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Vettori
Dott. Daniele GregoriCorso di Fisica LAFacoltà di IngegneriaAerospaziale e MeccanicaUniversità di Forlì
Le grandezze fisiche
Lo scopo della fisica è quello di ricavare le leggi che legano le varie grandezze fisiche.Le grandezze fisiche sono le quantità che si possono misurare.Durante il corso incontreremo due diversi tipi di grandezze fisiche: quelle scalari definite univocamente da un solo numero con unità di misura e quelle vettoriali definite da direzione, verso e modulo con la sua unità di misura.Grandezze scalari sono la massa, l’energia, l’entropia,…Grandezze vettoriali sono la forza, il momento angolare,l’impulso,…
Vettori nel piano
i
j
iPP ejyixV ˆˆ
V
θ
ρ
O
P ≡ (ρ,θ) ≡ (xP,yP)
x
y
yP
xP
Coordinate cartesiane
Coordinate polari
i e j sono i versori ovvero i vettori unitari diretti lungo gli assi x e y
P
P
PP
x
y
yx
arctan
22
sin
cos
P
P
y
x
Rappresenta il modulo del vettoree si indica anche con la lettera delvettore senza la freccia: VUnità immaginaria
Vettori nello spazio
cos
sinsin
cossin
P
P
P
z
y
x
P
P
P
PPP
x
y
z
zyx
arctan
arccos
222
V
VVzyxVVkzjyixV PPPPPP
ˆˆˆˆ 222
Con:0<φ<2π 0<θ<π
Coordinate cartesiane
Coordinate polari
z
O
P≡(ρ,θ,φ)≡(xP,yP,zP)
y
x
zP
yP
xP
φ
θ
ρ
k
i
j
V
modulo versore
Somma di vettori nel piano
Abbiamo 2 vettori V e W di cui sono noti i moduli (o ampiezze) e l’angolo θ che formano. Calcolare il vettore somma (modulo e angolo che forma con uno i due vettori).
V
θ
WO
V
WO
π-θS
φ
Somma di vettori nel piano
cos2222 abbac
sinsinsin
cba
Per rispondere ai due quesiti precedenti si usano il teorema di Carnot e il teorema dei seni:
Teorema di Carnot:
Teorema dei seni:
a b
c
Somma di vettori nel piano
cos2)cos(2 22222 VWWVVWWVS
V
WO
π-θS
φ
Tornando al nostro problema:
sinarcsinsinsinS
WSW
NOTA: non usiamo più la frecciaperchè stiamo considerando i moduli dei vettori
coscos
sinsinNota:
Somma e differenza di vettori con le componenti cartesiane
jyixV
jyixV
ˆˆ
ˆˆ
222
111
jyyixxVVD
jyyixxVVS
ˆ)(ˆ)(
ˆˆ
212121
212121
Consideriamo due vettori nel piano di cui sono note le componenti cartesiane.
V1
V2
-V2
S
D
jiWVD
jiWVS
jiW
jiV
ˆˆ5
ˆ7ˆ
ˆ3ˆ2
ˆ4ˆ3
Esempio:
x
y
Somma e differenza di vettori con le componenti cartesiane
kzjyixV
kzjyixV
ˆˆˆ
ˆˆˆ
2222
1111
kzzjyyixxVVD
kzzjyyixxVVS
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
21212121
21212121
Consideriamo due vettori nello spazio di cui sono note le componenti cartesiane
Ricaviamo la somma e la differenza come:
Esercizio: ricavare la somma e la differenza tra
kjiVzjiV ˆ3ˆ2ˆ5ˆ2ˆ7ˆ3 21
Prodotto scalare
cos2121 VVVV
)()()( 21212121 zzyyxxVV
Il prodotto scalare associa a due vettori un numero reale
V1
θ
V2O
Se sono date le componenti cartesiane si calcola come
Notiamo che il prodotto scalare vale zerose i due vettori sono ortogonali ovvero secos θ =0 .
Esercizio: Stabilire quali dei seguenti vettori sono ortogonali fra loro:
kiVkjiVzjiV ˆ9ˆ6ˆ3ˆ2ˆ5ˆ2ˆ7ˆ3 321
Nota: è facile verificare che
0ˆˆ
0ˆˆˆˆ
1ˆˆˆˆˆˆ
kj
kiji
kkjjii
Prodotto vettore
sinˆ2121 WVVVVW
1V 2V
W
x
y
θ
Dati due vettori complanari, si può definire il prodotto vettore (o prodotto esterno)come il vettore
ortogonale al piano e il cui verso è pari al verso di avanzamento di una viteper portare il primo vettore sul secondo descrivendo l’angolo minore possibile (angolo θ).
