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8/19/2019 TD Curviligne 2013
1/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
1/26 MVA107
I nstitut des Sciences Appl iquées et Economiques Cnam Liban
Algèbre Linéaire et Géométie (MVA107)Intégrale Curviligne - Exercices
Exercice 1
Calculer les intégrales curvilignes suivantes :
1.R C
!F !dr ; !F = x2 + 1!i + y2 1! j et (C ) le demi-cercle allant de A (4; 0) à B (4; 0)
2.
R C xdx + dy ; (C ) la branche parabolique y = x2 entre A (2; 4) et B (2; 4)
3. R C
2xd`; (C ) le demi cercle, x 0, de centre O et de rayon 1
4. I =
Z C
!V !dr avec !V = (xy + z) !i + x2y + 2! j + (x) !k . (C ) est l’arc joignant les points
A (c;c;h) et B
2c; 12c; h
dé…ni par 2y = 3c x; z = h ; c et h sont des constantes données.
5.
Z AB
!H !dr où !H = z2 + 2xy!i + x2 + 2yz! j + y2 + 2zx!k et AB est une courbe
joignant les points A (1; 1; 1) et B (1; 2; 2) :
6. I C x2 + 3y2 2xy d` où (C ) est le cercle unité.
7.R C
(x + y) dy (C ) est l’ellipse 4x2 + y2 = 4
Solution 1 :
1. (C ) est le demi cercle inférieure. En coordonnées polaires : x = 4cos ; y = 4sin , donc
dx = 4sin d et dy = 4 cos d
sur
gAB on a r = R = 4; A = ; B = 2
-4 -2 2 4
-4
-2x
yA B
(C )
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
lignes du champ !
F
R C !F !dr =
R C x2 + 1
dx +
x2 1
dy
=2R
16 cos2 + 1
(4sin ) + 16 sin2 1 (4 cos ) d
8/19/2019 TD Curviligne 2013
2/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
2/26 MVA107
= 42R
16 cos2 sin sin + 16 sin2 cos cos d= 4
16
cos3
3 + cos + 16
sin3
3 sin
2
= 4163
+ 1 163 1 = 152
3
2. I =R C
xdx + dy
-2 -1 0 1 2
2
4
x
yA B
-5 5
-5
5
x
y
On considère x comme paramètre : y = x2 =) dy = 2xdx et 2 x 2I = R C xdx + dy =
2
R 2 (xdx + 2xdx) = 32
R 2 xdx = 0:3. (C ) le demi cercle, x 0, de centre O et de rayon 1
-1
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y A
B
En coordonnées polaires : x = cos ; y = sin ,donc dx = sin d et dy = cos d
sur gAB on a r = 1; A = =2; B = 3=2d` =
p dx2 + dy2 =
p sin2 d2 + cos2 d2 = dR
C
2xd` = 23=2R =2
cos d = 4
4. (C ) dé…ni par 2y = 3c x =) x = 3c 2y =) dx = 2dy; z = h =) dz = 0 en allant deA à B x varie de xA = c à xB = 2c:
I =
R C !V !dr =
R C =A!B (xy + z) dx +
x2y + 2
dy + (x) dz
=2cR c
(y (3c 2y) + h) (2dy) + (3c 2y)2 y + 2 dy
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3/26
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3/26 MVA107
=2cR c
6cy + 4y2 2h + 2 + 9c2y + 4y3 12cy2 dy=
1
6c
3c3 + 2c2 12h + 125.
!H = z2 + 2xy!i x2 + 2yz! j + y2 + 2zx!k@P @y
= @Q
@x = 2x
@P
@z =
@R
@x = 2z;
@R
@y =
@Q
@z = 2y =) !H = !r' et !H !dr = d'
@'
@x = z2 + 2xy =) ' = R z2 + 2xy dx = xz2 + x2y + f (y; z)
@'
@y = x2 +
@ f
@y = x2 + 2yz =) @f
@y = 2yz =) f = R 2yzdy = y2z + g (z)
' = xz2 + x2y + y2z + g (z)@'
@z = 2xz + y2 + g0 = y2 + 2zx =) g0 = 0 =) g = C
' = xz2 + x2y + y2z + C
R C !H
!dr = R BA d' = ' (x;y ;z)BA = ' (B) ' (A) avec A (1; 1; 1) et B (1; 2; 2) :
' (A) = 1 + 1 + 1 + C = C + 3 ' (B) = 4 + 2 + 8 + C = C + 14R C
!H !dr = (C + 14) (C + 3) = 11
6. I =
I C
x2 + 3y2 2xy d` où (C ) est le cercle unité.
En coordonnées polaires : r = R = 1
x = cos =) dx = sin d y = sin =) dy = cos dd` =
p dx2 + dy2 = d
d! = x2 + 3y2
2xy d` = cos
2 + 3 sin2
2cos sin dcos2 = 1 + cos 2
2 sin2 = 1 cos2
2
cos2 + 3 sin2 = 1 + cos 2
2 + 3
1 cos22
= 2 cos2=) d! = (2 cos2 sin2) d
I =
2Z 0
(2 cos2 sin2) d = 4
7. 4x2 + y2 = 4 =) x2 + y2
4 = 1
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-2
-1
1
2
x
y
-1 1
-2
-1
1
2
x
y
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4/26
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4/26 MVA107
En coordonnées elliptiques (r = 1; a = 1; b = 2) : x = cos ; y = 2 sin ,
donc dx = sin d et dy = 2 cos d et 0 2R C
(x + y) dy =2R 0
(cos + 2 sin ) (2 cos ) d
= 22R 0cos2 + 2 sin cos d = 2:
Exercice 2
Calculer l’intégrale curviligne Z AB
(x + y) (dx + dy)
où AB est le chemin joignant les points A = (2; 0) et B = (0; 0) déterminé par :
1. Le segment de droite AB .
2. Le demi-cercle inférieur de diamètre AB .
3. L’arc supérieur de l’ellipse d’équation (x 1)2 + y2
4 = 1 parcouru de A vers B .
