10199 7-563430862501

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 1

MODUL 7

Induktansi dan Kapasitansi 7-1 Pendahuluan

Kita sekarang sudah siap memulai bagaian pokok kedua dari pelajaran kita

mengenai rangkaian. Di dalam bab ini kita akan memperkenalkan dua elemen

rangkaian baru yang sederhana yang hubungan arus-tegangannya menyangkut laju

perubahan tegangan atau arus.

Kita definisikan sebuah elemen aktif sebagai elemen yang mampu

menyediakan daya rata-rata lebih besar dari nol selama interval waktu tak terhingga

kepada suatu alat luar, dan sumber ideal adalah elemen aktif. Akan tetapi, sebuah

elemen pasif didefinisikan sebagai elemen yang tak dapat memberikan daya rata-

rata yang lebih besar dari nol selama interval waktu yang tak berhingga; tahanan

termasuk di dalam kategori ini. Energi yang diterima tahanan tersebut biasanya

diubah menjadi panas.

7-2 Induktor

Induktor, yang merupakan pokok pembicaraan di dalam bagian ini dan

dibagian berikutnya, dan kapasitor, yang dibicarakan kemudian dalam bab ini, dua-

duanya adalah elemen-elemen pasif yang mampu menyimpan dan memberikan

energi yang terbatas jumlahnya. Tidak seperti sumber ideal, elemen pasif tidak dapat

menyediakan energi yang tak terbatas jumlahnya atau daya rata-rata yang terbatas

selama interval waktu tak terhingga.

Kita definisikan induktansi L dengan hubungan tegangan-arus

dt

diL=υ (1)

Simbol rangkaian untuk induktor diperlihatkan dalam Gambar 7-1, dan harus

diperlihatkan bahwa telah digunakan konvensi tanda pasif, sama seperti dengan

tahanan. Satuan induktansi diukur dengan henry (H), dan persamaan yang

mendefinisikannya memperlihatkan bahwa henry adalah pernyataan yang lebih

pendek untuk volt-detik per ampere.


+ υ -

Gambar 7-1: Tanda-tanda referensi untuk tegangan

dan arus diperlihatkan pada simbol rangkaian untuk

sebuah induktor: dt

diL=υ .

Kita teliti sekarang (1) untuk menentukan beberapa karakteristik listrik dari

model matematis ini. Persamaan ini memperlihatkan bahwa tegangan melintasi

sebuah induktor adalah sebanding dengan laju perubahan arus yang melalui induktor

tersebut terhadap waktu. Khususnya, persamaan ini memperlihatkan bahwa tidak

ada tegangan melintasi sebuah induktor yang menyangkut arus konstan, tak perduli

betapa pun besarnya arus tersebut. Sesuai dengan itu, maka kita dapat memandang

sebuah induktor sebagai sebuah “hubungan pendek bagi dc” . Kenyataan lain yang

jelas dari persamaan ini dihubungkan kepada laju perubahan arus induktor yang tak

terhingga, seperti yang disebabkan oleh perubahan tiba-tiba dalam arus dari satu

harga terhingga ke suatu harga terhingga yang lain. Perubahan tiba-tiba atau

perubahan diskontinu dalam arus ini harus diasosiasikan dengan tegangan tak

berhingga melintasi induktor, maka kita harus memakai tegangan tak terhingga.

Walaupun fungsi pemaksa tegangan tak berhingga mungkin dapat diterima secara

teoritis, hal ini tidak akan merupakan bagaian fenomena yang diperlihatkan oleh

sebuah alat fisis riil. Perubahan tiba-tiba di dalam arus induktor juga menghendaki

perubahan tiba-tiba di dalam energi yang tersimpan di dalam induktor, dan

perubahan energi yang tiba-tiba ini memerlukan tenaga tak berhingga pada saat itu;

tenaga tak berhingga bukanlah bagian dari dunia fisis yang riil. Untuk menghindari

tegangan tak berhingga, maka arus induktor tidak boleh meloncat segera dari satu

harga ke harga yang lain. Jika ada usaha buat merangkaikan terbuka sebuah

induktor fisis melalui sebuah arus terbatas mengalir, maka bunga api akan muncul

melalui kontak penghubung. Energi yang disimpan dihilangkan di dalam

mengionisasi udara pada lintasan bunga api. Ini berguna dalam sistem penapian

mobil, di mana arus melalui koil busi diinterupsi oleh distributor, dan bunga api

muncul melalui busi.

