Ukuran Penyebaran Data upil

UKURAN PENYEBARAN UKURAN PENYEBARAN DATADATA

Ukuran penyebaran data adalah suatuUkuran penyebaran data adalah suatu

ukuran yang menyatakan seberapaukuran yang menyatakan seberapa

besar nilai-nilai data berbeda ataubesar nilai-nilai data berbeda atau

bervariasi dengan nilai ukuran pusatnyabervariasi dengan nilai ukuran pusatnya

atau seberapa besar penyimpanganatau seberapa besar penyimpangan

nilai-nilai data dengan nilai pusatnya. nilai-nilai data dengan nilai pusatnya.

Jangkauan (range)Jangkauan (range)

Jangkauan adalah selisih antara nilai Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang maksimum dan nilai minimum yang

terdapat dalam data.terdapat dalam data.

Jangkauan dapat dihitung dengan Jangkauan dapat dihitung dengan

rumus:rumus:

R = X R = X maksmaks – X – X minmin

Contoh :Contoh :

Tentukan range dari data : 10,6,8,2,4Tentukan range dari data : 10,6,8,2,4

Jawab :Jawab :

R = XR = Xmaksmaks – X – Xminmin = 10 – 2 = 8 = 10 – 2 = 8

Simpangan Rata-rataSimpangan Rata-rata

Simpangan rata-rata dariSimpangan rata-rata dari

sekumpulan bilangan adalah: sekumpulan bilangan adalah:

nilai rata-rata hitung harga nilai rata-rata hitung harga

mutlak simpangan-simpangannya.mutlak simpangan-simpangannya.

a. Data tunggala. Data tunggal

SR =SR =

Contoh :Contoh :

Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa

adalah : 7,5,6,3,8,7.Tentukan simpangan adalah : 7,5,6,3,8,7.Tentukan simpangan

rata-ratanya!rata-ratanya!

n

xx

Jawab: Jawab:

==

= 6= 6

SR =SR =

= = 1,33 = = 1,33

x6

783657

6

86

676863666567

Data berbobot / data kelompokData berbobot / data kelompok

SR = SR =

x = data ke-i (data berbobot )x = data ke-i (data berbobot )

= titik tengah kelas interval = titik tengah kelas interval ke-i (data kelompok ) ke-i (data kelompok )

f = frekuensi f = frekuensi

f

xxf

Contoh :Contoh :

Tentukan simpangan dari data berikut :Tentukan simpangan dari data berikut :

DataData ff xx f.xf.x ff

3-5 3-5

6-86-8

9-119-11

12-1412-14

22

44

88

66

44

77

1010

1313

88

2828

8080

7878

5,75,7

2,72,7

0,30,3

3,33,3

11,411,4

10,810,8

2,42,4

19,819,8

JumlahJumlah 2020 194194 44,444,4

xx xx

= = = 9,7= = = 9,7

SR = = SR = =

= 2,22 = 2,22

x

f

xf .

20

194

f

xxf

20

4,44

Simpangan Standar / standar deviasiSimpangan Standar / standar deviasi

Simpangan standar (S) dari sekumpulanSimpangan standar (S) dari sekumpulan

bilangan adalah akar dari jumlah deviasibilangan adalah akar dari jumlah deviasi

kuadrat dari bilangan-bilangan tersebutkuadrat dari bilangan-bilangan tersebut

dibagi dengan banyaknya bilangan atau dibagi dengan banyaknya bilangan atau

akar dari rata-rata deviasi kuadrat.akar dari rata-rata deviasi kuadrat.

a. Data tunggala. Data tunggal

S = atauS = atau

S = S =

n

xxi )(

22

n

x

n

x

Contoh :Contoh :

Tentukan simpangan baku dari data :Tentukan simpangan baku dari data :

2,3,5,8,7.2,3,5,8,7.

Jawab :Jawab :

= =

= 5 = 5

x5

78532

S =S =

==

= =

xx

22

33

55

88

77

-3-3

-2-2

00

33

22

99

44

00

99

44

2626

xx 2xx n

xx 2

5

26

2,5

2. Data berbobot / berkelompok2. Data berbobot / berkelompok

S = atauS = atau

S = S =

f

xxf2

22

f

f.x

f

fx

Contoh: Contoh:

Tentukan standar deviasi dari data berikutTentukan standar deviasi dari data berikut

DataData ff xx f.xf.x xx22 f.xf.x22

3-53-5

6-86-8

9-119-11

12-1412-14

22

44

88

66

44

77

1010

1313

88

2828

8080

7878

1616

4949

100100

169169

3232

196196

800800

10141014

JumlahJumlah 2020 198198 20242024

S = S =

==

= = 2,83 = = 2,83

22

f

f.x

f

fx

2

20

194

20

2042

01,8

KuartilKuartilKuartil adalah nilai yang membagi kelompokKuartil adalah nilai yang membagi kelompok

data atas empat bagian yang sama setelahdata atas empat bagian yang sama setelah

bilangan-bilangan itu diurutkan. bilangan-bilangan itu diurutkan.

