View
257
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
BAB 9DERET FOURIER
Oleh :Oleh :
Ir. A.Rachman Hasibuan dan
Naemah Mubarakah, ST
9.1 Pendahuluan
Gambar 9.1 Fungsi-fungsi eksistesi (a) v = konstan ; (b) v = V sin ωtGambar 9.1 Fungsi-fungsi eksistesi (a) v = konstan ; (b) v = V sin ωt
Gambar 9.2 Gelombang gigi gergaji
Gelombang gergaji ini dapat dinyatakan sebagai f(t) = (V/T)t dalaminterval 0 < t < T dan oleh f(t) = (V/T)(t – T) dalam interval T < t < 2T.
9.2 Deret Fourier Trigonometri
Suatu fungsi f (t) dikatakan periodik apabila :
f(t) = f(t + nT)
dimana n adalah bilangan bulat/integer dan T adalah periode dari f (t),
Menurut teori Fourier setiap fungsi periodik dengan frekuensi ωo dapat di
ekspresikan sebagai perjumlahan dari fungsi sinus ataupun kosinus atau :
{44444 344444 21
ac
)tnsinbtncosa(
dc
a f(t)1n
onono
↓
↓
∑∞
=
ω+ω+=
ωo = 2π/T disebut sebagai frekuensi dasar
sin nωot atau cos nωot merupakan harmonisa yang ke-n dari f (t) dan bila n merupakan bilangan ganjil disebut harmonisa ganjil dan bila genap disebut harmonisa genap
Suatu fungsi f(t) dapat dinyatakan dengan sebuah deret Fourier apabila :
1. f(t) memiliki nilai tunggal untuk setiap t.
2. Jika f(t) tidak kontinyu maka hanya terdapat jumlah diskontinuitas
terbatas pada periode T.
3. Memiliki jumlah maksimum dan minimum yang terbatas dalam periode.
4. Untuk setiap t0.
syarat-syarat ini disebut sebagai syarat Dirichlet
∫+
∞<Tt
t
0
0
dt|)t(f
∫
∫
∫
→=ωω
≠→=ω
→=ω
T
T
0 o
T
0 o
)c(....m,nsemua0dttnncostnsin
)b(......................0nsemua0dtncos
)a(............................nsemua0dtnsin
Adapun proses untuk menentukan koefisien ao ; an dan bn
disebut sebagai analisa. Fourier, dimana dalam analisa Fourierini ada beberapa bentuk integral trigonometri yang sangatmembantu diantaranya :
∫
∫
∫
∫
∫
→=ω
→=ω
≠→=ωω
≠→=ωω
→=ωω
T
0o
2
T
0 o2
T
0oo
T
0 oo
T
0 oo
)g(.................msemua2/Tdttmcos
)f(....................nsemua2/Tdtncos
)e(................mn0dttmcosncos
)d(...................mn0dttnsinnsin
)c(....m,nsemua0dttnncostnsin
∫=T
0o dt)t(fT
1a ∫ ω=
T
0 on dttncos)t(fT
2a ∫ ω=
T
0on dttnsin)t(f
T
2b
Dari analisa Fourir, didapat :
∑∞
=
φ+ω+=1n
nono )tncos(Aa)t(f
∞∞
; dan
Maka :
∑∑∞
=
∞
=
ωφ−ωφ+=φ+ω+1n
onnonno
1n
ono tnsin)sinA(tncos)cosA(a)ntncos(Aa
nnn cosAa φ= )sinA(b nnn φ−= 2n
2nn baA +=
n
n1n
a
btan−−=φ
dalam bentuk kompleks : nnnn jbaA −=φ∠
Sehingga :
; ; ;
Carilah bentuk deret Fourier gelombang dibawah ini dan gambarkan juga spektrum amplitudo dan spektrum fasa dari gelombang tersebut.
