Identidades+trigonometricas 14 julio 2015

IDENTIDAD

SEN COS TANG CSC SEC

SUMA ANGULOS

ASLY 5 JUAN PABLO GONZ 5

SEBASTIAN MARIN

DAHIANA ORTIZ

DAVID POSADA

DIFERENCIA DE ANGULOS

NORELY 1 LEYDI IRRAGORI5

VALENTINA MARIN

JUAN PABLO OSORIO

DANIELA SALAZAR

ANGULOS DOBLES

LUISA COSSIO 1

ROLANDO SANTIAGO MEJIA

JULIETH OVIEDO

SUSANA VALENCIA

ANGULOS MEDIOS

LOREN DUQUE 5

JUAN ESTEBAN J.

FELIPE MESA

VALENTINA PARRA

ESTEBAN VILLA

ANGULOS TRIPLES

LUIS DANIEL G 1

MANUELA LARA

CRISTIAN OLAYA

JUAN P. PATIÑO  

INDICACIÓN EXPOSICIONCada uno debe buscar su tema, preparar la

demostración de la identidad y un ejemplo de aplicación para el próximo 14 de julio.

Por efectos de tiempo será en tablero con marcador

1 ASLY 15 JUAN PABLO GONZ

19 SEBASTIAN MARIN

21 DAHIANA ORTIZ

20 DAVID POSADA

5 NORELY 2 LEYDI IRRAGORI 16 VALENTINA MARIN

20 JUAN PABLO OSORIO

1 DANIELA SALAZAR

9 LUISA COSSIO

6 ROLANDO 3 SANTIAGO MEJIA

17 JULIETH OVIEDO

21 SUSANA VALENCIA

12 LOREN DUQUE

10 JUAN ESTEBAN J.

7 FELIPE MESA

4 VALENTINA PARRA

18 ESTEBAN VILLA

14 LUIS DANIEL G

13 MANUELA LARA

11 CRISTIAN OLAYA

8 JUAN P. PATIÑO

INDICACIÓN PARA VIDEODebes elaborar un vídeo sobre el capitulo asignado

según instrucciones de la docente de tecnología, con la herramienta asignada y para la fecha establecida

INDICACIÓN EXPOSICIÓNCada uno debe buscar su tema, preparar la

demostración de la identidad y un ejemplo de aplicación para el próximo 23 de julio.

