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2
Equazioni non lineari: generalità
Problema: ricavare le radici o zeri di una funzione (eventual-mente non lineare e/o trascendente) f(x) cioè trovare quelo quei valori ξ tale che:
( ) 0=ξf
Se la soluzione non è esprimibile in forma chiusa il problema può essere risolto numericamente
Molteplicità di una radice: ξ è radice semplice se f�(ξ)≠0 ,multipla di molteplicità ν se:
( ) ( ) ( ) 01,,1,00 )()( ≠−== ξνξ νfkf k K
3
Eq. non lineari: separazione delle radici
Individuazione di un intervallo I=[a,b] (detto intervallo di separazione) contenente una sola radice, metodi di ausilio:
• studio sommario del grafico• decomposizione della funzione f(x)=g(x) � h(x) e ricerca dei punti di
intersezione g(x)=h(x)• tabulazione della funzione (passo della tabulazione)
Teorema: se f(x)∈ C0[a,b] e f(a)·f(b)<0 allora esiste alme-no un valore ξ tale che f(ξ)=0
4
Separazione delle radici: esempi
Esempio 3.2.1: f(x)=ln(x+1)+sqrt(x+2)-1
Esempio 3.2.2: f(x)=tan(x)*[1-cos(x)]-2
Esercizio: uso di MatLab, grafico dell’esempio 3.2.1
5
Eq. non lineari: metodo delle bisezioni
x1=a1=a20a10 bb =x2= b2
ξ
0I
1I
2I
[ ] [ ]2
,, 001000
baxbabaI +==≡
01
11
01
01
0)()(0)()(
bbxa
bfxfafxf
==
⇒<>
[ ]2
, 112111
baxbaI +=≡
22
12
12
12
0)()(0)()(
xbaa
bfxfafxf
==
⇒><
[ ]2
, 223222
baxbaI +=≡
6
Eq. non lineari: metodo delle bisezioni
Metodo iterativo applicabile se f(x)∈ C0[a,b], f(a)·f(b)<0 e se in I=[a,b] esiste un unico valore ξ tale che f(ξ)=0
Algoritmobbaa == 00
Nnbax nnn K,1
211 =
+= −−
<⋅=<⋅=
−−
−−
0)()(se],[],[0)()(se],[],[
11
11
nnnnnn
nnnnnn
xfbfbxbaxfafxaba
Se f(xn)=0 allora ξ= xn altrimenti:
Cosa accade se esistono altri zeri in [a,b]? Cosa accade se f(x) non è continua?
7
Metodo delle bisezioni: esempioEsempio 3.4.1: f(x)=ln(x+1)+sqrt(x+2)-1Intervallo di separazione I=[-1/2,0] da Esempio 3.2.1
-0.0003050
-0.0020160
0.0014040
-0.0054435
0.0082212
-0.0192306
-0.0756553
-0.1952488
0.0351936F(xn)
0.0001742-0.27050789
0.0011508-0.27148448
0.0008023-0.26953137
0.0031039-0.27343756
0.0047086-0.26562505
0.0109164-0.28125004
0.0421664-0.31250003
0.1046664-0.37500002
0.0203336-0.25000001|ξ−xn|xnn
41
22/1
200
1 −=−
=+
=bax
11
01
1
0
0
035.0)(414.0)(468.0)(
xbaa
xfbfaf
==
⇒
+≅+≅−≅
83
24/12/1
211
2 −≅−−
=+
=bax
12
22
2
1
1
268.1)(035.0)(468.0)(
bbxa
xfbfaf
==
⇒
−≅+≅−≅
KKKK
8
Metodo delle bisezioni: MatLab
function [zero,niter]=bisezione(f,a,b,toll,nmax)
x = [a, (a+b)*0.5, b]; fx = eval(f);niter = 0; I = (b - a)*0.5; while I >= toll & niter <= nmax-1
niter = niter + 1; if sign(fx(1))*sign(fx(2)) < 0
x(3) = x(2); x(2) = x(1)+(x(3)-x(1))*0.5;fx = eval(f); I = (x(3)-x(1))*0.5;
elseif sign(fx(2))*sign(fx(3)) < 0x(1) = x(2); x(2) = x(1)+(x(3)-x(1))*0.5;fx = eval(f); I = (x(3)-x(1))*0.5;
elsex(find(fx==0)); x(2) = x(find(fx==0)); I = 0;
endendzero = x(2);return
9
Metodo delle bisezioni: MatLab
>> format short e
>> f='log(x+1)+sqrt(x+2)-1';
>> [csi,Niter]=bisezione(f,-1/2,0,1e-20,9);
1.0000e+000 -2.5000e-001 3.5194e-002 2.0334e-002
2.0000e+000 -3.7500e-001 -1.9525e-001 1.0467e-001
. . . . . . . . .
