View
63
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
Teorie elektromagnetického pole Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru. 1) 2) 3) 4) 5). - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
ETPR - ANSYS
1
c dt
dIdlH
c dt
dd lE
S
QdSD
S
d 0SB
S dt
dQdSJ
Teorie elektromagnetického pole-Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru
1)
2)
3)
4)
5)
ETPR - ANSYS
2
c t
IdlH
SHlH drotdc S
SJdIS
SDdS
SDSJSH dt
ddrotSSS
trot
DJH
trot
BE
Z MR v integrálním tvaru jsou pomocí Stokesovy a Gauss-Ostrogradského věty odvozeny tvary diferenciální. Ze Stokesovy věty plyne, že integrál daného vektoru po uzavřené křivce je roven plošnému integrálu z rotace uvažovaného vektoru. Z Gauss-Ostrogradského věty pak plyne, že plošný integrál daného vektoru přes uzavřenou plochu je roven objemovému integrálu z divergence daného vektoru.
Identicky pak odvození druhé MR v diferenciálním tvaru
ETPR - ANSYS
3
S
QdSD
S V
ddivd VDSD
VV
dQ
VVD VV
dddiv
Ddiv
0Bdiv tdiv
J
Z Gauss-Ostrogradského věty pak plyne, že plošný integrál daného vektoru přes uzavřenou plochu je roven objemovému integrálu z divergence daného vektoru.
Identicky pak 4. MR a “5. MR“
ETPR - ANSYS
4
trot
DJH
trot
BE
Ddiv
0Bdiv
tdiv
J
Teorie elektromagnetického pole-Maxwellovy rovnice v diferenciáním tvaru
1)
2)
3)
4)
5)
ETPR - ANSYS
5
rott
rot /
DJH
DJH rott
rotrotrot
)()( EEH rott
rotrotrot
EEH rott
rotrotrot
2
2
ttrotrot
BBH
2
2
ttrotrot
HHH
2
2
ttdivgrad
HHHH
00 HB divdiv
2
2
tt
HHH
02
2
ttHHH
0HHH 2 j0H)(H 2 j
j 22k
0HkH 2
Uvažujeme-li, že válcové či rovinné vlnění má harmonický průběh, je výhodné převést
vektory na fázory vektorů.
Odvození vlnových rovnic
ETPR - ANSYS
6
0
j2k
j2,1k
2
1k 2,1j
a1
2kRe
2
a
Pokud budeme uvažovat vodivé prostředí, můžeme člen s v rovnici zanedbat jelikož pro frekvence užívané při indukčních ohřevech platí
Následující rovnicí je definována hloubka vniku naindukovaných proudů.
Elektricky vodivé prostředí
ETPR - ANSYS
7
0
22k
1,2k
00
1
c
1
v
vf
v 2k
1
2k
vf
fv
V nevodivém prostředí přechází rovnice na následující tvar.
Rovnice definuje vztah platný pro rychlost světla ve vakuu.
Vztah definuje obecně rychlost šíření elektromagnetických vln v nevodivém prostředí
Vztah pak definuje vlnovou délku v závislosti na rychlosti a frekvenci emag. vlnění.
Elektricky nevodivé prostředí pak
ETPR - ANSYS
8
Odvození rovnic elektrodynamických potenciálů Při popisu elektromagnetického pole pomocí elektrodynamického (magnetického vektorového) potenciálu na hranici dvou oblastí (prostředí) platí.
Ntt Krotrot
22
11
21
11 AA
AA
v
r
70
0
104
HB
2
7
0
0
410
C
r
ED vv JEEEJ )(
Materiálové vztahy
ETPR - ANSYS
9
Ntt Krotrot
22
11
21
11 AA
AA
Určení podmínek na rozhraníObvykle celý počítaný model sestává z více oblastí s různými materiálovými vlastnostmi. Sousedí-li pak spolu dvě oblasti s odlišnými materiálovými vlastnostmi, nelze jejich hranice považovat za regulární body a neplatí na nich odvozené diferenciální rovnice. Pro takovéto hranice platí
ETPR - ANSYS
10
ETPR - ANSYS
11
ETPR - ANSYS
12
trot
BE
AB rot
trotrot
AE
0
t
rotrot AE
Odvození rovnic elektrodynamického potenciáluPři definici potenciálových veličin je výhodné vyjít ze čtvrté Maxwellovy rovnice. Tato rovnice konstatuje, že vektorové pole magnetické indukce je nezřídlové. Pro jeho popis použijeme vektorový potenciál A, který definuje následující vztah.