Dengan garis bilangan letak kuartil dapatDengan garis bilangan letak kuartil dapat

Ditunjukkan sebagai berikut:Ditunjukkan sebagai berikut:

QQ11 Q Q22 Q Q33

Menentukan nilai KuartilMenentukan nilai Kuartil

a. Data tunggal / berbobota. Data tunggal / berbobot

Letak kuartil :Letak kuartil :

QQii = data ke – = data ke –

dengan i = 1,2,3 dengan i = 1,2,3

4

)1( ni

Contoh :Contoh :

Hasil pendataan usia, dari 12 anak balitaHasil pendataan usia, dari 12 anak balita

(dalam tahun) diketahui sebagai berikut(dalam tahun) diketahui sebagai berikut

4,3,4,4,2,1,1,2,1,3,3,4 , tentukan :4,3,4,4,2,1,1,2,1,3,3,4 , tentukan :

a. Kuartil bawah (Qa. Kuartil bawah (Q11))

b. Kuartil tengah (Qb. Kuartil tengah (Q22))

c. Kuartil atas (Qc. Kuartil atas (Q33))

Jawab :Jawab :

Data diurutkan : 1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,4,4Data diurutkan : 1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,4,4

a.Letak Qa.Letak Q11 = data ke – = data ke –

= data ke- 3= data ke- 3

4

)112(1

4

1

Nilai QNilai Q11 = data ke-3 + (data ke4 – = data ke-3 + (data ke4 –

data ke3)data ke3)

= 1 + (2 – 1) = 1= 1 + (2 – 1) = 1

4

1

4

1

4

1

b. Letak Qb. Letak Q22 = data ke = data ke

= data ke 6= data ke 6

Nilai QNilai Q22 = data ke 6 + (data ke7 – = data ke 6 + (data ke7 –

data ke6)data ke6)

= 3 + (3 – 3) = 3= 3 + (3 – 3) = 3

4

)112(2

2

1

2

1

2

1

c. Letak Qc. Letak Q33 = data ke = data ke

= data ke 9= data ke 9

Nilai QNilai Q3 3 = data ke 9 + = data ke 9 +

(data ke10 - data ke 9)(data ke10 - data ke 9)

= 4 + (4 – 4)= 4 + (4 – 4)

4

)112(3

4

3

4

3

4

3

Jangkauan Semi Inter Kuartil /Jangkauan Semi Inter Kuartil /

Simpangan Kuartil (Qd) Simpangan Kuartil (Qd)

didefinisikan sebagai berikut:didefinisikan sebagai berikut:

Qd = (QQd = (Q33 – Q – Q11))

2

1

b. Data Kelompok b. Data Kelompok

Nilai QNilai Qii = b + p = b + p

dengan i = 1,2,3dengan i = 1,2,3

b = tepi bawah kelas Qb = tepi bawah kelas Q ii

p = panjang kelasp = panjang kelas F = jumlah frekuensi sebelum kelas QF = jumlah frekuensi sebelum kelas Q ii

f = frekuensi kelas Qf = frekuensi kelas Q ii

n = jumlah data n = jumlah data

f

F4i.n

Contoh :Contoh :

Tentukan simpangan kuartil dari data :Tentukan simpangan kuartil dari data :

NilaiNilai ff

45-4945-4950-5450-5455-5955-5960-6460-6465-6965-6970-7470-74

3366

101012125544

JumlahJumlah 4040

Jawab :Jawab :

Untuk menentukan QUntuk menentukan Q11 kita perlu = x 40 data kita perlu = x 40 data

atau 10 data, jadi Qatau 10 data, jadi Q11 terletak pada kelas inter- terletak pada kelas inter-

val ke-3. Dengan b = 54,5; p = 5; F = 9; f = 10val ke-3. Dengan b = 54,5; p = 5; F = 9; f = 10

Nilai QNilai Q11 = 54,5 + 5 = 54,5 + 5

= 54,5 + 5 = 55 = 54,5 + 5 = 55

10

94

1.40

10

1

4

1

Untuk menetukan QUntuk menetukan Q33 diperlukan = x 40 data diperlukan = x 40 data

atau 30 data,jadi Qatau 30 data,jadi Q33 terletak pada kelas interval terletak pada kelas interval

ke-4, dengan b = 59,5; p = 5; F = 19 ; f = 12ke-4, dengan b = 59,5; p = 5; F = 19 ; f = 12