9.0000e+000 -2.7051e-001 -3.0503e-004 1.7422e-004
>> csi, Niter
csi = -2.7051e-001
Niter = 9
10
Metodi iterativi: generalità• Un metodo iterativo fornisce una successione di approssi-
mazioni {xn} tale che:
• In generale:
con Gn funzione di iterazione
• Errore di troncamento:
• Ordine (p) e fattore (C) di convergenza:
• Efficienza computazionale:
ξ=∞→ nn
xlim
( ) +−−− ∈≥= NnkxxxGx knnnnn 1,,, 21 K
nn xe −= ξ
Ce
ep
n
n
n=+
∞→
1lim
rpE /1=
11
Metodo delle bisezioni: convergenza
xk ξ bk-1ak-1
kI
ak
ξ
bkak-1 xk+1
kI
1+kI
Errore al passo k:
kkk
kk Iabxe =−
≤−= −−
211ξ
Errore al passo k+1:
22 11k
kkk
kIIabe ==
−≤ ++
Ad ogni passo il massimo dell’errore si dimezza, il metodo è convergente.
12
Metodo delle bisezioni: convergenzaErrore al passo k:
( )
( )kkk
kk
kkkkkk
abeabab
ababxe
222
22/
200
222
2211
−≤⇒
−==
−=
=−
=−
≤−=
−−
−−−−
L
ξ
La quale fornisce una stima a priori dell’errore com-messo dopo k passi, e dalla quale:
ξ=⇒=∞→∞→ kkkk
xe lim0lim
Il metodo delle bisezioni fornisce una successione di approssimazioni convergente (non monotona).
13
Metodo delle bisezioni: ordine
xk
ξ bk-1
xk-1 xk+1
211 ≅+
k
k
ee
1−−≅ kkk xxePer k grande: quindi:
Il metodo ha ordine di convergenza 1, ad ogni passo l’errore si dimezza.
14
Metodo delle bisezioni: criterio di arrestoQuando arrestare la procedura iterativa? Ad esempio quando l’intervallo di separazione è minore di una fissata tolleranza ε:
ε≤−
=− −−
nnn abab
2211
Da cui:( )
)(log)(log)(log)(log)(log)2(log)(log2
2222
222
εεεε
−−≥⇒−≥++≤−⇒≤−
abnabnnabab n
Dove n è il numero minimo di iterazioni necessarie per ottenere una soluzione con un errore assoluto mi-nore di una certa tolleranza fissata ε.
15
Metodo delle bisezioni: esempio
Esempio 3.4.1: f(x)=ln(x+1)+sqrt(x+2)-1Intervallo di separazione I=[-1/2,0], quante iterazioni sono necessarie per avere un errore minore di 10−3 ?