Solution 2 :
0.5 1.0 1.5 2.0
-1
0
1
2
x
y
B A
1. Sur le segment AB : y = 0 =) dy = 0(x + y) (dx + dy) = xdx: En allant dans le sens B ! A; x varie de 0 ! 2R C + (x + y) (dx + dy) =
Z BA
xdx =
2Z 0
xdx = 2:
2. Le cercle est centré au point (1; 0) et de rayon R = 1 son équation est : (x 1)2 + y2 = 1
En coordonnées polaires et sur la courbe on a : x 1 = cos y = sin =) dx = sin ddy = cos d et varie de B = à A = 2:
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5/26
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5/26 MVA107
R C + (x + y) (dx + dy) =
2R
(1 + cos + sin ) ( sin + cos ) d
=2
R
( sin + cos ) + sin2 + cos2 d
=2R
[ sin + cos + cos 2] d
=
cos + sin sin 2
2
2
= 1 (1) = 2
3. (x 1)2 + y2
4 = 1 : Les longueurs des demi-axes sont a = 1 et b = 2
donc on pose
x 1 = cos
y = 2 sin =)
dx = sin d
dy = 2 cos d
avec varie de A = 0 à B = :
R C + (x + y) (dx + dy) =
R 0 (1 + cos + 2 sin ) ( sin + 2 cos ) d = 2(1 + cos + 2 sin ) ( sin + 2 cos ) = 2 cos2 + 3 cos sin + 2 cos 2sin2 sin
= 2 cos sin + 4 cos2 + 3 cos sin 2R 0
(1 + cos + 2 sin ) ( sin + 2 cos ) d =
sin2 34
cos 2 + cos + 2 sin
0
= 2
Exercice 3
Calculer la température moyenne d’une résistance, en forme d’une helice,cos t; t
10; sin tlimité par les plans y = 0 et y = 1 si la distribution de température est donnée par
(x;y ;z) = x2 + y2 + z2.
Solution 3 : T =
Z C
d`
y
z
x
d` =p
dx2 + dy2 + dz2 = 1
10
p 100 + t2dt8>:
x = cos t =) dx = sin tdty =
t
10 =) dy = dt
10z = sin t =) dz = cos tdt
=) d` =r
sin2 t + 1
100 + cos2 tdt =
1
10
p 101dt
= x2 + y2 + z2 = cos2 t + t2
100 + sin2 t ==
t2
100 + 1 =
t2 + 100
100y = 0
!t = 0 y = 1
!t = 10
T =10Z 0
t2 + 100100
110
p 101dt =
4
3
p 101
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6/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
6/26 MVA107
Exercice 4
Calculer le travail e¤ectué par la champ !
F = x!i
3xy
! j + z2
!k le long de l’hélice
( x = sin t; y = cos t; z = 3t) entre les points A (0; 1; 0) et B (0; 1; 9) :
Solution 4 :
0.5
10
0 0.0
B
-1.0-1
-0.50
20
z
1.0 1A
8
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7/26
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7/26 MVA107
En coordonnées polaires : r = R = 2x = 2 cos =) dx = 2sin d y = 2 sin =) dy = 2 cos dl’arc du cercle du 1er quadrant! 2
h0;
2
id` =
p dx2 + dy2 = 2d =
p x2 + y2 = 2
m =
=2Z 0
4d = 2
X = 1
m
=2Z 0
xd` = 1
2
=2Z 0
(2 cos )(2)(2) d = 4
Y = 1
m
=2Z 0
yd` = 1
2
=2Z 0
(2 sin )(2)(2) d = 4
Exercice 6
ans le plan (xOy) on considère les points : A (1; 1) ; B (2; 1) ; C (2; 5) ; et D (5; 5) :
1. Une particule se déplace sous l’action du champs des forces !
F = x2!i 2 (x + y) ! j suivant
le trajet ABCDA: Calculer, à l’aide d’une intégrale curviligne, le travail e¤ectué.
2. Peut-on calculer ce travail par une autre méthode. Justi…er votre réponse et recalculer letravail.
Solution 6 :
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
x
y
A B
C D
M
1. W =
I
!F !dr =
Z AB
+
Z BC
+
Z CD
+
Z DA!
F !dr = x2dx 2 (x + y) dySur AB : y = 1 =) dy = 0 et x : 1 ! 2
Z AB
!F
!dr =
2
Z 1
x2dx = 7
3
Sur B C : x = 2 =) dx = 0 et y : 1 ! 5
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8/26
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8/26 MVA107
Z BC
!F !dr = 2
5Z 1
(2 + y) dy = 40
Sur C D : y = 5 =) dy = 0 et x : 2 ! 5
Z CD
!F !dr =5Z
2
x2dx = 39
Sur DA : x = y =) dx = dy et x : 5 ! 1Z DA
!F !dr =
1Z 5
x2 4x dx = 20
3
W = 7
3 40 + 39 + 20
3 = 8
N.B. : Remarquons que x2dx 2ydy est une di¤érentielle totale alorsI
x2dx 2ydy = 0
par suite W devient : W = 2I
xdy
Sur AB et C D : dy = 0 donc W AB = W CD = 0
Sur B C x = 2 et y : 1 ! 5
W BC = 25Z
1
2dy = 16
Sur DA : x = y =) dx = dy et x : 5 ! 1
W DA = 21
Z 5(x) dx = 24
W = 16 + 24 = 82. Le champs
!F n’a pas des points de discontinuité et le contour est fermé donc on peut
appliquer la formule de Green-Riemann :I +
!F !dr =
ZZ
@F y@x
@ F x@y
dxdy =
ZZ
(2) dxdy
Soit M le point d’intersection des segments B C et DA alors le domaine = 1 [ 21 = triangle AMB
Pour y …xé : x varie de xm = y jusqu’à xM = 2 et 1 y 2
ZZ 1
(2) dxdy = 22Z
1
0@ 2Z y
dx1A dy = 12 = triangle C M D
Pour y …xé : xvarie de xm = 2 jusqu’à xM = y et 2 y 5ZZ 2
(2) dxdy = 25Z
2
0@ yZ 2
dx
1A dy = 9 = Z MDC
= Z
MCD
donc : W = 1 (9) = 8
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9/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
9/26 MVA107
Exercice 7
Soit le champ vectoriel!H =
zx
r3
!i
z y
r3
! j +
x2 + y2
r3
!k
où r =p
x2 + y2 + z2:
