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Tema 6 Puntos, rectas y planos en el espacio
1. Punto medio. Los puntos A (2, 1, 0) y B (-1, 3, -2) son vértices de un paralelogramo cuyo centro es el
punto M (1, 1, 1). Halla Los otros dos vértices y las ecuaciones del lado AB.
A y B son vértices consecutivos ya que el punto medio de AB no es M.
M es el punto medio de AA :
)1,1,1(2
0,
2
1,
2
2 zyx
212
:112
1:01
2
2
z
zy
yx
x
Luego A = (0, 1, 2)
M es el punto medio de BB :
)1,1,1(2
2,
2
3,
2
1 zyx)4,1,3(4,1,3 Bzyx
Ecuación del lado AB: vector dirección );22,3( AB punto A (2, 1,0), ecuación vectorial:
2
21
32
)2,2,3()0,1,2(,,
z
y
x
zyx Ecuaciones paramétricas.
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En este ejercicio tenemos que resolver tres ecuaciones, para obtener el punto B. Haremos la correspondiente a la
coordenada x para ver el procedimiento. Después lo haremos con y y z de igual manera.
Primero pinchamos en la pestaña Operaciones, y después en Resolver Ecuación (también podemos escribir
directamente: resolver). A continuación rellenaremos los huecos y pulsaremos el botón de igual, obteniendo el
resultado para x.
Figura 1.
),,( zyxB
A B
M
),,( zyxA
Matemáticas II – Tema 6 .
2
2. Ahora haremos lo mismo con y y z, obteniendo el punto:
Figura 2.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
2. Puntos de división. Halla las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes
iguales, siendo A (1, 3, 0) y B (-2, 5, -4).
Primero se hallará en punto P y después se hallará el punto Q, para ello:
ABOAAPOAOP3
1 ; 0,3,14,5,2
3
1)0,3,1(OP
Q P
B
A
3
4,
3
11,0
3
4,
3
11,0 P ;
O
Q es el punto medio de PB
2
434,
2
)5311(,
2
20Q ;
3
8,
3
13,1Q
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Resolveremos el vector P y el Q introduciéndolos en Wiris como corchetes y resolviéndolos como operaciones:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
3
Figura 3.
*Para poner los corchetes tenemos dos opciones: una es con el teclado, y la otra, pinchando en Operaciones, y
e el símbolo
por la barra fraccionaria con un rectángulo en el numerador y otro en el denominador.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
posteriormente, en el símbolo en el que aparecen dos corchetes a los lados de un rectángulo.
* Para escribir las fracciones, nos quedamos dentro de la pestaña Operaciones, y pinchamos sobr
representado
3. Ecuaciones implícitas en una recta. Comprueba que los planos 04: zyx y 012: zyx se cortan y halla las ecuaciones
aramétricas de la recta que determinan.
Como
p
)1,1,1( n y )1,1,2( n no son proporcionales, y se cortan en una recta r. Las ecuaciones
paramétricas de r se obtienen resolviendo el sistema que forman y :
También podemos obtener las ecuaciones paramétricas hallando el vector dirección y un punto de r:
Vector dirección de
z
y
x
zyx
zyx3
1
012
04
).3,3,0( nnr Tomamos ).1,1,0(rd
sistem
Obtenemos un punto de r, haciendo por ejemplo, z=0
en las ecuaciones de los planos y resolviendo el a que resulta. Obtenemos P (1, -3, 0). Con rd y P
scribimos las ecuaciones paramétricas de r. e
Matemáticas II – Tema 6 .
4
hora resolveremos el problema con Wiris:
is la solución del sistema sale en función de z en vez de salir
n función del parámetro, pero es la misma solución.
Figura 4.
