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Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 1
Giochi statici (o a mosse simultanee) ad informazione incompleta
Introduzione ai Giochi Bayesiani statici
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 2
Sintesi dei giochi statici ad informazione incompleta Introduzione ai giochi statici ad informazione
incompleta Rappresentazione in forma Normale (o forma
strategica) dei giochi Bayesiani statici Equilibrio di Nash Bayesiano Aste
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 3
Giochi statici ad informazione COMPLETA Un insieme di giocatori (almeno due) Per ogni giocatore, un insieme di strategie Payoffs ricevuti da ogni giocatore a
seconda della combinazione di strategie giocate.
I tre elementi citati sono conoscenza comune fra tutti i giocatori.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 4
Giochi statici ad informazione INCOMPLETA I Payoffs non sono più conoscenza comune
Informazione incompleta significa che Almeno un giocatore è incerto sulla
funzione di payoff di qualche altro giocatore.
I giochi statici ad informazione incompleta sono anche chiamati giochi statici Bayesiani
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 5
Dilemma del prigioniero ad informazione completa Due sospetti detenuti in celle separate sono accusati di un brutto
crimine. Non ci sono però prove schiaccianti. Ad entrambi i sospetti sono elencate le condizioni della loro prigionia:
Se nessuno dei due confessa sarrano accusati di un crimine minore e faranno un mese di carcere.
Se entrambi confessano saranno accusati del crimine e faranno sei mesi di carcere.
Se uno confessa (accusando l’altro) e l’altro nega,chi confessa va fuori libero e l’accusato farà 9 mesi di carcere.
Prig. 2
Nega Confessa
Prig. 1Nega -1 , -1 -9 , 0
Confessa 0 , -9 -6 , -6
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 6
Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta Il Prigioniero 1 è sempre razionale (egoista). Il prigioniero 2 può essere razionale (egoista) o altruista, a
seconda del fatto che sia felice oppure triste. Se è altruista allora preferisce negare e pensa che confessare
(accusando l’altro) è equivalente (in termini morali, di coscienza) a fare “quattro mesi di carcere in più”.
Il prigioniero 1 non sa sicuramente se il prigioniero 2 è razionale o altruista, ma lui crede che il prigioniero 2 è razionale con probabilità 0.8, e altruista con probabilità 0.2.
Payoffs se il prigioniero 2 è altruista
Prig. 2
Nega Confessa
Prig. 1Nega -1 , -1 -9 , -4
Confessa 0 , -9 -6 , -10
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 7
Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta Data la convinzione (beliefs) del prigioniero 1 sul prigioniero 2,
quale strategia dovrebbe scegliere il prigioniero 1? Quale strategia deve scegliere il prigioniero 2 nel caso in cui sia
razionale o altruista?
Payoffs se il prig. 2 è razionale
Prig. 2
Nega Confessa
Prig. 1Nega -1 , -1 -9 , 0
Confessa 0 , -9 -6 , -6Payoffs se il prig. 2 è altruista
Prig. 2
Nega Confessa
Prig. 1Nega -1 , -1 -9 , -4
Confessa 0 , -9 -6 , -10
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 8
Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta Soluzione:
Il Prigioniero 1 sceglie di confessare, data la sua convinzione sul prigioniero 2
Il Prigioniero 2 sceglie di confessare se è razionale, e di negare se è altruista
Questo può essere scritto come (Confessa, (Confessa se razionale, Nega se altruista))
Confessa è la risposta ottima del prig. 1 alla scelta del prigioniero 2 (Confessa se razionale, Nega se altruista).
(Confessa se razionale, Nega se altruista) è la risposta ottima del prig. 2 alla scelta del prigioniero 1 Confessa
Questo è un Equilibrio di Nash chiamato Equilibrio di Nash Bayesiano (BNE)
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 9
Duopolio di Cournot ad informazione completa La rappresentazione in forma normale :
Insieme dei giocatori: { Firm 1, Firm 2} Insieme delle strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞)
Funzione dei payoff: u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c), u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c)
Tutte queste informazioni sono conoscenza comune
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 10
Duopolio di Cournot ad informazione incompleta Un prodotto omogeneo è realizzato solo da
due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità da esse prodotte sono indicate con q1 e q2.
Le quantità vengono scelte simultaneamente. Il prezzo di mkt. : P(Q)=a-Q, dove a è una
costante e Q=q1+q2. La funzione dei costi dell’impresa 1:
C1(q1)=cq1. Tutto questo è conoscenza comune
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 11
Duopolio di Cournot ad informazione incompleta I costi marginali dell’impresa 2 dipendono da alcuni fattori (i.e. la
tecnologia) che sono noti solo all’impresa 2. Il suo costo marginale potrebbe essere: ALTO (H): funzione dei costi: C2(q2)=cHq2. Basso (L): funzione dei costi : C2(q2)=cLq2.
Prima di produrre, l’impresa 2 può osservare il suo fattore specifico e sapere esattamente quale sarà il suo livello di costi marginali.
Invece, l’impresa 1 non può sapere quale sarà il livello dei costi marginali dell’impresa 2. Quindi, sarà anche “incerto” su quello che sarà il livello dei payoff.
L’impresa 1 crede (beliefs) che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà: C2(q2)=cHq2 con probabilità , e C2(q2)=cLq2 con probabilità 1–.
Queste cose sono conoscenza comune
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 12
Duopolio di Cournot ad informazione incompleta
Una soluzione per il modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta.
L’impresa 2 sa esattamente se il suo costo marginale è alto o basso.
Se il suo c.m. è basso, i.e. 222 )( qcqC H , allora, per ogni dato 1q , risolverà il seguente problema:
0 ..
])([
2
212
qts
cqqaqMax H
FOC: )(21
)( 02 1221 HHH cqacqcqqa
)(2 Hcq è la risposta ottima dell’impresa 2 a 1q , se il suo costo marginale è alto.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 13
Duopolio di Cournot ad informazione incompleta
Se il suo c.m.è basso, i.e. 222 )( qcqC L , allora, per ogni dato 1q , risolverà il seguente problema
0 ..
])([
2
212
qts
cqqaqMax L
FOC: )(21
)( 02 1221 LLL cqacqcqqa
)(2 Lcq è la risposta ottima dell’impresa 2 a 1q , se il suo costo marginale è basso.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 14
Duopolio di Cournot ad informazione incompleta
L’impresa 1 conosce esattamente la propria funzione dei costi
111 )( cqqC . L’impresa 1 non sa se il c.m. dell’impresa 2 è alto o basso. Ma crede che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà
222 )( qcqC H con probabilità , e 222 )( qcqC L con probabilità 1
Equivalentemente, sa che la probabilità che la quantità dell’impresa 2 sia )(2 Hcq è , la probabilità che la quantità
dell’impresa 2 sia )(2 Lcq è 1 . Quindi risolverà il seguente problema:
0 ..
]))(([)1(
]))(([
1
211
211
qts
ccqqaq
ccqqaqMax
L
H
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 15
Duopolio di Cournot ad informazione incompleta
Il problema dell’impresa 1 è:
0 ..
]))(([)1(
]))(([
1
211
211
qts
ccqqaq
ccqqaqMax
L
H
FOC:
0])(2[)1(])(2[ 2121 ccqqaccqqa LH
Quindi, 2
])([)1(])([ 221
ccqaccqaq LH
1q è la risposta ottima dell’impresa 1alla convinzione che l’impresa 2 scelga )(2 Hcq con probabilità , e )(2 Lcq con probabilità 1
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 16
Duopolio di Cournot ad informazione incompleta
Adesso abbiamo
)(21
)( 12 HH cqacq
)(21
)( 12 LL cqacq
2])([)1(])([ 22
1ccqaccqa
q LH
Tre equazioni e tre incognite. Risolvere il sistema ci conduce a :
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 17
Duopolio di Cournot ad informazione incompleta
)(6
1)2(
31
)(*2 LHHH ccccacq
)(6
)2(31
)(*2 LHLL ccccacq
3)1(2*
1LH ccca
q
L’impresa 1 sceglie *1q
L’impresa 2 sceglie )(*2 Hcq se il suo c.m. è alto, o )(*
2 Lcq se il suo c.m. è basso.
Questo può essere scritto come ( *1q , ( )(*
2 Hcq , )(*2 Lcq ))
Le quantità di riferimento sono risposte ottime reciproche
Questa soluzione è chiamata Equilibrium di Nash Bayesiano.
Dipende dai “TIPI” e quindi avremo una strategia ottima per ogni tipo
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 18
Riassunto
Definizione di gioco statico ad informazione incompleta
Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta
Prossimo argomento Altri esempi Equilibrio di Nash Bayesiano
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 19
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Un prodotto omogeneo è realizzato solo da
due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità relative sono rispettivamente q1 e q2.
Le imprese scelgono le quantità simultaneamente.
Il prezzo di mercato è: P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q1+q2.
Queste caratteristiche del gioco sono di conoscenza comune
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 20
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) I costi marginali dell’impresa 2 dipendono da alcuni fattori (i.e. la
tecnologia) che sono noti solo all’impresa 2. Il suo costo marginale potrebbe essere: ALTO (H): funzione dei costi: C2(q2)=cHq2. Basso (L): funzione dei costi : C2(q2)=cLq2.
Prima di produrre, l’impresa 2 può osservare il suo fattore specifico e sapere esattamente quale sarà il suo livello di costi marginali.
Invece, l’impresa 1 non può sapere quale sarà il livello dei costi marginali dell’impresa 2. Quindi, sarà anche “incerto” su quello che sarà il livello dei payoff.
L’impresa 1 crede (beliefs) che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà: C2(q2)=cHq2 con probabilità , e C2(q2)=cLq2 con probabilità 1–.
Queste cose sono conoscenza comune
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 21
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Anche i costi marginali dell’impresa 1 dipendono da alcuni fattori
indipendenti da quelli dell’impresa 2 che solo l’impresa 1 conosce. Il suo costo marginale può quindi essere Alto (H): funzione dei costi: C1(q1)=cHq1. Basso (L): funzione dei costi: C1(q1)=cLq1.
Prima di produrre, l’impresa 1 può osservare questi fattori e conoscere esattamente il livello del proprio costo marginale.
Invece, l’impresa 2 non conosce esattamente i costi dell’impresa 1. Quindi, è anche incerta sui payoff dell’impresa1.
