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Ejercicio 1. Representar las rectas siguientes:
332 =− yx
1835 =+ yx
Figura 1.
Solución:
332332 −
=→=−xyyx
X -3 0 3 6 9 ... Y -3 -1 1 3 5 ...
35181835 xyyx −
=→=+
x 0 1 2 3 6 ... y 6 13/3 8/3 1 -4 ...
El punto donde se cortan las rectas, (3, 1), es la solución común de ambas ecuaciones: 3=x , 1=y .
Tema 6: Sistemas de ecuaciones.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
2
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar una función, debemos insertar primero su esquema. Para hacerlo, pinchamos en la
pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Representar’.
Figura 2.
2. Cuando tengamos el esquema, entre los paréntesis escribiremos dicha función, sabiendo que para los
signos de suma y resta utilizamos los correspondientes signos del teclado: + y -.
Figura 3.
3. El último paso para obtener la representación gráfica es pinchar en el icono ‘=’ que vemos a la derecha
de las operaciones que hemos escrito. El gráfico aparecerá en una ventana independiente.
Figura 4.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
3
Figura 5.
4. Comprobaremos la solución resolviendo el sistema. Insertamos un sistema pinchando en el icono
‘Resolver sistema’, que encontramos también en la pestaña ‘Operaciones’. En ese momento nos
aparecerá la ventana que vemos en la siguiente imagen. En ella indicamos el número de ecuaciones
que queremos que tenga nuestro sistema y pinchamos en ‘Aceptar’.
Figura 6.
5. Después del paso anterior nos aparecerá el siguiente esquema. En él, tendremos un hueco para cada
miembro de ambas ecuaciones.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
4
Figura 7.
6. Rellenamos los huecos teniendo en cuenta lo que hemos visto en el paso anterior y pinchamos en el
icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 8.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 2.
Comprueba si cada uno de los pares de valores siguientes es solución de la ecuación 1234 =− yx : Solución:
a) 6=x , 4=y
Sustituimos los dos puntos en la ecuación y operamos:
12121212241243641234 =→=−→=⋅−⋅→=− yx Como podemos ver, al sustituir estos valores, la igualdad tiene sentido, por lo que ambos pertenecen a
una solución de la ecuación.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
5
b) 6=x , 12=y
Sustituimos los dos puntos en la ecuación y operamos:
121212362412123641234 =−→=−→=⋅−⋅→=− yx Al operar hasta dejar la ecuación simplificada, vemos que el valor de un miembro no coincide con el
valor en el otro, por lo que los puntos no son solución.
c) 0=x , 4−=y Sustituimos los dos puntos en la ecuación y operamos:
( ) 12121243041234 =→=−⋅−⋅→=− yx Al igual que en el primer apartado, al sustituir en la ecuación, obtenemos el mismo resultado en ambas
partes de la ecuación, por lo que el par de coordenadas dado es una solución a la ecuación.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, escribiremos el nombre que vamos a darle a la ecuación. Este será una letra (F) y la
escribiremos seguida de unos paréntesis entre los que pondremos las variables de la ecuación (si
tuviera sólo una sería x, pero al tener dos, escribimos ambas separadas por una coma).
Figura 9.
2. Después de escribir el nombre, insertamos un símbolo ‘=’ y después la función entre paréntesis. Los
paréntesis son muy importantes para no confundir a Wiris con los dos signos =.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
6
Figura 10.
3. Ahora sustituiremos el punto en la función. Por eso le hemos dado nombre, ahora sólo tenemos que
escribir el nombre de la función y en el lugar de las variables, escribimos las coordenadas del punto.
Cuando esté planteado pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 11.
4. Repetimos el paso anterior con otros dos pares de coordenadas. Wiris sustituirá estos en la función
siempre que los escribamos dentro del mismo bloque y pinchemos en el icono ‘=’.
Figura 12.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
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Ejercicio 3.
Representa las rectas de ecuaciones:
a) 62 =− yx
b) 0=+ yx
¿Cual es la solución común a ambas ecuaciones? Solución:
6262 −=→=− xyyx
X -2 0 2 4 5 ... Y -10 -6 -2 2 4 ...
xyyx −=→=+ 0
X -2 0 2 4 5 ... Y 2 0 -2 -4 -5 ...
El punto donde se cortan las rectas, (2, -2), es la solución común de ambas ecuaciones: 2=x , 2−=y .
Figura 13.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar una ecuación, pinchamos en el icono ‘Representar’, que encontramos en la pestaña
‘Operaciones’.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
8
Figura 14.
2. Cuando tengamos el esquema, entre los paréntesis escribiremos dicha función, sabiendo que para los
signos de suma y resta utilizamos los correspondientes signos del teclado: + y -.
Figura 15.
3. El último paso para obtener la representación gráfica es pinchar en el icono ‘=’ que vemos a la derecha
de las operaciones que hemos escrito. El gráfico aparecerá en una ventana independiente.
Figura 16.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
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Figura 17.
4. Comprobaremos la solución resolviendo el sistema. Insertamos un sistema pinchando en el icono
‘Resolver sistema’, que encontramos también en la pestaña ‘Operaciones’. En ese momento nos
aparecerá la ventana que vemos en la siguiente imagen. En ella indicamos el número de ecuaciones
que queremos que tenga nuestro sistema y pinchamos en ‘Aceptar’.
Figura 18.
5. Después del paso anterior nos aparecerá el siguiente esquema. En él, tendremos un hueco para cada
miembro de ambas ecuaciones.
Figura 19.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
10
6. Rellenamos los huecos teniendo en cuenta lo que hemos visto en el paso anterior y pinchamos en el
icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 20.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 4.
Estudiar si alguno de los pares 3−=x , 5=y y 2=x , 21
=y es solución de cada uno de los
siguientes sistemas:
a)
=+=+
8431565
yxyx
b)
=+−=−
23109143
yxyx
c)
=+=−
231094207
yxyx
Solución:
Recuerde que un par x e y es solución de un sistema cuando lo es de ambas ecuaciones.
a)
=+=+
==
=+−=+−
=−=
=+=+
SOLUCIÓNESNOSÍNO
yx
SOLUCIÓNESNONOSÍ
yx
yxyx
82613310
21,2
11209153015
5,3
8431565
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
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b)
=+=−
==
=+−−=−−
=−=
=+−=−
SOLUCIÓNESNOSÍNO
yx
SOLUCIÓNESSÍNOSÍ
yx
yxyx
235182/112/16
21,2
2350271459
5,3
23109143
c)
=+=−
==
=+−−=−−
=−=
=+=−
SOLUCIÓNESSÍSÍSÍ
yx
SOLUCIÓNESNOSÍNO
yx
yxyx
2351841014
21,2
23502712110021
5,3
231094207
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, escribiremos el nombre que vamos a darle a la ecuación. Este será una letra (F) y la
escribiremos seguida de unos paréntesis entre los que pondremos las variables de la ecuación (si
tuviera sólo una sería x, pero al tener dos, escribimos ambas separadas por una coma).
Figura 21.
2. Después de escribir el nombre, insertamos un símbolo ‘=’ y después una lista vertical. Encontraremos
una, pinchando en el icono ‘Lista vertical’, que encontramos señalado en la siguiente imagen, dentro
de la pestaña ‘Operaciones’. Cuando nos aparezca una ventana en la que indicar el número de filas,
escribiremos cuántas ecuaciones queremos que tenga y pincharemos en ‘Aceptar’.
Figura 22.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
12
3. En la siguiente imagen vemos la apariencia que tiene la lista vertical después del nombre que hemos
dado al sistema.
Figura 23.
4. En cada hueco de la lista insertaremos una de las funciones, quedando planteado de la siguiente
manera.
Figura 24.
5. Ahora sustituiremos el punto en la función. Por eso le hemos dado nombre, ahora sólo tenemos que
escribir el nombre de la función y en el lugar de las variables, escribimos las coordenadas del punto.
Cuando esté planteado pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 25.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
13
6. Repetimos el paso anterior con otros dos pares de coordenadas. Wiris sustituirá estos en la función
siempre que los escribamos dentro del mismo bloque y pinchemos en el icono ‘=’.
Figura 26.
7. Siguiendo los pasos anteriores, resolveremos el apartado b. Hemos escogido la letra g para que
observemos que el nombre elegido para llamar al sistema es indiferente mientras que sea ese el que
conservemos para los puntos que hay que sustituir en el mismo bloque.
Figura 27.
8. De igual manera resolveremos el apartado c.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
14
Figura 28.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 5.