966.8)(log)(log 22 ≅−−≥ εabn
Dopo 9 iterazioni l’errore stimato è:
49 10766.9
25.0
2)( −==
−≤ nn
abe
1.742 10-4-0.27050789|ξ−xn|xnn
• Esercizio consigliato [GL] 1.1
16
Argomenti opzionali
• Metodo delle bisezioni:
– interpretazione geometrica
• Metodo della falsa posizione:
– interpretazione geometrica;
– convergenza e fattore di convergenza
17
Metodi iterativi ad un puntoProblema: radice di una equazione non-lineare:
( ) ( )xxxf ϕ=⇔= 0
( ) ( )ξϕξξ =⇔= 0f
⇓
( )nn xx ϕ=+1
ξ è il punto unito della trasformazione ϕ:Scelti ϕ, ed un valore iniziale x0 , la successione:
costituisce il metodo del punto unito (metodo iterati-vo ad un punto stazionario).
18
Metodo del punto unito
ξ
xy = )(xy ϕ=
0x)( 01 xx ϕ=
)( 0xϕ
)( 1xϕ
)( 12 xx ϕ=
)( 2xϕ
( )nn xx ϕ=+1
( )xx ϕ=
19
Metodo del punto unito: esempi
( ) )cos(xxxf −= { }K3215160.73908513=ξ
( ) ( ) 1)cos( 01 === − xxxxx nn ϕϕ
1.6614 10-40.73918439977149208.6326 10-30.74423735490056101.3919 10-10.6542897904977832.0326 10-10.8575532158463923.1725 10-10.540302305868141| xn -ϕ(xn)|xnn
( )( )( )
KKKK
K
K
K
0.6540.8570.540
23
12
01
======
xxxxxx
ϕϕϕ
20
Metodo del punto unito: esempi
( ) xexxf −=
( ) ( ) 001 === − xexxx xnn ϕϕ
NaNInf5Inf3.8143 1064
3.8143 1011.5154 10131.2436 1012.71832
1.71831.00001|xn-ϕ(xn)|xnn
21
Metodo del punto unito: esempi
( )
+=−=
⇔=−−=22
02 2
22
xxxx
xxxf { }2,12,1 −=x
( ) 223 −= xxϕ( ) 21 ++= xxϕ 00 =x( ) xx /214 +=ϕ( ) 22 +−= xxϕ
0.00000.00000.00000.00000
1.99041.96161.84781.4142
x1(n)
-0.9428-1.1111-0.7654-1.4142
x2(n)
2.00002.00002.0000
-2.0000
x3(n)
Inf4Inf3Inf2Inf1
x4(n)n
22
Metodo del punto unito: convergenza (c.n.)
Teorema: se la successione xn=ϕ(xn-1), con x0 dato è con-vergente a t, e se ϕ(x) è continua in t, allora t è punto unito della trasformazione ϕ(x).
Nota: si tratta di una condizione necessaria.
)()lim()(limlim 11 txxxt nnnnnnϕϕϕ ==== −∞→−∞→∞→
23
Metodo del punto unito: convergenza (c.s.)
Teorema del punto unito: sia ϕ (x) derivabile in I=[a,b] e si abbia:
a) ϕ(x) : Ι → Ιb) ∃ k∈(0,1) tale che |ϕ�(x)|≤ k con x∈I
cioè ϕ(x) sia una “contrazione�, allora:c) esiste un unico punto unito, cioè ξ∈I tale che ϕ(ξ)=ξd) ed inoltre la successione xn+1=ϕ(xn) è convergente per qualunque
scelta di x0∈I, cioè ∀x0∈I si ha:
Nota: La convergenza del metodo del punto unito dipende dalla scelta di ϕ(x) e di x0.
ξ=∞→ nn
xlim
24
Teorema del punto unito: dimostrazione
bbaaIbaIx ≤≥⇒→= )(,)(],[:)( ϕϕϕDalla:
Se vale una uguaglianza, allora a o b è punto unito di ϕ.Altrimenti:
0)()(0)()(
)()(>−=<−=
⇒−=bbbFaaaF
xxxFϕϕ
ϕ
Poiché F(x)∈C[a,b], allora esiste uno zero di F(x):
)(0)()( ξϕξξϕξξ =⇒=−=F
e quindi un punto unito per la ϕ(x).