7-3 Hubungan Integral untuk Induktor

Kita telah mendefiniskan induktansi dengan persamaan diferensial sederhana

i L


dt

diL=υ (2)

dan kita telah dapat menarik kesimpulan mengenai karakteristik sebuah induktor dari

hubungan tersebut. Contohnya, kita telah mendapatkan bahwa kita dapat

menganggap sebuah induktor sebagai hubungan pendek bagi arus searah, dan kita

sudah sependapat bahwa kita tidak dapat mengijinkan arus induktor berubah secara

mendadak dari satu harga ke harga yang lain karena ini akan mememerlukan daya

dan tegangan yang tak berhingga yang diasosiasikan dengan sebuah induktor. Akan

tetapi persamaan-persamaan yangmendefiniskan sebuah induktansimasih

mengadung lebih banyak informasi. Ditulis kembali dengan bentuk yang sedikit

berbeda

dtL

di υ1=

maka bentuk ini mengundang integrasi. Mula-mula kita tinjau limit yang akan

ditetapkan pada kedua integral tersebut. Kita menginginkan arus i pada waktu t,

sehingga pasangan kuantitas ini memberikan batas atas pada integral yang muncul

di ruas kiri dan kanan persamaan; batas bahwa dapat dipegang pada suatu batas

umum semata-mata dengan menganggap bahwa arus adalah i(t0) pada waktu t0.

Jadi

∫∫ =t

t

ti

tidt

Ldi

00

1)(

)(υ

atau

∫=−t

tdt

Ltiti

0

1)()( 0 υ

dan

∫ +=t

ttidt

Lti

0

)(1

)( 0υ (3)

Persamaan (2) memberikan tegangan induktor dinyatakan dalam arus,

sedangkan persamaan (3) memberikan arus dinyatakan dalam tegangan. Bentuk-

bentuk lain mungkin juga untuk persamaan terakhir ini. Kita dapat menuliskan

integral tersebut sebagai integral tak-tertentu dan memasukan konstanta integral k,

∫ += kdtL

ti υ1)( (4)

Kita dapat menganggap kita memecahkan soal yang realitis di mana pemilihan t0

sebagai - ∞ memastikan tidak ada arus atau didalam induktor. Jadi, jika i(t0) = i( - ∞)

= 0, maka


∫−=t

xdt

Lti υ1)( (5)

Kita alihkan perhatian kita sekarang kepada daya dan energi. Daya yang

diserap diberikan oleh hasil perkalian arus-tegangan,

dt

diLiip == υ W

enegi wL yang diterima oleh induktansi disimpan di dalam medan magnetik di sekitar

koil dan dinyatakan oleh integral daya pada interval waktu yang diinginkan,

[ ] [ ] 20

221

)(

)()()(

000

titiLdiiLdtdt

diiLdtp

ti

ti

t

t

t

t−=== ∫∫∫

sehingga

[ ] [ ] 20

221

0 )()()()( titiLtwtw LL −=− J (6)

di mana kita sekali lagi telah menganggap bahwa arus adalah i(t0) pada waktu t0.

Dalam ungkapan energi, kita biasanya menganggap bahwa nilai dari t0 dipilih pada

saat arus adalah nol; kita juga bisa menganggap bahwa energi adalah nol pada saat

ini. Kemudian kita sederhanakan :

221)( LitwL = (7)

di mana kita sekarang mengerti bahwa titik referensi untuk energi nol adalah setiap

waktu pada saat arus induktor nol. Pada setiap waktu di mana arus adalah nol, kita

mendapatkan juga bahwa tidak ada energi yang disimpan di dalam koil. Bilamana

arus tak sama dengan nol, tak perduli bagaimana arah atau tandanya, maka energi

disimpan di dalam induktor. Karena itu maka daya harus diberikan pada induktor

untuk sebagian waktu dan didapatkan kembali dari induktor kemudian. Semua energi

tersimpan bisa didapat kembali dari induktor ideal; tidak ada sewa penyimpanan atau

komisi perantara di dalam model matematik. Akan tetapi, koil fisis, harus dibuat dari

kawat riil sehingga selalu mempunyai tahanan yang diasosiasikan dengan kawat

tersebut. Energi tak dapat lagi disimpan dan didapatkan kembali tanpa kehilangan

sesuatu.

Kita catat sekarang beberapa karakteristik sebuah induktor yang diakibatkan oleh

persamaan yang mendefinisikan :


Soal Contoh

7-1 Untuk rangkaian dari Gambar 7-2, carilah (a) i1; (b) i2; (c) i3.

Gambar 7-2: Lihat Contoh Soal 7-1.

