Перпендикулярність площин у просторі

1

Тема уроку:

Розробилавчитель вищої категорії Cокальського НВК “ЗШ І-ІІІ ступенів №4-ліцей”Федюк Оксана Романівна

2

Яким може бути взаємне розміщення двох площин в просторі?

αα

ββ

αα║║ββ

αα∩∩ββ==сс

αα

ββ

сс

3

Означення та ознаку перпендикулярних прямих.

Означення та ознаку перпендикулярності прямої і площини.

4

Означення Означення перпендикулярних прямих перпендикулярних прямих

5

Ознака Ознака перпендикулярності перпендикулярності

прямих в просторі прямих в просторіЯкщо дві прямі, які перетинаються, відповідно паралельні двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

β

а1 b1

О1

α

bO

а

а1║а, b1║ b, а ┴ b, тоа1 ┴ b1

6

Означення Означення перпендикулярнперпендикулярнихих прямої та площини прямої та площини

αα

ОО

хх11

хх22

хх33ххnn

aaПряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до довільної прямої, що лежить на цій площині і проходить через їхню точку перетину.

7

Ознака Ознака перпендикулярності перпендикулярності

прямої і площинипрямої і площиниЯкщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині та перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

αα

ОО

сс

aa

bb

8

Тема уроку:Тема уроку:Завдання уроку:Завдання уроку:Дати означення перпендикулярних площин.

Сформулювати і довести ознаку перпендикулярності площин.

Навчитися застосовувати вивчені твердження до розв’язування задач.

9

Означення перпендикулярн Означення перпендикулярн их ихплощинплощинДві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Якщо Якщо αα∩∩ββ=с, =с, γγ∩∩αα=а, =а, γγ∩∩ββ==bb, , с с ┴ ┴ γγ і і а а ┴ ┴ bb, то , то α α

┴ ┴ ββ

αα

γγ

ββ

ссаа

bb

10

Ознака Ознака перпендикулярності перпендикулярності

площинплощинЯкщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Дано:Дано: αα, а , а ┴ ┴ αα; ;

аа∩∩αα=О; =О; площинаплощина ββ проходить черезпроходить через а. а. Довести:Довести: ββ ┴ ┴ αα..

αα

ββ

bb

аа

ОО

11

Ознака Ознака перпендикулярності перпендикулярності площинплощинДано:Дано: αα, а , а ┴ ┴ αα; а; а∩∩αα=О; =О;

площинаплощина ββ проходить черезпроходить через а. а. Довести:Довести: ββ ┴ ┴ αα. .

ДоведенняДоведення

αα

ββ

Побудуємо довільну площину ββ через пряму аа і деяку точкуі деяку точку К К поза нею.поза нею. bb

КК

О – спільна точка площин α

і ββ, тому αα∩∩ββ = = bb,, ОО∈∈ bb.. Проведемо на площині α деяку пряму с ┴ bb (на площині така

пряма єдина). Оскільки а а ┴ ┴ αα і аа∩∩αα=О=О, то а а ┴ ┴ с (ОО∈∈с,, ОО∈∈bb,, ОО∈∈а а ). Отже,Отже, с

┴ ┴ аа,, с ┴ ┴ bb..

γγ

Проведемо площину γ через прямі аа і і с, то γ ┴ bb

(оскільки дві її прямі перпендикулярні до bb). Тоді за означенням, ββ ┴ ┴ αα..

сс

аа

ОО

12

ВластивостіВластивостіперпендикулярнперпендикулярн их их площинплощин

Якщо дві площини взаємно перпендикулярні, то будь-яка пряма, що лежить в одній з них і перпендикулярна до їхньої лінії, перпендикулярна до другої площини.

Дано:Дано: а а ┴ ┴ bb, , αα∩∩ββ=с, =с, а1 αα і а і а1┴1┴с, сс, с∩∩а1=А.

Довести:Довести: аа11 ┴ ┴ ββ αα

γγ

ββ

сс

аа

bb

аа11

bb11

АА

⊂

13

ВластивостіВластивостіперпендикулярнперпендикулярн их их площинплощин

Якщо дві площини взаємно перпендикулярні та з деякої точки однієї з них опущено перпендикуляр на другу, то цей перпендикуляр лежить у першій площині.

Дано:Дано: αα ┴ ┴ β, , αα∩∩ββ=с, =с, А∈β, ВВ∈∈αα, ,

АВ ┴ ┴ αα.

Довести:Довести: АВ АВ ∈∈ ββαα

γγ

ββ

сс

аа

bb

ВВ

АА

14

Опорна задача Опорна задачаЗ точок P і Q, які лежать на двох взаємно перпендикуляр- них площинах, проведено перпендикуляри PH і QC на пряму перетину площин α і β. Знайдіть довжину відрізка PQ, якщо PH=6 см, QC =7 см, HC=6 см.

Дано:Дано: αα ┴ ┴ β, , αα∩∩ββ=с, =с, РН┴┴ с, с, Н∈сс,

QC┴┴ с, Сс, С∈∈сс; ; PH=6 см, QC =7 см,

HC=6 см..Знайти:Знайти: PQ.

αα

ссH

ββ

P

Q

CОскільки Оскільки αα ┴ ┴ β, , РН αα , , РН┴┴сс, то

PH ┴┴ β , звідси , звідси PH┴┴HQ. Тоді ∆PHQ –

прямокутний.

⊂

На площині β ∆QСH – прямокутний, оскільки QC┴┴с, то с, то QC┴┴СH.

Розв’язання

З ∆QСH: HQ2= QС2 + HС2=49+36=85.З ∆РHQ: РQ2= РН2 + HQ2=36 +85 =121. Враховуючи, що РQ>0, РQ =11 см.

Відповідь. 11см

А як застосувати ознаку А як застосувати ознаку перпендикулярності площин перпендикулярності площин

, для знаходження довжини відрізка , для знаходження довжини відрізка кінці якого лежать на кінці якого лежать на

?перпендикулярних прямих ?перпендикулярних прямих

15

Підсумки уроку Підсумки уроку :Контрольні запитання :Контрольні запитання

• Подивіться, чи є на вашу думку, перпендикулярні площини в класній кімнаті?

• Перерізом куба площиною, перпендикулярною до його грані є…

• Дано куб ABCDA1B1C1D1 (див. мал. 5.39 ст.169).

Площина ВDD1 ┴ … до площини C1CD; C1B1B; C1CB; C1D1B1.

квадрат.

16

CCписок використаних джерелписок використаних джерел uk.wikipedia.org›wiki/Перпендикулярність ( , 1-143 .)Геометрія академічний рівень стр , видавництво

“Генеза”, Автор: О.Я. Біляніна, Г.І. Білянін, В.О.Швець, 2010, стор. 256

n