BMP.UKI:JHS-O1-TPK-PM-III-2019 BUKU MATERI …repository.uki.ac.id/1811/1/BUKU MATERI PEMBELAJARAN.pdf · DAFTAR TABEL BAB 3 KAIDAH PENCACAHAN Tabel 3.3.1 Perbedaan aturan penjumlahan

BMP.UKI:JHS-O1-TPK-PM-III-2019

BUKU MATERI PEMBELAJARAN

TEORI PELUANG DAN KOMBINATORIKA

Disusun Oleh :

Jitu Halomoan Lumbantoruan, S.Pd., M.Pd

Program Studi Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan

Universitas Kristen Indonesia

2019

i

KATA PENGANTAR

Mengucap syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena

pertolongan-Nya saya dapat menyelesaikan Buku Materi

Pembelajaran “TEORI PELUANG”. Meskipun banyak rintangan

dan hambatan dalam proses pembuatan Buku Materi Pembelajaran

ini, tetapi Puji Tuhan di dalam pembuatan Buku Materi

Pembelajaran ini saya berhasil menyelesaikannya dengan baik.

Adapun tujuan penyusunan ini adalah untuk memenuhi

kebutuhan dasar pembaca dan mahasiswa. Penyusunan Buku

Materi Pembelajaran ini tentu tidak terlepas dari dukungan

berbagai pihak, baik berupa dukungan materi maupun moril.

Penulis menyadari bahwa Buku Materi Pembelajaran ini jauh dari

kata sempurna dan banyak kekurangan sehingga penulis

membutuhkan kritik dan saran yang bersifat positif untuk

menyempurnakan Buku Materi Pembelajaran ini. Semoga Buku

Materi Pembelajaran ini dapat bermanfaat bagi para pembaca dan

pada umumnya mahasiswa. Akhir kata saya ucapkan terimakasih

dan salam buat kita semua.

Jakarta,10 September 2019

Jitu Halomoan Lumban toruan, S.Pd., M.Pd

ii

PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU

MATERIPEMBELAJARAN

Penjelasan Bagi Mahasiswa

1. Bacalah Buku Materi Pembelajaran ini dengan seksama mulai dari kata pengantar

sampai dengan latihan soal, kemudian

pahami seluruh materi yang termuat di

dalamnya.

2. Bacalah dengan seksama tujuan akhir antara untuk mengetahui apa yang akan

diperoleh setelah mempelajari materi ini.

3. Buku Materi Pembelajaran ini memuat informasi tentang apa yang harus Anda

lakukan untuk mencapai tujuan antara

pembelajaran.

4. Pelajari dengan seksama materi tiap kegiatan belajar, jika ada informasi yang

kurang jelas atau mengalami kesulitan

dalam mempelajari setiap materi, sebaiknya

berkonsultasi pada pengajar.

5. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk

mempermudah dalam memahami suatu

proses pekerjaan.

6. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai sejauh mana

pengetahuan yang telah Anda miliki.

7. Selesaikan semua latihan soal yang terdapat di dalam modul ini agar pemahaman anda

berkembang dengan baik.

iii

8. Setiap mempelajari satu sub kompetensi,

anda harus mulai dari menguasai

pengertian-pengertian dalam uraian materi,

melaksanakan tugas-tugas dan

mengerjakan latihan soal.

9. Dalam menyelesaikan latihan soal, anda tidak diperkenankan berdiskusi dengan

teman anda sebelum selesai mengerjakan

latihan soal dan diskusi kelompok.

10. Membahas hasil pekerjaan anda dengan teman sekelas dalam bentuk kelompok dan

kerjakan soal diskusi kelompok.

iv

Dengan ini kami bersepakat bahwa;

1. Batas keterlambatan masuk kuliah adalah 15 menit, jika mahasiswa terlambat maka

mahasiswa diperkenankan masuk kelas

namun TIDAK dapat mengisi presensi

kuliah. Sebaliknya, jika dosen terlambat 15

menit maka seluruh mahasiswa boleh

mengisi presensi kuliah. Selanjutnya,

apabila keterlambatan lebih dari 15 menit

maka dosen akan memberikan tugas

mandiri dan mahasiswa mengisi presensi

kuliah (presensi kuliah tidak berlaku bagi

mahasiswa yang tidak hadir).

2. Apabila mahasiswa dan dosen tidak dapat hadir (karena sakit, ijin, atau keperluan

tertentu), maka yang bersangkutan WAJIB

memberikan informasi satu hari

sebelumnya (jika mahasiswa) kepada dosen

pengampu mata kuliah (Jitu Halomoan

Lumbantoruan, M.P.d, 081219553697))

Catatan: apabila sakit (sertakan surat dari

dokter) dan jika izin (sertakan surat dari

orangtua/lembaga).

3. Mahasiswa TIDAK DIPERKENANKAN untuk memakai kaos dan blus (oblong atau

berkerah) dan harus menggunakan kemeja

dan celana bahan/rok (untuk wanita).

4. Pengumpulan tugas harus tepat waktu sesuai dengan arahan dosen. Apabila ada

tugas (mandiri atau kelompok) yang

diberikan dosen kepada mahasiswa, maka

dosen ybs akan mengirimkannya kepada

KESEPAKATAN KONTRAK PERKULIAHAN MATA KULIAH

TEORI PELUANG PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP-UKI SEMESTER GANJIL/III TAHUN AKADEMIK 2019/2020

v

ketua kelas (Kaleb,

[email protected]). Demikian

kesepakatan ini kami buat, semoga kami

melakukannya dengan baik tanpa ada

paksaan dari pihak manapun. Tuhan

memberkati.

Mengetahui, Jakarta, 6 Maret 2019

Kaprodi Pendidikan Matematika Dosen Pengampu,

Stevi Natalia, M.Pd. Jitu Halomoan L,M.Pd

vi

Peta Kompetensi Mata Kuliah Teori Peluang

vii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ................................................................... i

Petunjuk Penggunaan Buku Pembelajaran (BMP) .............. ii

Kontrak Perkuliah Teori Peluang ....................................... iv

Peta Konsep ....................................................................... vi

Daftar Isi ............................................................................ vii

Daftar Tabel ....................................................................... xi

Daftar Gambar ................................................................... xii

Capaian Perkuliahan ..........................................................

Rencana Pembelajaran (RPS) .............................................

BAB 1. PELUANG SUATU KEJADIAN DAN KOMPLEMEN

1.1 Pengertian Teori Peluang .......................................... 3 1.1.1 Ruang Sampel dan Percobaan ................................... 3 1.1.2 Peluang Suatu Kejadian ............................................ 5 1.1.3 Frekuensi Harapan suatu Kejadian ............................ 8 1.1.4 Kejadian Majemuk.................................................... 9 1.1.5 Peluang Saling Lepas ................................................ 11 1.1.6 Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas ....................... 12 1.1.7 Peluang Kejadian Saling Bebas ................................. 13 1.1.8 Peluang Kejadian Bersyarat ...................................... 14 1.2 Pengertian Komplemen Peluang ............................... 15 1.3 Soal Diskusi Kelompok ............................................ 18 1.4 Soal Latihan Mandiri ................................................ 25 Rangkuman ........................................................................ 30

BAB 2 PERMUTASI

A. Pengertian Permutasi ...................................................... 34 B. Jenis-jenis Permutasi....................................................... 39 C. Permutasi Yang Memenuhi Persamaan ........................... 50 D. Soal Diskusi Kelompok .................................................. 55 E. Soal Latihan Mandiri ...................................................... 61

BAB 3 KAIDAH PENCACAHAN 63

PETUNJUK PENGGUNAAN BAB 64

viii

3.1.Pengertian Kaidah Pencacahan 65

3.2.Prinsip Dasar Kaidah Pencacahan 65

3.3.Aturan Pencacahan 66

3.3.1. Aturan Penjumlahan 66

3.3.2. Aturan Perkalian 68

3.4.Metode Kaidah Pencacahan 73

3.4.1 Aturan Pengisian Tempat 73

3.4.2. Faktorial 78

3.4.3 Permutasi 80

3.4.4. Kombinasi 82

Rangkuman 85

3.5.Soal Diskusi Kelompok 87

3.6.SoalLatihanMandiri 93

BAB 4 KOMBINASI ........................................................ 96

4.1 Definisi Kombinasi ............................................... 97 4.2 Kombinasi dan Binomial Newton ......................... 100 4.3 Teorema Binomial Newton ................................... 110

Soal Diskusi ...................................................................... 115

Soal Latihan ...................................................................... 124

Rangkuman ....................................................................... 125

BAB 5 PROBABILITAS

5.1 Pengertian Probabilitas 129

5.2 Aturan Dasar Probabilitas 131

5.2.1 Aturan Penjumlahan Probabilitas 131

5.2.2 Aturan Perkalian Probabilitas 133

5.3 Rumus Bayes 140

5.4 Hubungan Probabilitas Teoritis dan Probabilitas

Empiris 142

5.4.1 Probabilitas Teoritis 142

5.4.2 Probabilitas Empiris 142

5.5 Distribusi Probabilitas 144

5.5.1 Distribusi Binomial Bernoulli 144

5.5.2 Distribusi Poisson 145

RANGKUMAN 147

ix

SOAL DISKUSI KELOMPOK 150

SOAL LATIHAN MANDIRI 159

BAB 6. PELUANG BERSYARAT

6.1 Peluang Kejadian Bersyarat……………………………141 6.2 Peluang Acak…………………………………………..145

6.2.A Distribusi peluang ……………………………....170 6.2.A.1 Distribusi peluang diskrit……………………171 6.2.A.2 Distribusi peluang kontinu………………..…171

6.2.B Fungsi sebaran kumulatif ……………………...173

6.3 Distribusi peluang kerapatan kontinu………………....175 6.3.A Fungsi rapat peluang kontinyu …………………….170

6.3.A.1 Sebaran Peluang Kumulatif Kontinu.………176 6.4 Distribusi

Emperik………..……………………………………...177

6.4.A Sebaran Peluang Kumulatif Kontinu…..………177 6.4.B sebaran kumulaitf ………………..…………….. 177

