View
20
Download
2
Category
Preview:
DESCRIPTION
Titranja i Valovipdf
Citation preview
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 1/48
Harmonijsko titranje
Harmonijsko titranje: titranje koje se odvija bez gubitka energije-vrši se neprestana pretvorba energije
Titranje: periodično gibanje oko ravnotežnog položaja
Harmonijsko titranje uzrokuje harmonijska (elastična) sila,
koja je proporcionalna pomaku iz ravnotežnog položaja
y
ravnotežnipoložaj
ravnotežnipoložaj
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 2/48
ravnotežni položaj
Amplituda – najveća udaljenost od ravnotežnog položaja- najveća elongacija
elongacija – udaljenost od ravnotežnog položaja
Amplituda
A
y
y = 0
-A
prisjetimo se što je:
- titraj- period- frekvencija
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 3/48
ravnotežni položaj
Amplituda
elongacija
Amplituda
A
y
y = 0
-A 2
2
1 yk E ep ⋅=
2
2vm E k
⋅=
2
2
1 yk E ep ⋅= 0=k E
0=k E
0=ep E
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 4/48
ravnotežnipoložaj
Amplituda
elongacija
Amplituda
y r = A
φ
snop
svjetlosti
t
T t
ω ϕ ω π ϕ
=⇒==2
t A y sin=
Titranje kao projekcija kružnog gibanja
sjena kružnoggibanja
sin A y =
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 5/48
t A y sin=Ovisnost elongacije o vremenu:
Ovisnost brzine titranja o vremenu:
Ar v ⋅=⋅=
t At vv ω ω ω coscos ⋅=⋅=′
znamo da je brzina v kod tijela koje kruži:
brzina titranja (sjene) u bilo kojem trenutku je:
t Avcos
=′
Ovisnost akceleracije titranja o vremenu:
Ar acp
22
ω ω =⋅=znamo da je akceleracija tijela koje kruži:
akceleracija titranja (sjene) u bilo kojem trenutku:
yaili ⋅−=
2
: ω t Aa ω ω sin2
−=
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 6/48
Amr mF cp ⋅=⋅=22 ω ω
Povezanost sile i akceleracije
znamo da je sila kod kružnog gibanja:
ymt AmF ⋅−=−=
22
sin ω ω ω sila kod titranja u bilo kojem trenutku je:
ymF ⋅−=2ω yk F ⋅−=
2ω mk =
k mT
T mmk π π ω 24
2
2
2 =⇒⋅==
T π ω 2=
Period titranja opruge:
k
mT π 2=
- analogija -
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 7/48
ravnotežni položaj
Amplituda
elongacija
Amplituda
A
y
y = 0
-A
t Av ω cos=′
t A y sin= t Aa ω ω sin2−=
ymF ⋅−=2ω
t A y sin=
t Av ω ω cos=′
t Aa ω ω sin2
−=
ymF ⋅−=2ω
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 8/48
-mω2
Asinωtmω2
Asila
-ω2Asinωtω2 Aubrzanje
ωAcosωtωAbrzina
AsinωtAput (udaljenost od
ishodišta)
sjena tijela koje kružitijelo koje kruži
Period titranja opruge:
k
m
T π 2=
ovisi o masi tijela m obješenoj na oprugu i konstanti opruge k
Period titranja matematičkog njihala:
g
lT π 2=
ovisi o duljini njihala l i akceleraciji sile teže g
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 9/48
Prigušeno titranje
Kod realnih oscilatora dolazi do postupnih gubitaka energije
Smanjenjem energije E dolazi do smanjenja amplitude titranja A
Slabo prigušenje:amplituda se smanjuje,
a period titranja se ne mijenja
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 10/48
Ekstremno prigušenje:tijelo se polako vraća uravnotežni položaj
slabo prigušenje
y
T
Kritično prigušenje:nema titranja,tijelo dolazi iz amplitudeu ravnotežni položaj
Primjena prigušenja:mjerni instrumenti, amortizeri,….
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 11/48
Valovi
Pojam vala i vrste valova
Val: vrsta gibanja pomoću kojega prenosimo energiju
Prijenos energije: gibanjem čestica ili valovito gibanje
valovito gibanje: prijenos energije titranja kroz elastično sredstvo s jednog mjesta na
drugo, a da se sredstvo kao cjelina ne giba
Mehanički valovi: šire se kroz elastično sredstvo
Elektromagnetski valovi mogu se širiti i kroz vakuum!
Širenje valova: u elastičnom sredstvu čestica titra oko ravnotežnog položajai to titranje prenosi na susjednu česticu jer su vezane elastičnim silama.
