Slayt 1

YMT 222 SAYISAL ANALZ (Blm 5)Prof. Dr. Asaf Varol

2012-2013 Bahar Dnemi12Saysal ntegralSaysal integrasyon analitik olarak zlemeyen belirli integrallerin kullanm iin birincil anahtardr. Analitik zm yapmaz. Saysal integrasyon forml:

Biz eit aralkl noktalarda fonksiyon deerleri kullanan birka temel nmerik yaklam formlleri aratryoruz. Bu metotlar Newton-Cotes formlleri olarak bilinir. Kullanlan integrasyon aralnn sonunda fonksiyon deerlerinin olup olmadna bal olarak ki tip Newton Cotes forml vardr. Trapez ve Simpson kurallar kapal formllerin rnekleridir. Son nokta deerlerini kullanrlar. Midpoint kural ak formllerin en basit rneidir ve son noktay kullanmazlar.

3Saysal ntegral

4Basit bir yolla yaklam yapar. Eri altndaki alan dz bir doru yoluyla eriye yaklatrr. Trapez (Yamuk) yaklam dz doru yoluyla eri noktalarn aktarr. [a, f(a) ve b, f(b)], son iki nokta veya arala dikkat edilmelidir. x0=a, x1=b, ve h=b-a, iseNewton-Cotes Kapal Formlleri Trapez (Yamuk) KuralTrapez kural kullanlarak e-x^2 integralinin hesaplanmas Deeri bilinmeyen integralin tam deeri fonksiyon iin ok nemlidir

Trapez kural kullanarak bulalm (bu rnek iin (b-a)/2=1)

Fonksiyon doru yaklam ile aadaki ekilde gsterilmitir.

rnek

5

Matlab Program

6Diyagram

7Newton-Cotes Kapal FormlleriSimpson Kural

8

Simpson kural kuadratik polinom yaklam yoluyla fonksiyonu integre edersek

Yaklak integral

rnek simpson kuraln kullanarak p/4 yaklamn bulunuz.ntegralin kesin deeri

9Newton-Cotes Kapal FormlleriSimpson Kural (Devam)10

Matlab ProgramDiyagram

11

Trapez ve Simpson kurallar Newton-Cotes kapal formllerinin en basit rnekleridir. Kapal formller integrasyon aralnn son noktasnda fonsiyon deerlendirmede kullanlr. Eer biz aralksz noktalarda sadece fonksiyon deerlendirmeyi kullanrsak en basit forml (Newton-Cotes ak formlleri) Midpoint kuraldr. Midpoint kural:

rnek: sinx/x integralini Midpoint kullanarak bulun

Newton-Cotes Kapal FormlleriMidpoint Kural

12

13Midpoint kural kullanmyla bulunan alann gerek deeri karlatrlmas sa tarafta verilmitir. Bu alan S integrali ve yaklam tarafndan midpoint kullanmyla verilmitir.

ekil14

Matlab Program15

DiyagramNewton-Cotes formlleri bamsz deikenin uzay deerlerinin fonksiyonunun deerlendirilmesi tabanldr. Gaussian integral formlleri yksek dereceden olas polinomlar iin doru formllerle seilen doru noktalarn fonksiyonlarn deerlendirir. Gaussian integral formlleri genellikle [-1 1] integrasyon aralnda hzldr.

Gaussian kuadratik formlnn genel biimiBurada xi noktann yaklak deeridir ve n seimine bal ci katsays stnde kuadratik noktalar x1 ,, xn ,n dereceden sfr olmayan Legendre polinomu katsay yaknsamasnda kullanlr. 2n-1 dereceden polinom iin gerek integrasyon formldr.Gaussian Kuadratik

16Gaussian kuadratik

17

rnein iki deerlendirme noktas Gauss-Legendre kuadratik kural iin 3. dereceden eklenen polinom iin u formdadr;

Gauss-Legendre kuadratik kural n=3 deerlendirme noktas iin 5. dereceden eklenen polinom iin sahip olduu form u ekildedir;

Gauss kuadratik parametrelerin deerleri xi ve ci iin n=2.4 aada tablo verilmitir.rnek

18

e-x^2 [-1 1] stnde Gaussian kullanarak;Blm 5 Sonu19ReferanslarCelik, Ismail, B., Introductory Numerical Methods for Engineering Applications, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. Numerical Methods, Algorithms and Applications, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458

Rao, Singiresu, S., Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., Numerical Methods Using MATLAB Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458Varol, A., Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001

20