Nilai QNilai Q33 = 59,5 + 5 = 59,5 + 5 = 59,5 + 5 = 59,5 + 5

= 59,5 + 4,58 = 64,08= 59,5 + 4,58 = 64,08

4

3

12

19440.3

12

11

Jadi, jangkauan semi interkuartil atauJadi, jangkauan semi interkuartil atau

simpangan kuartil dari data di atas adalahsimpangan kuartil dari data di atas adalah

Qd = (QQd = (Q33 –Q –Q11) = (64,08 – 55)) = (64,08 – 55)

= 4,54= 4,54

2

1

2

1

PersentilPersentil

Persentil dari sekumpulan bilangan Persentil dari sekumpulan bilangan

adalah nilai yang membagi kelompokadalah nilai yang membagi kelompok

bilangan tersebut atas 100 bagian yangbilangan tersebut atas 100 bagian yang

sama banyaknya setelah bilangan -sama banyaknya setelah bilangan -

bilangan tersebut diurutkan dari yangbilangan tersebut diurutkan dari yang

terkecil sampai yang terbesar.terkecil sampai yang terbesar.

a. Data tunggal / berbobota. Data tunggal / berbobot Letak PLetak Pii = data ke = data ke

dengan i = 1,2,…,99dengan i = 1,2,…,99

Contoh :Contoh : Diketahui data : 9,3,8,4,5,6,8,7,5,7Diketahui data : 9,3,8,4,5,6,8,7,5,7 Tentukan PTentukan P2020 dan P dan P7070

100

)1( ni

Jawab :Jawab :

Data diurutkan : 3,4,5,5,6,7,7,8,8,9Data diurutkan : 3,4,5,5,6,7,7,8,8,9

Letak PLetak P2020 = data ke = data ke 2 = data ke = data ke 2

Nilai PNilai P2020 = data ke 2 + = data ke 2 +

(data ke 3 –data ke2)(data ke 3 –data ke2)

= 4 + (5 – 4) = 4 = 4 + (5 – 4) = 4

100

)110(20 5

1

5

1

5

1

5

1

Letak PLetak P7070 = data ke = data ke

= data ke 7= data ke 7

Nilai PNilai P7070 = data ke 7 + = data ke 7 +

(data ke8 - data ke7)(data ke8 - data ke7)

= 7 + ( 8 – 7 ) = 7= 7 + ( 8 – 7 ) = 7

100

)110(70

10

7

10

7

10

7 10

7

b. Data kelompokb. Data kelompok

Nilai PNilai Pii = b + p , dengan i = b + p , dengan i

= 1,2,..,99= 1,2,..,99

Jangkauan Persenti = PJangkauan Persenti = P9090 – P – P1010

f

Fin100

Contoh :Contoh :

Tentukan Jangkauan persentil dari dataTentukan Jangkauan persentil dari data

berikut :berikut :

NilaiNilai FF

50-5950-5960-6960-6970-7970-7980-8980-8990-9990-99

7710101515121266

JumlahJumlah 5050

Jawab :Jawab : Untuk menentukan PUntuk menentukan P1010 diperlukan = diperlukan =

x 50 data = 5 data, artinya Px 50 data = 5 data, artinya P1010 terletak terletak

pada kelas interval pertama denganpada kelas interval pertama dengan

b = 49,5 ; p = 10 ; F =0 ; f = 7b = 49,5 ; p = 10 ; F =0 ; f = 7

Nilai PNilai P1010 = 49,5 + 10 = 49,5 + 10

= 49,5 + 7,14 = 56,64= 49,5 + 7,14 = 56,64

100

10

7

010050.10

Untuk menetukan PUntuk menetukan P9090 diperlukan = x 50 dt diperlukan = x 50 dt = 45 data, artinya P= 45 data, artinya P9090 terletak pada kelas terletak pada kelas

interval ke 5, dengan b = 89,5; F = 44; f = 6.interval ke 5, dengan b = 89,5; F = 44; f = 6.

Nilai PNilai P9090 = 89,5 + 10 = 89,5 + 10

= 89,5 + 1,67 = 91,17 = 89,5 + 1,67 = 91,17

100

90

6

4410050.90

Jangkauan Persentil = PJangkauan Persentil = P9090 – P – P1010

= 91,17 – 56,64= 91,17 – 56,64

= 34,53 = 34,53

Latihan:Latihan:

1. Nilai tes matematika dari 5 orang siswa1. Nilai tes matematika dari 5 orang siswa

adalah sebagai berikut : 7,6,7,8,7 adalah sebagai berikut : 7,6,7,8,7

besarnya simpangan rata-rata dari databesarnya simpangan rata-rata dari data

tesebut adalah….tesebut adalah….

