View
6
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
LIETUVOS EDUKOLOGIJOS UNIVERSITETAS
UGDYMO MOKSLŲ FAKULTETAS
UGDYMO PAGRINDŲ KATEDRA
Kristina Siminauskienė
UŽDAVINIŲ SU ALGEBROS ELEMENTAIS SISTEMA IR
SUNKUMAI I–IV IR V–VI KLASĖSE
MAGISTRO DARBAS
Darbo vadovas Dr. V. Grabauskienė
Vilnius, 2012
2
SUMMARY
THE SYSTEM OF TASKS THAT INCLUDES ALGEBRA ELEMENTS AND ITS
DIFFICULTIES IN I–VI CLASSES
Master thesis analyzes the system of tasks that includes algebra elements and its
difficulties in I-IV classes.
The analysis of educational and psychological literature shows that the most important
features of children's imagination that helps in formation the concept of the tasks with algebra
elements are: perception of relationship between different things, information linking, since the
reasoning process is not clear, i.e. the intermediate steps of reasoning are missing; recovery of
information and imagination, because it is difficult for pupils to understand the abstract
reasoning, thus it is necessary to use visual tools to stimulate the wok of imagination.
The main features of children's thinking are the understanding of object permanence and
capacity to apply the logical operations. The most important feature of children's language is to
understand the meaning of words and their connection with objects and occurrences. The main
features of children's graphic expression are that individual properties of objects and details
represented.
According to the Lithuanian general programs, education standards and schoolbooks, the
hypothetical model of algebra training in I–VI classes have been designed. This model includes:
discovery the meanings of occurrences, description of situation by occurrences, identical
transformations of occurrences, equation solving, inequalities solving, the understanding of
algebra concept. The model based questionnaire for I–VI classes has been created and difficulties
pupil face in solving the tasks with algebra elements has been cleared up.
The objective of research - based on a hypothetical model to investigate potential
problems when performing tasks with algebra elements in I–VI classes.
Methods: survey, qualitative and quantitative data analysis.
The basis and size of research: 120 pupils in I–IV classes were interviewed. The study
was conducted in I–VI classes from different schools. 20 students in each class were interviewed.
Empirical research phases: creation of questionnaire with control tasks, performing the
questionnaires with control tasks, performing the data analysis.
The study found that most often causes of errors in tasks with algebra elements are as follows:
principles of arithmetic operations and structure of numbers are not acquired; the multiplication table is
not learned, calculations of multiaction events are not finished; the seqeunce of actions
performance is not learned; because inattention the numbers are skiped, the changes in the
arithmetical signs are performed, etc.
Keywords: algebra, learning difficulties, primary school, secondary school.
3
TURINYS
ĮVADAS ......................................................................................................................................................................... 4
1. I–VI KLASĖS MOKINIŲ PRADINIO ALGEBRINIO UGDYMO PROBLEMATIKA .......................................... 6
1.1. ALGEBROS SAMPRATA, SĄVOKOS APIMTIS ........................................................................................................... 6 1.2. I–VI KLASĖS MOKINIŲ PSICHIKOS RAIDOS YPATUMAI, SVARBŪS UŽDAVINIŲ SU ALGEBROS ELEMENTAIS
SUPRATIMUI ................................................................................................................................................................ 8 1.2.1.Vaizduotės ir grafinės raiškos ypatumai ...................................................................................................... 8 1.2.2. Kalbos ir mąstymo ypatumai ..................................................................................................................... 10
1.3. ALGEBROS ELEMENTŲ MOKYMAS(-IS) PRADINĖJE IR PAGRINDINĖJE MOKYKLOSE ............................................. 14 1.3.1. Algebros ištakos ir vystymosi etapai ......................................................................................................... 14 1.3.2. Algebros elementų atsiradimas mokyklinio matematinio ugdymo turinyje ............................................... 15 1.3.3. Algebros ir uždavinių su jos elementais kaita I – IV ir V – VI klasėse ...................................................... 18 1.3.4. Uždavinių su algebros elementais sunkumų priežastys ............................................................................. 24 1.3.5. Algebros mokymo galimybės ..................................................................................................................... 25
1.3.5.1. Mokymo metodai ................................................................................................................................................ 25 1.3.5.2. Informacinių komunikacinių technologijų taikymas mokantis algebros.............................................................. 28
2. UŽDAVINIŲ SU ALGEBROS ELEMENTAIS SUNKUMŲ I–IV IR V–VI KLASĖSE TYRIMAS .................... 30
2.1. TYRIMO METODIKA............................................................................................................................................ 30 2.1.1. Tyrimo organizavimas .............................................................................................................................. 30 2.1.2. Klausimyno užduočių parinkimo metodika ............................................................................................... 31
2.2. TYRIMO REZULTATAI ......................................................................................................................................... 36 2.2.1. Reiškinių su aritmetiniais veiksmais sprendimo sunkumai I–VI klasėse ................................................... 36 2.2.2. Tekstinių uždavinių sprendimo sunkumai I–VI klasėse ............................................................................. 45 2.2.3. Veiksmų perstatomumo dėsnio taikymas, apskaičiuojant reiškinius I–VI klasėje ..................................... 51 2.2.4. Lygčių sprendimo sunkumai I–VI klasėje.................................................................................................. 59 2.2.5. Klaidų, daromų sprendžiant nelygybes I–VI klasėje, priežastys ............................................................... 65 2.2.6. Matematinių sąvokų suvokimas I–VI klasėse ............................................................................................ 70
IŠVADOS ..................................................................................................................................................................... 82
LITERATŪRA ............................................................................................................................................................. 83
PRIEDAI ..........................................................................................................................................................................
4
ĮVADAS
Su matematika susiduriama ne tik gyvenimiškose situacijose, bet ir įvairių profesijų
veiklos srityse. Be skaičių ir įvairių operacijų su jais šiuolaikinė visuomenė neįsivaizduojama.
Geri skaičiavimo įgūdžiai naudingi sprendžiant įvairias praktines ir teorines problemas.
Gyvenime mes nuolat ką nors veikiame. Mokomės, dirbame, konstruojame, statome. Vadinasi,
veikia mūsų vaizduotė, turime suvokti objektų formas, dydžius, padėtį erdvėje ir pan. Tačiau vien
tiesiogiai suvokti objektus ir atsiminti tai, kas įsimintina, neužtenka. Žmogus dažnai atsiduria
neaiškiose ir prieštaraujančiose suvokimui ar žinioms situacijose. Atsakymus į iškilusius
klausimus turime surasti tam tikrais būdais ir priemonėmis, mintyse pertvarkydami turimas žinias
– mąstydami.
Algebrinis mąstymas leidžia suvokti algebrinius reiškinius, laisvai jais disponuoti,
pritaikant savo aplinkoje. Ši matematikos sritis padeda formuoti problemų sprendimo įgūdžius
bei loginį mąstymą. Algebros mokslas padeda lavinti struktūravimo ir formalizavimo gebėjimus
bei suvokti matematinės simbolikos universalumą, t.y., suvokti, kad matematikos modelius
galima pritaikyti įvairiose žmogaus gyvenimo srityse. Tai padeda geriau orientuotis nuolat
kintančioje aplinkoje, priimti pagrįstus sprendimus (BP, 2008). Algebros mokslas yra vartai į vis
aukštesnę matematiką: geometrijos, trigonometrijos, analitinės geometrijos skaičiavimus.
Kadangi daugelyje mokslų taikoma aukštoji matematika, algebros pradmenų mokymasis yra labai
svarbus.
Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosiose programose ir išsilavinimo standartuose
(2008) išskiriamos tokios matematikos sritys: skaičiai ir skaičiavimai; reiškiniai, lygtys,
nelygybės; geometrija; aritmetika; matai ir matavimai; statistika. Pagrindinėje mokykloje
pradedama mokyti dar dviejų matematikos sričių: sąryšių ir funkcijų bei tikimybių teorijos.
Algebra bendrosiose programose ir išsilavinimo standartuose (BP, 2008) yra išskirta kaip
reiškiniai, lygtys ir nelygybės.
Atskiros algebros sritys, pvz., lygtys, algoritmai (Jakubauskienė V., 2008; Šuškevič A.,
2007), lietuviškuose moksliniuose darbuose yra šiek tiek nagrinėtos. Tačiau šiuose darbuose
algebra daugiau siejama su lygčių ir algoritmų taikymu informacinėse technologijose. Pradinė
mokykla – tai pati žemiausia pakopa algebros mokyme. Čia klojami pamatai aukštesnių
matematikos pakopų studijavimui. Tačiau nėra darbų apie algebros elementų mokymą pradinėse
klasėse, o I–VI klasių algebros bendrumų ir skirtumų problematika, algebros supratimo raida I–
VI klasėse taip pat yra dar nenagrinėta.
Šiame darbe sprendžiama problema: kokie yra esminiai algebros pradmenų mokymo(-si)
I–VI klasėje sistemos akcentai ir užduočių su algebros elementais sunkumų mokiniams
priežastys?
Darbo tikslas – nusakyti I–VI klasių užduočių su algebros elementais sistemą ir išryškinti
jos sudėtinių dalių mokymosi I–VI klasėje sunkumus.
Darbo objektas – I–VI klasės mokyklinės algebros turinys ir jo supratimo problematika.
Kiekvienoje klasėje matematikos, o tai reiškia, ir algebros, mokslo turinys sunkėja,
pasipildo vis naujais dalykais. Šiame darbe remtasi prielaida, kad atlikus I–IV ir V–VI klasių
algebros turinio analizę bei esminių algebros elementų supratimo diagnozei skirtų klausimynų
rezultatų analizę, gali būti išsiaiškinta, kokių sunkumų kyla mokantis algebros, kada jie
pasireiškia, kada jų kyla daugiausiai ir kokios to priežastys.
5
Uždaviniai:
1. Analizuojant pedagoginę ir psichologinę literatūrą:
Aptarti užduočių su algebros elementais sampratos formavimuisi svarbius jaunesnio
mokyklinio amžiaus ir vidutinio mokyklinio amžiaus psichikos ypatumus;
Atskleisti svarbiausius algebros vystymosi įvykius ir algebrinio žymėjimo vystymosi
etapus.
Sukonstruoti algebrinio ugdymo I-VI klasėje hipotetinį modelį.
2. Atliekant hipotetinio modelio pagrindu parengtą I-VI klasės mokinių apklausą, atskleisti:
charakteringas kiekvienos pakopos užduočių su algebros elementais sprendimo klaidas
bei jų kaitą I-VI klasėse.
tikėtinas sprendžiant algebros uždavinius mokiniams kylančių sunkumų priežastis.
.
Metodai: literatūros analizė; modeliavimas; apklausa; kokybinė ir kiekybinė duomenų
analizė.
6
1. I–VI KLASĖS MOKINIŲ PRADINIO ALGEBRINIO UGDYMO
PROBLEMATIKA
1.1. Algebros samprata, sąvokos apimtis Algebra – matematikos mokslo šaka, tyrinėjanti veiksmus su dydžiais (išreikštais
raidėmis), nepriklausomai nuo tų dydžių skaitinės reikšmės (LKŽ, 2005). Žodynas.lt algebros
sąvoką aiškina taip pat, kaip ir Lietuvių kalbos žodyne (toliau LKŽ), kad algebra – mokslas,
tiriantis veiksmų su įvairiais dydžiais bendrąsias savybes, nepriklausomas nuo tų dydžių kilmės
(TŽŽ, 1985).
Mokomojoje matematikos enciklopedijoje aiškinama, kad algebros terminas kilo iš
arabiško pavadinimo al – yabr. Išvertus iš arabų kalbos, tai reiškia – dėmens perkėlimas iš
kairiosios lygties pusės į dešiniąją (Šiliūnienė E., Poškutė R., 2007). Algebrą apibūdina du
pagrindiniai bruožai:
Skaičiavimai atliekami su baigtiniu skaičiumi elementų, o procesai turi būti užbaigti
baigtiniu skaičiumi veiksmų (procesai, kurių sprendimas yra ,,ties riba“, algebrai
nepriklauso);
Skaičiuojama pasitelkiant abstrakčiuosius kūnus, reiškiamus raidėmis.
Apibendrintai galima teigti, kad algebra – tai matematikos mokslo šaka, tirianti veiksmus
su algebriniais reiškiniais. Kas yra algebriniai reiškiniai, mes išsiaiškinsime pirmiau apibrėžę
reiškinio sąvoką.
Reiškiniai yra skirstomi į raidinius ir skaitinius reiškinius. Skaitinis reiškinys – tai
reiškinys, sudarytas iš skaičių, aritmetinių veiksmų ženklų ir skliaustų (Vilenkinas N.ir kt., 1987).
Tokių reiškinių tiek pradinėse klasėse, tiek ir aukštesnėse yra nemažai. Raidinis reiškinys –
reiškinys, sudarytas iš realiųjų skaičių, prie kurių prijungiami raidiniai elementai, aritmetinių
veiksmų ženklai ir skliaustai (Vilenkinas N.ir kt., 1987). Kaip matome, raidinio reiškinio sąvoka
apibrėžiama taip pat, tik prie realiųjų skaičių prijungiami raidiniai elementai.
Kadangi algebros mokslas tiria veiksmus su dydžiais, kurie išreikšti raidėmis, tai,
susijungus skaitiniams ir raidiniams reiškiniams, atsiranda naujas reiškinys – algebrinis (1 pav.).
Algebrinis reiškinys – tai reiškinys, sudarytas iš raidžių ir skaičių, sujungtų sudėties, atimties,
daugybos, dalybos, kėlimo sveikuoju laipsniu ir šaknies traukimo veiksmų ženklais (TŽŽ, 1985).
Tai nėra skaičius, tačiau, suteikus reiškinio kintamiesiems reikšmes, galima apskaičiuoti ir
reiškinio skaitinę reikšmę. Algebriniai reiškiniai yra dviejų rūšių: sveikieji ir trupmeniniai
(Intienė K. ir kt., 2003). Sveikieji reiškiniai – tai tokie reiškiniai, kurie yra sudaryti, vartojant tik
sudėties, atimties, daugybos bei kėlimo laipsniu veiksmų ženklus (Šiliūnienė E., Poškutė R.,
2007). Trupmeniniai reiškiniai – kai nors vieną kartą reiškinyje dalijama iš kintamojo (ar
reiškinio su kintamuoju). Sveikieji ir trupmeniniai reiškiniai sudaro racionaliųjų reiškinių visumą.
Racionalusis reiškinys – tai algebrinis reiškinys be radikalų (tik keturi pagrindiniai aritmetiniai
veiksmai) (TTŽ, 1985). Taigi algebrinis reiškinys sudarytas iš skaitinių ir raidinių reiškinių.
Tokie algebriniai reiškiniai dar yra skirstomi į sveikuosius ir trupmeninius reiškinius (1 pav.).
7
1 pav. Algebrinių reiškinių sąvokos logika
Algebrinių reiškinių aibėje lygybe reiškiamas ekvivalentumo ryšys. Jei lygybė teisinga tik
su kuriuo nors x (reikšme, žymima raidėmis), tai ji vadinama lygtimi (Šiliūnienė E., Poškutė R.,
2007). LKŽ lygtis apibrėžiama kaip lygybė, kuri turi nežinomų dydžių (LKŽ, 2005). Lygtys yra
skirstomos į sveikąsias, trupmenines ir iracionaliąsias. Sveikoji lygtis – tai tokia lygtis, kai su jos
kintamaisiais ar nežinomaisiais atliekami sudėties, atimties ir daugybos veiksmai, pvz., 3x + 2 =
5x – 8. Trupmeninė lygtis – kai jos nežinomieji ar bent vienas iš jų yra daliklyje, pvz., + 2 =
5x – 3. Lygtis, kurios nežinomasis yra pošaknyje, vadinama iracionaliąja, pvz., x + 3 = √x – 2
(Šiliūnienė E., Poškutė R., 2007). Nagrinėdami I–IV ir V–VI klasių lygtis, kalbėsime apie
sveikąsias lygtis, kitų rūšių lygčių pradedama mokyti aukštesnėse klasėse. Iš daugianarių
sudarytų lygčių sprendimą nagrinėja elementarioji algebra. Sudarant tokias lygtis, vartojami
sveikieji, trupmeniniai, realieji ir kompleksiniai skaičiai.
Skaičiai, kuriuos mes vartojame skaičiuodami, yra vadinami natūraliaisiais skaičiais.
Kasdieniniame gyvenime labai dažnai prireikia įvardinti skaitinius duomenis, esančius žemiau
nustatytosios nulinės padėties, pvz., temperatūra. Todėl natūralieji skaičiai išplečiami, prijungiant
prie jų neigiamuosius skaičius, kurie yra priešingi atitinkamiems natūraliems skaičiams, ir
gauname sveikųjų skaičių aibę (Šiliūnienė E., Poškutė R., 2007). Racionalieji skaičiai – tai visi
skaičiai, kuriuos įmanoma užrašyti trupmeniniu pavidalu (Intienė K. ir kt., 2003), t.y., skaičiai,
kuriuos galima išreikšti sveikųjų skaičių santykiais . Dažniausiai tokie skaičiai yra reiškiami
paprastosiomis trupmenomis: vardiklis n yra natūralusis skaičius, skaitiklis m – sveikasis skaičius
(Teišerskis J., 1988). Iracionalus skaičius – tai skaičius, kurio negalima išreikšti dviejų sveikųjų
skaičių santykiu, pvz., √2, lg 5 (TŽŽ, 1985).
Sąvokos lygtis ir nelygybė yra labai panašios. Nelygybė, kaip ir lygtis, turi savo
apibrėžimo sritį, sprendinius. Taip pat nelygybės, kaip ir lygties, sprendimas reiškia pradinės
nelygybės keitimą paprastesnėmis tol, kol gaunama nelygybė, kurios sprendinius jau galima
surasti (Intienė K. ir kt., 2003).
8
Šiame darbe bus kalbama apie tekstinius uždavinius. Tekstinius uždavinius galima
išspręsti sprendimą užrašius skaitiniu reiškiniu, tačiau palaipsniui šio tipo, kaip ir bet kurio kito,
uždaviniai sunkėja. Atsiranda uždaviniai, kuriuos norint išspręsti reikia sudaryti raidinius
reiškinius. Todėl tekstiniai uždaviniai yra glaudžiai susiję su algebra. Pagrindinės šiame darbe
dominuosiančios tekstinio uždavinio rūšys yra šios:
• Sudėtinis tekstinis uždavinys – tai toks uždavinys, kuris susideda iš dviejų ar daugiau
paprastųjų uždavinių (Štitilienė O., 2003).
• Paprastasis tekstinis uždavinys – tai tokia probleminė užduotis, kuri teikiama
mokiniams žodžiu, raštu ar kuria nors kita tekstą atstovaujančia forma (piešiniu, schema
ar pan.) ir yra sprendžiama vienu veiksmu (Balčytis B., 2000).
Šiame skyriuje išnagrinėjome sąvokas, kurios bus vartojamos darbe. I–IV ir V–VI klasėse
mokomasi algebrinių reiškinių, kurie susideda iš skaitinių, raidinių, sveikųjų bei trupmeninių
reiškinių. Išmokus apskaičiuoti algebrinius reiškinius, juos galima pritaikyti kasdieniame
gyvenime, o to ir siekia ugdymo įstaigos – išmokyti teoriją taikyti praktiškai. Kadangi lygybės ir
lygtys yra panašios savo sąvokomis, o lygtys dažnai naudojamos sprendžiant tekstinius
uždavinius, matome, kad algebra stipriai sieja ir šias tris sritis. Tekstiniai uždaviniai, nelygybės
ir lygčių užuominos plačiai naudojamos ir pradinėse klasėse.
1.2. I–VI klasės mokinių psichikos raidos ypatumai, svarbūs
uždavinių su algebros elementais supratimui
1.2.1.Vaizduotės ir grafinės raiškos ypatumai
Vaizduotė — tai fantazija, žmogaus psichinė veikla, kuria sukuriamos vaizdinės ir
mintinės konstrukcijos, atspindinčios tikrovę pakeistu pavidalu. Vaizduotė operuoja jutiminiais
vaizdiniais ir akivaizdžiais tikrovės modeliais. Kaip netiesioginis, apibendrintas pažinimas,
vaizduotė yra artima mąstymui (Lietuviškoji Tarybinė enciklopedija, 1982).
A. Gučas vaizduotę apibūdina kaip naujų vaizdinių sudarymą, pertvarkant atmintyje
turimą vaizdinę patirtį (Gučas A., 1986). Yra išskiriamos dvi vaizduotės rūšys: valinga ir
nevalinga.
Valinga vaizduotė – tai, kai vaizdinių sudarymo procese pastangos yra dedamos
sąmoningai, kai žmogus kelia sau tikslą ką nors sukurti, pvz., eilėraštį apie rudenį. Žmogus
išsikelia tikslą ką jam reikia sukurti ir sąmoningai renka medžiagą, daug kartų pats jį vertina,
tariasi su draugais, koreguoja, kol gauna norimą rezultatą (Gučas A., 1986). Valinga vaizduotė
atsiranda vyresniame mokykliniame amžiuje, kai plėtojasi produktyvioji veikla. Tokio amžiaus
vaikai jau pajėgia išsikelti sau tikslą ir jį įgyvendinti įvairiomis konstrukcijomis (Muchina V.,
1988).
Nevalinga vaizduotė pasireiškia tada, kai neturima tikslo kurti kokius nors vaizdinius,
nėra dedamos sąmoningos pastangos, neketinama savo vaizdinių realizuoti, kitaip sakant, kai
vaizdiniai kuriasi savaime (Gučas A., 1986). Tokia vaizduotė yra ikimokyklinio, jaunesniojo ir
viduriniojo amžiaus vaikų. Jie įsivaizduoja tai, kas juos jaudina. Kurdami eilėraštį, iš pradžių jie
net nepasakytų, apie ką jis bus (Muchina V., 1988).
Vaizduotę nulemia du veiksniai (Filipčiuk H., 1991):
didelė elementų, iš kurių gali kilti nauji vaizdiniai, atsarga;
gebėjimas kurti naujus vaizdinius iš žinomų elementų, iš turimos „medžiagos“.
Pirmąjį veiksnį daugiausia lemia artimiausia aplinka: ji gali teikti vaikui turtingų įspūdžių,
išgyvenimų, patirties, jie įgyjami tiesioginio kontakto su tikrove gyvenimo keliu, iš pokalbių su
9
suaugusiais, jų pasakojimų, filmų, televizijos programų žiūrėjimo, radijo, o vyresnių mokinių – ir
mokantis, klausant paskaitų.
Tačiau antrajam vaizduotės funkcionavimo veiksniui – gebėjimui kurti naujus vaizdus –
aplinka daro mažesnę įtaką. Ji tik gali skatinti šį gebėjimą, bet žodžiai ne visiems vaikams sukelia
vaizdinius. Yra vaikų, kuriems vaizdiniai gimsta lengvai, ir tokių, kurie sunkiai gali įsivaizduoti
tai, ko jie niekada nematė, atgaminti turimus vaizdus arba patirtus įspūdžius. Vienam vaikui
prisimintas vaizdas (gyvūno, daikto) sukelia stiprias emocijas ir didelę baimę, o kitam
nesužadintų jokio ryškaus vaizdo, kurį lydėtų baimės jausmas.
Vaiko vaizduotės ištakos prasideda ankstyvosios vaikystės pabaigoje, kai ima formuotis
sąmonės ženklinė funkcija. Vaikai nuo vienų daiktų keitimo kitais ir jų atvaizdų pereina prie
kalbos, matematikos ir kitų ženklų naudojimo bei mąstymo formų įvaldymo. Taip pat atsiranda ir
plėtojasi sugebėjimas papildyti ir keisti realius daiktus, situacijas, įvykius įsivaizduojamais, kurti
iš sukauptų vaizdinių naujus. Perdirbdamas tikrovę, vaikas ne tik kombinuoja vaizdinius, bet ir
suteikia daiktams jiems nebūdingų bruožų. Pavyzdžiui, daiktus savo vaizduotėje jie padidina arba
sumažina (stato namus iki žvaigždžių ir pan.) (Muchina V., 1988).
Yra tokia nuomonė, kad vaiko vaizduotė yra turtingesnė už suaugusio žmogaus, tačiau iš
tikrųjų vaiko vaizduotė nėra turtingesnė, o daugeliu požiūriu skurdesnė. Suaugęs žmogus turi
daugiau gyvenimiškos patirties, todėl jis gali daugiau įsivaizduoti negu vaikas, bet vaiko
gyvenime vaizduotė atlieka svarbesnį vaidmenį, pasireiškia daug dažniau ir lengviau atitrūksta
nuo tikrovės. Taigi, vienas iš būdų, padedančių vaikams pažinti aplinkinį pasaulį, smarkiai
praplėsti menką asmeninę patirtį – vaizduotė (Muchina V., 1988).
Pradiniame mokykliniame amžiuje vaikų vaizduotė kuriasi mokymosi procese ir jo
reikalavimų veikiama. Medžiagos išmokimas reikalauja aktyvios vaizduotės veiklos, reikia
suvokti ir įsivaizduoti, ką pasakoja mokytoja ar kas parašyta vadovėlyje (Pileckaitė-Markovienė
M., Nasvytienė D., Bumblytė D., 2004). Kadangi abstrakčius samprotavimus vaikam suvokti yra
sunku (ypač tai būdinga kalbant apie matematiką), būtina pasitelkti vaizdines priemones, kurių
pagalba tokie samprotavimai tampa labiau suprantami.
Mokantis matematikos, vaizduotėje sudaryti vaizdiniai turi būti perteikiami grafiniu
vaizdavimo būdu. Vienas iš vaizduojamosios veiklos tobulėjimo stimulų, kuris tęsiasi ilgai, yra
mokėjimas grafiniu būdu pavaizduoti daiktus. Geometrinę formą, kuria vaikai vaizduoja daiktus,
pirmiausia lemia trys dalykai: vaiko turimi grafiniai atvaizdai, regimasis daikto įspūdis ir
judamoji-lytimoji patirtis, įgyjama veikiant su juo (Muchina V., 1988). Visi šie trys dalykai
svarbūs ne tik geometrinių formų vaizdavimui, bet ir skaičiaus sampratos formavimui bei
siejimui su tam tikra ženklų sistema (šiuo atvejų skaičių).
Vadinasi, mokydamasis užrašyti daiktų kiekį skaičiais, t.y., tam tikrais skaičiaus
žymėjimo simboliais – skaitmenimis, vaikas taiko savo patirtį, kurią įgyja veikdamas su daiktais,
jų dydį suvokdamas regėjimu, vaizduodamas grafiškai ir mokomas suaugusiųjų. Todėl vaiko
grafinė raiška lėtai, bet tiksliai plėtojasi.
Mokydamasis daiktų kiekio užrašymo simbolių – skaitmenų, vaikas remiasi turimais
regimaisiais įspūdžiais. Tą skatinama ir suaugusieji. Lietuvos bendrosiose programose ir
išsilavinimo standartuose ugdymo gairėse nurodoma, kad nagrinėjant skaičius, mokantis juos
užrašyti, turi būti naudojamos vaizdinės priemonės (BP, 2008). Jos padeda mokiniams geriau
įsiminti informaciją ir sieti su simboliniu jos vaizdavimu.
Vaikų grafinė raiška labai siejasi su šabloniniu vaizdavimu. Dažnai vaizduodami daiktus
piešiniu, jie naudoja to daikto šabloną. Ši vaikų grafinės raiškos savybė yra naudinga mokantis
užrašyti skaičius bei nežinomojo skaičiau reikšmę pavaizduoti tam tikru simboliu (Muchina V.,
1988).
E. Z. Zambacevičienė (2007) išskyrė dvi pagrindines vaizduotės kūrimosi tendencijas
jaunesniame mokykliniame amžiuje.
10
Pirmiausia ji išskiria tai, kad tobulėja atkuriamoji vaizduotė, kuri yra susijusi su ankščiau
suvoktų dalykų išmokimu ir vaizdų pagal aprašymą, schemą ar piešinį kūrimu.
Dar viena tendencija, kad lavėja vaikų kūrybinė vaizduotė. Yra kuriami nauji vaizdiniai,
ankstesni įspūdžiai siejami su naujais deriniais ir kombinacijomis (Zambacevičienė E. Z., 2007).
Jaunesniame mokykliniame amžiuje vaizdiniai tampa vis realistiškesni, vaizduotė vis labiau
atitrūksta nuo tiesioginių įspūdžių įtakos, vis labiau vaikai geba kritiškai vertinti vaizduotės
vaizdinius vidaus logikos požiūriu (Savickytė V., 1994).
Apibendrinant galima pasakyti, kad vaizduotės pagalba ne tik kuriami vaizdiniai, bet ji
atlieka ir pažintinę funkciją. Jos dėka suaugę, o ypač vaikai susipažįsta su aplinkiniu pasauliu ir
praplečia asmeninę patirtį. Taip pat vaizduotės dėka suvokiamas ryšys tarp dalykų, kuriuos jau
žinojo, tačiau iki šiol dar nebuvo matę.
Taigi, jaunesniojo mokyklinio amžiaus vaikų vaizduotė yra nevalinga, nes tokio amžiaus
vaikai dar nepajėgia išsikelti sau tikslų ir juos įgyvendinti. Jie vaizdinius kuria tuomet, kai juos
kas nors jaudina. Tačiau šiame amžiuje smarkiai tobulėja atkuriamoji vaizduotė, kai nuo
statiškų, mažai detalių turinčių vaizdinių pereinama prie tikroviškesnių ir daugiau detalių
turinčių vaizdinių, bei kūrybinė vaizduotė, kai naujų vaizdinių kūrimas siejamas su naujais
deriniais ir kombinacijomis.
Mokantis algebros, labai svarbi funkcija yra operavimas vaizdiniais. Turimos informacijos
atkūrimas, turimų vaizdinių siejimas su ja padeda suvokti reiškinių esmę, formą, atskleidžia jų
struktūrą ir ryšius. Vaizduodami ne tik objektus, bet ir skaičius, uždavinius grafiškai vaikai vis
labiau įžvelgia atskiras objektų ypatybes, detales, kurios padeda suvokti algebros procesus.
1.2.2. Kalbos ir mąstymo ypatumai
Jau kūdikystėje formuojasi vaiko klausa, lavėja kalbos garsų tarimas, suprantami ir
tariami pirmieji žodžiai. Visa tai leidžia daugiau bendrauti su suaugusiais, o tai ir turi lemiamą
reikšmę kalbos lavėjimui.
Vaikas, pradėjęs labiau domėtis daiktais, jų savybėmis, nuolat kreipiasi į suaugusiuosius.
Kad galėtų kreiptis ir gauti reikiamą informaciją, jis privalo kalbėti.
Piaget daug tyrinėjo ikimokyklinio amžiaus vaikų kalbą. Klausydamasis, kaip vaikai
kalba, jis pastebėjo, kad jaunesni kaip 6–7 metų vaikai dažnai nesugeba išklausyti kito
kalbančiojo, ir nustatė, kad beveik pusė ikimokyklinio amžiaus vaikų kalbos yra egocentriška
(Žukauskienė R., 2007). Egocentrizmas – tai negebėjimas keisti pradinio požiūrio į kokį nors
objektą ar nuomonę net tada, kai informacija prieštarauja jo ankstesniam patyrimui.
Egocentrizmas kyla iš to, kad individas nesupranta, jog galimi ir kitokie negu jo požiūriai (TŽŽ,
2008). Tai reiškia, kad kalbama kito asmens akivaizdoje, tačiau nesikeičiant ar neperduodant
kitam informacijos bei idėjų (Žukauskienė R., 2007). Vaikas pasirenka pirmą pasitaikiusį
pašnekovą ir iš jo reikalauja tik išorinio suinteresuotumo, kad galėtų susidaryti iliuziją, jog yra
akivaizdžiai girdimas ir suprantamas (Piaget J., 2002).
J. Piaget egocentrinį kalbėjimą suskirsto į tris kategorijas (Piaget J., 2002):
Atkartojimas. Tai toks kalbėjimas, kai vaikas kartoja žodžius savo malonumui, nes jam
patinka tų žodžių skambėjimas (Žukauskienė R., 1996).
Monologas. Vaikas kalba pats su savimi, susidaro toks įspūdis, kad jis garsiai mąsto ir į
nieką nekreipia dėmesio.
Monologas dviese arba kolektyvinis monologas. Tai čia ir yra tas atvejis, kai vaikai
įtraukia į savo veiklą kitą žmogų, tačiau jis visiškai nepaiso pašnekovo nuomonės.
Pašnekovas atlieka tik stimuliuojantį vaidmenį.
Šios socialinės vystymosi stadijos skiriamos kalbant tik apie vaiko intelektinę veiklą:
11
piešimą, konstrukcinius žaidimus, skaičiavimą ir t. t. Piaget teigia (Piaget J., 2002), kad vaikui
žodis yra daug artimesnis veiksmui ir judesiui nei mums. Iš šio teiginio išplaukia padariniai, kurie
yra ypač reikšmingi vaiko kalbos supratimui. Pirmasis svarbus padarinys, jog vaikas, netgi tada,
kai būna vienas, turi kalbėti judėdamas, nes šūksniais ir žodžiais jis padeda savo judesiams ir
žaidimams. Antrasis – vaikas, kad paantrintų savo veiksmams, gali apversti šį ryšį ir vartoti
žodžius, siekdamas atlikti tai, ko pats veiksmas negalėtų realizuoti. Taip atsiranda įvairūs
pramanyti pasakojimai ir kuriami vaizdai.
Didelę reikšmę kalbos lavėjimui turi daiktinėje veikloje patirti įspūdžiai. Jais remiantis,
suvokiama žodžių reikšmė ir jų ryšys su aplinkinio pasaulio daiktais bei reiškiniais (Gučas A.,
1990). Žodžiu daiktas įvardijamas, priskiriamas jau žinomų daiktų kategorijai. Taip plečiasi
pažintys tų objektų, kurie turi panašių ar tokių pat ypatumų bei savybių. Nuo trečiųjų metų labai
intensyviai auga vaiko aktyvusis žodynas. Jis moka daugiau žodžių, todėl gali geriau savo
suvokinius paversti simboliais (Gučas A., 1990).
Labai svarbi ir tolesnė sakinių konstrukcijos raida. Vaikas pradeda vartoti sudėtinius sakinius,
vartoja jungtukus, patikslina ir išplečia pagrindinę sakinio mintį. Tobulėjanti kalba leidžia vaikui
lengviau prisiminti praeitį, įsivaizduoti ateitį, geriau orientuotis dabartyje (Žukauskienė R.,
1996).
J. Piaget, atlikęs tyrimus pagal Bruto intelekto testą, padarė tokią išvadą, kad taip, kaip
vaikai mąsto, priklauso nuo jų protinių sugebėjimų, o ne nuo to, ką jie yra išmokę (Žukauskienė
R., 1996). Jis išskyrė du pagrindinius mąstymo būdus (Piaget J., 2002): direktyvųjį (racionalųjį)
ir nedirektyvųjį (autistinį). Direktyvusis mąstymas yra sąmoningas, jis siekia tikslų, kuriuos
aiškiai suvokia mąstantysis. Toks mąstymas yra prisitaikęs prie tikrovės ir siekia ją paveikti.
Nedirektyvus mąstymas yra pasąmoninis. Juo yra siekiama patenkinti poreikius, tačiau to
perteikti žodžiais yra neįmanoma. Mąstant tokiu būdu, visi objektai yra siejami su organiniu
pasitenkinimu.
Tarp šių dviejų mąstymo formų egzistuoja daugybė įvairių mąstymo formų, kurios skiriasi
savo komunikuojamumo laipsniu. Pagrindinė iš tokių formų vadinama egocentriniu mąstymu.
Toks mąstymas yra labiau intuityvus ir sinkretiškas negu deduktyvus, tai reiškia, kad
samprotavimų eiga nėra itin aiški, sprendimai yra surandami iš karto einant nuo prielaidų prie
sprendimo, praleidžiant tarpinius samprotavimo etapus. Vadinasi, mažai remiasi įrodymais ir
pradinių teiginių tikrinimu, daug greičiau visumos vizijų sukuriamas tikėtinumo vaizdas ir
saugumo jausmas, nei tada, kai įrodymų seka būna aiški. Labai svarbų vaidmenį vaidina
vizualinės schemos, jos gali tapti įrodymu arba pagrįsti dedukciją (Piaget J., 2002).