Versore
Vale la proprietà antisimmetrica:
1221 VVVV
Nota: il prodotto esterno vale zero quando i due vettori sonoallineati (θ=0°, θ=180°)
Vettori paralleli Vettori
antiparalleli
Il prodotto vettore in componenti cartesiane
212121212121
222
11121ˆˆˆ
ˆˆˆ
xyyxkxzzxjyzzyi
zyx
zyx
kji
VVW
kzjyixV
kzjyixV
ˆˆˆ
ˆˆˆ
2222
1111
Date le componenti cartesiane dei vettori:
Il prodotto esterno si calcola come:
kjiVzjiV ˆ3ˆ2ˆ5ˆ2ˆ7ˆ3 21
Esercizio: calcolare il prodotto dei due vettori e verificare che risulta ortogonaleai due vettori e determinarne il versore
Nota: è facile verificare che
ikj
jki
kji
kkjjii
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
0ˆˆˆˆˆˆ
Svolgimento
3,2,5ˆ3ˆ2ˆ5
2,7,3ˆ2ˆ7ˆ3
2
1
kjiV
zjiV
41,19,17ˆ41ˆ19ˆ17
325
273
ˆˆˆ
21
kji
kji
VVW
08213351)2()41(7)19(3171 VW
012338853)41()2()19(5172 VW
Dati i due vettori:
Il prodotto vettore risulta:
Verifichiamo che è ortogonale ai primi due vettori:
Svolgimento
Ricaviamo il versore W
kjiW
WW ˆ41ˆ19ˆ17
2311
1ˆ
Per prima cosa determiniamo il modulo
41,19,17 W
del vettore
2311)41()19(17 222 WW
Quindi il versore risulta essere
Derivata di vettori
ktzjtyitxtW ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
Dato un vettore consideriamo le sue componenti, in un sistema di riferimento dato, dipendenti da un parametro.
Possiamo definire la derivata delle componenti rispetto a quel parametro:
ktzdt
djty
dt
ditx
dt
dtW
dt
d ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
Esempio, sia dato il vettore
3232 ,,ˆˆˆ)( ctbtatkctjbtiattS
Calcolare le derivate prima e seconda
Svolgimento
Possiamo calcolare la derivata rispetto al parametro t:
kctjbtiatVtSdt
d ˆ3ˆ2ˆ)()( 2
E allo stesso modo procedere per calcolare la derivata seconda:
kctjbtatVdt
dtS
dt
d ˆ6ˆ2)()()(2
2
Altro esempio, consideriamo il seguente vettore spostamento (deve avere ledimensioni di una lunghezza):
kctjbtiatS ˆ5ˆ2ˆ6)( 32
3
2
/1
/2
5.0
smc
smb
macon :
Svolgimento
1) Quanto vale il modulo della velocità per t=2s ?2) Quanto vale il modulo dell’accelerazione per t=2s ?3) Scrivere i versori4) Che angolo formano velocità e accelerazione ?Per prima cosa ricaviamo le componenti di velocità e accelerazione:
kctjbtatVdt
dtS
dt
d
kctjbttVtSdt
d
ˆ30ˆ4)()()(
ˆ15ˆ4)()(
2
2
2
Ora sostituendo a t il valore 2 s e alle costanti b,c i loro valori otteniamo
2/)ˆ60ˆ8()2(/)ˆ60ˆ16()2( smkjasmkjV
Svolgimento
2222 )/(38566016)2( smV Il modulo quadro della velocità al tempo t=2s vale:
Il modulo quadro dell’accelerazione a t=2s vale:22222 )/(3664608)2( sma
I versori sono:
kja
kjV
ˆ60ˆ83664
1)2(ˆ
ˆ60ˆ163856
1)2(ˆ
Per ricavare l’angolo fra accelerazione e velocità al tempo t=2s possiamo considerare il prodotto scalare e il prodotto vettore fra i due versori che ci forniscono rispettivamente cos θ e sin θ.
radaV 128050.0cos991812.0
36643856
6060816ˆˆ
Abbiamo ambiguità sul segno giustoTuttavia l’angolo è trovato.
Svolgimento
Anche se l’angolo è stato trovato, ricaviamo il seno dal prodotto vettore:
radrad
ii
kji
Va
26964.3,128050.0127701.0sin
ˆ127701,014128384
)6016608(ˆ
60160
6080
ˆˆˆ
36643856
1ˆˆ
121
rad128.0
In questo caso possiamo dare l’angolo che formano i due vettori in modulo, per tanto è:
Verificare se calcolavo avrei ottenuto la prima soluzione col segno cambiato.
aV ˆˆ
Integrali
Come nel caso precedente possiamo definire l’integrale delle componenti diun vettore
ktzjtyitxtw ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
kdttzCjdttyCidttxCCdttwtW ˆ)(ˆ)(ˆ)()()( 321
Costante adittiva che possiamo ricavare dalle condizioni iniziali
Esercizio *
t
dttavtv0
)()0()(
Un punto si muove su una traiettoria rettilinea, con accelerazione costante a=2m/s2, partendo da fermo. Calcolare:1) Qual è la velocità del punto dopo 5s2) Qual è la velocità media nell’intervallo di tempo da 0s a 5s
* L’esercizio è tratto da: C. Mencuccini, V. Silvestrini “Fisica I”
Il punto parte da fermo quindi v(0)=0
NOTA: Il moto è unidimensionale e in questo caso nonè necessario mettere la freccia sopra ai vettori.
Nel nostro caso a(t) è una costante e l’espressione precedente diventa:
smvsmttv /10)5(/2)( Per calcolare la velocità media ricordo che il valore medio di una funzione in un intervallo(a,b) è dato da:
b
a
dxxfab
f )(1
Svolgimento
Il calcolo del valore medio è:
smtdttv
o/5
5
025
5
12
5
1 525
0
5
0
Domanda: se il punto fosse partito con velocità iniziale pari a 1m/s quale sarebbeil valore medio della velocità nell’intervallo tra 2s e 5s ?
Domanda: sapendo inoltre che il punto partiva nella posizione s(0)=0m a cheDistanza dall’origine si trova per t=4s?
t t
msmtdttdttvsts0 0
2 16)4(2)()0()(
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