Geometri Transformasi

Transformasi

Oleh :

Feli Ramury

Maya Saftari

Nurul Fajriah

Pendahuluan

1. Konsep Felix Klein

2. Geometr Transformasi

TransformasiVektor

T r a n s f o r m a s i i n i

m e n u n j u k k a n s u a t u

t r a n s f o r m a s i l i n i e r .

T r a n s f o r m a s i l i n i e r

a k a n t a m p a k t e r l i h a t

j e l a s j i k a B = C d a n a k a n

d i n y a t a k a n d a l a m b e n t u k

A : B B y a n g d i s e b u t d e n g a n o p e r a t o r l i n i e r

p a d a B . S a t u a l a s a n

m e n g a p a t r a n s f o r m a s i

t e r s e b u t d i k a t a k a n

l i n i e r k a r e n a

Gambar Points on a Line

a

a +b

tb

a +tb

b

0

L1

L1

Diperpanjang

sebesar t

Transformasi Linier dengan Matriks

1. I s o m e t r i a r t i n y a

b e r u k u r a n s a m a .

2. I n v a r i a n

3. I s o m e t r i d a l a m

g e o m e t r i E u c l i d

t e r d i r i d a r i 3

k a t e g o r i d a n

k o m p o s i s i n y a :

t r a n s l a s i , r o t a s i ,

d a n r e f l e k s i .

Transformasi Affine1. T r a n s f o r m a s i a f f i n

a d a l a h h u b u n g a n

g e o m e t r i y a n g

m e m p e r t a h a n k a n b e n t u k

d a s a r d a n i n t e g r i t a s

b a n g u n g e o m e t r i .

T r a n s f o r m a s i a f f i n

d a p a t b e r u p a r o t a s i ,

t r a n s l a s i , d a n d i l a t a s i .

2. T r a n s f o r m a s i a f f i n e

t i d a k m e m p e r t a h a n k a n /

m e n g a w e t k a n

k e s e b a n g u n a n . H a l i n i

ContohTransformasi

Affine

The Group of Isometries of

The Plane

C h a p t e r 3.7, s e t i a p

i s o m e t r i d a r i R 2

a d a l a h p r o d u k d a r i

s a t u , d u a , a t a u t i g a

r e f l e k s i .

M i s a l k a n f = r 1r 2r 3,

R e f l e k s i d i o p e r a s i k a n

d e n g a n d i r i n y a

m e n j a d i f u n g s i

i d e n t i t a s , d i d a p a t

f = r 1r 2r 3 r 3r 2r 1

= r 1r 2r 2r 1

= r 1r 1

= f u n g s i i d e n t i t a s ,

A t r a n s f o r m a t i o n o f a s e t S i a a f u n c t i o n f r o m S t o S , a n d a c o l l e c t i o n G o f t r a n s f o r m a t i o n f o r m s a g r o u p i f i t h a s t h e t w o p r o p e r t i e s :

J i k a f d a n gb e r a d a d i G , m a k a b e g i t u j u g a f g

Spherical Geometry

Spherical Geometry adalah suatu geometri dua

dimensi dari permukaan bola (sphere).

Sphere adalah himpunan semua titik dalam

ruang tiga dimensi yang merupakan jarak

tetap dari suatu titik tertentu (disebut pusat).

Great Circle

1Q

P

O

θ

Great Circle

Great Circle Distance adalah lingkaran yang dibentuk

oleh perpotongan bola dan bidang melewati pusat.

Sebuah lingkaran besar adalah lingkaran terbesar

yang dapat ditarik pada suatu lingkungan tertentu,

dan jalur terpendek sepanjang bola antara dua titik

adalah lingkaran besar.

The Reflection “line” on The Sphere

Representing Space Rotations by

Quaternions

Rotations of (i, j, k) –space

Terima Kasih