Remdamasis vaikų intelektualinės raidos stebėjimai ir atliktais tyrimais, Piaget teigė, kad
žinios yra įgyjamos ir padeda žmogui prisitaikyti prie aplinkos. Jo manymu, vaikas ir suaugęs
žmogus informaciją suvokia ne pasyviai ir jų mintys nėra tiesiog mokymo arba kitų
pamėgdžiojimo padarinys. Taigi svarbiausia Piaget tezė yra, jog ,,individas yra aktyvus,
žingeidus ir išradingas visą savo gyvenimą“ (Žukauskienė R., 1996).
Piaget nuomone, mąstymo operacijos yra interiorizuoti, tarpusavyje suderinti atvirkštiniai
veiksmai, susijungę į pastovias ir kartu dinamiškas struktūras. Po truputį materialių veiksmų
atlikimą vaikas keičia į vidinius ir materialieji (išoriniai) veiksmai tampa interiorizuoti.
Interiorizacijos dėka realus veiksmas virsta to veiksmo vaizdiniu.
Žmonės svarbesnes savo mintis atskiria nuo mažiau svarbių, jungia jas vienas su kitomis,
taip yra organizuojamos mintys. Atliekant tokias operacijas, mąstymas yra adaptuojamas, kad
būtų galima priimti naujas mintis, nes nauja patirtis suteikia papildomos informacijos. Tokia
adaptacija vyksta dviem būdais: per asimiliaciją ir per akomodaciją.
Asimiliacija vyksta tuomet, kai naujos probleminės situacijos jungiamos su situacijomis,
kurias vaikai gali išspręsti. Akomodacija, jos teigimu, yra jau turimų schemų pakeitimas naujam
uždaviniui spręsti (Žukauskienė R., 1996).
12
Piaget išskyrė keturias pagrindines pažintinės raidos stadijas (Žukauskienė R., 1996).
Pirmoji, kurią išskiria psichologas, yra sensomotorinė stadija. Sensomotorinė stadija trunka nuo
gimimo iki kalbos atsiradimo, maždaug iki 2 metų. Šioje stadijoje vystosi kūdikio protiniai ir
pažintiniai požymiai (Ojose B., 2008). Sensomotorinėje stadijoje vaikas įsisąmonina, kad
objektai egzistuoja ir tada, kai jis jų negali matyti, vadinasi, vaikas suvokia objektų pastovumą.
Taip pat vaikas pradeda įsiminti ir įsivaizduoti (Gučas A., 1990). Šiai stadijai būdingi požymiai
yra, kad aplinkai pažinti vaikas naudoja jutimus ir motorinius sugebėjimus. Vaikai šioje stadijoje
jau gali jungti skaičius su objektais (Piaget, 1977). Kad šiose stadijose vystytųsi matematiniai
vaiko gebėjimai reikėtų sudaryti pakankamas sąlygas veikti neribotoje aplinkoje, taip greičiau
vaikai įgys gebėjimą kurti sąvokas (Martin D. J., 2000). Galime daryti prielaidą, kad vaikai
sensomotorinėje stadijoje turi tam tikrą skaičių ir skaičiavimo sąvokų supratimą. Šioje
išsivystymo stadijoje turi būti padėti tvirti matematiniai pagrindai, t.y., reikia organizuoti veiklą,
kurioje būtų įtrauktas skaičiavimas, tokiu būdu bus plečiamas skaičiaus suvokimas. Pavyzdžiui,
mokytojai ir tėvai gali padėti vaikams skaičiuoti jų pirštus, žaislus ir saldainius. Taip pat
skaičiaus sąvoką suvokti padeda tokie klausimai kaip, „Kas turi daugiau?” ir „Ar ten užtenka?”.
Tokie matematinio ugdymo būdai gali būti kasdienio maždaug dvejų ar trejų metų amžiaus vaikų
gyvenimo dalimi (Ojose B., 2008). Kita veikla, kuri gali padidinti vaikų matematinį išsivystymą
šioje stadijoje, jungia matematiką ir literatūrą. Yra labai daug vaikiškų knygų, kurios yra
matematinio turinio su iliustracijomis. Kadangi vaikai šioje stadijoje gali sujungti skaičius su
objektais, tai labai naudinga objektų ir juos atitinkančių skaičių paveikslus matyti vienu metu.
Greta matematinės naudos, vaikų knygos gali prisidėti prie jų skaitymo įgūdžių ir suvokimo
vystymosi.
Antroji stadija – ikioperacinė (2–6 metai). Šioje stadijoje vaikas pasaulio pažinimui
naudoja simbolinį mąstymą, taip pat ir kalbą. Mąstymas ir kalba šios stadijos pradžioje yra
egocentriški. Vaikas kalba sau ir nekreipia dėmesio į kitus, jam visiškai nerūpi, ar jo kas nors
klausosi ar ne (Gučas A., 1990).
Kaip jau minėjome, šioje stadijoje vaikas pažinimui naudoja kalbą bei mąstymą, vadinasi,
siekdamas pažinti daiktus, jis jau nebūtinai manipuliuoja jais. Darosi svarbu tiksliai suvokti
objektą ir mintinai sukurti jo vaizdą. Objekto požymiai analizuojami ir apibendrinami remiantis
mintiniais vaizdiniais. Vaiko mąstymas jau neatsiejamas nuo suvokimo (Jonynienė V., 1984).
Vadinasi, vystosi vaiko kalba, atsiranda gebėjimas apibendrinti.
Ikioperacinės stadijos metu vaikai suvokia būvius, bet ne transformacijas, pvz., kine šios
stadijos vaikas mato atskirus paveikslus, o labiau subrendęs – suvokia paveikslų judėjimą (Gučas
A., 1990).
Pagrindiniai ikioperacinės stadijos pasiekimai: labai išlavėjusi vaizduotė, mažėja vaiko
mąstymo centracija ir egocentrizmas, pradedama suprasti kitų požiūrį (Žukauskienė R., 1996).
Šioje stadijoje vaikai turėtų susidurti su problemų sprendimo užduotimis, kurios gali
susidaryti iš elementarių vaiko aplinkai daiktų. Tuo metu, kai vaikas bando išspręsti jam kilusią
problemą, suaugęs turėtų išsiaiškinti, kokia problema vaikui kilo ir padėti ją išspręsti. Verbaliniai
vaiko sugebėjimai, taip pat kaip ir jo veiksmai su tam tikrais daiktais ar medžiagomis leidžia
suaugusiajam daryti išvadas apie vaiko minties procesų mechanizmus (Ojose B., 2008). Vaiko
mąstymas šioje stadijoje yra racionalus, jis sujungia nesusijusius įvykius, negyvus daiktus sieja
su realiu gyvenimu, nesupranta kito požiūrio, negali pakeisti operacijų, pvz., vaikas supranta, kad
5 + 4 = 9, tačiau atvirkštinės operacijos atlikti negali. Šiame vystymosi etape vaikai suvokia
skaičius tik vienu aspektu. Šioje išsivystymo stadijoje reikėtų naudoti efektyvų klausinėjimą apie
objektų charakterizavimą. Pavyzdžiui, kai vaikas tiria geometrines formas, suaugęs galėtų
paprašyti, kad jis sugrupuotų formas pagal panašias savybes. Atlikus užduotį, būtinai reikėtų
paklausti: „Kaip nusprendei, kur kiekvieną objektą priskirti? Ar yra kitų būdų sugrupuoti šiuos
daiktus?”. Vaikų įtraukimas į pokalbį gali padėti vaikams atrasti kitų būdų daiktų grupavimui
13
(Thompson C. S., 1990).
Stadiją, kuri vyksta 7-11 metų amžiuje, Piaget pavadino konkrečių operacijų stadija.
Šioje stadijoje vaikas supranta ir taiko logines operacijas ir principus savo patirčiai ar
suvokiniams paaiškinti. Naudodamasis loginiais sugebėjimais, jis mokosi suprasti konkrečias
sąvokas, kaip masės, svorio, skaičių tvermės (Žukauskienė R., 1996). Taip pat šioje stadijoje
vaikas naudoja savo pojūčius, kad sužinotų. Dabar jis jau gali lyginti du ar tris matmenis,
dydžius, skirtumus. Daiktų klasifikacija yra operacija, kuri itin pasireiškia šiame etape ir yra
būtina norint suvokti skaičiaus sąvoką (Piaget J., 1977). Tai leidžia vaikams ugdyti matematinius
gebėjimus ir suvokti bei pradėti naudoti matematines sąvokas problemų sprendimui.
Paskutinioji stadija, kuri vyksta nuo 12 metų, vadinama formalių operacijų stadija. Tai
stadija, kai paauglys ar suaugęs žmogus sugeba mąstyti abstrakčiomis ir hipotetinėmis
sąvokomis. Paauglys dažnai pervertina savo naują sugebėjimą ir yra linkęs manyti, kad niekas
taip gerai nesupranta pasaulyje vykstančių procesų, kaip jis. Šios stadijos pagrindiniai pasiekimai:
suprantama, kad yra daug atsakymų į vieną klausimą ir daug klausimų kiekvienam atsakymui,
taip pat dėmesio centre dažniausiai būna etiniai, politiniai, socialiniai klausimai (Žukauskienė R.,
1996).
Šiame etape vaikas jau gali išspręsti uždavinį, neturėdamas konkrečios situacijos, pvz.,
pateikiama lygtis x + 2x = 9. Samprotavimas ir kiti protiniai procesai šioje stadijoje labai siejasi,
todėl, kad būtų lengviau, mokytoja galėtų paskatinti susidaryti tekstinį uždavinį pagal pateiktą
lygtį (veikia kalba ir mąstymas), pvz., Tomas suvalgė saldainių tam tikrą skaičių. Jo sesuo
suvalgė dukart daugiau. Kartu jie suvalgė devynis saldainius. Kiek Tomas suvalgė saldainių?
(Anderson J. R., 1990). Paaiškinimas reikalingas, kad mokiniai identifikuotų ir analizuotų
problemos elementus, būtinus problemos sprendimui. Drąsindami mokinius ištraukti tinkamą
informaciją iš iškilusios problemos, mokytojai gali padėti vaikams didinti jų matematinį
supratimą. Taigi, mokiniai šioje stadijoje yra pasiruošę daryti induktyvias ir dedukcines išvadas
matematikoje. Dedukcinės išvados apima samprotavimą nuo bendrų sąvokų į specifinius
pavyzdžius. Induktyvios išvados yra pagrįstos panašumų ir skirtumų suradimu tarp specifinių
objektų ir įvykių. Šioje stadijoje mokiniai jau gali matematines sąvokas taikyti realiame
gyvenime.
Ikioperacinėje stadijoje mąstymo veiklos pagrindas yra ne tik tiesioginis patyrimas
(pojūčiai, suvokimas), bet ir jau turimas patyrimas, kurį galima analizuoti atmintimi. Reikia
pabrėžti, kad sąvokinis mąstymas, toli išeidamas už tiesiogiai gaunamos informacijos ribų,
niekada visiškai neatitrūksta nuo pojūčių, suvokimo ir vaizdinių (Jonynienė V., 1984).
Piaget teigė, kad galutinis mąstymo raidos tikslas yra jo visiška loginė pusiausvyra, kuri
yra pasiekiama tik formalaus operacinio mąstymo stadijoje. Vaiko mąstymo raida vyksta
formalaus operacinio mąstymo linkme. Susiformavus formaliam operaciniam mąstymui,
pasiekiamas aukščiausias mąstymo lygis (Žukauskienė R., 1996).
Kaip matome, mąstymo vystymosi raidą Piaget suskirstė į keturias stadijas. Pirmosios
trys vystosi labai intensyviai, paskutinioji formalių operacijų stadija vyksta visą gyvenimą.
Palaipsniui pradedamas suvokti objektų pastovumas (objektai egzistuoja ne tik tada, kai gali juos
pamatyti). Tai labai svarbu mokantis algebros, kadangi algebros moksle operuojama
abstrakčiais kūnais, kurie yra reiškiami raidiniais simboliais. Todėl būtina įjungti vaizduotę,
mąstymą, kad vaikas suprastų, kaip apskaičiuoti skaitinius ir raidinius reiškinius.
Mąstymo vystymosi pagrindą sudaro mąstymo veiksmų formavimasis ir tobulėjimas. Nuo
to, kokių mąstymo veiksmų vaikas yra išmokęs, priklauso tai, kokių žinių jis gali įgyti ir kaip jas
pritaikys. Taigi, vystantis mąstymui, po truputį įjungiami ir kiti psichiniai bei fiziniai procesai,
refleksai, pojūčiai, vystosi kalba, loginis mąstymas ir pan. Kalbėdami mes mąstome, kaip ir
mąstydami kalbame. Tobulėjant vaiko kalbai, vis lengviau prisimenama praeitis, įsivaizduojama
ateitis ir geriau orientuojamasi dabartyje. Tai svarbus vaizdinių kūrimo ir operavimo jais
14
aspektas, kuris padeda lengviau suvokti matematiką.
Kai vaikas pažinimui pradeda naudoti mąstymą ir kalbą (2–6 m.), manipuliavimas
daiktais jam nebe toks svarbus, daikto vaizdai pradedami kurti mintyse, atsiranda loginis
mąstymas. Jo pagalba suvokiniai paverčiami simboliniu įvairių objektų atvaizdu vaizduotėje.
Kadangi algebra – tai veiksmai su neapibrėžtais dydžiais, simbolinis mąstymas čia yra labai
svarbus. Sprendžiant lygtis, tekstinius uždavinius, apskaičiuojant nelygybes ar paprasčiausius
aritmetinius veiksmus, suvokiamas veiksmų ir simbolių ryšys, kuris yra algebrinių uždavinių
sprendimo sistemos dalis.
1.3. Algebros elementų mokymas(-is) pradinėje ir pagrindinėje
mokyklose
1.3.1. Algebros ištakos ir vystymosi etapai
Seniausias žinomas matematinį žmonių mąstymą atspindintis objektas yra Afrikoje
rastame kaule aptinkamos įpjovos, kurios buvo sugrupuotos tam tikromis grupelėmis (Boyer C.
B., 1991). Tai rodo, kad matematikos užuomazgų jau buvo prieš 33 000 metų. Keičiantis žmonių
gyvenimo būdui, matematikos naudojimo poreikis didėjo. Tai lėmė skirtingų matematikos sričių
atsiradimą, viena iš jų – algebra. Ji minima 4000 metų senumo rankraščiuose iš Babilonijos,
Egipto, Indijos, Kinijos. Tačiau artimiausia tuometinė algebros išraiška šių dienų algebrai kilo iš
senovės babiloniečių (Struik D. J., 1987). Jie naudojo kvadratines ir kubines lygtis, išvystė
lanksčias algebrines operacijas, kurių pagalba galėjo sudėti, lyginti, dauginti ir dalinti (Boyer C.
B., 1991). Šie keturi aritmetiniai veiksmai yra laikomi algebros atsiradimo pradžia, kurie ir
šiandieninėje mokykloje mokomi nuo I klasės. Svarbiausias įvykis jos vystymesi laikomas naujų
skaičių (iracionaliųjų, nulio, neigiamų skaičių) įvedimas.
Babiloniečių algebra buvo labiau retorinė, t.y., uždavinius sprendė, naudodami
pavyzdžius, nepateikdami paaiškinimo. Jie pripažino tik teigiamus racionaliuosius skaičius, nors
buvo sukūrę metodų sistemą, kurios pagalba galėjo surasti apytikslius uždavinių, kurie neturi
racionalaus sprendimo, sprendinius (Struik D. J., 1987).
Antikinėje Graikijoje algebros uždavinius reikšdavo geometriškai, tik apie 250 metus
algebros tėvu laikomas Diofantas pamėgino atskirti algebrą nuo geometrijos, o tai vėliau
elementaresniame lygmenyje darė ir Al - Khwarizmi (Boyer C. B., 1991).
Taigi, galime teigti, kad graikai gerai išmanė geometriją, o babiloniečiai - algebrą ir
aritmetiką.
Šiuo metu algebra skirstoma į dvi rūšis. Pirmoji – klasikinė algebra apima lygčių
sprendimą, nežinomojo apskaičiavimą, kuri vystėsi apie 4000 metų. Antroji – abstrakčioji, arba
šiuolaikinė, algebra apimanti tiriamas grupes, žiedus ir laukus bei atsiradusi prieš 200 metų
(Stillwell J., 2004).
Nuo algebros atsiradimo iki šių dienų algebrinės žymėjimo sistemos vystėsi trim etapais:
retoriniu (žodiniu), sinkopiniu (naudojami žodžių trumpiniai) ir simboliniu (naudojamas dabar).
Retoriškoji algebra, kai visi skaičiavimai užrašomi žodžiais ir nenaudojami jokie
simboliai. Ji sukurta senovės babiloniečių ir išliko iki XVI a.
Matematikos užuomazgos Lietuvoje prasideda kaip tik šiame etape, kai kūrėsi baltiškoji
kultūra. Visi matematikos pradmenys taip pat buvo paremti žodine kūryba (Baltrūnas A., 1986).
Palaipsniui praktinės matematikos žinios vis tobulėjo. Mezolito amžius laikomas geometrijos
pradmenų atsiradimo ir taikymo praktikoje laikotarpiu. Tuo metu pradėti gaminti kaulo dirbiniai,
ant kurių jau buvo raižomos tam tikros pasikartojančios ornamentų sistemos (Rimantienė R.,
15
1984). II–I tūkstantmetyje pr. Kr. baltai iš indoeuropiečių prokalbės paveldėjo dešimtainę
skaitvardžių sistemą. Manoma, kad ilgą laiką pirmieji dešimt kiekinių skaitvardžių šioms gentims
buvo vieninteliai (Zinkevičius Z., 1996). Intensyvėjant kasdieniam gyvenimui, buvo pradėtas
taikyti žyminis skaičiavimas, t.y., skaičiuojami daiktai, fiksuojami sutartiniais ženklais,
pavyzdžiui, prekybai su kitomis šalimis skaičiavimo reikmėms naudotos lazdelės su atitinkamų
prekių kiekiui įrėžtų rėželių skaičiumi (Šapoka A., 1989).
Taigi, geometrijos pradmenys prasidėjo Lietuvos priešistorėje, taip pat jie išmanė keturis
aritmetinius veiksmus, o tai algebroje yra vienas iš svarbiausių dalykų. Palaipsniui baltų tridalę ir
keturdalę skaičiavimo sistemas pakeitė dešimtainė, o jos pagrindu kūrėsi baltiškoji žodinė
numeracija (Banionis J., 1998.).
Antrasis sinkopinis, arba sutrumpintų skaičiavimų, užrašymo etapas prasidėjo tuomet, kai
Aleksandrijoje gyveno Diofantas (200–284 m.). Yra išlikusios šešios jo knygos, kuriose
pateikiami skaitinių algebrinių reiškinių sprendimai. Tai įrodo, kad Diofantas pirmasis įvedė
raidinę simboliką. Šie simboliai buvo atitinkamų žodžių trumpiniai. Jis taip pat pirmą kartą
matematikoje panaudojo minuso bei lygybės ženklus, laipsnių žymėjimą (Little T., 2010).
Remiantis tuo, kas pasakyta, galėtume teigti, kad Diofanto svarbiausias atliktas darbas yra
aritmetika. Tačiau jo aritmetikoje dėstoma ne teorinė aritmetika, o algebra (ten pat). Vadinasi,
toks klaidinantis pavadinimas atsirado todėl, kad pats algebros terminas, o ne algebra atsirado
vėliau (prieš 200 metų).
Vakarų šalyse ir Lietuvoje viduramžiais vis labiau pradėta vertinti žinias. Šiame
laikotarpyje kūrėsi universitetai. Lietuvos didysis kunigaikštis Gediminas savo laiškuose Vakarų
Europai kvietė amatininkus, pirklius, žemdirbius, riterius atvykti į Lietuvą (Gediminas, Lietuvos
didysis kunigaikštis, 1966), taip skatindamas naujų žinių skleidimą savo valdose. Didėjant
socializacijai ir ekonomikai, didėjo švietimo ir mokymo proceso reikalavimai, todėl nebuvo
galima apsieiti be matematinių žinių. Kasdieninis gyvenimas tiesiog vertė mąstyti logiškai ir
priimti atitinkamus loginius sprendimus, atlikti skaičiavimus.
Simbolinį algebrinės sistemos žymėjimą naudojame iki šių dienų. Tai algebrinių
skaičiavimų užrašymas tam tikrais simboliais. Šis etapas prasidėjo XIV a., o visiškai susiformavo
1637 metais paskelbus Dekarto ,,Geometriją“ (Struik D. J., 1987).
Lietuvoje ši sistema atsirado maždaug tuomet, kai buvo įkurta pirmoji mokykla Lietuvoje
prie Vilniaus katedros (1397 m.). Joje veikė trys klasės, ten, be kitų mokomų dalykų, kaip
religijos, rašto įgūdžių, skaitymo, rašymo mokymo, dar buvo mokoma ir skaičiavimo
(Žemgulienė A., 2009.). Atskirai matematikos, skaidant į geometriją, algebrą, aritmetiką, nebuvo
mokoma, tačiau galima suprasti, kad kaip ir kitų matematikos šakų taip ir algebros užuominų
tikrai buvo.
Galima daryti prielaidą, kad algebra yra aritmetikos ir geometrijos išplėtimas, t. y.,
algebros pradžia buvo geometrija ir aritmetika, o kai žmonės ėmė mąstyti abstrakčiau, iš tų
dviejų matematikos sričių išsirutuliojo algebros mokslas.
1.3.2. Algebros elementų atsiradimas mokyklinio matematinio ugdymo
turinyje
Europoje matematiką sparčiai vystė Arabija ir Indija. Indijos matematikai aktyviai
naudojo simbolius, dešimtainę sistemą ir pirmą kartą panaudojo neigiamus skaičius. Tuo metu jų
naudojami skaitmenys buvo dabar naudojamų skaičių atsiradimo priežastis. Jau minėtas žymus
arabų matematikas Al - Khwarizmi parašė knygą apie algebrą, kuri laikui bėgant buvo išversta į
lotynų kalbą ir padarė algebros vystymosi postūmį Europoje (Baltrūnas A., 1983).
16
XIV–XV a. Lietuvos jaunimas pradėjo studijuoti Vidurio ir Vakarų Europos
universitetuose, nes aukštojo mokslo įstaigų Lietuvoje tuo metu dar nebuvo. Užsienio
universitetuose jie mokėsi ne tik skaičiavimo, bet ir aritmetikos bei geometrijos (Ažubalis A.,
1997). 1570 m. aukštoji mokykla buvo įkurta ir Lietuvoje, tai Vilniaus kolegija. Joje matematika
buvo dėstoma kaip atskira disciplina, t.y., buvo mokoma gramatikos, elementariosios
plokštuminės ir erdvinės geometrijos bei sferinės geometrijos ir trigonometrijos pradmenų
(Banionis J., 2001). Europos universitetuose matematikos dalykų ciklą sudarė aritmetika, Euklido
teorinė geometrija, astronomija, praktinė geometrija. Amžiaus pabaigoje buvo pradėta mokyti ir
algebros (Banionis J., 2001).
Lietuvoje, XVII a. matematika baigė susiformuoti kaip mokslas apie pastovius dydžius ir
tuo pat metu atsirado algebros mokslas. Pradėtos spręsti lygtys, trigonometrija atsiskyrė nuo
astronomijos (Klimka L., 1994). Buvo aiškinami keturi aritmetikos veiksmai su sveikaisiais
skaičiais ir trupmenomis bei pateikiami šių veiksmų patikrinimai. Taip pat buvo nagrinėjama
proporcijos taisyklė, klaidingo teiginio taisyklė, kuria grindžiamas lygčių sprendimo būdas
(Rabikauskas P., 1972). Taigi, matematikos moksle prasidėjo naujas periodas.
XVII–XVIII a. Lietuvoje buvo pradėti leisti matematikos vadovėliai, tačiau juose
labiausiai atsispindėjo aritmetika ir geometrija. Algebra, kaip pastarosios dvi matematikos šakos,
nebuvo išskiriama, tačiau jos paprasčiausių elementų vis tiek būta (Banionis J., 2001), pvz., 1635
m. Vilniuje buvo išleistas matematikos vadovėlis, kuriame aptinkama užduočių su
neapibrėžtomis lygtimis. Prireikė net 100 metų, kad vadovėliuose pasirodytų algebra. Vienas iš
tokių vadovėlių buvo ,,Alpha Matheseos arithmetica theorica et pratica”, išleistas 1734 m.
(Jasiūnas H., Verikaitė V., 1992.). Vis dėlto aritmetika išliko kaip labiausiai paplitęs mokymas,
tačiau nei aritmetika, nei pats jos mokymas nebuvo tobuli. Rengiami vadovėliai buvo tarsi
nurodymai, kaip reikia spręsti tam tikrus pratimus ir uždavinius. Toks algebros mokymas lėmė
tai, kad mokiniai skaičiuodavo mechaniškai pagal jiems nurodytas taisykles (Ažubalis A., 1997).
Europoje matematikos mokslas tuo metu vystėsi vis sparčiau. Jo raidą lėmė sėkmingas
matematinių metodų taikymas, diegiant naujas technologijas, kurios skatino įvairių mokslų
kilimą. Taigi, naujų matematikos mokslo teorijų atsiradimas skatino atskirų matematikos šakų
atsiradimą ir iškilimą (Banionis J., 2006).
1752 m. iš matematikos studijų Vienoje ir Prahoje grįžo T. Žebrauskas. Pradėjęs dėstyti
Vilniaus akademijoje, jis praplėtė matematikos kurso turinį, t. y., buvo pradėta dėstyti logaritmai,
bikvadratinės ir kubinės lygtys, diferencialiniai ir integraliniai skaičiavimai. Atliekant
diferencialinius skaičiavimus, buvo nagrinėjama algebrinių reiškinių diferencijavimas,
diferencialas ir aptariamas algebrinių kreivių maksimumo ir minimumo ieškojimas. 1755 m. T.
Žebrauskas parengė išsamias matematikos disciplinų egzaminų programas, tarp kurių buvo ir
algebra (Zubovas V., 1986). 1761 m. buvo parašytas vadovėlis, kuriame algebra ir aritmetika
pateikiama kaip atskiri dalykai.
Aptarus XIV–XVIII a. matematinį ugdymą matome, kad algebrinis ugdymas Lietuvoje
vystėsi labai lėtai. Dėstant aritmetikos dalyką, ilgą laiką algebra neminima. Tobulėjant
matematikos mokslui, pradedama dėstyti geometriją, o vėliau ir algebrą. Galima pastebėti, kad
algebra labai dažnai pateikiama kartu su aritmetika ir to priežastis, jog algebros elementariausi
pradmenys prasideda mokantis aritmetikos.
Iki 1797 m., kai buvo įkurta edukacinė komisija, matematikos ugdymo apimtis, kaip
matėme, nebuvo didelė, tačiau jau padėti matematikos mokymo ir mokymosi pamatai. Kaip tik
tuo laikotarpiu vyko švietimo reforma. Po jos ir matematika, ir matematinis ugdymas Lietuvoje
smarkiai prasiplėtė. Gimnazijų III klasėje buvo kartojamas I ir II klasės aritmetikos kursas ir
pradedama mokyti geometrijos, o IV klasėje trumpai pakartojama geometrija ir mokoma algebros
(Minginas J., 2007). V ir VI klasėse algebra, priešingai nei kiti matematikos dalykai,
nekartojama. Remiantis tuo, galime teigti, kad tuo metu algebrai dar nebuvo skiriamas didelis
17
dėmesys. Tai dar kartą įrodo, kad algebra tuo metu buvo neatsiejama nuo aritmetikos ir
geometrijos.
1863 m. prasidėjus rusinimui ir vykdant mokyklų reformą, buvo pradėta uždarinėti
parapines mokyklas, o vietoj jų steigti valstybines pradžios mokyklas, kuriose visi dalykai buvo
dėstomi rusų kalba (Ažubalis A., 1997). Kaip jau žinoma, rusinimas reiškė lietuviškos spaudos
uždraudimą, o tai lėmė visų lietuvių kalba išleistų vadovėlių, tarp jų ir matematikos, uždraudimą.
Lietuviai nepasidavė ir pradėjo steigti slaptąsias mokyklas bei aktyviai rengti vadovėlius lietuvių
kalba. Netrukus pasirodė geometrijos ir aritmetikos vadovėlių, tačiau algebros žinių turtinimui
jokia priemonė nebuvo išleista (Banionis J., 2006). Vadinasi, algebra rusinimo laikotarpiu buvo
primiršta.
Vykstant Pirmajam pasauliniam karui, 1916 m. A. Smetona parengė dviejų dalių
,,Elementarinės algebros“ vadovėlį. Tai nebuvo daug gerų atsiliepimų sulaukusi algebros
mokymo priemonė (Banionis J., 1998), tačiau A. Smetona vis dėl to prisiminė algebrą ir
vadovėlyje pateikė algebrinių reiškinių apibrėžimus, supažindino su keturių veiksmų taisyklėmis,
daugianarių skaičių skaidymu, trupmenų veiksmais ir I laipsnio lygtimis. Antroje dalyje buvo
nagrinėjama kėlimo laipsniu, šaknies traukimo aiškinimo, kvadratinių lygčių, proporcijų ir
progresijos, logaritmų, DBD (didžiausio bendro daliklio) ieškojimo, tęstinių trupmenų reiškiniai
ir baigiama skaičių sekos teorijos elementais. Taigi, pagaliau pirmą kartą elementarinės algebros
teorija buvo išdėstyta lietuviškai (ten pat).
Iki Lietuvos nepriklausomybės metų algebra aukštosiose mokyklose suklestėjo. Buvo
rengiami vadovėliai, o algebros turinys plečiamas, gilinamas (Ažubalis A., 1997). Lietuvos
nepriklausomybės metais algebra, kaip atskira matematikos šaka, mokyklose nebuvo išskiriama,
tačiau mokymo programa buvo sudaryta su algebros mokymo elementais. Jokie algebros
elementai neminimi tik I klasėje. II klasėje jau supažindinama su funkcijos ir argumento
sąvokomis; ieškoma I laipsnio funkcijos argumento, kai funkcija lygi nuliui; supažindinama su I
laipsnio lygčių sistemos sprendimais. III klasėje įvedami iracionalieji skaičiai, reiškiniai; šaknies
traukimo iš sandaugos, dalmens, laipsnio šaknies aiškinimas. IV klasėje sprendžiamos dvinarės
lygtys; pertvarkomos trinarės lygtys į kvadratines; ir parodomi atitinkamų lygčių sprendimai. V–
VI klasėje plėtojama funkcijų teorija; apibendrinamos I, II ir III laipsnio rodiklinės, logaritminės
funkcijos; įvedama išvestinės sąvoka ir jos pagrindinės skaičiavimo taisyklės, kurios taikomos
tiriant funkcijas (Lietuvių švietimo draugijos ,,Saulės“ gimnazijų laikinoji programa.,1918).
Kaip matome, XX a. algebra stipriai paplito ne tik aukštosiose mokyklose, bet ir pradžios
mokyklose. Kiekvienoje aukštesnėje klasėje mokoma vis daugiau ir sudėtingesnių algebros
elementų. Šiais laikais algebra yra dar labiau sustiprėjusi ir pradedama mokyti vis jaunesniame
amžiuje. Vadinasi, modernėjančioje mūsų visuomenėje atsiranda vis didesnis poreikis mokytis
algebros ir ją taikyti praktinėje veikloje. Aptarus algebros vystymosi raidą nuo priešistorės laikų
iki XX a. matome, kad jos plitimas Europoje buvo nelengvas. Galima išskirti du algebros
vystymosi etapus, kurie yra labai panašūs; priešistorė – XVI a. ir XVII–XX a. I laikotarpyje
pradėjo vystytis matematika, o algebra kaip matematikos mokslas pasireiškė tik tam tikrais
elementais naudojamais buityje. II laikotarpyje algebra buvo užmiršta ir palaipsniui jai teko vėl
kilti kaip ir jos atsiradimo pradžioje. Dar vienas požymis, kuris rodo, kad šie etapai algebros
vystymosi laikotarpiu yra panašūs – algebros kilimas. Tiek vienu, tiek kitu laikotarpiu algebra
sunkiai, tačiau palaipsniui kilo ir kilo kartu su aritmetika bei geometrija. Galiausiai I
laikotarpyje, supratus jos reikalingumą ir svarbą, buvo atskirta nuo geometrijos ir aritmetikos. II
laikotarpyje ji vėl gi įgauna vis didesnę vertę, užima svarbią vietą matematikos mokyme.
18
1.3.3. Algebros ir uždavinių su jos elementais kaita
I – IV ir V – VI klasėse
Šiame skyriuje plačiau bus aptariama, kaip mokoma algebros pradinėje mokykloje ir V–
VI klasėse. 1.1 poskyryje buvo išsiaiškinta, kas yra algebra ir kokios sąvokos su ja susijusios
nagrinėjama tema.
Siekiant išsiaiškinti, kaip mokoma algebros vadovėliuose iki VII klasės, buvo nusistatyti
kriterijai ir pagal juos renkami duomenys. Kriterijai pasirinkti, remiantis Lietuvos bendrosiomis
programomis ir išsilavinimo standartais, atsižvelgiant į mokymo turinį. Aptarkime visus
kriterijus.
1. Reiškinių reikšmių radimas. Bendrosiose programose ir išsilavinimo standartuose
nurodomi tokie gebėjimai ties šia nuostata (BP, 2008):
I–II klasės mokiniai turi mokėti apskaičiuoti paprastų skaitinių reiškinių ar dydžių
skaitines reikšmes.
III–IV klasės mokiniai turi mokėti apskaičiuoti paprastų skaitinių reiškinių, paprasčiausių
raidinių reiškinių ir dydžių skaitines reikšmes.
V–VI klasės mokiniai turi mokėti apskaičiuoti paprastų skaitinių ir paprasčiausių raidinių
reiškinių skaitines reikšmes, dydžių reikšmes pagal nurodytą formulę:
a + b = c (a = 2, b = 5).
Tokio tipo uždaviniais bus laikomi uždaviniai, kai reiškinys yra duotas, o reikia rasti jo
reikšmę.
1 lentelė
Reiškinių reikšmių radimo uždaviniai
Klasė Užduočių pavyzdžiai Apibūdinimas
1–2 klasė 5 + 4 = ? 35 – 2 = ? _35
9 – 1 = ? 2
Aritmetiniai veiksmai:
sudėtis ir atimtis stulpeliu
bei eilute.
Skaičiai: vienaženkliai ir
dviženkliai.
3–4 klasė 6 · 7 = ? 5 · 6 = ? 280 – 90 – 80 = ?
(28 + 21) : 7 = ?
Aritmetiniai veiksmai:
sudėtis, atimtis, daugyba,
dalyba, skliaustai.
Skaičiai: vienaženkliai,
dviženkliai, triženkliai.
Veiksmo komponentų
skaičius: trys.
5–6 klasė (643 + 78) : 7 – 94 = _125 407
7,2 + 0,6 + 4,4 = 98 038
Aritmetiniai veiksmai:
sudėtis, atimtis, daugyba,
dalyba, skliaustai.
Skaičiai: daugiaženkliai,
trupmeniniai, natūralieji.
Veiksmo komponentų
skaičius: kiek reikia.
Lentelėje (žr. 1 lentelę) pateikta keletas uždavinių pavyzdžių. Uždaviniai pateikiami
sudėtingumo tvarka ir vienoje klasėje parodyti pavyzdžiai kitoje nebekartojami.
19
Kaip matome pradinėje mokykloje apskaičiuoti reiškinių reikšmes daug lengviau, o
perėjus į penktą klasę pastebimas staigus šuolis reiškinių sunkėjimo link.