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 12/48
t vs ⋅= T v ⋅=λ mehanika:
λ - valna duljina: put koji prijeđe val za vrijeme jednog titraja- najkraća udaljenost između dviju čestica koje jednako titraju,
tj. koje su u fazidvije čestice titraju u fazi ako imaju jednaku elongaciju i jednakvektor brzine
λ
λ y
x
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 13/48
f v
f
vT v ⋅=⇒⋅=⋅= λ λ 1
f v ⋅= λ - brzina širenja vala
brzina ovisi o vrsti sredstva (gustoća, elastičnost…)
val prelazi iz jednog sredstva u drugo:- mijenja mu se brzina
- mijenja mu se valna duljina
frekvencija ostaje ista – frekvencija je svojstvo izvora!
const vvv
f ===== .........3
3
2
2
1
1
λ λ λ
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 14/48
Vrste valova:
Transverzalni val:čestice titraju okomitona smjer širenja vala
smjer širenja
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 15/48
Longitudinalni: čestice titraju u smjeru širenja vala
smjer širenja
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 16/48
λ - razmak između dvije valne fronte
Smjer širenja uvijek okomitna valnu frontu
λ valna fronta
smjer širenja valav
λ
Kuglasti val – nastaje od točkastog izvora
valna fronta
Ravni val – ako je točkasti izvorvrlo daleko ili je izvor dio ravnine
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 17/48
Huygensovo načelo širenja vala:svaku točku u prostoru do koje dopre val možemo smatratiizvorom novog elementarnog vala koji se od točke širi istombrzinom kao osnovni val
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 18/48
y
x
t A y sin=
Jednadžba vala
)(sin t t A y ′−=
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 19/48
v
xt =′ vrijeme kašnjenja
T v λ =
λ
T x
t
⋅=′
)(sin λ ω
xT t A y −=
)(2sinλ
π x
T
t A y −=
),( xt y =
)(sin t t A y ′−= elongacija čestice na udaljenosti x
brzina širenja
Elongacija čestice je funkcija vremena t iudaljenosti x od izvora vala
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 20/48
Refleksija (odbijanje) valova
Refleksija na čvrstom kraju:
Od čvrstog kraja val se reflektira (odbija) sa suprotnom fazom:brijeg se reflektira kao dol, a dol se reflektira kao brijeg.
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 21/48
Refleksija na slobodnom kraju:
Od slobodnog kraja val se reflektira (odbija) istom fazom:brijeg se reflektira kao brijeg, a dol kao dol.
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 22/48
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 23/48
Stojni valovi
Transverzalni stojni val: titranje napete žice učvršćene na oba kraja
moguće su samo određene(kvantizirane) valne duljine
najniža frekvencija je osnovna frekvencija– njoj odgovara najveća valna duljina
m – broj trbuha ( m= 1, 2, 3, 4, …)m = 1
λ 1 = 2 L
L
vv f
21
1 ==
λ
osnovna frekvencija:
Trbusi – mjesta na kojima čestice titrajumaksimalnom amplitudom
Čvorovi – mjesta na kojima česticeuopće ne titraju
λ 1 = 2 L
(prvi harmonik)
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 24/48
Stojni valovi
Transverzalni stojni val: titranje napete žice učvršćene na oba kraja
m = 2 L L
==
2
22λ
1
2
2 2
2
2 f
L
vv f ===
λ
m = 33
23
L=λ 1
3
3 3
3
2 f
L
vv f ===
λ
(drugi harmonik)
(treći harmonik)
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 25/48
m = 4
4
24
L=λ 1
4
4 4
4
2 f
L
vv f ===
λ
Val se širi jednakom brzinom jer je uvijek u istom sredstvu!
Općenito vrijedi:m
L2=λ ili: f
m= m·f
1
m = 5
(četvrti harmonik)
U žičanim glazbenim instrumentima
zvuk nastaje titranjem napetih žica koje
su učvršćene na oba kraja.
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 26/48
Titranje napete žice učvršćene na jednom kraju:
m = 1 λ 1 = 4 L L
vv f
41
1 ==λ
m = 23
42
L=λ
1
2
2 3
3
4 f
L
vv f ===
λ
m = 3 543 L=λ 1
33 5
5
4 f L
vv
f === λ
Općenito, vrijedi: f m = (2m-1)·f 1
m – broj čvorova
L – duljina napete žice
U harmonici nastaje zvuk
titranjem jezičaca kojima
je jedan kraj slobodan.