A 1. En este ejercicio, resolveremos el sistema. Con Wir
e
nes tendrá nuestro sistema y rellenamos los huecos. Después
ulsamos en el botón igual y obtenemos la solución.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
Recordamos que para resolver un sistema pinchamos en la pestaña Operaciones, después en resolver sistema,
indicamos en la ventana emergente cuántas ecuacio
p
4. Posición de dos rectas.
Estudia la posición relativa de las rectas r y s: 312
:12
rzyx
65
2
22
:
z
y
x
s
;
)6,2,2(
)5,0,2(:
s
s
d
ps
)3,1,2(
)1,2,0(:
r
r
d
pr ;
2
622
312),( randdran sr ; )4,2,2( PP
r y s tienen distinta dirección.
3
422
622
612
),( ranPPddran sr r y s se cruzan
Ahora resolveremos el problema con Wiris:
‘igual’ y obtener el resultado.
Además, representaremos las dos rectas con los dos puntos que tenemos de ambas:
1. Calculamos el rango de ambas matrices. Para ello, pinchamos en la pestaña Matrices, luego en el símbolo de
matrices, rellenamos con los datos y escribimos ‘rango’, para luego pulsar el botón
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
5
Figura 5.
Figura 6.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
5. Rectas que se cortan.
a) Comprueba que las rectas r y s se cortan para cualquier valor de m. 22
1
4:
zyxr
b) Halla el punto de intersección para el caso m = 6. 3
3
11
1:
z
m
myxs
Matemáticas II – Tema 6 .
6
a) para cualquier valor de m, ya que 2311
224
m
ran 031
24 )4,2,2( PP ;
2
311
311
224
m
mran para cualquier valor de m, r y s se cortan.
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Calcularemos el rango de la matriz (para hacerlo pinchamos en la pestaña Matrices, luego en el símbolo para
insertar una matriz, indicamos cuántas filas y columnas tiene, y rellenamos cada hueco hasta obtener la matriz tal y
como la vemos; y por último pulsamos igual):
Figura 7.
2. Después calcularemos el determinante de la primera y la tercera columna (para ello, pinchamos en la pestaña
Matrices, luego en el símbolo para insertar un determinante, escribimos cuántas filas y columnas queremos que
tenga, y rellenamos los huecos, pulsando igual para obtener el resultado):
Figura 8.
3. Por último, calculamos el rango de la segunda matriz, de la misma forma que la primera:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
7
Figura 9.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
0 1 . Obtenemos el punto ;
b) ;
2
21
4
:
z
y
x
r
33
56
1
:
z
y
x
s
332
552
14
332
562
14
0de intersección haciendo en las ecuaciones de r, o 1 en las de s.
El punto es el (0, 1, 0).
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Este apartado lo resolveremos como uno de los anteriores, obteniendo la solución al sistema de ecuaciones.
Figura 10.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
Matemáticas II – Tema 6 .
8
*Recordamos que para resolver un sistema, pinchamos en la pestaña Operaciones y luego en resolver sistema.
Escribimos que tiene tres ecuaciones, rellenamos los espacios y pinchamos igual para obtener el resultado.
** Para insertar las letras del alfabeto griego, pinchamos como vemos en la imagen superior en la pestaña
Griego. Una vez en ella, seleccionamos la letra que queramos, y automáticamente se inserta donde tengamos el
cursor.
6. Posición de dos rectas que dependen de un parámetro. Estudia en función de a la posición relativa de las rectas:
tz
aty
atx
l
1
1
1
:
53
2
azyx
zyxl
lPaadt )1,1,1();1,,( ; Buscamos el vector director y un punto de l :
)4,3,1(),1,3()1,1,1( aaadl
Para Z = 0 obtenemos
0,4
1,
4
7Q 2
431
1),(
aa
aaranddran ll ;
No existe ningún valor de a para el cual ld y ld sean paralelos.
6
1016
14543
431
1
),(
aaaa
aa
ranPQddran ll ;
.
Si ,61a 2),( PQddran ll l y l se cortan.
Si ,61a 3),( PQddran ll l y l se cruzan Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En primer lugar calculamos el determinante de la matriz (para ello escribimos la matriz y a continuación la
seleccionamos y pulsamos en el botón determinante que se encuentra dentro de la pestaña ‘Matrices’). Después,
igualamos el resultado a 0 y lo resolvemos como una ecuación.
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
9
Figura 11.