L’impresa 2 crede che la funzione dei costi dell’impresa 1 sarà C1(q1)=cHq1 con probabilità , e C1(q1)=cLq1 con probabilità 1–.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 22
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due)
Prima di produrre, l’impresa 1 conosce esattamente il suo livello di costi marginali.
Prima di produrre, l’impresa 1 NON conosce esattamente il livello di costi marginali dell’impresa 2.
Ma “crede” che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà:
222 )( qcqC H (e quindi l’impresa 2 sceglierà )(2 Hcq ) con probabilità .
222 )( qcqC L (e quindi l’impresa 2 sceglierà )(2 Lcq ) con probabilità 1 .
Adesso risolviamo il problema dell’impresa 1, dati si suoi “belief” sull’impresa 2.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 23
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due)
L’impresa 1 sa esattamente se il suo c.m. è alto o basso.
Se il suo c.m. è ALTO (H), i.e. 111 )( qcqC H , allora, dati I suoi “belief” sull’impresa 2, risolverà il seguente problema:
0 ..
]))(([)1( ]))(([
1
211211
qts
ccqqaqccqqaqMax HLHH
FOC: 0])(2[)1(])(2[ 2121 HLHH ccqqaccqqa
Quindi, 2
])([)1(])([)( 22
1HLHH
Hccqaccqa
cq
)(1 Hcq è la risposta ottima dell’impresa 1 supponendo che (beliefs) l’impresa 2 sceglierà )(2 Hcq con probabilità , e )(2 Lcq con probabilità 1 , se il costo marginale dell’impresa 1 è ALTO.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 24
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due)
L’impresa 1 sa esattamente se il suo c.m. è alto o basso.
Se il suo c.m. è BASSO (L), i.e. 111 )( qcqC L , allora, dati I suoi “belief” sull’impresa 2, risolverà il seguente problema:
0 ..
]))(([)1( ]))(([
1
211211
qts
ccqqaqccqqaqMax LLLH
FOC: 0])(2[)1(])(2[ 2121 LLLH ccqqaccqqa
Quindi, 2
])([)1(])([)( 22
1LLLH
Lccqaccqa
cq
)(1 Lcq è la risposta ottima dell’impresa 1 alla supposizione (beliefs) che l’impresa 2 scelga )(2 Hcq con probabilità , e )(2 Lcq con probabilità 1 , se il costo marginale dell’impresa 1 è BASSO (L).
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 25
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due)
Prima di produrre, l’impresa 2 conosce esattamente il suo livello di costi marginali.
Prima di produrre, l’impresa 2 NON conosce esattamente il livello di costi marginali dell’impresa 1.
Ma “crede” che la funzione dei costi dell’impresa 1 sarà:
111 )( qcqC H (nel qual caso l’impresa 1 sceglierà )(1 Hcq ) con probabilità .
111 )( qcqC L (nel qual caso l’impresa 1 sceglierà )(1 Lcq ) con probabilità 1 .
Risolviamo adesso il problema dell’impresa 2 data le sue “credenze” sull’impresa 1.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 26
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due)L’impresa 2 sà esattamente se il suo c.m. è alto o basso.
Se il suo c.m. è ALTO (H), i.e. 222 )( qcqC H , allora, date le sue credenze sull’impresa 1, risolverà il seguente problema
0 ..
]))(([)1( ]))(([
2
212212
qts
cqcqaqcqcqaqMax HLHH
FOC: 0]2)([)1(]2)([ 2121 HLHH cqcqacqcqa
Quindi, 2
])([)1(])([)( 11
2HLHH
Hccqaccqa
cq
)(2 Hcq è la risposta ottima dell’impresa 2 basata sulla supposizione che l’impresa 1 scelga )(1 Hcq con probabilità , e )(1 Lcq con probabilità 1 , se il costo marginale dell’impresa 2 è ALTO (H).
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 27
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due)
L’impresa 2 sa esattamente se il suo c.m. è alto o basso Se il suo c.m. è BASSO (L), i.e. 222 )( qcqC L , allora, date le sue
credenze sull’impresa 1, risolverà il seguente problema:
0 ..
]))(([)1( ]))(([
2
212212
qts
cqcqaqcqcqaqMax LLLH
FOC: 0]2)([)1(]2)([ 2121 LLLH cqcqacqcqa
Quindi, 2
])([)1(])([)( 11
2LLLH
Lccqaccqa
cq
)(2 Lcq è la risposta ottima dell’impresa 2 alla supposizione che l’impresa 1 scelga )(1 Hcq con probabilità , e )(1 Lcq con probabilità
1 , se il costo marginale dell’impresa 2 è BASSO (L).
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 28
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Adesso abbiamo
2
])([)1(])([)( 22
1HLHH
Hccqaccqa
cq
2
])([)1(])([)( 22
1LLLH
Lccqaccqa
cq
2
])([)1(])([)( 11
2HLHH
Hccqaccqa
cq
2
])([)1(])([)( 11
2LLLH
Lccqaccqa
cq
Questo è un modello simmetrico. Quindi )()( 21 HH cqcq e )()( 21 LL cqcq . Risolvere questo sistema a 4 incognite e 4 equazione ci dà.