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 27/48
Titranje napete žice slobodne na oba kraja:
m = 2 L L
==2
22λ 1
2
2 2
2
2 f
L
vv f ===
λ
m = 33
23
L=λ 1
3
3 3
3
2 f
L
vv f ===
λ
Općenito, vrijedi: f m = m·f 1m = 4
m – broj čvorova
L – duljina napete žice
m = 1 L21 =λ L
vv f
21
1 ==λ
Titranjem štapića kojima su krajevi
slobodni nastaje zvuk u ksilofonu.
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 28/48
Longitudinalni stojni val – zatvorena svirala
m = 1 λ 1 = 4 L L
vv f
41
1 ==λ
m = 2
3
42
L=λ 1
2
2 3
3
4 f
L
vv f ===
λ
m = 35
43
L=λ 1
3
3 5
5
4 f
L
vv f ===
λ
Općenito, vrijedi: f m = (2m-1)·f 1
L
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 29/48
m = 1 λ 1 = 2 L L
vv f 21
1 ==λ
m = 2 L L
==2
22λ
1
2
2 2
2
2 f
L
vv f ===
λ
m = 33
23
L=λ 1
3
3 3
3
2 f
L
vv f ===
λ
Općenito, vrijedi: f m = m·f 1
Longitudinalni stojni val – otvorena svirala
U orguljama zvuk
nastaje u sviralama.
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 30/48
Superpozicija valova
vektorski zbroj dvaju ili više valova u nekoj točkielastičnog sredstva kojim se valovi šire
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 31/48
Interferencija -uzajamno pojačavanje ili slabljenje dvaju ili više valovaI1 i I2 su izvori dva jednaka vala:
- jednakih amplituda- jednakih frekvencija (perioda)- jednakih valnih duljina
Konstruktivna interferencija:
Putna razlika jednaka cijelom broju valnih duljina!
∆ ⋅= k
∆ = putna razlika k = 1, 2, 3, …
I1
I2
I1 + I2
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 32/48
Destruktivna interferencija:
valovi se uzajamno poništavaju
2)12( ⋅−=∆ k
Putna razlika jednaka neparnom broju polovica valnih duljina!
I1
I2
I1 + I2
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 33/48
Zvučni valovi
Zvuk – pojava koju registrira ljudsko uho
Zvučni val – mehanički val kojeg registrira ljudsko uho
Akustika – dio fizike koji proučava zvučne pojave
Zvučni valovi su longitudinalni valovi – šire se kroz čvrsta tijela tekućine i plinove
Frekvencija zvučnih valova: od 16 Hz do 20 000 HzIspod 16 Hz – infrazvukIznad 20 000 – ultrazvuk
Izvor zvuka:Napeta žica titra (transverzalan val) i od nje se širi zvuk (longitudinalan val)
U vakuumu zvuk se ne širi – nema sredstva kojim bi se širio mehanički val
(primjer: ventilator budilica i zastava pod staklenim zvonom)
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 34/48
brzina širenja zvuka ovisi o elastičnom sredstvu:gustoća
temperatura …
Brzina zvuka u zraku:
273
10
t vv +=
v0 – (brzina pri 0º C) = 331 m/s
refleksija (odbijanje) zvučnih valova – isto kao svi mehanički longitudinalni valovi jeka - valovi se odbijaju od prepreke i vraćaju nazad
Ako su plohe parabolične:U crkvi Svetog Pavla u Londonu postoje dvaudaljena mjesta na kojima osobe mogu šapatomrazgovarati, a da okolina ništa ne čuje.
(tzv. Dionizijevo uho)
K d ( d ) bi i k đ d dbij j k
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 35/48
Jačina zvukaJačina zvuka – intenzitet zvučnog vala ili energija koju zvučni val prenese u jedinici vremena kroz jediničnu površinu koja je okomita na smjer širenja vala
A
==
2
m
W
A
P
A
t
W
I
površina sfere: 4r2π
- Koncertna dvorana (strop dvorane) mora biti tako građena da odbijanje zvukabude jednako dobro u prvim kao i zadnjim redovima.
- Odbijanjem zvučnih valova od morskog dna mjeri se dubina mora.
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 36/48
π 2111 4r
P
A
P I ==
π 2
22
24r
P
A
P I ==
2
1
2
2
1
2
2
2
1
==
r
r
r
r
I
I
Intenzitet zvuka obrnuto je razmjeran kvadratu udaljenosti.
