ULAŞTIRMA MODELLERİ

11

ULAŞTIRMA MODELLERİULAŞTIRMA MODELLERİ

Ulaştırma Modelleri, doğrusal programlama problemlerinin özel bir hali olup, belirli merkezlerde üretilen ürünlerin,belirli hedeflere minumum maliyetlerle taşınması algoritmasıdır ve ilk defa 1947 yılında Hitchock Petrol Endüstrisinde uygulanmıştır.

Ulaştırma modellerinde kısıtlayıcılar, arz merkezlerinin kapasitesi ve talep merkezlerinin isteklerine bağlı olarak formüle edilmektedir. Ayrıca, taşıma maliyetinin, taşınacak ürünlerin miktarına göre değiştiği varsayılmaktadır.

22

MODELİN GELİŞTİRİLMESİMODELİN GELİŞTİRİLMESİ

• Ulaştırma modeli şeklinde formüle edilen bir problem, simplex yöntemi ile çözülebildiği gibi kendine has ulaştırma algoritması, atama ve aktarma modelleri gibi tekniklerle, daha az zamanda ve daha az hesaplamalarla çözme alternatifleri vardır.

• Hitchock tan sonra, Koopmans, Dantzig, Copper ve Charnes’in geliştirdikleri teknik 1960 yıllardan itibaren aşağıdaki alanlarda yaygınca kullanılmıştır.

a)Üretim ve tüketim merkezleri arasında optimal mal dağıtım programlarının belirlenmesi,

33

b)Yapılacak işlerin makinalara dağıtımı,

c)Üretim planlaması

d)Çeşitli şebeke ağ problemleri,

e)İşletmelerin kuruluş yeri seçimi problemleri..

44

ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMIULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI

• Bir ulaştırma modelinin şematik yapısı üretim merkezleri ile tüketim merkezleri arasındaki ilişkilere bağlıdır.

• (m) kadar üretim merkezi ve (n) kadar tüketim merkezi olan bir ulaştırma modelinde;

(i) İnci üretim merkezi ancak (ai) miktarda mal arz ederken,

(j) İnci tüketim merkezi de ancak (bj) miktarda mal talep edebilmektedir.

Cij ise , 1 birim malın(kg, ton, vs) i. inci üretim merkezinden j. inci tüketim merkezine taşıma maliyetidir.

5

MODELİN ŞEMATİK YAPISIMODELİN ŞEMATİK YAPISI(4 üretim,5 (4 üretim,5 tüketim merkezi)tüketim merkezi)

Arz M.Arz M. Üretim MerkeziÜretim Merkezi Tüketim MerkeziTüketim MerkeziTalepTalep

--------- -------------------------------- ----------------------- ------------------------------------------------------------------------

a1a1 b1 b1

a2a2 b2 b2

a3a3 b3 b3

a4a4 b4 b4

b5b5

F1

F2

F3

F4

D1

D2

D3

D4

D5Σai = Σbi olmalıdır

66

VARSAYIMLARVARSAYIMLAR1) Modelde kullanılan tüm bilgiler ve probleme konu

olan mal ve hizmetler, bütün üretim ve tüketim merkezleri için aynı birim ve türden olmalıdır.

2) Her bir üretim merkezi ile her bir tüketim merkezi arasında bir birim malın taşınma ücreti belirli olmalıdır.

3) Her bir arz ve tüketim merkezlerindeki toplam arz ve toplam talep tam olarak bilinmelidir.

4) Üretim yada arz merkezlerinden dağıtılacak toplam miktar, tüketim merkezlerinde oluşan toplam talebe eşit olmalıdır.Bu eşitlik yok ise, problem dengesiz olup, KUKLA ARZ yada KUKLA TÜKETİM merkezleri eklenerek denge sağlanır.

77

ULAŞTIRMA PROBLEMİNİN STANDART ULAŞTIRMA PROBLEMİNİN STANDART GÖSTERİMİGÖSTERİMİ

Ulaştırma problemlerinin standart gösterimleri ulaştırma tabloları ile gösterilebilir. Yukarıda verilen 4 üretim merkezli ve 5 tüketim merkezli problemin tablo halinde gösterimi aşağıdaki gibidir.

