8.sayisal turevintegral

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,2007 1

8. SAYISAL TÜREV ve İNTEGRAL

=Değişimin matematiği

Mühendisler değişen sistemler ve süreçlerle sürekli olarak uğraşmak zorunda oldukları için türev ve integral kavramları mesleğimizin temel araçları arasındadır.

Bağımlı değişkenin / bağımsız değişken

x∆

t∆

X∆ t∆

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,20072

x

xfxxf

x

f ii

∆−∆+

=∆∆ )()(

Türev Tanımı: (matematikte),

fark (difference) yaklaşımı idi

x

xfxxf

x

xfxf ii

x ∆−∆+

=∂

∂=→∆

)()()()(' lim

0

• Diferansiyel, farkları belirlemek, ayırmak anlamına gelir

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,20073

Mühendislikte türev

VL=L , ic=C

•Mühendislikte bir çok yasa ve genelleştirme, fiziksel dünyada karşılıkları olan değişimlerin tahmin edilmesi esasına dayanmaktadır. •Newton’un ikinci yasası temel bir örnek olup, bir cismin konumuyla değil, konumunun zamana göre değişimiyle ilgilenmektedir

v= dX/dt

•Isı geçişleri, sıcaklık farkına bağlı olarak, akım yasası potansiyel farkına bağlı olarak ifade edilir.

• Benzer şekilde, L,C elemanlarının uç denklemleri;

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,20074

İntegral Tanımı Yüksek matematikte diferansiyelin

ters işlemi; integraldir

Sum [ f(x)dx dilimleri ]

Birleştirme, biraraya getirme, toplama(sum)

f(xi)dx

…………

f(x)

f(xi)dx ∫200

0

dx)x(f

S

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,20075

Mühendislikte integral: (fonksiyonun-eğrinin altında kalan alan)

(a) (b) (c)

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,20076

8.1) Sayısal Türev8.1.1. İki noktalı basit türev yaklaşımları

a) Geri Fark Yaklaşımı

(8.4)

Geri Fark Formülü

Şekil.8.2. Geri Fark Yaklaşımı

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,20077

8.1.1. İki noktalı basit türev yaklaşımları a) İleri Fark Yaklaşımı

(8.5)

İleri Fark Formülü

Şekil.8.3. İleri Fark Yaklaşımı b) Merkez Fark Yaklaşımı

(8.6)

Merkez Fark Formülü

Şekil.8.4. Merkez Fark Yaklaşımı

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,20078

Örnek: y=x2 işlevinin x=2’deki türevini h=0.1 kullanarak

her üç yöntemle yaklaşık olarak bulunuz.

a) İleri fark yöntemiyle

b) Geri fark yöntemiyle

c) Merkez fark yöntemiyle

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,20079

8.1.2. Taylor Serisi yardımıyla çok noktalı türev yaklaşımları

İki noktalı türev yaklaşımları

!

)(.................................

!2

)(''

!1

)(')()(

21

n

xfhxfhxfhxfhxf i

nnii

ii +++=+

!2

)(''

!1

)(')()(

21ii

ii

xfhxfhxfhxf ++=+

( ) ( )!2

)(''2

!1

)('2)()2(

21 xfhxfhxfhxf ii ++=+

-4

+

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200710

2

)(''4)('4)(4)(4

2i

iii

xfhxhfxfhxf −−−=+−

2

)(''4)('2)()2(

2 xfhxhfxfhxf iii ++=+

=

veya kısaca

=

+

İki noktalı türev yaklaşımları : Taylor serisi için ileri fark yöntemi

Taylor serisi için ileri fark formülü

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200711

b) Aynı işlemler, geriye (xi-1 noktasına ) doğru yapılırsa

fi

xi+1 xi

h

fi+1

fi-1

h

xi-1 xi+2 xi-2

fi-2

fi+2

Şekil.8.5. Taylor Serisi yardımıyla iki noktalı türev yaklaşımları

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200712

( ) ( )!2

)x(''fh

!1

)x('fh)x(f)hx(f i

2i

1

ii

−+

−+=−

( ) ( )!2

)(''2

!1

)('2)()2(

21 xfhxfhxfhxf ii

−+−+=−

=

İki noktalı türev yaklaşımları : Taylor serisi için geri fark yöntemi

Taylor serisi için geri fark formülü

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200713

Üç noktalı türev yaklaşımları

Taylor serileri 3. dereceden kuvvetlerine kadar açılarak ve yine taraf tarafa yok etme işlemleri kullanılarak 1. 2. ve 3. dereceden türevleri yaklaşık olarak bulunabilir. Buradan