2. Situacijų aprašymas reiškiniais. Šis kriterijus apima tekstinius uždavinius, kuriuos A. Ažubalis
ir A. Kiseliovas (2002) siūlo skirstyti taip:
Paprastieji tekstiniai uždaviniai. Tai tokie uždaviniai, kurių sprendimui reikalingas vienas
veiksmas. Jie skirstomi į smulkesnes grupes pagal aritmetinius veiksmus (daugyba, dalyba,
sudėtis, atimtis). Paprastieji tekstiniai uždaviniai su dalybos veiksmu išskiriami į dar smulkesnes
dvi grupes: dalybos į lygias dalis ir talpos dalybos, kurios yra skirstomos dar smulkiau. Priede
nr.1 pateikiamas visas tekstinių uždavinių skirstymas su pavyzdžiais.
Sudėtiniai uždaviniai. Tai uždaviniai, kuriems išspręsti reikia dviejų veiksmų. Sprendžiant
tokio tipo uždavinius, pirmiausia reikia nustatyti uždavinio veiksmų eiliškumą.
Tipiniai uždaviniai. Tai tokie uždaviniai, kurie sprendžiami tik konkrečiam tipui tinkančiais
būdais. Yra išskiriami trys tokio tipo uždaviniai, kurie dar vadinami triskaitės taisyklės
uždaviniais (Priedas nr.1).
Proporcingosios dalybos uždaviniai. Tai tokie uždaviniai, kurių sprendinys – proporcijų
nustatymas.
Judėjimo uždaviniai. Šie uždaviniai yra skirstomi į dar tris smulkesnes rūšis: priešpriešinio
judėjimo uždaviniai; uždaviniai apie du kūnus, judančius priešingomis kryptimis; dviejų kūnų
judėjimo viena kryptimi uždaviniai.
3. Tapatūs reiškinių pertvarkymai. Reiškiniai, kuriuos pertvarkant (keičiant dėmenis vietomis,
sutraukiant panašiuosius narius, išskaidant dauginamaisiais ar sprendžiant pagal tam tikrą
veiksmų tvarką), reiškinio reikšmė nesikeičia.
I klasėje tapačių reiškinių pertvarkymo užduočių yra tikrai ne daug. Viena iš tokių užduočių,
kai keičiami sumos dėmenys vietomis, kad suvoktų vaikai, jog dėmenis keičiant vietomis suma
nesikeičia. Kita tapačių reiškinių pertvarkymo užduotis, kai mokoma lengvesniu būdu
apskaičiuoti reiškinius. Siūloma reiškinį pertvarkyti taip: dešimtis sudėti su dešimtimis, o
vienetus su vienetais. Apibendrinant galime teigti, kad tapatūs reiškinių pertvarkymai yra skirti
pradiniam skaičiaus struktūros sampratos formavimui. Daugiau nagrinėjamame I klasės
vadovėlyje tokio tipo uždavinių nėra.
II klasės vadovėlyje atsiranda 4 nauji būdai tapačių reiškinių pertvarkymui:
1. Sudarant ir išardant dešimtis, pvz., 11 – 4 = 11 - 1 – 3.
2. Keičiant veiksmų tvarką, pvz., 41 – 3 · 6 + 29 = 41 – 18 + 29.
3. Sutraukiant panašiuosius narius, pvz., 5 + 5 + 5 + 5 = 4 · 5.
4. Skaidant dauginamaisiais, pvz., 12 · 4 = 10 · 4 + 2 · 4.
Taigi, galime teigti, kad II klasėje plečiama skaičiaus struktūros samprata.
III–IV klasėse tapačių reiškinių pertvarkymo uždaviniai labai panašūs kaip ir II klasėje,
tik pertvarkomi sudėtingesni reiškiniai. Sudėtingesni reiškia, kad reiškiniai sudaryti iš dviejų ir
daugiau dėmenų panaudojant sudėties, atimties, daugybos, dalybos veiksmus bei skliaustus. Šiose
klasėse taip pat vyrauja tapačių reiškinių pertvarkymas keičiant veiksmų tvarką. Skaičiaus
struktūros supratimo gylis didinamas pasirenkant didesnius skaičius ir didesnį reiškinio narių
skaičių. Todėl galima teigti, kad III–IV klasės skirtos tapačių reiškinių pertvarkymo patirčiai
kaupti.
Pradinės mokyklos vadovėliuose vyrauja tokie tapačių reiškinių pertvarkymo uždaviniai,
kurie reikalauja pertvarkyti reiškinių tvarką.
V–VI klasių vadovėliuose pateiktas tapačių reiškinių pertvarkymo užduotis galima
suskirstyti į grupes, kurios pateikiamos lentelėje (žr. 2 lentelę).
Kaip matome, V–VI klasėse yra labai daug uždavinių, kur reikia sutraukti panašiuosius
narius, išskaidyti dauginamaisiais ir keisti veiksmų eiliškumą. Taip pat VI klasėje nemažai
reiškinių su paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis.
20
Taigi, apibendrinant galima pasakyti, kad V–VI klasių tapačių reiškinių pertvarkymo
užduotys yra skirtos dėsnių pastebėjimui ir jų taikymui.
2 lentelė
Tapačių reiškinių pertvarkymo grupės
Nr. Tapačių reiškinių pertvarkymo
grupės pavadinimas
Pavyzdžiai
Sudėties perstatymo dėsnis
(dėmenų keitimas vietomis)
6 + 8 = 8 + 6 (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4)
14 = 14 8 + 4 = 3 + 9
12 = 12
Atimties perstatymo dėsnis (300 + 78) – 200 = 300 – 200 + 78 = 100 +
+ 78 = 178
Daugybos perstatymo, jungimo,
skirstymo dėsnis
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 · 5
a + a + a +a = 4a
2 · x · 4 = 2 · 4 · x = 8 · x = 8x
(a + b + c) · d = a · d + b · d + c · d
4. Lygčių sprendimas. Jau aišku, kad lygtis – tai lygybė, kurioje nežinomas skaičius
pažymėtas raide. Lygties sprendiniu vadiname kintamojo reikšmę, su kuria lygtis tampa teisinga
lygybe. Danutės ir Arkadijaus Kiseliovų vadovėliuose ,,Matematikos pasaulyje” lygties
nežinomasis žymimas tuščiu langeliu, raide arba vaizduojamas paveikslėliu. Kituose
vadovėliuose, pvz., Broniaus Balčyčio ,,Skaičių šalis”, lygties nežinomasis dar žymimas kokia
nors geometrine figūra. Panagrinėkime pavyzdžius iš vadovėlio ,,Matematikos pasaulyje” (žr. 3
lentelę).
3 lentelė
Lygčių įvairovė I–VI klasėje.
Klasė Pavyzdžiai iš vadovėlio Lygčių pateikimo
formos
I
klasė
Lygtis sudaroma
kaip paprastas
skaitinis reiškinys
su vienu
nežinomuoju.
Nežinomasis
vaizduojamas
vaiko aplinkai
artimais objektais.
II
klasė
Lygtis sudaroma
kaip paprastas
skaitinis reiškinys,
tik su didesniais
skaičiais arba
mokoma sudaryti
lygtį, kaip tekstinio
uždavinio
21
sprendinį.
Nežinomasis
vaizduojamas
tuščiu langeliu.
III
klasė
Lygtis sudaroma
tekstiniui
uždaviniui spręsti
arba apskaičiuoti
sudėtingesnius
skaitinius
reiškinius su vienu
nežinomuoju.
Nežinomasis
žymimas raide.
IV
klasė
Lygtis sudaroma
tekstiniui
uždaviniui spręsti
arba apskaičiuoti
sudėtingesnius
skaitinius
reiškinius su vienu
nežinomuoju.
Nežinomasis
žymimas raide.
V –
VI
klasė
a)n + 47 = 61 b)18 – m = 8 c)k – 32 = 14
n = 61 – 47 m = 18 – 8 k = 14 + 32
n = 14 m = 10 k = 46
14 + 47 = 61 18 – 10 = 8 46 – 32 = 14
Lygtis sudaroma
spręsti
sudėtingesnius
tekstinius
skaitinius
uždavinius.
Nežinomasis
žymimas tik
raidiniu simboliu.
Kaip matome, lygčių pateikimo formos įvairios. Nežinomasis bandomas pavaizduoti kuo
vaizdžiau, naudojant, kuo artimesnius vaiko aplinkai objektus (pelytės, domino kauliukai,
vaizduojant skaičių tiesėje ir pan.). Pasitelkiant skirtingas lygčių pateikimo formas, formuojami ir
skaičiavimo įgūdžiai. Iš pradžių vadovėliuose yra mokoma skaičiuoti paprastus, tiesioginius
aritmetinius veiksmus. Įvedant į lygčių sprendimo pakopą, vaikams pateikiami paveikslėliai,
kurie padeda suvokti, kiek trūksta arba kiek yra per daug, kad gautų teisingą reiškinio reikšmę.
Taigi galime teigti, kad I klasėje mokomasi suprasti, jog gali būti nežinomi įvairūs reiškinių
elementai.
22
II klasėje lygčių pateikimo būdai nelabai skiriasi nuo I klasės, tik pradedami naudoti
didesni skaičiai.
Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosiose programose (BP, 2008) nurodoma, kad I–II
klasės mokiniai turi gebėti, remiantis konkrečiu pavyzdžiu, paaiškinti, kaip spręsti paprasčiausią
lygtį su vienu nežinomuoju spėjimo būdu. Kaip matome, vadovėlis visiškai atitinka vieną iš BP
ugdymo gairių, kad lygtys sprendžiamos be raidinės simbolikos (žr. 3 lentelę). Ir vis dėlto tuščias
langelis taip pat gali būti pavadintas nežinomojo simboliu. Lygtys pradedamos taikyti uždavinio
sąlygos užrašymui ir sprendimui. Tokia lygčių taikymo sritis paįvairina skaičiavimo pratimus.
Atitinkami pratimai įgyja probleminį pobūdį, tad pradeda ugdyti ir bendruosius gebėjimus, pvz.,
loginį mąstymą, išradingumą, kombinatorinius gebėjimus.
Taigi, galime teigti, kad II klasės lygčių sprendimo užduotys skirtos lygčių simbolikos
įtvirtinimui ir praktinio lygčių sprendimo patirties kaupimui.
III–IV klasių mokiniai turi suprasti, žinoti ir gebėti spėjimo ar atrinkimo būdu rasti lygčių su
vienu nežinomuoju sprendinį. Taip pat jie turi gebėti patikrinti gautąją skaitinę lygybę, t.y.
patikrinti, ar ta gauta lygybė yra teisinga (vietoj nežinomojo įrašyti gautą skaitinę reikšmę). I–II
klasėje to daryti nereikia. III klasėje atsiranda lygčių, kurių nežinomasis žymimas raide. Lygties
nežinomojo žymėjimas kvadratėliu beveik nebenaudojamas. Nemažai pasitaiko aritmetinių
tekstinių uždavinių, kur reikia sudaryti lygtį, norint išspręsti tą uždavinį. Taip mokiniai pamato jų
taikomąją vertę.
Apibendrinant, III klasės užduotis galima pavadinti lygčių simbolikos nusistovėjimui ir
lygčių įvairovės didėjimui, lygčių praktinės naudos supratimui skirtomis užduotimis.
IV klasės pirmoje ,,Matematikos pasaulyje” vadovėlio dalyje nemažai yra aritmetinių
tekstinių uždavinių, kuriuos jau matėme aptardami lygtis III klasėje. Taip pat IV klasės
vadovėliuose visiškai išnyksta nežinomo nario žymėjimas kvadratėliu. Analizuojant vadovėlius
buvo pastebėta, kad lygtis kiekvienoje klasėje keičiasi. Palaipsniui pereinama nuo lygties
nežinomo nario žymėjimo kvadratėliu prie žymėjimo raide. Sunkėja pačios lygtys ir jų
sprendimas, didėja skaičiai. Lygtys, kurios turi daug sprendinių, pradinėje mokykloje
nenagrinėjamos.
V–VI klasės matematikos vadovėlyje ,,Matematika ir pasaulis” lygčių pateikiama tikrai
nemažai. Pirmųjų pateikiamų lygčių V klasės vadovėlyje nežinomasis žymimas kvadratėliu.
Vėliau pradedama žymėti raidėmis, prisiminus nežinomojo dėmens, atėminio ir turinio radimo
taisykles (žr. 3 lentelę). Jau V klasėje pateikiamos užduotys, kuriose reikia išspręsti uždavinius
sudarant lygtis. Tokio tipo užduočių, kur tiesiogiai prašoma sudaryti uždaviniui lygtį, nėra. Taip
pat pradedamos spręsti lygtys su trupmenomis. Kaip matome, lygčių pateikimo ir sprendimo
pokytis V klasėje tikrai didelis.
VI klasėje atskiro skyriaus lygtims nėra išskirta. Ir lygčių yra mažiau negu negu V klasėje.
Kaip matome, V klasės užduotys skirtos priminimui pradinėse klasėse jau matytų simbolinių
žymėjimų (kvadratėliai, raidės), lygčių taikymo sprendžiant problemas įvairovei ir griežtai
suformuluotų taisyklių taikymui.
5. Nelygybių sprendimas. Nelygybė – tai toks algebrinis santykis, kuris parodo, kad vienas
dydis ar reiškinys yra didesnis ar mažesnis už kitą. Iš bendrosiose programose suformuotų
nelygybių sprendimo ugdymo gairių matome, kad pradinių klasių mokiniai, tiek I–II, tiek III–IV
klasėse sprendžiant nelygybes turi mokėti nustatyti, kuris skaičius tenkina nelygybę (BP, 2008).
Nelygybių pradinių klasių vadovėliuose nėra labai daug. Mokyti spręsti nelygybes
pradedama nuo I klasės. Nelygybių mokymas(-is) prasideda lyginant paprastus, vaiko aplinkai
artimus ir gerai pažįstamus daiktus: kaladėlės, daiktai, daržovės ir pan. (Kiseliovas A., Kiseliova
D., 2004, p. 6, 11). Po kelių pamokų atsiranda nelygybių ženklai >, < arba =. Lyginami du
skaičiai ir kartu vaizduojami paveikslėliai, užrašoma visa nelygybė (Kiseliovas A., Kiseliova D.,
23
2004, p. 12, 17). Dar vėliau pradedamas lyginti skaitinis reiškinys (reikia surasti jo reikšmę,
palyginti) ir skaičius, pvz.: 6 + 2 O 7; 7 O 9. (Kiseliovas A., Kiseliova D., 2007, p 31).
Jau pradinėse klasėse pradedama lyginti ilgio matus. Tokio tipo nelygybių yra labai nedaug.
II klasėje pradedama lyginti piniginius vienetus ir kitus didesnius ilgio matavimo vienetus
(Kiseliovas A., Kiseliova D., 2004, p. 37; 2007 a, p. 5; 2007 b, 46). Mokantis suprasti ar sudaryti
elementarias diagramas, pradedama lyginti diagramų duomenis. Būtų galima teigti, kad diagramų
duomenų lyginimas tai nėra nelygybė, tačiau jei pažiūrėsime iš algebros pusės, tai ir diagramų
duomenis galima užrašyti lygtimi (Kiseliovas A., Kiseliova D., 2004, p. 47). Nelygybės
sprendžiamos ir tokiu būdu, kai reikia parinkti tinkamą skaičių, kad nelygybė būtų teisinga
(Kiseliovas A., Kiseliova D., 2007 c, p. 42). III klasės pradžioje pradedama lyginti skaičiaus dalis
(trupmenas) (Kiseliovas A., Kiseliova D., 2006, p. 18, 27, 48). Kaip matome, nelygybes galime
pritaikyti sprendžiant įvairaus tipo užduotis. Dažnai jos padeda spręsti tekstinius uždavinius. III
klasėje nelygybių reiškinius su sudėties ir atimties veiksmais palaipsniui pradeda keisti reiškiniai
su daugybos ir dalybos veiksmais, kadangi šioje klasėje labai akcentuojama daugyba. IV klasėje
nelygybės nelabai skiriasi nuo III klasėje sprendžiamų nelygybių. Ketvirtokų vadovėlyje
pateikiamos nelygybės gal kiek sunkesnės nei III klasės. Sudėtingumas pasireškia tuo, kad
lyginamų reiškinių skaičiai ir tų reiškinių apskaičiuotos reikšmės didesnės, lyginami didesni
matavimo vienetai. Pradinėse klasėse sprendžiant nelygybes, dažniausiai reikia įrašyti ženklus >,
< arba =. VI klasėje pradedamos spręsti tokios nelygybės, kuriose reikia nurodyti net kelias
kintamojo reikšmes, kad nelygybė būtų teisinga, pvz.: nurodykite bent tris tokias n reikšmes, su
kuriomis būtų teisinga nelygybė n < 8. I–IV klasėse nelygybėms spręsti raidiniai simboliai
nebuvo naudojami, V klasėje nelygybių sprendime pradedami naudoti tokie simboliai.
Aptarę nelygybių I–VI klasėse kaitą, matome, kad palaipsniui nelygybių sandara, pateikimo
būdas sunkėja. Įvedami vis sunkesni ir naujesni nelygybių komponentai. V–VI klasės
vadovėliuose jau atsiranda sudėtingesnių veiksmų su paprastosiomis ir dešimtainėmis
trupmenomis (pradinių klasių vadovėliuose užduočių su trupmenomis yra, tačiau V–VI klasėje
jos yra sudėtingesnės).
Kaip matome, reiškinių reikšmių radimas pradinėje mokykloje nėra labai sudėtingas. I–IV
klasėje sprendžiami nesunkūs tekstiniai uždaviniai, reikalaujantys sudaryti 1–2 klausimus arba
sprendžiant atlikti 2–3 veiksmus. Užduotys su lygtimis padeda geriau suvokti lygčių simboliką ir
įvairovę bei jų praktinę naudą. Tai tarsi įvadas į aukštesnę pakopą. IV klasėje nuosekliai
siekiama formuoti supratimą, kad tiek realūs daiktai, tiek abstraktūs skaičiai ir taip pat iš jų
sudaryti reiškiniai, taip pat grafiškai pavaizduota informacija turi kiekybinių skirtumų. Tiems
skirtumams geriau įžvelgti gali prireikti įvairių matematinių pertvarkymų. Perėjus į V klasę
pastebimas staigus šuolis reiškinių sunkėjimo link. Atsiranda reiškiniai su trupmenomis,
didesniais skaičiais, reiškinių reikšmės radimui gali prireikti atlikti 4 ir daugiau veiksmų.
Tekstinių uždavinių formuluotės sunkėja, tačiau nežymiai. Keičiasi tik klausimų ir veiksmų
uždaviniui išspręsti kiekis. Šių klasių koncentrui jau pateikiami uždaviniai reikalaujantys sudaryti
lygtis. V–VI klasėje prisimenamas lygčių sprendimas pradinėje mokykloje ir pradedamos spręsti
lygtys su didesniais skaičiais, skaičių lygtyje atsiranda daugiau. Taip pat keičiasi nelygybių
simbolika ir sudėtingumas.
Taigi, galime teigti, kad III–IV klasės skirtos tapačių reiškinių pertvarkymo patirčiai kaupti, o
V–VI klasių tapačių reiškinių pertvarkymo užduotys yra skirtos dėsnių pastebėjimui ir jų
taikymui.
24
1.3.4. Uždavinių su algebros elementais sunkumų priežastys
Algebros mokymo ir mokymosi temomis Lietuvos švietimo sistemoje nėra daug kalbama,
ypač apie algebros mokymą pradinėse klasėse. Galime daryti prielaidą, kad tokia situacija yra
todėl, jog pradinėse klasėse algebros yra labai nedaug, dažniausiai yra mokoma tik uždavinių su
algebros elementais.
Užsienyje matematikos mokymo ir mokymosi klausimais švietimo sistemoje skiriama
daug dėmesio. R. Banerje teigia, kad yra daugybė būdų mokiniams padėti mokytis algebros. Jis
teigia, kad pirmiausia reikėtų išmokti elementariausių aritmetikos veiksmų ir taisyklių. Autoriaus
nuomone geras aritmetinių žinių bagažas padeda geriau suprasti ir mokytis algebros (Banerje R.,
2011).
Daugumoje Indijos mokyklų pradinėse klasėse vaikai pirmiausia studijuoja aritmetiką.
Įsigilina į sąvokas, įsisavina visas reikalingas žinias ir tik vidurinėje mokykloje pradedama
mokytis algebros. Ši chronologinė seka atsirado dėl istorinių priežasčių (Blanton M., 2001). Jau
žinome, kad algebra kilusi iš aritmetikos, todėl R. Banerje nuomone algebrą plėtoti reikėtų
remiantis aritmetika. Jis teigia, kad susisteminus ir aprašius bendrąsias jų savybes algebros ir
aritmetikos mokymasis taptų lengvesnis.
Tačiau indų patirtis rodo, kad sunku mokiniams sieti aritmetiką ir algebrą bei pamatyti
aritmetikos svarbą algebros atžvilgiu. Tai lėmė, kad imta ieškoti būdų, kaip įvesti algebrą,
grindžiant ją aritmetikos veiksmais. Apžvelgus naujos nacionalinės tarnybos švietimo tyrimo ir
mokslo vadovėlius (NCERT, 2012), galima daryti prielaidą, kad algebra yra įvesta kaip VI klasės
turinio apibendrinimas. Pradžioje mokomasi aritmetikos, kuri gali padėti lengviau suvokti
algebrinius simbolius ir operacijas su jais.
Kitas būdas, kaip galima įvesti algebrą į mokymo turinį, naudoti algebros elementus kaip
įrankį uždavinių sąlygų sutvarkymui, apibendrinimui, įrodymui ir paaiškinimui. Kaip matome,
geri aritmetikos įgūdžiai leidžia geriau suprasti algebrą.
Taigi, R. Banerje algebros gebėjimų ugdymą nagrinėjo dviem aspektais: algebros
simbolių ir veiksmų suvokimas, naudojant įvairių rūšių metodus ir algebros prijungimo prie
aritmetikos nauda (Banerje R., 2001).
S. Wagner, S. Parker, (1999) teigė, kad daugiausia sunkumų, sprendžiant algebrinius
reiškinius su raidiniais simboliais, kyla dėl to, kad sunkiai sekasi parinkti tinkamą sprendimo
būdą arba padaro aritmetinių klaidų apskaičiuodami algebrinius reiškinius. R. Banerje (2001)
teigia, kad būtina paprastai ir suprantamai išaiškinti algebrines sąvokas ir sprendimo būdus. Jis
pateikia pavyzdį, kuris padeda lengviau įsiminti vienos iš algebrinių lygčių sprendimo principą.
Lygtis 2a + 7a = ... Autorius pataria, tokią lygtį paversti tekstiniu uždaviniu ir raidinius simbolius
pavadinti daiktais, pvz., 2 obuoliai + 7 obuoliai = 9 obuoliai. Mokiniams dažnai kyla problemų,
kai sprendžiamame reiškinyje yra skirtingi simboliai, pvz., 2a + 7b = ... R. Banerje tokios lygties
sprendimą aiškina taip: 2 obuoliai + 7 bananai = 9 obuoliai ir bananai.
Kaip matome, algebrinių reiškinių, lygčių sprendimui ir jų suvokimui įtaką daro ir
tekstiniai uždaviniai. Be to, reikia pripažinti, kad ,,+“, ,,-“ ir ,,=“ turi keletą reikšmių (Wagner S.,
Parker S., 1999). Jie gali būti naudojami, siekiant nurodyti skaičiavimo procedūras arba sužinoti
galutinį atsakymą. Sprendžiant lygtis, kai lygties nežinomieji yra žymimi raidėmis ir jie yra keli,
mokiniai taiko lygties su vienu nežinomuoju sprendimo taisyklę, pvz., Ax + b = Cx + d
sprendžiama pagal Ax + b = c (Herscovics, N., Linchevski, L., 1994). Taigi, mokiniai turi
suvokti, kad sprendžiamame reiškinyje nebūtinai turi būti skaičiai, tą patį galima atlikti ir su
raidėmis. M. Mac Gregor ir K. Stacey (1997) atlikę tyrimą padarė išvadą, kad klaidingas
simbolių supratimas atsiranda dėl intuityvaus ir pragmatinio mąstymo apie skaičių žymėjimo
25
ženklais sistemą. Taigi, jie prieštarauja R. Banerje teorijai, kad algebros supratimui trukdo n
pažintinės priežastys.
Apibendrinant galime teigti, kad sunkumai, sprendžiant algebros uždavinius, kyla dėl
klaidingo simbolių supratimo ir nesugebėjimo jais veikti. O tai lemia aritmetiniai įgūdžiai.
Pagal R. Banerje (2001) netinkamas aritmetinių sąvokų suvokimas lemia sunkumus
sprendžiant algebrinius uždavinius. L. Linchevski ir D. Livneh (1999) atliko tyrimą, kuriuo
išsiaiškino mokinių daromas klaidas algebros uždavinių aritmetiniame kontekste. Jie išskyrė tris
pagrindines klaidas:
1. Sąlygoje nurodytų veiksmų išskyrimas, pvz., 23 – 6 + 7 = 23 – 13.
2. Klaidinga sąlygoje nurodytų veiksmų seka, pvz., 5 + 6 X 10 = 11 X 10 = 110.
3. Nesupranta skaičių prastinimo taisyklės, pvz., 217 + 175 – 217 + 175 + 67. Tokiame
reiškinyje išbraukiamas antrasis 175, nes po pirmojo 175 yra ,,-“ ženklas.
Kaip matome, kliūtis algebros mokyme(-si) gali sudaryti aritmetikos įgūdžių, gebėjimų stoka.
Tačiau negalima pamiršti, kad nors šios dvi matematikos šakos ir naudoja tuos pačius
aritmetinius ženklus, aritmetika ir algebra yra skirtingos, todėl mokant tiek vienos, tiek kitos
būtina pabrėžti jų savitumą. Geros aritmetikos žinios tik padeda geriau išmokti algebros.
1.3.5. Algebros mokymo galimybės
1.3.5.1. Mokymo metodai
Šiuolaikinėmis sąlygomis mokymo procesą būtina organizuoti taip, kad vaikai būtų
ugdomi kaip sumanios, kūrybingai mąstančios ir veikiančios asmenybės, kurios gebėtų
savarankiškai plėsti žinias ir jas taikyti praktiškai. To siekiant, atsižvelgiant į mokinius, ugdymo
procesas turi būti organizuojamas taip, kad mokiniams būtų sudarytos kuo geresnės sąlygos
mokytis ir aktyviai veikti (Rajeckas V., 1999). Vienas ir bene svarbiausias produktyvaus
mokymo (si) veiksnių – metodas.
Žodis metodas (gr. methods – tyrimo kelias) reiškia tikslo siekimą, veikimo būdą, veiklos
tvarką, sąmoningai naudojamų kokiam nors tikslui pasiekti (TŽŽ,1985). S. Šalkauskis
pedagoginiuose raštuose (Šalkauskis S., 1991) metodus apibrėžia taip pat. Jo teigimu, tai yra
principinis nusistatymas veikti tam tikru būdu, geriausiai tinkančiu tikslui pasiekti. Vadinasi,
metodai – tai grupė būdų mokymą padaryti naudingą ir įdomų. Norint aptarti mokymo metodus,
kurie naudojami matematikos pamokoje mokantis algebros, reikėtų išsiaiškinti mokymo metodų
klasifikavimą.
Dar iki šiol nėra vienos bendros mokymo metodų klasifikacijos, kadangi metodai – tai
kintanti didaktinė kategorija (Martinkaitienė G., 2002).
L. Jovaiša siūlo tokią mokymo metodų klasifikaciją: mokymo tikslas; mokymo
priemonės (žodis, vadovėlis, prietaisas ir kt.); mokymo aktas (priemonių panaudojimo veiksmų
sistema) (Jovaiša L., 1985). Kaip matome, pagal tokią klasifikaciją, kiekvienai daliai galime
priskirti labai daug metodų, pvz., mokymo tikslui atskleisti galime panaudoti labai daug įvairių
metodų: pasakojimas, diskusija, klausymas, vaizdinis demonstravimas ir pan. Mokymo
priemones mes galėtume įvardinti, kaip mokymo metodo priemonę tam metodui įgyvendinti,
todėl galime teigti, kad toks mokymo metodų klasifikavimas nėra tikslus. Pažiūrėję į tokią
klasifikaciją, matome, kad tai tik planas, būtinas tinkamai išdėstyti medžiagą ir padėti įsisavinti
žinias pamokos metu.
XXI amžiuje mokslui labai dideliais žingsniai žengiant į priekį, būtinas savarankiškumas,
todėl svarbu išugdyti tokią asmenybę, kuri gebėtų ne tik taikyti įgytas žinias savarankiškai, bet ir
savarankiškai plėsti savo žinių bagažą. Taigi, skatinat mokinių savarankiškumą mokymo metodus
26
galima klasifikuoti taip (Rajeckas V., 1997): informaciniai, operaciniai, kūrybiniai. Jie yra
skirstomi į dar smulkesnes šakas (2 pav.).
2 pav. Metodų klasifikavimas pagal mokinių savarankišką darbą
Visus šiuos metodus ne tik galima, bet ir būtina taikyti mokant algebros. Tiriamasis ir
praktinis, laboratorinis metodai daugiau taikomi vyresnėse klasėse, tačiau, pritaikius juos, ir
pradinėse klasėse mokymas(-is) taptų daug įdomesnis.
S. Šalkauskis išskiria tik du pagrindinius metodus: tetinį (teikiamasis metodas) ir euristinį
(randamasis metodas) (Šalkauskis S., 1991). Tetinis metodas iš mokinio reikalauja pasitikėjimo,
dėmesio ir imlumo (Rajeckas V., 1997). Tai reiškia, kad mokinys tuo tarpu yra neaktyvus, jis tik
klauso ir bando įsiminti, ką sako mokytojas. Taigi, galime teigti, kad dėstymą, aiškinimą ir
išvystymą apibendrintai vadiname tetiniu metodu. Toks metodas dažnai taikomas mokant, tačiau
būtina, kad šalia šio metodo dar būtų taikomas ir antrasis metodas – euristinis. Taikant šį metodą,
yra randama, išrandama, surandama (Rajeckas V., 1997). Iš šių trijų metodą apibūdinančių
27
žodžių matome, kad šiuo atveju vaikas yra aktyvus. Euristinis metodas yra pagrįstas
savarankiškais ieškojimais.
Labai populiarus mokymo metodų klasifikavimo būdas pagal žinių šaltinį (Rajeckas V.,
1999). Iš psichologijos žinoma, kad informacijos perdavimas ar gavimas bei jos įsiminimas
vyksta trimis būdais: per vaizdą (tai įvairi vaizdinė medžiaga); per žodį (įvairūs pokalbiai,
aiškinimai ir pan.); per veiklą (kai kas nors atliekama (dažniausiai savarankiškai) ir tokiu būdu
gaunama naujos informacijos). Šie trys būdai suteikia žinių, todėl šis populiarus metodų
klasifikavimas ir remiasi žinių šaltiniais ( 3 pav.).
3 pav. Metodų klasifikavimas pagal žinių šaltinį
I–IV ir V–VI klasių matematikos vadovėliuose pateiktų užduočių analizė (žr. 1.3.3.
skyrių) parodė, kad matematikos pamokose, mokant algebros ar jos elementų, taikomi visų trijų
kategorijų pagal žinių šaltinį skirstomi metodai. Nė vienoje pamokoje mokytojas neišsiverčia be
žodinių metodų. Pasakojimo metodas taikomas sužadinti atitinkamus jausmus, sudaryti deramą
emocinę nuotaiką, skatina mokinių fantaziją. Pasakojant yra svarbu ne tik turinys, bet ir forma.
Labai svarbu tinkama intonacija. Pasakojimą pagyvina, padaro įdomesnį mimika ir gestai.
Monotoniškas pasakojimas nukreipia mokinių dėmesį, todėl mokiniai sunkiai įsimena dėstomus
faktus. Šis metodas plačiai taikomas nuo I iki VIII klasės (Rajeckas V., 1999). Aiškinimas,
pokalbis taip pat labai svarbūs metodai, kurie padeda mokiniams įsiminti ir suprasti medžiagą.
Praktiniai metodai taip pat plačiai taikomi mokantis ne tik algebros, bet ir kitų
matematikos dalykų. Nagrinėjamo amžiaus vaikų pamokose dažniausias praktinis metodas –
pratimai. Pratimai – daugkartinis tam tikrų veiksmų atlikimas (Rajeckas V., 1997). Šis
apibrėžimas rodo, kad pratimų metodu siekiama įtvirtinti žinias, formuoti bei tobulinti mokėjimus
ir įgūdžius. Metodas, kurį galima ir būtina taikyti mokantis algebros, – grafiniai darbai. Šis
metodas padeda išmokti grafiškai vaizduoti ir operuoti vaizdiniais, o tai yra labai svarbu
sprendžiant lygtis, nelygybes, vaizduojant duomenis diagramose ir lentelėse. Vaizdinių metodų
naudojimas ir jų teikiama nauda labai priklauso nuo mokytojo (kokia bus pateikiama informacija
ir kaip jis bus pateikiama). Galime teigti, kad lygties sprendimas, vaizduojamas lentoje, – tai
vaizdinis metodas. Taigi, be šio metodo nepraeina nė viena pamoka.
Kaip matome, mokymo metodai yra skirstomi pagal įvairias sritis, tačiau visi jie turi
kažką bendra. Kiekvienas pedagogas, remdamasis įvairiais klasifikacijos būdais, gali susidaryti
savo metodų klasifikavimo sistemą ir, remdamasis jais, ugdyti savarankišką, mokančią taikyti
įgytas žinias asmenybę. Taigi, galime teigti, kad algebros mokymui absoliučiai tobulų bei
visuotinai taikytinų (universalių) ar blogų metodų nėra.
28
1.3.5.2. Informacinių komunikacinių technologijų taikymas mokantis
algebros
Informacinės, komunikacinės technologijos (toliau – IKT) per gan trumpą laikotarpį
pakeitė įvairias visuomenės gyvenimo sritis. Ypač daug pasikeitė sritys, susijusios su
matematika. Šiuo metu švietimas ypatingą dėmesį skiria ugdyti bei lavinti tinkamai pasiruošusį
gyventi žinių visuomenėje žmogų. Itin svarbu, kad švietimo srityje yra labai siekiama pritaikyti
įvairias ugdymo veiklas prie naujų galimybių.
Prieš nagrinėjant temą, tikslinga išsiaiškinti informacinių komunikacinių technologijų
sampratą.
Ši sąvoka susideda iš trijų žodžių: informacinis, komunikacinis ir technologija. Žodis
informacija (lot. informatio – išaiškinimas, pranešimas) reiškia mokslines, visuomenines,
politines, technines žinias, kurios perduodamos vienų asmenų kitiems žodžiu, raštu arba
žiniasklaidos priemonėmis (per spaudą, radiją, televiziją, kiną, kompiuterių tinklus) (TŽŽ, 1985).
Kitaip tariant, tai duomenų ar žinių tam tikru klausimu visuma. Technologija įvardijama kaip
gamybinių procesų atlikimo būdų ir priemonių visuma (LKŽ, 2005). Komunikacija – tai
susisiekimo ryšys, bendravimo priemonė (LKŽ, 2005). Sujungę pirmus du terminus – informacija
ir technologija – gauname sąvoką „informacinės technologijos“, kuri intensyviai imta vartoti nuo
XX a. antrosios pusės (Bakanovienė T. ir kt., 2008). Informacinės technologijos – tai priemonių
ir būdų visuma informacijai apdoroti (Brazdeikis V., 2009). Dabar jau plačiai vartojama sąvoka
informacinių komunikacijų technologijos. Informacinės ir komunikacinės technologijos (IKT)
– tai techninė įranga, skirta informacijai apdoroti, ir programinė įranga (pavyzdžiui, tekstų
rengimo sistema, skaičiuoklė, duomenų bazė, pateikčių rengimo programa) bei metodai, kuriais
kuriama, tvarkoma bei skleidžiama informacija (Bakanovienė T., 2008). IKT samprata remiasi
plačiu technologijų supratimu. Į šia sąvoką dažniausiai įeina (ŠMM, 2009): kompiuteriai;
interaktyvi lenta; internetinės paslaugos; mokomoji medžiaga internete; televizija.