1. Démontrer que !H est un champ conservatif.
2. Calculer le travail e¤ectué en allant du point A (1; 0; 0) vers le point B (1; 1; 1) :
Solution 7 :
1. @P
@y =
@Q
@x =
3xyz
r5
@P @z
= @R@x
= x x2 + y2 2z2r5
@Q
@z =
@R
@y = y
x2 + y2 2z2
r5
donc !H est un champ conservatif
2. Soit ' = ' (x;y ;z) tel que !H =
!r' () !H !dr = d'!H = zx
r3!i z y
r3! j +
x2 + y2
r3!k
@'
@x = zx
r3 = zx
(x2 + y2 + z2)3=2
' = Z zxdx(x2 + y2 + z2)3=2
= zp x2 + y2 + z2
+ g (y; z) = zr
+ g (y; z)
@'
@y =
@
@y
zp
x2 + y2 + z2+ g (y; z)
! = yz
r3 +
@g
@y = zy
r3 =) @g
@y = 0 =) g = g (z)
' = z
r + g (z)
@'
@z =
@
@z
zp
x2 + y2 + z2
! =
x2 + y2
r3 + g0 =
x2 + y2
r3 =) g0 = 0 =) g = C
' (M ) = z
r + C =
z
p x2 + y2 + z2W =
Z C
!H !dr =
BZ A
d' = ' (B) ' (A) = 1p 1 + 1 + 1
0p 1 + 0 + 0
= 1p
3
Exercice 8
On désigne par (C ) la courbe joignant les points A (1; 0) et B (0; 1) du plan xOy; et soit!H un
champ vectoriel dé…ni et continu sur (C ) ;!H = y2
!i x2! j
1. Démontrer que I = Z C
!H !dr dépend du chemin parcouru entre les points A et B
8/19/2019 TD Curviligne 2013
10/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
10/26 MVA107
Exercice 8 (suite)
2. Calculer la valeur de l’intégrale I dans les cas suivants :
(a) C est le segment de droite joignant A et B
(b) C est l’arc du cercle centré à l’origine et de rayon 1(c) C est la ligne brisée B OA
3. Déduire la valeur de l’intégrale J =
ZZ D
(x + y) dxdy; où D est la région limitée par :
(a) L’arc AB et les axes des coordonnées.
(b) Le segment AB et les axes des coordonnées.
(c) L’arc AB et le segment AB :
Solution 8 :
1. On a @P
@y = 2y 6= @Q
@x = 2x donc !H n’est pas un champ conservatif, par suite R
C
!H !dr
dépend du chemin parcouru entre les points A et B:
A
2. I =R C
!H !dr
(a) L’équation de la droite (AB) est : x + y = 1 =) y = 1 x =) dy = dx en allantdans le sens positif de A vers B on a x varie de 1 à 0R C
!H !dr = R
C
y2dx x2dy =0R 1
(1 x)2 + x2
dx = 2
3
(b) en coordonnées polaires avec r = 1 :x = cos =) dx = sin dy = sin =) dy = cos d; A = 0; B = =2R C
!H !dr = R
C
y2dx x2dy = =2R 0
sin3 + cos3
d = 4
3
(c)R C
!H !dr = R
BO
!H !dr + R
OA
!H !dr
sur BO : x = 0 =) dx = 0 =) y2dx x2dy = 0 =) R BO
!H !dr = 0
sur OA : y = 0 =) dy = 0 =) y2dx x2dy = 0 =)R OA
!H !dr = 0
R BOA
!H !dr = 0
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11/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
11/26 MVA107
3. Si on applique la formule de Green-Riemann :R C
!H !dr = RR
D
@Q
@x @ P
@y
dxdy
I =R C
y2dx x2dy = RR D
(2x 2y) dxdy = 2 RR D
(x + y) dxdy = 2J =) J = I 2
(a) C = gAB [ [BO] [ [OA] =)J = 1
2
R gAB
!H !dr + R
BOA
!H !dr
! = 1
2
4
3 + 0
=
2
3
(b) C = [AB] [ [BO] [ [OA] =)
J = 12
R [AB]
!H !dr + R
BOA
!H !dr
! = 1
2
2
3 + 0
=
1
3
(c) C = gAB [ [BA] =)J = 1
2 R gAB!H !dr +
R [BA]!H !dr
! = 1
2 4
3 +
2
3 =
1
3
Exercice 9
Soit le champ de vecteurs :!H =
2xy x2!i + x + y2! j
1. !
H est il un champ de gradient ?
2. Calculer
I !H !dr par calcul direct et à l’aide de formule de Green, où C est la boucle fermée
constituée par les arcs des paraboles y = x2et x = y2 .
Solution 9 :
1. @P
@y = 2x 6= @Q
@x = 1 =) !H n’est pas un champ de gradient
2.R C +
!H !dr =?