25
Teorema del punto unito: dimostrazione
Per l’unicità del punto unito, ipotizziamo per assurdo che ne esistano due distinti ξ1 e ξ2:
( ) 21212121 )(')(')()(0 ξξζϕξξζϕξϕξϕξξ −=−=−=−<
Avendo fatto uso del teorema del valor medio:
21
21 )()()('ξξ
ξϕξϕζϕ−−
=
Dall’ipotesi b)∃ k∈(0,1) tale che |ϕ�(x)|≤ k con x∈I:
21212121 )('0 ξξξξξξζϕξξ −<−≤−=−< k
Il che è assurdo.
26
Teorema del punto unito: dimostrazione
Per la scelta di x0 si ha:
)()()( 0001 abxxkxx −<−<−≤−=− ξξξϕϕξ
Cioè x1∈I ed è una approssimazione migliore di x0 per ξ,inoltre:
)(21 abkxkkxkx nnnn −≤≤−⋅≤−≤− −− Lξξξ
Ed essendo k∈(0,1), si ha:
0)(limlim =−=−∞→∞→
abkx n
nnnξ
Quindi la successione converge qualunque sia x0∈Ι .
27
Metodo del punto unito: ordine di convergenza
( ) ( ) ( ) ( ) 01,,10 )()( ≠−=== ξϕξϕξξϕ pk pk K
Teorema: sia ϕ∈C p(I) con I intorno di un punto unito ξ di ϕ, con ϕ(xn) convergente, e si abbia:
allora l’ordine di convergenza del metodo è dato da p.
Nota: L’ordine di convergenza del metodo del punto unito dipende dalla scelta di ϕ(x).
28
Ordine di convergenza: dimostrazione
)()(1 ξϕϕξ −=−+ nn xx
Sviluppando in serie di Taylor ϕ(x) attorno a ξ:
!/))(()()(
!/))(()(')()()(
)(
)(
!!!!0
pxtx
pxtxx
pnn
pn
pnn
pnn
ξϕξϕϕ
ξϕξϕξξϕϕ
−=−
−++−+==
444 3444 21K
Dove tn è compreso tra tn e ξ, e tende a ξ per n→∞.Quindi:
0!
)(lim)(!
)()()(
1)(
1 ≠=−
−⇒−=− +
∞→+ pt
x
xx
ptx n
p
pn
n
n
pn
np
nϕ
ξ
ξξϕξ
29
Metodo del punto unito: approssimazioni
Dalla relazione:
)()( 1 ξϕϕξ −=− −nn xx
Impiegando il teorema del valor medio:
[ ][ ]
∈=−−
−
−−−
−
−
1
111
1
1
,,
)(')()(n
nnn
n
n
xx
ttx
xξ
ξϕ
ξξϕϕ
Si ottiene che:
( )ξϕξϕϕξ −=−=− −−− 111 )(')()( nnnn xtxx
30
Metodo del punto unito: approssimazioni
Dalla relazione:
( )( )
∈−=−−
−−−− ξ
ξξϕξ
,,
))(('1
1111
n
nnnnn x
xtxtx
Si ha che:
App. per difetto( )
⇒>
⇒<<≤
ξ
ξϕ
0
0
1'0x
xxse
App. per eccesso
( ) 0'1 ≤<− xϕ Approssimazioni alternatese
31
Metodo del punto unito: esempio
Esempio 3.5.1: data la funzione
( ) 2)ln( 2 +−= xxxf
Se ne ricavi la radice maggiore mediante ilmetodo del punto unito.
