Integracion numerica

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

La integración numérica es una herramienta esencial que se usa en la ciencia y en la ingeniería para obtener valores aproximados de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente.

INTRODUCCION

De acuerdo con la definición del diccionario, integrar significa “llevar junto, como partes, en un todo, unir, indicar la cantidad total…”

Pero… QUÉ ES INTEGRAR?

Matemáticamente la integración se representa por:

que se tiene para la integral de la función f(x) con respecto a la variable independiente x, evaluada en los límites x=a y x=b

Ec 1

Como lo sugiere la definición del diccionario, el “significado” de la Ec 1 es el valor total o sumatoria de f(x) sobre el rango x=a a x=b.

De hecho, el símbolo es una letra S estilizada que intenta representar la conexión cercana entre la integración y la sumatoria.

INTRODUCCION

Observe que el proceso representado en la Ec 1 y en la Fig 1 es llamado integración definida

Fig 1

a b

INTRODUCCION

Base legalLA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL

La Regla Trapezoidal es la primera de las fórmulas de integración cerrada de Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la Ec 2 es de primer orden.

Pero… QUÉ SIGNIFICA LA REGLA TRAPEZOIDAL?

Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que conecta a f(a) y f(b) como se muestra en Fig. 7.

Fig. 7

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Use la Regla del Trapecio para aproximar los valores de las siguientes integrales:

Base legalAPLICACIÓN MULTIPLE DE LA REGLA DEL TRAPECIO

Ilustración de la Regla Trapezoidal de aplicación múltiple: a) dos segmentos, b) tres segmentos, c) cuatro segmentos y d) cinco segmentos

Fig. 10 Fig. 11

En integración numérica, una forma de aproximar una integral definida en un intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, para luego calcular la integral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma filosofía, pero aproximando los subintervalos de f mediante polinomios de segundo grado

REGLA DE SIMPSON

Base legalREGLA DE SIMPSON

n

xfxfxfxfabI

n

ii

n

imo

3

)()(2)(4)()(

2

1

11

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Use la Regla de Simpson de para aproximar el valor de las siguientes integrales:

REGLA DEL RECTANGULO

Se divide el área en segmentos verticales, o rectángulos, con una altura igual al valor de al función en el punto medio para cada rectángulo. El área total bajo la curva puede calcularse al sumarse el área de todos los rectángulos. Esto es, para cada rectángulo, la altura de la función se multiplica por el ancho de este, finalmente se suman las áreas de cada rectángulo existente

REGLA DEL RECTANGULO

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Use la Regla de rectángulo para aproximar el valor de la siguiente integral: