tugas_kelompok anreal

5/12/2018 tugas_kelompok anreal - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/tugaskelompok-anreal 1/4

4.2 Teorema Limit

4.2.1 Definisi

Diberikan , , dan titik adalah titik limit dari A. f dikatakan

terbatas pada persekitaran c jika terdapat dan konstanta M > 0

4.2.2 Teorema

Jika dan mempunyai limit di , maka f terbatas pada

persekitaran c.

Bukti :

Jika L = maka untuk titik terdapat > 0 jika 0 < , maka

, akan ditunjukkan berdasarkan corollary 2.2.4(a)

Ambil maka . Jika c ambil M = , maka

jika c sehingga pilih M = sup . Ini menunjukkan jika ,

maka jadi, terbukti bahwa f terbatas pada persekitaran c.

4.2.3 Definisi

Diberikan , , g : . Maka berlaku hal berikut :

y ( f + g)(x) = f (x) + g(x)

y ( f - g)(x) = f (x) - g(x)

y ( f g)(x) = f (x)g(x)

Selanjutnya, jika , maka perkalian b f didefinisikan sebagai berikut :

( b f )(x) =b f (x) .

Jika h(x) 0 , maka hasilbagi f/ h didefinisikan sebagai berikut

.



4.2.4 Teorema

Diberikan , dan g : , titik limit A, dan .

(a) Jika maka :

(b) Jika h: , h(x) 0 , dan 0, maka

4.2.5 Contoh

a. Beberapa contoh limit yang telah dibahas di subbab 4.1 bisa dibuktikan dengan

menggunakan teorema 4.2.4. sebagai contoh, akan ditunjukkan , maka

, dan jika c > 0, maka :

b.

Bukti :

= 5.4 = 20

4.2.6 Teorema

Diberikan , : , titik limit A. Jika ,

ada, maka .

Bukti :

Jika

, maka dari teorema 4.1.8 akan dibuktikan bahwa jika (xn ) barisan

bilangan riil xn dan jika barisan (xn ) konvergen ke c, maka barisan ( f ((xn ))

konvergen ke L .Berdasarkan terbukti bahwa .



4.2.7 Teorema Squeeze

Diberikan , : , titik limit A. Jika f (x) g(x)

, , maka g = L.

4.2.8 Contoh

a.

.

Diberikan

. Maka ketaksamaan

untuk . Terbukti bahwa

.

Dari teorema Squeeze terbukti bahwa .

4.2.9 Teorema

Diberikan , : , titik limit A. Jika f > 0 maka terdapat

persekitaran

Bukti :

Diberikan f dan L > 0. Ambil

dan > 0 jika ,

maka

. Terbukti bahwa jika

4.3 Pengembangan Teorema Limit

Limit sepihak

4.3.1 Definisi



Documents

tugas_kelompok anreal