32
Metodo del punto unito: esempio
( ) 22
)(2)ln()(
)()(2)ln(xxh
xxgxhxgxxxf
=+=
−=+−=
>> x=linspace(0,4,1000);
>> g=log(x)+2;
>> h=x.^2;
>> plot(x,g,x,h); )(xg
)(xh
e10
01
1−
2345
2],1[ eI =
Intervallo di separazione
33
Metodo del punto unito: esempio
( ) 2)ln(02)ln( 22 +=⇒=+−= xxxxxf
Nell’intervallo di separazione I=[1,e], si ha ln(x)>0, e pertanto come funzione di iterazione si può considerare:
( ) 2)ln( += xxϕ
Nell’intervallo di separazione ϕ(x) è crescente, quindi:
exex <<⇒=≤≤= )(13)()(2)1( ϕϕϕϕ
Quindi ϕ(x) : Ι →Ι cioè è verificata l’ipotesi a) del teorema del punto unito.
34
Metodo del punto unito: esempio
Per la derivata prima si ha:
( ) ( )2)ln(2
12)ln(2
/1'2)ln(+
=+
=⇒+=xxx
xxxx ϕϕ
Nell’intervallo di separazione ϕ�(x) è positiva e decrescente:
],1[122
1)1(')('0 exx ∈<=≤< ϕϕ
Anche l’ipotesi b) del teorema del punto unito è verificata, quindi si ha convergenza per qualunque scelta di x0.
35
Metodo del punto unito: esempio
( ) 2)ln( 2 +−= xxxf
( ) 2/)1(2)ln( 0 exxx +=+=ϕ
3.3307 10-151.564462259202.6052 10-81.564462292101.7568 10-31.56666958038.6428 10-31.57531235324.3364 10-21.6186767761| xn-ϕ(xn)|xnn
36
Metodo del punto unito: esempio
Esercizio [GL] 1.3: data l’equazione:
( ) ( ) 012 2 =−−= − xexf x
separarne le radici ed approssimarle mediante opportune funzioni di iterazione (metodo del punto unito).
37
Metodo del punto unito: esempio
( ) ( )212 −−= − xexf x
-2 -1 0 1 2-1
0
1
2
3
4
5
6
( )21)(
)()()()(
−=
=
−=−
xxh
exgxhxgxf
x
>> x=linspace(-2,2,1000);
>> g=exp(-x);
>> h=2*(x-1.)^2;
>> plot(x,g,x,h);
)(xg )(xh
38
Metodo del punto unito: esempio>> format short e;
>> toll=1e-20;nmax=20;
>> phi1=‘-(log(2)+2*log(1-x))’;
>> [zero,niter]=puntounito(phi1,-3,toll,nmax);
… … … … …
2.0000e+001 -3.8519e+000 1.1858e-008
>> [zero,niter]=puntounito(phi1,-4,toll,nmax);
… … … … …
>> phi2=‘1-exp(-x/2)/sqrt(2)’;
>> [zero,niter]=puntounito(phi2,0.0,toll,nmax);
… … … … …
>> phi3=‘1+exp(-x/2)/sqrt(2)’;
>> [zero,niter]=puntounito(phi3,1.5,toll,nmax);
… … … … …
39
Metodo del punto unito: esempio
( ) ( )212 −−= − xexf x
ξ3∈ [1,1.5]
-3.85187949-3.85189994-3.86201044-3.87651893-3.91202300-4.00000000
xn
ξ1∈ [-4,-3]
-3.85187946-3.85173706-3.78231235-3.68601521-3.46573590-3.00000000
xn
ξ2∈ [0,0.5]
0.429565030.429563240.417941380.389221070.292893220.00000000
xn
1.500000000
-----------201.35850092101.3577101631.3629172721.334013591
xnn
40
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2210
-18
10-16
10-14
10-12
10-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
Iterazione
ξ1ξ2ξ3
Metodo del punto unito: esempio
41
Metodi iterativi: criterio di arresto
Problema: quando arrestare una procedura iterativa?• Errore minore di un valore prefissato (valutazione dell’errore?)• Numero di iterazioni uguale ad un valore massimo fissato (stima
dell’errore commesso?)
Dato un metodo iterativo ad un passo stazionario, si dimostra che se la derivata prima della funzione di iterazione in modulo è minore ad uno nell’intervallo di separazione, allora la differenza tra due soluzione successive fornisce una maggiora-zione dell’errore commesso (rispetto alla soluzione esatta!!!!).