Dažniausiai naudojamos IKT priemonės yra asmeninis kompiuteris, spausdintuvas,
kopijavimo aparatas ir magnetofonas. Kaip rečiausiai naudojamos IKT priemonės įvardintos Web
kamera, filmavimo kamera bei interaktyvi lenta (ŠMM, 2006). Tai rodo, kad mokytojai,
ruošdamiesi pamokoms ir jas dėstydami, taiko IKT priemones, tačiau dažniau naudojasi
tradiciniais informacijos perteikimo būdais.
Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerijos atlikto tyrimo apie IKT naudojimą
gerinant mokymo ir mokymosi mokykloje kokybę rezultatai taip pat atskleidė, kad matematika
nėra ta disciplina, kurios pamokose IKT taikoma dažniausiai.
Panagrinėkime, kokios galimybes atveria IKT taikymas mokant(-is) algebros. Daugumą mokomųjų kompiuterių programų, kurios taikomos Lietuvos mokyklose,
galima atsisiųsti iš tinklalapio http://www.emokykla.lt.
Šiandieniniame pasaulyje dažnas pirmokas moka naudotis kompiuteriu ir prie jo praleidžia
nemažai laiko. Tiek mokytojai, tiek tėvai tai gali pritaikyti vaikų mokymosi gerinimui. Yra labai
daug mokomųjų žaidimų, kurie gali padėti mokytis algebros, tačiau lietuvių kalba tokio pobūdžio
žaidimų yra nedaug. Viena labai populiari internetinė svetainė, kurioje žaidžiant žaidimus galima
mokytis įvairių disciplinų, yra Mokinukai.lt. Šiame tinklapyje pateikiamos užduotys, kurių
pagalba galima mokyti(-is) ir algebros, pvz., Daugiau, mažiau ar lygu?; Skaičių sekos; Daugybos
lentelė iki 3; Reiškiniai su skliaustais. Tai žaidimai, kurių metu mokomasi uždavinių su tam
tikrais algebros elementais. Mokinukai.lt svetainėje yra pateikiamas skyrius su žaidimais lygtims
ir nelygybėms spręsti (Mokinukai.lt, 2008 - 2012). Dar vienas mokomasis matematikos žaidimas
Skaičių miestelis. Šis žaidimas skirtas I–IV klasėms. Jame vyrauja užduočių gausa ir įdomūs
personažai, o užduočių sąlygos nuolat keičiasi, todėl, žaidžiant šį žaidimą, skatinamas vaiko
29
mąstymas, o ne automatinis įsiminimas. Šis žaidimas sukurtas, remiantis pradinio ugdymo
matematikos programa, ir 2007 metais įtrauktas į LR švietimo ir mokslo ministerijos
rekomenduojamų mokyklinių programinių įrangų sąrašą (APIX edukacinės sistemos, 2008 –
2012). Kaip matome, mokomųjų žaidimų, skirtų algebros mokymui(-si) lietuviškuose
tinklapiuose, nėra gausu. Algebra yra dėkinga tuo, kad mokomuosius žaidimus galima žaisti
įvairių kalbų tinklapiuose ir juos žaidžiant nereikia ypatingų kalbos mokėjimo įgūdžių. Domintis
mokomaisiais matematikos žaidimais, paaiškėjo, kad anglų kalba sukurtų tokio tipo svetainių
situacija yra visai kitokia. Čia ne tik gausu matematinių žaidimų, bet ir algebros įgūdžių
lavinimui skirtų mokomųjų žaidimų. Peržiūrėjus internete Lietuvos mokytojų sukurtas svetaines
(musumokykla.lt; mokinukai.jimdo.com; astosklase.lt; pradinukas.ku.lt ir kt.), aiškiai matyti, kad
beveik visos nuorodos į mokomųjų matematinių žaidimų svetaines yra anglų kalba. Labai platų
algebros užduočių pasirinkimą nuo darželio iki VIII klasės galima rasti tinklapyje www.ixl.com
(IXL learning, 2012).
Internetinėje užklausoje įvedus raktinius žodžius algebras games, galima rasti ir daugiau
algebros mokomųjų žaidimų tinklapių, bei užduotis parinkti pagal vaiko poreikius ir sugebėjimus.
Matematikos mokytojai, turintys techninių galimybių, pakankamai žinių ir noro pamokose
taikyti IKT, gali tai daryti. Tačiau susiduriama su įvairiomis problemomis. Kaip jau matėme,
programų, skirtų matematikos mokymui(-si), yra tikrai nedaug, ypač programų lietuvių kalba.
Dar sudėtingesnė situacija su algebros mokymo programomis Lietuvoje. Yra sukurta programa
Grafikas, kurios pagalba mokytojai gali paįvairinti pamokas tokiomis temomis (emokykla.lt,
2008):
1. Tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais grafinis sprendimo būdas.
2. Grafinis kvadratinių nelygybių sprendimas.
3. Funkcijos grafikas ir jo savybės.
4. Tiesinės funkcijos grafikas. Funkcija f(x) = kx.
5. Funkcija f(x) = xk ir jos grafikas.
6. Kvadratinė funkcija f(x) = ax2 + bx +c, jos grafikas ir savybės.
7. Funkcijų grafikų transformacijos.
8. Funkcijos f(x) = f( x ) ir h(x) = f(x) bei jų grafikai.
9. Logaritminės, rodiklinės funkcijos ir jų grafikai.
10. Trigonometrinių funkcijų grafikai; Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikai.
Kaip matome, šios temos atitinka IX–X klasių mokinių mokymosi programas ir visiškai
neatitinka I–IV ir V–VI klasių algebros mokymo turinio bendrosiose programose, todėl galime
daryti prielaidą, kad algebros mokymo(-si) tobulinimui pradinėse ir V–VI klasėse yra skiriama
labai mažai dėmesio.
Trumpai apžvelkime IKT naudojimo mokymo(-si) aplinkoje pranašumus ir trūkumus.
IKT palengvina pamokos vedimą; didelė išliekamoji vertė (kai girdime ir matome išlieka 70 %
informacijos), puikus vaizdinės medžiagos pateikimas labiau įtraukia mokinius. Tačiau šių
priemonių naudojimas turi ir tam tikrų trūkumų: tam reikia technikos įgūdžių, kokybiškai
įrengtos aplinkos; pasiruošimas tokiai pamokai užima daugiau laiko (Šilutės jaunimo ir
suaugusiųjų mokymo centras, 2011).
Apibendrinant galima teigti, kad IKT – tai platesnės galimybės rinkti, apdoroti ir pateikti
informaciją pasitelkiant įvairius būdus ir metodus. Galime teigti, kad matematikos mokymui(-si),
ypač algebros, nėra sukurta pakankamai mokymo(-si) programų. Tačiau apžvelgę Švietimo
mokslo ministerijos atliktą tyrimą, matome, kad matematikos mokytojai ir nepasinaudoja visomis
turimomis, galimomis ir įmanomomis IKT taikymo priemonėmis algebros mokymo gerinimui.
Turint įvairių IKT priemonių, algebros mokymą(-si) galima padaryti daug įdomesnį,
naudingesnį, jei bus panaudotos bent tos IKT priemonės, kurios mokytojui yra prieinamos ir
suprantamos.
30
2. UŽDAVINIŲ SU ALGEBROS ELEMENTAIS SUNKUMŲ
I–IV IR V–VI KLASĖSE TYRIMAS
2.1. Tyrimo metodika
Empirinio tyrimo tikslas – hipotetinio modelio pagrindu ištirti galimus uždavinių su
algebros elementais sprendimo sunkumus mokantis I–VI klasėje.
Uždaviniai: 1. Nustatyti priežastis, dėl kurių I–VI klasių mokiniai neteisingai apskaičiuoja aritmetinius
veiksmus.
2. Nustatyti sunkumus, kurie kyla sprendžiant tekstinius uždavinius I–VI klasėse.
3. Nustatyti sunkumus, kurie kyla taikant perstatomumo dėsnį.
4. Nustatyti pagrindines lygčių sprendimo priežastis.
5. Nustatyti pagrindines nelygybių sprendimo priežastis.
6. Išsiaiškinti, kaip mokiniai supranta sąvokas „nelygybė, uždavinys ir apskaičiuok“ bei
kokią įtaką šių sąvokų supratimas/nesupratimas daro mokinių algebriniams gebėjimas.
Tyrimo objektas – I–IV ir V–VI klasės mokinių uždavinių su algebros elementais
sprendimo sunkumai.
Tyrimo bazė ir imtis: apklausta 120 I–VI klasės mokinių. Tyrimas atliktas I–VI klasėse
iš skirtingų mokyklų. Apklausta po 20 kiekvienos klasės mokinių.
Tyrimo metodai: apklausa; kokybinė ir kiekybinė duomenų analizė.
Pasirinkti trys tyrimo etapai (4 pav.).
4 pav. Empirinio tyrimo etapai
2.1.1. Tyrimo organizavimas
Siekiant išsiaiškinti galimus uždavinių su algebros elementais sprendimo sunkumus
mokantis I–VI klasėje, buvo atliktas empirinis tyrimas. Remiantis teorinės studijos rezultatais,
tyrimui atlikti sudaryti klausimynai, kuriuose pateikiamos šešios uždavinių rūšys:
- aritmetiniai veiksmai;
- tekstiniai uždaviniai;
- reiškiniai; lygtys;
- nelygybės;
- sąvokų paaiškinimas.
Klausimyno sudarymo logika pavaizduota hipotetiniu algebros užduočių sistemos I–VI
klasėje modeliu (5 pav.).
31
5 pav. Algebros užduočių sistemos I–VI klasėje hipotetinis modelis
Teorinėje dalyje buvo išsiaiškinta, kad algebrinius reiškinius sudaro skaitiniai ir raidiniai
reiškiniai, sujungti aritmetiniais veiksmais. Ši dalis pavaizduota hipotetinio modelio centre, nes ją
apima visos kitos uždavinių rūšys. Algebrinių reiškinių sprendime, taikant perstatomumo dėsnį,
atliekami tapatūs reiškinių pertvarkymai. Šios dvi dalys glaudžiai susijusios su lygtimis ir
nelygybėmis, kadangi jos yra sudarytos iš algebrinių reiškinių ir sprendžiamos atliekant tapačių
reiškinių pertvarkymus. Visos aptartos dalys būtinos sprendžiant tekstinius uždavinius, t.y.,
užrašant sprendimą. Matematinės sąvokos šiame modelyje vaizduojamos dėl to, kad apima visą
užduočių sistemą.
2.1.2. Klausimyno užduočių parinkimo metodika
Klausimyno uždaviniai sudaryti, remiantis Lietuvos Respublikos bendrosiomis
programomis ir išsilavinimo standartais (2008) sudarytu užduočių sistemos hipotetiniu modeliu.
Visų klasių klausimynuose (Priedas nr. 2) užduotys pateikiamos vienodo tipo, numeruojamos ta
pačia tvarka, tik skiriasi užduočių sudėtingumas. Kad sudaryti klausimynai atitiktų tiriamųjų
gebėjimus ir įgūdžius, sudarant užduotis buvo išanalizuotas algebros mokymo turinys (BP, 2009)
ir remiamasi Lietuvos švietimo ir mokslo ministerijos rekomenduojamais vadovėliais (Balčytis
32
B., Martinėnienė R., 2007, 2008; Butkevičienė R. ir kt., 2005; Kiseliovas A., Kiseliova D, 2004,
2006, 2007). Siekiant kuo tiksliau nustatyti klaidas ir jų priežastis, prie kiekvieno klausimyno
prisegamas juodraštis. Jame atliekami visi skaičiavimai ir grąžinamas kartu su klausimynu.
Teorinėje dalyje buvo išanalizuoti I–IV ir V–VI klasių matematikos vadovėliuose pateikti
uždaviniai su algebros elementais (žr. 1.3.3. skyrių). Ši analizė parodė, kad algebrai būtini
aritmetiniai gebėjimai. Remiantis tuo, buvo sudaryta pirmoji klausimyno užduotis.
6 pav. Aritmetinių veiksmų parinkimo I–VI klasių apklausai ypatumai
I–VI klasių klausimynuose pirma užduotis sudaryta iš aštuonių aritmetinių
veiksmų, kurie atitinka tos klasės aritmetikos mokymo(-si) turinį. Tokia veiksmų įvairovė ir jų
skaičius pateikiama todėl, kad būtų galima tiksliau nustatyti sunkumus, kurių kyla mokiniams
juos sprendžiant. Buvo sudaryta schema, kuri parodo kiekvienos I–VI klasės mokinių
aritmetinius gebėjimus (6 pav.), t.y., parodo, ką atitinkamos klasės mokiniai turi mokėti.
Schemoje išskirtos trys aritmetinių veiksmų rūšys: aritmetinės operacijos, veiksmo
komponentų skaičius (nenurodomas veiksmo komponentų skaičius, kai daugyba reiškiama
sudėtimi ir atvirkščiai), skaičiai (pagal dydį ir pagal rūšį). Kiekviena dalis vaizduoja tai, kas
kiekvienoje klasėje atsiranda naujo. Jau išmokti veiksmai, skaičiai, kitoje klasėje nebekartojami.
Taigi, remiantis šia schema ir buvo sudarytos pirmos klausimynų užduotys.
Antroji, trečioji ir ketvirtoji užduotys – tekstiniai uždaviniai. Tekstiniai uždaviniai, kaip
sudėtinė klausimyno dalis, buvo pasirinkta dėl to, kad juos sprendžiant ieškomas nežinomasis, o
tai, kaip jau išsiaiškinta teorinėje dalyje, labai susiję su algebra. Kiekvienai klasei pateikiama po
33
tris skirtingus tekstinius uždavinius. Jie buvo sudaromi atsižvelgiant į tai, ką atitinkamoje klasėje
mokinys turi mokėti. Kiekvienoje klasėje tekstiniai uždaviniai sudėtingėja: didėja skaičiai,
sunkėja tekstinio uždavinio sąlygos formuluotė, daugėja veiksmų ir pan.
7 pav. Tekstinių uždavinių parinkimo apklausai ypatumai
Schemoje nurodyta, kokio tipo tekstiniai uždaviniai pateikti kiekvienos klasės klausimyne
(7 pav.). Jau žinoma, kad tekstiniai uždaviniai skirstomi į paprastuosius, sudėtinius, tipinius,
proporcingosios dalybos ir judėjimo uždavinius (Ažubalis A., Kiseliovas A., 2002). Schemoje,
kaip ir klausimynuose, išskiriamos dvi pagrindinės tekstinių uždavinių rūšys: paprastieji ir
sudėtiniai tekstiniai uždaviniai, nes šio tipo uždavinių mokykliniuose vadovėliuose yra
daugiausia. Paprastieji tekstiniai uždaviniai pateikiami visose klasėse. Tik III klasės klausimyno
tekstiniai uždaviniai yra sudėtiniai. Atsižvelgiant į tai, kad jie yra sudaryti iš paprastųjų tekstinių
uždavinių, atskirai tokio tipo uždavinys į III klasės klausimyną nebuvo įdėtas. Schemoje prie
sudėtinių tekstinių uždavinių pavaizduota, iš kokių paprastųjų tekstinių uždavinių jie yra sudaryti.
V ir VI klasės klausimynuose pateikiami paprastieji tekstiniai uždaviniai, tačiau jie yra daug
sudėtingesni nei žemesnėse klasėse, kadangi uždavinio sąlygoje ir sprendžiant uždavinį
naudojami ne tik realieji, bet ir trupmeniniai skaičiai bei raidiniai simboliai.
Penktoji užduotis – reiškiniai. Tikslas – išsiaiškinti, kaip mokiniai geba apskaičiuoti
reiškinius naudojant perstatomumo dėsnius.
34
Kiekvienoje klasėje pateikiama po tris reiškinius, kuriuos apskaičiuojant turėtų būti
taikomas perstatomumo dėsnis. Kadangi I klasėje mokomasi tik sudėties ir atimties veiksmų, šios
klasės klausimyno penktoji užduotis sudaryta kitokiu principu negu II-VI klasių. I klasės
užduotyje reiškinio komponentai išdėlioti taip, kad mokiniams, visus veiksmus atliekant iš eilės,
apskaičiuoti tų reiškinių reikšmę būtų sudėtingiau. Spręsdami šiuos reiškinius, mokiniai tūrėtų
prisiminti taisyklę, kad esant sudėties veiksmui jo komponentus galima keisti vietomis, nes suma
vis tiek nepasikeis. Tikimasi, kad pirmokai sudės pirmiausia tuos veiksmo komponentus, iš kurių
susidaro apvalios dešimtys, o po to pridės likusius vienetus. Nukreipti mokinius ta linkme padeda
užduoties formuluotė. Joje prašoma duotus reiškinius apskaičiuoti taip, kaip lengviau. Šia
užduotimi svarbu nustatyti, ne kaip mokiniai sugeba atlikti sudėties ar atimties veiksmus, o ko
vaikai nesugeba susidūrę su perstatomumo dėsniu, todėl I klasės klausimyno penktoje užduotyje
pateikiami tik sudėties veiksmai. Trys vienodo tipo reiškiniai, tik su daugiau veiksmo
komponentų, padės tiksliau nustatyti, kas I klasės mokiniams nesiseka sprendžiant tokius
uždavinius.
II klasėje mokiniai mokosi daugybos veiksmo, todėl šios klasės klausimyne, penktoje
užduotyje, pateikiami reiškiniai, kurie reikalauja mokinių atsižvelgti į reiškinių apskaičiavimo
tvarką. Pirmas reiškinys pateikiamas su sudėties veiksmu ir su trimis vienodais veiksmo
komponentais. Šiuo reiškiniu siekiama sužinoti, ar mokiniai geba sutraukti panašiuosius narius,
t.y., sudėties veiksmą su vienodais veiksmo komponentais užrašyti daugybos veiksmu. Antras ir
trečias šio uždavinio reiškiniai reikalauja mokinių gebėjimo pritaikyti perstatomumo dėsnį
atsižvelgiant į aritmetinius veiksmus.
III–V klasėje reiškiniai sunkėja, atsiranda dalybos veiksmas ir skliaustai bei padaugėja
veiksmo komponentų. VI klasės klausimyno penktoje užduotyje pridedamos paprastosios ir
dešimtainės trupmenos.
Šeštoji užduotis – lygtys. Tikslas – išsiaiškinti, kaip I–VI klasių mokiniai geba spręsti
lygtis, kokios pagrindinės klaidos jas sprendžiant.
I ir II klasėse lygtys sprendžiamos be raidinės simbolikos, t.y., vietoje nežinomojo
paliktas tuščias langelis (žr. 3 lentelę). Kadangi I klasėje mokomasi tik sudėties ir atimties
veiksmų, tai lygtys šios klasės klausimyne pateikiamos dviem būdais. Taip siekiama išsiaiškinti,
kaip mokiniai geba rasti nežinomąjį, kai lygtis užrašyta kitaip (atsakymas = lygtis) nei įprasta
(lygtis = atsakymas). I klasėje lygtys sudarytos iš vienaženklių, dviženklių ir triženklių skaičių
bei dviejų ir trijų veiksmo komponentų. II klasėje mokiniai pradeda mokytis daugybos ir dalybos
veiksmų, tačiau trys antros klasės lygtys yra sudarytos su daugybos veiksmu, o lygčių su dalybos
veiksmu visiškai nėra. Atsižvelgiant į tai, kad II klasės klausimyne pusę pirmos užduoties sudaro
dalybos veiksmai ir tai pakankamas skaičius nustatyti, kaip vaikai geba dalyti, tai lygčių
sprendimo užduotyje šio veiksmo nėra. II klasės klausimyne lygtys sudarytos iš dviejų, trijų
veiksmo komponentų, naudojant sudėties, atimties ir daugybos veiksmus. I ir II klasėse lygčių
forma kaip paprasto aritmetinio veiksmo, tik vienas veiksmo komponentas nežinomas, taigi
spręsdami šias lygtis mokiniai tik įrašo lygties nežinomojo reikšmę į tuščią langelį. Remiantis
tuo, šių klasių klausimynuose buvo pateikta po aštuonias lygtis (daugiau nei kitose klasėse).
III–VI klasių klausimynuose pateikta po penkias lygtis, kadangi šiose klasėse lygties
nežinomasis žymimas raide, o ne tuščiu langeliu ir lygties nežinomojo reikšmę reikia apskaičiuoti
užrašant veiksmus.
III klasėje lygtys sudarytos iš dviejų ir trijų veiksmo komponentų bei sudėties, atimties ir
dalybos veiksmų. Daugybos veiksmo lygtyse nėra, nes šios klasės pirmoje klausimyno užduotyje
pusę užduoties sudaro reiškiniai su daugybos veiksmu. Lygtys buvo sudaromos taip, kad lygties
nežinomasis būtų kuo įvairesnėse lygties vietose. Tai leis įvertinti, kokios lygtys III klasės
mokiniams sekasi sunkiausiai bei nuo ko tai priklauso: nuo lygties nežinomojo vietos lygtyje ar
nemokėjimo parinkti tinkamą veiksmą lygties nežinomajam apskaičiuoti.
35
IV klasės klausimyne didžiąją užduoties dalytį sudaro lygtys su dalybos ir daugybos
veiksmais, su dviem ar trim veiksmo komponentais. Šioje klasėje lygtys yra sudėtingesnės nei III
klasėje tuo, kad didesni skaičiai. Tai padės nustatyti ar teisingam lygties nežinomojo
apskaičiavimui turi įtakos veiksmai su didesniais skaičiais
V klasės klausimyne pateiktos lygtys su visais keturiais aritmetiniais veiksmais ir
pridedami skliaustai. Pirmoji šios užduoties lygtis sudaryta kiek kitaip nei įprasta, t.y., pateiktas
lygties reiškinys, kad pirmiausia reikia apsiskaičiuoti tai, kas po lygybės ženklu (atsakymą),
toliau lygtis sprendžiama įprastai. Trys lygtys yra sudarytos iš dviejų veiksmų ir trijų veiksmo
komponentų, vienoje iš šių lygčių dar yra skliaustai.
VI klasės klausimyne pateiktos lygtys su dviem veiksmo komponentais, tačiau skiriasi
aritmetiniai veiksmai ir skaičių rūšys. Viena lygtis sudaryta iš dešimtainių trupmenų, viena – iš
natūraliųjų skaičių, viena – iš mišriųjų trupmenų. Šios trys lygtys pateiktos šeštoje užduotyje
todėl, kad labai daug dėmesio VI klasėje skiriama būtent natūraliesiems ir trupmeniniams
skaičiams (BP, 2008). Dar dvi lygtys yra sudarytos iš keturių ir penkių veiksmo komponentų, kai
du ar trys iš jų yra lygties nežinomasis. Tai padės išsiaiškinti, kaip mokiniai geba spręsti lygtis
sutraukiant panašiuosius narius.
Septintoji užduotis – nelygybės. Tikslas – išsiaiškinti, kaip mokiniai geba spręsti
nelygybes, kokios pagrindinės klaidos ir jų priežastys jas sprendžiant.
Kiekvienos klasės klausimynuose pateikiama po šešias nelygybes. I klasės septintoje
užduotyje puse nelygybių sudaro paprasčiausias skaičių palyginimas. Taip siekiama išsiaiškinti,
ar mokiniai geba palyginti du skaičius, ar geba įžvelgti kuris skaičius didesnis, kai abiejų skaičių
skaitmenys yra vienodi tik apkeisti vietomis. Dvi nelygybės, kai reikia palyginti dviejų reiškinių
apskaičiuotas reikšmes, sudarytos remiantis tuo pačiu principu. Jas sprendžiant reikia palyginti
tik pirmus nelygybės reiškinių skaičius, pvz., 70 + 6 ___ 60 + 7. Viena nelygybė sudaryta taip,
kad prieš įrašant nelygybę tenkinantį ženklą būtina apskaičiuoti abi nelygybės puses.
II klasės klausimyne pateiktos nelygybės sudarytos iš reiškinių su sudėties, atimties ir
daugybos veiksmais bei dviem, trim veiksmo komponentais. Atsižvelgiant į tai, kad šioje
užduotyje svarbu išsiaiškinti, ar mokiniai geba teisingai naudoti nelygybių ženklus, o ne
apskaičiuoti aritmetinius veiksmus, nelygybės buvo sudarytos iš reiškinių, kuriuose veiksmai
atliekami sudarant arba išardant apvalias dešimtis.
III ir IV klasėje pateiktos nelygybės yra sudėtingesnės. Nelygybių reiškiniai sudaryti iš
dviženklių ir triženklių skaičių, su kuriais atliekami aritmetiniai veiksmai ir skliaustuose.
V klasėje dvi nelygybės pateikiamos tokia forma, kaip ir prieš tai buvusiose klasėse, o
keturios nelygybės prašo mokinių surasti tinkamus nelygybės sprendinius ir juos užrašyti.
VI klasėje patekta viena nelygybė, kurioje reikia įrašyti tinkamą nelygybės ženklą, o
likusios penkios nelygybės taip pat reikalauja rasti jų sprendinius.
Nutarta, kad nelygybėse, kuriose reikia rasti jų sprendinius, pakanka užrašyti bent vieną
teisingą sprendinį, kad nelygybė būtų laikoma teisinga.
Aštuntoji užduotis – sąvokos. Šia užduotimi tikimasi išsiaiškinti, ar mokiniai supranta
sąvokas, geba jas paaiškinti savais žodžiais. Tai padės nustatyti, ar sąvokų nemokėjimas daro
įtaką uždavinių su algebros elementais sprendimui. Visų šešių klasių klausimynuose pateikta
lentelė, kurioje reikia paaiškinti ką reiškia nelygybė ir ką reiškia uždavinys. Taip pat mokiniai
turi paaiškinti, ką reikia daryti, kai prašoma apskaičiuoti. Kiekvienos klasės mokiniai bent jau į
paskutinį klausimą turėtų atsakyti skirtingai, nes kiekvienoje klasėje ši sąvoka yra plečiama, t.y.
atsiranda naujų veiksmų, didesnių skaičių, nežinomųjų ir pan.
Kiekvienai klasei atlikti klausimyno užduotis skiriama 45 min. Visas užduotis mokiniai
atlieka savarankiškai, skaičiuodami prisegtuose prie anketų juodraščiuose.
36
2.2. Tyrimo rezultatai
2.2.1. Reiškinių su aritmetiniais veiksmais sprendimo sunkumai I–VI
klasėse
Aritmetika – seniausia matematikos mokslo sritis, kuri glaudžiai susijusi su kitais
mokslais ir plačiai naudojama gyvenime (ekonomikos, prekybos, inžinerijos srityje ir pan.).
Lietuvos bendrosiose programose ir išsilavinimo standartuose ši matematikos sritis atskirai nėra
išskiriama, aritmetika priskiriama prie skaičių ir skaičiavimų skyriaus (BP, 2008). Aritmetikos
pradedama mokytis nuo I klasės. Mokantis šio dalyko I–VI klasės mokiniai susipažįsta su
natūraliais ir trupmeniniais skaičiais, išmoksta aritmetikos veiksmų. Kadangi kiekvienas
paprastas aritmetinis veiksmas yra sudėtingesnio aritmetinio veiksmo sudedamoji dalis, būtina,
kad kiekvieną paprastesnį veiksmą mokinys išmoktų atlikti greitai ir be klaidų (Šalkuvienė O.,
2011).
Šiame skyriuje išsiaiškinsime sunkumus, kurių kyla apskaičiuojant reiškinius su
aritmetiniais veiksmais, ir juos aptarsime. 2.3.1. poskyryje išanalizuosime pradinių klasių
pirmosios užduoties rezultatus, o 2.3.2. poskyryje bus pateikti V–VI klasių rezultatų duomenys ir
bendros pirmosios užduoties išvados.
I–IV klasių mokinių klaidos apskaičiuojant reiškinius su aritmetiniais veiksmais
Patikrinus I klasės pirmą užduotį, paaiškėjo, kad pusė klasės mokinių šią užduotį atliko
be klaidų. Klaidingai reiškinius apskaičiavusių mokinių užduoties analizė parodė, kad I klasėje
apskaičiuodami reiškinius mokiniai daro devynias klaidas (8 pav.).
10
9
2
1
2
1 1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mokinių
skaičius
Be klaidų
Dešimčių išardymas,
sudarymas
Veiksmai su apvaliomis
dešimtimis
Sudėties veiksmas
Atlikti ne visi reiškinio veiksmai
Neaiškus atsakymas
Skaičių sandara
Atidumo klaida
8 pav. Aritmetinių uždavinių klaidos I klasėje
Devyni I klasės mokiniai klysta, nes atlikdami aritmetinius veiksmus su skaičiais, nemoka
išardyti turimų arba sudaryti naujų dešimčių, pvz., 90 – 8 = 92. Toks aritmetinio veiksmo
sprendimas rodo, kad šie mokiniai skaičių sandarą dešimtainėje sistemoje moka, t.y., žino, kad 10
– 8 yra 2, tačiau gautą skirtumą vis tiek prideda prie turinio. Du mokiniai nemoka atlikti veiksmų
su apvaliomis dešimtimis. Pridėdami arba atimdami apvalias dešimtis, atsakyme jie gauna
37
skaičius tik iš apvalių dešimčių, pvz., 94 – 10 = 80 arba 64 + 30 = 90. Kitaip tariant,
apskaičiuojant aritmetinius veiksmus, trūkstamus vienetus iki apvalios dešimties prideda, o jeigu
vienetų per daug, tai juos tiesiog atima. Gauti duomenys parodė, kad vienas mokinys nemoka
apskaičiuoti sudėties veiksmo su dviženkliu skaičiumi, pvz., reiškinį 43 + 4 = skaičiuoja taip: prie
pirmojo dėmens pirmojo skaitmens pridedamas antras dėmuo 4 + 4 = 8 ir prie pirmojo dėmens
antrojo skaitmens vėl pridedamas antras dėmuo 3 + 4 = 7, taip gaunamas atsakymas 87. Toks
skaičiavimo būdas parodo, kad mokinys neskiria vienetų ir dešimčių skyrių, todėl nežino, kokį
skaitmenį prie kurio pridėti. Dar vienas mokinys, apskaičiavęs tokį aritmetinį veiksmą 43 + 4,
gavo 10. Analizuojant, kokiu būdu buvo gautas toks atsakymas, paaiškėjo, kad mokinys sumaišė
sudėties ir atimties veiksmus, o toliau naudojosi tokiu pat sprendimo būdu, kaip ką tik aptarėme.
Du mokiniai apskaičiavo tik pusę reiškinio. Tai rodo, kad ne visi mokiniai, apskaičiavę vieną
aritmetinį reiškinio veiksmą, patikrina, ar atlikti visi reiškinio veiksmai. Remiantis tuo, galime
teigti, kad I klasės mokiniams trūksta atidumo. Dar viena panašaus pobūdžio klaida – atliekant
veiksmą sumaišyti veiksmo komponentų skaičių skaitmenys, t.y., skaičiaus skaitmenys
sukeičiami vietomis. Kaip atidumo klaidą galima įvardinti ir aštuntą diagramoje (8 pav.) įvardintą
klaidą, kai mokinys parašo neteisingą atsakymą dėl to, jog sukeičia skaičius, pvz., apskaičiavęs
reiškinio reikšmę, dar kartą pažiūri į reiškinį ir vieną iš atsakymo skaitmenų parašo tokį, koks
užsifiksavo atmintyje iš reiškinio. Čia jau matome, kad veikia vaiko vaizdinė atmintis.
Paskutinioji klaida, kuri buvo išskirta tikrinant I klasės pirmąją užduotį, – mokiniai nemoka
skaičių sandaros dešimtainėje sistemoje, pvz., 43 + 4 = 48. Iš čia matome, kad mokinys nežino
skaičiaus 8 sandaros.
Apibendrindami galime teigti, kad I klasės mokiniams trūksta aritmetinio skaičiavimo
įgūdžių, nesutelkiamas dėmesys į apskaičiuojamą reiškinį. Dėl šių priežasčių sukeičiami
aritmetiniai veiksmai ir skaitmenys vietomis, reiškiniai nebaigiami apskaičiuoti. Remiantis
gautais duomenimis, galime teigti, kad veiksmo komponentų skaičius I klasės mokiniams
sprendžiant reiškinius jokios įtakos neturi.
II klasės pirmos užduoties klaidos ir jas padariusių mokinių skaičius pateiktas žemiau
esančioje diagramoje (9 pav.). Čia matome, kad II klasėje padarytų klaidų įvairovė mažesnė negu
I . Tačiau žymiai skiriasi teisingai užduotį atlikusių mokinių skaičius, II klasėje tik vienas
mokinys šią užduotį atliko be klaidų. Daugiausia klaidų apskaičiuojant reiškinius buvo daroma
dešimčių ir vienetų skyriuose. Tai buvo galima įvardinti kaip skaičių sandaros neįsisavinimą,
tačiau diagramoje ši klaida išskirta atskirai, kad matytume koks didelis mokinių skaičius
apskaičiuojant reiškinius klydo vienetų (10 mokinių) ir dešimčių (12 mokinių) skyriuose.
Pastebėta, kad dauguma mokinių šią klaidą darė reiškiniuose su didesniais skaičiais ir kuriuose
yra daugiau nei vienas aritmetinis veiksmas.
Septyni II klasės mokiniai klaidingai apskaičiavo reiškinius, nes nemoka daugybos
lentelės. Galimas dalykas, kad ši klaida stipriai išryškėjo, nes II klasėje daugyba yra naujas
aritmetinis veiksmas, todėl nėra pakankamai įgudę atlikti skaičiavimus su šiuo aritmetiniu
veiksmu.
Analizuojant reiškinių su aritmetiniais veiksmais klaidas, buvo nustatyta dar viena klaida,
kad mokiniams sunku atrasti ryšį tarp daugybos ir dalybos veiksmų, pvz., reiškinį 8 : 4
apskaičiuoja klaidingai, nes negeba įsivaizduoti kiek kartų 4 telpa į 8.
Išanalizavus pirmąją užduotį, paaiškėjo, kad II klasėje pradėjus mokytis daugybos ir
dalybos veiksmų, mokiniai pradeda maišyti sudėties ir atimties veiksmus. Dažnai apskaičiuojant
šiuos reiškinius, taikoma taisyklė, kad esant reiškinyje daugybos, dalybos ir sudėties bei atimties
veiksmų, pirma atliekami daugybos, dalybos veiksmai. Remiantis šia taisykle, taip
apskaičiuojami ir sudėties bei atimties reiškiniai. Pirma atliekamas sudėties veiksmas, po to –
atimties. Taip ketvirtą pirmos užduoties reiškinį sprendė trys mokiniai.
38
Pastebėta, kad apskaičiuoti reiškinius su trimis veiksmo komponentais, nepriklausomai
nuo veiksmų, mokiniams sekėsi sunkiau. Tokio tipo reiškiniai sudaro 50 % pirmos užduoties ir
juose klydo 17 antrokų.
1
12
10
7
1
3
0
2
4
6
8
10
12
Mokinių
skaičius
Be klaidų
Klaida dešimčių skyriuje
Klaida vienetų skyriuje
Daugybos lentelė
Daugybos ir dalybos
veiksmų ryšys
Veiksmų eiliškumas
9 pav. Aritmetinių uždavinių klaidos II klasėje
Apibendrindami, galime teigti, kad II klasės mokiniai dar nėra įsisavinę skaičių sandaros
dešimtainėje sistemoje, atlkdami sudėties ir atimties veiksmus. Taip pat sunkiai sekasi sieti
daugybos ir dalybos veiksmus, viena iš to priežasčių yra ta, kad mokiniai nemoka daugybos
lentelės. II klasės mokiniams kyla sunkumų taikant perstatomumo dėsnį, dažnai jį taiko ne ten,
kur reikia.
III klasėje be klaidų pirmąją užduotį išsprendė keturi mokiniai. Tai šiek tiek daugiau nei
II klasėje, tačiau žymiai mažiau negu I. Remdamiesi tuo, galime teigti, kad matematikos mokymo
turinyje atsirandant vis daugiau naujų dalykų, mokiniams sunku juos įsiminti, tinkamai pritaikyti,
todėl klaidingai išsprendusių mokinių skaičius didėja. III klasės mokinių daromos klaidos
pavaizduotos žemiau esančioje schemoje (10 pav.).