0.5 1.0
0.5
1.0
x
y
(a) Calcul directR C +
!H !dr = R
C +
2xy x2 dx + x + y2 dy = R
OA
!H !dr + R
AO
!H !dr
Sur OA : y = x2 =) dy = 2xdx et x : 0 ! 1
R OA 2xy x2
dx +
x + y2
dy =
1
R 0 2x3 x2
+
x + x4
(2x)
dx
=1R 0
2x5 + 2x3 + x2
dx =
7
6
8/19/2019 TD Curviligne 2013
12/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
12/26 MVA107
Sur AO : x = y2 =) dx = 2ydy et y : 1 ! 0R AO
2xy x2 dx + x + y2 dy = 0R
1
2y3 y4 (2ydy) + 2y2 dy
=0
R 1 4y4
2y5 + 2y2 dy =
17
15R C +
!H !dr = 7
6 17
15 =
1
30
(b) Formule de Green
I =R C
!H !dr = RR
D
@Q
@x @ P
@y
dxdy =
RR D
(1 2x) dxdy
Fixons x on touve que pour x = C te : x2 y p x et 0 x 1
I =RR D
(1 2x) dxdy =1R 0
p xR
x2(1 2x) dy
!dx =
1R 0
(1 2x) yjp x
x2 dx
=
1R 0 (1 2x) p x x2 dx = 130
Exercice 10
On considère le champ vectoriel !
F = y2!i + x
! j dé…ni et continu sur la courbe fermée
C = C 1 [ C 2; C 1 est le segment joignant A (5; 3) à B (0; 2) et C 2 la branche paraboliquex = 4 y2
1. Donner une expression paramétrique de AB ; x = x (t), y = y (t).
2. Calculer H C +
!F !dr
Solution 10 !
F = y2!i + x
! j
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
1. L’équation paramétrique de la droite (AB) se détermine par l’expression :y yA
yB yA = x xAxB xA = t
=) y + 32 + 3
= x + 5
5 = t donc on aura :
x = 5t 5y = 5t 3
8/19/2019 TD Curviligne 2013
13/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
13/26 MVA107
2.H C +
!F !dr = H
C
y2dx + xdy avec C = C 1 [ C 2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
A
B
H C
y2dx + xdy =R C 1
y2dx + xdy +R C 2
y2dx + xdy
sur (C 1) = [BA]+
: x = 5t 5y = 5t 3 =) dx = 5dtdy = 5dtau point A on a
x = 5t 5 = 5y = 5t 3 = 3 =) tA = 0
et en B
x = 5t 5 = 0y = 5t 3 = 2 =) tB = 1
y2dx + xdy = (5t 3)2 (5dt) + (5t 5)(5dt) = 5 25t2 25t + 4 dtZ BA
y2dx + xdy = 5
0Z 1
25t2 25t + 4 dt = 5
6
sur (C 2) : x = 4
y2 =
)dx =
2ydy et y varie de yA =
3 à yB = 2R
C 2y2dx + xdy =
2R 3
y2 (2ydy) + 4 y2 dy = 2R 3
2y3 + 4 y2 dy = 2456H
C
y2dx + xdy = 5
6 +
245
6 =
125
3
N.B. : Sur B A on peut déterminer l’équation de la droite y = ax + b =) y = x + 2 =)dy = dx et x varie de xB = 0 à xA = 5 dans le sens positif R C 1
y2dx + xdy =5R 0
(x + 2)2 dx + xdx =5R 0
x2 + 5x + 4
dx =
5
6
Exercice 11
Dans le plan xoy on considère le triangle AB C ; A (1; 1) ; B (2; 2) ; et C (1; 3) : Le champ
!H = 2
x2 + y2
!i + (x + y)2
! j
étant dé…ni et continu sur le domaine intérieur du triangle ABC et sur la frontière.
1. Calculer à l’aide d’une intégrale curviligne l’aire du triangle
2. Calculer H ABC !H !dr directement et à l’aide de formule de Green-Rieman
8/19/2019 TD Curviligne 2013
14/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
14/26 MVA107
Solution 11 :Equation de la droite (AB) : y = x:Equation de la droite (AC ) : x = 1:Equation de la droite (BC ) : y = x + 4:
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00
1
2
3
x
y
A
B
C
1. A l’aide de formule de Green-Riemann : I P dx + Qdy = ZZ D @Q
@x @ P
@y dxdySi P = 1
2y et Q =
1
2x alors
1
2
I +
(ydx + xdy) =ZZ D
dxdy
Soit la frontière du triangle AB C donc = [AB] [ [BC ] [ [CA] ; l’aire du triangle est :ZZ D
dxdy = 1
2
I +
(ydx + xdy) = 12
264 Z [AB]
ydx + xdy +Z
[Bc]
ydx + xdy +Z
[CA]
ydx + xdy
375– Sur [AB] : y = x; dy = dx =) ydx + xdy = 0 =)
Z [AB]
ydx + xdy = 0
– Sur [BC ] : y = x + 4; dy = dx =) ydx + xdy = ((x 4) x) dx = 4dx avec x varie
de xB = 2 à xC = 1 par suite
Z [BC ]
ydx + xdy = 41Z
2
dx = 4
– Sur [CA] : x = 1 =) dx = 0 et y varie de yC = 3 à yA = 1
=)Z
[CA]
ydx + xdy =1Z
3
dy = 2
Finalement :
ZZ D
dxdy = 1
2 (0 + 4 2) = 1
Calcul à l’aide d’une intégrale double
D = f(x; y) =x y x + 4 et 1 x 2gZZ D
dxdy =
2Z 1
0@ x+4Z x
dy
1A dx = 12.