Por efectos de tiempo será en tablero con marcadorIDENTID

ADSEN COS TANG CSC SEC COT

SUMA ANGULOS

JUAN PABLO VELEZ

DANIELA RIOS

JULIANA PABON

ORLANDO MESA

KATERINE HERRERA

JULIANA FIGUEROA

DIFERENCIA DE ANGULOS

MARCELO VELASQUEZ

ANDERSON RPO

JOSE DANIEL OTAL

CAMILA LOAIZA

ALAN GARCIA

JHORMAN DUARTEANIBAL CARO

ANGULOS DOBLES

CRISTIAN VALENCIAWILLIAM CASTRO

RENSO VASQUEZYLISSA ACEVEDO

MIGUEL OSORIO

VALENTINA JARAMILLOJUAN JOSE BEDOYA

JULIAN CORREDOR CARLOS GOMEZ

LEIDY CORTEZ

ANGULOS MEDIOS

MATEO SUAREZ

DANIELA RAMIREZ

FELIPE MUÑOZ

MELISSA BERMUDEZ

LAURA JARAMILLO

BRAYAN ARANGOSTIVEN GONZALEZ

VALENTINA FERNANDEZYENNIFER COLORADO

ANGULOS TRIPLES

CAMILA SALGADO

TOMAS CARDENAS

JULIAN PARRALISETH AGUDELO

MANUELA MOLINAPAULA CAMPIÑO

VERONICA HURTADO

ALEJANDRO GUERRAJINNER ARBOLEDA

JENNIFER VARGASSARA ALZATE

JUAN PABLO VELEZ 12

DANIELA RIOS 6

JULIANA PABON 3

ORLANDO MESA 4

KATERINE HERRERA 5

JULIANA FIGUEROA 9

MARCELO VELASQUEZ 1

ANDERSON RPO 11

JOSE DANIEL OTAL 10

CAMILA LOAIZA 9

ALAN GARCIA 8

JHORMAN DUARTE 7ANIBAL CARO 7

CRISTIAN VALENCIA 19WILLIAM CASTRO 19

RENSO VASQUEZ 5YLISSA ACEVEDO 5

MIGUEL OSORIO 3

VALENTINA JARAMILLO 15JUAN JOSE BEDOYA 15

JULIAN CORREDOR 4

LEIDY CORTEZ 16

MATEO SUAREZ 13

DANIELA RAMIREZ 14

FELIPE MUÑOZ 15

MELISSA BERMUDEZ 15

LAURA JARAMILLO 16CALLE 16

BRAYAN ARANGO 17STIVEN GONZALEZ 17

VALENTINA FERNANDEZ 18YENNIFER COLORADO 18

CAMILA SALGADO 2

TOMAS CARDENAS 2

JULIAN PARRA 20LISETH AGUDELO 20

MANUELA MOLINA 2PAULA CAMPIÑO 21

VERONICA HURTADO 15

ALEJANDRO GUERRA 18JINNER ARBOLEDA 18

JENNIFER VARGAS 6SARA ALZATE 6

INDICACIÓN PARA VIDEODebes elaborar un vídeo sobre el capitulo asignado

según instrucciones de la docente de tecnología, con la herramienta asignada y para la fecha establecida

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Sen

tan

Csc

Vamos a usar lo aprendido hasta el momento en un nuevo tema denominado “relaciones fundamentales entre las funciones trigonométricas de un ángulo”

En este tema lograremos:

• Deducir las relaciones trigonométricas fundamentales de un ángulo.

• Aplicar las identidades fundamentales, en la demostración y simplificación de expresiones trigonométricas.

RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

Usando el círculo Trigonométrico unitario se deduce que las funciones trigonométricas son:

yy

sen 1

xx 1

cos

xytan

y1

csc

x1

sec

yxcot

1csc. sen

1sec.cos

1cot.tan

sen1

csc

csc1sen

cos1

sec

sec1

cos

Del gráfico anterior se deduce lo siguiente:

RELACIONES INVERSAS:

αα

tan

1cot

cot

1tan

También del gráfico anterior se deduce lo siguiente:

Si xytan ; pero ; ysen xcos

costan

sen

sen

coscot

yxcot ; pero ; xcos ysen

RELACIONES DE COCIENTES:

En el rectángulo se tiene: 122 xy(teorema de Pitágoras)

De lo que se deduce lo siguiente:

1cos22 sen

22 sectan1

22 csccot1

RELACIONES PITAGÓRICAS:

Las ocho relaciones deducidas anteriormente reciben el nombre de IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES, y se emplearan para comprobar, demostrar y simplificar expresiones trigonométricas.

RECUERDA: Las Identidades Trigonométricas son igualdades que contienen funciones trigonométricas de ciertos ángulo.

DEMOSTRAR: Es un proceso de comprobar si una identidad es realmente una identidad, para lo cual se hacen transformaciones mediante el uso de las identidades fundamentales.

SIMPLIFICAR: Consiste en convertir la expresión original en otra más simple y elemental.

COMPROBAR: Consiste en evaluar para algún o algunos ángulos y verificar que la igualdad se cumple.

DEFINICIÓNUna identidad trigonométrica es una igualdad en la que intervienen las funciones trigonométricas, y se cumple siempre sin importa el valor del ángulo. Por ejemplo:

La identidad pitagórica se cumple para todo valor que tome el ángulo α.

Si entonces;

Si entonces;

Si entonces;

Observa que sea cual sea el valor que le demos a α siempre

el resultado es 1.

Usa tu calculadora para comprobar la identidad pitagórica para los siguientes valores de α:

1. 90°

2. 50°

3. 120°

4. 150°

5. 210°

6. 300°

Tráelo resuelto en tu carpeta para EL JUEVES 16 A LAS 6:15

Demostrar la siguiente identidad

𝐬𝐞𝐧𝐱𝐜𝐨𝐬𝐱𝐬𝐞𝐧𝐱

=𝐜𝐨𝐬𝐱

Demostrar la siguiente identidad

Demostrar la siguiente identidad

Ejercicios: Demostrar

Tráelo resuelto en tu carpeta EL JUEVES 16 A LAS 6:15 junto con las comprobaciones

CONSEJOS AL DEMOSTRAR:

1. Trabajar con el miembro más complejo para convertirlo en el otro.

2. Algunas veces, conviene expresar las funciones en términos de seno y coseno.

3. También, realizar operaciones aritméticas y algebraicas(factorización y/o simplificación).

4. Ó utilizar algún artificio si es necesario.