ETPR - ANSYS
13
0)(
t
rot AE
gradt
AE
tgrad
AE
ED ε
HB μ
0)()(
t
gradtt
gradrot AAH
Jelikož má výraz v závorce nulovou rotaci, lze ho vyjádřit jako gradient skalárního potenciálu .
00)(1
t
gradrotrot AA
vtrotrot JAA
1
Dále budu předpokládat, že ρ = 0 v celém prostoru a použiji Coulumbovu kalibrační podmínku divA=0, pak.
ETPR - ANSYS
14
vtdivgrad JAAA
)(
vtdivgrad JAA
)0(
vtJAA
Ačkoliv se uvedená rovnice nechá ještě dále upravit, při řešení s nelineární permeabilitou je nejvýhodnějšívycházet z naposledy uvedeného tvaru rovnice.Dále pak lze předchozí rovnici upravit.
ETPR - ANSYS
15
vtJAA
vJA
zvz J
xA
2
2
Zvláštní případy 1D polí jednoduše řešitelných analyticky1D stacionární pole v kartézském souřadném systému
Pro stacionární pole s konstantní permeabilitou platí
Pro kvazi-stacionární pole s konstantní permeabilitou platí
ETPR - ANSYS
16
0),(,0 rA fiA
rrArrr
rotrot fi )(1A
fifi JrrArrr
)(1
1D stacionární pole v cylindrickém souřadném systému pro osově symetrické uspořádání
)(,0,0 rAzA
)(1 rAr
rrr
rotrot zAzz JrA
rr
rr
)(1
1D stacionární pole v cylindrickém souřadném systému (válcový vodič)
ETPR - ANSYS
17
vvJw EEJJ
22
γγγw v
vJJ
EEE
t
AE
2
γtγw v
JJA
Spočteme-li rozložení vektoru A v prostoru a čase ve všech oblastech počítaného modelu, požadujeme obvykle u modelů indukčních ohřevů získat z těchto hodnot rozložení Jouleových ztrát. Ty získáme ze vzorce
Pro izotropní materiál můžeme psát
kde E získáme z výrazu
Dosazením dostaneme
Rozložení Jouleových ztrát
ETPR - ANSYS
18
tΓtΓ ,, ΓAA A…neznámá hodnota vektorového potenciáluA…zadaná hodnota vektorového potenciálu pro body hranice
Dirichletova podmínka určuje i derivaci vektorového potenciálu v kterémkoli směru tečném k hranici , a tím i normálovou složku rotace A, což je normálová složka magnetické indukce. Pomocí Dirichletovy podmínky lze tedy zadat požadovanou hodnotu Bn. Zadáme-li například A konstantní na určité části hranice, je Bn na této části nulové. Toho lze výhodně využít především u symetrických modelů, je-li hranice totožná se siločárou.
Určení okrajových podmínek
Dirichletova okrajová podmínka
Ta udává přímo požadovanou velikost počítané veličiny v každém bodě hranice .
ETPR - ANSYS
19
tΓftΓ ,, nA
f…požadovaná hodnota derivace dle vnější normály
Neumannova podmínka určuje velikost tečné složky vektoru B. Položíme-li Neumannovu podmínku rovnou nule, bude mít vektor B(,t) směr normály k hranici. Toho lze opět s výhodou využít při zadávání symetrie, např. víme-li, že siločáry budou hranicí procházet v kolmém směru.
Neumanova okrajová podmínka
Ta zadává derivaci A podle vnější normály hranice.
ETPR - ANSYS
20
ΩtΩ 00, AA
ΩtΩt 00, FA
Uvažujeme-li nestacionární pole je také nutné zadat počáteční rychlost změny A.