2. Por último, para a igual a 1/6, el rango es 2 mientras que para cualquier otro es 3. Para los primeros se cortan,
mientras que para los segundos se cruzan. De esta forma, lo comprobamos calculando el rango de ambas matrices:
Figura 12.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
7. Puntos coplanarios.
Se consideran los cinco puntos cuyas coordenadas son: ),2,1,1(1 P ),3,2,2(2 P ),3,3,3(3 P
¿Forman parte de un mismo plano? ),0,3,3(4 P ).3,4,3(5 P
Hallamos la ecuación del plano determinado por ,1P 2P y :3P
)2,1,1(
)1,4,4(
)1,3,3(
1
31
21
P
PP
PP
Ecuación implícita del plano : 0:0
144
133
211
yx
zyx
Matemáticas II – Tema 6 .
10
Comprobamos si los puntos 4P y 5P pertenecen a ese plano:
033)0,3,3(4P ; 043)3,4,3(5P
Los puntos y no están en un mismo plano. ,1P ,2P ,3P 4P 5P Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Calculamos el determinante e igualamos el resultado a 0 como en el ejercicio 6:
Figura 13.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
8. Plano dado por dos rectas paralelas.
Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas siguientes:
1
32
3
:
z
y
x
r
3
3
2
:
z
y
x
s
Estudiamos la posición relativa de r y s:
Ps
P
r
,1031
031
ran
2
221
031
031
ran r y s son paralelas.
Tomamos como vectores del plano el vector director de r y el vector ).2,2,1( PP
Con estos vectores y un punto de r o s, escribimos la ecuación del plano:
0
201
232
113
z
y
x
027526 zyx
)3,0,2(
)1,2,3(
P
P
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
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Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Calculamos el rango de la matriz (pinchamos en la pestaña Matrices, luego en el símbolo de Matrices,
rellenamos los huecos, y escribimos delante de la matriz ‘rango’, pulsamos el botón de igual y tenemos el rango):
Figura 14.
2. Calculamos el otro determinante de la misma forma que el primero.
Figura 15.
3. Por último, resolveremos el determinante de la misma forma que en ejercicios anteriores (pinchamos en
Matrices, luego en el símbolo de Determinantes, y a continuación rellenamos cada hueco, para luego pulsar igual y
obtener el resultado):
Matemáticas II – Tema 6 .
12
Figura 16.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
9. Plano dado por dos rectas secantes. Comprueba que las siguientes rectas determinan un plano y halla su ecuación.
1r
2r
4
21
2
1
z
y
x
r
3
2
21
2
z
y
x
r
1r 2r y tienen distinta dirección y como ,0
431
312
121
1r 2r y se cortan.
Tomamos como vectores directores de y y un punto cualquiera de o 1r 2r 1r 2r ).4,1,2(P
Ecuación del plano: 0
314
121
212
z
y
x
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Calculamos el valor del determinante tal y como lo hemos hecho antes:
01 zyx
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
13
Figura 17.
2. Para saber el valor de x, y y z, calculamos el determinante:
Figura 18.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
10. Posición de recta y plano.
a) Determina a y b para que el plano bazyx 2: contenga a la recta
02
1
zyx
zyxr
b) ¿Para que valores de a y b es r paralela a ? c) ¿Para que valores corta r a ? Halla el punto de corte en el caso a = 0 y b = 7. a) El vector normal del plano y el vector director de la recta deben ser perpendiculares: ),1,2( an
1,2,31,2,1)1,1,1( d
Matemáticas II – Tema 6 .
14
40260 aadn
Un punto cualquiera de r tiene que pertenecer a . Hacemos z = 0 para
obtener un punto:
3041122)0,1,2( bbPrP b) r será paralela a si y . 4a 3b c) r cortará a si y b toma cualquier valor. 4a
Para hallar el punto de corte, expresamos r en paramétricas:
z
y
x
r 21
32
El punto que buscamos es de la forma: ),21,32( Q Hacemos que Q con a = 0 y b = 7:
1721)32(2 Sustituimos en r: )1,3,5( Q
Para resolver este problema no es necesario usar Wiris, pero se ha incluido porque puede ser útil para el
estudiante.