!H !dr = 2 x2 + y2 dx + (x + y)2 dy(a) Par calcul direct :
I = I +
!H !dr = Z [AB]
!H !dr + Z [BC ]
!H !dr + Z [CA]
!H !dr
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15/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
15/26 MVA107
– Sur [AB] : y = x; dy = dx et 1 x 22
x2 + y2
dx + (x + y)2 dy = 2
2x2
dx + (2x)2 dx = 8x2dx
=)Z
[AB]
!H !dr =
2Z 1
8x2dx = 56
3
– Sur [BC ] : y = x + 4; dy = dx avec x varie de xB = 2 à xC = 12
x2 + y2
dx + (x + y)2 dy = 2
x2 + (x + 4)2
dx (x x + 4)2 dx= 4 (x 2)2 dx
par suite
Z [BC ]
!H !dr = 4
1Z 2
(x 2)2 dx = 43
– Sur [CA] : x = 1 =) dx = 0 et y varie de yC = 3 à yA = 12
x2 + y2
dx + (x + y)2 dy = 2
1 + y2
(0) + (1 + y)2 dy = (1 + y)2 dy
Z [Bc]!H
!dr =
1
Z 3 (1 + y)2 dy =
56
3
I = 56
3 4
3 56
3 = 4
3(b) Formule de Green-Riemann :
P = 2
x2 + y2
=) @P @y
= 4y
Q = (x + y)2 =) @O@x
= 2 (x + y)
@O
@x @ P
@y = 2 (x + y) 4y = 2x 2y
I +
!H !dr = 2ZZ D
(x y) dxdy = 22Z
1
0@ x+4Z x
(x y) dy1A dx = 43
Exercice 12
Au point M (x;y ;z) on fait associer le champ de vecteurs
!V = 6 1 + x2' (x)
!i
12xy' (x)
! j
6z
!k
1. Déterminer la fonction ' (x) d’une manière que le champ !
V soit un champ de rotationnel ;
2. On suppose que !
V =!rot
!W et
!W = P (x;y ;z)
!i + Q (x;y ;z)
! j
Déterminer !W sachant que
!W (x;y; 0) =
!0 :
3. Calculer
I C
!W !dr ; C est le cercle d’équation : y2 + z2 = 25, du plan x = 3:
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16/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
16/26 MVA107
Solution 12 :
1. !
V est un champ de rotationnel si !r !V = @P V
@x +
@ QV @y
+ @ RV
@z = 0
P V = 6 1 + x2' (x) =) @P V
@x
= 12x' + 6 1 + x2'0QV = 12xy' (x) =) @QV
@y = 12x'
RV = 6z =) @RV @z
= 6!r !V = 12x' + 6 1 + x2'0 12x' 6 = 6'0 x2 + 1 6!r !V = 0 () 6'0 x2 + 1 6 = 0 =) '0 = 1
1 + x2 =) ' (x) = arctan x
!V = 6
1 + x2
arctan x
!i 12xy arctan x! j 6z!k
2. !W = P !i + Q! j =) !r !W = @Q
@z !i @ P
@z ! j +@Q@x @ P @y !k!r !W = !V =)
8>>>>>>>:@Q
@z = 6 1 + x2 arctan x@P
@z = 12xy arctan x
@Q
@x @ P
@y = 6z
@Q
@z = 6 1 + x2 arctan x =) Q = 6z 1 + x2 arctan x + f (x; y)
@P
@z = 12xy arctan x =) P = 12xyz arctan x + g (x; y)
@Q@x
@ P @y
= 6z 12xz arctan x + @ f @x 12xz arctan x @g
@y = 6z
=) @f @x
@ g@y
= 0
Donc !W = (12xyz arctan x + g (x; y))
!i +
6z 1 + x2 arctan x + f (x; y)! jOr
!W (x;y; 0) =
!0 =) g!i + f ! j = !0 =) f = g = 0
!W = 12xyz arctan x
!i 6z 1 + x2 arctan x! j
Notons tout d’abord que !r !W = !V 6= !0 donc !W n’est pas conservatif.
3. !
W !dr = 12xyz arctan xdx 6z 1 + x2 arctan xdydans le plan x = 3 : dx = 0!W !dr = (60 arctan 3) zdyen coordonnées polaires sur le cercle y2 + z2 = 25 et (x = 3) :
on pose y = r cos = 5 cos =) dy = 5sin d et z = r sin = 5 sin !W !dr = 60 arctan 3 5sin (5sin d) = 1500 arctan 3 sin2 d
I C
!W !dr = 1500 arctan 3
2
Z 0
sin
2
d = 1500 arctan 3
8/19/2019 TD Curviligne 2013
17/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
17/26 MVA107
Exercice 13
Soit le champ vectoriel !H = y2
!i +
x2 + 2xy
! j dé…ni sur la courbe (C ) frontière de la zone
limitée par l’intérieur du cercle C 1 : (x 2)2 + y2 = 4 , l’extérieur du cercle C 2 : x2 + y2 = 4et x 0 .
1. Le champ !H est-il un champ de gradient ?. Justi…er votre réponse.
2. Calculer I =
Z C
!H :
!dM :
(a) Par calcul direct.
(b) A l’aide de formule de Green-Riemann.
Solution 13 :
1. !r !H = 2x!k 6= !0 alors !H n’est pas un champ de gradient.2. La courbe (C ) frontière de la zone limitée par les deux cercles
C 1 : (x 2)2 + y2 = 4 et C 2 : x2 + y2 = 4 extérieur de C 2 et x 0 est illustrée sur la …gureci-dessous.