Di si alguno de los pares 1−=x , 4=y y 7=x , 8=y es solución de cada uno de los siguientes sistemas:
a)
−=−=+−
922656
yxyx
b)
=−=+−
5231842
yxyx
c)
=+=+
13435
yxyx
d)
−=−=+
115
yxyx
Solución:
Recordaremos que un par de coordenadas solamente es solución de un sistema cuando lo es de
ambas ecuaciones.
a)
−=−−=+−
==
−=−−=+
=−=
−=−=+−
SOLUCIÓNESNOSÍNO
yx
SOLUCIÓNESSÍSÍSÍ
yx
yxyx
916724042
8,7
98126206
4,1
922656
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
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b)
=−=+−
==
−=−−=+
=−=
=−=+−
SOLUCIÓNESSÍSÍSÍ
yx
SOLUCIÓNESNONOSÍ
yx
yxyx
51621183214
8,7
118318162
4,1
5231842
c)
=+=+
==
=+−−=+−
=−=
=+=+
SOLUCIÓNESNONONO
yx
SOLUCIÓNESNOSÍNO
yx
yxyx
2982143835
8,7
143145
4,1
13435
d)
−=−=+
==
−=−−=+−
=−=
=−=+
SOLUCIÓNESNONOSÍ
yx
SOLUCIÓNESNONONO
yx
yxyx
1871587
8,7
541341
4,1
115
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, escribiremos el nombre que vamos a darle a la ecuación. Este será una letra (F) y la
escribiremos seguida de unos paréntesis entre los que pondremos las variables de la ecuación (si
tuviera sólo una sería x, pero al tener dos, escribimos ambas separadas por una coma).
Figura 29.
2. Después de escribir el nombre, insertamos un símbolo ‘=’ y después una lista vertical. Encontraremos
una, pinchando en el icono ‘Lista vertical’, que encontramos señalado en la siguiente imagen, dentro
de la pestaña ‘Operaciones’. Cuando nos aparezca una ventana en la que indicar el número de filas,
escribiremos cuántas ecuaciones queremos que tenga y pincharemos en ‘Aceptar’.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
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Figura 30.
3. En la siguiente imagen vemos la apariencia que tiene la lista vertical después del nombre que hemos
dado al sistema.
Figura 31.
4. En cada hueco de la lista insertaremos una de las funciones, quedando planteado de la siguiente
manera.
Figura 32.
5. Ahora sustituiremos el punto en la función. Por eso le hemos dado nombre, ahora sólo tenemos que
escribir el nombre de la función y en el lugar de las variables, escribimos las coordenadas del punto.
Cuando esté planteado pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
17
Figura 33.
6. Repetimos el paso anterior con otros dos pares de coordenadas. Wiris sustituirá estos en la función
siempre que los escribamos dentro del mismo bloque y pinchemos en el icono ‘=’.
Figura 34.
7. Siguiendo los pasos anteriores, resolveremos el apartado b.
Figura 35.
8. De igual manera resolveremos el apartado c.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
18
Figura 36.
9. De nuevo, seguiremos los pasos para sustituir los puntos en las dos ecuaciones y ver si corresponde o
no a estas.
Figura 37.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 6.
Representa estos tres sistemas equivalentes que se obtienen para resolver el primero de ellos:
=−=+
39
yxyx
→
==+122
9x
yx →
==
36
yx
Solución:
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
19
- PRIMER SISTEMA:
=−=+
39
yxyx
xyyx −=→=+ 99
X 0 3 6 9 10 ... Y 9 6 3 0 -1 ...
33 −=→=− xyyx
X 0 3 6 9 10 ... Y -3 0 3 6 7 ...
El punto donde se cortan las rectas, (6, 3), es la solución común de ambas ecuaciones: 6=x , 3=y .
Figura 38.
- SEGUNDO SISTEMA:
==+122
9x
yx
xyyx −=→=+ 99
X 0 3 6 9 10 ... Y 9 6 3 0 -1 ...
62
12122 ==→= xx
X 6 6 6 6 6 ... Y -3 0 3 6 7 ...
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
20
El punto donde se cortan las rectas, (6, 3), es la solución común de ambas ecuaciones: 6=x , 3=y .
Figura 39.
- TERCER SISTEMA:
==
36
yx
6=x
X 6 6 6 6 6 ... Y 9 6 3 0 -1 ...
3=y
X 0 3 6 9 10 ... Y 3 3 3 3 3 ...
El punto donde se cortan las rectas, (6, 3), es la solución común de ambas ecuaciones: 6=x , 3=y .
Figura 40.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
21
- SOLUCIÓN DEL SISTEMA
=−=+
39
yxyx
1º Despejamos una variable, por ejemplo x en una ecuación (elegiremos la segunda).
yxyx +=→=− 33 2º Ahora sustituimos el resultado del paso anterior donde veamos “x” en la otra ecuación (la primera) y
operamos:
( ) 326629239393 =→=→=→=+→=++→=++ yyyyyyyy
3º Ya tenemos uno de los valores de las coordenadas. El siguiente paso es sustituir este valor en la
ecuación que hemos tenido de x, para conocer el valor numérico de esta variable.
6333 =→+=→+= xxyx
4º Por último, observamos que ya tenemos nuestra solución. Los valores que dan sentido al sistema son
x=6 e y=3.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar una función, pinchamos en el icono ‘Representar’ que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’.
Figura 41.
2. El siguiente paso es rellenar los paréntesis con nuestras ecuaciones. Debemos tener en cuenta que
para representar dos, tenemos dos opciones: en primer lugar, hacerlo por separado, para lo que
debemos usar la función “representar” en dos bloques distintos; y en segundo lugar, representar
ambas en la misma cuadrícula, para lo que las escribiremos en el mismo bloque, como en este
ejercicio.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
22
Figura 42.
Figura 43.
3. Repetiremos el mismo procedimiento con el segundo sistema.
Figura 44.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
23
Figura 45.
4. De nuevo, seguiremos los pasos 1 y 2 con el tercer sistema.
Figura 46.
Figura 47.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
24
5. Insertaremos un sistema de ecuaciones, pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña
‘Operaciones’. Entonces veremos una pequeña ventana en la que deberemos indicar cuántas
ecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y pinchar en el icono ‘Aceptar’.
Figura 48.
6. Ahora nos aparecerá el esquema del sistema. En él, hay un hueco para cada miembro de cada una de
las dos ecuaciones que hemos indicado.
Figura 49.
7. Rellenamos estos huecos con los datos que nos da el ejercicio y pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer la solución del sistema.
Figura 50.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
25
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 7.
Representa los pares de rectas correspondientes a cada sistema y di si son equivalentes:
a)
=+−=−
82222
yxyx
b)
==−2
0y
xy
Solución:
- PRIMER SISTEMA:
=+−=−
82222
yxyx
22
222222 xyxyxyyx +
=→−−−
=→−−=−→−=−
X -2 0 2 4 6 ... Y 0 1 2 3 4 ...
xyxyxyyx −=→−
=→−=→=+ 4228282822
X -2 0 2 4 6 ... Y 6 4 2 0 -2 ...
El punto donde se cortan las rectas, (2, 2), es la solución común de ambas ecuaciones: 2=x , 2=y .
Figura 51.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
26
- SEGUNDO SISTEMA:
==−2
0y
xy
xyxy =→=− 0
X -2 0 2 4 6 ... Y -2 0 2 4 6 ...
2=y
X -2 0 2 4 6 ... Y 2 2 2 2 2 ...
El punto donde se cortan las rectas, (2, 2), es la solución común de ambas ecuaciones: 2=x , 2=y .
Figura 52.
Como podemos observar, ambos sistemas sí son equivalentes, ya que aunque tengan distintas
ecuaciones, obtenemos el mismo resultado.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para representar una función, pinchamos en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono
‘Representar’.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
27
Figura 53.
2. El siguiente paso es rellenar el hueco entre los paréntesis con la función. Si queremos que aparezcan
las dos funciones en la misma representación, como es en este caso, escribimos las dos funciones
“representar” dentro del mismo bloque. Después, pinchamos en el icono ‘=’ y obtendremos la
solución.
Figura 54.
Figura 55.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
28
3. Solucionaremos un sistema de ecuaciones pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, que encontramos
en la pestaña ‘Operaciones’. Entonces indicamos las ecuaciones que queremos que tenga el sistema y
pinchamos en el icono ‘Aceptar’ para confirmarlo.
Figura 56.
4. Después, aparecerá el siguiente esquema. En él, escribiremos los datos de nuestro sistema.
Figura 57.
5. Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 58.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
29
6. Ahora repetiremos los pasos 1 y 2 con el segundo sistema de ecuaciones (el apartado b).
Figura 59.
Figura 60.
7. Para obtener los puntos de corte del apartado b, seguiremos las instrucciones de los pasos 3, 4 y 5.
Figura 61.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
30
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 8.