88

• Bu grafik yazımın tablo halindeki ifadesi aşağıdaki gibidir.

Tüketim merkezi

T1 T2 T3 T4 T5 Arz

U1 C11

X11

C12

X12

C13

X13

C14

X14

C15

X15

a1

U2 C21

X21

C22

X22

C23

X23

C24

X24

C25

X25

a2

U3 C31

X31

C32

X32

C33

X33

C34

X34

C35

X35

a3

U4 C41

X41

C42

X42

C43

X43

C44

X44

C45

X45

a4

Toplam Talep

b1 b2 b3 b4 b5

Üre

tim

merk

ezi

99

• Xij=i üretim merkezinden j tüketim merkezine gönderilecek ürün miktarı

• Cij=i. merkezden j. merkeze taşıma maliyeti

• Bu tip problemleri Doğrusal Programlama olarak organize edebiliriz, fakat Ulaştırma Problemlerine has teknikler de geliştirilmiştir.

1010

• Amaç maliyet minimizasyonu olduğuna göreMin Z=c11x11+c12x12+...+c45x45

Kısıtlarx11+x12+x13+x14+x15≤a1

x21+x22+x23+x24+x25≤a2 Arz kısıtlarıx31+x32+x33+x34+x35≤a3

x41+x42+x43+x44+x45≤a4

x11+x21+x31+x41≥b1

x12+x22+x32+x42≥b2

x13+x23+x33+x43≥b3 Talep kısıtlarıx14+x24+x34+x44≥b4

x15+x25+x35+x45≥b5

xij≥0

1111

• Problemin uygun çözümü varsa Toplam Talep Toplam Arzdan daha çok olamaz.

5

1

4

1 jj

ii ba

1212

Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma ProblemleriProblemleri

• Ulaştırma problemlerinde Denge Durumu aşağıdaki gibi ifade edilir.

• Gerçek uygulamalı problemlerde bu dengelenmiş durum olmayabilir. Yani sağlanan arz talepten çok olabilir veya talep arzdan fazla olabilir. Bu gibi durumlarda;

4

11

4

1

5

1

5

1

5

1

4

ii jij

j j iijj axxb

1313

a)Arz Talepten Çok İsea)Arz Talepten Çok İse

• Problemi dengelemek için

farkını tüketmek için modele KUKLA

(DUMMY) tüketim merkezi eklenir.

bu kukla merkeze taşıma maliyeti “0” olur.

5

1

4

1 jj

ii ba

1414

b)Arz Talepten Az İseb)Arz Talepten Az İse

5

1

4

1 ii

jj ab

farkını kapatmak için modele “Kukla Üretim Merkezi”

eklenir.

Ancak hiçbir Tüketim Merkezi kukla üretim

merkezinden mal almaz.

1515

Ulaştırma Problemlerinin Çözüm Ulaştırma Problemlerinin Çözüm AlgoritmasıAlgoritması

• Kuzey-Batı Köşe Yöntemi• En Az Maliyetli Gözeler Yöntemi• Sıra ve Sütun En Küçüğü Yöntemi• Vogel (VAM) Yaklaşımı

1616

Çözüm Algoritmalarındaki adımlar aşağıdaki gibidir.

1. Başlangıç temel uygun çözümün bulunması

2. Bulunan çözümün optimal olup olmadığına bakılır. Bu adım aynı zamanda temel olmayan değişkenler arasında temel değişken olarak girecek değişkenler belirler.

1717

3. Çözüm optimal değilse geliştirilir, yani halihazır temel değişkenler arasında çözümü bırakacak değişkenler belirlenerek yeni temel çözüm bulunur.

4. 2. ve 3. adımlar optimal çözüm elde edilinceye kadar tekrarlanır.

1818

• Ulaştırma probleminde

m…satır sayısında, n…sütun sayısını gösterir. (m+n) sayıdaki kısıtlardan biri keyfidir.