)(6
1)(
31
)()( *2
*1 LHHHH cccacqcq
)(6
)(3
1)()( *
2*1 LHLLL cccacqcq
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 29
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due)
Ciò può essere scritto come (( )(*1 Hcq , )(*
1 Lcq ), ( )(*2 Hcq , )(*
2 Lcq ))
Se il c.m. dell’impresa 1 è Alto allora sceglierà )(*1 Hcq come risposta ottima alle quantità
dell’impresa 2 ( )(*2 Hcq , )(*
2 Lcq ).
Se il c.m. dell’impresa 1 è Basso allora sceglierà )(*1 Lcq come risposta ottima alle quantità
dell’impresa 2 ( )(*2 Hcq , )(*
2 Lcq ).
Se il c.m. dell’impresa 2 è Alto allora sceglierà )(*2 Hcq come risposta ottima alle quantità
dell’impresa 1 ( )(*1 Hcq , )(*
1 Lcq ).
Se il c.m. dell’impresa 2 è Basso allora sceglierà )(*2 Lcq come risposta ottima alle quantità
dell’impresa 1 ( )(*1 Hcq , )(*
1 Lcq )
Questo è un equilibrio di Nash chiamato Equilibrio di Nash Bayesiano.
Dipende dai “TIPI” e quindi avremo una strategia ottima per ogni tipo
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 30
Battaglia dei sessi
In posti separati, Chris e Pat devono scegliere cosa fare la sera (opera o combattimento).
Entrambi conoscono quanto segue: Preferiscono passare la serata insieme. Chris preferisce l’opera. Pat preferisce il combattimento.
Pat
Opera Prize Fight
ChrisOpera 2 , 1 0 , 0
Prize Fight 0 , 0 1 , 2
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 31
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) Adesso le preferenze di Pat dipendono dal fatto che sia o
meno felice. Se è felice allora le sue preferenze saranno le stesse. Se è infelice allora preferisce starsene da solo e le sue
preferenze sono quelle del gioco sottorappresentato. Chris non può sapere se Pat è felice o meno. Ma Chris
“believes” che Pat sia felice con probabilità 0.5 e infelice con probabilità 0.5
Payoffs se Pat è infelice Pat
Opera Prize Fight
ChrisOpera 2 , 0 0 , 2
Prize Fight 0 , 1 1 , 0
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 32
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) Come trovare una soluzione ? Due “tipi” di Pat: felice e infelice
Payoffs se Pat è infelice con probabilità 0.5
Pat
Opera Prize Fight
ChrisOpera 2 , 0 0 , 2
Prize Fight 0 , 1 1 , 0
Payoffs se Pat è felice con probabilità 0.5
Pat
Opera Prize Fight
ChrisOpera 2 , 1 0 , 0
Prize Fight 0 , 0 1 , 2
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 33
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) Risposta ottima
Se Chris sceglie opera allora la risposta di Pat sarà: opera se è felice, e prize fight se è infelice
Supponiamo che Pat scelga opera se è felice, e prize fight se è infelice. Quale sarà la risposta ottima di Chris?
Se Chris sceglie opera allora otterrà un payoff di 2 se Pat è felice, o 0 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà allora di 20.5+ 00.5=1
Se Chris sceglie prize fight allora lei otterà 0 se Pat è felice, o 1 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà di 00.5+ 10.5=0.5
Dato che 1>0.5, la risposta ottima di Chris sarà opera Un BNE: (opera, (opera se felice e prize fight se
infelice))
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 34
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) Risposta ottima
Se Chris sceglie prize fight allora la risposta ottima di Pat sarà: prize fight se felice, e opera se infelice
Supponiamo che Pat scelga prize fight se è felice, e opera se è infelice. Quale sarà la strategia ottima di Chris?
Se Chris sceglie opera allora otterrà un payoff di 0 se Pat è felice, o 2 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà quindi di 00.5+ 20.5=1
Se Chris sceglie prize fight allora otterrà un payoff di 1 se Pat è felice, o di 0 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà di 10.5+ 00.5=0.5
Dato che 1>0.5, la risposta ottima di Chris sarà opera (prize fight, (prize fight se felice e opera se infelice)) NON è
un BNE.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 35
Riassunto
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due)
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno)
Prossimo argomento Equilibrio di Nash Bayesiano
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 36
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) Un prodotto omogeneo è prodotto solo da
due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono denotate da q1 e q2.
La scelta delle quantità è simultanea. Il prezzo di mercato è: P(Q)=a-Q, dove a è
una costante e Q=q1+q2.
Tutto ciò è conoscenza comune
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 37
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) I costi dell’impresa 2 dipendono da un fattore
(e.g. la tecnologia) che solo l’impresa 2 conosce. Il suo costo può essere ALTO (H): funzione dei costi: C2(q2)=cHq2. BASSO (L): funzione dei costi : C2(q2)=cLq2.
I costi dell’impresa 1 dipendono da un altro fattore (indipendente o dipendente) che solo l’impresa 1 conosce. Il suo costo può essere ALTO (H): funzione dei costi : C1(q1)=cHq1. BASSO (L): funzione dei costi : C1(q1)=cLq1.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 38
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre)
La quantità scelta dall’impresa 1 dipende dai suoi costi. Essa sarà )(1 Hcq se I suoi costi sono Alti
)(1 Lcq se I suoi costi sono Bassi
La quantità scelta dall’impresa 1 dipende dai suoi costi. Essa
sarà )(2 Hcq se I suoi costi sono Alti
)(2 Lcq se I suoi costi sono Bassi
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 39
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre)
Prima di produrre, l’impresa 1 conosce esattamente se il suo costo è Alto o Basso.
