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DEMETRIO CCESA RAYME
La ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es la derivada más alta contenida en ella.
Ejemplo:
El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada más alta, siempre y cuando una ecuación diferencial esté dada forma polinomial.
La ecuación diferencial contiene derivadas
Ordinarias de una o más variables dependientes con
respecto a una sola variable independiente.
Tipo
La ecuación diferencial contiene derivadas
Parciales parciales de una o más variables dependientes.
Primer orden F( x, y, y´)= 0
Segundo orden F ( x, y , y´, y´´)=0
Orden Tercer orden F( x, y, y´, y´´, y´´´)=0
… …
Orden n F(x, y´, y´´,…, y(n))=0
a) La variable dependiente y y todas
sus derivadas son de 1er. grado.
Lineales b) Cada coeficiente de y y sus derivadas
depende de solamente de la variable
independiente x (puede ser constante).
Grado
No lineales Las que no cumplen las propiedades
anteriores.
La solución en una ecuación diferencial es una función que no tiene derivadas y que satisface a dicha función, esto quiere decir que al sustituir las funciones y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta un identidad.
Otra manera de comprender sobre ¿ qué es la solución en una ecuación diferencial ? es la siguiente:
Cuando una función , definida en algún intervalo I, se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución en el intervalo.
La solución general en una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).
La función x + y2 = c es la solución de la ecuación diferencial:
Por que derivándola implícitamente tenemos:
1 + 2y ,o expresado en otra forma: 2yy´= -1
Sustituyendo (y) y (y´) obtenemos una identidad
2
donde
La solución particular de una ecuación diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico.
La función es la solución particular de la ecuación diferencial , por que derivando la solución y sustituyéndola en la ecuación dada, obtenemos:
Por lo tanto 0=0
Tipo Orden Grado Lineal
Ordinaria 1 1 sí
Parcial 1 1 sí
X2y´´+xy´+y = 0 Ordinaria 2 1 sí
yy´´+x3y = x Ordinaria 2 1 No
(Porque el coeficiente
de y´´ no depende de
x exclusivamente).
y´+ y = x/y Ordinaria 1 1 No
sen y´+ y=0 Ordinaria 1 ? No
La interpretación de una ecuación diferencial es la descripción matemática de la misma para ello se mostrara según su orden, tipo y grado:
Las trayectorias ortogonales son las curvas que se intersectan formando un ángulo recto.
Para obtener las trayectorias ortogonales de una ecuación diferencial, se toma: m1= , como
m2= -
m2= de la trayectoria ortogonal a la
primera ecuación.
Al resolver un problema de valor inicial surgen dos asuntos fundamentales:
¿Existe una solución al problema ?, si la hay ¿es única?
Para un problema de valor inicial , en una ecuación, se pregunta lo
siguiente:
¿La ecuación diferencial tiene
Existencia soluciones ?
¿Alguna curvas solución pasa por el punto (x0, y0 )?
¿Cuándo podemos estar seguros que hay
Unicidad precisamente una curva solución que pasa por el
punto (x0, y0 )?
Sistema
Físico
Sistema (Físico)
a modelar Función forzante
y(t) u(t)
Respuesta del sistema
-Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos)
- Sistema Hidráulico (llenado de un tanque)
- Sistema térmico (temperatura en un horno)
-Sistema Eléctrico (velocidad de motores)
- Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )
- Sistema Económico ( inflación)
- Sistema de producción (producción entre máquinas)
Relación causal
• Leyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema,
rigen la relación causal entre las variables de interés.
• Pruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoria
del sistema ante una función forzante conocida).
• Por analogías de comportamientos entre sistemas que guardan
un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.
• Aplicación de algoritmos y recursos computacionales para
procesar los datos obtenidos de pruebas experimentales.