6.4.C Distribusi peluang gabungan ……………..……..177

6.4.C.1 peluang gabungan Dis.………………………..178

6.4.C.2 peluang gabungan kontinu …… ……………..179

6.4.C.3 sebaran peluang marginal ……...……………..179

6.4.C.4 sebaran peluang bersyarat …..… ……………..180

6.4.C.4.1 sebaran bersyarat kontinu..… …...………….180

6.4.C.4.2 kebebasan statistika ……..………………….181

Soal diskusi …………………..… …… ………………. 188

Soal mandiri ………………..……………………………190

BAB 7 HIMPUNAN ........................................................... 197

7.1 Pengertian himpunan ............................................ 197 7.1.1 Notasi Himpunan ......................................... 197

7.2 Jenis-jenis Himpunan ........................................... 198 7.2.1 Himpunan kosong ........................................ 198 7.2.2 Himpunan sama ........................................... 199 7.2.3 Himpunan bagian ......................................... 200 7.2.4 Himpunan kuasa .......................................... 200

x

7.2.5 Kardinalitas ................................................. 201 7.2.6 Representasi Biner ....................................... 201

DISKUSI KELOMPOK ...................................................... 217

LATIHAN MANDIRI ........................................................ 221

RANGKUMAN .................................................................. 223

BAB 8 KOMBINATORIKA .................................................. 288

8.1 Kajian Teori ..................................................................... 230 8.2 Kaidah Pencacahan .......................................................... 230

8.2.1 Kaidah Penjumlahan .............................................. 230 8.2.2 Kaidah Perkalian .................................................... 233

8.3 Notasi Faktorial ................................................................ 235 8.4 Permutasi ......................................................................... 237 8.5 Kombinasi ........................................................................ 241 8.6 Interpretasi ....................................................................... 244 8.7 Rangkuman ...................................................................... 247 8.8 Diskusi Kelompok............................................................ 249 8.9 Soal Latihan ..................................................................... 258

xi

DAFTAR TABEL

BAB 3 KAIDAH PENCACAHAN

Tabel 3.3.1 Perbedaan aturan penjumlahan dan perkalian

BAB 5 PROBABILITAS

Tabel 5.1 Nilai Probabilitas 129

BAB 8 KOMBINATORIKA

8.2.2.1 Tabel pembahasan soal kaidah perkalian .................... 235

xii

DAFTAR GAMBAR

BAB 1 PELUANG SUATU KEJADIAN DAN KOMPLEMEN

Gambar 1.1.5.1 Contoh Soal Peluang Kejadian Saling Lepas . 11

Gambar 1.1.5.2 Kartu Remi, Hati dan Bergambar .................. 12

Gambar 1.1.5.3 Contoh Soal Peluang Kejadian Tidak Saling

Lepas ..................................................................................... 12

Gambar 1.1.5.4 Contoh Soal Peluang Kejadian Saling Bebas . 13

Gambar 1.1.5.5 Contoh Soal Peluang Kejadian Bersyarat ...... 14

BAB 5 PROBABILITAS

Gambar 5.2.2.1 Gabungan pada himpunan A dan B 131

Gambar 5.2.2.1.1. Irisan pada himpunan A dan B 134

Gambar 5.2.2.1.2.1 Irisan pada himpunan A, B, dan C 136

1

Capaian

Pembelajaran

Uraian Materi

Memahami konsep

Peluang Suatu Kejadian

dan Komplemen

1. Mengerti materi Peluang Suatu Kejadian dan Komplemen

2. Menyelesaikan soal diskusi kelompok meteri Peluang

Suatu Kejadian dan

Komplemen

3. Menyelesaikan soal latihan mandiri materi Peluang Suatu

Kejadian dan Komplemen

MODUL 1

Peluang Suatu Kejadian dan Komplemen

Tujuan Pembelajaran

1. Mampu mengerti materi Peluang Suatu Kejadian dan

Komplemen

2. Mampu menyelesaikan soal diskusi kelompok meteri


3. Mampu menyelesaikan soal latihan mandiri materi


2

Teori Peluang dikemukakan oleh Chevalier de Mere yang

merupakan bangsawan asal Perancis tahun 1601-1665. Chevalier

mengajukan beberapa pertanyaan kepada Blaise Pascal. Pertanyaan-

pertanyaan tersebut lalu dikembangkan kembali oleh Pascal dan

Fermat menjadi sebuah teori Peluang yang dipakai sampai sekarang.

Peluang adalah harapan terjadinya suatu kejadian yang akan

berlaku atau telah terjadi. Peluang memiliki keterkaitan antara konsep

kesempatan (kemungkinan) dengan kejadian. Jika mendapatkan

peluang besar maka kesempatan yang terjadi juga akan besar, jika

mendapatkan peluang kecil maka kesempatan yang terjadi juga akan

kecil.

Peluang juga dapat disebut sebagai probabilitas yang artinya

sebagai ilmu kemungkinan. Peluang memiliki ruang dan titik sampel.

Ruang sampel artinya hasil percobaan dari semua kemungkinan yang

telah terjadi sedangkan titik sampel artinya anggota-anggota dari

ruang sampel yang akan muncul. Teori peluang merupakan cabang

ilmu matematika yang berdasarkan konsep kombinatorik yang

digunakan untuk ilmu statistika.

1.1.1 Ruang Sampel dan Percobaan

Ruang sampel merupakan himpunan dari semua kemungkinan

yang telah terjadi pada suatu percobaan. Peristiwa merupakan

himpunan bagian dari ruangsampel.

1. Peristiwa sederhana : Hanya memuat 1 elemen.

MODUL 1


1.1 Kegiatan Pembelajaran 1. Pengertian Teori Peluang

3

2. Peristiwa bersusun : Gabungan dari peristiwa-peristiwa sederhana.

3. Jika hasil suatu percobaan termasuk dalam himpunan A maka peristiwa tersebut telah terjadi.

Contoh 1

Katrina mempunyai 2 buah baju berwarna merah dan batik.

Katrina juga memiliki 2 buah celana jeans dan bahan yang berbeda.

Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan

yang berbeda?

Jawaban :

Merah Jeans Merah, Jeans

Bahan Merah, Bahan

Batik Jeans Batik, Jeans

Bahan Batik, Bahan

Jadi, banyaknya pasangan baju dan celana secara bergantian

sebanyak 2 × 2 = 4 cara.

Contoh 2

Dalam pelemparan 3 uang logam sekaligus. Jika sisi uang logam

tersebut terdiri dari dua sisi yaitu sisi gambar dan sisi angka, maka

peluang sedikit yang muncul dari satu sisi gambar adalah ?

4

Jawaban :

G merupakan sisi gambar dan A merupakan sisi gambar.

Diketahui banyaknya sisi gambar dan sisi angka akan muncul :

(AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG) maka n(S) =

8

Peluang satu sisi gambar yang muncul tanpa gambar, yaitu : AAA

= 1

Peluang satu sisi gambar yang muncul paling sedikit = 1 −1

8=

8

8−

1

8=

7

8

Jadi, paling sedikit peluang muncul satu sisi gambar adalah 7

8

1.1.2 Peluang Suatu Kejadian

Pengertian dari peluang komplemen dari suatu kejadian adalah

suatu kejadian yang berlawanan dengan kejadian yang ada.

Komplemen dari kejadian A merupakan himpunan dari seluruh

kejadian yang tidak termasuk A. Komplemen dari kejadian A dapat

ditulis sebagai Ac. Peluang yang terdapat pada suatu kejadian

hanya memiliki 1, artinya kesempatan atau kemungkinan yang

terdapat pada peluang tersebut dapat dilakukann sebanyak tiga kali

untuk menentukan terjadi atau tidak terjadi peristiwa tersebut.

Rumus dari Peluang Suatu Kejadian :

Jika diketahui suatu kejadian dinotasikan A dengan ruang sampel

dinotasikan S, maka peluang kejadian A, dinotasikan P (A), sebagai

berikut :

𝐏 (𝐀) =𝒏(𝑨)

𝒏(𝑺)=

𝒃𝒂𝒏𝒚𝒂𝒌 𝒄𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒆𝒓𝒋𝒂𝒅𝒊𝒏𝒚𝒂 𝒌𝒆𝒋𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 𝑨

𝒃𝒂𝒏𝒚𝒂𝒌 𝒔𝒆𝒎𝒖𝒂 𝒌𝒆𝒎𝒖𝒏𝒈𝒌𝒊𝒏𝒂𝒏

5

Contoh 1

Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:

a) Ketiga sisi gambar b) 1 angka dan 2 gambar

Jawaban :

a) S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}

Maka n(S) = 8

Misalnya, kejadian ketiga sisi angka adalah B = {AAA} maka n(B)

= 1

P (A) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) =

1

8

b) Misalnya, satu angka dan dua gambar adalah A = {AAG, AGA,

GAA} maka n(A) = 3

P (B) =𝑛(𝐵)

𝑛(𝑆) =

3

8

Contoh 2

Vina mengikuti acara lari santai dengan doorprize 4 buah sepeda

motor. Jika lari santai tersebut diikuti oleh 800 orang. Berapakah

peluang Vina untuk mendapatkan doorprize sepeda motor?

Jawaban :

S = semua peserta lari santai maka n(S) = 800 orang

6

Misalnya, kejadian Vina mendapatkan motor adalah A.

A= {Motor 1, Motor 2, Motor 3, Motor 4}maka n(A) = 4

P (A) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) =

4

800=

1

200

Jadi, peluang Vina mendapatkan doorprize sepeda motor adalah 1

200

Contoh 3

Ajeng mengikuti acara seminar karya tulis “Hidup Sehat dengan

Bersepeda” untuk mendapatkan doorprize yaitu, 12 buah sepeda

gunung. Jika acara tersebut diikuti oleh 4800 orang. Berapakah

peluang Ajeng untuk mendapatkan doorprize sepeda gunung

tersebut ?

Jawaban :

S = semua peserta acara seminar karya tulis maka n(S) = 4800

orang

Misalnya, kejadian Ajeng mendapatkan sepeda gunung adalah A.

A= {sepeda gunung 1, sepeda gunung 2, sepeda gunung 3, sepeda

gunung 4, sepeda gunung 5, sepeda gunung 6, sepeda gunung 7,

sepeda gunung 8, sepeda gunung 9, sepeda gunung 10, sepeda

gunung 11, sepeda gunung 12} maka n(A) = 12

P (A) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) =

12

4800=

1

400


400

7

1.1.3 Frekuensi Harapan suatu Kejadian

Frekuensi harapan berasal dari sejumlah kejadian yang

merupakan banyaknya, dari kejadian yang dapat dikalikan dengan

peluang kejadian itu sendiri. Misalnya pada percobaan A

dilakukan n kali maka dapat ditulis sebagai berikut :

𝑭𝒉 = 𝒏 𝒙 𝑷(𝑨)

Contoh 1

Pada percobaan pelemparan 4 mata uang logam sekaligus

sebanyak 100 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya 2

gambar dan 2 angka !

Jawaban :

S = 16

A = 6

𝐹ℎ = 100 𝑥6

16= 37,5

Contoh 2




Jawaban :

S = 64

8

A = 12

𝐹ℎ = 100 𝑥12

16= 75

Contoh 3


sebanyak 320 kali. Tentukan frekuesnsi harapan munculnya 2

gambar dan satu angka.

Jawaban :

S = {AAG, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} maka

n(S) = 8

A = {AGG, GAG, GGA} maka n(A) = 3

𝐹ℎ = 𝑛 𝑥 𝑃(𝐴) = 270 𝑥𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)

= 320 𝑥3

8= 120 kali

1.1.4 Kejadian Majemuk

Kejadian Majemuk merupakan dua atau lebih kejadian yang

dapat dioperasikan sehingga membentuk kejadian baru. Misalnya,

suatu kejadian E dan kejadian komplemen E’ sehingga memenuhi

persamaan, sebagai berikut :

P(E) + P(Ec) = 1 atau P(E’) = 1 – P(E)

9

Contoh 1

Dari seperangkat kartu remi (bridge) diambil secara acak satu

lembar kartu. Tentukan peluang terambilnya kartu bukan AS !

Jawaban :

Banyaknya kartu = n(S) = 52

Banyaknya kartu AS = n(E)= 4 maka P(E) = 4

52=

1

13

Peluang bukan As = P(E’) = 1 – P(E) = 1 −1

13=

12

13

Contoh 2

Seperangkat kartu Uno diambil secara acak satu lembar kartu.

Tentukan peluang terambilnya kartu bukan kartu ajaib (kartu yang

berisikan 4 warna) !

Jawaban :



48=

1

6


6=

5

6

10

1.1.5 Peluang Saling Lepas

Penjumlahan Peluang :

Dari dua kejadian A dan B saling lepas jika tidak ada satupun elemen

B. untuk dua kejadian saling lepas, peluang salah satu A atau b terjadi,

ditulis : 𝐏 (𝐀 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)

Jika A dan B tidak saling lepas maka 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) −𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

Contoh 1 Peluang Kejadian Saling Lepas

Sebuah dadu merah dan sebuah dadu putih dilempar bersamaan satu

kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 3 atau 10 !

Jawaban :

Gambar 1.1.5.1 Contoh Soal Peluang Kejadian Saling Lepas

11

1.1.6 Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas

Gambar 1.1.5.2 Kartu Remi, Hati dan Bergambar

Gambar 1.1.5.3 Contoh Soal Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas

12

1.1.7 Peluang Kejadian Saling Bebas

Gambar 1.1.5.4 Contoh Soal Peluang Kejadian Saling Bebas

13

1.1.7 Peluang Kejadian Bersyarat

Gambar 1.1.5.5 Contoh Soal Peluang Kejadian Bersyarat

14

Rumus Peluang dilambangkan menjadi "P" lambang tersebut

diambil dari huruf depan dari kata "Peluang". Untuk

lambang "A" digunakan untuk melambangkan atau mewakili

suatu kejadian, pada lambang "c" merupakan simbol dari suatu

kejadian yang dikomplemenkan, simbol "c" diambil dari huruf

depan kata "complemen". Jadi, simbol "Ac" dibaca komplemen

kejadian A, dan "P(Ac)" dibaca peluang komplemen kejadian A,

dan jika hanya "P(A)" dibaca peluang kejadian A saja.

Rumus Komplemen Peluang :

Keterangan :

P : Peluang

A : Kejadian A (Lambang suatu kejadian)

c : Komplemen suatu kejadian

Contoh 1

Peluang hari ini hujan adalah 30%. Tentukan peluang bahwa hari

esok tidak hujan !

Jawaban :

Peluang hari ini hujan = 30 %, maka peluang kejadian A adalah 30%

1.2 Kegiatan Pembelajaran 2. Pengertian Komplemen

Peluang

https://1.bp.blogspot.com/-lfHi8y-4zyk/V9pNqjEyczI/AAAAAAAADtg/hGFCeVFpHFEYbltLw22MMl-pGNUO5lseACLcB/s1600/zp.PNG

15

P(A) = 30% = 0,3

P(Ac) = 1 - P(A)

P(Ac) = 1 - 0,3

P(Ac) = 0.7

P(Ac) = 70%

Maka peluang bahwa hari esok tidak hujan adalah 70%.

Jadi, komplemen itu adalah sebuah penyempurnaan dari suatu

peluang, karena nilai peluang tersebut kurang dari 100%.

Contoh 2

Sebuah dadu berisi enam dilepar sekali. Berapa peluang kejadian

munculnya mata dadu bukan angka 3 ?

Jawaban :

Misalkan E adalah kejadian munculnya mata dadu bukan angka 3

maka 𝑃(𝐸′) = 1 − 𝑃(𝐸) = 1 −1

6=

5

6

Jadi, peluang kejadian yang muncul bukanlah angka 2 adalah 5

6

Contoh 3

Mita melemparkan sebuah dadu bermata 6. Hitunglah peluang Mita

untuk tidak mendapatkan sisi dadu 3 !

Jawaban :

P(Ac) = 1 – P(A)

P(3c) = 1 – P(3)

16

P(3c) = 1 - 1

6

= 6

6−

1

6

= 5

6

17

5. Pengertian dari peluang komplemen dari suatu kejadian

adalah suatu kejadian yang berlawanan dengan kejadian

yang ada

𝐏 (𝐀) =𝒏(𝑨)

𝒏(𝑺)=



6. Frekuensi harapan berasal dari sejumlah kejadian yang

merupakan banyaknya, dari kejadian yang dapat dikalikan

dengan peluang kejadian itu sendiri


1.3 Kegiatan Pembelajaran 3. Rangkuman

1. Meut KBBI Jilid V Peluang adalah ruang gerak, baik yang

konkret maupun yang abstrak, yang memberikan

kemungkinan bagi suatu kegiatan untuk memanfaatkannya

dalam usaha mencapai tujuan; kesempatan.

2. Menurut KBBI Jilid V Komplemen adalah sesuatu yang

melengkapi atau menyempurnakan.

3. Peluang adalah harapan terjadinya suatu kejadian yang akan

berlaku atau telah terjadi. Peluang memiliki keterkaitan

antara konsep kesempatan (kemungkinan) dengan kejadian

4. Ruang sampel merupakan himpunan dari semua

kemungkinan yang telah terjadi pada suatu percobaan.

18

7. Kejadian Majemuk merupakan dua atau lebih kejadian

yang dapat dioperasikan sehingga membentuk kejadian

baru

P(E) + P(Ec) = 1 atau P(E’) = 1 – P(E)

8. Dari dua kejadian A dan B saling lepas jika tidak ada satupun elemen B. untuk dua kejadian saling lepas, peluang

salah satu A atau b terjadi, ditulis : 𝐏 (𝐀 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) +𝑷(𝑩)

9. Jika A dan B tidak saling lepas maka 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) +𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

10. Untuk lambang "A" digunakan untuk melambangkan atau mewakili suatu kejadian, pada lambang "c" merupakan

simbol dari suatu kejadian yang dikomplemenkan,

simbol "c" diambil dari huruf depan kata "complemen".

Jadi, simbol "Ac" dibaca komplemen kejadian A,

dan "P(Ac)" dibaca peluang komplemen kejadian A, dan

jika hanya "P(A)" dibaca peluang kejadian A saja.

1.4 Kegiatan Pembelajaran 4. Soal Diskusi

Kelompok


19

1. Ada sebuah koin dan sebuah dadu dilemparkan duakali,

tentukan banyak ruang sampel percobaan tersebut?

.𝑛(𝑆)𝑘𝑜𝑖𝑛 = 2

.𝑛(𝑠)𝑑𝑎𝑑𝑢 = 6

2. Dua buah dadu dilempar bersamaan dengan sebuah koin

sebanyak satu kali, tentukan banyak ruang sampel

pencobaan tersebut?



3. Dalam satu kotak kartu remi berisi 52 kartu, diambil satu

kartu, peluang terambilnya kartu AS adalah?

.𝑛(𝑆) = 52

.𝑛(𝐴) = 4

.𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

4. Didalam dua kotak terdapat kartu remi berisi 104 kartu,

diambil satu kartu, peluang keambil kartu King adalah?

.𝑛(𝑆) = 104

.𝑛(𝐴) = 8

.𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

5. Dalam suatu perusahaan mengadakan penerimaan 60 orang

pelamar, dari 60 orang pelamar pekerja, peluang mereka

diterima adalah 0,15. Banyak pelamar yang tidak di terima?

.𝑛(𝑆) = 60

.𝑛(𝑠) = 0,15

𝑃(𝐴) =… …

……

20

. =…

…

6. Pada sebuah kantong pelastik terdapat 10 kelereng

berwarna merah, 5 kelereng berwarna putih, 4 kelereng

berwarna kuning. Peluang terambilnya 3 kelereng putih

adalah?

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

7. Didalam kotak mainan diambil sebuah kelereng secara

acak di dalam kotak mainan yang terdiri dari 5 kelereng

merah, 4 kelereng biru, 3 kelereng putih. Peluang terambil

1 kelereng putih adalah?

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

8. Pada sebuah permainan ular tangga pada pelemparan 2

buah dadu peluang munculnya bilangan genap pada mata

dadu adalah?

.𝑛(𝑆) = 36

.𝑛(𝐴) =

.𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

9. Dalam suatu percobaan pelemparan 3 koin mata uang.

Berapa peluang munculnya angka dan gambar?

.𝑛(𝑆) = 6

.𝑛(𝐴) = 1

.𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

21

10. Pada suatu percobaan pelemparan 2 koin mata uang.


.𝑛(𝑆) = 4

.𝑛(𝐴) = 1

.𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

11. Dalam pelemparan 3 buah dadau peluang munculnya

bilanagn ganjil pada mata sebuah dadu adalah?

.𝑛(𝑆) =

.𝑛(𝐴) =

.𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

12. Sebuah kardus terdapat 15 bola, 6 berwarna merah, 5

berwarna biru, dan 4 berwarna kunig. Jika diambil 5 bola

secara acak. Maka carilah peluang terambinya bola:

a. Kelimanya merah

b. Kelimanya berbeda warna

c. 3 berwarna biru dan 2 berwarna kuning.



