View
27
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
DIKTAT
KALKULUS 3
UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI
JAKARTA
2012
BAB 1
BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner.
Bilangan kompleks mempunyai bilangan konjugat yang digunakan pada operasi arimatik pembagian.
Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam dua bentuk:
1. Bentuk Persegi (Rectangular)
2. Bentuk Polar
Gambar 1. Sistem Bilangan
A. Bentuk Persegi
Rumus Dasar :
C = A + jB
Dimana :
A = bilangan riil
j = tanda operator imajiner
B = bilangan imajiner
Gambar 2. Bentuk Persegi
B. Bentu Polar
A = C cos α + jC sin α
C = √ A2+B2
Operasi Aritmatik
1. Penambahan
Misal C1 = ±A1 ± jB1 dan C2 = ±A2 ± jB2
Maka :
FUNGSI N VARIABEL
A. Definisi Fungsi n VariabelSuatu fungsi f dari n variabel adalah suatu aturan yang memberikan
kepada masing-masing pasangan terurut bilangan real rangkap n di dalam
daerah asal sebuah bilangan real tunggal yag dinyatakan oleh :
Contoh :
1)
2)
B. Diferensial Parsial
Jika f adalah fungsi 2 variabel, dinotasikan , maka diferensial parsialnya adalah
Aturan untuk pencarian diferensial parsial dari :
1) Untuk mencari , anggap y konstanta dan diferensialkan terhadap x.
2) Untuk mencari , anggap x sebagai kostanta dan diferensialkan
terhadap y.
Pendiferensialan beserta aturannya ini berlaku juga untuk fungsi 3 variabel atau lebih.
Latihan 11) Carilah turunan parsial pertama dari fungsi berikut!
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2) Carilah diferensial parsial yang ditunjuk!
a) dari !
b) dari !
c) dari !
d) dari !
e) dari !
C. Bidang singgung dan Diferensial TotalAndaikan f mempunyai diferensial parsial kontinu. Satu persamaan
bidang singgung terhadap permukaan di titik adalah
Untuk fungsi 2 variabel , maka diferensial total didefinisikan oleh :
Untuk fungsi 3 variabel atau lebih, berlaku hampir sama dengan
fungsi 2 variabel. Sebagai contoh untuk fungsi 3 variabel ,
maka diferensial total didefinisikan oleh :
Latihan 2
1) Carilah persamaan bidang singgung terhadap kurva yang diberikan pada titik berikut ini!
a)
b)
c)
d)
e)
2) Carilah diferensial total dari fungsi berikut!
a)
b)
c)
d)
e)
D. Aturan Rantai dan Pendiferensialan Implisit
Andaikan adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi,
dengan dan . Keduanya adalah fungsi dari t yang terdiferensiasi maka z adalah fungsi dari t yang terdiferensiasi dan berlaku:
Andaikan adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi,
dengan dan . Keduanya adalah fungsi dari s dan t yang terdiferensiasi maka :
Untuk pendiferensialan implisit, rumus yang digunakan adalah :
dengan F didefinisikan sebagai .
Latihan 3
1) Gunakan aturan rantai untuk mencari atau !
a)
b)
c)
d)
e)
2) Gunakan aturan rantai untuk mencari dan !
a)
b)
c)
d)
e)
3) Gunakan diferensial implisit untuk mencari dan !
a)b)
c)
d)
e)
BAHAN UAS KALKULUS 3:
BAB 1 INTEGRAL LIPAT DUA
A. Sifat
1)
2)
3)
B. Integral Berulang
Secara umum :
Teorema Fubini :
Jika f kontinu pada segi empat , maka :
Catatan :
Latihan 1
1) Hitunglah integral berulang berikut ini!
a.
b.
c.
d.
e.
2) Hitunglah integral lipat dua berikut ini!
a. dengan
b. dengan
c. dengan
d. dengan
e. dengan
3) Carilah volume benda pejal jika dibatasi oleh :
a. Paraboloid eliptik dan di atas bujur sangkar
b. Bidang dan di atas segi empat
c. Paraboloid eliptik dan di atas bujur sangkar
TUGAS TERSTRUKTUR 1 MK. KALKULUS 3
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti!
1) Hitunglah integral berulang berikut ini!
a.
b.
2) Hitunglah integral lipat dua berikut ini!
a. dengan
b. dengan
3) Carilah volume benda pejal jika dibatasi oleh permukaan dan di
atas persegi panjang !
SELAMAT MENGERJAKAN
C. Integral pada Daerah Umum
Jika f kontinu pada daerah D jenis I sehingga
maka :
Jika f kontinu pada daerah D jenis II sehingga
maka :
Latihan 2
1)
2) dengan !
3) Hitunglah dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh
parabola dan !
4) Carilah volume benda pejal yang terletak di bawah paraboloid
dan di atas daerah D di bidang-xy yang dibatasi oleh garis
serta parabola !
5) Hitunglah dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garis
dan parabola !
D. Integral Berulang pada Koordinat Polar
Jika f kontinu pada segi empat polar R yang diberikan oleh
, , dengan , maka :
Jika f kontinu pada daerah polar berbentuk :
maka :
Catatan :
Latihan 3
1) dengan !
2) Hitunglah dengan R adalah daerah di setengah bidang
atas yang dibatasi oleh lingkaran dan !
3) Hitunglah dengan R adalah daerah di kuadran I yang dibatasi
oleh lingkaran dan !
4) dengan !
5) dengan !
TUGAS TERSTRUKTUR 2 MK. KALKULUS 3
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti!
1)
2) dengan !
3) Hitunglah dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh
dan !
4) Hitunglah dengan R adalah daerah di setengah bidang atas
yang dibatasi oleh lingkaran dan !
5) dengan
SELAMAT MENGERJAKAN
BAB 2 INTEGRAL LIPAT TIGA
A. Teori Fubini untuk Integral Lipat Tiga
Jika f kontinu pada kotak , maka :
B. Integral Lipat Tiga pada Daerah Umum
Jika f kontinu pada daerah E jenis I sehingga
maka :
Untuk :
maka :
Untuk :
maka :
Jika f kontinu pada daerah E jenis II sehingga
maka :
Jika f kontinu pada daerah E jenis III sehingga
maka :
Latihan 4
1) dengan !
2) dengan !
3)
4)
5)
C. Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder dan Koordinat Bola
Koordinat Silinder
Catatan :
Koordinat Bola
Catatan :
Latihan 5
1)
2)
3)
4)
5)
TUGAS TERSTRUKTUR 3 MK. KALKULUS 3
Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti!
1) dengan :
2)
3)
4)
5)
Catatan :
Nilai a, b, dan c diambil dari 3 digit terakhir NPM Anda. Contoh : 20074150035.
Maka nilai a = 0, b = 3, dan c = 5.
SELAMAT MENGERJAKAN
Recommended