…
•DESCOMPOSICION(DECRECIMIENTO) Y
CRECIMIENTO
I.MODELOS DEMOGRÁFICOS , POBLACIÓN DINÁMICA (crecimiento)
El modelo matemático mas fácil para gobernar la dinámica de la población
de cierta especie es el modelo
exponencial, es decir, el índice del cambio de la población es proporcional
a la población existente, o en otras
palabras si P(t) mide la población ,
tenemos que:
Donde k es constante. Esta ecuación es
una ecuación lineal, la cual tiene como
solución:
…………………….2
De donde P0 es la población inicial, es decir P (0)=P0 . De esta ecuación
concluimos que si k > 0 , la población
crece y que continua ampliándose al infinito, es decir :
Ejemplo 1:
•Solución: Sea P0 la cantidad inicial de la población .Si la población se duplica en un año entonces: 2P0 = P0ek
Luego, k = l n 2 Y la ecuación 2 se convierte en P(t) = P0 e
(ln 2)t
Y la población se triplica cuando P(t) = 3 P0
luego 3 = e(ln 2) t
Y despejando t obtendremos la solución.
• DECAIMIENTO RADIOACTIVO
(DESCOMPOSICION) Muchos materiales se desintegran a una razón
proporcional a la cantidad presente. Por
ejemplo, si x es el material radiactivo y Q(t) es la
cantidad presente en el tiempo t, entonces la
rata de cambio Q(t) con respecto al tiempo t es
dada por :
Donde r es una constante positiva (r>0) .
Llamaremos Q(0) = Q0 la cantidad inicial del
material x , tenemos
Para determinar Q(t) necesitamos encontrar la
constante r . Esto puede Hacerse usando la
vida media del material x o semivida. La
semivida del material es el tiempo necesario
para desintegrar la mitad del material x. Así,
tenemos
Q(t) = Q0
lo cual da rT = ln 2 . Por lo tanto, si conocemos T,
podemos encontrar r, y viceversa. Muchos textos
de la química contienen el periodo de algunos
materiales radiactivos importantes. Por ejemplo, el
periodo del carbono-14 es 5568 30 años. Por lo
tanto, la constante r asociada al carbono -14 es r =1,244x10-4 .
Ejemplo 1:
•Solución:
Puesto que el periodo se da en días mediremos el
tiempo en días. Sea Q(t) la cantidad presente en
el tiempo t . Sabemos que :
Donde r es una constante. Utilizaremos la
semivida T para determinar r. De hecho, tenemos:
luego
Y asi g
Horno
Flujo de
Combustible:
qi(t)
Temperatura:
T(t)horno
Temperatura
Flujo de gas
Relación causal
Obtenemos la relación lineal siguiente.
ln(T-Ta)=-k·t +ln(T0-Ta)
Despejamos T :
En las páginas anteriores, hemos
aplicado la ley del enfriamiento de
Newton a un cuerpo caliente que
pierde calor y como consecuencia
disminuye su temperatura. La
atmósfera que le rodea gana el calor
perdido por el cuerpo, pero no
incrementa su temperatura ya que
consideramos que tiene un tamaño
infinito.
En esta página, vamos a estudiar la
situación en la que un cuerpo caliente
se coloca en un recinto de tamaño finito
aislado térmicamente, tal como se
muestra en la figura.
Descripción
El cuerpo caliente tiene una masa m1 y su calor específico es c1, por tanto, su capacidad calorífica es C1=m1·c1. En el instante t su temperatura es T1
El recinto tiene una masa m2 y su calor específico es c2, por tanto, su capacidad calorífica es C2=m2·c2. En el instante t su temperatura es T2<T1.
El cuerpo caliente en el intervalo de tiempo entre t y t+dt pierde una cantidad de calor dQ, su temperatura disminuye
dQ=-C1·dT1
Como el recinto está térmicamente aislado, en el mismo intervalo de tiempo gana una cantidad de calor dQ y su temperatura aumenta
dQ=C2·dT2
El calor perdido por el cuerpo es igual al ganado por el recinto, la temperatura del cuerpo disminuye, la temperatura del recinto aumenta
-C1·dT1=C2·dT2
Supondremos que la pérdida de calor del cuerpo caliente obedece a la ley del enfriamiento de Newton
Donde a es el coeficiente de intercambio de calor y S es el
área del cuerpo.