13. Dalam suatu perusahaan mengadakan penerimaan 60 orang



.𝑛(𝑆) = 60

.𝑛(𝑠) = 0,15

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

14. Pada pengambilan sebuah kartu dari satu set kartu bridge,

peluang kartu yang terambil tidak bernomor adalah?

22

𝑛(𝑆) = 52

.𝑛(𝐴) = 12

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…



dadu adalah?

.𝑛(𝑆) = 36

.𝑛(𝐴) = 9

.𝑃(𝐴) =… …

……

16. Pada suatu percobaan Mona melemparkan 2 buah dadu

pada sekali pelemparan tersebut tentukan peluang

munculnya mata dadu pertama genap adalah?

.𝑛(𝑆) = 62

. = 36

.𝑃(𝐴) = ⋯

17. Didalam sebuah permainan Rama mendapatkan

kesempatan untuk melemparkan 2 buah dadu. Maka

hitunglah berapa peluang munculnya nomor yang bernilai

ganjil?

.𝑛(𝑆) = 62

. = 36

.𝑃(𝐴) = ⋯

18. Didalam suatu perusahaan sedang mengadakan

penerimaan 10 orang pelamar, dari 50 orang pelamar

pekerja, peluang mereka diterima adalah 0,15. Banyak

pelamar yang tidak di terima?

.𝑛(𝑆) = 50

.𝑛(𝑠) = 0,15

23

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

19. Pada sebuah kotak mainan terdapat 5 mobil-mobilan

berwarna merah, 4 mobil-mobilan berwarna putih, 10

mobil-mobilan berwarna kunig. Peluang terambilnya 4

mobil-mobilan berwarna berwarna putih adalah?

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

20. Pada sebuah permaian ular tangga sebuah dadu dilempar

sekali, maka tentukan peluang munculnya mata dadu 6!

𝑛(𝑆) = 6

.𝑛(𝐴) = 1

21. Sebuah kantong terdiri dari 4 biji kacang polong, 3 biji

kacang hijau, dan 5 biji kacang merah. Dari semua jenis

biji-bijian tersebut akan diambil satu kacang polong.

Tentukanlah peluang terambilnya kacang polong!

𝑛(𝑆) = 4 + 3 + 5 = 12 Titik sampel kelereng biru

.𝑛(𝐴) = 3

22. Pada sebuah permainan tiga buah koin dilempar secara

bersamaan. Tentukan peluang muncul kedua angka!

Runag sampelmya yakni

= {(A, G), (A, A), (G, A), (G, G)}

.𝑛(𝑆) = 4

23. Pada sebuah pelemparan tiga dadu dilemparkan secara

bersamaan.

24

Misalkan Y adalah seuatu kejadian muncul jumlah mata

dadu?

.𝑛(𝑌) = 6

.𝑛(𝑆) = 36

24. Pada sebuah kotak putih terdapat 6 kelereng merah dan 4

kelereng biru. Peluang mengambil 4 kelereng merah

sekaligus...

Cara agar terambilnya 4 kelereng dari 6 kelereng merah

.nK = 6C4

25. Dalam sebuah pelemparan dua buah dadu dilemparkan

secara bersamaan.

Misalkan X adalah seuatu kejadian muncul jumlah mata

dadu?

.𝑛(𝑋) = 6

.𝑛(𝑆) = 24

26. Suatu perusahaan mengadakan penerimaan 30 orang



.𝑛(𝑆) = 30

.𝑛(𝑠) = 0,15

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

27. Dalam sebuah permainan ular tangga pada pelemparan 3


dadu adalah?

.𝑛(𝑆) = 54

.𝑛(𝐴) = 9

.𝑃(𝐴) =… …

……

25




.𝑛(𝑆) = 6

. = 18

.𝑃(𝐴) = ⋯

29. Pada sebuah dadu dilempar duakali, tentukan banyak ruang

sampel percobaan tersebut?


30. Pada suatu pencobaan sebuah koin dilempar sebanyak satu

kali, tentukan banyak ruang sampel pencobaan tersebut?



26

1. Didalam sebuah permainan, sebuah dadu dilemparkan

sebanyak 50 kali. Hitunglah frekuensi harapan munculnya

mata dadu yang kurang dari 5!

2. Pada sebuah pencobaan dalam pelemparan dadu sebanyak

duakali, berapakah peluang munculnya:

(a) nomor dadu tidak ganjil;

(b) nomor dadu ganjil?

3. Pada sebuah pencobaan dalam pelemparan 3 mata uang

logam sekaligus sebanyak 150 kali, tentukan frekuensi

harapan munculnya dua gambar dan satu angka!

4. Mona melemparkan tiga buah dadu bermata 6. Hitunglah

berapa peluang Mona untuk mendapatkan sisi dadu yang

bernilai 4!

5. Didalam sebuah kardus yang berisi beberapa mainan

diambil sebuah kelereng secara acak dari sebuah kardus

yang terdiri dari beberapa maian mobil-mobilan, 5 kelereng

merah, 2 kelereng hitam dan 3 kelereng putih. Peluang

yang terambil bukan kelereng putih adalah...

6. Dalam permaianan pelemparan 2 mata uang sekaligus. Jika

mata uang terdiri dari 2 sisi yang beruba gambar dan angka,

1.5 Kegiatan Pembelajaran 5.Soal Latihan

Mandiri

27

maka tentukan peluang munculnya paling banyak satu sisi

gambar adalah...

7. Pada sebuah percobaan pelemparan dua buah dadu yang

berisi 6, komplemen dari kejadian muncul mata dadu 5 atau

7 adalah...

8. Dalam sebuah kelas yang berjumlah 32 orang akan dipilih

dari 4 orang siswa untuk menjadi ketua kelas, walik ketua,

sekertaris, dan bendahara, dengan catatan bahwa seseorang

tidak boleh merangkap jabatan pengurus dikelas. Tentukan

banyak cara pemilihan pengurus tersebut!

9. Pada sebuah pelemparan 3 buah dadu peluang munculnya

bilangan ganjil pada mata dadu adalah?

10. Jika sebuah dadu dilempar duakali secara bersamaan

dengan dua buah koin, tentukan banyaknya ruang sampel

dari pencobaan tersebut!

11. Dari sekumpulan kartu bridge, diambil secara acak satu

kartu. Berapakah peluang munculnya kartu yang

merupakan angka?

12. Suatu dadu dilemparkan sebanyak 100 kali, berapa

frekuensi harapan munculnya sebuah mata dadu berangka

6?

13. Dua buah dadu dilemparkan sebanyk 500 kali, berapakah


4?

28

14. Didala permainan ulartangga jika tiga buah dadu dilempar

secara bersamaan, berapakah peluang dari munculnya

jumlah mata dadu 2-5?

15. Pada sebuah permainan ulartangga jika dua buah dadu

dilembpar secara bersamaan, berapakah peluang dari

munculnya jumlah mata dadu 1-3?

16. Didalam seuah lemari terdapat beberapa kotak bekas yang

berisi bola-bola, yaitu 4 bola putih dan 5 bola kuning dan

jika diambil dua kotak yang berisi beberapa bola-bola,

maka carilah peluang munculnya atau terambilnya.

a. Keduanya berwarna kunig

b. Bola pertama putih dan bola kedua berwarna kuning

c. Keduanya berwarna sama.



18. Pada sebuah percobaan pelemparan tiga buah dadu peluang

munculnya bilangan genap pada mata dadu adalah?

19. Dalam sebuah pencobaan dalam pelemparan dadu

sebanyak duakali, berapakah peluang munculnya:

(a) nomor dadu tidak genap;




harapan munculnya dua gambar dan satu angka?

29

21. Pada sebuah permainan, sebuah dadu dilemparkan




tiga kali, berapakah peluang munculnya:


(b) nomor dadu genap?

23. Dalam sebuah pencobaan dalam pelemparan 2 mata uang



24. Enjelia melemparkan tiga buah dadu bermata 6. Hitunglah


bernilai 2!

25. Didalam sebuah kantong yang berisi beberapa mainan

diambil kelereng secara acak dari sebuah kantong yang

terdiri dari, 7 kelereng merah, 4 kelereng hitam dan 5

kelereng putih. Peluang yang terambil bukan kelereng

putih adalah...

26. Pada suatu permaianan olga melemparkan 3 uang logam

dalam pelemparan 2 mata uang logam tersebut sekaligus.

Jika mata uang terdiri dari 2 sisi yang berupa gambar dan

angka, maka tentukan peluang munculnya paling banyak

satu sisi gambar adalah...

30

27. Dalam sebuah percobaan pelemparan tiga buah dadu yang

berisi 6, komplemen dari kejadian muncul mata dadu 4 atau

6 adalah...



sekertaris, dan bendahara, dengan catatan bahwa seseorang

tidak boleh merangkap jabatan pengurus dikelas. Tentukan

banyak cara pemilihan pengurus tersebut!


bilangan genap pada mata dadu adalah?

30. Jika sebuah dadu dilempar tigakali secara bersamaan dengan tiga buah koin, tentukan banyaknya ruang sampel

dari pencobaan tersebut

1

Capaian

Pembelajaran

Uraian Materi

Memahami konsep Peluang

Suatu Kejadian dan

Komplemen

1. Mengerti materi Peluang Suatu Kejadian dan Komplemen

2. Menyelesaikan soal diskusi kelompok meteri Peluang Suatu


3. Menyelesaikan soal latihan mandiri materi Peluang Suatu


MODUL 1


Tujuan Pembelajaran

1. Mampu mengerti materi Peluang Suatu Kejadian dan

Komplemen

2. Mampu menyelesaikan soal diskusi kelompok meteri


3. Mampu menyelesaikan soal latihan mandiri materi


2

Teori Peluang dikemukakan oleh Chevalier de Mere yang

merupakan bangsawan asal Perancis tahun 1601-1665. Chevalier

mengajukan beberapa pertanyaan kepada Blaise Pascal. Pertanyaan-

pertanyaan tersebut lalu dikembangkan kembali oleh Pascal dan

Fermat menjadi sebuah teori Peluang yang dipakai sampai sekarang.

Peluang adalah harapan terjadinya suatu kejadian yang akan

berlaku atau telah terjadi. Peluang memiliki keterkaitan antara

konsep kesempatan (kemungkinan) dengan kejadian. Jika

mendapatkan peluang besar maka kesempatan yang terjadi juga akan

besar, jika mendapatkan peluang kecil maka kesempatan yang

terjadi juga akan kecil.

