View
263
Download
7
Category
Preview:
DESCRIPTION
Citation preview
Matematika Dasar
Integral Dan Penggunaan
I Gede Made Wira SaputraUniversitas Putera Batam
2
Integral Tak Tentu
Notasi :
3
3
1)( xxF
2)( xxf CxxF 3
3
1)(
f x dx F x C( ) ( )
Sifat-sifat integral tak tentu
Cr
xdxx
rr
1.1
1
Cxdxx cossin.2
, r -1
Cxdxx sincos.3
Cxdxx tansec.4 2
Cxdxx cotcsc.5 2
3
6. Sifat Kelinieran
7. Integral dengan substitusi
Misal u = g(x) , maka
Contoh : Hitung
Misal u = 2x + 1 Sehingga
a f x bg x dx a f x dx b g x dx( ) ( ) ( ) ( )
cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((
sin 2 1x dx
dxxgdu )('
dxdu 2 dudx 21
duudxx sin2
112sin
CxCu 12cos2
1cos
2
1
4
Notasi Sigma ( )
Notasi sigma ( jumlah ) :
Sifat dan rumus sigma
dan...211
n
n
ii aaaa
k k k k nk
n sukui
n
... 1
n
i
n
i
n
iiiii blaklbak
1 1 1
.1
n
i
nni
1 2
)1(.2
n
i
nnni
1
2
6
)12)(1(.3
n
i
nni
1
23
2
)1(.4
Contoh : Nyatakan dalam notasi sigma, jumlah 10 buah bilangan ganjil yang pertama.
Jawab:A = 1+3+5++7+9+11+13+15+17+19
10
1
)12(i
i
5
Integral TentuIntegral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yangmenggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada selang tutup [ a,b ].
bxxxa n ...10
a b
Langkah :
1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian
},...,,,{ 210 nxbxxxaP disebut partisi dari [a,b].
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai
11
|,||||| kkkk
nkxxxxMaksP
],[ 1 kkk xxc 3. Pilih k = 1, 2, ..., n
1x 1kx kx
kx
kc
6
a b2x 1kx kx
kx
kc
4. Bentuk jumlah Riemann
n
kkk xcf
1
)(
0|||| P
n
P kkk xcf
10||||
)(lim
Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann
n
k kxkcfn
b
a
n
k kxkcfPdxxf
1)(lim
1)(
0|||lim)(
Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sbg
)( kcf
7
Sifat integral tentu
p f x q g x dx p f x dx q g x dxa
b
a
b
a
b( ) ( ) ( ) ( )
1. Sifat linear
2. Jika a < b < c, maka
f x dx f x dx f x dxa
c
a
b
b
c( ) ( ) ( )
f x dxa
a( ) 0 f x dx f x dx
a
b
b
a
( )3. dan
4. Bila f(x) ganjil , maka
a
a
dxxf 0)(
5. Bila f(x) genap, maka f x dx f x dxa
a
a( ) ( )
20
8
Teorema Dasar Kalkulus (TDK)
TDK IMisal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).Maka
Contoh Selesaikan integral tentu
Jawab : Misal u = 2x du = 2 dx.
Maka
Sehingga
f x dx F b F aa
b( ) ( ) ( )
sin 2
2
x dx
1cos2cos2
12cos
2
12sin
2/2
xdxx
xdxx 2cos2
12sin
9
Contoh hitung
5
1
|2| dxx
Jawab :
22
222
x,)x(
x,x|x|)x(f
5
1
2
1
5
2222 dxxdxxdx|x|
5
2
221
2
1
221 22 xxxx
= ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )
= ½+9/2 = 5
10
TDK II (Teorema Nilai Rata-rata Integral) Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam
[a,b], maka
Secara umum
dan)('))(()()(
xuxufdttfDxu
a
x
)()( xfdttfDx
a
x
)('))(()('))(()()(
)(
xuxufxvxvfdttfDxv
xu
x
Contoh Tentukan nilai rata-rata fungsi pada selang [0,2]Jawab : Misal du = 4x dx.