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 37/48
Najveći intenzitet zvuka koji uho registrira kao bol: I = 10 Wm-2
I0
- prag čujnosti – najmanji intenzitet zvuka što ga uho može registrirati: 10-12 Wm-2
Omjer najjačeg i najslabijeg zvuka: 13
1210
10
10=
−
Iz praktičnih razloga se računa logaritmom omjera razina buke:
[ ]dBdecibel I
I L −=
0
log10
tablica razine buke:
130 dBosjet boli 120 dBavionski motor
90 dBkamion
70 dBautomobil
70 dBprometna ulica
50 dBgovor
20 dBšapat
0 dBprag čujnosti
Glasnoća – subjektivni osjećaj u našem uhu –ovisi o intenzitetu i frekvenciji zvuka
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 38/48
Zvučni udari – specijalni slučaj interferencije dvaju valova sličnih frekvencija
Rezonancija – titranje jednog tijela može se prenijeti na drugo tijelo uz uvjet da imaju jednaku vlastitu frekvenciju titranja
21 f f f u −=
Frekvencija udara (broj udara u sekundi) jednaka je razlicifrekvencija zvučnih valova koji interferiraju
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 39/48
Dopplerov efekt (učinak)
Smanjuje li se udaljenost između izvora zvuka i prijemnika, prijemnik (uho) čuje viši ton( više frekvencije) od onoga koji emitira izvor, a povećava li se udaljenost uho čuje niži ton.Ta se pojava zove Dopplerov efekt.
I i ij m ik ( m t č) mi j s b i m s dst v 0 v 0
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 40/48
vz – brzina zvuka
vi – brzina izvora = 0
vp – brzina promatrača = 0
Izvor i prijemnik (promatrač) miruju s obzirom na sredstvo vi = 0 vp = 0
λ λ
z p
zi
v f
v f ===
pi f f =
vp = 0vp = 0
vi = 0
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 41/48
Izvor miruje, a prijemnik (promatrač) se giba brzinom vp
vpvp
λ
p z
p
vv f
−=
i
z
f v=λ
z
p z
i
i
z
p z
pv
vv f
f
v
vv f
−=
−=
z
p z
i pv
vv f f
+=
z
p z
i pv
vv f f
−=
λ
p z
p
vv f
+=
z
p z
i
i
z
p z
pvvv f
f
vvv f +=+=
+ približavanje
- udaljavanje
z
p zi p
vvv f f ±=
vi=0
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 42/48
Izvor se giba brzinom vi , a prijemnik (promatrač) miruje, vp = 0
i
i z p
f
vv −=λ
i z
z
i
i
i z
z
p
z
pvv
v
f
f
vv
vv
f −=−== λ i z
zi
i
i z
z
p
z p
vv
v f
f vv
vv f
+
=
+
==
λ
i z
zi pvv
v f f
m=
- približavanje+ udaljavanje
i z
zi p
vvv f f −
=
i z
zi p
vvv f f +
=
vp = 0vp = 0
i
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 43/48
Sva tri promatrana slučaja možemo objediniti u jednu formulu:
i z
p zi pvv
vv f f
m
±
= vp je pozitivna kod približavanja, a negativna kod udaljavanjavi je negativna kod približavanja, a pozitivna kod udaljavanja
što ako je brzina izvora veća od brzine zvuka? ( vi> v
z)
Primjena Dopplerovog učinaka u
medicini:
mjerenje brzine strujanja krvi
Ultrazvučni valovi dolaze iz sonde i
odbijaju se od crvenih krvnih zrnaca.
Frekvencije upadnih i i odbijenih
valova se razlikuju. Kad odbijeni
valovi dođu do sonde interferirajus valovima koji izlaze iz sonde i
daju udare. Iz frekvencije udara i
frekvencije valova koje emitira sonda
saznaje se brzina strujanja krvi.
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 44/48
vi < vz dopplerov efektvi = vz zvučna barijera –proboj zvučnog zida
udarni valvi > vz
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 45/48
udarni val – Machov stožac
Ernst Mach (1838 – 1916)
Kad zrakoplov dosegne brzinu zvuka molekule zrakane mogu mu se dovoljnu brzo “ukloniti” s puta.One se zbijaju ispred kljuna zrakoplova i tu stvaraju
tanki sloj gustog zraka koji je pod vrlo velikim tlakom.Taj “gusti” val zraka širi se u obliku slova V i udara o tlo.
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 46/48
v
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 47/48
z
i
v
vMachov broj
ako je vi = vz : )(1 mah Ma
v
v
v
v
z
z
z
i==
primjer: vi = 2vz :
Mav
v
v
v
z
z
z
i 22
==
7/17/2019 Titranja i Valovipdf
http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 48/48
Recommended