VEZBA1

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Linearno programiranje

Problemi iz oblasti proizvodnje, organizacije transporta, upravljanja zalihama, organizacije obrazovanja, odnose se na minimizaciju trokova i maksimizaciju dobiti. Predstavljaju se matematikim modelom, a zatim reavaju metodoma linearnog programiranja (LP).

Matematiki model problema se sastoji od ogranienja oblika:

i funkcije cilja (ili kriterijuma):

Reavanjem postavljenog sistema jednaina (nejednaina), dobija se oblast dopustivih reenja, D, u kojoj je potrebno odrediti optimalno reenje, tj. minimum ili maksimum funkcije kriterijuma.

grafika metoda

Grafika metoda se primenjuje na probleme linearnog programiranja sa dve nepoznate. Matematiki model je oblika:

Ovaj sistem treba predstaviti grafiki, u koordinatnom sistemu, a zatim za postavljenu funkciju cilja

odrediti minimalnu, odnosno maksimalnu vrednost. Grafiki prikaz ogranienja ke konkavna (konveksna) oblast dopustivih reenja D, preko koje transliramo funkciju , i na taj nain odreujemo minimum, odnosno maksimum funkcije cilja. Znai, reenje sistema je ono , za koje je , odnosno, . Na sledeim slikama, dat je prikaz opisanog problema.

Zadaci

1. Korienjem grafike metode LP za sledeu funkciju kriterijuma i model ogranienja,

odrediti:a. Optimalnu vrednost promenljivih i minimalnu vrednost funkcije kriterijuma.

b. Optimalnu vrednost promenljivih i maksimalnu vrednost funkcije kriterijuma.

Reenje:a. Minimalnu vrednost funkcija kriterijuma dostie u taki *, koja je u preseku pravih p1 i p2, a iznosi -3. Imamo da je:

b. Maksimalnu vrednost funkcija kriterijuma dostie u taki , koja je u preseku pravih p1 i p3, a iznosi 3. Imamo da je:

Reavanje zadatka je prikazano na sledeoj slici. Oblast dopustivih reenja (trougao) je predstavljena podebljano i oznaena sa D.

2. Odrediti minimalnu vrednost funkcije kriterijuma uz sledea ogranienja,

korienjem grafike metode. Pitanja:a. Kako glasi optimalno reenje i koliko iznosi minimalna vrednost funkcije kriterijuma?b. Da li je reenje optimalno i za funkciju kriterijuma , iju maksimalnu vrednost treba odrediti?c. Koji koeficijent treba da stoji u drugoj nejednaini uz promenljivu x2, pa da postoji beskonano mnogo optimalnih reenja?

Reenje:a. Optimalno reenje je u taki , koja je u preseku pravih p2 i p3, a za koju funkcija kriterijuma dostie minimum i iznosi 25. Imamo da je:

b. Imamo da je , tako da je taka A optimalno reenje (maksimum) i ove funkcije kriterijuma, ali ne i jedino. Ova funkcija ima beskonano mnogo optimalnih reenja, koja se nalaze na dui AB (taka je u preseku pravih p1 i p3). Imamo da je:

, u optem obliku je

c. Da bi postojalo beskonano mnogo optimalnih reenja, potrebno je da prava p2 ima isti koeficijent pravca kao i funkcija kriterijuma . Koeficijent pravca funkcije kriterijuma je , tj:

Kako je koeficijent pravca prave p2, , tj:

da bi koeficijent pravca prave p2 bio -1/2 uz x2 je potrebno postaviti 2. Novi oblik ove prave, odnosno ogranienja, je , a optimalna reenja se nalaze na dui CD (taka je u preseku pravih p3 i p4, a taka je u preseku pravih i p3). Imamo da je:

, u optem obliku je

* Koordinate presene take dveju pravih odreujemo reavanjem sistema dveju jednaina pravih.

_1065941143.unknown

_1068646867.unknown

_1068647820.unknown

_1068649061.unknown

_1068650663.unknown

_1068659002.unknown

_1068659122.unknown

_1068649316.unknown

_1068649501.unknown

_1068649462.unknown

_1068649094.unknown

_1068648655.unknown

_1068648894.unknown

_1068649020.unknown

_1068648490.unknown

_1068648533.unknown

_1068647072.unknown

_1068647326.unknown

_1068647460.unknown

_1068647019.unknown

_1068645654.unknown

_1068646442.unknown

_1068646620.unknown

_1068645683.unknown

_1068645575.unknown

_1068645595.unknown

_1068645336.unknown

_1068645391.unknown

_1068554452.unknown

_1065940746.unknown

_1065941048.unknown

_1065941114.unknown

_1065940913.unknown

_1065940376.unknown

_1065940657.unknown

_1065940220.unknown