Invece, l’impresa 1 non conosce esattamente I costi dell’impresa 2. Come risultato, è incerta sui payoff dell’impresa 2.
L’impresa 1 crede che se I suoi costi sono Alti allora la funzione di costo dell’impresa 2 sarà
222 )( qcqC H con probabilità )|( 121 HH ccccp , e
222 )( qcqC L con probabilità )|( 121 HL ccccp .
L’impresa 1 crede che se I suoi costi sono BASSI allora la funzione di costo dell’impresa 2 sarà
222 )( qcqC H con probabilità )|( 121 LH ccccp , e
222 )( qcqC L con probabilità )|( 121 LL ccccp .
Esempio: )|( 121 HH ccccp )|( 121 LH ccccp
)|( 121 HL ccccp 1)|( 121 LL ccccp come nella ver. 2.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 40
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre)
Prima di produrre, l’impresa 2 sa esattamente se il suo costo sarà Alto o Basso.
Invece, l’impresa 2 è incerta sul livello di costi (e quantità) dell’impresa 1. L’impresa 2 crede che se il suo costo è Alto allora la funzione dei costi
dell’impresa 1 sarà 111 )( qcqC H con probabilità )|( 212 HH ccccp , e
111 )( qcqC L con probabilità )|( 212 HL ccccp .
L’impresa 2 crede che se il suo costo è Basso allora la funzione dei costi dell’impresa 1 sarà
111 )( qcqC H con probabilità )|( 212 LH ccccp , e
111 )( qcqC L con probabilità )|( 212 LL ccccp .
Esempio: )|( 212 HH ccccp )|( 212 LH ccccp
)|( 212 HL ccccp 1)|( 212 LL ccccp come in ver. 2.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 41
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre)
L’impresa 1 sa se il suo costo è alto o basso. Se è Alto, i.e. 111 )( qcqC H , allora, data la sua ipotesi sull’impresa 2,
risolverà il seguente problema
0 ..
]))(([)|(
]))(([)|(
1
211121
211121
qts
ccqqaqccccp
ccqqaqccccpMax
HLHL
HHHH
FOC:
0])(2[)|(
])(2[)|(
21121
21121
HLHL
HHHH
ccqqaccccp
ccqqaccccp
Quindi,
2
)()|()()|()( 21212121
1LHLHHHH
Hcqccccpcqccccpca
cq
)(1 Hcq è la risposta ottima dell’imp. 1 alla ipotesi (probabilità) sull’impresa 2 ( )(2 Hcq , )(2 Lcq ) se il costo dell’impresa 1 è Alto.
u1(q1, q2(cH); cH)
u1(q1, q2(cL); cH)
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 42
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre)
L’impresa 1 conosce esattamente il suo livello di costo. Se il suo costo è BASSO, i.e. 111 )( qcqC L , allora, data la sua ipotesi
sull’impresa 2, risolverà il seguente problema
0 ..
]))(([)|(
]))(([)|(
1
211121
211121
qts
ccqqaqccccp
ccqqaqccccpMax
LLLL
LHLH
FOC:
0])(2[)|(
])(2[)|(
21121
21121
LLLL
LHLH
ccqqaccccp
ccqqaccccp
Quindi,
2
)()|()()|()( 21212121
1LLLHLHL
Lcqccccpcqccccpca
cq
)(1 Lcq è la risposta ottima dell’impresa 1 all’ipotesi (probabilità) sull’impresa 2 ( )(2 Hcq , )(2 Lcq ) se il costo dell’impresa 1 è BASSO.
u1(q1, q2(cH); cL)
u1(q1, q2(cL); cL)
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 43
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre)
L’impresa 2 conosce esattamente il suo livello di costo. Se è ALTO, i.e. 222 )( qcqC H , allora, data la sua ipotesi sull’impresa
1, risolverà il seguente problema
0 ..
]))(([)|(
]))(([)|(
2
212212
212212
qts
cqcqaqccccp
cqcqaqccccpMax
HLHL
HHHH
FOC:
0]2)([)|(
]2)([)|(
21212
21212
HLHL
HHHH
cqcqaccccp
cqcqaccccp
Quindi,
2
)()|()()|()( 12121212
2LHLHHHH
Hcqccccpcqccccpca
cq
)(2 Hcq è la risposta ottima dell’impresa 2 alla sua ipotesi (probabilità) sull’impresa 1 ( )(1 Hcq , )(1 Lcq ) se il costo dell’impresa 2 è ALTO.
u2(q1(cH), q2; cH)
u2(q1(cL), q2; cH)
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 44
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre)
L’impresa 2 conosce esattamente il suo livello di costo. Se il suo costo è BASSO, i.e. 222 )( qcqC L , allora, data la sua ipotesi
sull’impresa 1, risolverà il seguente problema
0 ..