= (8.15)

= (8.16)

= (8.17)

Ödev: Taylor serisine açarak bu denklemleri ispatlayın

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200714

Örnek: f(x)=ex-2 işlevinin x=2 noktasındaki yaklaşık türevini gördüğümüz yöntemlerle bulunuz. ( h=0,1 Analitik çözüm: )1e)2('f 22 == −

Çözüm: • İki noktalı ileri farkla çözüm

,

= olduğundan, = =0.9964

• Basit ileri farkla çözüm;

= 1,0517

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200715

• İki noktalı geri farkla çözüm

,

= olduğundan, = =0.99705

• Basit geri farkla çözüm;

=

Merkez farkla çözüm;

= 1,001

Örnek (devam)

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200716

8.2) Sayısal İntegral

x= t

f(x)=T

Şekil.8.6. Bir sisteme ait 1’er dakika aralıklarla alınmış ayrık sıcaklık verileri

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200717

Örnek:

x f(x) 0.25 2.599 0.75 2.414 1.25 1.945 1.75 1.993

( )dxe

x

x x5.02

0

2/3

sin5.01

1cos2∫ +

++

x

f(x)

0 0.25 0.75 1.25 1.75

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200718

8.2.1. Basit İntegral Yaklaşımları

Alt Değer Yaklaşımı

xi+h

f(xi)

f (xi+h)

xi

f (x)

x Şekil.8.8. Alt Değer Yaklaşımı

( ) ( )hxfIdxxf iA

hx

x

i

i

=≡∫+

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200719

Üst Değer Yaklaşımı

xi+h

f(xi)

f (xi+h)

xi

f (x)

x

( ) ( )hhxfIdxxf iÜ

hx

x

i

i

+=≡∫+

xi +h

f(xi )

f (xi +h)

xi xi+h/2

f (x)

x

f(xi+h/2)

Orta Nokta Yaklaşımı

hh

xfI iÜ

+=

2

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200720

8.2.2. Newton-Cotes Formülleri

=ao+a1x+........anxn ( ) ( )dxxfdxxfI

b

a

n

b

a∫∫ ≅=

= f(a)+

8.2.2.1. Trapez (Yamuk) Kuralı

f1(x)

b,f(b)

a, f(a) doğrusal interpolasyon

I= ∫b

a

[f(a)+ )()()(

axab

afbf −−−

]dx I=(b-a)*

2

)()( afbf +

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200721

b

f(a)

f (b)

a Taban

f (x)

x

Trapez (Yamuk) Kuralı

I=Taban * ortalama yükseklik

I=(b-a)* 2

)()( afbf +

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200722

Trapez kuralı’nın tekli uygulaması Örnek:

f(x) = 0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5 işlevinin x=0’dan 0.8’e kadar trapez kuralı ile integralini alın. (İntegralin analitik çözümü:1.640533)

Çözüm: İşlevin verilen noktalardaki değerleri; f(0)=0.2, f(0.8)=0.232 bulunur . Eşitlikte yerine koyulursa

I=(b-a)* bulunur.

Hata Et=1.640533-0.1728=1.467733 Sonuç %89.5 bağıl hatayla bulunmuştur.

f(x) - - - 2.0- - - -

0 Hata

İntegral Tahmini . 0.8 x - Şekil.8.12. Aralığın büyük seçilmesi sonucu

integral hatası(Chapra S.,Canale,R., 2003)

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200723

Trapez kuralı’nın çoklu uygulaması

f2

xn-1 x2.......

h

fn-1

f1

I2

x1 xn x0

f0

fn

I1

I1= , I2=

Şekil.8.13. Çoklu uygulamalarda trapez kuralı

I=I1+I2+................In Burada

I=

I=

Trapez kuralının çoklu uygulaması için genelleştirilmiş formül

1980’lerde Türkçemize giren deyim; “toplanıp Voltranı oluşturmak”

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200724

Kalbin pompaladığı kan debisini ölçmek için kullanılan standart teknik, Hamilton tarafından geliştirilen indikatör seyrelmesidir. Küçük bir sondanın bir ucu radyal bir atardamara sokulur ve diğer ucu kan içindeki boyanın (indikatör) derişikliğini otomatik olarak kaydedebilen bir yoğunluk ölçere bağlanır. Bilinen miktarda boya (5.6 mg) hızlı bir şekilde enjekte edilir ve Tablo’daki veriler alınır. Boya seyrelmesinde elde edilen bu sonuçların grafiği Şekil’de görülmektedir. Derişim 15 sn civarında en yüksek değere ulaşmakta, daha sonra düşmektedir ve bu düşüşü yeniden dolaşan boya nedeniyle bir artış izlemektedir. Yeniden dolaşımın etkisini gözardı etmek için analistler derişim eğrisini düz bir doğru şeklinde uzatırlar. Bu durumda derişim ( fD(t) ): t=23. saniyede 1.1, t=25. saniyede 0.9, t=27. saniyede 0.45 ve t=29. saniyede 0 olmaktadır. Daha sonra kalp çıktısı (cardiac output) şöyle hesaplanabilmektedir;