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
(a) I =
Z C
!H :
!dM =
Z C
y2dx +
x2 + 2xy
dy
=
Z C
y2dx + 2xydy +
Z C
x2dy =
Z C
d
xy2
+
Z C
x2dy =
Z C
x2dy
En coordonnées polaires :
Sur C 1 : r = 4 cos =) x = r cos = 4 cos2
y = r sin = 4 cos sin = 2 sin 2 =
)dy = 4 cos 2d
;
avec 3
3
Sur C 2 : x = 2 cos , y = 2 sin =) dy = 2 cos d et 3
3Alors :Z C
x2dy =
Z C 1
x2dy +
Z C 2
x2dy
=
=3Z =3
4cos2
24cos2d +
=3Z =3
(2 cos )2 2cos d
= 64
=3Z =3
cos4 cos2d + 8
=3Z =3
cos3 d = 4p 3 + 323
8/19/2019 TD Curviligne 2013
18/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
18/26 MVA107
(b) La courbe (C ) limite un domaine (D) dans le plan xoy où le champ !H est continue en
tout point de (D) :
La formule de Green-Reimann s’écrit :
I =
Z C !H :
!dM =
Z C y2dx +
x2 + 2xy
dy
=ZZ
D(2x + 2y 2y) dxdy = ZZ
D2xdxdy
En coordonnées polaires : x = r cos , y = r sin , dxdy = rdrd ;
3
3 et 2 r 4cos alors :
I =
ZZ D
2r2 cos drd = 2
=3Z =3
4cos Z 2
r2dr cos d
= 4
=3
Z 0 Z 4cos
2r2dr cos d = 4
p 3 +
32
3
Exercice 14
La force de répulsion entre deux charges électriques(q et Q; Q > q ) de même polarité est donnéepar la loi de Coulombe
!F =
4"
!rr3
avec !r = x!i + y! j1. Calculer le travail W e¤ectué par la charge q en se deplacant sur le segment AB ; A (1; 1; 0)
et B (2; 2; 0)
2. On considère les points C (2; 0; 0) et D (1; 0; 0) et le champ : !
V = y
2
!i +
x
2
! j Calculer
l’intégrale curviligne
I ABCDA
!V !dr
Solution 14 !F = qQ
4"
!rr3
1. W =
Z AB
!F !dr =
Z AB
4"
!rr3
!dr
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00
1
2
x
y
A
B
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19/26
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19/26 MVA107
Le segment AB
Sur AB ; A (1; 1; 0) et B (2; 2; 0) on a x = y et z = 0 =) dz = 0 et dx = dy
W = qQ
4"
Z AB
xdx + ydy + zdz
p x2 + y2 + z23 =
4"
2Z 1
2xdx
p
2x23
4p
2"
2Z 1
dx
x2 =
16"
p 2
2. !
V = y
2
!i +
x
2
! j )
I ADCBA
!V !dr =
I ADCBA
y2
dx + x
2dy
(a) Par calcul directI
ADCBA
=
Z AD
+
Z DC
+
Z CB
+
Z BA
0.5 1.0 1.5 2.00
1
2
x
y
La courbe ABCDA
Sur AD : x = 1)
dx = 0 y varie de 1 à 0Z DA
y2
dx + x
2dy
=
0Z 1
1
2dy = 1
2
Sur DC : y = 0 ) dy = 0 et x varie de 1 à 2 :)Z DC
y2
dx + x
2dy
= 0
Sur C B : x = 2 ) dx = 0 , y varie de 0 à 2
)I CB
y2
dx + x
2dy
=
2Z 0
2
2dy
=
2Z 0
dy = 2
Sur B A : x = y ) dx = dy ) ydx + xdy2
= 0 ) Z BA
= 0
I ABCDA
!V !dr = 1
2 + 2 =
3
2
(b) Par formule de GreenI ADCBA
!V !dr =
ZZ
@
@x
x2
@
@y
y2
dxdy
= ZZ dxdy =2
Z 1
0@x
Z 0
dy1A dx = 32
8/19/2019 TD Curviligne 2013
20/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
20/26 MVA107
Exercice 15
Soit le champ vectoriel :!V = (x z) !i + y! j + x!k :
1. Calculer le travail de!V le long des chemins i; allant de O à Q(
2; 0; 1) dans le sens positif,
lorsque :
(a) 1 est l’arc d’hélice : x = cos t 1; y = sin t; z = t(b) 2 est l’arc de parabole située dans le plan xoz d’équation 4z = x
2
(c) 3 est la ligne brisée OABQ; A (0; 1; 0) ; B (2; 1; 0)2. Pour quelle valeur de le travail de
!V ne dépend-il que des extrémités du chemin ?
3. Calculer le travail de !
V le long d’un chemin allant de O à P (x;y ;z)?
4. Quelle est alors la valeur du travail lorsque P Q:
Solution 15 :!V = (x z) !i + y! j + x!k :
1. W =H
~ V : d~r =H
(x z) dx + ydy + xdz=R gOQ
(x z) dx + ydy + xdz
(a) Sur 1 : x = cos t 1 =) dx = sin tdty = sin t =) dy = cos tdt
et z = t =) dz = dten O : t = 0 et en Q : t = 1 =)W =
1R 0
((cos t 1 sin t) ( sin t) + sin t cos t + (cos t 1)) dt
=1R 0
sin t + sin2 t
+ (cos t 1) dt = 2 + 12
x
y
(1)
-2 -1 0
0.0
0.5
1.0
x
z
(2)
-1
.0
.5
.0
x0
-2
0.0 0.5 1.0
(3) = OABQ
(b) (2) est dans le plan xoz =) y = dy = 0 et 4z = x2
=) dz = xdx2
En O : x = z = 0 en Q : x = 2
=)
R gOQ(x z) dx + ydy + xdz =
2
R 0
x x2
4
dx + +x2
dx
2
=2R 0
x x2
4 +
x2
2
dx =
8 4 3
8/19/2019 TD Curviligne 2013
21/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
21/26 MVA107
(c) (3) = OA [ AB [ BQ =)R
~ V : d~r =R OA
~ V : d~r +R AB
~ V : d~r +R BQ
~ V : d~r
Sur OA : x = z = 0 et 0 y 1=)
R OA(x z) dx + ydy + xdz =
1
R 0ydy = 12
Sur AB y = 1; z = 0 et x varie de 2 à 0=) R
AB
(x z) dx + ydy + xdz =2R 0
xdx = 2
Sur B Q : y + z = 1 =) dy = dz et x = 2=) R
BQ
(x z) dx + ydy + xdz =1R 0
((z 1) 2 ) dz = 12 2
R 3
~ V :d~r = 1
2 + 2 1
2 2 = 2 2
2. H ~ V : d~r est indépendante du chemin si
!V = (x z) !i + y! j + x!k est un champ de
gradient ( champ conservatif ) .