Resolver por el método de sustitución el sistema siguiente:
=+=+
2236125
yxyx
Solución:
• Despejamos la y en la 2ª ecuación: 232 xy −
=
• Sustituimos esta expresión de la y en la 1ª : 6232125 =
−
+xx
• Resolvemos la ecuación resultante:
( )136
261212261236241012321210 =
−−
=→−=−→=−+→=−+ xxxxxx
• Sustituimos el valor de x en 134
213632
232
=
⋅−
=→−
= yxy
• Se ha obtenido la solución: 136
=x , 134
=y
Comprueba que la solución es correcta sustituyendo en el sistema original x e y por los valores
obtenidos.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Insertaremos un sistema de ecuaciones, pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña
‘Operaciones’. Entonces veremos una pequeña ventana en la que deberemos indicar cuántas
ecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y pinchar en el icono ‘Aceptar’.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
31
Figura 62.
2. Ahora nos aparecerá el esquema del sistema. En él, hay un hueco para cada miembro de cada una de
las dos ecuaciones que hemos indicado.
Figura 63.
3. Rellenamos estos huecos con los datos que nos da el ejercicio teniendo en cuenta que insertaremos
los signos de suma y resta con sus correspondientes símbolos del teclado: + y -.
Figura 64.
4. Pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución del sistema.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
32
Figura 65.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 9.
Resuelve, por el método de sustitución, los siguientes sistemas:
a)
=+=+
137553
yxyx
b)
=−=+
33036
yxyx
c)
=+=+
132493
yxyx
d)
=+=−
175114
yxyx
Solución:
a)
=+=+
137553
yxyx
1º Despejamos una variable, por ejemplo x en una ecuación (elegiremos la primera).
yxyx 3553 −=→=+ 2º Ahora sustituimos el resultado del paso anterior donde veamos “x” en la otra ecuación (la segunda) y operamos:
( )23
812128138251371525137355 =→=→=→=−→=+−→=+−⋅ yyyyyyyy
3º Ya tenemos uno de los valores de las coordenadas. El siguiente paso es sustituir este valor en la ecuación que
hemos tenido de x, para conocer el valor numérico de esta variable.
21
233535 =→⋅−=→−= xxyx
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
33
4º Por último, observamos que ya tenemos nuestra solución. Los valores que dan sentido al sistema son x=1/2 e
y=3/2.
b)
=−=+
33036
yxyx
1º Despejamos una variable, en este caso, y en la segunda ecuación.
3333 −=→=− xyyx 2º Ahora sustituimos el resultado del paso anterior donde veamos “y” en la primera ecuación y operamos:
( )53
159915099603336 =→=→=→=−+→=−⋅+ xxxxxxx
3º Ya tenemos uno de los valores de las coordenadas. El siguiente paso es sustituir este valor en la ecuación que
hemos obtenido de y, para conocer el valor numérico de esta variable.
563
53333 −
=→−⋅=→−= yyxy
4º Por último, observamos que ya tenemos nuestra solución. Los valores que dan sentido al sistema son x=3/5 e
y=-6/5.
c)
=+=+
132493
yxyx
1º Despejamos una variable, en este caso, x en la primera ecuación.
394943493 yxyxyx −
=→−=→=+
2º Ahora sustituimos el resultado del paso anterior donde veamos “x” en la otra ecuación y operamos:
95
95593918813
318813
3942 =→
−−
=→−=−→=+−→=+−
→=+
−⋅ yyyyyyyyy
3º Ya tenemos uno de los valores de las coordenadas. El siguiente paso es sustituir este valor en la ecuación que
hemos tenido de x, para conocer el valor numérico de esta variable.
31
354
39594
394 −
=→−
=→⋅−
=→−
= xxxyx
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
34
4º Por último, observamos que ya tenemos nuestra solución. Los valores que dan sentido al sistema son x=-1/3 e
y=5/9.
d)
=+=−
175114
yxyx
1º Despejamos una variable, por ejemplo x en una ecuación (elegiremos la primera).
yxyx 411114 +=→=− 2º Ahora sustituimos el resultado del paso anterior donde veamos “x” en la otra ecuación (la segunda) y operamos:
( ) 22754542712755172055174115 −=→
−=→−=→=+→=++→=++⋅ yyyyyyyy
3º Ya tenemos uno de los valores de las coordenadas. El siguiente paso es sustituir este valor en la ecuación que
hemos tenido de x, para conocer el valor numérico de esta variable.
3811411 =→−=→+= xxyx
4º Por último, observamos que ya tenemos nuestra solución. Los valores que dan sentido al sistema son x=3 e
y=-2.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para resolver un sistema de ecuaciones, pinchamos en el icono ‘Resolver sistema’, que encontramos en
la pestaña ‘Operaciones’. Después aparecerá una ventana en la que indicaremos cuántas ecuaciones
tendrá el sistema y pincharemos en el icono ‘Aceptar’.
Figura 66.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
35
2. El siguiente paso es rellenar los huecos con los datos de nuestro sistema y pinchar en el icono ‘=’ para
conocer la solución.
Figura 67.
3. Apartado a.
Figura 68.
4. Apartado b.
Figura 69.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
36
5. Apartado c.
Figura 70.
6. Apartado d.
Figura 71.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 10.
Resolver por el método de igualación el siguiente sistema:
=+=+
2236125
yxyx
Solución:
• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: 5126 yx −
= , 322 yx −
=
• Igualamos ambas expresiones: 322
5126 yy −
=−
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
37
• Resolvemos la ecuación resultante:
134
2688261810103610103618)22(5)126(3 =
−−
=→−=−→−=+−→−=−→−=− yyyyyyyy
• Sustituimos el valor de y en cualquiera de las expresiones del primer paso:
136
313422
=
⋅−
=x
• Hemos obtenido la solución: 136
=x , 134
=y
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Insertaremos un sistema de ecuaciones, pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña
‘Operaciones’. Entonces veremos una pequeña ventana en la que deberemos indicar cuántas
ecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y pinchar en el icono ‘Aceptar’.
Figura 72.
2. Ahora nos aparecerá el esquema del sistema. En él, hay un hueco para cada miembro de cada una de
las dos ecuaciones que hemos indicado.
Figura 73.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
38
3. Rellenamos estos huecos con los datos que nos da el ejercicio y pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer la solución del sistema.
Figura 74.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 11.
Resuelve, por el método de igualación, los siguientes sistemas:
a)
=+=+
137553
yxyx
b)
=−=+
33036
yxyx
c)
=+=+
132493
yxyx
d)
=+=−
175114
yxyx
Solución:
a)
=+=+
137553
yxyx
• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: yx 35 −= , 5
713 yx −=
• Igualamos ambas expresiones: 5
71335 yy −=−
• Resolvemos la ecuación resultante:
23
81212825137157131525713)35(5 =−−
=→−=−→−=+−→−=−→−=− yyyyyyyy
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
39
• Sustituimos el valor de y en cualquiera de las expresiones del primer paso:
21
233535 =⋅−=−= yx
• Hemos obtenido la solución: 21
=x , 23
=y
b)
=−=+
33036
yxyx
• Despejamos y en cada una de las ecuaciones: xxy 236
−=−
= , 33 −= xy
• Igualamos ambas expresiones: 332 −=− xx
• Resolvemos la ecuación resultante:
53
5335332 =→
−−
=→−=−→−=−− xxxxx
• Sustituimos el valor de x en cualquiera de las expresiones del primer paso:
56
5322 −=⋅−=→−= yxy
• Hemos obtenido la solución: 53
=x , 56−
=y
c)
=+=+
132493
yxyx
• Despejamos y en cada una de las ecuaciones: 934 xy −
= , 321 xy −
=
• Igualamos ambas expresiones: 321
934 xx −
=−
• Resolvemos la ecuación resultante:
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
40
( )31134336633421334 −
=→−=→−=−→−=−→−⋅=− xxxxxxxx
• Sustituimos el valor de x en cualquiera de las expresiones del primer paso:
95
93134=
−⋅−
=x
• Hemos obtenido la solución: 31−
=x , 95
=y
d)
=+=−
175114
yxyx
• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: yx 411+= , 571 yx −
=
• Igualamos ambas expresiones: 571411 yy −
=+
• Resolvemos la ecuación resultante:
22754542755172071205571)411(5 −=
−=→−=→−=+→−=+→−=+⋅ yyyyyyyy
• Sustituimos el valor de y en cualquiera de las expresiones del primer paso:
( ) 32411 =−+=x
• Hemos obtenido la solución: 3=x , 2−=y - Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono
‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2
ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
41
Figura 75.
2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán
los miembros de cada ecuación. De esta forma, rellenamos con las ecuaciones del sistema que
queremos resolver y pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución.
Figura 76.
3. Apartado a.
Figura 77.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
42
4. Apartado b.
Figura 78.
5. Apartado c.
Figura 79.