I tato podmínka se ob vykle zadává nulová.
Počáteční podmínka
Řešíme-li rovnice kvazistacionárního či nestacionárního pole je nutné zadat hodnoty A v řešeném modelu v počátečním čase. Obvykle je tato počáteční podmínka uvažována jako homogenní a nulová.
ETPR - ANSYS
tΓtΓ ,, ΓAA
44 TTεcTTTλ extgass
n
tftTλ ,, 0
n
ETPR - ANSYS
22
Magnetické vlastnosti " Steel 16537 "
B [ T ] H [ A / m ] μ [ H / m ] μr [ - ]0 0 - -
1,06 1 000 1,06E-03 843,51,59 2 500 6,36E-04 506,11,74 5 000 3,48E-04 276,91,85 10 000 1,85E-04 147,21,92 15 000 1,28E-04 101,91,97 20 000 9,85E-05 78,42,04 40 000 5,10E-05 40,62,09 60 000 3,48E-05 27,72,12 80 000 2,65E-05 21,12,15 100 000 2,15E-05 17,1
Ukázka vstupních dat relativní permeability pokud to okolnosti vyžadují. V případě obzvláště vysokých nároků na výpočet je možné definovat příslušné závislosti pro každou
teplotu zvlášť (tzv. teplotně závislé BH křivky).
ETPR - ANSYS
Aproximace průběhu relativní permeability
1) Nahrazení ¼ kružnice či elipspy
2) Nahrazení po-částech lineárním průběhem
3) Z ohledem na rozsah teplot volit lineární průběh funkce popisující požadovanou závislost.
23
.11, 20 rr H
ETPR - ANSYS
Aproximace průběhu relativní permeability
4) Nahrazení polynomem
24
ETPR - ANSYS
25
k
vkklk q
kq
lw
dtdp
dtdh
11
dtdp
dtdh
1
lwklk
kqk
1
vq
Odvození Fourier-Kirchhoffovy rovnice (speciální případ energetické rovnice)
Při odvození budeme vycházet z Energetické rovnice. V tomto případně je výhodné použít Einsteinovu sumarizační konvekci a pro operátor derivování podle k-té souřadnice bude použit symbol
.
člen popisující rychlost výměny energie
člen popisující disipaci, přeměnu kinetická energie na teplo
člen popisující difuzi, odvod nebo přívod tepla povrchem do okolí
popisuje produkci, tedy teplo, které se vyvine na úkor jiného druhu energie
ETPR - ANSYS
26
0lkTch p
.konstcp
0. pdkonstp
0kw
p
vkp c
qkq
dtdTc 1/1
TgradtT
dtdTvektorově
kTw
tT
dtdT
k
w,
Odvození Fourier-Kirchhoffovy rovnice provedeme za následujících předpokladů a zjednodušujících podmínek: budeme se pohybovat v pevném skupenství látek, proto nemusíme uvažovat viskozitu, budeme uvažovat konstantní tlak, konstantní měrnou tepelnou kapacitu a ohřívané součásti se nebudou pohybovat.
ETPR - ANSYS
27
p
v
pk c
qkT
kckTw
tT
1
.konst
p
v
p cq
kT
kctT
pca
p
v
cq
kT
ka
tT
p
j
cw
kTa
tT
2
2
jp wTgraddivtTc
Při uvažování konstantní tepelné vodivosti , pak můžeme provést další zjednodušení.
qv = wj při indukčních ohřevech tento člen zohledňuje Jouleovy ztráty
ETPR - ANSYS
28
qT
λT
λ
TT
nn2
21
1
21
0nT
nn
n
22
11
121
1
Tλ
Tλ
TTαT
λ
1. Podmínky na rozhraníPodmínky na dokonale tepelně vodivém rozhraní dvou materiálů s různými materiálovými parametry vyjadřují, že teploty
na obou stranách rozhraní jsou stejné a že rozdíl toků energie k rozhraní a od rozhraní je roven plošné hustotě energie vznikající na rozhraní za jednotku času.
