Teori Peluang dan Aturan Penjumlahan

Teori Peluang dan Aturan Penjumlahan

POLITEKNIK

UNIVERSITAS ANDALAS

PROBABILITAS DAN STATISTIK

TEORI PELUANG

Peluang suatu kejadian

Aturan penjumlahan

Peluang bersyarat

Aturan perkalian

Aturan Bayes

PELUANG SUATU KEJADIAN

Definisi :

• Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A

• 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(ø) = 0, • P(T) = 1

PELUANG SUATU KEJADIAN

Contoh :

• Dua mata uang dilantumkan satu kali. Berapakah peluangnya bahwa paling sedikit muncul muka sekali ?

PELUANG SUATU KEJADIAN

• Jawab :Ruang sampel :T = {MM,MB,BM,BB}

Setiap titik sampel mempunyai kemungkinan muncul yang sama, maka masing-masing diberi ¼.

Bila A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu muka muncul, maka :A = {MM,MB,BM}

dan

4

3

4

1

4

1

4

1)( AP

PELUANG SUATU KEJADIAN

N

nAP )(

PELUANG SUATU KEJADIAN

Contoh :

Sekantung permen berisi 6 rasa jeruk, 4 rasa kopi, dan 3 rasa coklat. Bila seseorang mengambil satu permen secara acak, tentukan peluang untuk mendapat

a. Satu rasa jeruk, atau

b. Satu rasa kopi atau coklat

PELUANG SUATU KEJADIAN

Jawab :J kejadian yang terpilih adalah rasa jeruk K kejadian yang terpilih adalah rasa kopiC kejadian yang terpilih adalah rasa coklatTotal =13, semuanya memiliki peluang yang sama

a. 6 dari 13 permen dengan rasa jeruk, maka :

b. 7 dari 13 permen dengan rasa kopi atau coklat ,maka

13

6)( JP

13

7

13

3

13

4)()()( CPKPCKP

ATURAN PENJUMLAHAN

• Teorema :

Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Gambar : Aturan penjumlahan peluang

ATURAN PENJUMLAHAN

• Akibat 1 :Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka P(A U B) = P(A) + P(B)

karena bila A dan B terpisah maka A ∩ B = ø sehingga P(A ∩ B) = P(ø) = 0

ATURAN PENJUMLAHAN

• Akibat 2 :

Bila A1,A2,A3,…,An saling terpisah, maka P(A1UA2U…UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

• Akibat 3 :

Bila A1,A2,…,An merupakan suatu sekatan ruang sampel T, maka

P(A1UA2U…UAn)=P(A1) + P(A2)+…+P(An)

= P(T) = 1

ATURAN PENJUMLAHAN

• Teorema :Untuk tiga kejadian A, B dan CP(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Contoh :Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus biologi 4/9. Bila peluangnya lulus kedua mata kuliah ¼ , Berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata kuliah ?

ATURAN PENJUMLAHAN

• Jawab :

Bila M menyatakan kejadian “lulus matematika” dan B “lulus biologi” maka menurut teorema 10

P(M U B) = P(M) + P(B) – P(M∩B)

=

=

4

1

9

4

3

2

36

31

ATURAN PENJUMLAHAN

• Teorema :

Bila A dan A’ kejadian yang berkomplementer, maka P(A) + P(A’) = 1

Bukti :

Karena A U A’ = T dan himpunan A dan A’ terpisah, maka

1 = P(T)

= P(A U A’)

= P(A) + P(A’)

ATURAN PENJUMLAHAN

• Contoh :

Bila peluang seorang montir mobil akan memperbaiki 3,4,5,6,7 atau 8 lebih mobil pada setiap hari kerja, masing-masing 0,12; 0,19; 0,28; 0,24; 0,10; dan 0,07

Berapakah peluang bahwa dia akan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada hari kerja berikutnya ?

ATURAN PENJUMLAHAN

• Jawab :

Misalkan E kejadian bahwa paling sedikit 5 mobil yang diperbaiki.

P(E) = 1 – P(E’)

E’ kejadian bahwa kurang dari 5 mobil yang diperbaiki.

P(E’)=0,12 + 0,19 = 0,31, maka :

P(E)=1-0,31=0,69