]))(([)|(
]))(([)|(
2
212212
212212
qts
cqcqaqccccp
cqcqaqccccpMax
LLLL
LHLH
FOC:
0]2)([)|(
]2)([)|(
21212
21212
LLLL
LHLH
cqcqaccccp
cqcqaccccp
Quindi,
2
)()|()()|()( 12121212
2LLLHLHL
Lcqccccpcqccccpca
cq
)(2 Lcq è la risposta ottima dell’impresa 2 alla sua ipotesi (probabilità) sull’impresa 1 ( )(1 Hcq , )(1 Lcq ) se il costo dell’impresa 2 è Basso.
u2(q1(cH), q2; cL)
u2(q1(cL), q2; cL)
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 45
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre)
Adesso abbiamo Quattro equazioni in Quattro incognite.
2
)()|()()|()( 21212121
1LHLHHHH
Hcqccccpcqccccpca
cq
2
)()|()()|()( 21212121
1LLLHLHL
Lcqccccpcqccccpca
cq
2
)()|()()|()( 12121212
2LHLHHHH
Hcqccccpcqccccpca
cq
2)()|()()|(
)( 121212122
LLLHLHLL
cqccccpcqccccpcacq
Risolvere questo ci darà il nostro BNE.
)( ),( *1
*1 LH cqcq
)( ),( *2
*2 LH cqcq
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 46
Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre)
L’equilibrio di Nash bayesiano: (( )(*1 Hcq , )(*
1 Lcq ), ( )(*2 Hcq , )(*
2 Lcq ))
Se il costo marginale dell’impresa 1 è Alto allora sceglierà )(*1 Hcq risposta
ottima alla scelta dell’impresa 2 ( )(*2 Hcq , )(*
2 Lcq ) (e la probabilità).
Se il costo marginale dell’impresa 1 è Basso allora sceglierà )(*1 Lcq risposta
ottima alla scelta dell’impresa 2 ( )(*2 Hcq , )(*
2 Lcq ) (e la probabilità).
Se il costo marginale dell’impresa 2 è Alto allora sceglierà )(*2 Hcq risposta
ottima alla scelta dell’impresa 1 ( )(*1 Hcq , )(*
1 Lcq ) (e la probabilità).
Se il costo marginale dell’impresa 2 è Basso allora sceglierà )(*2 Lcq risposta
ottima alla scelta dell’impresa 2 ( )(*1 Hcq , )(*
1 Lcq ) (e la probabilità).
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 47
Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici in forma normale La rappresentazione normale di un gioco bayesiano
statico G a n-giocatori con informazione incompleta specifica:
Un insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n},
Una serie di azioni per i giocatori nAAAA ..., , , , 321 e
La loro relative funzione di payoff
ALTRO
Ricordate: la funzione di payoff dei giocatori dipendono NON solo dale azioni degli n giocatori ma anche dal loro TIPO.
iT è l’insieme dei tipi possibili del giocatore i.
Esempio: } ,{1 LH ccT , } ,{2 LH ccT
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 48
Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici in forma normale : payoffs
La funzione di payoff del giocatore i è rappresentata come:
. , ..., , ,per ) ; ..., , ,( 221121 iinnini TtAaAaAataaau
Esempio: ])([) ; ,( 211211 HH cqqaqcqqu ])([) ; ,( 211211 LL cqqaqcqqu
Ogni giocatore conosce il proprio tipo. Quindi, conosce la propria funzione di payoff.
Ogni giocatore può essere incerto sul tipo degli altri giocatori. Quindi sarà incerto sulla funzione di payoff degli altri giocatori
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 49
Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici in forma normale : beliefs (probabilità)
Il giocatore i ha beliefs sui tipi degli altri giocatori, denotati da
. ..., , ,per ) | ..., , , ..., , ,( 22111121 nniniii TtTtTtttttttp o
. ..., , , ), ..., , , ..., , ,( dove ) |( 22111121 nnniiiiii TtTtTtttttttttp
I beliefs del giocatore i-esimo sono probabilità condizionate
ESEMPIO: )|( 121 HH ccccp )|( 121 LH ccccp )|( 121 HL ccccp )|( 121 LL ccccp
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 50
Strategia
In un gioco Bayesiano statico, una strategia per il giocatore i
è una funzione iiii Ttts ogniper ) ( .
) ( ii ts specifica cosa il giocatore i farà per ogni suo tipo ii Tt
Esempio: ( )(1 Hcq , )(1 Lcq ) è una strategia per l’impresa 1 nel modello di Cournot ad informazione incompleta (versione tre).
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 51
Equilibrio di Nash Bayesiano: 2-giocatori
In un gioco Bayesiano statico a 2 giocatori } , ; , ; , ; ,{ 21212121 uuppTTAA , le strategie )( ),( *
2*1 ss danno un
equilibrio di Nash Bayesiano in strategie pure se
Per ognuno dei tipi del giocatore 1 11 Tt , )( 1*1 ts risolve
2211
)|() );( ,( 12112*211
TtAattpttsauMax
E per ognuno dei tipi del giocatore 2 22 Tt , )( 2*2 ts risolve
1122
)|() ; ),(( 212221*12
TtAattptatsuMax
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 52
Equilibrio di Nash Bayesiano: 2-giocatori
In un gioco Bayesiano statico } , ; , ; , ; ,{ 21212121 uuppTTAA , le strategie
)( ),( *2
*1 ss sono un BNE in strategie pure se per ogni i e j, (assumete
....} , ,{ ....}, , ,{ 2221212111 ttTttT )
)( 11*1 ts )( 21
*2 ts
)( 12*1 ts )( 22
*2 ts
)( 2*2 jts
)( 1*1 its
)( 2*2 nts
)( 1*1 nts
La risposta ottima del giocatore
1 se il suo tipo è t1i
La risposta ottima del giocatore 2 se il suo tipo è t2j
Nel senso di aspettative basate sui propri belief
Nel senso di aspettative basate sui propri belief
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 53
Riassunto
Duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre)
Equilibrio di Nash Bayesiano
Prossimo argomento Battaglia dei sessi ad informazione incompleta
(versione due) Aste
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 54
Battaglia dei sessi
In posti separati, Chris e Pat devono scegliere se andare ad un opera oppure ad un incontro di boxe.