n…jednotkový normálový vektor mající směr do prostředí 2q…plošná hustota energie, která vznikne na rozhraní za jednotku času
[Wm-2]
Na ose symetrie platí
Má-li rozhraní konečnou vodivost a nevzniká na něm tepelná energie, pak pro toto rozhraní platí podmínky
…součinitel přestupu tepla prouděním [Wm-
2K-1]
1.Okrajové podmínky1. Dirichletova okrajová podmínka
Tato podmínka se používá tam, kde předem známe hodnotu teploty na hranici .Její tvar
ETPR - ANSYS
29
tTtT ,,
tftTλ ,, 0
n
TTαTλ gass n
T
Neumannova okrajová podmínka je vyjádřena následující rovnicí
Neumannova podmínka se používá všude tam, kde předem známe velikost toku energie přes hranici . Velice často se tato podmínka zadává na osách symetrie, na kterých je nulový tok přes hranici.
1.Newtonova okrajová podmínka její tvar ukazuje následující rovnice
Tato podmínka se používá k modelování konvekce. Používá se tedy na rozhraních pevné fáze s kapalinou či plynem.Součinitel přestupu tepla
je funkcí geometrie a vlastností povrchu pevného tělesa a vlastností kapaliny, tj. především viskozity, rychlosti a způsobu proudění a samozřejmě tepelných vlastností kapaliny. V matematických modelech je často nutno respektovat teplotní závislost .U indukčních ohřevů bývá přestup tepla prouděním (závisí na rozdílu prvých mocnin teploty) často významný při nižších teplotách, při vyšších převládá přestup tepla sáláním (závisí na rozdílu čtvrtých mocnin teploty). Uvedené neplatí obecně, při posouzení jednotlivých případů velmi závisí na charakteristickém rozměru pro sdílení tepla.
ETPR - ANSYS
30
44 TTεcTλ ext n
44 TTεcTTTλ extgass n
Okrajové podmínky IV. druhuJako okrajové podmínky IV. druhu se obvykle označují podmínky respektující přestup tepla radiací. Ze Stefan-Boltzmannova zákona plyne, že tepelný tok odvedený radiací je úměrný rozdílu čtvrtých mocnin teplot na povrchu tělesa a okolí a konstantě radiačních ztrát je zahrnut vliv geometrie tělesa a vlastností povrchu. Například lesklý kov bude vyzařovat do okolí méně energie, než nelesklý materiál. Konstanta se obvykle vyjadřuje jako součin emisivity a Stefan-Boltzmannovy konstanty. Okrajová podmínka pak má tvar
c… Stefan-Boltzmannova konstanta c =5,6697.10-8 Wm-2K-4
… emisivita [-]Text… teplota okolních plochTgass… teplota uvažované tekutiny (nejčastěji teplota okolního vzduchu)
Přestup tepla radiací je rozhodující při vyšších teplotách.U indukčních ohřevů, jako jsou ohřevy pro kalení, ohříváme těleso z nízkých na relativně vysoké teploty. Proto je velmi častozapotřebí respektovat přestup tepla jak konvekcí, tak radiací. Okrajová podmínka má pak tvar
Smíšená okrajová podmínka
ETPR - ANSYS
Respektování konvekce a sálání
31
44 TTεcTTTλ extgass n
Obdobně jako u respektování materiálových parametrů je možné definovat v závislosti na změně různých parametrů (nejčastěji teploty povrchu) i součinitel přestupu tepla prouděním a stupeň černosti.V případě složitějších modelů z hlediska proudění (např. při turbulentním proudění) je pak vhodnější řešit pomocí CFD analýzy, kdy se vyhneme nutnosti zadávat součinitel přestupu tepla prouděním, jehož obecné určení je velice obtížné jelikož závisí na příliš mnoha parametrech. Nejčastěji se proto vychází ze zkušenosti a tabulek pro různé způsoby ohřevů.
ETPR - ANSYS
32
Počáteční podmínkaU nestacionárního teplotního pole je nutné zadat počáteční
podmínku
00, TtT
T0... počáteční rozložení teploty v oblasti .