4
6
1
4
6
2
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Mokinių
skaičius
Be klaidų
Aritmetinio veiksmo
apskaičiavimas stulpeliuVeiksmų eiliškumas
Skaičių sandara
Daugybos lentelė
Atlikti ne visi reiškinio
veiksmaiAtidumo klaida
10 pav. Aritmetinių uždavinių klaidos III klasėje
39
Analizuojant, kaip III klasės mokiniai geba apskaičiuoti aritmetinius veiksmus paaiškėjo,
kad šeši vaikai nemoka sudėties, daugybos ir dalybos veiksmų atlikti stulpeliu. Pagrindinė klaida
– skaičiuodami stulpeliu pamiršta veiksmų stulpeliu skaičiavimo principus, pvz., sudėties
veiksmą atlieka remiantis daugybos veiksmo stulpeliu taisykle, t.y., kiekvieną antro dėmens
skaitmenį sudeda su kiekvienu pirmo dėmens skaitmeniu, pvz., 139 + 8 = skaičiavo taip:
1) 9 + 8 = 17 (7 rašo, vienas mintyje);
2) 3 + 8 = 11 (1 rašo, tai kas mintyje pamiršta);
3) 1 + 8 = 9 (9 rašo, tai kas mintyje pamiršta).
Taip pat pastebėta, kad klaidingai atlieka dalybos veiksmą su apvaliomis dešimtimis.
Tokius aritmetinius veiksmus mokiniai dažniausiai apskaičiuoja mintinai, pvz., 240 : 4
skaičiuoja: 24 : 4 = 6, tačiau nebeprirašo 0, pamiršta. Nustatyta dar viena klaida, kurią darė ir II
klasės mokiniai. Jie negeba nustatyti veiksmų atlikimo tvarkos. Ši klaida aptikta tik vieno III
klasės mokinio pirmos užduoties skaičiavimuose, tačiau vis tiek galime teigti, kad ši problema
išlieka ir III klasėje. Dar viena pasikartojanti klaida – skaičių sandara. Atlikdami aritmetinius
veiksmus, net keturi vaikai juos apskaičiavo klaidingai. Tai rodo, kad dar ne visi III klasės
mokiniai yra įsisavinę skaičių sandarą dešimtainėje sistemoje. Šie mokiniai atlikdami
skaičiavimus pamiršo prirašyti naujai susidariusias dešimtis arba atimti pasiskolintas dešimtis.
Buvo nustatyta, kad šeši III klasės mokiniai nemoka daugybos lentelės. Tai lemia daromas
klaidas, atliekant ne tik daugybos, bet ir dalybos veiksmus. Didžiausią III klasėje darytų klaidų
skaičių sudaro atidumo klaidos. Prie šios klaidų grupės būtų galima priskirti ir nebaigtą
apskaičiuoti reiškinį, bet norėta parodyti, kad nemaža dalis mokinių klysta apskaičiuodami
reiškinius su keliais aritmetiniai veiksmais, todėl į tai reikėtų atkreipti dėmesį. Aritmetinių
veiksmų painiojimas (parašyta dalyba, atlieka daugybą ir pan.), veiksmo komponentų skaitmenų
pakeitimas (parašyta 406, o skaičiuoja kaip 466), du kartus to paties veiksmo atlikimas ar
skirtingų veiksmų su to paties skaičiaus skaitmenimis atlikimas (154 + 148 skaičiuoja: 8 – 4; 4 +
5; 1 + 1) diagramoje buvo įvardinta kaip atidumo klaidos.
Apibendrindami galime teigti, kad III klasės mokiniams sunkiausiai sekasi apskaičiuoti
aritmetinius veiksmus, tai lemia dėmesio stoka, nemokėjimas daugybos lentelės ir aritmetinių
veiksmų stulpeliu atlikimo tvarkos. Taip pat III klasėje dažnai daroma klaida – pamirštama
prirašyti, atimti susidariusias, pasiskolintas dešimtis.
Išanalizavus IV klasės pirmąją klausimyno užduotį (11 pav.), paaiškėjo, kad net šešiolika
mokinių negeba reiškinyje teisingai nustatyti aritmetinių veiksmų sekos.
2
16
3
10
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Mokinių
skaičius
Be klaidų
Veiksmų eiliškumas
Atlikti ne visi reiškinio
veiksmai
Aritmetinio veiksmo
apskaičiavimas stulpeliu
Dalybos lentelė
Atidumo klaidos
11 pav. Aritmetinių uždavinių klaidos IV klasėje
40
Šią klaidą mokiniai darė apskaičiuodami ketvirtą reiškinį. Reiškinys (3 + 22) + (2 + 23) ·
4 =___ , turėjo būti apskaičiuotas tokia tvarka:
1) (3 + 22) =25 2) (2 + 23) = 25 3) 25 · 4 = 100 4) 25 + 100 = 125. IV klasės mokiniai,
apskaičiuodami šį reiškinį, supainiojo 3 ir 4 reiškinio apskaičiavimo žingsnius vietomis. Kadangi
skaičiai nėra dideli ir su jais lengva atlikti veiksmus, galime daryti prielaidą, kad mokiniams
sunku teisingai nustatyti reiškinio veiksmų atlikimo tvarką, kai reiškinyje yra daugiau nei du
aritmetiniai veiksmai ir skliaustai. Ši klaidą mokiniai darė ir kituose tokio tipo reiškiniuose: 5
reiškinys – 1 mokinys, 7 reiškinys – 1 mokinys ir 8 reiškinys – 3 mokiniai.
Analizuojant padarytas klaidas, pastebėta, kad trys ketvirtokai apskaičiuoja ne visą
reiškinį, t.y., apskaičiuoja tik tuos veiksmus, kurie yra skliaustuose. Atsižvelgiant į tai, galime
daryti prielaidą, kad mokykloje yra labai akcentuojama taisyklė, jog pirmiausia atliekami
veiksmai, kurie yra skliaustuose. Vadovaudamiesi šia taisykle, IV klasės mokiniai apskaičiuoja
tik tuos veiksmus ir užmiršta, kad reiškinyje yra dar vienas aritmetinis veiksmas.
Dešimt mokinių neteisingai apskaičiavo reiškinius, kurių aritmetinius veiksmus atliko
stulpeliu. Atliekant sudėties veiksmus pamiršta pridėti naujai susidariusias dešimtis, o atliekant
atimties veiksmus – atimti pasiskolintas dešimtis. Tokios pat klaidos darytos ir atliekant
daugybos veiksmą stulpeliu. Apskaičiuojant dalybos veiksmą kampu, neteisingai nurodomas
skaičius, kuris rodo kiek kartų daliklis telpa į dalinį. Remiantis tuo, galime teigti, kad IV klasės
mokiniai dar nemoka puikiai daugybos lentelės. Iš viso šias klaidas darė keturi mokiniai. Du
mokinai, apskaičiuodami reiškinius, pakeitė aritmetinio veiksmo ženklą ir skaičius. Šios klaidos
buvo įvardintos kaip atidumo klaidos.
Apibendrinant IV klasės mokinių padarytas klaidas, apskaičiuojant reiškinius, galime
teigti, kad dauguma negeba nustatyti reiškinio veiksmų atlikimo sekos, kai reiškinyje yra daugiau
nei du aritmetiniai veiksmai. Taip pat daug klaidų daro dauginant ir dalinant, sudedant ir
atimant stulpeliu, pamiršdami susidariusias ir pasiskolintas dešimtis, ne visi moka daugybos
lentelę.
V–VI klasės mokinių klaidos apskaičiuojant reiškinius su aritmetiniais veiksmais
Išanalizavus V klasės klaidas, pastebėta, kad baigus pradinio ugdymo matematikos kursą
ir perkopus į pagrindinio ugdymo programą, atsiranda naujų klaidų, o pradinėse klasėse daromų
klaidų skaičius mažėja (12 pav.).
1
2
8
5
14
3
2
10
0
2
4
6
8
10
12
14
Mokinių
skaičius
Be klaidų
Veiksmų eiliškumas
Atlikti ne visi reiškinio veiksmai
Dalyba kampu
Veiksmai su dešimtainėmis
trupmenomis
Skaičių sandara
Daugybos lentelė
Atidumo klaidos
12 pav. Aritmetinių uždavinių klaidos V klasėje
41
Daugiausia klaidų V klasės mokiniai daro, atlikdami veiksmus su dešimtainėmis
trupmenomis. Galime daryti prielaidą, kad taip yra todėl, jog pirmaisiais pagrindinio ugdymo
metais didelę mokymo turinio dalį sudaro veiksmai su natūraliaisiais bei trupmeniniais skaičiais.
Vadinasi, V klasėje su šiais skaičiais susipažįstama plačiau, tai atsispindi ir matematikos
vadovėliuose, kuriuose didžioji dalis uždavinių sudaryta būtent su šiais skaičiais. Analizuojant ir
grupuojant penktokų klaidingai apskaičiuotus reiškinius su dešimtainėmis trupmenomis,
paaiškėjo, kad daugybos ir atimties veiksmus su šiais skaičiais (8 reiškinys) visi apskaičiavo
teisingai. Keturi mokiniai neteisingai atliko dalybos veiksmą, apskaičiavo dalmenis dėl to, kad
nežino, kurioje vietoje gautame dalmenyje turi būti kablelis, pvz., 3,6 : 0,6 = 0,6. Tai rodo, kad
mokiniai nėra įsisavinę taisyklės, jog dalydami dešimtainę trupmeną iš dešimtainės trupmenos
dalinyje ir daliklyje kablelis perkeliamas į dešinę pusę per tiek skaitmenų, kiek jų yra po kablelio,
taip gautą dalinį dalijame iš natūraliojo skaičiaus (tiksliukas.lt, 2012). Šeši mokiniai nemoka
stulpeliu užrašyti sudėties veiksmo su dešimtainėmis trupmenomis, t.y., nežino, kad, sudedant
dešimtaines trupmenas stulpeliu, jos rašomos taip, kad vienvardžių skyrių skaitmenys būtų vienas
po kitu, o kablelis būtų po kableliu. Kaip mokiniai sprendė dešimtainių trupmenų sudėtį stulpeliu,
pavaizduota 4 lentelėje, a dalyje.
4 lentelė
V klasės mokinių daromos klaidos apskaičiuojant dešimtainių trupmenų sumą
Paveikslo b dalyje pavaizduota, kaip du mokiniai atliko dešimtainių trupmenų sudėtį
eilute. Matome, kad pirma yra sudedama tai, kas prieš kablelį, o po to – kas po kablelio,
nekreipiant dėmesio į tai, kad šie du skaitmenys yra skirtingose vietose po kablelio. Paveikslo c
dalyje pavaizduotas dar vienas dešimtainių trupmenų sumos radimo būdas. Tokiu būdu taip pat
skaičiavo du mokiniai. Skaičiai, esantys prieš kablelį, sudedami, o skaičiai esantys po kablelio –
padauginami, prieš tai panaikinant pirmame skaičiuje esantį 0 po kablelio.
V klasėje du mokiniai neįsisavinę perstatomumo dėsnio principų, t.y., neteisinga tvarka
atlieka reiškinio aritmetinius veiksmus. Kaip ir kitų klasių mokiniai, taip ir penktokai atlieka ne
visus reiškinio aritmetinius veiksmus. Dažniausiai apskaičiuojamas vienas veiksmas ir parašomas
atsakymas. V klasėje tokias klaidas darė aštuoni mokiniai. Penki mokiniai klydo, apskaičiuodami
dalybos veiksmą kampu. Pagrindinės klaidos: negeba nustatyti, kiek kartų daliklis telpa į dalinį;
nemoka iš dalinio nukelti skaičiaus; negeba teisingai atlikti atimties veiksmų dalinant. Pastebėta,
kad daugiau klaidų daroma dalinant skaičius iš dviženklio daliklio. Šią klaidą galima sieti su
daugybos veiksmu, nes dauginant dviženklius skaičius V klasės mokiniai taip pat daro klaidas.
Trys V klasės mokiniai nemoka skaičiaus 50 sandaros, pvz., 55 – 25 gauta 25 (taip skaičiavo du
mokiniai) ir 30 (taip skaičiavo vienas mokinys). Išanalizavus pirmą užduotį paaiškėjo, kad du V
klasės mokiniai nemoka daugybos lentelės, todėl reiškinius su daugybos veiksmu apskaičiavo
neteisingai, pvz., 3 · 2 = 5 arba 36 : 6 = 5.
Dešimt mokinių darė klaidas dėl atidumo stokos:
- atliko ne tuos veiksmus kaip nurodyta, t.y., painiojo daugybą su dalyba, sudėtį su atimtimi;
- atliekant atimties veiksmą pamiršta apie pasiskolintas dešimtis;
- juodraštyje apskaičiuojant sumą su dešimtainėmis trupmenomis į juodraštį nurašomas ne
toks skaičius, t.y., kablelis perkeliams per vieną skaitmenį į vieną ar į kitą skaičiaus pusę;
42
- apskaičiavus aritmetinį veiksmą su dešimtainėmis trupmenomis ir rašant atsakymą,
pamirštama padėti kalbelį;
- atliekant veiksmus sukeičia skaičius arba jų skaitmenis.
Apibendrindami V klasės mokinių daromas klaidas, apskaičiuojant aritmetinius veiksmus,
galime teigti, kad sunkiausiai mokiniams sekėsi atlikti veiksmus su dešimtainėmis trupmenomis.
Didelė klaidų padaryta dėl to, kad, apskaičiuodami reiškinius, V klasės mokiniai buvo neatidūs,
supainiodavo skaičius, veiksmus arba veiksmus apskaičiuodavo ne iki galo.
Patikrinus VI klasės pirmąją užduotį paaiškėjo, kad penki mokiniai šią užduotį atliko be
klaidų (13 pav.).
5
4
2
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Mokinių
skaičius
Be klaidų
Daugybos lentelė
Veiksmų eiliškumas
Aritmetiniai veiksmai su
trupmenomis
13 pav. Aritmetinių uždavinių klaidos VI klasėje
Pastebėta, kad penktadalis (4 mokiniai) VI klasės mokinių vis dar neteisingai apskaičiuoja
reiškinius su daugybos veiksmu. Tai rodo, kad ir VI klasėje daugybos lentelė išlieka kaip viena iš
daromų klaidų priežasčių. Du mokiniai klydo, apskaičiuodami trečią reiškinį. Vienas iš jų
neteisingai nustatė veiksmų atlikimo tvarką, t.y., visus veiksmus atliko iš eilės, o kitas mokinys
šio reiškinio visiškai neapskaičiavo. Lyginant klaidas, padarytas apskaičiuojant aritmetinius
veiksmus pradinėje mokykloje ir V–VI klasėse, matome, kad vyresnėse klasėse žymiai sumažėjo
tų klaidų, kurias daro pradinių klasių mokiniai, tačiau atsirado kitų. Taigi, analizuojant
aritmetinių uždavinių sprendimo sunkumus VI klasėje, paaiškėjo, kad daugiausia klaidų daroma
reiškiniuose su trupmenomis. Kadangi net devyni vaikai klydo, atlikdami veiksmus su šiais
skaičiais, buvo sudaryta lentelė, kurioje paaiškinta, kaip mokiniai skaičiavo vieną ar kitą
aritmetinį veiksmą ir šalia pateiktas klaidingas mokinio skaičiavimo pavyzdys (žr.5 lentelę).
5 lentelė
VI klasės mokinių daromos klaidos atliekant veiksmus su trupmenomis
Eil.
Nr.
Klaidos aprašymas Pavyzdys Mokinių
skaičius
1. Dauginat mišrųjį ir trupmeninį
skaičius, mišriojo skaičiaus
nepasiverčia į trupmeną
1
2. Sudedant mišriuosius skaičius
taiko trupmenų dalybos taisyklę
1
43
3. Sudėties veiksmą su trupmenomis
atlieka taip pat kaip ir su
natūraliaisiais skaičiais
1
4. Atimdami trupmenas suprastina
jų skaitiklius ir vardiklius
3
5. Bendrą trupmenų vardiklį
padalinus iš kiekvienos
trupmenos vardiklio, gautą
dalmenį daugina iš trupmenos
skaitiklio pirmo skaitmens (a)
arba iš su abiem skaitmenimis
atskirai atliekami skirtingi
veiksmai (b)
1
1
7. Dauginant pritaikyta dalybos
veiksmo taisyklė, kad dalybą
keičiame į daugybą (čia daugyba
parašyta) ir dauginame iš
atvirkštinio skaičiaus
1
Apibendrindami I–VI klasių pirmos užduoties rezultatus, matome, kad nemažai mokinių
klysta apskaičiuodami aritmetinius veiksmus stulpeliu. Dažnai mokiniai maišo vieno aritmetinio
veiksmo sprendimo principus su kito aritmetinio veiksmo sprendimo principais. Kitos priežastys,
dėl ko kyla sunkumų sprendžiant aritmetinius uždavinius, – daugybos lentelė, neatidumas,
negebėjimas nustatyti reiškinio veiksmų tvarkos. V–VI klasėse prieš tai išvardintų sunkumų
skaičius mažėja, tačiau nuo V klasės mokymo turinyje atsiradus trupmeniniams skaičiams,
didžioji dalis klaidų daroma dėl to, jog nebemoka su jais atlikti aritmetinių veiksmų. Dažnai
prisimenamas vieno aritmetinio veiksmo su trupmenomis sprendimo būdas ir jis taikomas
apskaičiuojant su bet kuriuo kitu aritmetiniu veiksmu. Remdamiesi šios analizės duomenimis,
galime teigti, kad mokiniams trūksta įgūdžių teisingai parinkti aritmetinio veiksmo sprendimo
būdą ir jį apskaičiuoti.
Apibendrinant visus duomenis, buvo sudaryta schema (14 pav.), kurioje, mažėjančia
tvarka nurodomos kiekvienos klasės mokinių daromos klaidos. Aritmetiniai veiksmai schemoje
trumpinami A. veiksmai.
44
Aritmetinių
veiksmų
klaidos
I klasė II klasė III klasė IV klasė V klasė VI klasė
Skaičių
sandara
A.veiksmai;
nebaigta
apskaičiuoti;at
idumo klaidos
Skaičių
sandara
Daugybos
lentelė
Veiksmų
eiliškumas
Aritmetinių
veiksmų
ryšys
Atidumo
klaidos
A. veiksmai
stulpeliu;
daugybos
lentelė
Skaičių
sandara
Nebaigta
apskaičiuoti
A. veiksmų
ryšys
Veiksmų
eiliškumas
A. veiksmai
stulpeliu
Daugybos
lentelė
Nebaigta
apskaičiuoti
Atidumo
klaidos
A. veiksmai
su
trupmenomis
Atidumo
klaidos
Nebaigta
apskaičiuoti
Dalyba
kampu
Skaičių
sandara
Daugybos
lentelė;veiks
mų
eiliškumas
A. veiksmai
su
trupmenomis
Daugybos
lentelė
Veiksmų
eiliškumas
14 pav. I–VI klasių mokinių klaidų, apskaičiuojant aritmetinius veiksmus, įvairovė
45
2.2.2. Tekstinių uždavinių sprendimo sunkumai I–VI klasėse
Siekiant kuo informatyviau pateikti duomenis, kaip I–VI klasių mokiniai geba spręsti
tekstinius uždavinius, kokie sunkumai kyla juos sprendžiant buvo sudarytos lentelės, kuriose
pateikiamos mokinių klaidos, priežastys ir mokinių skaičius. Raudona arba mėlyna spalva yra
pažymėtos klaidingos vietos. Raudona spalva žymimos skaičiavimo klaidos, o mėlyna spalva
tekstinių uždavinių sprendimo strategijų klaidos (15 pav.).
15 pav. Duomenų lentelėse grupavimo schema
Išanalizavus I klasės mokinių išspręstus tekstinius uždavinius, paaiškėjo, kad tokio tipo
uždavinius I klasės mokiniams atlikti nėra sunku. Pažvelkime į lentelę (žr. 6 lentelę.), kurioje
pateikti duomenys, kaip I klasės mokiniai sprendė kiekvieną tekstinį uždavinį, kokias darė
klaidas ir dėl ko.
6 lentelė
I klasėje išspręstų tekstinių uždavinių klaidos
1. Sumažinimo keliais vienetais uždavinys
Klaida Priežastis Mokinių
skaičius
28 – 6 = 24
28 – 6 = 21
Nemoka skaičių sandaros
dešimtainėje sistemoje
2
2. Liekanos (skirtumo) radimo uždavinys
30 – 14 = 31 Nemoka iš apvalių dešimčių atimti
dviženklio skaičiaus, t.y., išardyti
apvalias dešimtis
3
30 – 14 = 26 Iš apvalių dešimčių atimant
dviženklį skaičių, atima tik vienetus
8
30 – 14 = 17 Neįsisavinęs dešimtainės skaičių
sandaros
1
30 + 14 = 44 Neteisingai parinktas veiksmas 1
46
Kaip matome, spręsdami pirmąjį klausimyne pateiktą tekstinį uždavinį, suklydo tik du
mokiniai – jie padarė skaičiavimo klaidą. Likę aštuoniolika mokinių šį uždavinį išsprendė
teisingai. Skaičiaus padidinimo keliais vienetais uždavinius I klasės mokiniai moka puikiai. Šį
tekstinį uždavinį, visi dvidešimt klasės mokinių išsprendė teisingai.
Liekanos (skirtumo) radimo uždavinį teisingai išsprendė keturi I klasės mokiniai, trys –
šio uždavinio visiškai nesprendė, o trylika – spręsdami darė klaidas.
Kaip matome, ir šio tipo uždavinius I klasės mokiniai supranta, puikiai geba užrašyti
sprendimą, tačiau klysta apskaičiuojant veiksmus. Todėl galime teigti, kad skaičiavimo klaidos –
tai pagrindinė priežastis, dėl ko I klasės mokiniai neteisingai išsprendžia tekstinius uždavinius.
7 lentelė
II klasėje išspręstų tekstinių uždavinių klaidos
1. Liekanos (skirtumo) radimo uždavinys
Klaida Priežastis Mokinių
skaičius
44 – 28 = 33
44 – 28 = 20
44 – 28 = 10
44 – 28 = 26
44 – 28 = 22
Nemoka apskaičiuoti dviženklių
skaičių skirtumo, kai turinyje,
vienetų skyriuje skaitmuo didesnis
už atėminio vienetų skyriuje esantį
skaitmenį
6
44 – 28 = 24 Reiškinį apskaičiuoja taip, kaip
lengviau, t.y., pirma atima dešimtis,
o po to iš didesnio vienetų skyriuje
esančio skaičiaus atima mažesnį
1
44 – 15 = 28
44 – 16 = 28
44 – 10 = 28
Mintinai išsprendus uždavinį ir po
to užrašant veiksmą sumaišyti
skaičiai vietomis
3
2. Kelių lygių dėmenų sumos radimo uždavinys
6 · 3 = 20
6 · 3 = 16
Nemoka daugybos lentelės 2
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 Sudėdami 5 vienodus veiksmo
komponentus neprideda vieno
skaitmens, nesinaudoja daugybos
lentele
2
6 · 2 = 6 Neįsiskaito tekstinio uždavinio 1
3 + 6 = 9
6 : 2 = 3
Neteisingai parinktas veiksmas 3
3. Skirtuminio palyginimo uždavinys
4 · 9 = 33
4 · 9 = 12
9 + 9 + 9 + 9 = 38
Nemoka daugybos lentelės, ja
nesinaudoja
3
1) ? Atliktas tik vienas veiksmas,
neapskaičiavo kiek turėjo iš viso?
1
7 · 9 ... Dėl neatidumo parašytas skaičius,
kurio uždavinio sąlygoje nėra
1
1) 4 + 9 = 13 2) …
1) ... 2) 36 + 12 = 48
Neteisingai parinktas veiksmas 6
47
Iš lentelėje pateiktų duomenų matome, kad kaip ir I, taip ir II klasės mokiniai liekanos
(skirtumo) radimo uždavinius supranta, geba teisingai užrašyti sprendimą (žr. 7 lentelę).
Pagrindinė klaidų priežastis – nėra puikiai įsisavinę skaičių sandaros 100 ribose ir negeba
apskaičiuoti skirtumo, kai turinio antrasis skaitmuo mažesnis už atėminio antrąjį skaitmenį. Šį
uždavinį dešimt mokinių išsprendė puikiai.
Antrąjį klausimyne pateiktą tekstinį uždavinį dvylika mokinių išsprendė teisingai, likę
aštuoni darė skaičiavimo klaidas. Išanalizavus šio uždavinio sprendimuose padarytas klaidas,
paaiškėjo, kad spręsdami šio tipo uždavinius, mokiniai klysta, parinkdami tinkamą sprendimo
veiksmą, nes neatpažįsta uždavinio tipo ir nemoka daugybos lentelės.
Trečio tipo uždavinyje padarytos klaidos ir jų priežastys parodo, kad apskaičiuoti
dviveiksmius tekstinius uždavinius, kai reikia palyginti skirtumą, II klasės mokiniams sekasi
sunkiau. Teisingai šį uždavinį išsprendė tik šeši mokiniai, trys mokiniai šio uždavinio visiškai
nesprendė.
Analizuojant III klasės klaidas, kurios daromos sprendžiant tekstinius uždavinius
(žr. 8 lentelę), paaiškėjo, kad kaip ir II, taip ir šioje klasėje sunkiau sekasi spręsti sudėtinius
tekstinius uždavinius.
8 lentelė
III klasėje išspręstų tekstinių uždavinių klaidos
1. Sumos radimo + liekanos (skirtumo) radimo uždavinys
Klaida Priežastis Mokinių
skaičius
600 – 355 = 255 Atliekant atimties veiksmą pamiršta
apie pasiskolintą dešimtį
1
Nėra 1 veiksmo
Nėra 2 veiksmo
Atliktas tik vienas veiksmas 2
1) 600 – 175 = 435
2) 600 – 180 = 420
3) 600 – 420 = 280
4) 280 – 435 = 855
Nemoka spręsti sudėtinio tekstinio
uždavinio, t.y., nežino su kokiais
skaičiais kokius veiksmus atlikti
1
2. Proporcingosios dalybos uždavinys
20 : 4 = 4
30 : 4 = 8
Nemoka daugybos lentelės
2
30 : 4 = 8 Neteisingai užrašytas uždavinio
sprendimo dalinys
1
3. Skaičiaus dalies radimo + skaičiaus padidinimo keliais vienetais uždavinys
Nėra 4 veiksmo
Nėra 2 – 4 veiksmų
Užrašyti ir atlikti ne visi uždavinio
sprendimo veiksmai
3
Pirmąjį klausimyne pateiktą tekstinį uždavinį III klasės mokiniai spręsti moka, supranta
tekstinio uždavinio sąlygą ir geba užrašyti sprendimą. Pagrindinė šiame uždavinyje dariusių
mokinių klaida – neįsiskaitė tekstinio uždavinio sąlygos, todėl atliko ne visus veiksmus arba
atliko ne tuos veiksmus, kuriuos reikėjo. Tačiau šešiolika III klasės mokinių šį uždavinį išsprendė
teisingai, todėl galime daryti prielaidą, kad šio tipo uždavinius trečiokai spręsti moka.
Proporcingosios dalybos uždavinį be klaidų išsprendė septyniolika mokinių ir trys
mokiniai šio uždavinio visiškai nesprendė. Du mokiniai, spręsdami šį uždavinį, darė klaidų.
Vienas mokinys neteisingai užrašė uždavinio sprendimo dalinį ir neteisingai apskaičiavo dalmenį.
Priežastis – nemoka daugybos lentelės.
48
Kaip ir pirmame klausimyno tekstiniame uždavinyje, taip ir trečiame pagrindinė klaida –
užrašyti ne visi veiksmai, t.y., uždavinys išspręstas ne iki galo.
IV klasės mokiniai puikiai moka spręsti nežinomo dėmens radimo uždavinius ir geba jų
sprendimą užrašyti lygtimi. Tokiu būdu uždavinį sprendė trylika mokinių. Kitų dviejų tipų
uždavinius spręsti sekėsi sunkiau (žr. 9 lentelę).
9 lentelė
IV klasėje išspręstų tekstinių uždavinių klaidos
1. Nežinomo dėmens radimo uždavinys
Klaida Priežastis Mokinių
skaičius
Neteisingai apskaičiuotas skirtumas
stulpeliu, nes pamiršta atimti
pasiskolintas dešimtis (a), nes
pamiršta apie pasiskolintą dešimtį
ir nežino skaičiaus 15 sandaros
2
2. Kelių lygių dėmenų sumos radimo + talpos dalybos uždavinys
Neteisingai apskaičiuotas dalybos
veiksmas kampu, nes neteisingai
parinko daugiklį iš kurio bus
dauginamas daliklis
1
Nėra 2 veiksmo Atliktas tik vienas uždavinio
sprendimo veiksmas
1
48 · 3 = 144
48 : 3 = 16
156 - 48
Neįsiskaitė uždavinio sąlygos, todėl
neteisingai parinktas sprendimo
veiksmas ir skaičiai
4
3. Skaičiaus radimo iš vienos jo dalies uždavinys
123 : 4 Ieškojo ne to skaičiaus dalies ir
atliktas tik vienas uždavinio
sprendimo veiksmas
5
Dėl neatidumo užmiršta koks
aritmetinis veiksmas
apskaičiuojamas
1
592 : 123 = 4 Neįsiskaitė tekstinio uždavinio
sąlygos, todėl neteisingai užrašė
antrą sprendimo veiksmą
1
Antrasis anketoje pateiktas uždavinys reikalauja dviveiksmio sprendimo. Pirmiausia
reikia apskaičiuoti, kiek buvo iš viso? ir tuomet – kiek telpa? Keturiolika mokinių šį uždavinį
atliko teisingai. Kiti klydo užrašydami sprendimą. Tai rodo, kad sprendžiant dviveiksmius
tekstinius uždavinius, mokiniams kyla sunkumų, nes neišanalizuoja tekstinio uždavinio sąlygos,
t.y., nėra įsisavinę tokių tekstinių uždavinių sprendimo strategijos.
Sunkiausiai IV klasės mokiniams sekėsi apskaičiuoti skaičiaus radimo iš vienos jo dalies
uždavinį. Teisingai šį uždavinį apskaičiavo tik šeši klasės mokiniai. Tai rodo, kad sunkumus,
49
sprendžiant tokius uždavinius, sudaro ne tik tai, kad reikia apskaičiuoti dviem veiksmais, bet ir
trupmeniniai skaičiai.
V klasėje buvo pateikti du nežinomo dėmens radimo uždaviniai. Vienas, kai
apskaičiuojama sudėties veiksmu, kitas – atimties veiksmu. Apskaičiuojant pirmąjį tekstinį
uždavinį,V klasės mokiniams sunkumų nekilo ir visi jį išsprendė teisingai (žr. 10 lentelę).
10 lentelė
V klasėje išspręstų tekstinių uždavinių klaidos
2. Nežinomo dėmens radimo uždavinys (skaičiuojama atimties veiksmu)
Klaida Priežastis Mokinių
skaičius
28 – 17 = x Nemoka taikyti lygčių sprendimo
principų, kai ieškoma turinio
7
Turėtų rašyti: x – 17 = 28
Rašo: 28 – 17 = 11
Remiantis tekstinio uždavinio
sąlyga, neteisingai sudaro lygtį, nes
nežino aritmetinių veiksmų
komponentų pavadinimų
1
3. Dviejų ar kelių lygių dėmenų sumos radimo uždavinys
10 + n = 20
10 · 10 = 100
10 + n = 10
10 + n = n
10 + n = x
Nemoka spręsti tekstinio uždavinio
su skaitiniais ir raidiniais simboliais
(neteisingai užrašo veiksmą,
neteisingai apskaičiuoja)
9
Spręsdami antrąjį šio tipo uždavinį, suklydo aštuoni mokiniai. Iš lentelėje pateiktų
duomenų matome, kad atsiranda nauja tekstinių uždavinių sprendimo klaidų sritis. Paaiškėjo, kad
mokiniams sunkiai sekasi tekstiniai uždaviniai, kurių sprendimą reikia užrašyti lygtimi. Tai rodo,
kad mokiniai nemoka atsiriboti nuo įprastos tekstinio uždavinio formuluotes ir įprastų sprendimo
principų. Tai patvirtina ir trečiasis tekstinis klausimyno uždavinys. Šį uždavinį teisingai išsprendė
tik penki mokiniai, šeši mokiniai šio uždavinio nesprendė, o devyni mokiniai nemoka spręsti
tekstinių uždavinių, kai sąlygoje yra tik vienas natūralusis skaičius ir vienas raidinis simbolis.
Keturiolika VI klasės mokinių (žr. 11 lentelę) nežinomo dėmens radimo uždavinį
išsprendė teisingai, du jo iš viso neskaičiavo ir penki skaičiuodami darė klaidas. Pagrindinė
klaida, kurią darė šeštokai, spręsdami šį uždavinį, tokia pat, kaip ir V klasės mokinių (žr. 10
lentelę) – negeba spręsti tekstinių uždavinių su raidiniu simboliu. Spręsdami antrąjį anketos
uždavinį, VI klasės mokiniai nemokėjo teisingai sudaryti uždavinio sprendimo veiksmo, nes
neatkreipia dėmesio į uždavinio sąlygoje pateiktus raktinius žodžius, šiuo atveju ,,du kartus
daugiau“. Taigi, klaidingai šį uždavinį išsprendė du mokiniai, visai jo nesprendė penki mokiniai,
o trylika mokinių skaičiaus radimo iš vienos jo dalies uždavinį išsprendė puikiai.
Liekanos (skirtumo) radimo uždavinius VI klasės mokiniai spręsti moka, teisingai užrašo
sprendimą, tačiau daro klaidas apskaičiuodami. Galime daryti prielaidą, kad taip yra dėl to, jog
sąlygoje pateikiami skaičiai yra mišrieji. Apskaičiudami tokį uždavinio sprendimą, mokiniai
nemoka aritmetinių veiksmų atlikimo principų su šiais skaičiais, tai mes jau išsiaiškinome,
analizuodami pirmąją anketos užduotį su aritmetiniais veiksmais.
50
11 lentelė
VI klasėje išspręstų tekstinių uždavinių klaidos
1. Nežinomo dėmens radimo uždavinys
Klaida Priežastis Mokinių
skaičius
(3 + 2 + 5) · a = ?
Nemoka spręsti tekstinio uždavinio
su skaitiniais ir raidiniais simboliais
(neteisingai užrašo veiksmą,
neteisingai apskaičiuoja)
3
,, Negalima nustatyti, nes nežinom kam
lygus a”
Nemoka tekstinio uždavinio
sprendimą užrašyti lygtimi
1
2. Skaičiaus radimo iš vienos jo dalies uždavinys
30 : 2 = 15
30 : 3 · 2 = 20
Nemoka apskaičiuoti skaičiaus
dalies, nes nežino su kokiais
skaičiais reikia atlikti aritmetinį
veiksmą
2
3. Liekanos (skirtumo) radimo uždavinys
Nemoka apskaičiuoti aritmetinių
veiksmų su trupmenomis
4
Remiantis gautais duomenimis sudaryta schema, kurioje pateikiama, kaip I–VI klasės
pasiskirstė pagal daromų klaidų skaičių (16 pav.). Klasės surašytos pagal daromų klaidų skaičių
mažėjimo tvarka. Rodyklėmis pavaizduota, kaip sudaroma bendrų klaidų diagramos dalis.
16 pav. I–VI klasių pasiskirstymas pagal daromų klaidų skaičių
Apibendrindami gautus rezultatus iš tekstinių užduočių analizės galime teigti, kad I
klasėje paprastųjų tekstinių uždavinių sprendimo pagrindai jau yra suformuoti,mokiniai moka
parinkti veiksmą, kai uždavinio sąlygoje vartojami žodžiai ,,daugiau“, ,,mažiau“ ar kai reikia
rasti skirtumą.
51
II klasės mokiniai vienveiksmių tekstinių uždavinių sprendimo principus žino, geba juos
taikyti. Sunkiau sekasi spręsti dviveiksmius tekstinius uždavinius dėl to, kad negeba teisingai
užrašyti uždavinio sprendimo. Pusę šiame uždavinyje padarytų klaidų sudarė skaičiavimo
klaidos, tai rodo, kad nėra puikiai išlavinti aritmetiniai įgūdžiai su dalybos ir daugybos
veiksmais.