Entrambi sanno quanto segue: Entrambi preferiscono passare la serata in
compagnia reciproca. Chris preferisce l’opera. Pat preferisce la boxe.
Pat
Opera Prize Fight
ChrisOpera 2 , 1 0 , 0
Prize Fight 0 , 0 1 , 2
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 55
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) La preferenza di Pat dipende dal fatto che sia o meno
felice. Se è felice le preferenze sono le solite. Se è infelice allora preferisce passare la serata da solo. Chris non può sapere se Pat è felice o meno. Ma Chris
crede che Pat sia felice con probabilità 0.5 e infelice con probabilità 0.5
La preferenza di Chris dipende dal fatto che sia o meno felice. Se è felice le preferenze sono le solite.
Se è infelice allora preferisce passare la serata da sola. Pat non può sapere se Chris è felice o meno. Ma Pat
crede che Chris sia felice con probabilità 2/3 e infelice con probabilità 1/3.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 56
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due)
Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se felice, Fight se infelice)) è un BNE
Chris è felice
Pat è felice
Pat
Opera Fight
ChrisOpera 2 , 1 0 , 0
Fight 0 , 0 1 , 2
Chris è felice
Pat è infelice
Pat
Opera Fight
ChrisOpera 2 , 0 0 , 2
Fight 0 , 1 1 , 0
Chris è infelice
Pat è felice
Pat
Opera Fight
ChrisOpera 0 , 1 2 , 0
Fight 1 , 0 0 , 2
Chris è infelice
Pat è infelice
Pat
Opera Fight
ChrisOpera 0 , 0 2 , 2
Fight 1 , 1 0 , 0
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 57
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se
felice, Fight se infelice)) è un BNE.
La risposta ottima di Chris alla strategia di Pat (Opera se felice, Fight è infelice) se Chris è Felice
Se Chris sceglie Opera allora otterrà un payoff di 2 se Pat è felice (probabilità 0.5), o un payoff di 0 se Pat è infelice (probabilità 0.5). Il suo payoff atteso sarà=20.5+00.5=1
Se Chris sceglie Fight allora otterrà un payoff di 0 se Pat è felice (probabilità 0.5), o un payoff di 1 se Pat è infelice (robabilità 0.5). Il suo payoff atteso sarà=00.5+10.5=0.5
Quindi, la risposta ottima di Chris è Opera se è FELICE.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 58
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due)
Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se felice, Fight se infelice)) è un BNE.
La risposta ottima di Chris alla startegia di Pat (Opera se felice, Fight se infelice) se Chris è Infelice
Se Chris sceglie Opera allora otterrà un payoff di 0 se Pat è felice (prob. 0.5), o un payoff di 2 se Pat è infelice (prob. 0.5). Il suo payoff atteso sarà=00.5+20.5=1
Se Chris sceglie Fight allora otterrà un payoff di 1 se Pat è felice (prob. 0.5), o un payoff di 0 se Pat è infelice (prob. 0.5). Il suo payoff atteso sarà =10.5+00.5=0.5
Quindi, la risposta ottima di Chris sarà Opera se è Infelice.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 59
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se
felice, Fight se infelice)) è un BNE.
La risposta ottima di Pat alla strategia di Chris (Opera se felice, Opera se infelice) se Pat è Felice
Se Pat sceglie Opera allora ottiene un payoff di 1 se Chris è felice (prob. 2/3), o un payoff di 1 se Chris è infelice (prob. 1/3). Il suo payoff atteso sarà=1(2/3)+1(1/3)=1
Se Pat sceglie Fight allora ottiene un payoff di 0 se Chris è felice (prob. 2/3), o un payoff di 0 se Chris è infelice (prob. 1/3). Il suo payoff atteso sarà =0(2/3)+0(1/3)=0
Quindi, La risposta ottima di Pat sarà Opera se è Felice.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 60
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due)
Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se felice, Fight se infelice)) è un BNE.
La risposta ottima di Pat alla strategia di Chris (Opera se felice, Opera se infelice) se Pat è Infelice
Se Pat sceglie Opera allora otterrà un payoff di 0 se Chris è felice (prob. 2/3), o un payoff di 0 se Chris è infelice (prob. 1/3). Il suo payoff atteso sarà=0(2/3)+1(1/3)=0
Se Pat sceglie Fight allora otterrà un payoff di 2 se Chris è felice (prob. 2/3), o un payoff di 2 se Chris è infelice (prob. 1/3). Il suo payoff atteso sarà =2(2/3)+2(1/3)=2
Quindi, la risposta ottima di Pat è Fight se è Infelice.
