tugas_kelompok anreal

5/12/2018 tugas_kelompok anreal - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/tugaskelompok-anreal 1/4

4.2 Teorema Limit

4.2.1 Definisi

Diberikan ,   , dan titik  adalah titik limit dari  A.  f   dikatakan

terbatas pada persekitaran c jika terdapat dan konstanta  M > 0   

4.2.2 Teorema

Jika dan   mempunyai limit di , maka  f    terbatas pada

 persekitaran c. 

Bukti :

Jika L = maka untuk titik  terdapat > 0  jika 0 < , maka

  , akan ditunjukkan berdasarkan corollary 2.2.4(a)

Ambil maka   . Jika c ambil M = , maka

 jika c  sehingga pilih M = sup   . Ini menunjukkan jika , 

maka   jadi, terbukti bahwa  f  terbatas pada persekitaran c.

4.2.3 Definisi

Diberikan ,  , g  : . Maka berlaku hal berikut :

y  (  f  +  g)(x) =  f  (x) +  g(x) 

y  (  f  -  g)(x) =  f  (x) -  g(x) 

y  (  f   g)(x) =  f  (x)g(x)   

Selanjutnya, jika , maka perkalian b f    didefinisikan sebagai berikut :

( b f   )(x) =b  f  (x)  . 

Jika h(x) 0   , maka hasilbagi  f/ h  didefinisikan sebagai berikut

.

5/12/2018 tugas_kelompok anreal - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/tugaskelompok-anreal 2/4

4.2.4 Teorema

Diberikan ,   dan g  : ,  titik limit  A, dan .

(a) Jika maka :

(b) Jika h: , h(x)  0   , dan  0, maka

4.2.5 Contoh

a.  Beberapa contoh limit yang telah dibahas di subbab 4.1 bisa dibuktikan dengan

menggunakan teorema 4.2.4. sebagai contoh, akan ditunjukkan , maka

, dan jika c > 0, maka :

 b.   

Bukti : 

= 5.4 = 20 

4.2.6 Teorema

Diberikan ,   : ,  titik limit  A. Jika   ,  

ada, maka .

Bukti :

Jika

, maka dari teorema 4.1.8 akan dibuktikan bahwa jika (xn ) barisan

  bilangan riil   xn   dan jika barisan (xn )  konvergen ke c, maka barisan ( f  ((xn )) 

konvergen ke L .Berdasarkan     terbukti bahwa .

5/12/2018 tugas_kelompok anreal - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/tugaskelompok-anreal 3/4

4.2.7 Teorema Squeeze

Diberikan ,    : ,  titik limit  A.  Jika  f  (x)    g(x)   

 , , maka  g = L. 

4.2.8 Contoh

a.

.

Diberikan

. Maka ketaksamaan

untuk  . Terbukti bahwa

.

Dari teorema Squeeze terbukti bahwa .

4.2.9 Teorema

Diberikan ,   : ,  titik limit  A. Jika  f    > 0 maka terdapat

 persekitaran    

Bukti :

Diberikan  f   dan L > 0. Ambil

dan > 0  jika , 

maka  

. Terbukti bahwa jika

4.3 Pengembangan Teorema Limit

Limit sepihak 

4.3.1 Definisi

5/12/2018 tugas_kelompok anreal - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/tugaskelompok-anreal 4/4