ε≤− −1nn xx Criterio di arresto con ε valore fissato
42
Metodi iterativi: criterio di arresto
Se il metodo verifica le ipotesi di convergenza, si ha:
1−−≤− nn xkx ξξ
1111
11
1111
)1(
)(
)()(
−−−−
−−
−−−−
−≤−−⇒−+−≤
≤−+−′=
=−+−=−+−≤−
nnnnnn
nnnn
nnnnnnn
xxxkxxxk
xxxt
xxxxxxx
ξξ
ξϕ
ϕξϕξξ
Sostituendo:
01
1
1
1
xxk
kx
xxk
kx
n
n
nnn
−−
≤−
−−
≤− −
ξ
ξ Stima dell’errore
Stima a priori dell’errore
43
Metodi iterativi: Newton-Raphson
Dato il problema f(x)=0, si consideri il metodo iterativo ad un punto, stazionario:
con f(x)∈ C(I), I=[a,b] intervallo di separazione, ed inoltre f�(x)≠ 0 in I, allora se ξ è una radice di f(x) allora è anche punto unito di ϕ(x).
( ) ( )( )xfxfxx
'T −=ϕ( )nn xx T1 ϕ=+ dove
( )( )
=−=+ Nnxfxfxx
x
n
nnn ,,0
'1
0
K
dato iniziale Algoritmo
44
Metodo di Newton-Raphson
ξ
)(xfy =
1x
)(1 xr
0x2x
)( 0xf
)( 1xf
Retta passante per (xn,f(xn)), e tangente alla f(x) in xn: ( ) ( )( )nnnn xxxfxfyxr −+= ':)(
( )( )n
nnn xf
xfxx'1 −=+Intersezione asse x:
45
Metodo di Newton-Raphson: convergenza
Teorema: sia f(x)∈ C2[a,b], f(a)·f(b)<0, f�(x)≠ 0 ∀x∈[a,b]e sia x0 estremo di Fourier di [a,b], allora:
a) esiste un unico ξ∈( a,b) , tale che f(ξ) = 0b) la successione {ϕT(xn)} è monotona e convergente a ξc) Inoltre se f(x)∈C3[a,b], allora la convergenza è (almeno) quadratica.
Per il punto c) si ha:
( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( ) 0
'''
0'
'''
'''1
'
T
22
2
T
T
≠=′′
==−
−=′
−=
ξξξϕ
ξξξ
ξξξξξϕ
ϕ
ff
fff
ffff
xfxfxx
46
Metodo di Newton-Raphson: convergenza
Teorema: sia I=[a,b], un intervallo di separazione di una radice di f(x) e sia f(x)∈ C2[a,b], f�(x)≠ 0 per x∈[a,b], allora esiste un intorno J di ξ, con J⊆ I, tale che se x0∈ J, la successione {ϕT(xn)} è convergente a ξ, e se f(x)∈C3[a,b] allora la convergenza è (almeno) quadratica.
Efficienza computazionale: 2=E
• Esercizi consigliati [GL] 1.6
47
Metodo di Newton-Raphson: esercizio
( ) 2)ln( 2 +−= xxxfEsempio 3.6.2:
Se ne ricavi la radice maggiore mediante il metodo di Newton-Raphson; si confronti il risultato ottenuto con quello ottenuto nell’esercizio 3.5.1 (soluzione mediante il metodo del punto unito).
Traccia delle soluzione:1. Individuare l’intervallo di separazione2. Verificare che siano soddisfatte le ipotesi del
teorema di convergenza ([G] 3.6.1)3. Individuare l’estremo di Fourier
48
Metodo di Newton-Raphson: esempioTeorema (3.6.1): sia f(x)∈ C2[a,b], f(a)·f(b)<0, f�(x)≠ 0 ∀x∈[a,b] e
sia x0 estremo di Fourier di [a,b], allora:
a) esiste un unico ξ∈( a,b) , tale che f(ξ) = 0b) la successione {ϕT(xn)} è monotona e convergente a ξc) Inoltre se f(x)∈C3[a,b], allora la convergenza è (almeno) quadratica.