La ecuación que nos da la variación de
la temperatura T1 del cuerpo con el
tiempo es
Para eliminar la variable T2, derivamos
con respecto del tiempo
La solución de la ecuación diferencial es
Las constantes A1 y B1 se determinan a
partir de las condiciones iniciales, la
temperatura inicial y su derivada. En el
instante t=0, la temperatura del cuerpo
es T01
A1+B1=T01
Su derivada en el instante t=0 vale
La solución de la ecuación diferencial es
La temperatura T2 del recinto en función
del tiempo se calcula del siguiente modo
Las constantes A2 y B2 se determinan a
partir de las condiciones iniciales, la
temperatura inicial y su derivada. En el
instante t=0, la temperatura del cuerpo
es T02
A2+B2=T02
Su derivada en el instante t=0 vale
La temperatura del recinto en función del
tiempo es
En la figura, se muestra la evolución de temperaturas del cuerpo T1 y del recinto T2 en función del tiempo t.
Cuando t→∞, el cuerpo y el recinto alcanzan la misma temperatura que es la media ponderada.
Las temperaturas T1 del cuerpo y T2 del recinto se expresan en función del tiempo t.
Cuando la capacidad calorífica del recinto C2 es muy grande (C1/C2) →0
Que es la expresión de la ley del enfriamiento de Newton
Al sacar un biscuit del horno, su
temperatura es de 300 ºF. Tres minutos
después, su temperatura es de 200 ºF.
¿Cuánto demorará en enfriarse hasta
una temperatura ambiente de 70 ºF?
2da. Ley de Newton
Despejamos T
Datos para conocer K=constante=
t=3 min
T=100=dif de temperatura
Ta=70 ºF=Temp. Ambiente
T0=300=Temp. en un tiempo t=0
FÓRMULA
sustituimos k para encontrar t
La segunda ley de Newton dice: la suma de las
fuerzas que actúan en un cuerpo en cada instante
es igual al producto de la masa m por la
aceleración
R
Cvi(t): fuente
de voltaje
i(t):
vo(t)
vi(t): fuente de voltaje
vo(t): voltaje de salida
C: Capacitor
R: Resistencia
i
i
oo
oo
v (t)v (t)
v (t)
v (
d
dt
d
dtv (t
)t) )
tv (
R.C
Se denomina circuito eléctrico a una serie de elementos o componentes eléctricos o electrónicos, tales como resistencias, inductancias, condensadores, fuentes, y/o dispositivos electrónicos semiconductores, conectados eléctricamente entre sí con el propósito de generar, transportar o modificar señales electrónicas o eléctricas.
Para el circuito simple RL que consiste en
una resistencia R, una inductancia L y
una fuerza electromotriz E, la ecuación
diferencial lineal que rige la cantidad de
corriente I está dada por:
Para un circuito simple RC que consiste
en una resistencia R, una capacitancia
C, una fuerza electromotriz E y ninguna
inductancia, la ecuación diferencial
lineal que rige la cantidad de carga
eléctrica q del condensador es:
Aquí se tiene E=12 voltios, L=1/2 henries. R=10ohms. Por lo tanto se convierte en:
Es una ecuación diferencial lineal en I y el factor integrante es:
Entonces la solución es
De donde
Para t = 0, i = 0 , en se tiene:
Entonces
Por tanto
entonces C =
En cinética de las reacciones, en lo que se está
interesado es en la evolución de éstas con el
transcurso del tiempo. Como las velocidades son
derivadas con respecto al tiempo, no es de
extrañar que la cinética de las reacciones se
modelen mediante ecuaciones diferenciales. Un
ejemplo de tales reacciones son las reacciones
bimoleculares.Sea la reacción bimolecular
elemental
en la que dos sustancias (reactantes) se unen para
formar una tercera (producto). Hallar una
expresión para las distintas concentraciones en
cualquier unidad de tiempo.
1. Variables.
Las incógnitas son las concentraciones
de los reactantes y el producto (son
funciones deltiempo): [A]; [B], [P].
2. Leyes empíricas que se pueden aplicar:
La velocidad de reacción depende de
las concentración de los reactantes y
quizás del producto. La ley de la
velocidad de reacción es la formulación
de esa dependencia:
Para las reacciones elementales existe un principio básico, la ley de acción de masas: la velocidad de una reacción elemental es proporcional al producto de las concentraciones de los reactantes:
velocidad = k[A][B]
La ley de acción de masas está basada en la suposición de que reacciones elementales ocurren cuando las moléculas de los reactantes están en contacto simultáneamente. Por tanto, a mayor concentración, mayor velocidad.