III klasės tekstinių uždavinių analizė parodė, kad dar nėra iki galo susiformuotos
sudėtinių tekstinių uždavinių sprendimo strategijos. Sprendžiant tekstinius uždavinius, labiau
išryškėja būtent šios grupės klaidos, sprendžiant tekstinius uždavinius –skaičiavimo klaidų III
klasėje daroma mažiau.
IV klasės tekstinių uždavinių sprendimo rezultatai parodė, kad mokiniams sunkiausia
spręsti tekstinius uždavinius su dviem ir daugiau veiksmų bei trupmeniniais skaičiais. Vadinasi
IV klasėje dar nėra puikiai suformuoti dviveiksmių tekstinių uždavinių sprendimo principai, ypač
su trupmenomis.
V ir VI klasės tekstinių uždavinių analizė parodė, kad mokiniams trūksta įgūdžių iš
tekstinio uždavinio sąlygoje pateiktos informacijos atsirinkti uždavinio sprendimui reikiamus
duomenis. Kaip I klasėje, tai ir V–VI klasėse vėl daroma nemažai skaičiavimo klaidų. Taip yra
dėl to, kad nemoka aritmetinių veiksmų atlikimo principų su trupmeniniais skaičiais.
2.2.3. Veiksmų perstatomumo dėsnio taikymas, apskaičiuojant
reiškinius I–VI klasėje
Išanalizavus I klasės mokinių klausimyno 5 užduotį, paaiškėjo, kad reiškinius, kurių
apskaičiavimą palengvina veiksmų perstatomumo dėsnis, mokiniai sprendžia įvairiais būdais.
Pirmąjį reiškinį, kuris sudarytas iš dviejų dėmenų, pirmokai skaičiavo 4 būdais (17 pav.).
Skaičiavo
stulpeliu
20%
Taikė DSSPT
25%
Nemokėjo
taikyti DSSPT
20%
Neparodė
skaičiavimo
būdo
15%
Neatliko
20%
17 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas I klasėje (reiškiniai su dviženkliais skaičiais)
Pirmojo reiškinio visiškai neskaičiavo 20 % mokinių, dar 15 % mokinių neužrašė
skaičiavimo būdo, todėl negalima nustatyti šių mokinių skaičiavimo strategijų. 20 % pirmokų
pasirinko skaičiavimo stulpeliu būdą. Iš dalies tokį skaičiavimą galėtume priskirti prie sudėties
perstatomumo dėsnio, nes skaičiuodami mokiniai pirmiausia atlieka veiksmą su skaitmenimis
esančiais vienetų skyriuje, o paskui – dešimčių skyriuje. Tačiau šis reiškinių reikšmių radimo
būdas atskirai buvo išskirtas todėl, kad norima parodyti, jog mokiniai naudoja ir tokį reiškinių
52
reikšmių apskaičiavimo būdą. Ketvirtadalis I klasės mokinių teisingai apskaičiavo šį reiškinį, nes
taikė dviženklių skaičių sudėties perstatomumo dėsnį (DSSPD), t.y., apskaičiuodami reiškinio
reikšmę atskirai sudėjo vienetų skyriaus skaitmenis ir dešimčių skyriaus skaitmenis ir apskaičiavo
jų bendrą sumą. Likę mokiniai bandė taikyti perstatomumo dėsnį, tačiau neteisingai. Duotus
skaičius jie paprasčiausiai apkeitė vietomis ir mintinai suskaičiavo, pvz., 23 + 32 = 32 + 23. Tai
reiškia, kad mokiniai neįžvelgė, jog sudėjus vienetus ir dešimtis atskirai, bendrą sumą
apskaičiuoti būtų lengviau. Puse taip skaičiavusių mokinių reiškinio reikšmę gavo neteisingą.
Antras užduoties reiškinys sudarytas iš dviženklio ir vienaženklių skaičių. Tokio tipo
reiškinį I klasės mokiniai sprendė 5 būdais (18 pav.).
Skaičiavo
stulpeliu
10% Taikė
perstatomumo
dėsnį
25%
Skaičiavo visus
veiksmus iš
eilės
10%
Nemokėjo
taikyti
perstatomumo
dėsnio
25%
Neparodė
skaičiavimo
būdo
15%
Neatliko
15%
18 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas I klasėje ( reiškiniai su dviženkliais ir vienaženkliais
skaičiais)
Stulpeliu skaičiavo 10 % mokinių iš kurių puse apskaičiavo neteisingai, priežastis –
nepridėtos naujai susidariusios dešimtys. Kaip ir I reiškinyje, taip ir šiame 25 % mokinių taikė
perstatomumo dėsnį, tačiau 5 % apskaičiavo neteisingai, nes nežino skaičių sandaros
dešimtainėje sistemoje. Analizuojant, kaip mokiniai apskaičiavo antrąjį reiškinį, išryškėjo dar
vienas skaičiavimo būdas – skaičiuoja visus veiksmus iš eilės. Taip skaičiuodami pusė mokinių
klydo, nes dėl silpnai suformuotų skaičių sandaros vaizdinių negeba apskaičiuoti teisingo
atsakymo.
Skaičiavo
stulpeliu
5%
Taikė
perstatomumo
dėsnį
55%Skaičiavo visus
veiksmus iš
eilės
5%
Neparodė
skaičiavimo
būdo
20%
Neatliko
15%
19 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas I klasėje (reiškiniai su vienaženkliais skaičiais)
53
I klasės mokinių perstatomumo dėsnio taikymas trečiame reiškinyje pavaizduotas 19
paveikslėlyje.
Spręsdami šį reiškinį, net 55 % mokinių taikė perstatomumo dėsnį. Galime daryti
prielaidą, kad taip yra dėl to, kad veiksmus su vienaženkliais skaičiais atlikti pirmokams
lengviau. 5 % visus veiksmus atliko iš eilės, tačiau neteisingai. Tai rodo, kad jau I klasėje būtina
skatintini mokinius ieškoti lengviausio reiškinių sprendimo būdo ir jį taikyti.
Išanalizavus I klasės penktąją užduotį paaiškėjo, kad I mokiniai nelinkę taikyti
perstatomumo dėsnį, dauguma renkasi ir kitus skaičiavimo būdus. Tai padėjo nustatyti užduoties
formuluotė, kurioje rašoma, kad apskaičiuojant reiškinius galima pasirinkti būdą, kuris mokiniui
yra lengviausias. Remdamiesi gautais rezultatais, galime teigti, kad pirmokai negeba iš reiškinio
nustatyti, kokiu būdų būtų jį lengviausia apskaičiuoti. Taip pat matome, kad perstatomumo dėsnį
sunkiausiai sekasi taikyti reiškiniuose su dviženkliais skaičiais. II klasės 5 užduoties pirmuoju reiškiniu buvo siekiama išsiaiškinti, ar mokiniai geba
vienodų dėmenų sumą pakeisti daugybos veiksmu. Paaiškėjo, kad beveik pusė (20 pav.) II klasės
mokinių ( 40 %) tikrai geba sudėties veiksmą pakeisti daugyba. Dar 10 % antrokų bandė taikyti šį
apskaičiavimo būdą, tačiau nesėkmingai. Neteisingai užrašė skaitmenį, kuris nurodo vienodų
dėmenų skaičių. Ketvirtadalis antrokų reiškinį apskaičiavo taip, kaip jis buvo pateiktas anketoje,
t.y., visus skaičius sudėjo. Remdamiesi tokiais duomenimis, galime teigti, kad, baigdami antrą
klasę, vaikai dar nėra iki galo įsisavinę sudėties ir daugybos veiksmų ryšio ir nemoka vieno iš
perstatomumo dėsnio principų – sutraukti panašiuosius narius.
Moka sudėtį
pakeisti
daugyba
40%
Nemoka
sudėties
pakeisti
daugyba
10%
Skaičiuoja eilute
sudedant
25%
Neparodė
skaičiavimo
būdo
20%
Neatliko
5%
20 pav. Vienodų dėmenų sumos keitimas daugybos veiksmu II klasėje
2 ir 3 reiškinių duomenys pateikti vienoje lentelėje (21 pav.), nes jie yra panašaus tipo, tik
viename reiškinyje daugybos veiksmas priekyje, o kitame – gale. Išanalizavus šiuos reiškinius
paaiškėjo, kad 60 % II klasės mokinių moka ir taiko perstatomumo dėsnį, tačiau pusė iš jų
neteisingai apskaičiuoja galutinį atsakymą dėl skaičiavimo sunkumų, pvz., nemoka daugybos
lentelės, apskaičiuoja ne visą reiškinį, suklysta dešimčių skyriuje, apskaičiuodami sumą. Kaip
matome, kartojasi klaidos, kurias išsiaiškinome analizuodami pirmąją klausimyno užduotį, todėl
galime teigti, kad pagrindinė visų klaidų priežastis – nepakankamai išlavinti skaičiavimo
įgūdžiai. Ketvirtadalis II klasės mokinių nemoka taikyti perstatomumo dėsnio. Dauguma vaikų
žino, kad pirmiausia reikia atlikti daugybos veiksmą, taigi, apskaičiavę sandaugą, reiškinio
veiksmus atlieka iš eilės. 15 % mokinių šių dviejų reiškinių visiškai nesprendė.
54
Moka ir taiko
perstatomumo
dėsnį
30%
Neteisngai
apskaičiuoja
galutinį
atsakymą
30%
Nemoka taikyti
perstatomumo
dėsnio
25%
Neatliko
15%
21 pav. perstatomumo dėsnio taikymas II klasėje
Apibendrindami II klasės rezultatus galime teigti, kad antrokai daugiau taiko
perstatomumo dėsnį nei pirmokai, tačiau didelė dalis mokinių šio dėsnio visai nemoka, t.y.,
nežino, kokia tvarka reikia atlikti aritmetinius veiksmus, kai reiškinyje jų yra daugiau nei vienas.
Taip pat pastebime, kad II klasės mokiniai taiko tik du reiškinių sprendimo būdus, kuriuos taikė
ir pirmokai – apskaičiuojama taikant perstatomumo dėsnį ir apskaičiuojama visus veiksmus iš
eilės.
III klasės klausimyno 5 užduoties pirmas reiškinys buvo sudarytas iš aritmetinių veiksmų
ir skliaustų (22 pav.). Pasirodo, kad III klasėje tokio tipo uždavinius mokiniai sprendžia labai
gerai. 90 % mokinių šį reiškinį apskaičiavo be klaidų, 5 % šio reiškinio neskaičiavo, o 5 % visus
veiksmus atliko teisinga tvarka, tik gavo klaidingą atsakymą apskaičiuodami veiksmus
skliaustuose. Vadinasi, sprendžiant tokio tipo reiškinius III klasės mokiniams sunkumų nekyla.
Moka ir taiko
perstatomumo
dėsnį
90%
Neteisngai
apskaičiuota
5%
Neatliko
5%
22 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas III klasėje, kai reiškinyje yra skliaustai
55
Skritulinėje diagramoje (23 pav.) pateikti duomenys rodo, kad III klasės mokiniai
geba taikyti perstatomumo dėsnį, apskaičiuojant reiškinius su dviem ir daugiau nevienodų
aritmetinių veiksmų. Klaidų, kurias trečiokai darė daugiausiai, priežastis – neteisingai
apskaičiuoti veiksmai, pvz., nemoka dauginti stulpeliu ar sudėdami klysta dešimčių skyriuje. Tik
5 %, skaičiuodami šiuos reiškinius, nemoka perstatomumo dėsnio principų.
Moka ir taiko
perstatomumo
dėsnį
75%
Neteisngas
galutinis
atsakymas
10%
Maišo veiksmų
atlikimo tvarką
5%
Nemoka
sudėties
stulpeliu
5%
Neatliko
5%
23 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas III klasėje, kai reiškinyje yra du ir daugiau
veiksmų
Apibendrindami gautus rezultatus galime teigti, kad III klasės mokiniai moka taikyti
perstatomumo dėsnį ir jį taiko. Žino kokia tvarka atlikti veiksmus reiškinyje, moka reiškininius
apskaičiuoti lengvesniu būdu, t.y., taiko sudėties perstatomumo ir jungimo dėsnius.
Moka ir taiko
perstatomumo
dėsnį
90%
Apskaičiuoti ne
visi reiškinio
veiksmai
5%Maišo veiksmų
atlikimo tvarką
5%
24 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas IV klasėje, kai reiškinyje yra skliaustai
IV klasės mokinių 5 užduoties pirmojo reiškinio analizė parodė (24 pav.), kad ketvirtokai
moka nustatyti veiksmų eiliškumą reiškinyje ir geba apskaičiuoti kiekvieną reiškinio veiksmą.
56
Tik 10 % mokinių šį reiškinį apskaičiavo neteisingai. To priežastys buvo dvi: neteisingai
nustatyta veiksmų atlikimo tvarka ir praleistas vienas reiškinio veiksmas. Kaip matome,
sprendžiant reiškinius su skliaustais, IV klasės mokiniams sunkumų nekyla.
Apskaičiuodami antrąjį reiškinį, IV klasės mokiniai perstatomumo dėsnį taikė 100 %,
tačiau 30 % iš jų darė skaičiavimo klaidas (25 pav.).
Pakeistas
vienas veiksmas
50%
Pakeistas vieno
dauginamojo
skaitmuo
50%
25 pav. Skaičiavimo klaidų pasiskirstymas taikant perstatomumo dėsnį IV klasėje
Pateiktoje diagramoje matome, kad buvo daromos dviejų tipų skaičiavimo klaidos. Šios
klaidos yra panašaus pobūdžio ir padarytų klaidų dalys skaičiuojant procentais pasiskirstė
vienodai. Atsižvelgdami į padarytas klaidas, galime teigti, kad pagrindinė šių klaidų priežastis –
dėmesio stoka.
Trečiąjį uždavinio reiškinį IV klasės mokiniams apskaičiuoti sekėsi sunkiausiai (26 pav.).
Tik 20 % mokinių šį reiškinį apskaičiavo teisingai. 30 % mokinių šio reiškinio neskaičiavo.
Likusieji 50 % ketvirtokų, apskaičiuodami reiškinius, darė klaidų.
Darė keletą
klaidų
10%
Atlikti ne visi
veiksmai
5%
Nemoka taikyti
perstatomumo
dėsnio
15%
Padarytos
skaičiavimo
klaidos atimant
5%
Padarytos
skaičiavimo
klaidos
dauginant
15%
Moka ir taiko
perstatomumo
dėsnį
20%Neatliko
30%
26 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas daugiaveiksmiame rinkinyje IV klasėje
57
Kaip matome iš diagramoje pateiktų duomenų, viena iš rečiausiai daromų klaidų – ne visų
aritmetinių veiksmų atlikimas. Toks pat procentas mokinių klydo, apskaičiuodami reiškinio
skirtumą. Šios klaidos priežastis – pamirštama apie pasiskolintas dešimtis. 10 % mokinių
skaičiuodami šį reiškinį, darė po kelias klaidas, t.y., neteisingai apskaičiavo sandaugas,
skaičiavimai atlikti klaidinga veiksmų tvarka ir apskaičiuoti ne visi reiškinio veiksmai. 15 % IV
klasės mokinių nemokėjo taikyti perstatomumo dėsnio, pvz., apskaičiuodami aritmetinius
reiškinio veiksmus, pusės reiškinio aritmetinių veiksmų tvarką nustatė gerai, o pusės atliko iš
eilės. Tokia pat dalis mokinių, apskaičiuodami reiškinį, darė skaičiavimo klaidas daugindami. Tai
įrodo, kad IV klasės mokiniams kyla sunkumų atliekant daugybos veiksmus.
Apibendrindami IV klasės 5 užduoties analizės duomenis galime teigti, kad perstatomumo
dėsnį taikyti mokiniai moka tuose reiškiniuose, kurie sudaryti iš trijų aritmetinių veiksmų. Jeigu
pateikiamas reiškinys, kuris sudarytas iš daugiau aritmetinių veiksmų (šiuo atveju penkių) ir jų
įvairovė didesnė, dauguma mokinių tokio reiškinio nebeapskaičiuoja, t.y., apskaičiuoja
neteisingai.
Analizuojant penktokų klaidas penktoje užduotyje, paaiškėjo, kad beveik pusė mokinių
šią užduotį atliko be klaidų (27 pav.). Tai rodo, kad ši mokinių dalis puikiai geba pritaikyti
perstatomumo dėsnį, taikant visas jo taisykles. Tokia pat mokinių dalis neteisingai apskaičiavo du
reiškinius, o 20 % mokinių neteisingai apskaičiavo vieną reiškinį. Remdamiesi šiais duomenimis,
galime teigti, kad V klasės mokiniai geba reiškiniuose taikyti perstatomumo dėsnį. Kaip matome
nė vienas mokinys šios užduoties nepaliko neišspręstos.
Du teisngi
20%
Visi teisngi
40%
Vienas teisngas
40%
27 pav. Perstatomumo dėsnio taikymas V klasės anketoje pateiktuose reiškiniuose
Siekiant išsiaiškinti, kokios klaidos dažniausiai daromos reiškiniuose, taikant
perstatomumo dėsnį, buvo sudaryta schema (28 pav.). 65 % schemoje pavaizduotas klaidas darę
mokiniai perstatomumo dėsnį taikyti moka, tačiau, apskaičiuodami reiškinius, darė skaičiavimo
klaidų. 20 % klaidų sudaro nemokėjimas taikyti perstatomumo dėsnio. 15 % padarytų klaidų
negalime priskirti nei tiems mokiniams, kurie taiko perstatomumo dėsnį, nei tiems, kurie netaiko,
nes neaišku, kokiu būdu buvo apskaičiuotas reiškinys. Neteisingi atsakymai galėjo būti gauti dėl
to, kad padarė skaičiavimo klaidų, arba dėl to, kad nemoka taikyti perstatomumo dėsnio. 30% V
klasės mokinių padarytų klaidų sudaro pakeistas aritmetinio veiksmo ženklas, vadinasi, keičiasi ir
atsakymas. 15% mokinių klaidų sudarė neteisingai apskaičiuotas dalmuo, t.y. 15 : 5 = 5.
Remdamiesi tokiu pavyzdžiu, galime daryti prielaidą, kad V klasėje mokiniai dar nėra iki galo
58
įsisavinę daugybos lentelės. Atidumo klaida diagramoje buvo įvardinta kaip neteisingai
apskaičiuota suma, pvz., 3 + 20 = 60.
Neteisingai
apskaičiuotas
dalmuo
15%
Neteisngai
apskaičiuota
sandauga
15%
Atidumo klaida
5%Nenurodytas
skaičiavimo
būdas
15%
Nemoka taikyti
perstatomumo
dėsnio
20%
Pakeistas
reiškinio
veiksmas
30%
28 pav. Reiškinių perstatomumo klaidos V klasėje
Apibendrindami galime teigti, kad dauguma V klasės mokinių moka aritmetinių veiksmų
atlikimo tvarką ir supranta skliaustų prasmę reiškinyje. Didžiąją daromų klaidų dalį sudaro
skaičiavimo ir atidumo stokos klaidos.
Analizuojant VI klasės mokinių 5 užduotį, paaiškėjo, kad 80 % moka taikyti
perstatomumo dėsnį, tačiau reiškinius neteisingai apskaičiavo dėl kitų priežasčių (29 pav.).
Atidumo klaida
5%Nebaigta
apskaičiuoti
5%Natūraliųjų
skaičių suma
10%
Veiksmai su
paprastosiomis
trupmenomis
10%
Veiksmai su
dešimtainėmis
tupmenosmis
70%
29 pav. Reiškinių perstatomumo klaidos VI klasėje
Diagramoje pateikti duomenys, kurie rodo šeštokų padarytų klaidų dalis procentais.
Matome, kad didžiausią klaidų dalį sudarė sunkumai atliekant veiksmus su dešimtainėmis
trupmenomis. Anksčiau išanalizuotose VI klasės užduotyse buvo nustatyta, kad aritmetiniai
veiksmai su trupmenomis – didelė problema, sprendžiant įvairaus tipo uždavinius. Grupuojant
šioje užduotyje padarytas klaidas, paaiškėjo, kad visi apskaičiavę reiškinius mokiniai (nors ir
59
klaidingai) moka ir taiko perstatomumo dėsnį, tačiau klaidos kitose matematikos srityse lemia
netesingus galutinius atsakymus. Pastebėta, kad sunkiausia mokiniams apskaičiuoti veiksmus, kai
reiškinyje yra dešimtainės ir paprastosios trupmenos. Remdamiesi šiuo teiginiu, galime manyti,
kad 20% mokinių neapskaičiavo paskutinio 5 užduoties reiškinio būtent dėl šios priežasties.
Remdamiesi VI klasės reiškinių pertvarkymo duomenų analizės rezultatais galime teigti,
kad VI klasės mokiniai geba atlikti daugiaveiksmius veiksmus su natūraliaisiais skaičiais taikant
perstatomumo dėsnį.
Apibendrinant I–VI klasių išanalizuotus duomenis, sudaryta diagrama, kuri parodo,
perstatomumo dėsnio taikymo kaitą (30 pav.). Iš apibendrintų rezultatų matome, kad silpniausiai
reiškinių perstatomumo įgūdžiai yra I klasės mokinių.
95%
95%
80%
75%
50%
43%
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Nokinių skaičius procentais
I klasė
II klasė
IV klasė
V klasė
III klasė
VI klasė
30 pav. I–VI klasių mokinių perstatomumo dėsnio taikymo gebėjimai
Pastebėta, kad šie įgūdžiai gerėja kiekvienais metais, išskyrus IV klasėje. Šioje klasėje
daugiau klaidų daroma, nustatant veiksmų atlikimo eiliškumą, arba atliekami ne visi veiksmai.
Galime daryti prielaidą, kad to priežastis – reiškiniai su daugiau veiksmo komponentų. V klasėje
reiškinių su perstatomumo dėsniu rezultatai gerėja. Tai rodo, kad tokio tipo uždaviniai
mokiniams nėra sunkūs. Pagrindinė priežastis, dėl ko mokiniai neteisingai apskaičiuoja šiuos
uždavinius, – skaičiavimo klaidos. V–VI klasių analizės rezultatai įrodo, kad reiškinių
pertvarkymo įgūdžiai yra puikūs, tačiau pastebima kita problema, lemianti didžiąją dalį klaidų –
mokiniai negeba teisingai atlikti aritmetinių veiksmų su trupmenomis.
2.2.4. Lygčių sprendimo sunkumai I–VI klasėje
Lygčių mokymasis ir sprendimas ugdo mokinių suvokimą apie matematinės simbolikos
universalumą, t.y., matematinius modelius ir metodų pritaikymą įvairiose žmogaus veiklos srityse
(BP, 2008). Šeštosios užduoties analizė padės išsiaiškinti, kaip I–VI klasės mokiniai geba
apskaičiuoti nežinomą reikšmę, atlikdami įvairius aritmetinius veiksmus.
Analizuojant I klasės mokinių klaidas, (31 pav.) paaiškėjo, kad daugiausia klaidų,
apskaičiuojant nežinomojo reikšmę, daroma tada, kai lygtyje yra trys veiksmo komponentai. Šios
lygtys yra pateiktos kitokia forma nei įprastai, t.y., vietoj a + b – c = d parašyta d = a + b – c.
Tokią lygtį keturi I klasės mokiniai sprendė nuo pabaigos, pvz., 16 = 14 + 6 – 8. Kiti keturi šiose
lygtyse klaidas darę mokiniai klydo dėl skaičiavimo klaidų, pvz., 19 = 14 + 1 + 3.
60
Šeši mokiniai klydo, spręsdami lygtį, kai nežinomasis yra turinys. Šioje lygtyje jie darė
dvi klaidas.
1) Vieni mokiniai šią lygtį pradėjo skaičiuoti nuo galo ir vietoj nežinomojo reikšmės įrašė
apskaičiuotą skirtumą, pvz., 84 – 6 = 90. Tai rodo, kad pirmos klasės nemoka rasti lygties
sprendinio, kai nežinomasis yra turinys.
2) Kiti veiksmą lygties nežinomojo radimui parinko teisingai, tačiau padarė skaičiavimo
klaidų, pvz., 99 – 6 = 90.
1
6 6
1
8
3
4
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Mokinių
skaičius
Negeba rasti atėminio
Negeba rasti turinio
Negeba rasti dviženklio
dėmens
Negeba rasti vienaženklio
dėmens
Neapskaičiuoja kai 3
veiksmo komponentai
Be klaidų
Atliko ne visus
Neapskaičiavo nė vieno
31 pav. I klasės mokinių klaidos sprendžiant lygtis
Toks pat mokinių skaičius klydo, apskaičiuodami lygtis, kai nežinomojo reikšmė yra
dviženklis skaičius. Šioje lygtyje buvo daromos tokios pat dvi klaidos, kurias jau aptarėme.
Nepakankamai išlavinti skaičiavimo įgūdžiai lėmė dar dviejų mokinių padarytas klaidas,
t.y., neteisingai apskaičiuotas lygties sprendinys, kai nežinomasis yra atėminys ir kai nežinomasis
yra vienaženklis dėmuo.
Be klaidų visas lygtis apskaičiavo trys I klasės mokiniai, ne visus reiškinius apskaičiavo
keturi mokiniai, o visiškai neišsprendė nė vienos lygties vienas I klasės mokinys. Tai rodo, kad I
klasės mokiniai lygčių su vienu nežinomuoju spręsti nemoka, o jei nežinomojo reikšmę randa
spėjimo būdu, tokio sprendinio netikrina.
Analizuojant II klasės mokinių daromų klaidų priežastis, kurias daro spręsdami lygtis,
paaiškėjo, kad didžiąją dalį antrokų daromų klaidų sudaro skaičiavimo klaidos (32 pav.).
Skirtingai nei I klasėje, II klasės mokiniams kilo sunkumų apskaičiuojant nežinomą
atėminį. Apskaičiuojant tokios lygties sprendinį, buvo daromos skaičiavimo klaidos, pvz., 23 + 3
– 12 = 15. Ta pati klaidų priežastis buvo apskaičiuojant lygties nežinomąjį, kai jis yra turinys. Du
mokiniai neteisingai apskaičiavo dauginamąjį. Šių klaidų priežastis buvo – daugybos lentelė,
pvz., 5 · 5 = 20. Ketvirtadalis mokinių neteisingai apskaičiavo lygties sprendinį, kai nežinomasis
yra vienaženklis dėmuo. Spręsdami šią lygtį mokiniai darė dvi klaidas – veiksmus atliko iš galo
pakeisdami aritmetinio veiksmo ženklą arba neteisingai apskaičiavo sudarytą reiškinį. Iš
diagramoje pateiktų duomenų matome, kad II klasės mokiniams lygtis su trimis veiksmo
komponentais spręsti sekėsi geriau. Be klaidų šią užduotį atliko trys mokiniai.
61
6
7
2
5
3 3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
Mokinių
skaičius
Negeba rasti atėminio
Negeba rasti turinio
Negeba rasti dauginamojo
Negeba rasti vienaženklio
dėmens
Neapskaičiuoja kai 3
veiksmo komponentai
Be klaidų
Atliko ne visus
Neapskaičiavo nė vieno
32 pav. II klasės mokinių klaidos sprendžiant lygtis
Remdamiesi aptartais duomenimis, galime teigti, kad II klasės mokiniai moka spręsti
lygtis, geba parinkti tinkamą veiksmą rasti lygties sprendiniui, tačiau ne pakankamai išlavinti
skaičiavimo įgūdžiai kelia sunkumų teisingai apskaičiuoti nežinomojo reikšmę.
III klasėje visas lygtis be klaidų išsprendė tik trys mokiniai, todėl galime teigti, kad,
apskaičiuoti lygčių nežinojamąjį, šios klasės mokiniams yra sudėtinga (33 pav.).
Pagrindinės trečiokų daromos klaidos skiriasi nuo I ir II klasės mokinių. Pastebėta, kad III
klasėje dažniau klystama, parenkant aritmetinį veiksmą nežinomojo reikšmei apskaičiuoti, pvz.,
lygtį d – 256 + 256 = 187 sprendė taip: d = 256 – 187 = 315. Tai rodo, kad III klasės mokiniai
negeba sieti veiksmo komponentų ir rezultato. Spręsdami šią lygtį, kai kurie mokiniai
apskaičiavo ne visus aritmetinius veiksmus.
6
9
6
2
9
00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Mokinių
skaičius
Negeba rasti dėmens
Negeba rasti atėminio (kai
trys veiksmo
komponentai)
Negeba rasti daliklio
Be klaidų
Atliko ne visus
Neapskaičiavo nė vieno
33 pav. III klasės mokinių klaidos sprendžiant lygtis
IV klasės mokiniai, apskaičiuodami nežinomąjį dėmenį, klysta parinkdami aritmetinį
veiksmą (34 pav.). Mokiniai pirmiausiai mokosi tokio tipo lygčių, todėl, baigdami pradinės
mokyklos programą, jau turėtų suvokti ryšį tarp veiksmo komponentų ir rezultato, tačiau matome,
62
kad šie IV klasės mokinių gebėjimai nėra pakankamai išlavinti. Siekiant išsiaiškinti, kaip
ketvirtokai sprendžia lygtis su trimis veiksmo komponentais, buvo nustatyta ta pati klaida, kaip
ir III klasėje, t.y., mokiniai atlieka ne visus aritmetinius veiksmus arba juos apskaičiuojant gauna
neteisingą atsakymą, pvz.,
X – 35 · 35 = 775
X = 35 · 35
X = 1225
4
11
1
10
2
9
0
4
0
2
4
6
8
10
12
Mokinių
skaičius
Negeba rasti dėmens
Negeba rasti atėminio (kai
trys veiksmo
komponentai)
Negeba rasti daliklio
Negeba rasti dauginamojo
Be klaidų
Atliko ne visus
Neapskaičiavo nė vieno
Nebaigė apskaičiuoti
34 pav. IV klasės mokinių klaidos sprendžiant lygtis
Vienas mokinys suklydo, apskaičiuodamas nežinomą daliklį. Jis 180 padalinęs iš 6 gavo
120. Tai rodo, kad dėl neatidumo atliko ne dalybos, o atimties veiksmą. Analizuodami I–III
klasių klaidas, matėme, kad tik labai nedidelė mokinių dalis visas lygtis išsprendžia be klaidų, ta
pati problema yra ir IV klasėje.
Apibendrindami I–IV klasių rezultatus, galime teigti, kad, baigdami pradinę matematikos
mokymo programą, mokiniai nėra įsisavinę paprasčiausių lygčių sprendimo principų.
V–VI klasės klausimynuose pateiktos lygtys yra sudėtingesnės, t.y., jų sprendimas
reikalauja taikyti ne tik lygčių sprendimo principus, bet ir aritmetinius gebėjimus.
V klasės mokiniams buvo pateikta viena tiesinė lygtis. Šią lygtį aštuoniolika mokinių
išsprendė teisingai. Tai rodo, kad tiesines lygtis V klasės mokiniai spręsti moka. Kita penktokams
pateikta lygtis sudaryta iš tiesinės lygties ir aritmetinio veiksmo (kai reikia apskaičiuoti dalmenį),
pvz., x – 8 = 40 : 5. Aštuoni V klasės mokiniai šią lygtį išsprendė neteisingai. Trys iš jų
apskaičiavo tik dalmenį ir gautą atsakymą įrašė kaip lygties sprendinį, pvz., x = 40 : 5 = 8. Kiti
keturi mokiniai spręsdami šią lygtį neteisingai parinko sprendimo veiksmą. Tai rodo, kad V
klasės mokiniai nemoka spręsti lygčių, kai pirmiausiai reikia atlikti tuos veiksmus, kurie būtinį
norint pradėti spręsti lygtį. Dar dvi lygtys buvo pateiktos tokios pat, tik pakeisti skaičiai (vienoje
mažesni, kitoje didesni). Taip šios lygtys buvo sudarytos siekiant išsiaiškinti ar mokinių
daromoms klaidoms sprendžiant lygtis dideli skaičiai turi įtakos. Paaiškėjo, kad abiejų lygčių
visiškai nesprendė po tris V klasės mokinius, o neteisingai išsprendė po keturis V klasės
mokinius. Taigi, galime teigti, kad didesni skaičiai nėra priežastis, dėl ko lygčių nežinomieji
apskaičiuojami neteisingai. Tikrinant šias lygtis, buvo nustatyta, kad mokiniai negeba atpažinti
tiesinių lygčių ir taikant jų sprendimo principus apskaičiuoti nežinomąją reikšmę (35 pav.).
63
Išanalizavus visų penktokų lygčių sprendimo užduotį, paaiškėjo, kad šeši klasės mokiniai
visas lygtis apskaičiavo teisingai.
Apibendrindami duomenis galime teigti, kad V klasės mokiniams trūksta įgūdžių
apskaičiuoti lygtis su keliais aritmetiniais veiksmais.
7
2
10
6
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mokinių
skaičius
Negeba rasti turinio
Negeba rasti dėmens
Klydo apskaičiuojant su
trimis veiksmo
komponentais
Be klaidų
Atliko ne visus
35 pav. V klasės mokinių klaidos sprendžiant lygtis
Analizuojant, kaip VI klasės mokiniai sprendžia lygtis, buvo pastebėta, kad šeštokų
daromos klaidos skiriasi nuo kitose klasėse daromų klaidų (36 pav.). Buvo nustatytos kitos klaidų
priežastys. Keturi mokiniai, spręsdami lygtis su dviem ir trim nežinomaisiais, veiksmus atliko ne
su visais nežinomaisiais, pvz., lygtyje 4 · x + 7 · x + x = 480 nebuvo pridėta vienas nežinomasis
(+ x). Tai rodo, kad mokiniai geba apskaičiuoti x ir natūraliojo skaičiaus sandaugas ir jų sumą,
tačiau nebeprideda nežinomojo, kuris yra be skaičiaus.
4
1
2
4
2
1
7
5
0
1
2
3
4
5
6
7
Mokinių
skaičius
Sprendžiant lygtį praleistas
vienas nežinomasis
Neteisinga veiksmų atlikimo
tvarka
Atidumo klaida
Veiksmai su trupmenomis
Neteisngai apskaičiuotas
dalmuo
Neteisingai parinktas veiksmas
Be klaidų
Atliko ne visus
36 pav. VI klasės mokinių klaidos sprendžiant lygtis
64
Pastebėta, kad tik vienas VI klasės mokinys visus veiksmus lygtyje atliko iš eilės, t.y.,
nežiūrėjo, kokia tvarka turėjo būti atliekami aritmetiniai veiksmai. Du mokiniai klydo, darydami
atidumo klaidas. Šiai klaidų grupei buvo priskirtos šios klaidos: pirmoji klaida – kai mokinys
atlikdamas veiksmus su mišriosiomis trupmenomis apskaičiavo jų sveikąsias dalis, o trupmenines
dalis apskaičiuoti pamiršo, antroji klaida – kai apskaičiuodamas dešimtainių trupmenų sumą
vienos trupmenos dalies, kuri yra po kablelio, nepridėjo. Keturi mokiniai klydo, atlikdami
veiksmus su trupmenomis, t.y., nemokėjo apskaičiuoti mišriųjų trupmenų sumos. Sveikąsias
trupmenos dalis sudėjo teisingai, o paprastąsias trupmenas sudėjo neteisingai, nes trupmenų sumą
apskaičiavo, taikydami trupmenų daugybos taisyklę. Dar du mokiniai klydo, apskaičiuodami
dalmenį, pvz., x = 380 : 19 = 17. Tai rodo, kad ne visi VI klasės mokiniai moka geba apskaičiuoti
dalmenį kampu. Tik vienas mokinys, spręsdamas lygtį, neteisingai parinko veiksmą, kuriuo reikia
apskaičiuoti nežinomojo reikšmę. Daugiausiai šios klasės mokinių klaidas darė, spręsdami lygtis
su keliais nežinomaisiais ir lygtį su mišriosiomis trupmenomis. Penki mokiniai šių lygčių
nesprendė visai. Lygindami, kiek V–VI ir pradinių klasių mokinių teisingai išsprendė visas lygtis,
matome, kad pradinėse klasėse mokinių skaičius yra per pus mažesnis negu V–VI klasėse.