Problem (m+n) sayıda değişkene sahip ve çözümdeki dağıtım işlemi (m+n-1) sayıdaki hücreye yapıldı ise çözüm TEMEL olduğu gibi (m+n-1) sayıda değişkeni de vardır.

n

jj

m

ii ba

11

1919

Örnek:Örnek:

Üetim merkezi Üretim miktarı Tüketim merkezi Tüketim miktarı

F1 200 birim D1 250 birim

F2 400 birim D2 200 birim

F3 250 birim D3 350 birim

850 birim 800 birim

2020

• Taşıma maliyetleri

Talep

Üretim D1 D2 D3

F1

F2

F3

10 6 57 8 86 9 12

2121

ÇözümÇözüm

• Kuzeybatı Köşe Yöntemi

D1 D2 D3 D4

F1 10X11

6X12

5X13

200 0

F2 7X21

8X22

8X23

400 0

F3 6X31

9X32

12X33

250 0

250 200 350 50

2222

• Maliyet: 200(10)+50(7)+200(8)+150(8)+200(12)+50(0) =7550 br.TL.

D1 D2 D3 D4 Arz

F1 10200

6 5 0 200

F2 750

8200

8150

0 400

F3 6 9 12200

050

250

Talep 250 200 350 50 850

2323

2.yol:2.yol: • En-az Maliyetli Gözeler Yöntemi

TCmin=50(7)+200(6)+200(8)+200(5)+150(8)+50(0)

=5350 br.TL.

D1 D2 D3 D4 Arz

F1 10 6 5200

0 200

F2 750

8200

8150

0 400

F3 6200

9 12 050

250

Talep 250 200 350 50 850

2424

3.yol:3.yol:• Sıra ve Sütun En Küçüğü Yöntemi• Bu metoda göre önce 1. sıradaki en küçük maliyetli

gözeye sıra ve sütun şartlarına bağlı kalarak “En Büyük” ayırım yapılır.

• 1. sıra şartı doyurulmamış ise, sırada bir sonraki EN KÜÇÜK MALİYETLİ gözeye kalan miktar dağıtılır.

• Böylece her defasında bir alt sıraya geçilerek aynı işlem yapılır ve her sıra ve sütun miktarı doyurularak tüm ayırımlar yapılır.

2525

Önceki ÖrnekÖnceki ÖrnekD1 D2 D3 D4 Arz

F1 10 6 5150

050

200

F2 7250

8 8150

0 400

F3 6 9200

1250

0 250

Talep 250 200 350 50 850850

TCmin=5(150)+0(50)+7(250)+8(150)+9(200)+12(50)

=6100 TL.

2626

4.yol:4.yol:

• VOGEL Yaklaşımı• VAM Yöntemi (NW) gibi çabuk başlangıç çözümü

vermez, fakat bu yaklaşımın başlangıç dağıtımları optimal çözüme oldukça yakındır.

• Bu yaklaşımda EN KÜÇÜK MALİYETLİ GÖZELER yöntemi gibi VAM ile başlangıç çözüm elde edilirken herbir hücredeki maliyetler hesaba katılır ve EN AZ DÜŞÜK maliyetli hedefleri seçmemekten doğan EK GİDERLER hesaplanır.

2727

• Bu giderlere pişmanlık veya cezalar adı verilir. Söz konusu yöntem için aşağıdaki adımlar izlenir:

1. Ulaştırma tablosundaki hücre maliyetlerinden her bir satır ve sütun için cezalar belirlenir. Bu cezaların belirlenmesinde her bir satır (sütun)da yer alan EN KÜÇÜK maliyetli eleman aynı satırda (sütunda)ki en küçük maliyete en yakın maliyetten çıkarılır.

2828

2. Belirlenen bu cezalar, satır ve sütun halinde ulaştırma tablosunun altında ve yanında yer alır. Sonra tüm satır ve sütun cezalar arasında en büyüğü seçilir ve bu seçilen cezanın karşılığı satır veya sütundaki EN KÜÇÜK MALİYETLİ hücreye mümkün en fazla dağıtım yapılır. Talep ve Arz uygunluğuna göre yapılan dağıtımdan sonra doyurulan satır ve sütun bırakılarak 3. işleme geçilir.

3. Geriye kalan hücrelerdeki maliyetler için sütun ve satır cezaları tekrar hesaplanır ve 2. adımdaki hesaplamalar yapılır.

2929

Bir şirket arabalarını 2 merkezden kiraya

vermektedir. Kiralama talebi gelen 4 merkezin

talep miktarları sırasıyla D1=9, D2=6, D3=7,

D4=9 arabadır.