Si !
V = (a;b;c) alors dans ce cas on aura :@a
@y =
@b
@x; @a
@z =
@c
@x et
@b
@z =
@c
@y@a
@y =
@ (x z)@y
= 0 @b
@x =
@y
@x = 0
@a
@z =
@ (x z)@z
= 1 @c@x
= @ (x)
@x =
@b
@z =
@y
@z = 0
@c
@y =
@ x
@y = 0yx
Alors il faut que = 1 et 0y = 0 alors !V est champ conservatif si = 1et par suite :9' = ' (x;y ;z) tel que!V = (x z) !i + y! j x!k = !grad' = @'
@x
!i +
@ '
@y
! j +
@'
@z
!k
3.R
~ V : d~r =H
(x z) dx + ydy + xdz=R OP
(x z) dx + ydy + xdz = R OP
d' = ' (P ) ' (O)@'
@x = (x z) =) ' = 1
2x2 xz + f (y; z)
y = @'
@y
= f 0y =)
f (y; z) = 1
2
y2 + g (z) =
)' =
1
2
x2
xz +
1
2
y2 + g (z)
x = @'@z
= x + g0 =) g = c
' (x;y ;z) = 1
2x2 xz + 1
2y2 + cR
OP
d' = ' (P ) ' (O) = 12
x2 xz + 12
y2
4.R OQ
!V :
!dr =
R OP
d' = ' (Q) ' (O) = 12
(2)2 (2) (1) + 12
(0) = 4
8/19/2019 TD Curviligne 2013
22/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
22/26 MVA107
Exercice 16
Le champ vectoriel !H = xy
!i 2 y z2! j + z!k est dé…nie et continue sur la courbe (C )
telle que :
8M (x;y ;z) 2 (C ) on a : !OM = (1 + t) !i + 1 t2! j + at2!k où t est un paramètre,1.
!H est-il un champ de gradient ?Justi…er votre réponse
2. !
H est-il un champ de rotationnel ?Justi…er votre réponse
3. Calculer le travail e¤ectué par !H le long de la courbe (C ) en allant du point A (0; 0; a)
vers le point B (3; 3; 4a)4. Calculer la charge totale de AB si la densité linéique est = x 1
Solution 16 :!H = xy
!i
2 y z2! j + z!k1.
@xy
@y = x 6= @
2 y z2@x
= 0
ou !r !H = 4z!i x!k 6= !0
donc !H n’est pas un champ de gradient
2. !r !H = y 1 6= 0 donc !H n’est pas un champ de rotationnel
3. W =
Z AB
!H !dr
y
x
z
!r = !OM = (1 + t) !i +
1 t2
! j + at2
!k =) !dr =
!i 2t! j + 2at!k
dt
!H = xy!i 2 y z2! j + z!k = (1 + t) 1 t2!i 2 1 t2 a2t4! j + at2!k=t3 t2 + t + 1!i 2 1 t2 a2t4! j + at2!k
!H !dr = t3 t2 + t + 1+ 4t 1 t2 a2t4+ 2a2t3 dt=4a2t5 + 2a2t3 5t3 t2 + 5t + 1 dt
Au point A (1; 1; 0) on a t = 0 et au point B (2; 0; a) : t = 1
4. W =
Z AB
!H !dr =
1Z 0
4a2t5 + 2a2t3 5t3 t2 + 5t + 1 dt = 2312
16
a2
5. Q = Z AB d`d` =
p dx2 + dy2 + dz2 =
p 1 + 4t2 + 4a2t2dt =
p 1 + 4(1 + a2) t2dt
8/19/2019 TD Curviligne 2013
23/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
23/26 MVA107
= x 1 = 1 + t 1 = tQ =
R 10 tp
1 + 4 (1 + a2) t2dt
6. Posons u = 1 + 4
1 + a2
t2 =) du = 8 1 + a2 tdt =) tdt = du8 (1 + a2)
t = 0!
u = 1 et t = 1!
u = 5 + 4a2
Q =
5+4a2Z 1
p udu
8 (1 + a2) =
4a2 + 5
p 4a2 + 5 1
12 (a2 + 1)Z p udu
8 (1 + a2) =
up
u
12 (a2 + 1)
Exercice 17
Dans l’espace rapporté aux axes Oxyz on considère les points : A (a;b; 0) ; B (a;b; 0) ;C (a; b; 0) ; D (a; b; 0) et M (0; 0; c) avec a; b; c sont des réels poistifs et b = a2; Soit ÂOBun arc parabolique .