Contoh :
Jawab :
Adapun deret Fourier :
∑∞
=
ω+ω+=1n
onono )tnsinbtncosa(a f(t)
Adapun bentuk persamaan gelombang diatas :
<<→
<<→=
2t10
1t01)t(f
2
1t
2
1dt0dt1
2
1dt)t(f
T
1a
0
12
0
1
0
T
0o ==
+== ∫∫∫
0
0
dttncos0
1
0tsin
n
1
dttncos12
2dttncos)t(f
T
2a
2
1
1
0
T
0 on =
π+
ππ
π=ω=
↓↓
∫∫∫44344214434421
0n π
)1n(cosn
1
0
dttnsin0
1
0tncos
n
1
dttnsin12
2dttnsin)t(f
T
2b
2
1
1
0
T
0 on −ππ
−=
π+
ππ
−
π=ω=
↓↓
∫∫∫443442143421
[ ]
→
→π=−−
π=
genapnhargauntuk0
ganjilnhargauntukn
2
)1(1n
1b n
n
Harga-harga a0, an dan bn yang telah diperoleh disubstitusikan ke
persamaan umum deret fourier, maka deret Fourier dari bentuk
gelombang diatas adalah :
...t5sin5
2t3sin
3
2tsin
2
2
1)t(f +π
π+π
π+π
π+=
1k2n:inihaldalamtnsinn
12
2
1)t(f
1k
−=→ππ
+= ∑∞
=
untuk mendapatkan spektrum amplitudo dan spektrum fasa :untuk mendapatkan spektrum amplitudo dan spektrum fasa :
{ {
→
→π==
→π
=
+=↓↓ genapn0
ganjilnn
2
b
ganjilnn
2nb
b
0
aAn n2
n2
n
→°
→°−=−=φ −
ganjiln0
genapn90
a
btan
n
n1n
Telah diketahui didepan bahwa ω0 = π dan harga An dan φn untukbeberapa harga n maka hasilnya seperti pada tabel dibawah ini.
maka spektrum amplitudo :
π2
π32
2
nφ
oωπ π2 π3 π4 π5 π6
π3
π52
oωπ π2 π3 π4 π5 π6
9.3 Kesimetrisan
9.3.1 Simetris Genap
f(t) = f(-t) → untuk semua harga t
TT−
2
T
2
T−
Gambar 9.3 Fungsi Genap
)2/T(f)2/T(f:makaT/2 thargauntuk A - f(t)
T/2 thargauntuk A - f(t)−=
−=→=
=→=
Adapun sifat yang utama dari fungsi genap ini adalah :
∫∫ =−
2/T
0
e
2/T
2/T
e dt)t(f2dt)t(f
dimana notasi e pada fe(t) untuk melambangkan fungsi genap (even).
didapat koefisien-koefisien Fourier-nya :
∫=2/T
0
0 dt)t(fT
2a
∫ ω=2/T
0
0n dttncos)t(fT
4a
bn = 0
didapat koefisien-koefisien Fourier-nya :
9.3.2 Simetris Ganjil
f(-t) = -f(t) → untuk semua harga t
4
T−
Gambar 9.4 Fungsi Ganjil
4
T
4 Gambar 9.4 Fungsi Ganjil
)4
T(f)
4
T(f:maka
4
T thargauntuk A - f(t)
4
T thargauntuk A f(t)
=−
−=→=
=→=
Adapun bentuk umum fungsi ini adalah :
0dt)t(f
2/T
2/T
o =∫−
dimana fo(t) hanya berupa simbol dari fungsi ganjil (Odd).
Untuk fungsi ganjil ini harga-harga :
A0 = 0
an = 0 an = 0
∫ ω=2/T
0
0n dttnsin)t(fT
4b
Setiap fungsi periodik f(t) dapat merupakan gabungan fungsi-fungsi
genap atau ganjil saja ataupun gabungan fungsi genap atau ganjil
)t(f)t(f
ganjil
tnsinb
genap
tnsinaa)t(f oe
1n
0n
1n
0n0 +=ω+ω+=
↓↓
∑∑∞
=
∞
= 44 344 21444 3444 21
9.3.3 Simetris Gelombang Setengah
Suatu fungsi dikatakan simetris gelombang setengah apabila :
)ganjil()t(f)2
Tt(f →−=−
Gambar 9.5 Contoh gelombang setengah simetris (ganjil)
Koefisien Fourier nya :
+== ∫∫∫
−−
2/T
0
0
2/T
2/T
2/T
0 dt)t(fdt)t(fT
1dt)t(f
T
1a 0dt)t(fdx)x(f
T
1a
2/T
0
2/T
0
0 =
+−= ∫∫→
ω+ω= ∫∫
−
2/T
0
0
0
2/T
0n dttncos)t(fdttncos)t(fT
2a
− 02/TT
[ ]
ω
=ω−−= ∫∫genapnuntuk.........................................0
ganjilnuntuk...........dttncos)t(fT
4
dttncos)t(f)1(1T
2a
2/T
0
0
2/T
0
0n
n
ω
= ∫genapnuntuk.........................................0
ganjilnuntuk...........dttnsin)t(fT
4
b
2/T
0
0n
Contoh :Carilah deret Fourir dari f(t) yang tergambar di bawah ini :
Jawab :Fungsi ini adalah fungsi ganjil sehingga a0 = 0 = an dimana
22 πππFungsi ini adalah fungsi ganjil sehingga a0 = 0 = an dimana
periodenya T = 4 sehingga24
2
T
20
π=
π=
π=ω , maka :
∫ ω=2/T
0
0n dttnsin)t(fT
4b
π+
π= ∫∫
2
1
1
0
n dtt2
nsin0dtt2
nsin14
4b→
π−
π=
π
π−=
2
ncos1
n
2
2
tncos
n
2b
1
0n ∑
∞
=
π
π−
π=
1n 2
nsin
2
ncos1
n
12)t(f→
maka terlihat bahwa deret merupakan deret Fourir sinus.