1. Tak ada tegangan melintasi sebuah induktor jika arus yang melalui induktor

tersebut tidak berubah dengan waktu (sumber dc). Karena itu induktansi

adalah hubungan pendek bagi dc.

2. Sejumlah energi yang terbatas dapat disimpan dalam sebuah induktor

walaupun tegangan melintasi induktansi nol, misalnya bila arus yang

melaluinya adalah konstan.

3. Tak mungkin mengubah arus melalui sebuah induktor dengan jumlah

terbatas di dalam waktu nol, karena ini memerlukan tegangan tak terhingga

melintasi induktor. Sebuah induktor menentang perubahan tiba-tiba didalam

arus yang melaluinya dengan cara yang analog dengan sebuah massa yang

menolak perubahan kecepatan yang mendadak.

4. Induktor tak pernah menghilangkan energi, tetapi hanya menyimpannya.

Walaupun ini benar untuk model matematis, tetapi tak benar untuk induktor

fisis.

20 Ω 0,4 H

10 Ω

0,2 H

12 Ω

25 Ω

0,1 H

100 Ω 20 V 2 A

i1

i2

i3


Jawab

Gambar 7-3: Penyederhaan Gambar 7-2.

Ω===

=++=

++=

=

3

26

3

20

15

100100

15

100

10

100

4

100

1

10

1

25

1

100

11

10)25100(

p

p

p

R

R

R

20 Ω

10 Ω

12 Ω

25 Ω

100 Ω 20 V 2 A

i1

i2

i3

(a)

20 Ω

10 Ω 25 Ω 100 Ω 20 V 2 A

i1 i3

(b)

20 Ω

3

26 Ω

20 V 2 A

i3

(c)

ix iy


Dengan analisis mesh

Definisi arus Aix 2=

Dengan mempergunakan KVL pada mesh iy, ∑=

=N

nn

1

0υ

Ai

i

ii

iii

y

y

yy

xyy

4

13

26

203

113

3

226

023

262020

3

26

03

202020

3

20

−=

−=

−=

=⋅−++

=−++

A

ii y

4

1

4

13

=

−−=−=

A

iiii yxRp

4

12

4

12

3

26

=

−−=

−==

Karena tahanan 100 Ω, 25 Ω dan 10 Ω paralel berarti memiliki tegangan yang

sama yaitu sebesar :

V

Ri

153

26

4

12

3

26

=⋅=

⋅=υ

AR

i 6,05

3

25

15

25

3

26

1 ====υ

sedangkan arus i2 = 0 karena tidak dialiri oleh arus.

7-2. Tegangan yang melintasi induktor 2 H diketahui sama dengan 6 cos 5t V.

Jika pada 2π−=t s adalah 1 A, maka tentukanlah i(t) ?


Jawab

Kt

Kt

dtt

dtL

ti

+=

+⋅

=

=

=

∫

∫

5sin6,0

5sin52

6

5cos62

1

1)( υ

pada 2π−=t s adalah 1 A maka K adalah

6,16,01

16,01

5,2sin6,01

25sin6,0)2(

=+=+−⋅=

+−⋅=+−⋅⋅=−

K

K

K

Ki

πππ

jadi 6,15sin6,0)( += tti A

7-3. Dalam Gambar 7-4 sebuah induktansi 3 H diperlihatkan berhubungan seri

dengan sebuah tahanan 0,1 Ω dan sumber arus sinusoida. Carilah energi

yang di simpan di dalam induktor (wL), daya yang hilang di dalam tahanan

(pR) dan energi yang dirubah menjadi panas di dalam tahanan (wR) ?

Gambar 7-4 : Lihat Contoh Soal 7-3.

Voltt

t

RiR

6sin2,1

1,06

sin12

π

πυ

=

⋅⋅=

⋅=

~ 3 H

0,1 Ω

+ υR −

+ υL _

t6

sin12π

A

i


Voltt

t

dt

td

dt

diLL

6cos6

6cos

6123

6sin12

3

ππ

ππ

π

υ

=

⋅⋅⋅=

⋅=

=

Energi yang disimpan di dalam induktor adalah :