( ) 2)ln( 2 +−= xxxf ],1[ eI =Int. di separazione:
Le ipotesi per la convergenza sono soddisfatte:0)()1(],1[)( 2 <∈ effeCxf
021)(21)( 2 <−−=′′−=′x
xfxx
xf
0)()( >′′ efef quindi e è estremo di Fourier
49
Metodo di Newton-Raphson: esempio
( ) 2)ln( 2 +−= xxxf
( ) exxx =+= 02)ln(ϕPunto unito:
1.0806 10-31.56489625.1725 10-31.570958532.2667 10-71.56446231.0535 10-31.56578604
Metodo delle TangentiMetodo del Punto Unito
9.5479 10-15
7.6513 10-8
2.1508 10-4
2.5696 10-2
1.3540 10-1
|xn-ϕ(xn)|
1.56446221.56446231.5647325
1.59665471.7320508
xn
------------------20------------------10
9.7700 10-151.56446225
7.6938 10-21.594916828.1479 10-11.85236561
|f(xn)|xnn
50
Metodo di Newton-Raphson: esempio
0 5 10 15 2010
-15
10-10
10-5
100
Iterazione
Punto UnitoNewton-Raphson
51
Metodo di Newton-Raphson: esempio
( ) ( )212 −−= − xexf x
]5.1,1[],5.0,0[],3,4[ 321 ==−−= III
Esercizio [GL] 1.3:
Int. di separazione:
Le ipotesi per la convergenza sono soddisfatte:
)()( ICxf ∞∈
( ) 4)(14)( −=′′−−−=′ −− xx exfxexf
in
38.14ln,0)( −≅−==′′ xxf
321 ,,0)( IIIxf ≠′′
52
Metodo di Newton-Raphson: esempio
( ) ( )212 −−= − xexf x
]5.1,1[],5.0,0[],3,4[ 321 ==−−= IIIInt. di separazione:
4)( −=′′ − xexf
Estremi di Fourier (da verificare come esercizio):
5.10
4
]5.1,1[]5.0,0[]3,4[
F
F
F
3
2
1
==
−=
==
−−=
xxx
III
53
Metodo di Newton-Raphson: esempio
( ) ( )212 −−= − xexf xEsercizio [GL] 1.3:
-------0.429565031………….-------5--------------………….-------….
1.375459450.33333333-5.91625392-3.867098381
ξ1∈ [1,1.5]
-------
-3.85187949-3.85187951-3.85205753
-4.00000000x(n)
ξ1∈ [-4,-3]
-3.85187949
-4.04913482-4.46880178-5.11431212
-3.00000000x(n)
ξ1∈ [0,0.5]
-------
0.4295650270.429502840.42171570
0.00000000x(n)
1.500000000
-------8
1.3585009241.3585010231.358807912
x(n)n
54
Metodo di Newton-Raphson: esempio
Esercizio [GL] 1.3: risolto con il metodo del p.u.
ξ3∈ [1,1.5]
-3.85187949-3.85189994-3.86201044-3.87651893-3.91202300-4.00000000
xn
ξ1∈ [-4,-3]
-3.85187946-3.85173706-3.78231235-3.68601521-3.46573590-3.00000000
xn
ξ2∈ [0,0.5]
0.429565030.429563240.417941380.389221070.292893220.00000000
xn
1.500000000
-----------201.35850092101.3577101631.3629172721.334013591
xnn
55
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010
-16
10-12
10-8
10-4
100
104
Iterazioni
ξ1 ΠΥξ2 ΠΥξ3 ΠΥξ1 ΝΡξ1 ΝΡξ2 ΝΡξ2 ΝΡ
Metodo di Newton-Raphson: esempio
• Esercizi consigliati [GL] 1.5, 1.6
56
Metodo di Newton-Raphson: radici multiple
Se lo zero della funzione f(x) ha molteplicità multipla (maggiore di uno) il metodo delle tangenti ha convergenza lineare, modifica:
( )( ) xxxfxfxx T )1()(
')( ννϕνψ −+=−=
Se la molteplicità non è nota, detta F(x)=f(x)/f�(x):
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )xfxfxf
xfxfxxFxFxx
''''
')( 2
*
−−=−=ϕ
Entrambe i metodi hanno convergenza quadratica. Efficienza?