Peluang juga dapat disebut sebagai probabilitas yang artinya

sebagai ilmu kemungkinan. Peluang memiliki ruang dan titik

sampel. Ruang sampel artinya hasil percobaan dari semua

kemungkinan yang telah terjadi sedangkan titik sampel artinya

anggota-anggota dari ruang sampel yang akan muncul. Teori

peluang merupakan cabang ilmu matematika yang berdasarkan

konsep kombinatorik yang digunakan untuk ilmu statistika.

1.1.1 Ruang Sampel dan Percobaan

Ruang sampel merupakan himpunan dari semua

kemungkinan yang telah terjadi pada suatu percobaan. Peristiwa

merupakan himpunan bagian dari ruangsampel.

1. Peristiwa sederhana : Hanya memuat 1 elemen. 2. Peristiwa bersusun : Gabungan dari peristiwa-peristiwa

sederhana.

MODUL 1


1.1 Kegiatan Pembelajaran 1. Pengertian Teori Peluang

3

3. Jika hasil suatu percobaan termasuk dalam himpunan A maka peristiwa tersebut telah terjadi.

Contoh 1

Katrina mempunyai 2 buah baju berwarna merah dan batik.

Katrina juga memiliki 2 buah celana jeans dan bahan yang

berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai

dengan pasangan yang berbeda?

Jawaban :

Merah Jeans Merah, Jeans

Bahan Merah, Bahan

Batik Jeans Batik, Jeans

Bahan Batik, Bahan

Jadi, banyaknya pasangan baju dan celana secara bergantian

sebanyak 2 × 2 = 4 cara.

Contoh 2

Dalam pelemparan 3 uang logam sekaligus. Jika sisi uang logam

tersebut terdiri dari dua sisi yaitu sisi gambar dan sisi angka,

maka peluang sedikit yang muncul dari satu sisi gambar adalah ?

4

Jawaban :

G merupakan sisi gambar dan A merupakan sisi gambar.

Diketahui banyaknya sisi gambar dan sisi angka akan muncul :

(AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG) maka n(S)

= 8

Peluang satu sisi gambar yang muncul tanpa gambar, yaitu :

AAA = 1

Peluang satu sisi gambar yang muncul paling sedikit = 1 −1

8=

8

8−

1

8=

7

8

Jadi, paling sedikit peluang muncul satu sisi gambar adalah 7

8

1.1.2 Peluang Suatu Kejadian

Pengertian dari peluang komplemen dari suatu kejadian adalah

suatu kejadian yang berlawanan dengan kejadian yang ada.

Komplemen dari kejadian A merupakan himpunan dari seluruh

kejadian yang tidak termasuk A. Komplemen dari kejadian A

dapat ditulis sebagai Ac. Peluang yang terdapat pada suatu

kejadian hanya memiliki 1, artinya kesempatan atau

kemungkinan yang terdapat pada peluang tersebut dapat

dilakukann sebanyak tiga kali untuk menentukan terjadi atau

tidak terjadi peristiwa tersebut.

Rumus dari Peluang Suatu Kejadian :

Jika diketahui suatu kejadian dinotasikan A dengan ruang sampel

dinotasikan S, maka peluang kejadian A, dinotasikan P (A), sebagai

berikut :

𝐏 (𝐀) =𝒏(𝑨)

𝒏(𝑺)=



5

Contoh 1

Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang

muncul:

a) Ketiga sisi gambar

b) 1 angka dan 2 gambar

Jawaban :

a) S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}

Maka n(S) = 8

Misalnya, kejadian ketiga sisi angka adalah B = {AAA} maka

n(B) = 1

P (A) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) =

1

8

b) Misalnya, satu angka dan dua gambar adalah A = {AAG, AGA, GAA} maka n(A) = 3

P (B) =𝑛(𝐵)

𝑛(𝑆) =

3

8

Contoh 2

Vina mengikuti acara lari santai dengan doorprize 4 buah sepeda

motor. Jika lari santai tersebut diikuti oleh 800 orang. Berapakah

peluang Vina untuk mendapatkan doorprize sepeda motor?

Jawaban :

S = semua peserta lari santai maka n(S) = 800 orang

6

Misalnya, kejadian Vina mendapatkan motor adalah A.

A= {Motor 1, Motor 2, Motor 3, Motor 4}maka n(A) = 4

P (A) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) =

4

800=

1

200


200

Contoh 3

Ajeng mengikuti acara seminar karya tulis “Hidup Sehat dengan

Bersepeda” untuk mendapatkan doorprize yaitu, 12 buah sepeda

gunung. Jika acara tersebut diikuti oleh 4800 orang. Berapakah

peluang Ajeng untuk mendapatkan doorprize sepeda gunung

tersebut ?

Jawaban :

S = semua peserta acara seminar karya tulis maka n(S) = 4800

orang

Misalnya, kejadian Ajeng mendapatkan sepeda gunung adalah A.

A= {sepeda gunung 1, sepeda gunung 2, sepeda gunung 3, sepeda

gunung 4, sepeda gunung 5, sepeda gunung 6, sepeda gunung 7,

sepeda gunung 8, sepeda gunung 9, sepeda gunung 10, sepeda

gunung 11, sepeda gunung 12} maka n(A) = 12

P (A) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) =

12

4800=

1

400


400

7

1.1.3 Frekuensi Harapan suatu Kejadian

Frekuensi harapan berasal dari sejumlah kejadian yang

merupakan banyaknya, dari kejadian yang dapat dikalikan dengan

peluang kejadian itu sendiri. Misalnya pada percobaan A

dilakukan n kali maka dapat ditulis sebagai berikut :


Contoh 1




Jawaban :

S = 16

A = 6

𝐹ℎ = 100 𝑥6

16= 37,5

Contoh 2




Jawaban :

S = 64

8

A = 12

𝐹ℎ = 100 𝑥12

16= 75

Contoh 3


sebanyak 320 kali. Tentukan frekuesnsi harapan munculnya 2

gambar dan satu angka.

Jawaban :

S = {AAG, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} maka

n(S) = 8

A = {AGG, GAG, GGA} maka n(A) = 3

𝐹ℎ = 𝑛 𝑥 𝑃(𝐴) = 270 𝑥𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)

= 320 𝑥3

8= 120 kali

1.1.4 Kejadian Majemuk

Kejadian Majemuk merupakan dua atau lebih kejadian yang

dapat dioperasikan sehingga membentuk kejadian baru. Misalnya,

suatu kejadian E dan kejadian komplemen E’ sehingga memenuhi

persamaan, sebagai berikut :

P(E) + P(Ec) = 1 atau P(E’) = 1 – P(E)

9

Contoh 1

Dari seperangkat kartu remi (bridge) diambil secara acak satu

lembar kartu. Tentukan peluang terambilnya kartu bukan AS !

Jawaban :



52=

1

13


13=

12

13

Contoh 2

Seperangkat kartu Uno diambil secara acak satu lembar kartu.

Tentukan peluang terambilnya kartu bukan kartu ajaib (kartu

yang berisikan 4 warna) !

Jawaban :



48=

1

6


6=

5

6

10

1.1.5 Peluang Saling Lepas

Penjumlahan Peluang :

Dari dua kejadian A dan B saling lepas jika tidak ada satupun

elemen B. untuk dua kejadian saling lepas, peluang salah satu A atau

b terjadi, ditulis : 𝐏 (𝐀 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)

Jika A dan B tidak saling lepas maka 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) −𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

Contoh 1 Peluang Kejadian Saling Lepas

Sebuah dadu merah dan sebuah dadu putih dilempar bersamaan satu

kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 3 atau 10 !

Jawaban :

Gambar 1.1.5.1 Contoh Soal Peluang Kejadian Saling Lepas

11

1.1.6 Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas

Gambar 1.1.5.2 Kartu Remi, Hati dan Bergambar

Gambar 1.1.5.3 Contoh Soal Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas

12

1.1.7 Peluang Kejadian Saling Bebas

Gambar 1.1.5.4 Contoh Soal Peluang Kejadian Saling Bebas

13

1.1.7 Peluang Kejadian Bersyarat

Gambar 1.1.5.5 Contoh Soal Peluang Kejadian Bersyarat

14

Rumus Peluang dilambangkan menjadi "P" lambang tersebut

diambil dari huruf depan dari kata "Peluang". Untuk

lambang "A" digunakan untuk melambangkan atau mewakili

suatu kejadian, pada lambang "c" merupakan simbol dari suatu

kejadian yang dikomplemenkan, simbol "c" diambil dari huruf

depan kata "complemen". Jadi, simbol "Ac" dibaca komplemen

kejadian A, dan "P(Ac)" dibaca peluang komplemen kejadian A,

dan jika hanya "P(A)" dibaca peluang kejadian A saja.

Rumus Komplemen Peluang :

Keterangan :

P : Peluang

A : Kejadian A (Lambang suatu kejadian)

c : Komplemen suatu kejadian

Contoh 1

Peluang hari ini hujan adalah 30%. Tentukan peluang bahwa hari

esok tidak hujan !

Jawaban :

Peluang hari ini hujan = 30 %, maka peluang kejadian A adalah 30%

1.2 Kegiatan Pembelajaran 2. Pengertian Komplemen

Peluang


15

P(A) = 30% = 0,3

P(Ac) = 1 - P(A)

P(Ac) = 1 - 0,3

P(Ac) = 0.7

P(Ac) = 70%

Maka peluang bahwa hari esok tidak hujan adalah 70%.

Jadi, komplemen itu adalah sebuah penyempurnaan dari suatu

peluang, karena nilai peluang tersebut kurang dari 100%.

Contoh 2

Sebuah dadu berisi enam dilepar sekali. Berapa peluang kejadian

munculnya mata dadu bukan angka 3 ?

Jawaban :

Misalkan E adalah kejadian munculnya mata dadu bukan angka 3

maka 𝑃(𝐸′) = 1 − 𝑃(𝐸) = 1 −1

6=

5

6

Jadi, peluang kejadian yang muncul bukanlah angka 2 adalah 5

6

Contoh 3

Mita melemparkan sebuah dadu bermata 6. Hitunglah peluang Mita

untuk tidak mendapatkan sisi dadu 3 !