Joulet

t

t

LiwL

6sin216

6sin

2

3144

6sin123

2

1

2

1

2

2

2

2

π

π

π

=

⋅=

⋅⋅=

=

jelaslah bahwa energi bertambah dari nol pada t = 0 ke 216 J pada saat t = 3

s. Selama 3 detik berikutnya, energi tersebut meninggalkan induktor

seluruhnya. Mari kita lihat berapa harga yang telah kita bayar di dalam koil ini

untuk penyimpanan dan pemindahan 216 J dalam beberapa detik. Daya yang

hilang di dalam tahanan dengan mudah didapat sebagai

Wattt

t

RipR

6sin4,14

1,06

sin12

2

2

2

π

π

=

⋅

=

⋅=

dan energi yang dirubah menjadi panas di dalam tahanan selama interval

waktu 6 s, adalah


Joule

tt

tt

dtt

dttdtpw RR

2,43002,43

)00(2sin6,21

62,7

3sin

6,212,7

3sin

32,7

3cos1

2

14,14

6sin4,14

6

0

6

0

6

0

6

0

6

0

2

=−−=

−−−⋅=

⋅−=

−=

−

=

==

∫

∫ ∫

ππ

ππ

ππ

π

π

7-4 Kapasitor

elemen rangkaian pasif kita berikutnya adalah kapasitor. Kita definisikan kapasitansi

C dengan hubungan tegangan-arus

dt

dCi

υ= (8)

di mana υ dan i memenuhi konvensi untuk sebuah elemen pasif, seperti yang

diperlihatkan dalam Gambar 7-5. Dari (8), kita dapat menentukan satuan kapasitansi

sebagai ampere detik per volt, atau coulomb per volt, tetapi sekarang kita akan

mendifinisikan farad (F) sebagai satu coulomb per volt.

Gambar 7-5: Tanda-tanda referensi arus dan tegangan

diperlihatkan pada simbol rangkaian untuk sebuah

kapasitor sehingga dt

dCi

υ= .

Beberapa karakteristik penting dari model matematik yang baru, dapat

diperoleh dari persamaan yang mendefinisikan (8). Sebuah tegangan konstan

melalui kapasitor memerlukan arus nol melalui kapasitor tersebut; jadi, kapasitor

adalah “rangkaian terbuka bagi dc” . Kenyataan ini tentu terlihat dari simbol

kapasitor. Jelaslah juga bahwa lompatan tiba-tiba dalam tegangan memerlukan arus

tak berhingga (dan daya tak berhingga) yang bukan merupakan hasil yang bersifat

fisis. Kita akan menghilangkan pembatasan ini pada waktu kita menganggap adanya

impuls arus.

i

+ υ -

C


Tegangan kapasitor dapat dinyatakan dalam arus dengan mengintegrasikan

(8). Mula-mula kita dapatkan

dtiC

d1=υ

dan kemudian mengintegrasikan di antara waktu-waktu t0 dan t dan di antara

tegangan yang bersangkutan υ(t0) dan υ(t),

∫ +=t

ttdti

Ct

0

)(1

)( 0υυ (9)

Persamaan (9) dapat juga dituliskan sebagai integral tak tertentu ditambah sebuah

konstanta integrasi,

∫ += kdtiC

t1

)(υ (10)

Akhirnya, di dalam banyak soal riil, t0 dapat dipilih sebagai – ∞ dan υ(– ∞) sebagai

nol,

∫ ∞−=

tdti

Ct

1)(υ (11)

Daya yang diberikan kepada kapasitor adalah

dt

dCip

υυυ ==

sehingga energi yang disimpan di dalam medan listriknya adalah

[ ] [ ] 20

2)(

)()()(

2

10 00

ttCdCdt

dCdtp

t

t

t

t

t

tυυυυυυ

υ

υ−=== ∫ ∫∫

dan

[ ] [ ] 20

221

0 )()()()( ttCtwtw CC υυ −=− (12)

sehingga energi yang disimpan adalah wC(t0) dan tegangan adalah υ(t0) pada t0. jika

kita memilih referensi energi nol pada t0, yang berarti bahwa tegangan kapasitor

adalah juga nol pada saat tersebut, maka

221)( υCtwC = (13)

Beberapa di antara karakteristik penting sebuah kapasitor sudah jelas

sekarang, yaitu :


Soal Contoh

7-4 Pada Gambar 7-6, terlihat sumber tegangan sinusoida paralel dengan

tahanan 1 MΩ dan kapasitor 20 µF. Tentukan energi yang tersimpan di dalam

kapasitor dan energi yang hilang di dalam tahanan.

Gambar 7-6 : Lihat Contoh Soal 7-4.