• Esercizio consigliato [GL] 1.22
57
Metodi iterativi: secanti con estremo fisso
( ) ( ) ( ) ( )
=−−
−==+ Nnxfcf
xcxfxxx
x
n
nnnnn ,,0S1
0
Kϕ
dato iniziale Algoritmo
Teorema: sia f(x)∈C2[a,b], f(a)·f(b)<0, f�(x)≠ 0 ∀x∈[a,b], c estremo di Fourier di [a,b] e x0 l’altro estremo di [a,b], allora:
a) esiste un unico ξ∈( a,b) , tale che f(ξ) = 0b) la successione {ϕS(xn)} è monotona e convergente a ξc) la convergenza è lineare.
58
Metodi iterativi: secanti con estremo variabile
( ) ( ) ( )
=−−
−=−
−+ Nn
xfxfxxxfxx
xx
nn
nnnnn ,,1
1
11
10
K
dati iniziali Algoritmo
• Si dimostra che: se f(x)∈C2(I), dove I è un intorno simmetrico di ξ in cui f�(x)≠0, allora esiste un insieme A⊆I in cui il metodo converge con convergenza superlineare (p=(1+√5)/2).
• Confronto tra le efficienze dei tre metodi:– Newton-Raphson: Ε=√2– Secanti estremi fissi: Ε=1– Secanti estremi variabili: Ε=1.62
• Esercizio consigliato [GL] 1.13
59
Sistemi di equazioni non lineari
Sistema di due equazioni non lineare:
==
0),(0),(
yxgyxf
Linearizzazione:
≈−+−+≈≈−+−+≈
0)(),()(),(),(),(0)(),()(),(),(),(
iiiyiiixii
iiiyiiixii
yyyxgxxyxgyxgyxgyyyxfxxyxfyxfyxf
60
Sistemi di equazioni non lineari
La soluzione del sistema linearizzato:
−=−+−−=−+−
),()(),()(),(),()(),()(),(
iiiiiyiiix
iiiiiyiiix
yxgyyyxgxxyxgyxfyyyxfxxyxf
Fornisce una soluzione approssimata del problema di partenza:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
−−=−−=
+
+
)det(/)det(/
1
1ii
xii
xi
ii
iiy
iiy
iii
gffgyyfggfxx
JJ ( )
( ) ( )
( ) ( )
= i
yi
x
iy
ixi
ggff
J
61
Equazioni non lineari: esercizi d’esameEsercizio [GL] 7.11: data l’equazione:
( ) 04 32 >=− αα xx
1) separarne graficamente le soluzioni positive, ed individuare per quali valori di α l’equazione ammette una radice ξ>1;
2) posto α=1 introdurre una opportuna funzione di iterazione:
adatta ad approssimare la radice ξ>1;3) in base al comportamento della ϕ(x) caratterizzare la suc-
cessione delle approssimazioni (ordine di convergenza, monotonia, ecc…).
]5.1,1[)( ∈= xxx ϕ
62
Equazioni non lineari: esercizi d’esame
Esercizio [GL] 7.36: considerata l’equazione:
0)cos(3 =−+ xx α
1) individuare per quali valori di α reale tale equazione non ammette radici positive;
2) per α=1/3 separare la radice positiva;3) individuare una funzione di iterazione adatta a generare un
procedimento iterativo convergente, specificando i motivi della convergenza ed il coefficiente di contrazione. Le risposte vanno motivate.
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