Şirketin elinde fazladan

1. merkezde 15

2. merkezde 13 araba vardır.

Kira sözleşmesine göre arabalar kiralandıktan

Sonra tekrar aynı merkeze iade edilirler.

Örnek:

3030

Arabaların kiracılara ulaştırılma maliyetleri aşağıdaki

gibidir:

Bu bilgiler ışığı altında optimal taşıma şartlarını VOGEL’e

göre belirleyiniz.

D1 D2 D3 D4 Arz

M1 45 17 21 30 15

M2 14 18 19 31 13

Talep 9 6 7 9 2831

3131

Çözüm:Çözüm:

• Önce Arz ve Talep Dengesini değerlendirmek gerekir.

fark var.

O halde modele sanal bir arz (sunum) merkezi

eklemek gerekir. Bu sanal merkezin arzı 3 birim

olmalıdır. Buna göre

28a 314

1

2

1

j i

ijb

3232

D1 D2 D3 D4 Arz Satır ceza

M1 45 17 21 30 15 4

M2 14 18 19 31 13 4

M3 0 0 0 03

3 0

Talep 9 6 7 9 31

Sütun ceza

14 17 19 30

3333

• Ceza maliyetlerinin hesabı: en küçük iki maliyet arasındaki fark.

• Burada sütun 4’ün cezası en yüksek olduğundan ilk dağıtım, sütun 4’ün en küçük maliyetli hücresine olabildiği kadar yapılır.

• Burada EN KÜÇÜK MALİYET “0”dır.

• Bu hücreye M3’ün toplam arzı olan 3 birim taksi verilir. Burada 3. kukla ARZ merkezi devreden çıkar.

3434

Yeni tablo:Yeni tablo:

D1 D2 D3 D4 Arz Satır ceza

M1 45 17 21 30 15 4

M2 149

18 19 31 13 4

Talep 9 6 7 6 28

Sütun ceza

31 1 2 1

3535

• Bu adımda D1’in ihtiyacı karşılandı ve tablodan çıkarıyoruz.

D2 D3 D4 Arz Satır ceza

M1 176

21 30 15 4

M2 18 19 31 4 1

Talep 6 7 6

Sütun ceza

1 2 1

3636

D3 D4 Arz Satır ceza

M1 213

306

9 9

M2 194

31 4 12

Talep 7 6

Sütun ceza

2 1

3737

• Bütün bu dağıtımlar bir tabloda toplanırsa aşağıdaki başlangıç çözümü bulunur.

TCmin=6(17)+3(21)+6(30)+9(14)+4(19)+3(0)

=547 br. TL.

D1 D2 D3 D4 Arz

S1 45 17

6

21

3

30

6

15

S2 14

9

18 19

4

31 13

S3

(kukla)

0 0 0 0

3

3

Talep 9 6 7 9 31

3838

Çok Fabrikalı Sisteme Yeni Bir Fabrika Katılması (Atlama Taşı Yöntemi)

A Mevcut fabrikalar

AB

M

NP

Q

R

D

E

C

C

M

Fabrika kurulması planlanan yerler

Tüketim merkezleri

A B C D E Talep

M 0,42 0,32 0,46 0,44 0,48 10.000

N 0,36 0,44 0,37 0,30 0,45 15.000

P 0,41 0,42 0,30 0,37 0,43 16.000

Q 0,38 0,48 0,42 0,38 0,46 19.000

R 0,50 0,49 0,43 0,45 0,27 12.000

Üretim Maliyeti

2,70 2,68 2,64 2,69 2,62

Kapasite 27.000 20.000 25.000 25.000 25.000 72.000

3939

Çok Fabrikalı Sisteme Yeni Bir Fabrika Katılması (Atlama Taşı Yöntemi)

A B C Talep

M 10

N 15

P 16

Q 19

R 12

Kapasite 27 20 25 72

10

10

8 7

19

16

2

3,12 3,00 3,10

3,06 3,12 3,01

3,11

3,08

3,20

3,10

3,16

3,17

2,94

3,06

3,07

Toplam Maliyet = (10*3,00) + (8*3,06) + (7*3,01) + (16*2,94) + (19*3,08) + 10*3,17) + (2*3,07) = 218,950 TL