Jawab

At

t

RiR

π

πυ

2sin10

10

2sin100

4

6

−=

⋅==

At

t

dt

tddt

dCiC

ππππ

π

υ

2cos104

2cos21001020

)2sin100(1020

3

6

6

−

−

−

⋅=

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅=

=

energi yang tersimpan di dalam kapasitor :

1. Arus melalui kapasitor adalah nol jika tegangan yang melintasinya tak berubah

terhadap waktu (sumber dc). Karena itu maka kapasitor adalah rangkaian terbuka

bagi dc.

2. Sejumlah energi yang terbatas dapat disimpan dalam kapasitor walaupun arus

melalui kapasitor adalah nol, seperti ketika tegangan melintasinya adalah konstan.

3. Tidak mungkin mengubah tegangan melintasi kapasitor dengan jumlah terbatas di

dalam waktu nol, karena ini memerlukan arus tak terhingga melalui kapasitor.

Kapasitor menolak perubahan tiba-tiba di dalam tegangan yang melintasinya dengan

cara yang analog dengan sebuah pegas yang akan menolak perubahan yang tiba-tiba.

4. Kapasitor tidak pernah menghilangkan energi, tetapi hanya menyimpannya.

Walaupun ini benar untuk model matematis, hal ini tak benar untuk kapasitor fisis.

+ ~ −

1 MΩ 20 µF

iR iC + υ _

100 sin 2 π t V


Joulet

t

t

CwC

ππ

πυ

2sin1,0

2sin101010

)2sin100(1020

2

246

2621

221

=⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

=

−

−

energi bertambah dari nol pada t = 0 ke suatu maksimum sebesar 0,1 J pada

saat 41=t s dan kemudian turun ke nol di dalam 4

1 s. Selama interval 21 s,

energi yang hilang dalam tahanan adalah

( )( )

( )

[ ]

mJ

J

tt

dtt

dtt

dtt

dtt

dtt

dtRi

dtpw

R

RR

5,2

105,2

0005,0105

0sin4

102sin

4

15,0105

4sin4

1105

4cos1105

4cos110

2sin10

2sin1010

10)2sin10(

)(

3

3

3

5,0

0

3

5,0

0

3

5,0

0 212

5,0

0

22

5,0

0

268

5,0

0

624

5,0

0

2

5,0

0

=⋅=

+−−⋅=

+−−⋅=

−⋅=

−⋅=

−=

=

⋅⋅=

⋅=

⋅=

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

ππ

π

ππ

π

π

π

π

π

7-5 Kombinasi Induktansi dan Kapasitansi

Kita sekarang dapat memperluas prosedur, yang telah kita turunkan untuk

mereduksi beberapa kombinasi tahanana menjadi satu tahanan ekivalwn, kepada

hal-hal yang analog dari induktor dan kapasitor. Kita akan meninjau sumber

tegangan ideal yang diberikan kepada kombinasi seri dari N induktor, seperti dalam

Gambar 7-7a. kita inginkan sebuah induktor ekivalen, Leq, yang dapat menggantikan

kombinasi seri sehingga arus sumber i(t) tidak berubah.


dt

diLLL

dt

diL

dt

diL

dt

diL

N

N

Ns

)( 21

21

21

+++=

+++=

+++=

L

L

L υυυυ

Gambar 7-7: (a) Rangkaian yang terdiri dari N induktor

seri. (b) Rangkaian ekivalen yang dikehendaki, di mana

Neq LLLL +++= L21 .

atau, ditulis lebih singkat,

∑∑∑===

===N

nn

N

nn

N

nns L

dt

di

dt

diL

111

υυ

Tetapi untuk rangkaian ekivalen kita peroleh

dt

diLeqs =υ

sehingga induktansi ekivalen adalah

Neq LLLL +++= L21 atau ∑=

=N

nneq LL

1

Induktansi yang ekivalen dengan beberapa induktansi yang dihubungkan seri adalah

jumlah induktansi-induktansi seri tersebut. Hal yang persis sama didapatkan untuk

tahanan-tahanan seri.

Kombinasi sejumlah induktor paralel dicapai dengan menuliskan persamaan

simpul tunggal untuk rangkaian semula, yang diperlihatkan dalam Gambar 7-8a.

∑∫∑

∑ ∫∑

==

=−

+

=

+==

N

nn

t

t

N

n n

N

nn

t

tn

N

nns

tidtL

tidtL

ii

10

1

10

1

)(1

)(1

0

0

υ

υ

+ -

+ υ1 - + υ2 - + υN -

i

LN υs + -

i

Leq υs

(a) (b)


υs

dan membandingkannya dengan hasil untuk rangkaian ekivalen dari Gambar 7-8b,

∫ +=t

t seq

s tidtL

i0

)(1

0υ

Karena hukum arus Kirchhoff menghendaki bahwa is(t0) sama dengan jumlah arus-

arus cabang pada t0, maka kedua suku integral harus juga sama; maka,

N

eq

LLL

L111

1

21

+++=

L

Khusus untuk dua induktor yang paralel,

21

21

LL

LLLeq +

⋅=

dan kita perhatikan bahwa induktor-induktor paralel berkombinasi persis seperti

tahanan-tahanan paralel.