6. Apartado d.
Figura 80.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
43
Ejercicio 12.
Resolver por el método de reducción estos sistemas: Solución:
a)
=−−=+3373
175yxyx
Sumando ambas ecuaciones desaparece la y :
328 =x → 4=x ; 1745 −=+⋅ y → 3−=y Solución: 4=x , 3−=y
b)
=+=+
201071052
yxyx
Multiplicando la primera por -2, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:
=+−=−−20107
20104yxyx
Sumando: x3 0= → 0=x Sustituyendo: 10502 =+⋅ y → 2=y Solución: ,0=x 2=y
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para resolver un sistema de ecuaciones, pinchamos en el icono ‘Resolver sistema’, que encontramos en
la pestaña ‘Operaciones’. Después aparecerá una ventana en la que indicaremos cuántas ecuaciones
tendrá el sistema y pincharemos en el icono ‘Aceptar’.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
44
Figura 81.
2. El siguiente paso es rellenar los huecos con los datos de nuestro sistema y pinchar en el icono ‘=’ para
conocer la solución.
Figura 82.
3. Apartado a.
Figura 83.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
45
4. Apartado b.
Figura 84.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 13.
Resuelve, por el método de reducción, los siguientes sistemas:
a)
=−=+
38541153
yxyx
b)
=+=+
137553
yxyx
c)
=+=−
175114
yxyx
d)
=−=+
33036
yxyx
Solución:
a)
=−=+
38541153
yxyx
Sumando ambas ecuaciones desaparece la y :
497 =x → 7=x ; 11573 =+⋅ y → 2−=y Solución: 7=x , 2−=y
b)
=+=+
137553
yxyx
Multiplicando la primera por -5, obtenemos los mismos coeficientes en la x pero con distintos signos:
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
46
=+−=−−
137525155
yxyx
Sumando: y8− 12−= → 23
=y
Sustituyendo: 21
2955
233 =→−=→=⋅+ xxx
Solución: ,21
=x 23
=y
c)
=+=−
175114
yxyx
Multiplicando la primera por -5, obtenemos los mismos coeficientes en la x pero con distintos signos:
=+−=+−175
55205yxyx
Sumando: y27 54−= → 2−=y
Sustituyendo: ( ) 1124 =−⋅−x → 3811 =−=x Solución: 3=x , 2−=y
d)
=−=+
33036
yxyx
Multiplicando la primera por 3, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:
=−=+
939036
yxyx
Sumando: x15 9= → 53
=x
Sustituyendo: 3533 =−⋅ y →
56−
=y
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
47
Solución: 53
=x , 56−
=y
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono
‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2
ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.
Figura 85.
2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán
los miembros de cada ecuación. De esta forma, rellenamos con las ecuaciones del sistema que
queremos resolver y pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución.
Figura 86.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
48
3. Apartado a.
Figura 87.
4. Apartado b.
Figura 88.
5. Apartado c.
Figura 89.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
49
6. Apartado d.
Figura 90.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 14.
Resolver este sistema:
( )
−−=+−+−
−+
=−
−−
731385
515
9235
1
yyx
yxyxx
Solución:
SUPRIMIMOS DENOMINADORES EN LA 1ª SUPRIMIMOS PARÉNTESIS
( ) ( )
( )
−−=+−+−⋅−+=−−−
73138551592513
yyxyxyxx
−−=++−−−+=+−−
7313405575925533
yyxyxyxx
AGRUPAMOS TÉRMINOS Y SIMPLIFICAMOS RESOLVEMOS POR CUALQUIER MÉTODO
=+=+
602518
yxyx
==
108
:yx
Solución
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
50
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono
‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2
ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.
Figura 91.
2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán
los miembros de cada ecuación.
Figura 92.
3. Para insertar una fracción, pinchamos en el icono ‘Fracción’, que encontramos en la pestaña
‘Operaciones’ y entonces sólo nos quedará rellenar con nuestros datos.
Figura 93.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
51
4. Rellenamos los huecos con las ecuaciones del sistema que queremos resolver teniendo en cuenta que
para insertar un signo de multiplicar, debemos usar el asterisco del teclado (*).
Figura 94.
5. Pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución.
Figura 95.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 15.
Resolver por reducción:
−=−=+
9851473
yxyx
Solución:
Para despejar la x :
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
52
( )( ) 7.ª2
8.ª1⋅⋅
−=−=+
6356351125624
yxyx
Sumamos: x59 49= Para despejar la y :
( )
( ) ( )3.ª25.ª1−⋅⋅
=+−=+
272415703515
yxyx
Sumamos: 9759 =y
La solución, ahora, es inmediata: ;5949
=x 5997
=y
- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Insertaremos un sistema de ecuaciones, pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña
‘Operaciones’. Entonces veremos una pequeña ventana en la que deberemos indicar cuántas
ecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y pinchar en el icono ‘Aceptar’.
Figura 96.
2. Ahora nos aparecerá el esquema del sistema. En él, hay un hueco para cada miembro de cada una de
las dos ecuaciones que hemos indicado.
Figura 97.
3. Rellenamos estos huecos con los datos que nos da el ejercicio y pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer la solución del sistema.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
53
Figura 98.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 16.
Resuelve este sistema simplificando previamente:
=−+
−−=−−+
257
18)5(3)1(2)3(5
yxxyxyx
Solución:
SIMPLIFICACIÓN. 1ª ecuación:
- Simplificamos quitando los paréntesis y agrupando todos los términos lo máximo posible en un solo
miembro.
→−−=+−+→−−=−−+ xyxyxxyxyx 8315221558)5(3)1(2)3(5
01720215328155 =++−→=+++−+− yxyyxxx
- Despejamos la incógnita y porque tiene coeficiente 1 y es más sencillo.
1720172 −=→=++− xyyx
2ª ecuación:
- Simplificamos eliminando los denominadores. Para ello, buscamos el máximo común múltiplo y escribimos
la ecuación entera como una fracción, para después eliminar los denominadores. Por último, agrupamos
todos los términos lo máximo posible en un solo miembro.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
54
( ) 0765570755
3570
357
35152
571
=−−→=−+→=−+⋅
→=−+ yxyxyxyx
- Despejamos la incógnita y ya que es la que despejamos en la anterior.
7655
7565565706575 −
=→−−
=→−=−→=−−xyxyxyyx
RESOLUCIÓN.
- Como ya hemos despejado la misma variable en las dos ecuaciones, lo resolveremos por el método de
igualación. De esta manera, crearemos una ecuación en la que en un término pondremos el valor de y de
la primera ecuación y en el otro el de la segunda y despejamos la otra variable (x).
65496511951465511914655)172(77
655172 =→=→−=−→−=−→−=−⋅→−
=− xxxxxxxxxx
- Ahora sustituiremos el valor de x en una de las ecuaciones de y que despejamos en el paso de
simplificación.
51762172 −=→−⋅=→−= yyxy
- De esta manera hemos obtenido que el par de coordenadas que tenemos como solución es (6,-5).
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono
‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2
ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.
Figura 99.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
55
2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán
los miembros de cada ecuación.
Figura 100.
3. Rellenamos los huecos con las ecuaciones del sistema que queremos resolver y pinchamos en el icono
‘=’ para conocer la solución.
Figura 101.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 17.
Dos estaciones A y B distan 255 Km. Un tren sale de A hacia B a una velocidad constante de 60 Km./h. Simultáneamente, sale de B hacia A otro tren a 110 Km./h. Calcular el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia que ha recorrido cada uno hasta ese instante. Solución:
• Identificamos los elementos y nombramos las incógnitas. Un buen esquema nos servirá para
relacionar los datos y las incógnitas.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
56
A → hkm /60 ENCUENTRO ← hkm /110 B x x−255
DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD 1er TREN x t 60 2.º TREN x−255 t 110
• Expresamos mediante ecuaciones las relaciones existentes.
Como
=−=
⋅=txtren
txtrentiempovelocidadespacio
er
110255:.º260:.1
:
• Resolvemos el sistema de ecuaciones:
=−=
txtx
11025560
Sumando: 5,117025525517011060255 ==→=→+= tttt
905,16060 =⋅== tx
• Solución: Los trenes se encuentran 1h 30 min. después de salir. El 1er tren recorre 90 Km., y el 2º, 16590255 =− Km. ¡ATENCIÓN! Este problema se puede resolver aritméticamente. Es decir, sin recurrir al álgebra: Los trenes se aproximan a hkm /17060110 =+
Por tanto, se cruzarán en horas5,1170255
=
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Insertaremos un sistema de ecuaciones, pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña
‘Operaciones’. Entonces veremos una pequeña ventana en la que deberemos indicar cuántas
ecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y pinchar en el icono ‘Aceptar’.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
57
Figura 102.