Jawaban :

P(Ac) = 1 – P(A)

P(3c) = 1 – P(3)

16

P(3c) = 1 - 1

6

= 6

6−

1

6

= 5

6

17

5. Pengertian dari peluang komplemen dari suatu kejadian

adalah suatu kejadian yang berlawanan dengan kejadian

yang ada

𝐏 (𝐀) =𝒏(𝑨)

𝒏(𝑺)=



6. Frekuensi harapan berasal dari sejumlah kejadian yang

merupakan banyaknya, dari kejadian yang dapat dikalikan

dengan peluang kejadian itu sendiri


1.3 Kegiatan Pembelajaran 3. Rangkuman

1. Meut KBBI Jilid V Peluang adalah ruang gerak, baik yang

konkret maupun yang abstrak, yang memberikan

kemungkinan bagi suatu kegiatan untuk memanfaatkannya

dalam usaha mencapai tujuan; kesempatan.

2. Menurut KBBI Jilid V Komplemen adalah sesuatu yang

melengkapi atau menyempurnakan.

3. Peluang adalah harapan terjadinya suatu kejadian yang

akan berlaku atau telah terjadi. Peluang memiliki

keterkaitan antara konsep kesempatan (kemungkinan)

dengan kejadian

4. Ruang sampel merupakan himpunan dari semua

kemungkinan yang telah terjadi pada suatu percobaan.

18

7. Kejadian Majemuk merupakan dua atau lebih kejadian

yang dapat dioperasikan sehingga membentuk kejadian

baru

P(E) + P(Ec) = 1 atau P(E’) = 1 – P(E)

8. Dari dua kejadian A dan B saling lepas jika tidak ada satupun elemen B. untuk dua kejadian saling lepas,

peluang salah satu A atau b terjadi, ditulis : 𝐏 (𝐀 ∪ 𝑩) =𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)

9. Jika A dan B tidak saling lepas maka 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) =𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

10. Untuk lambang "A" digunakan untuk melambangkan atau mewakili suatu kejadian, pada lambang "c"

merupakan simbol dari suatu kejadian yang

dikomplemenkan, simbol "c" diambil dari huruf depan

kata "complemen". Jadi, simbol "Ac" dibaca komplemen

kejadian A, dan "P(Ac)" dibaca peluang komplemen

kejadian A, dan jika hanya "P(A)" dibaca peluang

kejadian A saja.


19

1. Ada sebuah koin dan sebuah dadu dilemparkan duakali,

tentukan banyak ruang sampel percobaan tersebut?



2. Dua buah dadu dilempar bersamaan dengan sebuah koin

sebanyak satu kali, tentukan banyak ruang sampel

pencobaan tersebut?



3. Dalam satu kotak kartu remi berisi 52 kartu, diambil satu

kartu, peluang terambilnya kartu AS adalah?

.𝑛(𝑆) = 52

.𝑛(𝐴) = 4

.𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

4. Didalam dua kotak terdapat kartu remi berisi 104 kartu,

diambil satu kartu, peluang keambil kartu King adalah?

.𝑛(𝑆) = 104

.𝑛(𝐴) = 8

.𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

5. Dalam suatu perusahaan mengadakan penerimaan 60

orang pelamar, dari 60 orang pelamar pekerja, peluang

mereka diterima adalah 0,15. Banyak pelamar yang tidak

di terima?

.𝑛(𝑆) = 60

1.4 Kegiatan Pembelajaran 4. Soal Diskusi

Kelompok

20

.𝑛(𝑠) = 0,15

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

6. Pada sebuah kantong pelastik terdapat 10 kelereng

berwarna merah, 5 kelereng berwarna putih, 4 kelereng

berwarna kuning. Peluang terambilnya 3 kelereng putih

adalah?

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

7. Didalam kotak mainan diambil sebuah kelereng secara

acak di dalam kotak mainan yang terdiri dari 5 kelereng

merah, 4 kelereng biru, 3 kelereng putih. Peluang terambil

1 kelereng putih adalah?

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…



dadu adalah?

.𝑛(𝑆) = 36

.𝑛(𝐴) =

.𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

9. Dalam suatu percobaan pelemparan 3 koin mata uang.


.𝑛(𝑆) = 6

.𝑛(𝐴) = 1

.𝑃(𝐴) =… …

……

21

. =…

…

10. Pada suatu percobaan pelemparan 2 koin mata uang.


.𝑛(𝑆) = 4

.𝑛(𝐴) = 1

.𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

11. Dalam pelemparan 3 buah dadau peluang munculnya

bilanagn ganjil pada mata sebuah dadu adalah?

.𝑛(𝑆) =

.𝑛(𝐴) =

.𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

12. Sebuah kardus terdapat 15 bola, 6 berwarna merah, 5

berwarna biru, dan 4 berwarna kunig. Jika diambil 5 bola

secara acak. Maka carilah peluang terambinya bola:

a. Kelimanya merah

b. Kelimanya berbeda warna

c. 3 berwarna biru dan 2 berwarna kuning.



13. Dalam suatu perusahaan mengadakan penerimaan 60

orang pelamar, dari 60 orang pelamar pekerja, peluang

mereka diterima adalah 0,15. Banyak pelamar yang tidak

di terima?

.𝑛(𝑆) = 60

.𝑛(𝑠) = 0,15

𝑃(𝐴) =… …

……

22

. =…

…

14. Pada pengambilan sebuah kartu dari satu set kartu bridge,

peluang kartu yang terambil tidak bernomor adalah?

𝑛(𝑆) = 52 .𝑛(𝐴) = 12

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…



dadu adalah?

.𝑛(𝑆) = 36

.𝑛(𝐴) = 9

.𝑃(𝐴) =… …

……




.𝑛(𝑆) = 62

. = 36

.𝑃(𝐴) = ⋯

17. Didalam sebuah permainan Rama mendapatkan

kesempatan untuk melemparkan 2 buah dadu. Maka

hitunglah berapa peluang munculnya nomor yang bernilai

ganjil?

.𝑛(𝑆) = 62

. = 36

.𝑃(𝐴) = ⋯

18. Didalam suatu perusahaan sedang mengadakan

penerimaan 10 orang pelamar, dari 50 orang pelamar

23

pekerja, peluang mereka diterima adalah 0,15. Banyak

pelamar yang tidak di terima?

.𝑛(𝑆) = 50

.𝑛(𝑠) = 0,15

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

19. Pada sebuah kotak mainan terdapat 5 mobil-mobilan

berwarna merah, 4 mobil-mobilan berwarna putih, 10

mobil-mobilan berwarna kunig. Peluang terambilnya 4

mobil-mobilan berwarna berwarna putih adalah?

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

20. Pada sebuah permaian ular tangga sebuah dadu dilempar

sekali, maka tentukan peluang munculnya mata dadu 6!

𝑛(𝑆) = 6

.𝑛(𝐴) = 1

21. Sebuah kantong terdiri dari 4 biji kacang polong, 3 biji

kacang hijau, dan 5 biji kacang merah. Dari semua jenis

biji-bijian tersebut akan diambil satu kacang polong.

Tentukanlah peluang terambilnya kacang polong!

𝑛(𝑆) = 4 + 3 + 5 = 12 Titik sampel kelereng biru

.𝑛(𝐴) = 3

22. Pada sebuah permainan tiga buah koin dilempar secara

bersamaan. Tentukan peluang muncul kedua angka!

Runag sampelmya yakni

= {(A, G), (A, A), (G, A), (G, G)}

.𝑛(𝑆) = 4

24

23. Pada sebuah pelemparan tiga dadu dilemparkan secara

bersamaan.

Misalkan Y adalah seuatu kejadian muncul jumlah mata

dadu?

.𝑛(𝑌) = 6

.𝑛(𝑆) = 36

24. Pada sebuah kotak putih terdapat 6 kelereng merah dan 4

kelereng biru. Peluang mengambil 4 kelereng merah

sekaligus...

Cara agar terambilnya 4 kelereng dari 6 kelereng merah

.nK = 6C4

25. Dalam sebuah pelemparan dua buah dadu dilemparkan

secara bersamaan.

Misalkan X adalah seuatu kejadian muncul jumlah mata

dadu?

.𝑛(𝑋) = 6

.𝑛(𝑆) = 24

26. Suatu perusahaan mengadakan penerimaan 30 orang


diterima adalah 0,15. Banyak pelamar yang tidak di

terima?

.𝑛(𝑆) = 30

.𝑛(𝑠) = 0,15

𝑃(𝐴) =… …

……

. =…

…

27. Dalam sebuah permainan ular tangga pada pelemparan 3


dadu adalah?

25

.𝑛(𝑆) = 54

.𝑛(𝐴) = 9

.𝑃(𝐴) =… …

……




.𝑛(𝑆) = 6

. = 18

.𝑃(𝐴) = ⋯

29. Pada sebuah dadu dilempar duakali, tentukan banyak

ruang sampel percobaan tersebut?


30. Pada suatu pencobaan sebuah koin dilempar sebanyak

satu kali, tentukan banyak ruang sampel pencobaan

tersebut?



26

1. Didalam sebuah permainan, sebuah dadu dilemparkan




duakali, berapakah peluang munculnya:

(a) nomor dadu tidak ganjil;





4. Mona melemparkan tiga buah dadu bermata 6. Hitunglah


bernilai 4!

5. Didalam sebuah kardus yang berisi beberapa mainan

diambil sebuah kelereng secara acak dari sebuah kardus

yang terdiri dari beberapa maian mobil-mobilan, 5

kelereng merah, 2 kelereng hitam dan 3 kelereng putih.

Peluang yang terambil bukan kelereng putih adalah...

6. Dalam permaianan pelemparan 2 mata uang sekaligus.

Jika mata uang terdiri dari 2 sisi yang beruba gambar dan

1.5 Kegiatan Pembelajaran 5.Soal Latihan

Mandiri

27



7. Pada sebuah percobaan pelemparan dua buah dadu yang

berisi 6, komplemen dari kejadian muncul mata dadu 5

atau 7 adalah...



sekertaris, dan bendahara, dengan catatan bahwa

seseorang tidak boleh merangkap jabatan pengurus

dikelas. Tentukan banyak cara pemilihan pengurus

tersebut!



10. Jika sebuah dadu dilempar duakali secara bersamaan

dengan dua buah koin, tentukan banyaknya ruang sampel

dari pencobaan tersebut!

11. Dari sekumpulan kartu bridge, diambil secara acak satu

kartu. Berapakah peluang munculnya kartu yang

merupakan angka?

12. Suatu dadu dilemparkan sebanyak 100 kali, berapa


6?