Gambar 7-8: (a) Kombinasi paralel dari N induktor. (b)

rangkaian ekivalen, di mana

N

eq

LLL

L111

1

21

+++=

L

.

Untuk mencari kapasitansi yang ekivalen dengan N kapasitor yang seri, kita

gunakan rangkaian dari Gambar 7-9a dan ekivalennya Gambar 7-9b untuk

menuliskan

∑∫∑

∑ ∫∑

==

==

+

=

+==

N

nn

t

t

N

n n

N

n

t

t nn

N

nns

tdtiC

tdtiC

10

1

10

1

)(1

)(1

0

0

υ

υυυ

dan

)(1

00

tdtiC s

t

teq

s υυ += ∫

Leq

+ υ -

is L1 L2 LN

i1 i2 iN + υ -

is

(a) (b)


Gambar 7-9: (a) Rangkaian yang mengandung N

kapasitor seri. (b) Ekivalen yang diinginkan,

N

eq

CCC

C111

1

21

+++=

L

Akan tetapi, hukum tegangan Kirchhoff memberikan kesamaan dari υs(t0) dengan

menjumlahkan tegangan-tegangan kapasitor pada t0; jadi

N

eq

CCC

C111

1

21

+++=

L

dan kapasitor-kapasitor seri berkombinasi sebagai konduktansi seri, atau tahanan-

tahanan paralel.

Akhirnya, rangkaian dari Gambar 7-10 memungkinkan kita menghasilkan nilai

kapasitansi yang ekivalen dengan N kapasitor paralel sebagai

Neq CCCC +++= L21

dan kita tak perlu heran memperhatikan bahwa kapasitor paralel berkombinasi sama

seperti tahanan seri, yakni, dengan menjumlahkan saja semua kapasitansi satu per

satu.

+ -

i C1 C2

CN

+ υ1 - + υ2 - + υ2 -

υs

(a)

+ -

i

CN υs

(b)

i1 i2 iN

C1 C2 CN is

+ υ -

(a)

Ceq is

+ υ -

(b)


Gambar 7-10 : (a) Kombinasi paralel dari N kapasitor.

(b) Rangkaian ekivalen, di mana

Neq CCCC +++= L21 .

Soal Contoh

7-5 (a) Carilah Leq di dalam Gambar 7-11a. (b) Carilah Ceq di dalam Gambar 7-

11b.

Gambar 7-11: Lihat Contoh Soal 7-5.

Jawab

(a) Leq :

( )[ ]

H

Leq

619,2

5,10

5,27

55,5

55,5

55,5546

9

5433

33

1543)21(

=

=+⋅=

=

+=

++⋅=

++=

(b) Ceq :

1 H

2 H

3 H 5 H

4 H

Leq

(a)

1 µF

2 µF 4 µF

3 µF 5 µF Ceq

(b)


( )[ ]

F

Ceq

µ913,623

216

23

159

523

211

5

3

27

3

214

5

3

234

3

234

54312

12

543)12(

===

+=

+=

++

⋅=

+

++⋅=

++=

7-6 Dualitas

Kita akan mendefinisikan dualitas di dalam persamaan rangkaian. Dua

rangkaian adalah dual jika persamaan mesh yang menerangkan salah satu di

antaranya mempunyai bentuk matematis yang sama seperti persamaan simpul yang

menerangkan yang lain. Rangkaian-rangkaian tersebut dinamai dual eksak jika

setiap persamaan mesh dari satu rangkaian adalah identik numerik dengan

persamaan simpul yang bersangkutan dari yang lain; variabel arus dan tegangan

tentu tidak boleh identik. Dualitas sendiri hanya menunjukkan sifat-sifat yang

diperlihatkan oleh rangkaian dual.

Gambar 7-12: Rangkaian yang diberikan kepada mana

definisi dualitas dapat dipakai untuk menentukan

rangkaian dual.