11. Posición de tres planos.
Indica los valores de a para que los tres planos
1:
2:
1:
3
2
1
zayx
aazyx
azyx
a) Se corten en un punto.
b) Se corten en una recta.
c) No se corten.
En primer lugar se va a calcular el determinante de la matriz A
;232 aaA 2,10 aaA
a) Se cortan en un punto si y ya que, en ese caso, el sistema es compatible determinado:
1a ,2a
.3)()( AranAran
b) Se cortan en una recta si ,2a ya que )(Aran 2)( Aran .
c) Si y El sistema es incompatible. Por tanto, los planos no tienen ningún punto
en común.
,1a 2)( Aran .3)( Aran
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15
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En primer lugar, escribimos la matriz A y la nombramos, a continuación igualamos el determinante de la matriz
a 0. Después, calculamos el rango de la matriz:
Figura 19.
2. Por último, escribimos la matriz ampliada y la nombramos, y a continuación, calculamos su rango de la misma manera que en la figura anterior:
Figura 20.
*Para resolver la ecuación de segundo grado, pinchamos en la pestaña Operaciones, luego en Resolver ecuación.
Entonces, rellenamos con los datos de la ecuación que queremos resolver, y pulsamos el botón igual para obtener
la solución.
** Recordamos que para escribir una potencia, pulsamos el botón de Potencia (representado por un rectángulo
con un cuadrado en el superíndice).
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
Matemáticas II – Tema 6 .
16
12. Determinación de un plano. Dada la recta r y el plano halla un plano que contenga a la recta r y corte al plano en una recta paralela al
plano OXY.
3
1
y
xr 01: zyx
al plano buscado. Expresamos r en paramétrica.
z
y
x
r 3
1
:Llamaremos
El vector director de r, ),1,0,0(rd es un vector de . Un punto cualquiera de r, es un punto de ),0,3,1(P .
Sea s la recta intersección de y . Como s está contenida en , su vector director es ortogonal a );1,1,1(n y
por ser paralela a OXY, es también ortogonal al vector normal de OXY, ).1,0,0(n Por tanto,
)0,1,1()1,0,0()1,1,1( sd es un vector de .
Ecuación del plano 040
011
100
31
yx
zyx
.
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. De nuevo, para resolver este ejercicio, calcularemos el determinante:
Figura 21.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
13. Recta que corta a otras dos.
Encuentra la recta que pasa por P (1, 0,-1) y corta a las rectas y de ecuaciones: 1l 2l
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17
1l 1 2l
042
0123:1 zyx
zyxl
tz
ty
tx
l
1
3
2
Pasamos a paramétrica, y estudiamos la posición relativa de l y :
,
79
551
z
y
x
l 12121 3),,( lPPdd ran y
se cruzan. 2l Sea ),,( cbav
el vector director de la recta buscada, r, que pasa por P y corta a y Este vector debe cumplir: 1l .2l
0230
851
751 cba
cba
y 00
202
111
ca
cba
Resolviendo el sistema obtenemos infinitas soluciones, que son los vectores directores de
0
023
ca
cba
,
3
1,:r
Tomamos uno cualquiera de ellos y, con el punto P, escribimos las ecuaciones paramétricas de
31
31
:
z
y
x
r
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Como en los ejercicios anteriores, introduciremos los datos en la matriz determinante y pulsamos el botón igual
con ambas matrices:
Figura 22.
Matemáticas II – Tema 6 .
18
Figura 23.
2. Por último, resolvemos el sistema de ecuaciones como en otros ejercicios anteriores:
Figura 24.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
Otra forma de resolver el problema. La recta r esta determinada por los siguientes planos:
: Contiene a la recta y al punto P: 1l 0
851
751
11
zyx
: contiene a la recta y al punto P: 2l 0
202
111
11
zyx
Así:
02
0323:
zx
zyxr
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
19
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. La otra manera de resolver este ejercicio es calcular los determinantes e igualar el resultado a 0:
Figura 25.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
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