… sólo la práctica constante te permitirá adquirir más habilidad y destreza…

Ejemplo 1.- demostrar la siguiente identidad.

Como , si los sustituimos,

tenemos que :

Simplificamos senos, y tenemos que:

Y

Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:

xCscxSenxCosxSen 22

xSenxCscyxCosxSen

1122

xSenxSen

11

xSenxSen

11

11

Ejemplo 2.- Demostrar la siguiente identidad:

Como , sustituimos y nos queda:

Multiplicando medios y extremos obtenemos:

Que equivale a: Sen² x + Cos² x = 1

Como Sen² x + Cos² x = 1 , sustituyendo llegamos a: 1 = 1

Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.

11 22

xCosxCsc

xSenxCsc

22 1

111 2

2

xCos

xSen

11 22 xCosxSen

Ejemplo 3.- Demostrar la siguiente identidad:

Como ,

si los sustituimos nos queda que:

Simplificando senos, y nos queda:

Si sacamos común denominador y sumamos, entonces tenemos que:

,

como

Sustituyendo en el paso anterior nos queda que:

Con lo que queda demostrada nuestra identidad trigonométrica.

xSecxCscxSenxTan 22

xSenxCscy

xCos

xSenxTan

12

22

xSecxSen

xSenxCos

xSen 22

2 1

xSecxCos

xSen 22

2

1

xSecxCos

xCosxSen 22

22

xCosxSecyxCosxSen

2222 1

1

xCosxCos 22

11

Ejemplo 4.- Demostrar la siguiente identidad:

Sacando común denominador tenemos:

Como ,obtenemos la siguiente

igualdad:

Con lo que queda demostrada nuestra identidad trigonométrica

xCscxSen

xCos 22

2

1

xCscxSen

xSenxCos 22

22

xSenxCscyxSenxCos

2222 1

1

xSenxSen 22

11

TORTUGA TRIGONOMÉTRICA

Con este método con solo recordar el orden de 6 funciones trigonométricas prodrás tener a tu disposición 24 identidades trigonométricas.

LA TORTUGALA TORTUGA

La tortuga es la base para recordar las relaciones entre las funciones trigonométricas, con el tiempo y la práctica bastará dibujar esta, para recordar la mayoría de las fórmulas trigonométricas.

Las letras ilustradas, representan de forma simplificada los nombres de las funciones trigonométricas:

S CTCTSCCSC

=Seno=Coseno=Tangente=Cotangente=Secante=Cosecante

IDENTIDADES PITAGÓRICAS.

Pitagóricas

IDENTIDADES RECÍPROCAS.

Recípprocas

Cada función trigonométrica es el recíproco de la que está en el lado opuesto del hexágono

PRODUCTOS.

Productos Tabla 1

El producto de cada función trigonométrica multiplicada por la opuesta en el hexágono es 1.

PRODUCTOS.

Productos tabla 2

Cada función trigonométrica es el producto de las dos que la rodean..

COCIENTES.

Cocientes Tabla 1

Cada función trigonométrica es el cociente de las dos siguientes.

COCIENTES.

Cocientes Tabla 2

Cada función trigonométrica es el cociente de las dos anteriores.

Seno

S =  T x C S  = C / CT S = T / SC S = 1 / CSC

Coseno

C = S x CT C = CT / CSC C = S / T C = 1 / CS

Tangente

T = SC x S T = S / C T = SC / CSC T = 1 / CT

Cotangente

CT = C x CSC CT = CSC / SC CT = C / S CT = 1 / T

Secante

SC = CSC x S SC = T / S SC = CSC / CT SC = 1 / C

Cosecante

CSC = CT x SC CSC = SC / T CSC = CT / C CSC = 1 / S

RESUMEN.

En la siguiente lista encontrarás todas las relaciones que puedes conseguir con el Hexágono Trigonométrico,

PARIDAD

Paridad

Seno es impar Cosecante es impar

Coseno es par Secante es par

Tangente es impar Cotangente es impar

Las funciones coseno y secante son pares, el resto son impares.

PERIODICIDAD.

Periodicidad

Seno 2 Cosecante2

Coseno 2 Secante 2

Tangente Cotangente

Las funciones tangente y cotangente tienen una periodicidad de , mientras que el resto tienen una periodicidad de 2

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

IDENTIDADES DE LA COFUNCIÓN.

Identidades de la Cofunción

Cada función trigonométrica de un ángulo dado  es igual a su cofunción evaluada en