Quindi, ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se felice, Fight se infelice)) è un BNE.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 61
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due)
Chris è infelice
Pat (0.5, 0.5)
(O,O) (O,F) (F,O) (F,F)
ChrisO 0 1 1 2
F 1 1/2 1/2 0
Chris è felice
Pat (0.5, 0.5)
(O,O) (O,F) (F,O) (F,F)
ChrisO 2 1 1 0
F 0 1/2 1/2 1
Chris crede che Pat sia felice con probabilità 0.5, infelice 0.5
Il payoff atteso di Chris giocando Fight se Chris è felice e Pat gioca (Opera se felice, Fight se infelice)
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 62
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due)
Pat è felice Pat
O F
Chris
(2/3, 1/3)
(O,O) 1 0
(O,F) 2/3 2/3
(F,O) 1/3 4/3
(F,F) 0 2
Pat è infelice Pat
O F
Chris
(2/3, 1/3)
(O,O) 0 2
(O,F) 1/3 4/3
(F,O) 2/3 2/3
(F,F) 1 0
Pat crede che Chris sia felice con probabilità 2/3, infelice 1/3
Il payoff atteso da Pat giocando Opera se Pat è infelice e Chris gioca (Fight se felice, Fight se infelice)
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 63
Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Controllate se ((Fight se felice, Opera se
infelice), (Fight se felice, Fight se infelice)) è un BNE.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 64
Asta di primo prezzo in busta chiusa
C’è in vendita un bene singolo (ad esempio un quadro di Dalì).
Due offerenti, 1 e 2, spediscono in busta chiusa la loro offerta. Nessuna sa cosa faranno gli altri quando spedisce la busta.
Sia 1b l’offerta del signor 1 e 2b l’offerta del signor 2
L’offerta più alta si aggiudica il quadro e paga il prezzo che ha offerto
L’altro offerente non ottiene niente e non paga niente In caso di offerta identica, il vincitore è determinato dal lancio di una moneta
L’offerente i ha una valutazione ]1 ,0[iv per il quadro. 1v e 2v sono indipendenti.
Le funzioni di payoff dei due signori saranno:
12
1222
1222
2212
21
2111
2111
1211
se0
se2
se
);,(
se0
se2
se
);,(
bb
bbbv
bbbv
vbbu
bb
bbbv
bbbv
vbbu
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 65
Asta di primo prezzo in busta chiusa
Rappresentazione in forma normale:
Due offerenti, 1 e 2
Insieme delle strategie (insieme offerte): ) ,0[1 A , ) ,0[2 A
Insieme dei tipi (insieme dei valori): ]1 ,0[1 T , ]1 ,0[2 T
Beliefs: Offerente 1 crede che 2v sia distribuito in modo uniforme su ]1 ,0[ . Offerente 2 crede che 1v sia distribuito in modo uniforme su ]1 ,0[ . 1v e 2v sono indipendenti.
Le funzioni dei payoff dei due offerenti saranno:
12
1222
1222
2212
21
2111
2111
1211
if0
if2
if
);,(
if0
if2
if
);,(
bb
bbbv
bbbv
vbbu
bb
bbbv
bbbv
vbbu
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 66
Asta di primo prezzo in busta chiusa
Una strategia per l’offerente 1 è una funzione )( 11 vb , per ogni ]1 ,0[1 v .
Una strategia per l’offerente 2 è una funzione )( 22 vb , per ogni ]1 ,0[2 v .
Date le aspettative del signore 1 sul signor 2, per ogni ]1 ,0[1 v , il signor 1 risolve
)}({Prob)(21
)}({Prob)( 221112211101
vbbbvvbbbvMaxb
Date le aspettative del signore 2 sul signor 1, per ogni ]1 ,0[2 v , il signor 2 risolve
)}({Prob)(21
)}({Prob)( 112221122202
vbbbvvbbbvMaxb
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 67
Asta di primo prezzo in busta chiusa
Controllare se
2)( ,
2)( 2
2*2
11
*1
vvb
vvb è un BNE.
Date le aspettative del signor 1 sul signor 2, per ogni ]1 ,0[1 v , la
risposta ottima del signor 1 a )( 2*2 vb risolve
)}({Prob)(21
)}({Prob)( 2*21112
*2111
01vbbbvvbbbvMax
b
}2
{Prob)(21
}2
{Prob)( 2111
2111
01
vbbv
vbbvMax
b
}2{Prob)(21
}2{Prob)( 1211121101
bvbvbvbvMaxb
11101
2)( bbvMaxb
FOC: 042 11 bv 2
)( 111
vvb
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 68
Asta di primo prezzo in busta chiusa
Quindi, per ogni ]1 ,0[1 v , 2
)( 11
*1
vvb è la risposta ottima dell’offerente 1
all’offerta ottima del signor 2 2
)( 22
*2
vvb .
Per simmetria, per ogni ]1 ,0[2 v , 2
)( 22
*2
vvb è la risposta ottima
dell’offerente 2 all’offerta ottima del signor 1 2
)( 11
*1
vvb .
Quindi,
2)( ,
2)( 2
2*2
11
*1
vvb
vvb è un BNE.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 69
Riassunto
Battaglia dei sessi con informazione incompleta (versione due)
Asta di primo prezzo in busta chiusa
Se in futuro dovessimo incontrarci di nuovo e vorreste parlare ancora di Teoria dei giochi con me parleremmo di:
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 70
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