13. Dua buah dadu dilemparkan sebanyk 500 kali, berapakah


4?

28

14. Didala permainan ulartangga jika tiga buah dadu dilempar

secara bersamaan, berapakah peluang dari munculnya

jumlah mata dadu 2-5?

15. Pada sebuah permainan ulartangga jika dua buah dadu

dilembpar secara bersamaan, berapakah peluang dari

munculnya jumlah mata dadu 1-3?

16. Didalam seuah lemari terdapat beberapa kotak bekas yang

berisi bola-bola, yaitu 4 bola putih dan 5 bola kuning dan

jika diambil dua kotak yang berisi beberapa bola-bola,

maka carilah peluang munculnya atau terambilnya.

a. Keduanya berwarna kunig

b. Bola pertama putih dan bola kedua berwarna kuning

c. Keduanya berwarna sama.



18. Pada sebuah percobaan pelemparan tiga buah dadu

peluang munculnya bilangan genap pada mata dadu

adalah?

19. Dalam sebuah pencobaan dalam pelemparan dadu

sebanyak duakali, berapakah peluang munculnya:





harapan munculnya dua gambar dan satu angka?

29

21. Pada sebuah permainan, sebuah dadu dilemparkan




tiga kali, berapakah peluang munculnya:


(b) nomor dadu genap?

23. Dalam sebuah pencobaan dalam pelemparan 2 mata uang



24. Enjelia melemparkan tiga buah dadu bermata 6. Hitunglah


bernilai 2!

25. Didalam sebuah kantong yang berisi beberapa mainan

diambil kelereng secara acak dari sebuah kantong yang

terdiri dari, 7 kelereng merah, 4 kelereng hitam dan 5

kelereng putih. Peluang yang terambil bukan kelereng

putih adalah...

26. Pada suatu permaianan olga melemparkan 3 uang logam

dalam pelemparan 2 mata uang logam tersebut sekaligus.

Jika mata uang terdiri dari 2 sisi yang berupa gambar dan



30

27. Dalam sebuah percobaan pelemparan tiga buah dadu yang

berisi 6, komplemen dari kejadian muncul mata dadu 4

atau 6 adalah...



sekertaris, dan bendahara, dengan catatan bahwa

seseorang tidak boleh merangkap jabatan pengurus

dikelas. Tentukan banyak cara pemilihan pengurus

tersebut!


bilangan genap pada mata dadu adalah?

30. Jika sebuah dadu dilempar tigakali secara bersamaan dengan tiga buah koin, tentukan banyaknya ruang sampel

dari pencobaan tersebut

31

1. Mampu memahami pengertian permutasi

2. Mampu mengetahui jenis-jenis permutasi

3. Mampu memahami jenis-jenis permutasi

4. Mampu memahami permutasi yang memenuhi persamaan

5. Mampu menyelesaikan soal diskusi permutasi

6. Mampu menyelesaikan soal latihan mandiri permutasi

Standar Kompetensi Indikator

Memahami konsep permutasi a. Memahami pengertian permutasi b. Mengetahui jenis-jenis permutasi c. Memahami jenis-jenis permutasi d. Memahami permutasi yang

memenuhi persamaan

e. Menyelesaikan soal diskusi permutasi

f. Menyelesaikan soal latihan mandiri permutasi

Tujuan Pembelajaran

MODUL 2

PERMUTASI

32

Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk dari suatu

kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan

memperhatikan urutan. Hal yang perlu diperhatikan dalam

permutasi adalah objek-objek yang ada harus dapat “Dibedakan”

antara yang satu dengtan yang lain. Contoh : {1,2,3} tidak sama

dengan {2,3,1} dan {3,1,2}. Banyaknya permutasi 𝑟 unsur dinyatakan 𝑃𝑟

𝑛 dengan menggunakan rumus:

𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛−𝑟)! Untuk 𝑟 ≤ 𝑛

Rumus Permutasi

𝑃(𝑛, 𝑘) =𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!

Banyak permutasi n unsur apabila disusun k unsur k adalah

dengan 𝑘 ≤ 𝑛

Contoh 1

Disebuah kelas terdapat 4 orang siswa yang dicalonkan untuk

mengisi posisinya bendahara dan sekretaris. Tentukan banyaknya

cara yang bisa digunakan untuk mengisi posisi tersebut.

Penyelesaian:

Soal di atas bisa dituliskan sebagai permutasi P(4,2), n

(banyaknya guru) = 4 dan k (jumlah posisi) = 2.

Kita masukkan ke dalam rumus:

𝑃(4,2) =4!

(4−2)!

MODUL 2

PERMUTASI

2.1 Kegiatan Pembelajaran 1.Defenisi Permutasi

33

=4×3×2×1

2×1

=24

2

= 12 Jadi terdapat 12 cara untuk mengisi posisi tersebut.

Contoh 2

Berapakah banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2 angka

berbeda yang bisa kita susun dari urutan angka 4, 8, 2, 3, dan 5?

Penyelesaian:

Pertanyaan di atas bisa disimpulkan sebagai permutasi yang

terdiri dari 2 unsur yang dipilih dari 5 unsur, maka bisa dituliskan

sebagai P(5,2). Lalu, kita masukkan ke dalam rumus :

𝑃(5,2) =5!

(5−2)!

=5×4×3×2×1

3×𝑠2×1

=120

6

= 20

Jadi, ada 20 cara yang bisa dilakukan untuk menyusun bilangan

tersebut menjadi 2 angka yang berbeda – beda

(48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28, 23, 25, 34, 38, 32, 35,

54, 53, 52).

Contoh 3

Diketahui himpunan A(𝑎, 𝑏, 𝑐). Tentukan permutasi, jika a. Diambil 2 unsur b. Diambil semua (3 unsur)

Penyelesaian:

a. Banyaknya permutasi 2 unsur dan 3 unsur

𝑃23 =

3!

(3! − 2!)

=3!

1!

=3 × 2 × 1

1

= 6

34

b. Banyaknya permutasi 3 unsur dan 3 unsur

𝑃33 =

3!

(3 − 3)!

=3!

0!

=3 × 2 × 1

1

= 6

Contoh 4

Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi

jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari

padanya selalu duduk dikursi tertentu.

Penyelesaian:

Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7

orang dengan 3 kursi kosong.

Maka banyaknya cara duduk ada :

𝑃37 =

7!

(7 − 3)!

=7!

4!

= 7.6.5 = 210 cara

Contoh 5

Tentukanlah aturan permutasi dibawah ini:

P24 =

4! − 4!

(4 − 2)! 2!=

1 × 2 × 3 × 4

1 × 2= 3 × 4 = 12

Penyelesaian:

Berdasarkan deskripsi pada contoh diatas tampak bahwa banyak

𝑃 = 2 unsur diambil dari 4 unsur yang tersedia secara umum dapat

disimpulkan bahwa banyak permutasi 𝑟 yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia.

Ditentukan dengan aturan:

35

P𝑟𝑛 = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × ⋯ ⋯ (𝑛 − 𝑟 + 1)

=𝑛!

(𝑟)! 𝑛 − 𝑟

Contoh 6

Berapa banyak cara menyusun 4 buku dari 6 buku ?

Penyelesaian:

Permutasi 4 dari 6 = 𝑃46

𝑃46 =

6!

(6−4)!

=6!

2!

=6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

2 × 1

= 360

Contoh 7

Empat mahasiswa yang diundang datang secara sendiri- sendiri

(tidak bersamaan). Banyak cara kedatangan ke empat mahasiswa?

Penyelesaian:

Diketahui n = 4, menyatakan jumlah mahasiswa yang diundang

dan r = 1, menyatakan datang secara sendiri-sendiri, maka:

𝑃(4,1) =4!

(4−1)!

=4×3×2×1

3×2×1

=24

6

= 4

36

Contoh 8

Dalam tim bola basket ada 10 orang siswa yang dicalonkan untuk

menjadi pemain. Namun hanya 5 orang yang menjadi pemain

utama. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk memilih

para pemain utama tersebut?

Penyelesaian:

𝑃(10,5) =10!

(10−5)!

=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1

5×4×3×2×1

= 3628800

120

= 30240

Contoh 9

Seorang diminta untuk memilih 3 macam lukisan dari 8 lukisan

yang tersedia untuk ditata berurutan di dinding. Tentukan banyak

cara memilih!

Penyelesaian:

𝑃38 =

8!

(8−3)!

=8!

5!

= 8 × 7 × 6 = 𝟑𝟑𝟔 𝒄𝒂𝒓𝒂

Contoh 10

Di dalam suatu ruangan terdapat 4 kursi. Jika ada 6 orang yang

akan duduk di kursi tersebut, maka banyak cara menenpeti kursi

tersebut adalah……….

Penyelesaian:

𝑃46 =

6!

(6−4)!

37

=6×5×4×3×2!

2!

=𝟕𝟐𝟎

𝟐

= 𝟑𝟔𝟎 𝒄𝒂𝒓𝒂

Pada permutasi ini, jika memiliki susunan yang sama maka

susunannya akan dihilangkan.

Permutasi unsur – unsur yang sama dapat dicari dengann rumus:

𝑃(𝑛, 𝑙1, 𝑙2, … 𝑙𝑘) =𝑛!

𝑙1! 𝑙2! … 𝑙𝑘!

Contoh 1.1

Terdapat 2 bola merah, 1 bola biru dan 3 bola putih yang sama

jenis dan ukurannya. Ada berapa cara bola-bola itu dapat disusun

berdampingan.

Penyelesaian:

Banyaknya susunan bola-bola itu adalah 6!

2! 3!=

6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

2 × 1 × 3 × 2 × 1

=720

12

= 60 Contoh 1.2

Berapa banyak kata dapat disusun dari kata AGUSTUS?

Penyelesaian:

Banyaknya huruf = 7, banyaknya s = 2, dan u=2

Maka:

𝑃2,27 =

7!

2!2!

2.2 Kegiatan Pembelajaran 2. Jenis-Jenis Permutasi

1. Permutasi Unsur – Unsur yang Sama

38

=7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

(2 × 1)(2 × 1)

= 1260 kata Contoh 1.3

Berapa banyak kata yang dapat disusun dari kata

MENGHITUNG?

Penyelesaian :

Banyak huruf = 10

Banyak huruf “N” = 2

Banyak huruf “G” = 2

Jadi, 𝑃2,210 =

10!

2!2!

=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1

(2×1)(2×1)

= 3.628.800

4

= 907.200 kata

Contoh 1.4

Berapa banyak kata yang dapat disusun dari kata FISIPOL?