2. Ahora nos aparecerá el esquema del sistema. En él, hay un hueco para cada miembro de cada una de
las dos ecuaciones que hemos indicado.
Figura 103.
3. Rellenamos estos huecos con los datos que nos da el ejercicio y pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer la solución del sistema.
Figura 104.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
58
Ejercicio 18.
Dos poblaciones A y B distan 25 Km.. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4 Km./h. Simultáneamente, sale de B hacia A otro a 6 Km./h. Calcula el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia que ha recorrido cada uno hasta ese instante. Solución:
• Identificamos los elementos y nombramos las incógnitas. Un buen esquema nos servirá para
relacionar los datos y las incógnitas. A → hkm /4 ENCUENTRO ← hkm /6 B x x−25
DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD 1er PEATÓN x t 4 2.º PEATÓN x−25 t 6
• Expresamos mediante ecuaciones las relaciones existentes.
Como
=−=
⋅=txpeatón
txpeatóntiempovelocidadespacio
er
625:.º24:.1
:
• Resolvemos el sistema de ecuaciones:
=−=
txtx
6254
Sumando: 5,2102525104625 ==→=→+= tttt
105,244 =⋅== tx
• Solución: Los peatones se encuentran 2h 30 min. después de salir. El 1er peatón recorre 10 Km., y el 2º, 151025 =− Km.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
59
1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono
‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2
ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.
Figura 105.
2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán
los miembros de cada ecuación.
Figura 106.
3. Rellenamos los huecos con las ecuaciones del sistema que queremos resolver y pinchamos en el icono
‘=’ para conocer la solución.
Figura 107.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
60
Ejercicio 19.
Dos poblaciones distan 120 Km.. entre sí. En el mismo instante salen un peatón de A hacia B a una velocidad de 6 Km../h y un ciclista de B hacia A a 24 Km../h. ¿Cuánto tardan en encontrarse? ¿Qué distancia recorre el peatón? Solución:
• Identificamos los elementos y nombramos las incógnitas. Un buen esquema nos servirá para
relacionar los datos y las incógnitas.
A → hkm /6 ENCUENTRO ← hkm /24 B x x−120
DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD PEATÓN x t 6 CICLISTA x−120 t 24
• Expresamos mediante ecuaciones las relaciones existentes.
Como
=−=
⋅=txCiclista
txPeatóntiempovelocidadespacio
24120:6:
:
• Resolvemos el sistema de ecuaciones:
=−=
txtx
241206
Sumando: 430
12012030246120 ==→=→+= tttt
24466 =⋅== tx
• Solución: El peatón y el ciclista se encuentran 4 horas después de salir. El peatón recorre 24 Km.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
61
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Insertaremos un sistema de ecuaciones, pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña
‘Operaciones’. Entonces veremos una pequeña ventana en la que deberemos indicar cuántas
ecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y pinchar en el icono ‘Aceptar’.
Figura 108.
2. Ahora nos aparecerá el esquema del sistema. En él, hay un hueco para cada miembro de cada una de
las dos ecuaciones que hemos indicado.
Figura 109.
3. Rellenamos estos huecos con los datos que nos da el ejercicio y pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer la solución del sistema.
Figura 110.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
62
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 20.
Resuelve por sustitución.
a)
−=+=+
5203
yxyx
b)
−=−−=−1752538
yxyx
c)
=+−=−
33467
yxyx
d)
=−=+
16322162
xyyx
Solución:
a)
−=+=+
5203
yxyx
• Despejamos la x en la 1ª ecuación: yx 3−= • Sustituimos esta expresión de la x en la 1ª : ( ) 532 −=+−⋅ yy • Resolvemos la ecuación resultante:
( ) 15556532 =→−=−→−=+−→−=+−⋅ yyyyyy • Sustituimos el valor de y en 313 −=→⋅−= xx • Se ha obtenido la solución: 3−=x , 1=y
b)
−=−−=−1752538
yxyx
• Despejamos la x en la 2ª ecuación: 175 −= yx • Sustituimos esta expresión de la x en la 1ª : ( ) 2531758 −=−− yy • Resolvemos la ecuación resultante:
337111111372513634025313640 ==→=→−=−→−=−− yyyyyy
• Sustituimos el valor de y en 21735175 −=−⋅=→−= xyx • Se ha obtenido la solución: 2−=x , 3=y
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
63
c)
=+−=−
33467
yxyx
• Despejamos la y en la 1ª ecuación: 67 += xy • Sustituimos esta expresión de la y en la 2ª : ( ) 36734 =+⋅+ xx • Resolvemos la ecuación resultante:
53
25151525183214318214 −
=−
=→−=→−=+→=++ xxxxxx
• Sustituimos el valor de x en 596
5216
537 =→+
−=→+
−⋅= yyy
• Se ha obtenido la solución: 53−
=x , 59
=y
d)
=−=+
16322162
xyyx
• Despejamos la y en la 1ª ecuación: 82
162+=
+= xxy
• Sustituimos esta expresión de la y en la 2ª : ( ) 16823 =+⋅+− xx • Resolvemos la ecuación resultante:
00161623161623 =→=−→−=+−→=++− xxxxxx • Sustituimos el valor de x en 8808 =+=→+= yxy • Se ha obtenido la solución: 0=x , 8=y
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono
‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2
ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
64
Figura 111.
2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán
los miembros de cada ecuación. De esta forma, rellenamos con las ecuaciones del sistema que
queremos resolver y pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución.
Figura 112.
3. Apartado a.
Figura 113.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
65
4. Apartado b.
Figura 114.
5. Apartado c.
Figura 115.
6. Apartado d.
Figura 116.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 21.
Resuelve por igualación.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
66
a)
=−=
60
yxx
b)
=−−=+6243
yxyx
c)
−==
5276yxxy
d)
−=+−=−12443
yxyx
Solución:
a)
=−=
60
yxx
• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: 0=x , yx += 6 • Igualamos ambas expresiones: 06 =+ y
• Resolvemos la ecuación resultante:
606 −=→=+ yy
• Sustituimos el valor de y en cualquiera de las expresiones del primer paso:
066 =−=x
• Hemos obtenido la solución: 0=x , 6−=y
b)
=−−=+6243
yxyx
• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: yx 34 −−= , yx 26 += • Igualamos ambas expresiones: yy 2634 +=−−
• Resolvemos la ecuación resultante:
2.10546232634 −=→−=→−−=+→+=−− yyyyyy
• Sustituimos el valor de y en cualquiera de las expresiones del primer paso:
( ) 246226 =−=−⋅+=x
• Hemos obtenido la solución: 2=x , 2−=y
c)
−==
5276yxxy
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
67
• Despejamos y en cada una de las ecuaciones: xy 6= , 2
57 +=
xy
• Igualamos ambas expresiones: 2
576 +=
xx
• Resolvemos la ecuación resultante:
1555712571257)6(2 =→=→=−→+=→+= xxxxxxxx
• Sustituimos el valor de x en cualquiera de las expresiones del primer paso:
616 =→⋅= yy
• Hemos obtenido la solución: 1=x , 6=y
d)
−=+−=−12443
yxyx
• Despejamos y en cada una de las ecuaciones: 4
43 +=
xy , xy 21−−=
• Igualamos ambas expresiones: xx 214
43−−=
+
• Resolvemos la ecuación resultante:
11881144838443)21(443 −
=→−=→−−=+→−−=+→−−⋅=+ xxxxxxxx
• Sustituimos el valor de x en cualquiera de las expresiones del primer paso:
115
11161
11821 =→+−=→
−⋅−−= yyy
• Hemos obtenido la solución: 11
8−=x ,
115
=y
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
68
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para resolver un sistema de ecuaciones, pinchamos en el icono ‘Resolver sistema’, que encontramos en
la pestaña ‘Operaciones’. Después aparecerá una ventana en la que indicaremos cuántas ecuaciones
tendrá el sistema y pincharemos en el icono ‘Aceptar’.
Figura 117.
2. El siguiente paso es rellenar los huecos con los datos de nuestro sistema y pinchar en el icono ‘=’ para
conocer la solución.
Figura 118.
3. Apartado a.
Figura 119.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
69
4. Apartado b.
Figura 120.
5. Apartado c.
Figura 121.
6. Apartado d.
Figura 122.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
70
Ejercicio 22.