Contoh :Carilah deret Fourir dari fungsi di bawah ini :
Jawab :Fungsi adalah gelombang ganjil setengah simetris, sehingga a0 = 0 = an
dengan periode T = 4 dan24
2
T
20
π=
π=
π=ω
f(t) = 1 → -1 < t < 1
. Maka :
∫ ω=2/T
0
0n dttnsin)t(fT
4b
Maka :
→2
ncos
n
4
2
nsin
n
8b
22n
π
π−
π
π=
karena sin (-x) = - sin x pada fungsi ganjil dan cos (-x) = cos x padafungsi genap, maka :
==−π
==−π=
+
−
...,6,4,2genapnuntuk)1(n
4
...,5,3,1ganjilnuntuk)1(n
8
b2/)2n(
2/)1n(
22
n
πn
sehingga :
∑∞
=
π=
1n
n t2
nsinb)t(f
9.4 Pemakaian Pada Rangkaian Listrik
Adapun langkah-langkah yang diperlukan diantaranya :
Untuk mendapatkan respons steady state rangkaian terhadap eksitasi
non-sinusoidal periodik ini diperlukan pemakaian deret Fourier,
analisis fasor ac dan prinsip superposisi.
Adapun langkah-langkah yang diperlukan diantaranya :
1. Nyatakan eksitasi dalam deret Fourier.
2. Transformasikan rangkaian dari bentuk wawasan waktu menjadi
wawasan frekuensi.
3. Cari resonse komponen dc dan ac dalam deret Fourier.
4. Jumlahkan masing-masing response secara superposisi.
)t1cos(v 101 θ+ω
)t2cos(v 202 θ+ω
)tncos(v n0n θ+ω
0v
Gambar 9.6 a) Rangkaian linier dengan sumber tegangan periodik
b) Merepresentasekan deret Fourier (wawasaan waktu)
adapun pernyataan deret Fourier-nya :
∑∞
=
θ+ω+=1n
n0n0 )tn(cosVV)t(v
0v
11v θ∠
Gambar 9.7 a) Respons steady state komponen dc
b) Respons steady state komponen ac (wawasan frekuensi)
nnv θ∠
22v θ∠
∑∞
=
Ψ+ω+=1n
n00 )tn(cosIni)t(i
Contoh :Rangkaian seperti di bawah ini :
Bilamana sumber tegangan vs(t) pada rangkaian berbentuk :
1k2ntnsinn
12
2
1)t(v
1k
s −=→ππ
+= ∑∞
=
Carilah v0(t).
(*)
Jawab :
ssn
n0 V
n2j5
n2jV
LjR
LjV
π+
π=
ω+
ω=
( )ππ+
=
→
π+
π= n2j
n2j5
1
V
1V:atau
n2j5
n2j
V
V
s0
s
0
)902(n
1)2j(
n
1
2j
1
n
1
n2j
1V:ataun2j
V
1s
s
°−∠π
=−π
=
π=
π=→π=
°−∠= 902
Vs
°−∠
ππ+
π= 90
n
2
n2j5
n2jV0→°−∠
π= 90
nVs
°−∠ππ+
= 90nn2j5
V0
22
1
0
n425
5
n2tan4
V
π+
π−∠
=
−
→
dan dalam wawasan waktu :
1k2n:untuk5
n2tantncos
n425
4)t(V 1
1k22
0 −=→
π−π
π+= −
∞
=∑
maka dengan mensubstitusikan harga ( k = 1, 2, 3, … atau
n = 1, 3, 5,…) untuk harmonisa ganjil akan diperoleh :
Volt...