1. Calculer le travail W du champ !
F = x2y!i + x
! j ; = cte; le long de la courbe ÂOBCDA
décrivée dans le sens trigonométrique à l’aide d’une intégrale curviligne
2. Peut-on calculer ce travail à l’aide d’une intégrale double, justi…er la réponse et recalcluerW s’il est possible
3. Véri…er que y (x) = k
x +
x2
3 est la solution générale de l’équation di¤érentielle
x dydx
+ y = x2
4. On suppose que = (x) : Déterminer tel que !
F dérive d’un potentiel scalaire '; avec!F (0; 0) =
!0
5. Déterminer le champ scalaire ' et calculer le travail de !
F ; suivant un trajet allant de A àB:
Solution 17 :
1. Soit () = AOBCDA = ÂOB [ BC [ CD [ DA
W =
I ()
!F !dr =
I ()
x2y
!i + x
! j
dx!i + dy
! j
=
I ()
x2ydx + xdy
AB
C D
O a -a
b
-b
x
y
8/19/2019 TD Curviligne 2013
24/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
24/26 MVA107
I ()
=
Z ÂOB
+
Z BC
+
Z CD
+
Z DA
– Sur l’arc AOB : y = x2 =) dy = 2xdx=) !F !dr = x2x2dx + x:2xdx = x4 + 2x2 dxZ ÂOB
!F !dr =
aZ a
x4 + 2x2
= 25a5 43a3
– Sur B C : x = a et dx = 0 =) !F !dr = adyZ BC
!F !dr =
bZ b
ady = 2ba = 2a3
– Sur C D : y = b =) dy = 0 =) !F !dr = bx2dx
Z CD
!F
!dr =
b
a
Z a x2dx = 2
3ba3 =
2
3a5
– Sur DA : x = a donc dx = 0 =) !F !dr = adyZ DA
!F !dr =
bZ b
ady = 2ba = 2a3
Alors :I
!F !dr = 25a5 43a3 + 2a3 23a5 + 2a3 = 1615a5 + 83a3
2. La courbe () limite le domaine D et le champ !
F est continu sur () et dans (D) alors
d’après la formule de Green-Riemann on peut écrire :I
!F !dr =
ZZ D
x2 dxdy = aZ
a
0B@ x2Z
b
x2 dy
1CA dx= 23a
3 25a5 + 2ba 23ba3 = 23a3 25a5 + 2a3 23a5 = 1615a5 + 83a3
3. si y (x) = k
x +
x2
3 il su¢t de calculer y 0 = k
x2 +
2x
3
xdy
dx + y = x
k
x2 +
2x
3
+
k
x +
x2
3 = x2
4. Le champ !
F dérive d’un potentiel scalaire ' si !r' = !F alors !F !dr = d' donc
@ @yx2y = @
@x (x) =) x2 = x d
dx +
Pour l’équation sans second membre : xd
dx+ = 0 la solution est 1 (x) =
k
x . Une solution
particulière de l’équation complète , en considèrant que k = k (x) ; est 2 (x) = x2
3 donc
(x) = k
x +
x2
3
alors !
F = x2y!i + x
! j = x2y
!i +
k
x +
x2
3
x! j = x2y
!i +
x3
3
! j
5. !
F =!grad ' =
@'
@x
!i +
@ '
@y
! j
@'
@y =
x3
3 =) ' (x; y) = x
3y
3 + c (x)
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25/26
Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban
25/26 MVA107
@'
@x = x2y = x2y + c0 =) c0 = 0 et c = cte:
=) ' (x; y) = 13
x3y + C
I AB
!F !dr = I AB
d' =
B
Z A
d' = ' (B) ' (A)
= ' (a; b) ' (a; b) = a3b
3 a
3b
3 = 2a
5
3
Exercice 18
Soit le champ vectoriel
!H = (2x + z) !i + x2 y + xz 1! j + x!k1. Calculer
!r !H ; !r !H et !r !r !H
2. Calculer le travail e¤ectué par !H sur la portion du parabole y = x2 2 joignant les points
A (0; 2; 0) et B (2; 2; 0)3.
!H est -il un champ de gradient ? Justi…er votre réponse.
4. Trouver une fonction (y) telle que !w !dr soit une di¤érentielle totale où !w = !H 5. Trouver la fonction ' (x;y ;z) telle que d' = !w !dr6. Déduire le travail e¤ectué par
!w en allant du point A (1; a ; a) vers le point B (a;a; 1) ; et a
est une constante donnée.
Solution 18 :
1. !r !H = x!i + (2x + z) !k!r !H = 1!r
!r !H = 02. graphe:
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Z C !H
!dr = Z C (2x + z) dx + x
2
y + xz
1 dy + xdz
Sur (C ) y = x2 2 =) dy = 2xdx et 0 x 2 , z = dz = 0
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26/26
26/26 MVA107
=)Z C
!H !dr =
Z C
2xdx +
x2 y 1 dy=
2
Z 0 2x + x2
x2 + 2
1 2x dx = 4
2
Z 0 xdx = 83.
!H = (2x + z)
!i +
x2 y + xz 1! j + x!k = P !i + Q! j + R!k
on a trouvé que !r !H = x!i + (2x + z) !k 6= !0 donc !H n’est pas une di¤érentielle
totale .
4. soit = (y) =) !w =
(2x + z)!i +
x2 y + xz 1! j + x!k
!w !dr est une di¤érentielle totale si :@ ( (2x + z))
@y = 0 (2x + z) =
@ (Q)
@x = (2x + z)
@x
@x
= = @ (2x + z)
@z
=
@x
@y = 0x =
@ x2 y + xz 1@z
= x
donc, il faut que : 0 =
() ddy
= =) d
= dy =) = ey!w = (2x + z) ey!i + x2 y + xz 1 ey! j + xey!k est un champ de gradient
5. d' = !w !dr () !r' = !w@'
@x = (2x + z) ey =) ' (x;y ;z) =
R (2x + z) eydx =
x2 + zx
ey + f (y; z)
@'
@y = x2 + zx ey + @ f @y = x2 y + xz 1 ey =) @f @y = (y 1) eyf (y; z) =
R (y 1) eydy = yey + g (z)
' (x;y ;z) =
x2 + zx
ey + f (y; z) =
x2 + zx
ey yey + g (z)@'
@z = xey +
dg
dz = xey =) dg
dz = 0 =) g = cte = k
' (x;y ;z) =
x2 + zx y ey + k6.
Z L
!w !dr =Z AB
d' = ' (B) ' (A) = a2 + a a ea (1 + a a) ea = a2 1 ea
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