Ohříváme-li těleso z ustálené teploty, zadáváme tuto podmínku obvykle homogenní a rovnou teplotě okolí. Mnohdy však je tato podmínka nehomogenní a daná rozložením teploty na konci předcházejícího technologického procesu.
ETPR - ANSYS
33
4.3 Termoelastické pole4.3.1 Teorie pružnosti, základní pojmy a zákonyElastická deformace je taková deformace tělesa, kdy se tvar tělesa po odstranění působenívnějších sil vrátí do původního stavu (do stavu, ve kterém se nacházelo před působenímvnějších sil na těleso).Plastická deformace (trvalá deformace) je taková deformace, kdy se tvar tělesa po odstraněnípůsobení vnějších sil nevrátí do původního stavu (do stavu, ve kterém se nacházelopřed působením vnějších sil).Deformace (prodloužení) je bezrozměrný parametr popisující deformaci tělesa. Působí-lina těleso vnější síla (tah, tlak), pak toto těleso změní svůj tvar. Toto je možno vyjádřit jakopodíl změny polohy bodu umístěného do rohu elementu při působení vnějších sil a původnídélky elementu:
ε ≡ dl/l
dl… délka, o kterou se těleso prodloužíl… původní délka tělesaε… vektor deformace
ETPR - ANSYS
34
NapětíPro pevná tělesa je napětí vyjádřeno silou působící na plochu tělesa:
=F/S
F… síla působící na tělesoS… plocha tělesa, na kterou síla působí
Hookeův zákon,zákon vyjadřující vztah mezi napětím a jím způsobenou deformací
[napětí]=E[deformace]
E … modul pružnosti v tahu neboli Youngův modul. Modul pružnosti závisí již pouze na vlastnostech materiálu tělesa, a nikoli na jeho rozměrech. Modul pružnosti je závislý na teplotě - s rostoucí teplotou klesá.
Dosazením do definicí pro napětí a deformaci můžeme napsat:
F/S=E dl/l
ETPR - ANSYS
35
Hookův zákon je platný pro elastické materiály.Modul pružnosti ve smyku - značený jako μ se nazývá též tuhost, daná vztahem:
µ=E/(2(1+v))
v … Poissonovo čísloE… Youngův modul pružnostiPoissonovo číslo ν vyjadřuje poměr příčné a podélné deformace elastického tělesa. Je možno ho vyjádřit vztahem:
v=E11/22
E… Youngův modul pružnostiε11… deformace tělesa v příčném směruσ22… napětí působící na těleso v podélném směruPoissonovo číslo lze též vyjádřit použitím Lamého konstant λ a μ:
v= λ/(2(λ+μ))=λ/(2K- λ))=(3K-2 μ)/(2(3K+μ))
K… Lamého konstanta „bulk modul“
ETPR - ANSYS
36
Mez pružnostiVětšina hmotných těles, na které působí vnější síly do určité meze, se po odstranění vnějšísíly vrátí do původního stavu (tvaru). Velikost této meze je závislá na druhu materiálu, zekterého je těleso zhotoveno. Tato mez se nazývá mezí pružnosti (mezí kluzu, yield point).Po překročení meze pružnosti dochází k plastické deformaci materiálu, při které vznikajítrvalé změny v atomové nebo molekulové struktuře materiálu.
Tahový diagram
ETPR - ANSYS
37
Deformační pole při indukčním ohřevu je popsáno Lamého diferenciální rovnicí
(λ+μ)grad(div u)+μΔu-(3λ+2μ)αT gradT+f=0
λ … Lamého konstantaμ … Lamého konstantau... vektor posuvůf... vektor vnitřní objemové síly
Potřebné materiálové parametry, při tepelné deformaci (indukční ohřev):… Teplotní roztažnost [K-1]E… Youngův modul pružnosti [Pa]v… Poissonovo číslo [-]
Okrajová podmínkau = f(t,x,y,z), např.: u(y=0) = 0
ETPR - ANSYS
Počítačové modelování (simulace) 2D a 3D sdružených úlohCo je počítačová (PC) simulace?
pomocí PC a specializovaného programu řešení fyzikální úlohyV čem spočívá PC simulace?