Jawab :Jawab :

= = 7 = = 7

SR = =SR = =

= 0,4 = 0,4

x5

78767 xx

7766778877

0011001100

JmlJml 22

xx

n

xx

5

2

2. Standar deviasi (simpangan baku) dari2. Standar deviasi (simpangan baku) dari

data 4,6,7,6,3,4 adalah…data 4,6,7,6,3,4 adalah…

Jawab : Jawab :

==

= 5 = 5

x6

436764 xx (x- )(x- ) (x- )(x- )22

446677663344

-1-1112211-2-2-1-1

111144114411

JmlJml 1212

x x

S =S =

= == =

n

xx 2)(

6

122

3. Hasil tes penerimaan pegawai baru suatu3. Hasil tes penerimaan pegawai baru suatu

perusahaan tercatat sebagai berikut :perusahaan tercatat sebagai berikut :

NilaiNilai FrekuensiFrekuensi30-3930-3940-4940-4950-5950-5960-6960-6970-7970-7980-8980-8990-9990-99

3388101020201818141477

Jika perusahaan akan menerima 75% Jika perusahaan akan menerima 75%

dari pendaftar yang mengikuti tes tersebut,dari pendaftar yang mengikuti tes tersebut,

berapakah nilai minimum yang dapatberapakah nilai minimum yang dapat

diterima?diterima?

Jawab :Jawab :

QQ11 75% 75%

Untuk menentukan QUntuk menentukan Q11 diperlukan ¼ x 80 data = diperlukan ¼ x 80 data =

20 data, artinya Q20 data, artinya Q11 terletak pada kelas interval terletak pada kelas interval

ke 3, dengan b = 49,5; p = 10; F = 11; f = 10;ke 3, dengan b = 49,5; p = 10; F = 11; f = 10;

Nilai QNilai Q11 = 49,5 + 10 = 49,5 + 10

= 49,5 + 10= 49,5 + 10

= 58,5 = 58,5

10

11480.1

10

9

4. Hasil ulangan program diklat akuntansi4. Hasil ulangan program diklat akuntansi dari 50 siswa kelas III pada salah satu dari 50 siswa kelas III pada salah satu

SMK adalah sebagai berikut:SMK adalah sebagai berikut:

Tentukan nilai PTentukan nilai P4040 dari data tersebut! dari data tersebut!

NilaiNilai FF50-5950-5960-6960-6970-7970-7980-8980-8990-9990-99

7710101515121266

Jawab:Jawab:

Untuk menentukan PUntuk menentukan P4040 diperlukan diperlukan

= x 50 dt atau 20 data, artinya = x 50 dt atau 20 data, artinya

PP4040 terletak pada kelas interval kedua, terletak pada kelas interval kedua,

dengan b = 69,5 ; p = 10 ; F = 17dengan b = 69,5 ; p = 10 ; F = 17

dan f = 15. dan f = 15.

100

40

Nilai PNilai P4040 = 69,5 + 10 = 69,5 + 10

= 69,5 + 10= 69,5 + 10

= 72,5 = 72,5

15

1710050.40

15

3

5. Hasil tes pelajaran Matematika 15 orang5. Hasil tes pelajaran Matematika 15 orang

siswa adalah sebagai berikut :siswa adalah sebagai berikut :

30,45,50,55,50,60,60,65,85,70,75,55,30,45,50,55,50,60,60,65,85,70,75,55,

60,35,30.60,35,30.

Jangkauan semi interkuartil (Qd) dariJangkauan semi interkuartil (Qd) dari

data di atas adalah…..data di atas adalah…..

Data diurutkan :Data diurutkan :

30,30,35,45,50,50,55,55,60,30,30,35,45,50,50,55,55,60,

60,60,65,70,75,85.60,60,65,70,75,85.

Letak QLetak Q11 = data ke = data ke-4 = data ke = data ke-4

Nilai QNilai Q11 = data ke-4 = 45 = data ke-4 = 45

Letak QLetak Q33 = data ke = data ke-12 = data ke = data ke-12

4

)115(1

4

)115(3

Nilai QNilai Q33 = data ke-12 = 65 = data ke-12 = 65

Jangkauan semi interkuartil (Qd):Jangkauan semi interkuartil (Qd):

( Q( Q33 – Q – Q11 ) = ( 65 – 45 ) ) = ( 65 – 45 )

= 10= 10

2

1

2

1

SELAMAT BELAJARSELAMAT BELAJAR