Resuelve por reducción.
a)
=−=+
20
yxyx
b)
−=+=−
6303
yxyx
c)
−=+=−
42234
yxyx
d)
=−=+
7312
yxyx
e)
=+=−
26313
yxyx
f)
=+=+
6/7323
yxyx
Solución:
a)
=−=+
20
yxyx
Sumando ambas ecuaciones desaparece la y :
22 =x → 1=x ; 01 =+ y → 1−=y Solución: 1=x , 1−=y
b)
−=+=−
6303
yxyx
Sumando ambas ecuaciones desaparece la y :
66 −=x → 1−=x ; ( ) 013 =−−⋅ y → 3−=y Solución: 1−=x , 3−=y
c)
−=+=−
42234
yxyx
Multiplicando la segunda por 3, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:
−=+=−
1236234
yxyx
Sumando: x10 10−= → 1−=x
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
71
Sustituyendo: ( ) 242412 −=→−=→−=+−⋅ yyy Solución: 1−=x 2−=y
d)
=−=+
7312
yxyx
Multiplicando la segunda por 2, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:
=−=+
142612
yxyx
Sumando: x7 15= → 7
15=x
Sustituyendo 74
148
782
7151212
715 −
=→−
=→−
=→−=→=+ yyyyy
Solución: 7
15=x ,
74−
=y
e)
=+=−
26313
yxyx
Multiplicando la primera por 2, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:
=+=−
263262
yxyx
Sumando: x5 4= → 54
=x
Sustituyendo: 15
15131
54313
54 −
=→−
=→−=→=− yyyy
Solución: 54
=x , 15
1−=y
f)
=+=+
6/7323
yxyx
Multiplicando la segunda por -3, obtenemos los mismos coeficientes en la x pero con distintos signos:
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
72
−=−−=+
2/733323
yxyx
Sumando: y− 2/1−= → 21
=y
Sustituyendo: 321333
2123 =→−=→=⋅+ xxx
Solución: 32
=x , 21
=y
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono
‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2
ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.
Figura 123.
2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán
los miembros de cada ecuación. De esta forma, rellenamos con las ecuaciones del sistema que
queremos resolver y pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
73
Figura 124.
3. Apartado a.
Figura 125.
4. Apartado b.
Figura 126.
5. Apartado c.
Figura 127.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
74
6. Apartado d.
Figura 128.
7. Apartado e.
Figura 129.
8. Apartado f.
Figura 130.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
75
Ejercicio 23.
Resuelve estos sistemas por el método que consideres más adecuado:
a)
=−=−
8341
yxyx
b)
=++=
xyyx
102313
c)
−=−−=+234152
yxyx
d)
−=+=−
3/54223
yxyx
Solución:
a)
=−=−
8341
yxyx
• Despejamos la x en la 1ª ecuación: yx += 1 • Sustituimos esta expresión de la x en la 2ª : ( ) 8314 =−+ yy • Resolvemos la ecuación resultante:
448348344 =→−=−→=−+ yyyyy
• Sustituimos el valor de x en 5411 =→+=→+= xxyx • Se ha obtenido la solución: 5=x , 4=y
b)
=++=
xyyx
102313
→
=−=−
321013
yxyx
Multiplicando la primera por -2, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:
=−−=+−3210226
yxyx
Sumando: x4 1= → 41
=x
Sustituyendo: 411
431
413 −
=→−=→=−⋅ yyy
Solución: 41
=x , 41−
=y
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
76
c)
−=−−=+234152
yxyx
• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: 2
15 −−=
yx , 4
23 −=
yx
• Igualamos ambas expresiones: 4
232
15 −=
−− yy
• Resolvemos la ecuación resultante:
( ) 02231023210231524
232
15=→−=+→−=−−→−=−−⋅→
−=
−− yyyyyyyyy
• Sustituimos el valor de y en cualquiera de las expresiones del primer paso:
21
4203 −
=→−⋅
= xx
• Hemos obtenido la solución: 21−
=x , 0=y
d)
−=+=−
3/54223
yxyx
• Despejamos la x en la 2ª ecuación: 354 −−= yx
• Sustituimos esta expresión de la x en la 1ª : 223543 =−
−−⋅ yy
• Resolvemos la ecuación resultante:
217142521222512 −
=→=−→+=−−→=−−− yyyyyy
• Sustituimos el valor de y en 31
352
35
214 =→−=→−
−⋅−= xxx
• Se ha obtenido la solución: 31
=x , 21−
=y
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
77
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para resolver un sistema de ecuaciones, pinchamos en el icono ‘Resolver sistema’, que encontramos en
la pestaña ‘Operaciones’. Después aparecerá una ventana en la que indicaremos cuántas ecuaciones
tendrá el sistema y pincharemos en el icono ‘Aceptar’.
Figura 131.
2. El siguiente paso es rellenar los huecos con los datos de nuestro sistema y pinchar en el icono ‘=’ para
conocer la solución.
Figura 132.
3. Apartado a.
Figura 133.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
78
4. Apartado b.
Figura 134.
5. Apartado c.
Figura 135.
6. Apartado d.
Figura 136.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
79
Ejercicio 24. Resuelve los sistemas siguientes:
a)
−=−=+
393502
yxyx
b)
=−++−=−
8)(2)(31)23(2
yxyxyx
c)
=+
=−
242
423yx
yx
d)
=−
=−
+
523
14
2
yx
yx
e)
=+
−−
=+
+−
29
2638
26
33
2
yx
yx
f)
=+
−−
=+
+−
16
122
12
14
12
1
yx
yx
Solución:
a)
−=−=+
393502
yxyx
→
=−=+
09502
yxyx
Multiplicando la primera por 9, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:
=−=+
0950918
yxyx
Sumando: x23 0= → 0=x Sustituyendo: 0002 =→=+⋅ yy Solución: 0=x , 0=y
b)
=−++−=−
8)(2)(31)23(2
yxyxyx
→
=−++−=−
82233146yxyx
yx→
=+=−
8536
yxyx
Sin necesidad de multiplicar ninguna ecuación, tenemos que los mismos coeficientes de y en ambas
son iguales pero con distintos signos:
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
80
=+=−
8536
yxyx
Sumando: x11 11= → 1=x Sustituyendo: 356815 =→−=→=+⋅ yyy Solución: 1=x , 3=y
c)
=+
=−
242
423yx
yx
→
=+
=−
48
42
624
632
yx
yx
→
=+=−
822432
yxyx
• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: 2
243 +=
yx , 2
8 yx −=
• Igualamos ambas expresiones: 2
82
243 yy −=
+
• Resolvemos la ecuación resultante:
4164248382432
82
243−=→−=→−=+→−=+→
−=
+ yyyyyyyy
• Sustituimos el valor de y en cualquiera de las expresiones del primer paso:
62
482
8=→
+=→
−= xxyx
• Hemos obtenido la solución: 6=x , 4−=y
d)
=−
=−
+
523
14
2
yx
yx→
=−
=−+
210
232
44
424
yx
yx
→
=−=+
103264
yxyx
• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: 4
6 yx −= ,
2310 yx +
=
• Igualamos ambas expresiones: 2
3104
6 yy +=
−
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
81
• Resolvemos la ecuación resultante:
( ) 214720666206310262
3104
6−=→−=→−=+→+=−→+⋅=−→
+=
− yyyyyyyyyy
• Sustituimos el valor de y en cualquiera de las expresiones del primer paso:
( ) 22
6102
23102
310=→
−=→
−⋅+=→
+= xxxyx
• Hemos obtenido la solución: 2=x , 2−=y
e)
=+
−−
=+
+−
29
2638
26
33
2
yx
yx
→
=−−−
=++−
1836
1824924
612
6324
yx
yx
→
=−−−=++−
362492412324
yxyx
→
=−−=+−
162952
yxyx
• Despejamos la y en la 1ª ecuación: xy 25 += • Sustituimos esta expresión de la y en la 2ª : ( ) 162529 =+⋅−− xx • Resolvemos la ecuación resultante:
( ) 213262613101649164109162529 −=
−=→=−→+=−−→=−−−→=+⋅−− xxxxxxxx
• Sustituimos el valor de x en ( ) 122525 =→−⋅+=→+= yyxy • Se ha obtenido la solución: 2−=x , 1=y
f)
=+
−−
=+
+−
16
122
12
14
12
1
yx
yx
→
=−−−
=++−
66
61236
44
4122
yx
yx
→
=−−−=++−
612364122
yxyx
→
=−=+
102652
yxyx
• Despejamos la y en la 2ª ecuación: xy 25 −=
• Sustituimos esta expresión de la y en la 1ª : ( ) 102526 =−⋅− xx • Resolvemos la ecuación resultante:
( ) 210202010104106102526 =→=→=→=+−→=−⋅− xxxxxxx
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
82
• Sustituimos el valor de x en 14522525 =→−=→⋅−=→−= yyyxy • Se ha obtenido la solución: 2=x , 1=y
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono
‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2
ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.
Figura 137.
2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán
los miembros de cada ecuación. De esta forma, rellenamos con las ecuaciones del sistema que
queremos resolver y pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución.
Figura 138.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
83
3. Apartado a.
Figura 139.
4. Apartado b.
Figura 140.