ve vytvoření virtuálního modelu řešeného problému, jeho diskretizaci a za použití některé numerické metody (nejč. MKP) provést výpočet
Alternativy k PC simulaci?analytický výpočet, experiment
Kdy použít PC simulaci?pokud nelze analyticky dosáhnout dostatečně přesného výsledku
(především pokud je model příliš složitý)náklady na experimentální výzkum jsou příliš vysoké
Kdy zvolit 2D či 3D simulaci?2D je-li skutečná geometrie nějakým způsobem symetrická či velmi
jednoduchá3D pokud je model příliš složitý
ETPR - ANSYS
Počítačové modelování (simulace) 2D a 3D sdružených úlohCo je sdružená úloha?
o sdruženou úlohu jde, pokud je při výpočtu řešeno více fyzikálních políTypy sdružených úloh?
slabě, kvazi (po částech) a silně sdružená, výběr záleží na tom, jak se pole vzájemně ovlivňují během fyzikálního děje Výhody?
názorná prezentace rozložení fyzikálních polí při řešení různých fyzikálních úkolůNevýhody?
jelikož jsou PC simulace založené na numerických metodách bude výsledek obsahovat numerickou chybu
pokud nebude model správně nadefinován získáme naprosto nesprávný výsledek
ETPR - ANSYS
Postup řešení indukčního ohřevu v numerickém programu (RillFEM)
1) Volba řešeného problému (typ úlohy, frekvence a časový krok)2) Zadání geometrie a okrajových podmínek3) Volba materiálů4) Přiřazení materiálů oblastem (geometrii) a zadání počátečních
podmínek5) Řešení6) Zobrazování vypočtených veličin (rozložení jednotlivých polí)
Dirichletova okrajová podmínka pro elektromag. poleudává přímo požadovanou velikost počáteční velikostv každém bodě hranice
tΓtΓ ,, ΓAA
Okrajová podmínka pro teplotní poleurčuje proudění na okrajích obruče
TTαTλ gass n
Počáteční podmínka pro teplotní poleurčuje počáteční teplotu v modelu
)(),,( start zrzr ,0t TT
0)( zSHu
Okrajová podmínka pro termoelastické poleurčuje počáteční teplotu v modelu
Počáteční podmínka pro elektromagnetické polevložení proudu do oblasti Ω3
ETPR - ANSYS
Volba stupně sdruženosti:- za jakým účelem je modelování prováděno- jaké materiály budou použity a jakým způsobem budou měnit jejich
materiálové vlastnosti - v jakém rozmezí teplot budu provádět modelování
V podstatě při jakémkoliv typu sdruženého problému je možné respektovat všechny jeho aspekty (volba stupně sdruženosti, volba materiálových parametrů, velikost elementu, okrajové podmínky, časový krok teplotního pole, apod.), ovšem čím komplikovanější model bude (preciznější z fyzikálního hlediska) k tím větší chybě z důvodu numerického řešení může dojít, nehledě na nároky na použitý HW a SW a výpočetní čas, což významně ovlivňuje finanční náročnost řešení.Proto je nutné volit co nejjednodušší způsob řešení, ovšem tak aby byla zachována dostatečná přesnost. Nejlepší kontrolou spolehlivosti získaných dat je jejich verifikace na reálném modelu. U modelů, kde to možné není se mi velmi osvědčilo posouzení z hlediska přenášeného výkonu do vsázky.
42
Algoritmus řešení
Po částech sdružený elektromagneticko-teplotní problém
ETPR - ANSYS
Model kvazi-sdruženého problému
ELEKT ROM AGNETICKÝPRO BLÉM
(r,¦B ¦,T )
TEPLO TNÍPRO BLÉM
(r,T )
(r,T ),(r,T ), c(r,T )
Ib(r)w Js(r)B (r)
Hraniční podm ínky
T (r,t) TERMO ELASTICKÝPROBLÉM
E (r,)
grad T (r,t)
(r,t)
F (r)
Ano
u (r,t)
T(r,T ),n(r,T ), E (r,T )max T ł
Tm axEAno
max T łTm axT
Ano
max T łTm axP
Ano
max u łum ax
44
Recommended