Remdamiesi tokiais duomenimis, galime teigti, kad VI klasės mokiniai lygtis spręsti moka,
žino jų sprendimo principus, taiko perstatomumo dėsnį. Pagrindinės klaidos sprendžiant lygtis
padaromos dėl to, kad nemoka atlikti veiksmų su trupmenomis.
Aptardami analizės duomenis, matome, kad IV klasės mokiniai dažniausia klaidų darymo
priežastis – neteisingai nustatytas aritmetinis veiksmas lygties nežinomajam rasti bei
nemokėjimas spręsti lygtis su daugiau nei dviem komponentais. V–VI klasės mokinių daugiausiai
daromų klaidų priežastis – įgūdžių atlikti aritmetinius veiksmus su trupmenomis stoka ir
negebėjimas sutvarkyti lygties su daugiau nei trimis komponentais.
Apbendrinant duomenis, sudaryta diagrama (37 pav.), kuri parodo I–VI klasių
pasiskirstymą pagal nemokančių taikyti lygčių sprendimo principų mokinių skaičių.
10
5
9
11
13
5
0 5 10 15
Mokinių skaičius
VI klasė
V klasė
IV klasė
III klasė
II klasė
I klasė
37 pav. I–VI klasių mokinių, klaidingai taikiusių lygčių sprendimo principus, kiekio
pasiskirstymas
Matome, kad išryškėja trys grupės, kuriomis remiantis, sudarytas matematikos mokymo
turinys Bendrosiose programose ir išsilavinimo standartuose: I–II klasė; III–IV klasė; V–VI
klasė. Diagramoje matome, kad pirmosios kiekvienos grupės klasės klaidų, spręsdamos lygtis,
65
daro daugiau, išskyrus III–IV klases. Remdamiesi tuo, galime daryti prielaidą, kad pagrindinė
priežastis, kodėl taip pasiskirstė duomenys – sudėtingesnės lygtys.
2.2.5. Klaidų, daromų sprendžiant nelygybes I–VI klasėje, priežastys
I klasės nelygybių analizė parodė, kad dauguma klasės mokinių nelygybes spręsti moka
puikiai. Kita klasės dalis klysta dėl įvairių priežasčių (38 pav.).
2
4
2 2
3
12
0
2
4
6
8
10
12
Mokinių
skaičius
Lygina ne skaičius, o
skaitmenis
Lygina ne reiškinio reikšmę, o
skaitmenis
Neteisngai apskaičiuoja
reiškinius
Lygina reiškinio aritmetinių
veiksmų ženklus
Išsprendė ne visas
Be klaidų
38 pav. I klasės mokinių klaidos sprendžiant nelygybes
Dvylika pirmokų visas nelygybes apskaičiavo teisingai. Spręsdami nelygybes, keturi
mokiniai lygino ne reiškinių reikšmes, o jų skaitmenis. Tai rodo, kad šie mokiniai spręsdami
nelygybes, kurių abiejuose pusėse yra reiškiniai, lygina ne tų reiškinių apskaičiuotus rezultatus, o
reiškinių skaitmenis, t.y., jei reiškinių skaičių skaitmenys yra vienodi, tai vadovaujasi tokia
logika, kad ir jų apskaičiuotos reikšmės bus vienodos. Arba lygina antruosius sumos dėmenis,
kurioje pusėje yra didesnis dėmuo, į tą pusę ir rašo ženklą >. Kita išskirta klaida, kurią darė
pirmokai, spręsdami nelygybes yra tokia pat kurią aptarėme, tik lyginami ne reiškiniai, o skaičiai.
Du I klasės mokiniai neteisingai palygino du skaičius, kurių skaitmenys vienodi, tik apkeisti
vietomis. Dar du mokiniai neteisingai įrašė nelygybės ženklą dėl to, kad klaidingai apskaičiavo
reiškinių reikšmes, pvz., 70 – 4 = 74. Tokia pat mokinių dalis, lygindami reiškinius, lygino ne jų
apskaičiuotas reikšmes, o reiškinių aritmetinius ženklus, pvz., jei reiškinyje parašytas ,,+“
ženklas, tai to reiškinio reikšmė bus didesnė. Trys mokiniai nelygybių su reiškiniais visiškai
neatliko.
Apibendrindami duomenis, galime teigti, kad dauguma I klasės mokinių nelygybes spręsti
moka, pažįsta nelygybės ženklus. Buvo nustatytos dvi pagrindinės klaidų priežastys:
1) lygina ne skaičius ar apskaičiuotas reiškinio reikšmes, o atskiras nelygybės dalis, t.y.,
aritmetinio veiksmo ženklus, skaitmenis;
2) neteisingai apskaičiuoja reiškinių reikšmes dėl nepakankamai išlavintų skaičiavimo
įgūdžių.
Iš lentelėje pateiktų duomenų matome, kad II klasės mokiniai, spręsdami lygtis, klaidų
darė nedaug (39 pav.).
66
1
2
3
1 1
12
2
0
2
4
6
8
10
12
Mokinių
skaičius
Lygina ne reiškinio reikšmę, o
skaitmenis
Neteisngai apskaičiuoja
reiškinius
Pakeičia aritmetinio veiksmo
ženklą
Nemoka daugybos lentelės
Išsprendė ne visas
Be klaidų
Neatliko
39 pav. II klasės mokinių klaidos, sprendžiant nelygybes
Daugiausia mokinių klydo dėl neatidumo, t.y., apskaičiuodami nelygybės reiškinius,
pakeitė aritmetinio veiksmo ženklą, pvz., 32 – 2 + 5 > 44 + 1 – 10. Vienas mokinys darė tokią
pat klaidą kaip ir I klasės mokiniai – lyginio reiškinio skaitmenis. Pamatęs, kad tiek vienoje, tiek
kitoje nelygybės pusėje skaitmenys yra vienodi, parašė lygybės ženklą. Du mokiniai,
apskaičiuodami nelygybės reiškinius, gavo neteisingus atsakymus, o tai lėmė klaidingą abiejų
nelygybės pusių palyginimą. Vienas mokinys, lygindamas nelygybės puses, kur reikėjo
apskaičiuoti sandaugas, suklydo, nes nemokėjo daugybos lentelės. Be klaidų apskaičiavo daugiau
nei pusė II klasės mokinių (12), vienas mokinys pusė nelygybių nesprendė ir mokiniai šios
užduoties neatliko. Kadangi šių mokinių paskutinės trys užduotys yra neatliktos, tai galime teigti,
kad šie mokiniai per duotą laiką nespėjo atlikti visų užduočių.
Išanalizavus III klasės mokinių spręstas nelygybes (40 pav.), paaiškėjo, kad daugiausia
daroma skaičiavimo klaidų. Net aštuoni klaidingai šią užduotį atlikusių mokinių klydo,
apskaičiuodami šiuos nelygybių reiškinius:
425 + (425 + 74) ___ 425 + (427 + 76)
42 – (23 – 15) ___ 42 + 23 – 15
4
8
1 1
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Mokinių
skaičius
Lygina ne reiškinio reikšmę, o
skaitmenis
Neteisngai apskaičiuoja
reiškinius
Pakeičia aritmetinio veiksmo
ženklą
Neatsižvelgta į veiksmų
aritmetinius ženklus
Be klaidų
40 pav. III klasės mokinių klaidos sprendžiant nelygybes
67
Antra pagal dažnumą daroma klaida, kai mokiniai lygina reiškinio skaitmenis, o ne
apskaičiuotą reikšmę, pvz., 376 · 36 ___ 367 · 36. Pamatę tokią nelygybę, mokiniai pažiūri, kad
skaičių skaitmenys vienodi ir, tuo vadovaudamiesi, padeda lygybės ženklą. Taip šią nelygybę
apskaičiavo keturi mokiniai.
Vienas mokinys neteisingai išsprendė nelygybę, nes neatsižvelgė į jos reiškinių
aritmetinius ženklus, t.y., pamatęs vienodus skaičius, parašė lygybės ženklą. Dar vienas mokinys,
apskaičiuodamas reiškinius, pakeitė vieną aritmetinį ženklą ir dėl šios priežasties buvo
neteisingai palyginta nelygybė, kadangi pasikeitė vienos nelygybės pusės reikšmė. Visiškai be
klaidų šią užduotį atliko aštuoni III klasės mokiniai.
Analizuojant, kokie IV klasės mokiniams kyla sunkumai sprendžiant nelygybes paaiškėjo,
kad daugiausia klaidų buvo daroma toje nelygybėje, kurioje apskaičiavus abiejų nelygybės pusių
reiškinių reikšmes reikia palyginti ir įrašyti ženklą. Šioje nelygybėje klydo devyni vaikai (41
pav.). Pagrindinė klaidos priežastis – nebaigta apskaičiuoti antroji nelygybės pusė, t.y., iš gautos
sandaugos nuspręsta, kad tas lygybės pusės rezultatas didesnis. Vienas mokinys neteisingai
parašė nelygybės sprendinį, nes nežinojo koks skaičius yra didesnis už – 5. Sprendžiant
nelygybes, kartojosi ir kitų užduočių klaida – atliekant aritmetinius veiksmus buvo pakeistas
ženklas. Šią klaidą darė vienas mokinys. Aštuoni mokiniai visas lygtis išsprendė teisingai.
Visiškai šios užduoties neatliko vienas mokinys ir trys mokiniai šią užduotį atliko ne iki galo. Dar
vienas IV klasės mokinys nelygybes skaičiavo kaip lygtis, tačiau galutinio rezultato
neapskaičiavo.
1 1 1
9
6
1
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Mokinių
skaičius
Negeba palyginti neigiamų
skaičių
Pakeičia aritmetinio veiksmo
ženklą
Nelygybė išspręsta kaip lygtis
Neatliktas vienas aritmetinis
veiksmas
Be klaidų
Neatliko
Išsprendė ne visas
41 pav. IV klasės mokinių klaidos sprendžiant nelygybes
Analizuojant V klasės mokinių klaidas (42 pav.), kurias daro, spręsdami nelygybes,
paaiškėjo, kad daugiausia klaidų buvo padaryta tose nelygybėse, kur reikia palyginti jų
apskaičiuotas reikšmes, bei toje nelygybėje, kurioje yra du nežinomieji.
Apskaičiuodami pirmas dvi klausimyne pateiktas nelygybes, klydo septyni mokiniai.
Viena iš klaidų, kurią darė mokiniai, spęsdami šias nelygybes, – neatliktas vienas aritmetinis
veiksmas. Nelygybę 5 · (100 : 4) ___ (5 · 100) : 4 du mokiniai apskaičiavo taip: 5 · (25) ___ (.
Gavus tokius rezultatus, buvo nuspręsta, kad ta nelygybės pusė yra didesnė, kurioje apskaičiavę
gavo (500) : 4. Vadinasi, spręsdami nelygybes, mokiniai reiškinius apskaičiuoja ne iki galo, o
ženklą parašo spėjimo būdu. Keturi mokiniai neteisingai apskaičiavo vieną iš nelygybės reiškinių,
tai lėmė, kad buvo neteisingai palygintos abi reiškinio pusės. Dar viena šiuose reiškiniuose
68
nustatyta klaida – lyginama ne apskaičiuotos reiškinio reikšmės, o skaičiai, neatsižvelgiant į
aritmetinių ženklų vietą tuose reiškiniuose. Kaip matome, ši klaida kartojasi kiekvienoje klasėje.
1
2
4 4
1 1
3
7
1
0
1
2
3
4
5
6
7
Mokinių
skaičius
Nelygybė išspręsta kaip lygtis
Neatliktas vienas aritmetinis
veiksmas
Nepažįsta nelygybės ženklų
Neteisngai apskaičiuotas
reiškinys
Neatsižvelgta į veiksmų
aritmetinius ženklus
Suklysta dauginant
Nepatikrinta ar skaičius tenkina
nelygybę
Be klaidų
Išsprendė ne visas
42 pav. V klasės mokinių klaidos sprendžiant nelygybes
Keturių mokinių klausimynuose buvo rasta dar viena klaida, kurią išanalizavus, buvo
nustatyta, kad šie mokiniai nepažįsta nelygybės ženklų. Prisiminę kitose klasėse daromas klaidas,
matome, kad šią klaidą padarė tik V klasės mokiniai. Vienas mokinys nelygybę 10 + x < 12
išsprendė kaip lygtį. Tai rodo, kad jis painioja, kas yra nelygybė ir kas yra lygtis. Šioje V klasės
užduotyje buvo pastebėta dažnai pasikartojanti visose užduotyse klaida – skaičiavimo klaida
dauginant. Ją padarė vienas mokinys. Trys mokiniai neteisingai apskaičiavo nelygybės sprendinį,
nes su gautąja reikšme nepatikrino ar nelygybė teisinga.
Visas nelygybes teisingai apskaičiavo septyni mokiniai, vienas mokinys apskaičiavo ne
visas, t.y., neapskaičiavo vienos nelygybės.
Trylika VI klasės mokinių nelygybes išsprendė be klaidų (43 pav.). Kiti septyni šeštokai
spręsdami nelygybes, darė tik po vieną klaidą.
2
4
1
13
0
2
4
6
8
10
12
14
Mokinių
skaičius
Nesuprasta kaip spręsti
nelygybę
Lygina ne sandaugas, o sumas
Neatpažįsta ženklų
Be klaidų
43 pav. VI klasės mokinių klaidos sprendžiant nelygybes
69
Keturi mokiniai klydo lygindami nelygybę, kur reikėjo apskaičiuoti sandaugas. Kadangi
sandaugų skaičių skaitmenys buvo vienodi, jas apskaičiuodami, mokiniai dauginamuosius sudėjo
ir gautas sumas palygino. Du mokiniai nesuprato, kaip išspręsti šią nelygybę: 200 : ___ > 40.
Vienas mokinys vietoje dalybos veiksmo parašė lygybės ženklą ir išsprendė perdarytą nelygybę,
dar vienas mokinys šios nelygybės visiškai nesprendė. Vienas VI klasės mokinys nelabai puikiai
atpažįsta nelygybės. Jis vienintelis iš visų VI klasės mokinių padarė dvi tas pačias klaidas,
spręsdamas nelygybes. Šis mokinys nelygybės reiškinius apskaičiuoja puikiai, tačiau rašydamas
<, > ženklus suklysta. Tai rodo, kad šis VI klasės mokinys nelabai skiria nelygybės ženklų.
Išanalizavę duomenis, matome, kad I–II klasės mokiniai nelygybes spręsti moka.
Pagrindinės daromos klaidos buvo nustatytos trys: skaičiavimo; lygina skaitmenis, o ne skaičius
ar apskaičiuotas reikšmes; pakeičia aritmetinio veiksmo ženklą. Mažesnę padarytų klaidų dalį
šiose klasėse sudarė skaičiavimo klaidos.
III klasės mokiniai darė tas pačias klaidas kaip ir I–II klasės mokiniai, tik skaičiavimo
klaidos sudarė didžiąją trečiokų daromų klaidų dalį.
IV klasės mokiniai dažniausiai klysta, apskaičiuodami nelygybės reiškinius su dviem
aritmetiniais veiksmais. I, II, III klasėse daromų klaidų ketvirtokai nebekartoja.
V klasės rezultatai parodė, kad mokiniai daugiau klysta, spręsdami tas nelygybes, kuriose
reikia nustatyti nelygybę tenkinantį ženklą. Didžiąją daromų klaidų dalį sudaro skaičiavimo
klaidos.
VI klasės mokiniai nelygybes spręsti moka, geba apskaičiuoti nelygybę tenkinančią
reikšmę. Sunkiaus sekasi nelygybės, kur reikia įrašyti nelygybę tenkinantį ženklą.
12 12
8
6
7
13
0
2
4
6
8
10
12
14
Mokinių
skaičius
I klasė
II klasė
III klasė
IV klasė
V klasė
VI klasė
44 pav. I – VI klasės mokinių nelygybių sprendimo gebėjimai
Remiantis teisingai nelygybes išsprendusių mokinių skaičiais sudaryta diagrama, kuri
parodo, kaip kinta puikiai nelygybes išsprendusių mokinių skaičius nuo I iki VI klasės (44 pav.).
70
2.2.6. Matematinių sąvokų suvokimas I–VI klasėse
I – VI klasių mokinių nelygybės samprata
Paskutinioji klausimyno užduotis atvira. Mokiniams pateiktos trys sąvokos, kurias turi
apibūdinti. Šiame poskyryje išsiaiškinsime, kaip I–VI klasių mokiniai supranta nelygybės sąvoką.
Analizuojant I klasės atsakymus buvo išskirtos penkios skirtingos apibrėžimų grupės (žr.
12 lentelę).
12 lentelė
I klasės mokinių nelygybės sąvokos samprata
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
1
2.
3
3.
3
4.
4
5.
9
Iš lentelėje pateiktų duomenų matome, kad I klasės mokiniai supranta nelygybės sąvoką ir
ją aiškina įvairiais būdais. Daugiausiai I klasės mokinių nelygybę vaizduoja, užrašydami
skaičiais, tarp kurių nubrauktas lygybės ženklas. Keturi mokiniai nelygybe laiko du nelygius
skaičius. Vadinasi, šie mokiniai nelygybę suvokia kaip dviejų skaičių palyginimą. Trys I klasės
mokiniai nelygybę įvardino kaip daugiau ir mažiau ženklus. Remdamiesi tuo, galime daryti
prielaidą, kad šie mokiniai nelygybe laiko ženklus, o ne skaičių ar reiškinių santykį. Dar trys
mokiniai mano, kad nelygybė – tai skaičiai, kurie vienas kitam netinka. Vadinasi, šie mokiniai
nelygybe vadina nelygius skaičius. Vienas I klasės mokinys šią sąvoką paaiškina bet kokiais
žodžiais, kurie jam asocijuojasi su šia sąvoka. Tai rodo, kad mokinys negeba paaiškinti nelygybės
sąvokos, nes nelabai supranta kas ta nelygybė.
Analizuojant II klasės mokinių paaiškinimus, paaiškėjo, kad penki mokiniai neaiškino
šios sąvokas. Du iš jų visiškai neatliko užduoties su nelygybėmis. Remdamiesi tuo, galime teigti,
kad šie mokiniai nesupranta, kas yra nelygybė, todėl jų ir nemoka spręsti. Dar du nepaaiškinę šios
sąvokos mokiniai, atlikdami užduotį su nelygybėmis, darė daug klaidų. Tai tik patvirtina, kad šios
sąvokos supratimas daro įtaką nelygybių sprendimui. Vienas II klasės mokinys nemokėjo
užrašyti, kaip supranta nelygybės sąvoką (žr. 13 lentelę). Iš pradžių rašė vieną skaičių, jį
nubraukė, tuomet parašė kitą skaičių ir toliau nebeaiškino. Remdamiesi tuo, galime teigti, kad
mokinys nesupranta, kas yra nelygybė. Keturiolika II klasės mokinių nelygybę aiškino,
71
užrašydami reiškinius arba skaičius ir ženklus <, >. Tai rodo, kad dauguma II klasės mokinių
supranta, kas yra nelygybė. Lygindami nelygybių užduoties atlikimo duomenis ir tai, kaip
mokiniai supranta šią sąvoką, pastebime, kad užduotį be klaidų atlikusių mokinių skaičius beveik
toks pat, kai suprantančių ir gebančių paaiškinti nelygybės sąvoką.
13 lentelė
II klasės mokinių nelygybės sąvokos samprata
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
1
2.
14
III klasės mokiniai nelygybę apibūdino įvairiai (žr. 14 lentelę). Vienas mokinys teigė, kad
nelygybė – tai uždavinys, kuriame negalima apskaičiuoti atsakymo. Vadinasi, šiam mokiniui
nelygybė asocijuojasi su reiškiniu be lygybės ženklo. Tai rodo, kad mokinys skiria, kas yra
nelygybė. Du mokiniai teigia, kad nelygybė yra tada, kai joje parašytas nelygybės ženklas.
Vadinasi ir šie mokiniai nelygybę sieja su <, > ženklais. Dar du mokiniai teigia, kad nelygybė yra
tada, kai kas nors būna nelygu. Vadinasi, lygybę jie sieja ne tiks su skaičiais, bet ir su įvairiais
daiktais. Tiek pat mokinių mano, kad nelygybė – tai nelygūs daiktai arba svoris. Tai rodo, kad
šiems trečiokams matematiškai paaiškinti, kas yra nelygybė, sunku, todėl aiškina, pasitelkdami
daiktus ar jų tam tikras savybes (šiuo atvejų svorį).
14 lentelė
III klasės mokinių nelygybės sąvokos samprata
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
1
2.
2
3.
2
4.
2
5.
5
6.
8
72
Penki III klasės mokiniai, aiškindami sąvoką, paprasčiausiai užrašė nelygybę ir žodžiu
paaiškina ,,Aš nelygybę suprantu taip...“, ,,Tai toks dalykas, kai pavyzdžiui yra toks uždavinys“ ir
pan. Tai rodo, kad mokiniai supranta, kas yra nelygybė, tačiau sunkiai sekasi apibūdinimą
užrašyti žodžiu. Pastebėta, kad dauguma mokinių nelygybę lygina su daiktu. Tai rodo, kad jie
nežino, kaip teisingai pavadinti nelygybę. Aštuoni mokiniai nelygybę sieja su skirtingais
skaičiais. Jie teigia, kad nelygybė yra du nevienodi skaičiai. Lyginant su II klasės mokiniais,
trečiokams paaiškinti, kas yra nelygybė, sunkiau, tačiau iš pateiktų atsakymų ir užduoties su
nelygybėmis rezultatų galime teigti, kad III klasės mokiniai suvokia kas yra nelygybė, tik negeba
parašyti.
Analizuojant, kaip IV klasės mokiniai supranta nelygybę, paaiškėjo, kad net trylika
mokinių nelygybę apibūdina kaip nelygius skaičius (žr. 15 lentelę). Apžvelgus šių mokinių
užduotį su nelygybėmis, paaiškėjo, kad šeši mokiniai nelygybes išsprendė be klaidų, o kiti
septyni mokiniai klydo lygindami reiškinius su trimis veiksmo komponentais, dėl skaičiavimo
klaidų. Remdamiesi tuo, galime teigti, kad dvylika IV klasės mokinių supranta nelygybės sąvoką
ir tai lemia teisingai išspręstas nelygybes.
15 lentelė
IV klasės mokinių nelygybės sąvokos samprata
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
1
2.
1
3.
1
4.
2
5.
13
Du IV klasės mokiniai neparašė, kaip supranta nelygybės sąvoką. Vienas mokinys
nelygybę apibūdino kaip uždavinį, kuriame lyginami skaičiai. Kaip matome, šio mokinio
nelygybės suvokimas labai panašus kaip ir didžiosios klasės dalies, tik jis prideda, kad nelygybė
uždavinys. Dar vienas mokinys nelygybės sąvoką aiškino, kad nelygybė yra tada, kai reikia
parašyti nelygybes. Remdamiesi šiuo apibūdinimu, galime teigti, kad mokinys supranta, kas yra
nelygybė, bet nemoka tai išreikšti žodžiais. Šio ketvirtoko nelygybių sprendimo užduotis atlikta
be klaidų. Dar vienas mokinys nelygybes aiškino lygindamas ilgio matus. Tai rodo, kad mokinys
suvokia, jog nelygybė gali būti sudaryta ne tik iš paprastų skaičių, tačiau ir iš įvairių matų ir pan.
Tai rodo, kad šio mokinio nelygybės samprata platesnė nei kitų. Dar du mokiniai teigia, kad
nelygybė – tai nelyginiai skaičiai. Remdamiesi šiais teiginiais, galime teigti, jog šie mokiniai
nesupranta, kas yra nelygybė. Apžvelgus jų atliktą užduotį su nelygybėmis, paaiškėjo, kad šie
mokiniai nelygybių užduotyje darė tik po vieną klaidą. Vadinasi, galime daryti dvi prielaidas:
mokiniai supranta nelygybės sąvoką, tačiau negeba jos paaiškinti, nes nemoka matematinių
sąvokų arba mokiniai nesupranta, kas yra nelygybė, o uždavinius su jomis sprendžia teisingai,
nes žino, ką su tokio tipo uždaviniais reikia daryti.
73
Analizuojant V klasės mokinių nelygybės apibūdinimus, pastebėta, kad mokiniai plačiau
apibūdina, kas yra nelygybė (žr. 16 lentelę). Penki mokiniai nelygybę aiškino kaip ir pradinių
klasių mokiniai, t.y., kad nelygybė, tai nelygūs skaičiai. Du V klasės mokiniai nesuprato
užduoties, todėl parašė, ne kaip supranta nelygybės sąvoką, o kaip sekėsi spręsti nelygybes. Toks
pat skaičius mokinių nelygybes įvardino kaip lygtį arba veiksmą su veiksmų ženklais, skaičiais
bei skliaustais. Tai rodo, kad vienas iš šių mokinių neskiria lygties nuo nelygybės, o kitas
mokinys nevisiškai paaiškino nelygybės sąvoką. Galime daryti prielaidą, kad antrasis mokinys
supranta, kas yra nelygybė ir kas jai būdinga, tik nemoka to išreikšti žodžiais.
16 lentelė
V klasės mokinių nelygybės sąvokos samprata
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
2
2.
2
3.
5
4.
7
Septyni V klasės mokiniai puikiai supranta ir paaiškina, kas yra nelygybė. Jie išskiria, kad
yra lyginami ne tik skaičiai, tačiau ir raidiniai bei skaitiniai reiškiniai. Keturi mokiniai neparašė,
kaip supranta nelygybės sąvoką.
Trys VI klasės mokiniai neparašė nelygybės apibrėžimo. Vienas mokinys parašė, kad
nelygybę supranta taip, kaip reikia (žr. 17 lentelę).
17 lentelė
VI klasės mokinių nelygybės sąvokos samprata
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
1
2.
1
3.
5
4.
10
74
Skirtingai nei kitose klasėse, vienas šeštos klasės mokinys parašė, kad nelygybė yra, kai
lyginamos dvi reiškinio pusės. Penki mokiniai aiškino, kad nelygybė yra tuomet, kai tarp dviejų
skaičių įrašomi ženklai <, >, arba =. Tai rodo, kad šie mokiniai supranta pagrindinį nelygybės
principą – lyginimą. Net pusė klasės mokinių nelygybę aiškino, kaip ir daugumą kitose klasėse,
t.y., kad nelygybė yra tuomet, kai lyginami skaičiai arba reiškinių apskaičiuotos reikšmės.
Vadinasi, VI klasės mokiniai ne tik supranta, bet ir geba paaiškinti, kas yra nelygybė.
Apibendrindami I–VI klasių mokinių nelygybės sąvokos sampratą, galime teigti, kad
dauguma mokinių žino ir geba paaiškinti, kas yra nelygybė. I klasės mokiniai atpažįsta
nelygybes, geba jas spręsti, tačiau, aiškinant šią sąvoką, kalbama tik apie atskiras nelygybės
dalis.
Dauguma II klasės mokinių taip pat žino ir geba paaiškinti, kas yra nelygybė, ir
aiškindami dažniau pasitelkia reiškinių lyginimo pavyzdžius, t.y., užrašo reiškinius, o tarp jų
ženklus <, >.
III klasės mokiniai nelygybės sąvoka suvokia, tačiau sunkiai sekasi ją apibrėžti. Jie, kaip
ir I klasės mokiniai, daugiau kalba apie atskiras nelygybės dalis.
IV klasės mokiniai suvokia nelygybės sąvoką, tačiau kai kurie mokiniai pradeda painioti
nelygybes su lygtimis. Taip pat praplėstas matematinių sąvokų žodynas lemia tai, kad mokiniai
pradeda painioti matematines sąvokas.
V klasės mokiniai nelygybės sąvoką supranta ir tiksliau paaiškina nei pradinių klasių
mokiniai. Remdamiesi teisingai nelygybes išsprendusių mokinių skaičiumi ir plačiai apibūdinusių
sąvoką mokinių skaičiumi, galime teigti, kad platus nelygybės sąvokos suvokimas daro įtaką ir
nelygybių sprendimo įgūdžiams.
VI klasės mokiniai puikiai supranta,kas yra nelygybė ir geba paaiškinti.
Remdamiesi aptartais duomenimis, galime teigti, kad sudėtingėjant nelygybėms, plečiasi
ir mokinių nelygybės sąvokos samprata. Tai lemia, kad mokiniai vis mažiau daro klaidų, susijusių
su nelygybių sprendimu.
I–VI klasių mokinių uždavinio samprata
Šiame skyriuje išsiaiškinsime, kaip I–VI klasių mokiniai supranta uždavinio sąlygą.
Lietuvių kalbos žodyne ši sąvoka apibrėžiama kaip pratimas, kurį reikia apskaičiuoti, išspręsti
(LKŽ, 2005).
Vienas I klasės mokinys teigia, kad uždavinys – tai yra ,,viskas“ (žr. 18 lentelę). Tokį
atsakymą galėtume laikyti teisingu, tačiau šiuo teiginiu mokinys paaiškina labai neapibrėžtai. Dar
vienas mokinys aiškina, kad uždavinys yra tai, ką reikia apskaičiuoti. Tai rodo, kad šis mokinys
suvokia, kas yra uždavinys. Devyni mokiniai uždaviniu vadina reiškinius. Jie teigia, kad
uždavinys yra tada, kai reikia atlikti aritmetinius veiksmus, arba iliustruoja užrašydami reiškinį.
Tai rodo, kad mokiniai uždavinio sąvoką sieja su reiškiniais. Šie I klasės mokiniai uždavinio
sąvoką supranta nevisiškai. Kitą šios sąvokos dalį mini aštuoni pirmokai. Jie įvardina, kad
uždavinys – tai sąlyga, klausimas, veiksmas ir atsakymas. Vienas mokinys šios sąvokos
nepaaiškino. Remdamiesi šiais mokinių atsakymais, galime teigti, kad I klasės mokiniai dar nėra
įsisavinę šios sąvokos. Uždavinį jie supranta arba kaip tekstinio uždavinio sąlygą ir sprendimą
arba kaip paprasčiausių aritmetinių veiksmų atlikimą.
75
18 lentelė
I klasės mokinių uždavinio sąvokos apibūdinimo pavyzdžiai
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
1
2.
1
3.
9
4.
8
II klasės mokiniai uždavinio sąvoką aiškino taip pat kaip ir pirmokai. Keturi mokiniai
uždaviniu vadina tekstinį uždavinį (žr. 19 lentelę). Vadinasi, jie supranta, kas yra uždavinys,
tačiau negeba tiksliau apibrėžti uždavinio sąlygos arba uždaviniu vadina tik tekstinį uždavinį.
Vienuolika mokinių mano, kad uždavinys – tai reiškinys, kurį reikia apskaičiuoti. Vadinasi, ir II
ir I klasės mokiniai uždavinį suvokia taip pat. Penki mokiniai nepaaiškino, kaip supranta, kas yra
uždavinys.
19 lentelė
II klasės mokinių uždavinio sąvokos apibūdinimo pavyzdžiai
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
4
2.
11
III klasės mokinių atsakymų analizė parodė, kad šios klasės mokinių uždavinio samprata
platesnė (žr. 20 lentelę). Tik du mokiniai mano, kad uždavinys – tai tekstinio uždavinio
sprendimas. Tai rodo, kad šių mokinių uždavinio samprata dar nesuformuota. Trys mokiniai
uždaviniu vadina reiškinius, nelygybes, aritmetinių veiksmų atlikimą stulpeliu. Kaip matome
penki III klasės mokiniai nevisiškai geba įvardinti, kas yra uždavinys. Kiti penkiolika trečiokų
uždaviniu vadina uždavinio sąlygą ir atliekamus aritmetinius veiksmus. Tai rodo, kad didžioji III
klasės mokinių dalis plačiau suvokia uždavinio sąvoką negu I ir II klasės mokiniai.
76
20 lentelė
III klasės mokinių uždavinio sąvokos apibūdinimo pavyzdžiai
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
2
2.
3
3.
15
Vienas IV klasės mokinys nepaaiškino, kaip supranta, kas yra uždavinys. Taip pat vienas
mokinys uždavinį įvardino kaip mokymosi būdą. Du mokiniai – kaip užduotį, skirtą galvoti (žr.
21 lentelę). Matome, kad šie mokiniai aiškina, ne kas yra uždavinys, o kokią funkciją jis atlieka.
Tačiau negalime teigti, kad jie atsakė neteisingai. Keturiolika IV klasės mokinių uždaviniu
vadina uždavinio pateikimą ir atlikimą. Jie rašo, kad uždavinys – tai, kai reikia ,,perskaityti ir
suskaičiuoti“, ,,išspręsti ir apskaičiuoti“ ir pan. Tai rodo, kad IV klasės mokiniai supranta, kas yra
uždavinys, tačiau tiksliai apibrėžti vis tiek negeba. Trys mokiniai nepaaiškino, kad yra uždavinys
ir vienas iš jų parašė, kad nežino.
21 lentelė
IV klasės mokinių uždavinio sąvokos apibūdinimo pavyzdžiai
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
2
2.
1
3.
14
77
Vienas V klasės mokinys teigia, kad uždavinys yra matematinis klausimas (žr. 22 lentelę).
Trys penktokai neparašė, kas yra uždavinys. Dar trys mokiniai neparašė, kaip supranta uždavinio
sąvoką, o paaiškino uždavinių, pateiktų klausimyne, sudėtingumą, pvz., ,,geri“, ,,normalūs
uždaviniai“, ,,lengva“. Vadinasi, šie mokiniai nesuprato užduoties. Išanalizavus likusių trylikos V
klasės mokinių atsakymus, paaiškėjo, kad šie mokiniai supranta, kas yra uždavinys, tik kai
kuriems sunkiau sekasi tai aprašyti.
22 lentelė
V klasės mokinių uždavinio sąvokos apibūdinimo pavyzdžiai
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
1
2.
13
Keturi VI klasės mokiniai uždavinio sąvokos nepaaiškino. Kiti šešiolika mokinių
supranta, kas yra uždavinys, ir, lyginant su kitomis klasėmis, tiksliau parašo apibūdinimus (žr. 23
lentelę). Šios klasės mokinių atsakymų pavyzdžiai pateikti lentelėje, kurioje nėra išskirtos kelios
uždavinio apibūdinimo grupės, kadangi visi VI klasės mokiniai uždavinį aiškinimų esmė ta pati.
23 lentelė
VI klasės mokinių uždavinio sąvokos apibūdinimo pavyzdžiai
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
16
78
Apibendrindami duomenis, galime teigti, kad dauguma I–VI klasės mokinių supranta, kas
yra uždavinys. Pradinėse klasėse daugiau atkreipiamas dėmesys į atskiras uždavinio sudėtines
dalis, o vyresnėse klasėse labiau pastebima uždavinio visuma.
I–VI klasių mokinių sąvokos apskaičiuok samprata
Analizuojant I klasės mokinių paaiškinimus, ką reikia daryti, kai parašyta apskaičiuok,
buvo išskirtos keturios atsakymų grupės (45 pav.). Matome, kad daugiausia pirmokų įvardino,
jog apskaičiuoti reiškia atlikti aritmetinius veiksmus. Trys mokiniai teigė, kad reikia rasti
atsakymą. Toks pat mokinių skaičius teigė, kad šis žodis reiškia, jog reikia suskaičiuoti, ir vienas
mokinys mano, kad reikia išspręsti uždavinius. Kaip matome, visų mokinių atsakymai yra tokie
pat, tik išreikšti kitais žodžiais. Tai rodo, kad I klasės mokiniai žino, ką reikia daryti, kai
parašytas žodis apskaičiuok.
8
3 3
1
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Mokinių
skaičius
Atlikti aritmetinius
veikmsus
Rasti atsakymą
Apskaičiuoti, suskaičiuoti
Išspręsti uždavinius
Neparašė
45 pav. I klasės mokinių sąvokos apskaičiuok apibūdinimai
II klasės mokiniai, atlikdami šią aštuntos užduoties dalį, aiškino, užrašydami žodžiais,
vaizdavo, užrašydami reiškinius su apskaičiuotomis reikšmėmis bei du mokiniai paaiškino
naudodami abu būdus (žr. 24 lentelę).
24 lentelė
II klasės mokinių sąvokos apskaičiuok aiškinimų pavyzdžiai
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
8
2.