5 Ω + ~ -

8 F

4 H

3 Ω

2 cos 6t V i1 i2

+ υC -


Marilah kita tafsirkan definisi tersebut dan menggunakannya untuk

membentuk rangkaian dual eksak dengan menuliskan kedua persamaan mesh untuk

rangkaian yang diperlihatkan di dalam Gambar 7-12. Dua arus mesh i1 dan i2

ditetapkan, dan persamaan mesh adalah

tdt

di

dt

dii 6cos2443 211 =−+ (14)

1058

144 20 2

21 −=+++− ∫ idtidt

di

dt

di t (15)

Harus diperhatikan bahwa tegangan kapasitor υC dianggap 10 V pada t = 0.

Kita sekarang dapat membentuk kedua persamaan yang merupakan dual

eksak matematis dari rangkaian yang diberikan. Kita inginkan persamaan-

persamaan tersebut sebagai persamaan simpul, sehingga kita mulai mengganti arus

mesh i1 dan i2 dalam persamaan (14) dan (15) dengan kedua tegangan simpul ke

referensi υ1 dan υ2. Kita dapatkan

tdt

d

dt

d6cos2443 21

1 =−+υυυ (16)

1058

144 20 2

21 −=+++− ∫ υυυυdt

dt

d

dt

d t (17)

dan sekarang mencari rangkaian yang dinyatakan oleh kedua persamaan simpul ini.

Gambar 7-13: Dual eksak dari rangkaian Gambar 7-12.

Mula-mula kita tarik sebuah garis untuk menyatakan simpul referensi, dan

kemudian kita dapatkan dua simpul di mana referensi positif untuk υ1 dan υ2

ditempatkan. Persamaan (16) menunjukkan bahwa sumber arus 2 cos 6t

dihubungkan di antara simpul 1 dan simpul referensi, diarahkan untuk memberi arus

yang memasuki simpul 1. Persamaan ini juga memperlihatkan bahwa konduktansi 3

2 cos 6t

4 F

3 mho 8 H 5 mho

υ1 υ2

iL

Acuan


mho terdapat di antara simpul 1 dan simpul referensi. Kembali ke (17), mula-mula

kita tinjau suku-suku yang tak bersama, atau suku-suku yang tak muncul di dalam

(16), dan suku-suku tersebut menyuruh kita menghubungkan induktor 8 H dan

konduktansi 5 mho (paralel) di antara simpul 2 dan referensi. Kedua suku yang

serupa di dalam (16) dan (17) menyatakan sebuah kapasitor 4 F berada bersama-

sama di simpul 1 dan 2; rangkaian menjadi lengkap dengan menghubungkan

kapasitor ini di antara kedua simpul. Suku konstan pada ruas kanan dari (17) adalah

harga arus induktor pada t = 0; jadi iL (0) = 10 A. Rangkaian dual diperlihatkan dalam

Gambar 7-12; karena kedua himpunan persamaan adalah identik secara numerik,

maka rangkaian-rangkaian tersebut adalah eksak dual.

Rangkaian-rangkaian dual bisa didapat lebih mudah daripada dengan metode

di atas karena persamaan-persamaan tak perlu ditulis. Untuk membentuk dual dari

sebuah rangkaian yang diberikan, kita pikirkan rangkaian-rangkaian tersebut di

dalam persamaan meshnya. Dengan setiap mesh kita harus mengasosiasikan

simpul yang bukan referensi, dan sebagai tambahan, harus kita berikan simpul

referensi. Pada sebuah diagram dari rangkaian tersebut kita tempatkan sebuah

simpul di pusat setiap mesh dan memberi simpul referensi sebagai sebuah garis

dekat diagram atau loop, yang melingkupi diagram tersebut. Setiap elemen yang

muncul bersama di dalam dua mesh adalah sebuah elemen bersama dan

menimbulkan suku-suku identik, kecuali tanda-tandanya, di dalam kedua persamaan

mesh yang bersangkutan. Elemen bersama ini harus diganti dengan sebuah elemen

yang memberikan suku dual di dalam kedua persamaan simpul yang bersangkutan.

Elemen dual ini harus dihubungkan langsung di antara kedua simpul tak referensi

yang ada di dalam mesh di mana elemen bersama yang diketahui tersebut muncul;

sifat elemen dual ini sendiri mudah ditentukan, bentuk matematis dari persamaan

hanya akan sama jika induktansi diganti dengan kapasitansi, kapasitansi dengan

induktansi, tahanan dengan konduktansi, dan konduktansi dengan tahanan. Jadi

induktor 4 H yang sama mesh 1 dan 2 di dalam rangkaian Gambar 7-13 muncul

sebagai kapasitor 4 F yang dihubungkan langsung di antara mesh 1 dan 2 di dalam

rangkaian dual.