)96,80t5(cos1257,0)14,75t3(cos2051,0)49,51t1(cos4981,0)t(0V
+
°−π+°−π+°−π=
dan kalau digambarkan spektrum amplitudo-nya :
ωπ π2 π3 π4 π5 π6 π7
0V
9.5 Daya Rata-rata dan RMS
Untuk mendapatkan harga daya rata-rata yang diserap oleh suatu
rangkaian dengan sumber suatu fungsi periodik , yaitu :
∑∞
=
θω+=1n
n0ndc )-tn(cosVV)t(v
∑∞
=
φω+= m0mdc )-tm(cosVI)t(i ∑=1m
sedangkan sebagaimana diketahui bahwa daya rata-rata adalah :
∫=T
0dtvi
T
1P ∑
∞
=
φθ+=1n
nnnndcdc )-(cosIV2
1IVP
harga efektif (rms) dari suatu f(t) adalah :
∫=T
0
2rms dt)t(f
T
1F ( )∑
∞
=
++=1n
2n
2n
20rms ba
2
1aF
→
→
Contoh :Rangkaian seperti di bawah ini :
Carilah daya rata-rata yang diberikan oleh sumber ke rangkaian bilamana :
A)35t3cos(6)10tcos(102)t(i °++°++=
dan cari pula Vrms.
Jawab :Impedansi rangkaian :
ω+=
ω
+ω
ω=
ω+
ω=
+=
20j1
10
2j
120j
2j
10
2j
110
2j
110
XR
X.RZ
C
C
maka :
ω∠ω+=
ω∠ω+
=ω+
=ω+
==−− 20tan4001
I.10
1
20tan)20(1
I.10
20j1
I.10
20j1
10.IZ.IV
12122
untuk komponen dc (ω = 0) :1
untuk komponen dc (ω = 0) :
I = 2 A → v20
)0(20tan)0(4001
)2(10V
12=
∠+=
−
untuk ω = 1 rad/det, maka :
°−∠=°∠
°∠=
∠+
°∠=→°∠=
−14,775
14,8720
10100
)1(20tan)1(4001
)1010(10Vdan1010I
12
untuk ω = 3 rad/det, maka :
°−∠=°∠
°∠=
∠+
°∠=→°∠=
−04,541
04,8960
3560
)3(20tan)3(4001
)356(10Vdan356I
12
sehingga dalam wawasan waktu :
V)04,54t3cos(1)14,77tcos(520)t(v °−+°−+=
Adapun daya rata-rata dapat dihitung dengan :
∑∞
=
φθ+=1n
nnnndcdc )-(cosIV2
1IVP
[ ] [ ])35(04,54cos)6)(1(1
)10(14,77cos)10)(5(1
)2(20P °−−°+°−−°+= [ ] [ ])35(04,54cos)6)(1(2
1)10(14,77cos)10)(5(
2
1)2(20P °−−°+°−−°+=
P = 40 + 1,247 + 0,05 = 41,297 W
cara lain :
W30,4106,025,14010
1
2
1
10
5
2
1
10
20
R
V
2
1
R
VP
222
1n
2n
2dc =++=++=+= ∑
∞
=
Contoh :Suatu tegangan diekspresikan dengan :
...)7,78t4cos(4851,0
)56,71t3cos(6345,0)45,63t2cos(8944,0)45tcos(414,11)t(v
+°+−
+°+−°++°+−=
carilah harga rms dari tegangan ini.
Jawab :Jawab :
Dengan menggunakan :
∑∞
=
+=1n
2n
20rms A
2
1aF
maka :
[ ] V649,1)4851,0()6345,0()8944,0()414,1(2
11V 22222
rms =−+−++−+=
9.6 Bentuk Eksponensial Deret Fourier
∑∞
−∞=
ω=n
tjnn
oec)t(f
Untuk mendapatkan harga rms
∑∞ +
+=2
n2
n2 baaF
→ ∫ω−=
T
0
tjnn dte)t(f
T
1c o
∑=
++=
1n
nn20rms
2
baaF
2
bac
2n
2n
n+
=2
02
0 ac =
∑∞
=
+=1n
2n
20rms c2cF
Karena :
Maka :
dan
Contoh :Carilah bentuk eksponensial deret Fourier dari :
)t(f)2t(f:dengan2t0;e)t(f t =π+π<<=
Jawab :
1T
2maka2TKarena 0 =
π=ω→π=
maka :
∫∫π −ω− ==
2 jnttT tjn 11π
−=2
t)jn1(e11
c→∫∫π −ω−
π==
2
0
jnttT
0
tjnn dtee
2
1dte)t(f
T
1c o
−
−π=
0
t)jn1(n e
jn1
1
2
1c
[ ]1ee)jn1(2
1c n2j2
n −−π
= π−π 10j1n2sinjn2cose n2j =−=π−π=π−
[ ])jn1(
51,851e
)jn1(2
1c 2
n −=−
−π= π
sehingga deret Fourier-nya : jnte)jn1(
51,85)t(f ∑
∞
∞− −=
→
→
Recommended