C= , Burada C kalp debisi [L/dakika],

M=enjekte edilen boya miktarı (mg), 60=dakikayı saniyeye çeviren katsayı (s/dakika) ve A= eğrinin (Analistler tarafından düzeltilmiş haliyle!) altında kalan alandır ((mg/L)*s). t1=5. ile t13=29. saniyeler arasında, 2s adım büyüklüğüyle, trapez kuralınının çoklu uygulamasını kullanarak bu hastanın kalp debisini hesaplayın.

(Trapez formülü : I= )

Örnek:

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200725

Çözüm:adım büyüklüğü h=2 sn I= idi.

f1= f(5)=0, f2= f(7)=0.1, f3= f(9)=0.11, f4= f(11)=0.4, f5= f(13)=4, f6=f(15)=9, f7=f(17)=7.9, f8=f(19)=4.1,

f9=f(21)=2.2, f10=f(23)=1.1, f11=f(25)=0.9, f12=f(27)=0.45, fn= f13=f(29)=0

)f2ff(2

h 1n

2kkn1 ∑

−

=

++

)f2ff(2

2 IA dt)t(f

12

2kk131

29

5

D ∑∫=

++===

L/dk 5.55188dakika/s60*s*)L/mg(52.60

mg6.560*

A

MC:Debi ===

= 0+0+2*(0.1+0.11+0.4+4+9+7.9+4.1+2.2+1.1+0.9+0.45) =60.52 mg/L

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200726

Soru:a) Aynı veriler ve yöntemi kullanarak kalp debisini hesaplayacak bir bilgisayar algoritması oluşturun.

b) ve programını yazın a)

İlk Değerleri Ata M, n,h, Toplam

H

k=k+1

k=2 ?)1n(k −≤ E

Yoğunlukölçerden alınıp düzeltilen tüm verileri gir f1……..fn

∑−

=

)1n(

2kkf = Toplam

++= ∑

−

=

)1n(

2kkn1 f*2ff

2

hA

Toplam=Toplam+f(k)

C=(M/A)*60

b)

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200727

8.2.2.2.Simpson Kuralları

f(x)

x

Şekil.8.14. 2. dereceden polinom

f(x)

x

Şekil.8.15. 3. dereceden polinom

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200728

Simpson’un 1/3 Kuralı

( ) ( )dxxfdxxfIb

a

2

b

a∫∫ ≅=

( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( ) dxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxI

x

xo

∫

−−

−−+

−−−−

+−−

−−=

2

)()()( 21202

101

2101

200

2010

21

( )xf 2

x1, f(x1)

2. Dereceden Lagrange İnterpolasyon Polinomu

x2, f(x2)

x3, f(x3)

( )[ ])()(43 210 xfxfxfh

I ++≅

Simpson’un 1/3 Kuralı (İkinci Newton Cotes İntegral Formülü)

h= 2

ab − ( )[ ]

yükseklikOrtalamaTaban

xfxfxfabI

6

)()(4)( 210 ++

−≅

a=x0, b=x2’dir. x1 ise a ve b’nin ortasındaki nokta

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200729

Simpson’un 1/3 Kuralının Tekli Uygulaması:

Örnek: f(x)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5 işlevini a=0’dan b=0.8’e kadar Simpson’un 1/3 kuralıyla sayısal olarak integre edin. (İntegralin tam değeri:1.640533 idi)

Çözüm: f(0)=0.2, f(0.4)=2.456, f(0.8)=0.232 ‘dir. Integral değeri

Bu değer yamuk yöntemiyle çözüme göre daha doğru bir sonuç bulmuştur. Et=1.640533-1.367467=0.2730667, yüzde bağıl hatası %16.6’dır.