Sebelum meninggalkan definisi dualitas, harus diingatkan bahwa dualitas

didefinisikan berdasarkan persamaan mesh dan persamaan simpul. Karena

rangkaian yang tak sebidang tidak dapat dinyatakan dengan sistem persamaan

mesh, maka sebuah rangkaian yang tak dapat digambarkan dalam bentuk bidang

tidak mempunyai dual.


Kita akan menggunakan dualitas terutama untuk meringankan kerja yang

harus ktia lakukan dalam menganalisis rangkaian standar sederhana. Setelah kita

menganalisis rangkaian RL seri, rangkaian RC paralel kurang memerlukan perhatian,

bukan karena kurang penting, tetapi karena analisis jaringan dual sudah diketahui.

Karena analisis rangkaian yang sukar kurang begitu dikenal, maka dualitas biasanya

tidak memberikan cara pemecahan yang cepat.

7-7 Lagi Mengenai Linearitas dan Konsekuensinya

Di dalam bab terdahulu kita telah mempelajari bahwa prinsip superposisi adalah

konsekuensi yang perlu dari sifat linear rangkaian penahan yang kita analisis.

Rangkaian penahan adalah linear karena hubungan tegangan-arus untuk tahanan

adalah linear dan hukum-hukum Kirchhoff adalah linear.

Kita sekarang ingin memperlihatkan bahwa keuntungan-keuntungan linearitas

berlaku juga untuk rangkaian RLC. Sesuai dengan definisi kita terdahulu mengenai

rangkaian linear, maka rangkaian ini adalah juga linear karena hubungan arus-

tegangan untuk induktor dan kapasitor adalah hubungan linear.

Untuk induktor, kita peroleh

dt

diL=υ

dan perkalian arus dengan suatu konstanta K menghasilkan sebuah tegangan yang

juga lebih besar dengan sebuah faktor K. Di dalam perumusan integral,

∫ +=t

t L tidtL

i0

)(1

0υ

dapat dilihat bahwa, jika setiap suku akan diperbesar oleh sebuah faktor K, maka

harga arus awal harus juga diperbesar dengan faktor yang sama ini: Yakni, faktor K

berlaku bukan saja untuk arus dan tegangan pada waktu t tetapi juga untuk harganya

pada waktu lampau.

Penyelidikan mengenai kapasitor yang bersangkutan memperlihatkan bahwa

ini juga adalah linear. Jadi, rangkaian yang dibuat dari sumber bebas, sumber tak

bebas linear, dan tahanan linear, induktor dan kapasitor adalah sebuah rangkaian

linear.

Di dalam rangkaian linear ini respons adalah sebanding dengan fungsi

pemaksa. Bukti pernyataan ini diperlihatkan dengan terlebih dulu menuliskan sistem

persamaan integrodiferensial umum, misalnya, dalam arus-arus loop. Kita tempatkan

semua suku yang mempunyai bentuk Ri, L di/dt, dan (1/C) ∫ i dt pada ruas kiri setiap


persamaan dan menempatkan tegangan sumber bebas pada ruas kanan. Sebagai

contoh sederhana, salah satu persamaan mungkin mempunyai bentuk

sC

t

ttdti

Cdt

diLRi υυ =+++ ∫ )(

10

0

jika setiap sumber bebas sekarang diperbesar dengan sebuah faktor K, maka ruas

kanan setiap persamaan adalah lebih besar dengan faktor K. Sekarang setiap suku

pada ruas kiri adalah suku linear yang melibatkan arus loop atau tegangan kapasitor

awal. Untuk menyebabkan semua respons (arus-arus loop) bertambah dengan faktor

K, jelaslah bahwa kita harus juga menambahkan tegangan kapasitor awal dengan

faktor K. Yakni, kita harus memperlakukan tegangan kapasitor awal sebagai

tegangan sumber bebas dan menaikkannya dengan faktor K. Dengan cara yang

serupa, arus induktor awal harus diperlakukan sebagai arus sumber bebas di dalam

analisis simpul.

Prinsip kesebandingan antara sumber dan respons dapat diperluas kepada

RLC umum, dan terlihat bahwa prinsip superposisi juga dapat dipakai. Perlu

ditekankan bahwa tegangan kapasitor dan arus induktor awal harus diperlakukan

sebagai sumber-sumber bebas dalam prinsip superposisi; setiap harga awal harus

mengambil gilirannya sebagai tak aktif.

Automotive

10199 7-563430862501