5. Apartado c.
Figura 141.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
84
6. Apartado d.
Figura 142.
7. Apartado e.
Figura 143.
8. Apartado f.
Figura 144.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
85
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 25.
Observa las ecuaciones que forman los siguientes sistemas y di cuál de ellos tiene una única solución, cuál no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones. Compruébalo representando las rectas que los forman:
a)
=−=−
82412
yxyx
b)
=−=−
104252
yxyx
c)
=−−=+74
125yxyx
d)
−=−=−
34252
yxyx
Solución:
a)
=−=−
82412
yxyx
-SOLUCIÓN DEL SISTEMA:
• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: 2
1 yx += ,
428 yx +
=
• Igualamos ambas expresiones: 428
21 yy +
=+
• Resolvemos la ecuación resultante:
( ) 60282228222812428
21
=→−=−→+=+→+=+⋅→+
=+ yyyyyyyyy
• Como podemos ver, no hay solución al sistema, y esto es porque no hay punto de corte entre las
dos rectas. Por lo tanto, sabemos que ambas rectas son paralelas.
-REPRESENTACIÓN:
1212 −=→=− xyyx
x 0 1 2 3 6 ... y -1 1 3 5 11 ...
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
86
42824 −=→=− xyyx
x 0 1 2 3 6 ... y -4 -2 0 2 8 ...
Podemos ver que al simplificar, es evidente que las dos rectas tienen la misma pendiente pero con
distinta abscisa, por lo que son paralelas. Por lo tanto, decimos que no tiene solución.
Figura 145.
b)
=−=−
104252
yxyx
-SOLUCIÓN DEL SISTEMA: • Despejamos la x en la 1ª ecuación: yx 25 += • Sustituimos esta expresión de la x en la 2ª : ( ) 104252 =−+⋅ yy • Resolvemos la ecuación resultante:
( ) 00104410104252 =→=−+→=−+⋅ yyyyy
• Podemos ver por el resultado que las dos rectas no se cortan porque son sólo una. -REPRESENTACIÓN:
2552 −
=→=−xyyx
x -3 -1 1 3 5 ... y 4 3 -2 -1 0 ...
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
87
25
41021042 −
=−
=→=−xxyyx
x -3 -1 1 3 5 ... y 4 3 -2 -1 0 ...
No hay un único punto de corte porque las dos rectas son la misma. Se podría decir que tiene infinitos puntos de corte, porque cada uno que forma la recta pertenece a ambas (tiene infinitas soluciones).
Figura 146.
c)
=−−=+74
125yxyx
-SOLUCIÓN DEL SISTEMA:
Multiplicando la segunda por 2, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:
=−−=+1428
125yxyx
Sumando: x13 13= → 1=x Sustituyendo: 3714 −=→=−⋅ yy Solución: 1=x , 3−=y
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
88
-REPRESENTACIÓN:
251125 xyyx −−
=→−=+
x -1 0 1 3 5 ... y 2 -1/2 -3 -8 -13 ...
741428 −=→=− xyyx
x -1 0 1 2 3 ... y -11 -7 -3 1 5 ...
El punto donde se cortan las rectas, (1, -3), es la solución común de ambas ecuaciones: 1=x , 3−=y . Tiene una única solución.
Figura 147.
d)
−=−=−
34252
yxyx
-SOLUCIÓN DEL SISTEMA: • Despejamos la x en la 1ª ecuación: yx 25 +=
• Sustituimos esta expresión de la x en la 2ª : ( ) 34252 −=−+⋅ yy • Resolvemos la ecuación resultante:
( ) 1303441034252 −=→−=−+→−=−+⋅ yyyyy
• Como podemos ver, no hay solución al sistema, y esto es porque no hay punto de corte entre las
dos rectas. Por lo tanto, sabemos que ambas rectas son paralelas.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
89
-REPRESENTACIÓN:
2552 −
=→=−xyyx
x -3 -1 1 3 5 ... y -4 -3 -2 -1 0 ...
43
2432342 +=→
+=→−=−
xyxyyx
x -3 -1 1 3 5 ... y -4 -3 -2 -1 0 ...
Podemos ver al simplificar que las dos rectas tienen la misma pendiente pero con distinta abscisa, por
lo que son paralelas. Decimos que este sistema no tiene solución.
Figura 148.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono
‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2
ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
90
Figura 149.
2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán
los miembros de cada ecuación. De esta forma, rellenamos con las ecuaciones del sistema que
queremos resolver y pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución.
Figura 150.
3. Para representar una función, pinchamos en el icono ‘Representar’ que se encuentra en la pestaña
‘Operaciones’ y rellenamos el hueco entre los paréntesis con nuestra ecuación. Cuando pinchemos en
el icono ‘=’ obtendremos nuestra representación en una ventana independiente.
Figura 151.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
91
4. Solución del sistema del apartado a.
Figura 152.
5. Representación del sistema del apartado a.
Figura 153.
Figura 154.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
92
6. Solución del sistema del apartado b.
Figura 155.
7. Representación del sistema del apartado b.
Figura 156.
Figura 157.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
93
8. Solución del sistema del apartado c.
Figura 158.
9. Representación del sistema del apartado c.
Figura 159.
Figura 160.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
94
10. Solución del sistema del apartado d.
Figura 161.
11. Representación del sistema del apartado d.
Figura 162.
Figura 163.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
95
Ejercicio 26.
Resuelve los siguientes sistemas. Indica si alguno de ellos es incompatible o indeterminado.
a)
=−−=−
85,225,3252
yxyx
→
=−−=−
85,225,3252
yxyx
• Despejamos la x en la 1ª ecuación: 2
25 −=
yx
• Sustituimos esta expresión de la x en la 2ª : 85,22
2525,3 =−
−⋅ yy
• Resolvemos la ecuación resultante:
→+=−→=−−
→=−−
→=−
−⋅ 5,616525,16
216
255,625,1685,2
25,625,1685,2
22525,3 yyyyyyyy
225,115,225,2225,11 =→=→= yyy
• Sustituimos el valor de y en 42
2252
25=→
−⋅=→
−= xxyx
• Se ha obtenido la solución: 4=x , 2=y
• Es un sistema compatible determinado, ya que tiene solución y además, única.
b)
=+=−
75,38,023,11,67,12,0
yxyx
• Despejamos la y en la 2ª ecuación: 8,0
23,175,3 xy −=
• Sustituimos esta expresión de la y en la 1ª : 1,68,0
23,175,37,12,0 =
−⋅−
xx
• Resolvemos la ecuación resultante:
→=+−
→=+−
+→=
−⋅−
8,088,4
8,0091,229,616,075,3
8,0091,229,62,01,6
8,023,175,37,12,0 xxxxxx
517,11251,288,4091,229,616,0 =→=→=+− xxxx
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
96
• Sustituimos el valor de x en 38,0
523,175,3−=→
⋅−= yy
• Se ha obtenido la solución: 5=x , 3−=y
• Es un sistema compatible determinado, ya que tiene solución y además, única.
c)
−=++=+−
5)1(30)1(3
yxyx
→
−=++=+−
533033
yxyx
→
−=+=+
8333
yxyx
Multiplicando la segunda por -1, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:
=−−=+
8333
yxyx
Sumando: x0 11= → 110 =x
No tiene solución, lo que significa que no hay un punto de corte entre ambas rectas porque son
paralelas. El sistema es incompatible.
d)
−=−−=+
yxyyx6753
4→
=+=+
126342
yxyx
→
=+=+
4242
yxyx
• Como podemos ver, simplificando, se muestra que ambas rectas son iguales, por lo que hay
infinitos puntos comunes. El sistema es compatible indeterminado.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono
‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2
ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
97
Figura 164.
2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán
los miembros de cada ecuación. De esta forma, rellenamos con las ecuaciones del sistema que
queremos resolver y pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución.
Figura 165.
3. Apartado a.
Figura 166.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
98
4. Apartado b.
Figura 167.
5. Apartado c.
Figura 168.
Figura 169.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 27.
Halla dos números tales que su suma sea 160, y su diferencia, 34.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
99
Solución: En primer lugar, daremos nombre a las variables:
- x será el primer número, el mayor. - x será el número menos, el segundo.
La primera ecuación viene dada de la información de que sumando ambos números obtenemos 160, por lo tanto:
160=+ yx La segunda ecuación la obtenemos que la diferencia entre el primer número y el segundo, nos da un resultado de 34:
34=− yx
Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de ecuaciones y lo resolvemos:
=−=+
34160
yxyx
→63126234)160(
9763160160=→=→=−−
=→−=→−=yyyy
xxyx
Obtenemos como solución que x=97 e y=63. Por lo tanto, sabemos que el número mayor al que
llamamos x es 97 y el menor es 63.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Insertaremos un sistema de ecuaciones, pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña
‘Operaciones’. Entonces veremos una pequeña ventana en la que deberemos indicar cuántas
ecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y pinchar en el icono ‘Aceptar’.
