Krzywe Parametryczne

Grafika wektorowa

Spis treści

• Przekształcenia geometryczne• Przesunięcie• Skalowanie• Obrót• Przekształcenia 3D

• Krzywe• Krzywe specjalne• Krzywe parametryczne 3. stopnia• Krzywe Hermite’a• Krzywe Beziera • Krzywe sklejane• Inne

PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

Przekształcenia

Przesunięcie

Punktu A do punktu B

• Przesunięcie oznacza dodanie składowych wektora przesunięcia T (dx, dy) do współrzędnych punktu A (ax, ay).

• Wektor T nazywamy wektorem translacji.

Metematycznie

Przesunięcie

Skalowanie

A(ax, ay) względem osi 0X / 0Y

• Skalowanie oznacza pomnożenie współrzędnych punktu A(ax, ay) przez odpowieni współczynnik skalowania S.

Matematycznie:

Skalowanie

Obrót

A(ax, ay) o kąt α

• Obrót punktu A o kąt α względem początku układu współrzędnych.

Matematycznie:

Obrót

Przekształcenia 3D

Przesunięcie 3D

Skalowanie 3D

Obrót 3D wokół osi X o kąt α

Obrót 3D wokół osi Y o kąt α

Obrót 3D wokół osi Z o kąt α

KRZYWE

KRZYWE SPECJALNE

Elipsa

Równanie parametryczneIlustracja graficzna

Cykloida

Równanie parametryczneIlustracja graficzna

Cykloida skrócona

Równanie parametryczneIlustracja graficzna

Cykloida wydłużona

Równanie parametryczneIlustracja graficzna

Kardioida

Równanie parametryczneIlustracja graficzna

Asteroida

Równanie parametryczneIlustracja graficzna

KRZYWE PARAMETRYCZNE 3. STOPNIA

Tak to się zaczęło…

Sprawa kaczek

• Kreślarz wytyczając krzywą używał tzw. kaczek (duck) i drewnianej, giętkiej listewki (spline).

Reprezentacja krzywej

1. Poprzez zbiór punktów• odcinkami liniowa – nie oddaje gładkiej krzywej

• kosztowne – każdorazowo należy wyznaczać wszystkie punkty

• uciążliwa – potrzeba dużo punktów

2. Poprzez wielomiany• segmenty krzywej opisywane są wielomianami• x=x(t), y=y(t), z=z(t)

• dobre odwzorowanie krzywej

Jak wyznaczę krzywą?

1. Ustalam punkty kontrolne/węzły. • Zbiór punktów decydujących o kształcie krzywej.

2. Przeprowadzam interpolację.• Krzywa przechodząca przez punkty kontrolne.

3. Przeprowadzam aproksymację.• Wygładzona krzywa – punkty kontrolne wpływają

na kształt krzywej, jednak nie musza na niej leżeć.

Aproksymacja krzywej

Krzywe parametryczne

• elastyczne.

• Nie muszą być funkcją.

To nie jest funkcja!

To nie jest funkcja!

Wielomian 3. stopnia

•x(t)=axt3+bxt2+cxt+dx

•y(t)=ayt3+byt2+cyt+dy

•z(t)=azt3+bzt2+czt+dz

Krzywe parametryczne 3. stopnia

Zapis macierzowy Q(t)=T*C

• Q(t)= t3 t2 t

ax ay az

bx by bz

cx cy cz

dx dy dz

Macierz współczynników C

Styczna do krzywej f(x) w punkcie x0

•S(x0)= f’(x)*(x-x0)+f(x0)• Np.

f(x)=x2-4, x0=3S(x0=3)=2x*(x-3)+4=2x2-6x+4

Styczna do krzywej macierzowo

• Pochodna Q(t) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej w t

d/dt Q(t)=Q’(t)

Q’(t)=d/dt T * C

Q’(t)=[3t2 2t 1 0] * C

KRZYWE HERMITE’A

Krzywe Hermite’a

• Segment krzywej określony jest przez: • dwa punkty końcowe A i B,

• oraz wektory Q i R styczne w tych punktach.

Krzywe Hermite’a

KRZYWE BEZIERA

Krzywe Beziera

• Krzywa przechodzi przez punkty końcowe,ale nie przechodzi przez pozostałe punkty kontrolne.

• Segment krzywej definiowany jest przez • dwa punkty końcowe P0 i Pn,

• oraz n-1 punktów pośrednich.

Krzywe Beziera

Stopień wielomianu zależy od ilości punktów kontrolnych.

Krzywe Beziera

Krzywe Beziera

• Wzór tych krzywych został opracowany niezaleznie przez dwóch inzynierów:• Pierre'a Béziera (Renault),

• oraz Paula de Casteljau (Citroën).

Ciekawostka

KRZYWE SKLEJANE

Krzywa sklejana

• Powstaje z połączenia wielu segmentów.

• Uwaga!Należy zachować ciągłość krzywej w punktach łączenia segmentów!

Krzywa sklejana

Inne krzywe

• B-SPLINE jednorodne

• B-SPLINE niejednorodne

• Stożkowe

• NURBS

• …

Więcej informacji o modelowaniu krzywych i powierzchni znajdziesz m.in. w książce „Modelowanie geometrii elementów maszyn i urządzeń w systemach CAD 3D” autorstwa prof. Edwarda Lisowskiego

koniec