Bila x=0 x=2
Sehingga rata-rata :
12)( 2 xxxf12 2 xu
11)0(2 2 u91)2(2 2 u
4
26
4
1
4
27|
4
1
4
112 9
1
9
1
9
1
2 uuduudxxx
11
Menghitung Luas Daerah
1. Misalkan daerah dan sumbu X bxaxxfy ,,0)(
f(x)
Dx
Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:
b
a
dxxf )(Luas D =
2. Misalkan daerah dan sumbu X bxaxxfy ,,0)(
Luas D = b
a
dxxf )(x
12
3. Misalkan grafik dungsi dinyatakan dalam peubah y, yakni dan sumbu Y 0)( yvx
b
a
dxyv )(Luas D =
4. Misalkan grafik dungsi dinyatakan dalam peubah y, yakni dan sumbu Y
Luas D =
0)( yvx
b
a
dxyv )(
Contoh :Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh dan sumbu X,Pada selang [-2,0] untuk dan pada selang [0,3] untuk
xxxxf 6)( 23 0)( xf 0)( xf
Jawab :
0
2
3
0
)()( dxxfdxxfL
30
234
02
234
|334
|334
xxx
xxx
0
2
3
0
2323 )6()6( dxxxxdxxxx
12
253
4
63
3
16
13
5. Misalkan suatu daerah dibatasi oleh 2 buah grafik fungsi,
a. Dibatasi oleh grafik y=f(x), y=g(x), x=a dan x=b
Luas D= b
a
dxxgxh ))()((
)()( xgxf untuk ],[ bax
14
b. Dibatasi oleh grafik x=w(y), x=v(y), y=c dan y=d )()( yvyw untuk ],[ dcy
d
c
dyygyh ))()((Luas D=
Contoh :Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh dan 4xy
Jawab :
6
12524
3
2
2
dxxxL
15
22 xy
16
Volume Benda Putar
Metoda Cakram axyxfy ,0),(a. Daerah dan x=b diputar terhadap sumbu x
Benda putar
Daerah D
Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal dan jari-jari f(x).sehingga
xxfV )(2
b
a
dxxfV 2)(
17
Daerah D
c
d
b. Daerah dan y=d diputar terhadap sumbu xcyxywx ,0),(
Benda putar
Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi g(y) dan alas diputarterhadap sumbu y akan diperoleh suatucakram lingkaran dengan tebal danJari-jari g(y).
sehingga
yywV )(2
d
c
dyywV 2)(
18
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x
2xy
2xy
2x
2x
Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari dan tebal 2x x
Sehingga
xxxxV 422 )( Volume benda putar
2
0
20
54
5
32|
5 xdxxV
19
bx
Metoda Kulit Tabung
Diketahui dan
f(x)
a b
D
Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar
Daerah D
Benda putar
axyxfy ,0),(
Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas serta berjarakx dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal
x
x
sehingga
xxfxV )(2
b
a
dxxxfV )(2
20
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y
2xy
2xy
x 2
2x
D
x
Jika irisan dengan tinggi ,tebal dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadapsumbu y akan diperoleh kulit tabung dengan tinggi , tebal dan jari-jari x
2x
2x x
Sehingga
xxxxxV 32 22
Volume benda putar
2
0
20
43 8|2
2 xdxxV
x
21
Panjang KurvaPersamaan parameter kurva dibidang x = f(t), y = g(t) bta ,Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti diatas disebut mulus jika
(i) 'f 'gdan Ada dan kontinu pada selang[a,b]
(ii) 'f 'gdan tidak secara bersamaan bernilai nol pada selang(a,b)
a. Jika persamaan kurva y=f(x), bxa
dttgtfLb
a 22 )]('[)]('[ dt
dt
dy
dt
dxb
a 22 ][][
dttgtfLd
c 22 )]('[)]('[
dxxfdtdx
dy
dt
dx b
a
b
a
2'2
2 )(1)1()(
b. Jika persamaan kurva x=g(y), dyc
dtdt
dy
dt
dxd
c 22 ][][
dyxfdtdy
dx
dt
dy d
c
d
c
2'
2
2 )(11)(
c. Jika persamaan kurva x=f(t), y=g(t) dan
dttgtfLb
a 22 )]('[)]('[
bta
22
Contoh :2/32xy antara x =1/3 dan x=7
Jawab :2/13x
dx
dy
7
3/1
7
3/1
22/1 9131 dxxdxxL duu7
3/1
2/191
31
5.1317
3/1
5.1
91 37)8512(|
5.1
)91(
x
dxdu
xu
9
91
Thank You !
Recommended