángulo

CONCLUSIONES

• Sen A = Cos B

• Tg A = Ctg B A + B = 90º

• Sec A = Cosec B

Son razones trigonométricas complementarias (o co- razones trigonométricas) y cumplen la propiedad:

• R.T. (A) = Co – R.T. (90º - A)

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Si Sen (2X + 12) . Cosec 52º = 1. Calcular el valor de “X”

Aplicando propiedad de las R. T. recíprocas

Sen (2X + 12) . Cosec 52º = 1.

2X + 12º = 52º

2X = 40º

X = 20º

2. Si Cos (7X2 + 3)º .Sec (25X – 9)º -1= 0

Hallar el valor de “X”

Cos (7X2 + 3)º .Sec (25X – 9)º = 1

7X2 + 3 = 25X – 9

7X2 – 25X + 12 = 0

(7X + 3) (X- 4) = 0 (método del aspa)

X = -3/7 (no) X = 4

Luego X = 4

3. Si Sen (3X + 10º) = Cos (2X + 35º)

Hallar el valor de X

Aplicando R. T. complementarias

(3X + 10º) + (2X + 35º) = 90º

5X + 45º = 90º

5X = 45º

X = 9º

4. Si Tan (X2 + 5X – 1)º = Ctg (6X + 11)º

Hallar el valor de “X”

(X2 + 5X – 1)º + (6X + 11)º = 90º

X2 + 11X + 10 = 90º

X2 + 11X - 80 = 0

(X + 16) (X – 5) = 0

X = -16 (no) X = 5

luego X = 5

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Si Tg (2X+ 3Y-20º). Ctg (5X+ 3Y-50º)=1,

hallar el valor de “X”.2. Si Sen(3x+ 2y-30º).Cosec (x-y +10º)=1,

Tg(5x+ y + 20º). Ctg (x +2y+30º)=1. Hallar “x” e”y”

3. Si Sen(4x+25º).Cosec45º= 1 . Hallar “x”4. Si Cos(2x2+3)º.Sec (8x+3)º =1 .Hallar “x”5. Si Sen(2XX+19)º.Sec(XX-10)º -1=0. X =6. Hallar “x” ,si se cumple que:

Sen 20º. Tg (2x+10º).Sec70º =Ctg 3x

PROBLEMAS PROPUESTOS7. Si Sen 9x–Cos4x=0. Hallar J =Tg7x /Ctg6x

8. Sabiendo que A y B son complementarios, además se cumple :16 Sen A = Sec B.

Resolver : √15. Tg A + Sec B .

9. Hallar A y B a partir de las siguientes igualdades Tg (3A – 35º)= Ctg(90º -B)

2B- A = 15º

10. Hallar el valor de “X” en :

Tg (Sen X). Ctg (Cos70º)= 1