3
3.
2
Mokiniai, rašę paaiškinimą žodžiais, teigė, kad reikia suskaičiuoti, paskaičiuoti. Tie
mokiniai, kurie aiškino, užrašydami pavyzdžius, taip pat atliko tai dviem būdais. Vieni užrašė
visą veiksmą ir apskaičiavo. Kiti užrašė tik lygybės ženklą ir apskaičiuotą reikšmę. Tiek vienas,
79
tiek kitas aiškinimo būdai parodo, kad II klasės mokiniai supranta, ką reikia daryti, ir mėgina tai
įvairiai perteikti. Septyni II klasės mokiniai šios užduoties dalies neatliko.
25 lentelė
III klasės mokinių sąvokos apskaičiuok aiškinimų pavyzdžiai
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
1
2.
5
3.
13
Vienas III klasės mokinys aiškino, kad žodis apskaičiuok, reiškia, jog reikia pasitikrinti
apskaičiuotą reiškinį (žr. 25 lentelę). Galime daryti prielaidą, kad mokiniui šis žodis yra labai
aiškus, suprantamas, elementarus, todėl trečiokas prisimena, kad apskaičiavus reikia gautą
reikšmę patikrinti. Penki III klasės mokiniai teigė, kad ši savo reiškia, jog reikia atlikti sudėties,
atimties, daugybos, dalybos veiksmus. Trylika mokinių aiškino taip pat, kaip trys II klasės
mokiniai, kad reikia apskaičiuoti, paskaičiuoti, suskaičiuoti. Vienas III klasės mokinys šios
užduoties dalies neatliko. Taigi, gauti rezultatai parodo, kad ir III klasės mokiniai žino ką reiškia
šis žodis.
26 lentelė
IV klasės mokinių sąvokos apskaičiuok aiškinimų pavyzdžiai
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
1
2.
5
3.
13
IV klasės mokiniai taip pat žino, ką reiškia žodis apskaičiuok, kuris labai dažnai
vartojamas pateikiant užduotį. Vienas mokinys aiškino, kad šis žodis reiškia, jog reikia išspręsti
80
uždavinį kokiais nors būdais (žr. 26 lentelę). Vadinasi, mokinys bando paaiškinti kuo platesnę
šio žodžio reikšmę, prisimindamas aritmetinius veiksmu, lygtis, nelygybes, tekstinius uždavinius
ir pan. Penki mokiniai šį žodį sieja su aritmetinių veiksmų atlikimu. Trylika mokinių, kaip ir
dauguma kitų klasių mokinių, teigia, kad žodis apskaičiuok reiškia, kad reikia apskaičiuoti
parašytą uždavinį ar veiksmą. Taigi, IV klasės mokinių atsakymų analizė parodė, kad ir IV klasės
mokiniai žino, ką reikia daryti, kai uždavinio sąlygoje parašytas žodis apskaičiuok.
27 lentelė
V klasės mokinių sąvokos apskaičiuok aiškinimų pavyzdžiai
Nr. Pavyzdys Mokinių
skaičius
1.
2
2.
2
3.
3
4.
8
Du V klasės mokiniai nesuprato užduoties, todėl kartojasi ta pati klaida, kaip ir kitų
sąvokų analizuotose atsakymuose. Šie du mokiniai parašė, kaip jiems sekėsi apskaičiuoti, t.y.,
blogai ir gerai. Remdamiesi tuo, galime teigti, kad mokiniai supranta, ką reiškia šis žodis, tik
neįsiskaitė užduoties, kad reikia paaiškinti žodį apskaičiuok. Trys mokiniai šios užduoties dalies
neatliko. Du V klasės mokiniai, aiškindami šį žodį, rėmėsi ne tik aritmetiniais veiksmais, bet
prisiminė, kad galima apskaičiuoti ir perimetrą ar plotą (žr. 27 lentelę). Tiek pat mokinių teigia,
kad šis žodis rodo, jog reikia įsiskaityti sąlygą, išsiaiškinti, ko sąlyga prašoma, ir apskaičiuoti.
Tai tikrai platus paaiškinimas, ypač kalbant apie taktinius uždavinius. Trys mokiniai aiškino, kad
šis žodis reiškia, jog reikia atlikti aritmetinius veiksmus. Aštuoni penktokai teigė, kad šis žodis
reiškia, jog reikia apskaičiuoti pateiktus veiksmus. Taigi, matome, kad ir V klasės mokiniai labai
panašiai aiškina šią sąvoką. Todėl galime teigti, kad mokiniai žino, kokius veiksmus reikia atlikti,
kai uždavinio sąlyga prašo apskaičiuoti.
28 lentelė
VI klasės mokinių sąvokos apskaičiuok aiškinimų pavyzdžiai
81
Analizuojant VI klasės mokinių atsakymus, pastebėta, kad kartojasi tie patys atsakymai
kaip ir kitų klasių mokinių, todėl atskirai šeštokų rezultatai negrupuojami, tik lentelėje pateikiami
atsakymai (žr. 28 lentelę). VI klasės mokiniai visi atliko šią užduoties dalį.
Apibendrindami analizės rezultatus, galime teigti, kad visi I–VI klasių mokiniai supranta,
ką reikia daryti, kai uždavinio sąlygoje prašoma apskaičiuoti. Tikriausiai taip yra todėl, kad
tokio pobūdžio užduoties formuluotės pateikiamos jau nuo I klasės. Vadinasi, tokia užduoties
formuluotė nėra viena iš priežasčių, dėl ko mokiniai neteisingai apskaičiuoja uždavinius.
82
IŠVADOS
1. Išanalizavus pedagoginę ir psichologinę literatūrą nustatyta, kad:
Užduočių su algebros elementais sampratos formavimuisi svarbiausi vaikų vaizduotės
ypatumai yra ribotas gebėjimas sieti informaciją, kai samprotavimų eiga nėra aiški, t.y.,
praleidžiami tarpiniai samprotavimo etapai; ribotas gebėjimas atkurti informaciją ir
operuoti vaizdiniais (mokiniams sunku suvokti abstrakčius samprotavimus, todėl būtina
pasitelkti vaizdines priemones, kurios aktyvina vaizduotės veiklą). Svarbiausi vaikų
mąstymo ypatumai yra objektų pastovumo supratimas, pajėgumas taikyti logines
operacijas. Svarbiausias vaikų kalbos ypatumas yra žodžių reikšmės ir jų ryšio su daiktais
bei reiškiniais suvokimas. Svarbiausi vaikiškos grafinės raiškos ypatumai yra, tai jog
įžvelgiamos ir vaizduojamos atskiros objektų ypatybės ir detalės.
Algebros mokslas atsirado iš aritmetikos, todėl naujų skaičių (iracionaliųjų, nulio,
neigiamųjų), raidinės simbolikos, minuso bei lygybės ženklų, laipsnių žymėjimo
įvedimas laikomi svarbiausiais jos vystymosi įvykiais. Algebros žymėjimo sistemos
vystėsi trimis etapais: retoriniu, sinkopiniu ir simboliniu.
Remiantis Lietuvos bendrosiomis programomis ir išsilavinimo standartais bei
vadovėliais, sudarytas algebrinio ugdymo I–VI klasėse hipotetinis modelis apima:
reiškinių reikšmių radimą, situacijų aprašymą reiškiniais, tapačius reiškinių
pertvarkymus, lygčių sprendimą, nelygybių sprendimą, algebrinių sąvokų sampratą.
2. Atlikus hipotetinio modelio pagrindu parengtą I–VI klasės mokinių apklausą, buvo
atskleisti šie mokinių patiriami užduočių su algebros elementais atlikimo sunkumai ir jų
priežastys:
Atliekant aritmetinius veiksmus, daromų klaidų priežastys: neįsisavinę aritmetinių
veiksmų atlikimo principų, skaičių sandaros; nemoka daugybos lentelės; nebaigia
apskaičiuoti daugiaveiksmių reiškinių; neįsisavinę veiksmų atlikimo tvarkos; dėl
atidumo stokos praleidžia skaičius, keičia aritmetinių veiksmų ženklus ir pan.
Sprendžiant tekstinius uždavinius, didžiąją klaidų dalį sudaro skaičiavimo klaidos.
Dažnai klystama užrašant sprendimą, t.y., neteisingai parinktas veiksmas ar skaičiai.
V–VI klasės mokiniai neįsisavinę tekstinių uždavinių sprendimo principų, kai
sprendimas užrašomas lygtimi.
I–II klasės mokiniai nėra įsisavinę perstatomumo dėsnio, dažnai veiksmus atlieka iš
eilės. III–VI klasės mokiniai geba taikyti perstatomumo dėsnį, tačiau daro daug
skaičiavimo klaidų dėl atidumo stokos ir dėl to, kad nemoka atlikti aritmetinių
veiksmų su trupmenomis (V ir VI klasės).
Apskaičiuodami lygtis, mokiniai daugiausiai klysta, nes ne visi įsisavinę lygčių
sprendimo principus. Sunkiau sekasi apskaičiuoti tas lygtis, kurios turi daugiau nei
vieną aritmetinį veiksmą arba kelis nežinomuosius.
Spręsdami nelygybes, I–II klasės mokiniai lygina ne apskaičiuotas reiškinių reikšmes,
o skaičius arba skaitmenis, ženklus bei daro skaičiavimo klaidų. III klasėje kartojasi
tos pačios klaidos, tačiau didesnę dalį sudaro skaičiavimo klaidos. IV klasėje
nesikartoja tos klaidos, kurios daromos žemesnėse klasėse, tačiau sunkiau sekasi
nelygybės su keliais aritmetiniais veiksmais. V–VI klasių mokiniai dažniausiai klysta
atlikdami tas užduotis, kuriose reikia įrašyti nelygybės ženklus.
Dauguma I – VI klasių mokinių supranta sąvokas „nelygybė“, „uždavinys“ ir geba
paaiškinti, ką reikia daryti, kai parašyta ,,apskaičiuok“ Pastebėta, kad tie mokiniai,
kurie nepasakė, ką reiškia šios sąvokos, daugiau klydo, atlikdami užduotis. Panašu,
kad algebrinių sąvokų suvokimas sumažina daromų klaidų kiekį uždaviniuose.
83
LITERATŪRA
1. Anderson J. R. Cognitive psychology and its implications. – New York: Freeman,1990.
2. APIX edukacinės sistemos. Skaičių miestelis. – Vilnius, 2008 – 2012. – [žiūrėta 2012-03-
18]. – Prieiga per internetą:
<http://www.apix.lt/index.php?id=29&title=Skai%C4%8Di%C5%B3%20MiestelisVilniu
s>.
3. Ažubalis A. Matematika Lietuviškoje mokykloje (XIX a. pr. – 1940 m.). – Vilnius:
Žiburio leidykla, 1997.
4. Ažubalis A., Kiseliovas A. Bendrieji pradinės matematikos didaktika: vadovėlis pradinio
ugdymo specialybės studentams. – Šiauliai: K. J. Vasiliausko įmonė, 2002.
5. Bakanovienė T., Donielienė I., Šalkuvienė O. Informacinių technologijų taikymas
ugdymo praktikoje: metodinė priemonė. – Šiauliai: Lucilijus, 2008.
6. Balčytis B. Aritmetinių tekstinių uždavinių sprendimas: I–IV klasei: mokymo teorija ir
praktika. – Kaunas: Šviesa, 2000.
7. Balčytis B., Martinėnienė R. Skaičių šalis: matematikos vadovėlis 3 klasei, I–IIdalis. –
Kaunas: Šviesa, 2007.
8. Balčytis B., Martinėnienė R. Skaičių šalis: matematikos vadovėlis 4 klasei, I–IIdalis. –
Kaunas: Šviesa, 2008.
9. Baltrūnas A. Pirmieji matematikos žingsniai. – Vilnius: Mokslas, 1986.
10. Baltrūnas A. Šimtas matematikos mįslių. – Vilnius: Vaga, 1983.
11. Banerjee R. Is Arithmetic Useful for the Teaching and Learning of Algebra. //
Contemporary Education Dialogue. – Los Angeles, London, New Delhi, Singapore,
Washington: SAGE Publications, 2011. – [žiūrėta 2012-03-20]. Prieiga per internetą:
<http://ced.sagepub.com/content/8/2/137.full.pdf+html>.
12. Banionis J. Lietuvių mokslo draugijos leidybinė veikla: Antano Smetonos matematikos
vadovėliai // Mokslas ir istorija. Mokslinės konferencijos medžiaga. – Kaunas, 1998.
13. Banionis J. Matematinė mintis Lietuvoje: (istorinė apžvalga iki 1832). – Vilnius: Vilniaus
pedagoginis universitetas, 2001.
14. Banionis J. Matematinė mintis Lietuvoje (istorinė apžvalga: 1832–1990 m.). – Vilnius:
Vilniaus pedagoginis universitetas, 2006.
15. Boyer C. B. A History of mathematics. – New York: Wiley, 1991.
16. Blanton M., Kaput J.J. Algebrafying the elementary mathematics experience Part II:
Transforming practice on a district-wide scale. // Proceedings of the 12th ICMI study
conference: The future of the teaching and learning of algebra. – Melbourne, Australia:
The University of Melbourne, 2001.
17. Brazdeikis V. Švietimas žinių visuomenėje: informacinėmis ir komunikacinėmis
technologijomis papildytų edukacinių aplinkų kaita // Informacijos mokslai. – Vilnius,
2009. – [žiūrėta 2012-13-16]. Prieiga per internetą:
<http://www.leidykla.vu.lt/fileadmin/Informacijos_mokslai/50/57-63.pdf>.
18. Butkevičienė R., Knyvienė J., Sičiūnienė V., Stričkienė M., Stundžienė Ž., Vanagas V.
Matematika tau: vadovėlis 5 klasei, I, II dalis. – Vilnius: TEV, 2005.
19. Butkevičienė R., Knyvienė J., Sičiūnienė V., Stričkienė M., Stundžienė Ž., Vanagas V.
Matematika tau: vadovėlis 6 klasei, I, II dalis. – Vilnius: TEV, 2005.
20. Filipčiuk H. Pažink savo vaiką. – Vilnius: Mokslas, 1991.
21. Emokykla, 2008. – [žiūrėta 2012-03-18]. Prieiga per internetą:
<http://portalas.emokykla.lt/Puslapiai/Sritisugdymui.aspx>.
22. Gediminas, Lietuvos didysis kunigaikštis. Послания Гедимина. - Vilnius: Mintis, 1966.
84
23. Gučas A. Bendroji psichologija. - Vilnius: Mokslas, 1986.
24. Gučas A. Vaiko ir paauglio psichologija. - Kaunas: Šviesa, 1990.
25. Herscovics N., Linchevski L. A cognitive gap between arithmetic and algebra.
Educational Studies in Mathematics, 1994.
26. Intienė K., Skūpas A., Stankus E., Vitkus V., Stakėnas V. Matematika 11: mokytojo
knyga. – Vilnius: TEV, 2003.
27. IXL learning, 2012. – [žiūrėta 2012-03-15]. Prieiga per internetą:
<http://www.ixl.com/promo?partner=google&phrase=display%20audiences%20banner&
gclid=CND-sL3Q9a4CFcjO3wodTwTcMg>.
28. Jakubauskienė V. Netiesinių lygčių sprendimo kompiuterinėmis programomis taikymas
mokymo procese // Magistro darbas. – Kaunas, 2008.
29. Jasiūnas H., Verikaitė V. Lietuviškosios matematinės bei matematiškosios literatūros iki
1940 bibliografijos apžvalga // Lietuvos matematikų draugijos XXXIII konferencija. –
Vilnius, 1992.
30. Jeriomenkienė R. Mokomieji žaidimai. – Gargždai, 2010. – [žiūrėta 2012-03-16]. Prieiga
per internetą: <http://www.pradinukas.ku.lt/internet_zaid1.htm>.
31. Jonynienė V. Jaunesniųjų moksleivių mąstymo raidos ypatumai: metodinė priemonė. -
Vilnius: Pedagogikos mokslinio tyrimo institutas, 1984.
32. Jovaiša L. Ugdymo gairės. – Kaunas: Šviesa, 1985.
33. Kiseliovas A., Kiseliova D. Matematikos pasaulyje: matematikos vadovėlis 1 klasei, I
dalis. – Vilnius: Alma littera, 2004.
34. Kiseliovas A., Kiseliova D. Matematikos pasaulyje: matematikos vadovėlis 2 klasei, I
dalis. – Vilnius: Alma littera, 2007.
35. Kiseliovas A., Kiseliova D. Matematikos pasaulyje: matematikos vadovėlis 4 klasei, I
dalis. – Vilnius: Alma littera, 2007.
36. Kiseliovas A., Kiseliova D. Matematikos pasaulyje: matematikos vadovėlis 2 klasei, II
dalis. – Vilnius: Alma littera, 2007.
37. Kiseliovas A., Kiseliova D. Matematikos pasaulyje: matematikos vadovėlis 3 klasei, I
dalis. – Vilnius: Alma littera, 2006.
38. Klimka L. Tikslieji mokslai Lietuvoje: istorinė apžvalga. – Kaunas: Šviesa, 1994.
39. Lietuvos Respublikos bendrosios programos ir išsilavinimo standartai, - Vilnius, 2008.
40. Lietuvių švietimo draugijos ,,Saulės gimnazijų laikinoji programa. – Matematikas, 1918.
41. Lietuvių kalbos žodynas: elektroninio varianto I leidimas / t. I–XX. – Vilnius: Lietuvių
kalbos institutas, 2005. Prieiga per internetą: <www.lkz.lt.>.
42. Lietuviškoji Tarybinė enciklopedija. – Vilnius, 1984.
43. Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija. Informacinių ir komunikacinių
technologijų naudojimas, gerinant mokymo ir mokymosi mokykloje kokybę. – Kaunas,
2006.
44. Linchevski L., Livneh D. Structure sense: The relationship between algebraic and
numerical contexts. Educational studies in Mathematics, 1999.
45. Little T., Euler L. Diophantus of Alexandria. – JAV, 2010. – [žiūrėta 2010-06-15]. Prieiga
per internetą:
<http://translate.google.lt/translate?hl=lt&sl=en&tl=lt&u=http%3A%2F%2Fwww.archive
.org%2Fdetails%2Fdiophantusofalex00heatiala&anno=2>.
46. MacGregor M., Stacey K. Students’ understanding of algebraic notation: Educational
Studies in Mathematics,1997.
47. Martin D. J. Elementary science methods: A constructivist approach. – Belmont, CA:
Wadsworth, 2000.
85
48. Martinkaitienė G. Mokymo metodai ir jų panauda šiuolaikinėmis sąlygomis //
Pedagogika, 2002. Nr. 57.
49. Minginas J. Edukacinė komisija ir Lietuvos pradžios mokykla. – Vilnius: Vilniaus
pedagoginis universitetas, 2007.
50. Mokinukai.jimdo.com. – Obeliai, 2012. – [žiūrėta 20-03-30]. Prieiga per internetą: <
http://mokinukai.jimdo.com/interaktyvios-pamokos/>.
51. Mokinukai.lt. – Vilnius, 2008–2012. – [žiūrėta 2012-02-28]. Prieiga per internetą:
<http://www.mokinukai.lt/>.
52. Muchina V. Vaiko psichologija. Kaunas: Šviesa, 1988.
53. Musumokykla.lt. – Vilnius, 2012. – [žiūrėta 2012-03-30]. Prieiga per internetą: <
http://www.musumokykla.lt/mokytojams--19/lt/>.
54. National Council for Educational Research and Training, 2012. – [žiūrėta 2012.03.21].
Prieiga per internetą:
<http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=lt&prev=/search%3Fq%3Dnationa
l%2Bcouncil%2Bfor%2Beducational%2Bresearch%2Band%2Btraining%26hl%3Dlt%26
biw%3D1280%26bih%3D805%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.lt&sl=en&u=ht
tp://www.ncert.nic.in/NCERTS/textbook/textbook.htm&usg=ALkJrhhwy8Yo18rviUkbV-
P-tnlN0UI4xg>.
55. Ojose B. Applying Piaget’s Theory of Cognitive Development to Mathematics Instruction
//The Mathematics Educator, 2008. –[žiūrėta 2010-06-20]. Prieiga per internetą:
<http://math.coe.uga.edu/tme/issues/v18n1/v18n1_Ojose.pdf.>.
56. Piaget J. Vaiko kalba ir mąstymas. - Vilnius: Aidai, 2002.
57. Piaget J. Epistemology and psychology of functions. - Dordrecht, Netherlands: D. Reidel
Publishing Company, 1977.
58. Pileckaitė–Markovienė M., Nasvytienė D., Bumblytė D. Vystymosi psichologija:
vaikystė. – Vilnius: Enciklopedija, 2004.
59. Rabikauskas P. Mokslo pažanga Vilniaus akademijoje // LKMA suvažiavimo darbai. –
Roma, 1972.
60. Rajeckas V. Mokymo metodai. – Vilnius: VPU, 1997.
61. Rajeckas V. Mokymo organizavimas. – Kaunas: Šviesa, 1999.
62. Rimantienė R. Akmens amžius Lietuvoje. - Vilnius: Mokslas, 1984.
63. Savickytė V. Pradinukų ugdymas: straipsnių rinkinys. - Šiauliai: Šiaulių pedagoginis
institutas, 1994.
64. Stillwell J. Mathematics and its History. – New York: Springer, 2004.
65. Struik D. J. Concise History of Mathematics. – New York: Dover Publications, 1987.
66. Šalkauskis S. Pedagoginiai raštai. – Kaunas: Šviesa, 1991.
67. Šalkuvienė Orinta. Virtualiųjų mokymo (si) objektų taikymas IV–V klasėse mokant
aritmetikos veiksmų: daktaro disertacija. – Vilnius, 2011.
68. Šapoka A. Lietuvos istorija. - Vilnius: Mokslas, 1989.
69. Šiliūnienė E., Poškutė R. Mokomoji matematikos enciklopedija. – Kaunas: šviesa, 2007.
70. Šilutės jaunimo ir suaugusiųjų mokymo centras. Informacinių komunikacinių
technologijų taikymas ugdymo procese Šilutės jaunimo ir suaugusiųjų centre. – Šilutė,
2011. – [žiūrėta 2012-03-21]. Prieiga per internetą:
<http://www.smc.silute.lm.lt/pdf/Tyrimas_IKT.pdf.>.
71. Štitilienė O. Specialiųjų poreikių mokinių matematikos mokymas : I – IV klasė. – Šiauliai
: Šiaulių universiteto leidykla, 2003.
72. Šuškevič A. Lygiagretieji algoritmai tiesinės algebros uždaviniuose // Magistro darbas. –
Vilnius, 2007.
86
73. Tarptautinių žodžių žodynas / atsakingas redaktorius: Vaitkevičiūtė V. - Vilnius: Alma
litera, 2008.
74. Tarptautinių žodžių žodynas / atsakingasis redaktorius: Kvietkauskas V. – Vilnius:
Vyriausioji enciklopedijų redakcija,1985.
75. Teišerskis J. Algebros mokymo metodika. – Vilius: Mokslas, 1988.
76. Thompson C. S. Place value and larger numbers. // Mathematics for young children,
1990.
77. Tiklsiukas.lt. – Šiauliai, 2012. – [žiūrėta 2012-04-02]. Priega per internetą:
<http://www.tiksliukas.lt/?Matematika>.
78. Vilenkinas N., Ivaševas-Musatovas O., Švarcburdas S. Algebra ir matematinė
analizė: mokymo priemonė mokyklų su sustiprintu matematikos mokymu X-XI klasei. –
Kaunas: Šviesa, 1987.
79. Zambacevičienė E. P. Psichologijos įvadas: mokymo(-si) priemonė studentams. –
Šiauliai: Šiaulių universiteto leidykla, 2007.
80. Zinkevičius Z. Lietuvių kalbos istorija: vadovėlis aukštosioms mokykloms. -
Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidykla, 1996.
81. Zubovas V. Tomas Žebrauskas ir jo mokiniai. – Vilnius: Mokslas, 1986.
82. Žemgulienė A. Pradinio ugdymo raida: teoriniai ir praktiniai aspektai: metodinė
priemonė. – Vilnius: Vilniaus pedagoginis universitetas, 2009.
83. Žukauskienė R. Raidos psichologija. – Vilnius: Margi raštai, 2007.
84. Žukauskienė R. Raidos psichologija. – Vilnius: Margi raštai, 1996.
85. Wagner S. Parker S. Advancing algebra // Algebraic thinking, grades, 1999.
87
PRIEDAI
88
1 PRIEDAS
Priedas
Tekstinių uždavinių skirstymas (Ažubalis A., Kiseliovas A., 2002) ir pavyzdžiai:
Paprastieji tekstiniai uždaviniai:
1. Dviejų ar kelių dėmenų sumos radimas.
Ant gėlės tupėjo 2 drugeliai, vėliau atskrido dar 2. Kiek drugelių dabar yra ant gėlės?
2. Skaičiaus padidinimas (sumažinimas) keliais vienetais.
Paulius pagavo 6 žuvis, o jo tėvelis – 3 žuvimis daugiau. Kiek žuvų pagavo Pauliaus
tėvelis?
Domas pagavo 10 žuvų, o Simas – 2 žuvimis mažiau. Kiek žuvų pagavo Simas?
3. Liekanos (skirtumo) radimas.
Į turgų buvo atvežta 53 eglutės. Per pusvalandį pardavė 9 eglutes. Kiek eglučių dar
liko turguje?
4. Dviejų skaičių skirtumo radimas (skirtuminis palyginimas).
Pušies aukštis yra 17 m, o eglė – 8 m aukštesnė. Koks eglės aukštis?
5. Kelių lygių dėmenų sumos radimas.
Vienoje lėkštėje buvo 2 bananai. Ant stalo stovėjo 4 tokios lėkštės. Kiek bananų buvo
lėkštėse?
6. Dalyba į lygias dalis:
6.1. Skaičiaus dalijimas į kelias lygias dalis.
Didžkukuliams išvirti Rita nuskuto 7 bulves, o Tomas 6 kartus daugiau. Kiek bulvių
nuskuto Tomas?
6.2. Skaičiaus sumažinimas kelis kartus.
Marius turi 20 €, o Rytis – 2 kartus mažiau. Kiek eurų turi Rytis?
6.3. Skaičiaus dalies radimas.
Dėžėje buvo 80 kg obuolių. Pardavėja išėmė 1/8 obuolių. Kiek obuolių išėmė
pardavėja?
7. Talpos dalyba:
7.1. Nustatymas, kiek kartų skaičius telpa kitame.
Jūratė nusprendė 9 braškes po lygiai sudėti į 3 lėkštutes. Po kiek braškių bus
lėkštutėse?
7.2. Kartotinis dviejų skaičių palyginimas.
Lėkštėje yra 8 kriaušės ir 4 obuoliai. Kiek kartų kriaušių yra daugiau negu obuolių?
8. Nežinomo dėmens radimo.
89
Ieva turėjo 60 ct. Mama įdėjo dar kelias monetas į Ievos piniginę. Dabar Ieva turi
1Lt. Kiek pinigų įdėjo mama į Ievos piniginę?
9. Skaičiaus radimas iš vienos jo dalies.
½ l pieno kainuoja 1 Lt 20 ct. Kiek kainuoja litras pieno?
10. Gavinių pakitimo radimas, pasikeitus duomenimis.
Autobusui sustojus iš jo išlipo 8 žmonės, o įlipo 15 žmonių. Kiek keleivių padaugėjo
autobuse?
11. Skirtumo radimas.
Jei iš vienos dėžutės 10 kamuoliukų perdėsime į kitą, tai abiejose dėžutėse kamuoliukų
bus po lygiai. Keliais kamuoliukais pirmoje dėžutėje buvo daugiau negu antroje?
12. Skaičiaus radimas iš dviejų skirtumų.
Ignas nusipirko 2 saldainiais daugiau negu Gerda ir už savo pirkinį sumokėjo 50 ct
daugiau. Kiek kainavo saldainis?
Sudėtiniai uždaviniai.
Leidyklos darbuotoja iki pietų dirbo 5 valandas, po pietų – 3 valandas. Per visą darbo
dieną ji surinko 40 puslapių teksto. Kiek puslapių teksto ji surinkdavo per vieną
valandą?
Tipiniai uždaviniai:
1. Triskaitės taisyklės uždaviniai:
1.1. Tiesioginis būdas per vienetą.
Už 5 lėlės sumokėta 200 €. Kiek kainuoja viena lėlė?
1.2. Atvirkštinis būdas per vienetą.
Vienas arbatos pakelis kainuoja 9 Lt. Kiek pakelių arbatos galima nusipirkti už 45
litus?
1.3.Santykių būdas.
3 suknelėms pasiūti reikia 9 m medžiagos. Kiek medžiagos reikia 5 suknelėms pasiūti?
Proporcingosios dalybos uždaviniai.
Tomas ir Rūta už nuskintus obuolius gavo 90 Lt. Rūta priskynė 4 dėžes, o Tomas – 5
dėžes. Kiek litų turi gauti kiekvienas vaikas?
Judėjimo uždaviniai:
1. Priešpriešinio judėjimo uždaviniai.
Iš A ir B miestų tuo pačiu laiku, vienas priešais kitą išvažiavo 2 traukiniai. Pirmas
traukinys nuvažiavo per valandą 48 km, o antras – 45 km. Po 7 valandų traukiniai
susitiko. Raskite atstumą tarp A ir B miestų.
2. Uždaviniai apie du kūnus, judančius priešingomis kryptimis.
Iš stoties tuo pačiu metu priešingomis kryptimis išvažiavo 2 traukiniai. Vienas
traukinys važiavo 50 km per valandą greičiu, kitas – 40 km per valandą greičiu. Kaip
toli vienas nuo kito bus tie traukiniai po 4 valandų?
90
3. Dviejų kūnų judėjimo viena kryptimi uždaviniai.
Dviratininkas išvažiavo iš Varduvos ir važiavo 20 km per valandą greičiu. Tuo pačiu
laiku iš Plungės išvažiavo autobusas, kurio greitis 80 km per valandą. Dviratininkas
ir autobusas važiuoja ta pačia kryptimi. Per kiek laiko autobusas pavys dviratininką,
jei atstumas tarp Plungės ir Varduvos yra 40 km?
91
2 PRIEDAS
KLAUSIMYNAS I klasei
1. Apskaičiuok.
2. Emilija turėjo 28 saldainius, o Milda – 6 mažiau. Kiek saldainių turėjo
Milda?
_____________________________________________________________
3. Martynas ir Dovydas suskaičiavo, kad abu kartu jie turi 30 riešutų. Dovydas
turėjo 14 riešutų. Kiek riešutų turėjo Martynas?
_____________________________________________________________
4. Ona, kurdama paveikslą panaudojo 12 figūrų, o Rasa – 5 daugiau. Kiek
figūrų panaudojo Rasa?
_____________________________________________________________
5. Parašyk, kaip tau lengviau apskaičiuoti ir apskaičiuok.
23 + 32 = __________________________________________________
22 + 4 + 8 =_________________________________________________
8 + 4 + 5 + 2 =_______________________________________________
92
6. Išspręsk.
7. Įrašykite tinkamą ženklą (<, > arba =).
8. Parašyk kaip supranti:
Nelygybė
Uždavinys
Ką reikia daryti,
kai parašyta
apskaičiuok?
93
KLAUSIMYNAS II klasei
1. Apskaičiuok.
2. Ryte parduotuvėje buvo 44 kg šokoladinių saldainių. Vakare buvo likę 28 kg
saldainių. Kiek kilogramų saldainių per tą dieną buvo parduoda?
_____________________________________________________________
3. Vienas piešimo sąsiuvinis kainuoja 3 Lt. Kiek kainuos 6 tokie sąsiuviniai?
_____________________________________________________________
4. Lokys turėjo 4 statines medaus, po 9 l kiekvienoje. Į pyragą jis įdėjo 12 l.
Kiek litrų medaus lokiui liko?
_____________________________________________________________
5. Parašyk, kaip tau lengviau apskaičiuoti ir apskaičiuok.
8 + 8 + 8 =_______________________________________________
_______________________________________________
=________________________________________________
94
6. Išspręsk.
7. Įrašykite tinkamą ženklą (<, > arba =).
8. Parašyk kaip supranti:
Nelygybė
Uždavinys
Ką reikia daryti,
kai parašyta
apskaičiuok?
95
KLAUSIMYNAS III klasei
1. Apskaičiuok.
2. Kino salėje telpa 600 žiūrovų. Į dieninį seansą viena kasininkė pardavė 175
bilietus, kita – 180. Kiek bilietų liko neparduota?
_____________________________________________________________
3. Šaldytuve buvo 50 kiaušinių. Kai kiekvienas vaikas nudažė po 4, liko 30
kiaušinių. Kiek vaikų dažė kiaušinius?
_____________________________________________________________
4.
_____________________________________________________________
5. Sužymėk reiškinio viršuje veiksmų eiliškumą ir apskaičiuok.
__________________________________________
________________________________________________
_______________________________________________
96
6. Išspręsk.
7. Įrašyk tinkamą ženklą (<, > arba =).
8. Parašyk kaip supranti:
Nelygybė
Uždavinys
Ką reikia daryti,
kai parašyta
apskaičiuok?
97
KLAUSIMYNAS IV klasei
1. Apskaičiuokite.
2. Virginija sugalvojo skaičių, prie jo pridėjo 85 ir gavo 150. Kokį skaičių sugalvojo
Virginija?
________________________________________________________________________
3. Sandėlyje buvo 48 maišai bulvių po 52 kg kiekviename. Prieš vežant į parduotuves,
nutarta išpilstyti bulves į maišelius po 3 kg. Kiek buvo pripilta tokių bulvių
maišelių?
________________________________________________________________________
4.
________________________________________________________________________
5. Sužymėkite reiškinio viršuje veiksmų eiliškumą ir apskaičiuokite.
____________________________________________________
_____________________________________________________
__________________________________________
98
6. Išspręskite lygtis.
7. Įrašykite tinkamą ženklą (<, > arba =).
8. Parašykite kaip suprantate:
Nelygybė
Uždavinys
Ką reikia daryti,
kai parašyta
apskaičiuok?
99
KLAUSIMYNAS V klasei
1. Apskaičiuokite.
2. Vazoje buvo slyvų. Į vazą įdėjus dar 12 slyvų, iš viso vazoje buvo 38 slyvos. Kiek
slyvų buvo vazoje iš pradžių?
________________________________________________________________________
3. Skaičiaus x ir skaičiaus 17 skirtumas lygus 28. Kokia skaičiaus x reikšmė?
________________________________________________________________________
4. Krepšyje yra 10 obuolių ir n kriaušių. Kiek vaisių yra krepšyje?
________________________________________________________________________
5. Sužymėkite reiškinio viršuje veiksmų eiliškumą ir apskaičiuokite.
______________________________________________
________________________________________________
______________________________________________________
100
6. Raskite lygties sprendinius.
7. Įrašykite tinkamą ženklą (<, > arba =) arba raskite duotos nelygybės sprendinį.
8. Parašykite kaip suprantate:
Nelygybė
Uždavinys
Ką reikia daryti,
kai parašyta
apskaičiuok?
101
KLAUSIMYNAS VI klasei
1. Apskaičiuokite.
2. Dalytė į 3vazas pamerkė narcizų, į 2 vazas - tulpių ir į 5 vazas – gvazdikų žiedų. Į
kiekvieną vazą buvo pamerkta po a žiedų. Kiek iš viso gėlių žiedų pamerkė Dalytė?
________________________________________________________________________
3. Klasėje yra 30 mokinių. Berniukų yra dvigubai daugiau negu mergaičių. Kiek
mergaičių yra klasėje? (du būdai?)
________________________________________________________________________
4.
________________________________________________________________________
5. Sužymėkite reiškinio viršuje veiksmų eiliškumą ir apskaičiuokite.
_______________________________________________________
__________________________________________
______________________________________________________
102
6. Raskite lygties sprendinius.
7. Įrašykite tinkamą ženklą (<, > arba =) arba raskite duotos nelygybės sprendinį.
8. Parašykite kaip suprantate:
Nelygybė
Uždavinys
Ką reikia daryti,
kai parašyta
apskaičiuok?
Recommended