Penyelesaian

Banyak huruf = 7

Banyak huruf “I” = 2

Jadi, 𝑃27 =

7!

2!

=7×6×5×4×3×2×1

2×1

=5040

2

= 2520

39

Contoh 1.5

Di sebuah ruangan berisi kardus besar didalamnya terdapat 4

balon biru, 2 balon hitam, dan 2 balon merah muda yang

bentuknya sama. Ada berapa cara balon-balon tersebut dapat

disusun dengan cara berpasangan?

Penyelesaian :

Banyak susunan bola-bola tersebut adalah :

8!

4! 2! 2!=

8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

(4 × 3 × 2 × 1)(2 × 1)(2 × 1)

=8×7×6×5

(2×1)(2×1)

= 2 × 7 × 6 × 5

= 420 susunan

Misalkan dari tiga buah angka 1, 2, dan 3 akan disusun suatu

bilangan yang terdiri atas tiga angka dengan bilangan-bilangan itu

tidak mempunyai angka yang sama, susunannya yang dapat

dibentuk adalah (123), (132), (213), (231), (312), (321).

Banyak cara untuk membuat susunan seperti itu 3 × 2 × 1 =6 cara. Susunan yang diperoleh seperti diatas disebut permutasi 3 unsur yang diambil dari 3 unsur yang tersedia. Berdasarkan

deskripsi diatas, permutasi dapat didefinisikan sebagai berikut.

Permutasi 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 yang tersedia (tiap unsur itu berbeda) adalah susunan dari 𝑟 unsur itu dalam suatu urutan (𝑟 ≤ 𝑛). Banyak permutasi 𝑟 yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia dilambangkan dengan notasi “Prn" Rumus itu digunakan dari 𝑛 terhadap 𝑟 unsur

2. Permutasi Unsur – Unsur yang Berbeda

40

Jika 𝑟 = 𝑛, maka banyak permutasi 𝑛 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia biasa yang singkat: Permutasi 𝑛 unsur dilambangkan dengan notasi “Pnn"

Contoh 2.1.

Berapa banyak susunan yang terdiri dari 3 huruf dari huruf-huruf

U,N,I,V,E,R,S,I,T,A,S?

Penyelesaian:

Ini merupakan permutasi r = 3 unsur dari n = 11 unsur berbeda.

𝑃(11,8) =11!

(11−3)!

=11!

8!

=39.916.800

40.320

= 990 susunan

Contoh 2.2


C,I,V,I,T,A,S?

Penyelesaian :

Ini merupakan permutasi r = 2 unsur dari n = 7 unsur berbeda.

𝑃(7,2) =7!

(7−2)!

=7!

5!

=7×6×5×4×3×2×1

5×4×3×2×1

=5040

120

= 42 susunan

41

Contoh 2.3


P,O,L,I,T,E,K,N,I,K?

Penyelesaian :

𝑃(10,5) =10!

(10−5)!

=10!

5!

=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1

5×4×3×2×1

= 10 × 9 × 8 × 7 × 6

= 30.240 susunan

Contoh 2.4


F,E,B,R,U,A,R,I?

Penyelesaian :

𝑃(8,4) =8!

(8−4)!

=8!

4!

=8×7×6×5×4×3×2×1

4×3×2×1

= 8 × 7 × 6 × 5

= 1680 susunan

42

Contoh 2.5


S,E,R,I,U,S?

Penyelesaian :

𝑃(6,3) =6!

(6−3)!

=6!

3!

=6×5×4×3×2×1

3×2×1

= 6 × 5 × 4

= 120 susunan

Permutasi adalah cara menyusun suatu unsur secara urut dengan

objek yang berbeda dari kelompok unsur. Permutasi sekumpulan

n dengan yang berlainan diambil secara bersama-sama

P𝑛𝑛 = 𝑛!

Suatu permutasi yang diambil dari n unsur yang berlainan adalah

penempatan r unsur itu dalam suatu urutan 𝑟 ≤ 𝑛 dan dinyatakan dalam notasi P𝑟𝑛

, P(n, r), 𝑃(𝑛𝑟), 𝑃𝑟𝑛 , atau P𝑟𝑛

. Nilai 𝑃𝑟𝑛

ditentukan oleh formula berikut ini:

P𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Jika diketahui n unsur, diantaranya adalah 𝑘 unsur yang sama (k ≤ n) maka banyaknya permutasi yang berlainan ditentukan oleh

formula berikut ini:

P =𝑛!

𝑘!

3. Permutasi Merupakan Pengembangan Dari Aturan Perkalian

4.

43

Jika n unsur yang tersedia terdapat n1unsur yang sama n2 unsur yang sama, dan n3unsur yang sama, maka banyaknya permutasi yang berlainan dari n unsur itu ditentukan oleh formula berikut ini:

𝑛!

𝑛1!𝑛2!𝑛3! dengan 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 ≤ 𝑛

Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun

unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. Permutasi

siklis berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang

melingkar. Sebagai gambaran adalah susunan duduk dari

beberapa orang pada meja bundar. Permutasi ini juga dikenal

sebagai permutasi melingkar.

Bila tersedia n unsur berbeda, maka banyak permutasi siklis dari

n unsur itu ditentukan oleh formula:

Psiklis = (𝑛 − 1)!

Rumus itu digunakan untuk n unsur yang berbeda.

Contoh 4.1

Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat

menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?

Penyelesaian:

Banyaknya cara duduk ada

(7 − 1)! = 6 ! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 cara

Contoh 4.2

Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk

mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa

4. Permutasi Siklis

44

banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja

makan tersebut dengan urutan yang berbeda?

Penyelesaian:

Permutasinya adalah sebagai berikut:

(5 -1)! = 4!

= 4 x 3 x 2 x 1

= 24

Contoh 4.3

5 buah kelereng yang akan disusun melingkar. Berapa cara untuk

menyusunnya?

Penyelesaian:

(5 − 1)!

2=

4!

2

=4 × 3 × 2 × 1

2

= 12

Contoh 4.4

Pada suatu pertemuan keluarga terdapat 4 sepasang suami istri

yang akan duduk pada meja makan keluarga. Berapa susunan

yang akan di duduk melingkar pada pertemuan makan tersebut.

Pertama-tama kita mencari banyaknya cara, setelah mencari

banyaknya cara kemudian kita mencari permutasinya.

Penyelesaian:

(4 − 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 (4 − 1)!

2=

3!

2

45

=3 × 2 × 1

2

=6

2

= 3 Contoh 4.5

7 mutiara akan dibentuk untuk sebuah gelang kaki. Ada berapa

cara mutiara tersebut dapat disusun?

Penyelesaian :

(7 − 1)! = 6!

= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 720 cara

Bila tersedia 𝑛 unsur berbeda, maka banyak permutasi berulang 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia ditentukan oleh formula:

Pberulang = nr, dengan ≤ n

Contoh 5.1

Berapa banyak permutasi berulang dari 3 huruf 𝑎, 𝑏, 𝑐 yang disusun 2 − 2 ?

Penyelesaian:

𝑃𝑏𝑒𝑟𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔 = 32

= 9 Yaitu 𝑎𝑏, 𝑎𝑐, 𝑏𝑎, 𝑏𝑐, 𝑐𝑎, 𝑐𝑏, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑐𝑐 Jadi, banyaknya permutasi pengulangan ada 9

Contoh 5.2

Berapa banyak permutasi dari 4 huruf A, B, C, dan D?

Penyelesaian:

5. Permutasi Berulang

46

Sebuah contoh permutasi atau susunan 4 huruf dalam suatu

urutan yang terdiri dari :

huruf pertama (B), huruf kedua (D), huruf ketiga (A), huruf

keempat (C)

Huruf pertama dalam susunan dapat dipilih dengan 4 cara huruf 𝐴 atau 𝐵 atau 𝐶 atau 𝐷. Kemungkinan huruf tersebut dapat ditentukan dengan cara berikut :

Huruf dapat dipilih dengan 3 cara:

Misalnya:

Huruf pertama dipilih B

Maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah D atau A atau C.

Huruf ketiga dapat dipilih dengan 2 cara:

Misalnya:

Jika huruf pertama dipilih B

Huruf kedua dipilih D

maka huruf ketiga yang dapat dipilih adalah A atau C.

Huruf keempat dapat dipilih dengan satu cara:

Misalnya:

Jika huruf pertama dipilih B

Huruf kedua dipilih D

Huruf ketiga dipilih A,

maka huruf keempat tinggal 1 pilihan yaitu huruf C.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang

mungkin itu seluruhnya adalah

4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24

Berdasarkan deskripsi pada contoh diatas tampak banyak

permutasi 4 unsur adalah

𝑃44 = 4 × 3 × 2 × 1 = 4!

Banyaknya permutasi 𝑛 ditentukan dengan aturan: Pn

n = n × (n − 1) × (n − 2) … … 3 × 2 × 1 = n!

47

Contoh 5.3

Berapa banyak susunan 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf

L,I,M,I,dan T, jika unsur-unsur yang tersedia boleh berulang?

Penyelesaian:

Banyak unsur 𝑛 = 5 Susunan terdiri dari 3 huruf (𝑟 = 2)

𝑃𝑏𝑒𝑟𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔 = 53

= 5 × 5 × 5

= 125

Jadi, terdapat 125 susunan 3 huruf yang diantaranya mengandung

beberapa huruf berulang.

Contoh 5.4

Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 2 angka yang diambil

dari angka-angka 2,14,28,12, jika angka-angka boleh berulang?

Penyelesaian :

Banyak unsur 𝑛 = 4 Susunan terdiri dari 2 angka (𝑟 = 2) 𝑃𝑏𝑒𝑟𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔 = 4

2

= 16 Jadi, terdapat 16 bilangan 2 angka yang diantaranya mengandung

beberapa angka berulang.

48

Mencari permutasi dengan sistem yang memenuhi persamaan

dapat ditentukan dengan menggunakan sistem persamaan. Maka

dengan sistem persamaan ini, kita dapat menentukan 𝑛 unsur dan juga permutasinya.

Contoh 1

Documents

BMP.UKI:JHS-O1-TPK-PM-III-2019 BUKU MATERI …repository.uki.ac.id/1811/1/BUKU MATERI PEMBELAJARAN.pdf · DAFTAR TABEL BAB 3 KAIDAH PENCACAHAN Tabel 3.3.1 Perbedaan aturan penjumlahan