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200730

Simpson’un 1/3 Kuralının Çoklu Uygulaması:

I=I1+I2+................In

I=

h=n

ab −

I= ( )[ ]

yükseklikOrtalamaTaban

xfxfxfabI

6

)()(4)( 210 ++

−≅

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200731

Örnek: : f(x) = 0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5 işlevinin a=0’dan b=0.8’e kadar Simpson’un 1/3 kuralını kullanarak n=4 aralık için integre edin. (İntegralin tam değeri:1.640533 idi)

Çözüm: n=4, h=(0.8-0)/4=0.2 x0=0, x1=0.2, x2=0.4, x3=0.6, x4=0.8 f(0)=0.2 f(0.2)=1.288 f(0.4)=2.456 f(0.6)=3.464 f(0.8)=0.232

Et=1.640533-1.623467=0.017067. Bağıl yüzde hatası %1.04 bulunur.

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200732

İlk Değerleri Ata n, b, a, h, ToplamTekler=0, ToplamÇiftler=0, f0

H

H

i=i+1

i=1 ?ni ≤ E h=0.2 aralıklarla tüm noktalarda sırayla

fonksiyonun aldığı değerler bulunur f1, f2.........fn= f(0.2)........f(0.8)

H

i=i+1

i=1 ?2/ni ≤

E Tek x sayıları için fonksiyonların aldığı değerlerin toplamını bul ToplamTekler=ToplamTekler+f(i)

H

i=i+1

i=1 ?2/)2( −≤ ni

E Çift x sayıları için fonksiyonların aldığı değerlerin toplamını bul ToplamCiftler=ToplamCiftler+f(i)

∑=

−

2/

112

n

iif =Toplam Tek Sayılar

∑−

=

2/)2(

12

n

iif = Toplam Çift Sayılar

( )

+++

−=∑ ∑

=

−

=−

n

ffffabI

n

i

n

iiin

3

242/

1

2/)2(

12120

Program Algor itması

Simpson’un 1/3 kuralının

çoklu uygulaması için örnek algoritma

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200733

Program Kodları

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200734

Simpson’un 3/8 Kuralı Diğer iki yöntemin türetilmesine benzer şekilde, üçüncü dereceden bir Lagrange polinomu dört noktadan geçirilebilir ve integrali alınacak f(x) işlevi yerine kullanılabilir.

Üçüncü dereceden Lagrange polinomunun integrali;

veya Simpson’un 3/8 kuralı (3. Newton Cotes integral formülü):

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200735

Sayısal Türev ve İntegralin Elektrik-Elektronik Mühendisliğinde Uygulamaları Bir periyot boyunca salınan bir elektrik akımının ortalama değeri sıfır olabilir. Örneğin akımın basit bir sinüsle tanımlandığını varsayalım: i(t)=sin(2 /T). Burada T periyottur. Bu işlevin ortalama değeri aşağıdaki eşitlikle hesaplanabilir.

i= =

Burada net sonucun sıfır olması gerçeğine karşın, bu akım bir iş yapabilir ve ısı üretebilir. Ortalama değeri sıfır olsa da bu tür etkilerinden dolayı etkili veya etkin akım değeri olarak adlandırılır. Bu nedenle elektik mühendisleri bu tür bir akımı genellikle aşağıdaki eşitlikle tanımlarlar. (RMS: Roots of mean square:karesel ortalamanın karekökü) :

IRMS=

Burada i(t): t anındaki anlık akımdır.

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200736

Ödev: T=1sn için şekilde görülen dalganın etkin akımını trapez ve Simpson 1/3 kurallarıyla 4

aralık için bulun. Bağıl yüzde hatayı bulun. (Gerçek değer 15.41261, % )

Şekil.8.18. Yarım periyot için sinüzoidal akım işareti

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,200737

Şekilde değişimi verilen akımın etkin değerini Simpson’un 1/3 integral formülünü kullanarak h= adımı ile hesaplayınız. Burada akım; şekilden de görüldüğü gibi ve katlarında periyodik olarak başlayan (iletime geçen), genliği 1.45A, periyodu olan sinüzoidal bir işarettir. Dolayısıyla taralı bölgeler simetrik ve alanları eşittir.

ietkin= , A=(b-a) ,h= , Radyan= )

Soruyu çözecek a) algoritmayı oluşturun b) programı yazın.

Ödev.2.

Kaynaklar• Müh. İçin Say. Yöntemler, CAPRA,S

ve diğ., Literatür Yayınları• Sayısal Çözümleme,Aktaş Z., ODTÜ

Yayınları• Applied Num. Analysis, Gerald,C.F. ve

diğ. Addison Wesley Pub.• Sayısal Çözümleme Ders Notları,

Bilgin, M.Z., Kocaeli Ün., Elektrik Müh. Bölümü