El coeficiente k es la constante de la reacción y se toma siempre positiva.
Por último la ley de conservación: la suma de las concentraciones de los productos y de cualquiera de los reactantes permanece constante a lo largo de la reacción.
[B] + [P] = B0 + P0
[A] + [P] = A0 + P0;
A0; B0; P0 son las concentraciones iniciales de cada uno de los componentes.
3. Planteamiento de la ecuación.
Igualando velocidades:
Por último, aplicando la ley de
conservación, se pueden eliminar
variables para obtener la ecuación de
[A]:
De la misma forma se obtienen las ecuaciones que proporcionan las demás concentraciones:
* Condiciones adicionales
En el proceso de modelado, con bastante frecuencia, aparecen condiciones adicionales que se deben añadir al problema que se plantea. En el caso de las reacciones del ejemplo anterior, las concentraciones iniciales de los elementos son datos del problema que se consideran en la formulación de éste.
AHORA VEAMOS UN EJEMPLO:
Supongamos que una solución que
inicialmente contiene 2 moles / litro de Y
y 1 mol / litro de Z se hace reaccionar.
Find an expression for the amount of X at
time t . Hallar una expresión para la
cantidad de X en el tiempo t
Solución
Tenemos que resolver el problema de
valor inicial
(Las constantes de 2 y 1 provienen de las
concentraciones iniciales.) Separación
de variables obtenemos
Usando la técnica descrita
anteriormente, que integramos ambos
lados con respecto a t.
(Sin Arce, la integral de la izquierda se
pueden evaluar usando fracciones
parciales.) La integral de la derecha es
fácil y el uso de Arce para la integral de
la izquierda nos
> int(1/((2-x)*(1-x)),x); > Int (1 / ((2-x) * (1-
x)), x);
Así, la solución general, en forma
implícita, es
Ahora obtener una solución explícita para el
y el uso de la condición inicial para
determinar c.
> a1 := solve(ln(2-x)-ln(1-x) = k*t+c,x);
> a2 := solve(subs(t=0,a1)=0,c);
> a3 := simplificar (subs (c = a2, a1));
Así que la solución explícita al problema de
valor inicial es
• Consideremos un tanque que contiene inicialmente galones
de solución salina
• la cantidad de sal (en libras) en el tanque en un
momento t
• b = volumen contenido en el recipiente que es vertido en el
tanque
)1( ...... dt
dh(t)AAv(t) (t)(t)(t) qqq
acum0i
(2) ..... Rh
h(t)(t)q
0
o 0i
H(s)(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i.
Rh
Caudal de
entrada Caudal de
salida
Caudal
Acumulado =
qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:área del tanque
p(t): señal que regula el caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidráulica
Tanque
Caudal de
entrada
qi(t)
Nivel: h(t);
Caudal de
Salida, qo(t)
Relación causal
qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:área del tanque
p(t): señal que regula el caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidráulica
dc(t) + c(t) = .
dtτ K u(t)
K: Ganancia en estado estable
: Constante de tiempo
qi(t)
0(t)
dq0(t)
q
dt
d
dt qi(t) + q0(t) =
R.A
q0(t)
Separando variables:
Integrando
De donde
Por tanto: es la solución de la ecuación (1)
Para t = 0, a = Q = 20 (cantidad de sal al inicio y al final) se tiene:
, de modo que la cantidad de sal en el tanque en un momento t esta dado por:
Ejemplo:
Encontrar las trayectorias con vértice en el origen y foco sobre el eje x
Solución:
La ecuación de la familia de parábola es de la forma =4px, p≠0.
Diferenciando se tiene:
=0 2x + y =0
Diferenciando se tiene = y la ecuación diferencial de las trayectorias
ortogonales son = - de donde 2x + y=0 resolviendo esta ecuación
diferencial se obtiene += c, c0 luego las trayectorias ortogonales a la
familia de parábola son las elipses de centro en el origen.
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