Figura 170.
2. Ahora nos aparecerá el esquema del sistema. En él, hay un hueco para cada miembro de cada una de
las dos ecuaciones que hemos indicado.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
100
Figura 171.
3. Rellenamos estos huecos con los datos que nos da el ejercicio y pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer la solución del sistema.
Figura 172.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 28.
Por dos bolígrafos y tres cuadernos he pagado 7,80 €; por cinco bolígrafos y cuatro cuadernos, pagué 13,20 €. ¿Cuál es el precio de un bolígrafo? ¿Y de un cuaderno? Solución: x= precio en € de un bolígrafo. y= precio en € de un cuaderno. -Sabemos que para averiguar lo que cuestan dos bolígrafos debemos multiplicar el precio de estos por
2. Como, aunque no sepamos cuánto valen, a esta cantidad le hemos dado el nombre “x”, el precio de
dos bolígrafos es 2x.
- De la misma manera que con los bolígrafos, el precio de tres cuadernos sería 3y (ya que le hemos dado
el nombre “y” al precio de un cuaderno).
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
101
- El enunciado del ejercicio nos dice que la suma del precio de dos bolígrafos y de tres cuadernos es
igual a 7,80 euros. Por lo tanto concluimos que:
80,732 =+ yx
-La segunda ecuación es muy similar a la primera. Solamente varían las cantidades compradas. En este
caso sustituiremos la cantidad de bolígrafos por 5 y la de cuadernos por 4. Igualmente, deberemos variar
la cantidad pagada.
20,1345 =+ yx
Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de ecuaciones y lo resolvemos:
=+=+
20,134580,732
yxyx
→8,13,65,32,1345,75,1920,134
2380,75
2,12
8,1380,72
380,7
=→−=−→=+−→=+
−⋅
=→⋅−
=→−
=
yyyyyy
xxyx
Obtenemos como solución que x=1,2 e y=1,8. Por lo tanto, sabemos que el precio de un bolígrafo es
1,2€ y el de un cuaderno, 1,8€.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono
‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2
ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.
Figura 173.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
102
2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán
los miembros de cada ecuación.
Figura 174.
3. Rellenamos los huecos con las ecuaciones del sistema que queremos resolver y pinchamos en el icono
‘=’ para conocer la solución.
Figura 175.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 29.
Un librero ha vendido 45 libros, unos a 32 € y otros a 28 €. Obtuvo por la venta 1368 €. ¿Cuántos libros vendió de cada clase? Solución: x= nº de libros vendidos del tipo 1. y= nº de libros vendidos del tipo 2.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
103
-Sabemos que el librero ha vendido en total 45 libros, por lo que sumando el número de libros vendidos
del tipo 1 y el número del tipo 2, obtendremos esta cantidad. Si bien no sabemos cuántos ha vendido de
cada tipo, usaremos los nombres x e y que ya les hemos dado.
45=+ yx
-Sabemos que para averiguar lo que hemos obtenido por la venta de los libros del tipo 1, debemos
multiplicar el precio de estos (que es 32) por el número que hemos vendido. Como, aunque no sepamos
cuántos son, a esta cantidad le hemos dado el nombre “x”, los ingresos de los libros vendidos del tipo 1,
es 32x.
- De la misma manera que con los del tipo 1, los ingresos por los libros del tipo 2 serían 28y (ya que le
hemos dado el nombre “y” al nº de libros vendidos del tipo 2).
- El enunciado del ejercicio nos dice que la suma de lo obtenido por la venta de los libros del tipo 1 (que
valen 32€) y de los del tipo 2 (cuestan 28€) es igual a 1368 euros. Por lo tanto concluimos que:
13682832 =+ yx
Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de ecuaciones y lo resolvemos:
=+=+
1368283245yx
yx→ ( ) 187241368283214401368284532
27184545=→=→=+−→=+−⋅
=→−=→−=yyyyyy
xxyx
Obtenemos como solución que x=27 e y=18. Por lo tanto, sabemos que se han vendido 27 unidades de
los libros del tipo 1 y 18 de los del tipo 2.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Insertaremos un sistema de ecuaciones, pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña
‘Operaciones’. Entonces veremos una pequeña ventana en la que deberemos indicar cuántas
ecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y pinchar en el icono ‘Aceptar’.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
104
Figura 176.
2. Ahora nos aparecerá el esquema del sistema. En él, hay un hueco para cada miembro de cada una de
las dos ecuaciones que hemos indicado.
Figura 177.
3. Rellenamos estos huecos con los datos que nos da el ejercicio y pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer la solución del sistema.
Figura 178.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
105
Ejercicio 30.
En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 29 cabezas y 92 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase? Solución: x= nº de conejos en el corral. y= nº de gallinas en el corral. -El enunciado nos dice que hay 29 cabezas en el corral, entre conejos y gallinas, y nosotros sabemos que
cada animal tiene 1 cabeza, por lo que decir que hay 29 cabezas es lo mismo que decir que hay 29
animales. De esta manera, podemos decir que sumando el número de conejos (x) y el número de gallinas
(y), obtenemos 29.
29=+ yx
-Sabemos que para averiguar lo cuántas patas de conejo hay en el corral, debemos multiplicar el número
de patas que tiene un conejo (que es 4) por el número de conejos que haya en el corral. Como, aunque
no sepamos cuántos son, a esta cantidad le hemos dado el nombre “x”, el número de patas de conejo, es
4x.
- De la misma manera que con las patas de conejo, las de gallinas serían 2y (ya que le hemos dado el
nombre “y” al nº de gallinas y estas tienen dos patas cada una).
- El enunciado del ejercicio nos dice que la suma del número de patas de conejo y de las de gallina es
igual a 92. Por lo tanto concluimos que:
9224 =+ yx
Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de ecuaciones y lo resolvemos:
=+=+
922429
yxyx
→ ( ) 12242922411692229417122929
=→=→=+−→=+−⋅=→−=→−=
yyyyyyxxyx
Obtenemos como solución que x=17 e y=12. Por lo tanto, sabemos que hay 17 conejos y 12 gallinas.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
106
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono
‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2
ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.
Figura 179.
2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán
los miembros de cada ecuación.
Figura 180.
3. Rellenamos los huecos con las ecuaciones del sistema que queremos resolver y pinchamos en el icono
‘=’ para conocer la solución.
Figura 181.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.
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Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 31.
Una cooperativa ha envasado 2000 l de aceite en botellas de 1,5 l y 2 l. Si ha utilizado 1100 botellas, ¿cuántas se han necesitado de cada clase? Solución: x= nº de botellas de 1,5l utilizadas. y= nº de botellas de 2l utilizadas. -El enunciado nos dice que se han utilizado, entre las de 1,5 y las de 2 litros, 1100 botellas. De esta
manera, podemos decir que sumando el número de botellas de 1,5 litros (x) y el número de botellas de 2
litros (y), obtenemos 1100.
1100=+ yx
-Sabemos que para averiguar cuántos litros de aceite se han embotellado en las de 1,5 litros, debemos
multiplicar el número de botellas utilizadas por el volumen de cada botella (en este caso es 1,5). Como,
aunque no sepamos cuántas botellas se han utilizado, a esta cantidad le hemos dado el nombre “x”, el
número de litros embotellados en envases de 1,5l es: 1,5x
- De la misma manera que con los envases de litro y medio, los de 2 litros serían 2y (ya que le hemos
dado el nombre “y” al nº de botellas de 2l utilizadas y estas tienen dos litros de capacidad cada una).
- El enunciado del ejercicio nos dice que la suma del número de litros de aceite embotellado en ambos
tipos de envases es igual a 2000. Por lo tanto concluimos que:
200025,1 =+ yx
Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de ecuaciones y lo resolvemos:
=+=+
200025,11100yx
yx→ ( ) 7003505,0200025,116502000211005,1
40070011001100=→=→=+−→=+−⋅
=→−=→−=yyyyyy
xxyx
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
108
Obtenemos como solución que x=400 e y=700. Por lo tanto, sabemos que se han necesitado 400
botellas de 1,5 litros y 700 de 2 litros .
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Insertaremos un sistema de ecuaciones, pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña
‘Operaciones’. Entonces veremos una pequeña ventana en la que deberemos indicar cuántas
ecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y pinchar en el icono ‘Aceptar’.
Figura 182.
2. Ahora nos aparecerá el esquema del sistema. En él, hay un hueco para cada miembro de cada una de
las dos ecuaciones que hemos indicado.
Figura 183.
3. Rellenamos estos huecos con los datos que nos da el ejercicio y pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer la solución del sistema.