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Equaes do 2 Grau
Ana Fraga Mota Carmen Salvado
Elisa MosquitoM. Teresa Santos
Didctica da lgebra 2004 / 2005
Apresentao dos Manuais
Elementos de lgebra Augusto Jos da Cunha 1887 Escola Politcnica (4 e 5 anos de liceu) actual 10 ano 52 pginas
Compndio de lgebra Eduardo Ismael dos Santos Andrea 1924 6 e 7 classes actual 11 ano 26 pginas
lgebra e Trigonometria Fernando Dias Agudo 1938 4, 5 e 6 anos do liceu actual 10 ano 21 pginas
Apresentao dos ManuaisCompndio de Matemtica Antnio de Almeida Costa, Alfredo Osrio dos Anjos e Antnio Augusto Lopes 1970 9 Ano de escolaridade 17 pginas
Matemtica 9 Maria Augusta F. Neves, Lus Guerreiro e Armando Neves 2004 9 Ano de escolaridade 22 pginas
Elementos de lgebra Augusto Jos da Cunha (1887)
A resoluo de equaes de 2 grau conduz extraco da raiz quadrada de expresses literaes, ou numricas, por isso, antes de expor o processo de resoluo de equaes, trataremos da teoria de radicaes do 2 grau. O tema est dividido em trs captulos:
Captulo I Radicais do 2 grau (14 pg.) Captulo II Equao do 2 grau a uma incgnita ( 24 pg.) Captulo III Equaes que se reduzem ao 2 grau ou ao 1 grau (14 pg.).
Captulo I Radicais do 2. GrauI.
Duplo valor da raiz quadrada (quantidades imaginrias)visa esclarecer o que a raiz quadrada
I.
Quadrado e raiz quadrada de monmiosoperaes com monmios
II.
Quadrado e raiz quadrada de polinmiosoperaes com polinmios
I.
Calculo dos radicaes do 2 grausimplificao de radicais operaes com radicais
No final so apresentados 10 exerccios: Acha a raiz quadrada do polinmio; Simplifica a expresso; Valor de; Demonstra as seguintes igualdades; A resposta apresentada junto ao exerccio.
Captulo II Equao do 2. grau a uma incgnitaI.
Resoluo da equao- definio da equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0, com a , b e c quantidades conhecidas; - Equaes incompletas ax2 + c = 0, ax2 + bx = 0; - Resoluo e discusso das solues das equaes incompletas; - Resoluo da equao do 2 grau completa, quando a=1; - Resoluo da equao ax2 + bx + c = 0, com a , b e c quantidades conhecidas; - Deduo da fmula x b b 4ac 2a - a primeira equao resolvida com a frmula anterior 2
II. III.
Discusso da equao- diviso de polinmios
x 2 2 x 1 (3x 5)( 4 x)
- discusso das solues em funo dos valores de a, b e c.
Composio da equao
IV.
Propriedades do trinmio do 2 grau- trinmio do 2 grau a expresso algbrica ax2+bx+c, com a, b e c quantidades conhecidas; - decomposio do trinmio - aplicao s desigualdades do 2 grau.
No final so apresentados 26 exerccios:
Resolve as seguintes equaes; Decompor o trinmio em dois factores do 1 grau;
Captulo III Equaes que se reduzem ao 2 ou ao 1 grauI.
Equaes irracionaes
- definio de equao irracional;II.
Equaes biquadradas- define equao biquadrada
ax 4 bx 2 c 0A B
III.
Transformaes das expresses da forma No final so apresentados 12 exerccios:
Resolve as seguintes equaes; Transforma a expresso.
Compndio de lgebra Eduardo Ismael dos Santos Andrea (1924)
O tema est dividido em dois captulos: - o captulo VIII - Equaes do 2 grau a uma incgnita (6 pg.) - Propriedades do Trinmio do 2 grau (13 pg.) - captulo IX - Problemas do 2 Grau. Discusso (3pag.) O captulo termina com exerccios e as respectivas solues (quatro pginas).
Captulo VIII Equaes do 2grau a uma incgnita
define a equao do 2 grau como sendo o trinmio ax2 + bx + c = 0, com a , b e c finitos;Indica: - as razes possveis so reais ou complexas; - procede deduo das razes da equao admitindo a0, b b 2 4ac x' 2a
b b 2 4ac x' ' 2a
A 1 equao a ser resolvida com pela frmula anterior 3x2 5x + 2 = 0; Discute o nmero de razes da equao em funo do sinal de b2 4ac ; Enuncia as propriedades do trinmio - sob a forma de teoremas seguidos da respectiva demonstrao; - indica a regra para se obter a expresso da equao do 2 grau quando so conhecidas as duas razes;
- apresenta teoremas relativos factorizao do trinmio no produto de dois polinmios do 1 grau, quando as razes so reais ou complexas ;
Captulo VIII- Equaes do 2. grau a uma incgnita
Estuda os valores de x que tornam positivo ou negativo o trinmio; Discutir as razes da equao (3 1)2x2 (2 + 1) x + =0 quando varia de - a + A representao grfica de uma funo do 2 grau chama-se parbola.
Captulo IX- Problemas do 2. grau. Discusso
Exemplos de problemas cuja resoluo envolvem a discusso das razes da equao do 2 grau. O captulo termina com: - 36 exerccios - aplicao da frmula; - Formar equaes cujas as razes so - discutir, a priori, as equaes; - estudar as razes em funo de um parametro; - indicao das solues;
lgebra e Trigonometria Fernando Dias Agudo (1938)
O captulo I Equaes e Problemas do 2 grau Divide-se em 2 seces: - Equaes (16 pg.) A.Nota histrica B.Resoluo grfica (2 pg.)
C.Resoluo algbrica (14 pg.)- Problemas do 2 grau (4 pg.)
Termina com um quadro que resume os principais tpicos a fixar na resoluo de uma equao do 2 grau; Listagem de exerccios de aplicao.
Captulo I- Resoluo algbrica
A transformao geomtrica do polinmio (a+b)2=a2+2ab+b2 numa expresso com incgnitas;Define equao do 2 grau a uma incgnita, completa e incompleta. Inicia a resoluo das equaes do 2 grau com a questo: Por que razo , necessariamente, a 0? Deduo da frmula resolvente Indica os passos da resoluo das equaes do 2 grau A 1 equao que resolvida segundo a 2 3 x 1 x frmula resolvente x 1 5 3
Simplificao da frmula resolvente em funo dos diferentes coeficientes Discusso do nmero de razes da equao
Captulo I Resoluo algbrica
Define razes imaginrias usando a resoluo da equao x2 + 1 = 0;define - nmeros complexos; - a representao dos nmeros complexos no plano de eixos.
Captulo I Problemas do 2 Grau
Apresenta 4 exemplos de exerccios de aplicao da frmula resolvente. Busquemos um nmero cujo quadrado de metade e do seu tero, (Extrado do livro de lgebra de Pedro Nunes)
e do seu quarto, todos juntos faam tanta soma como o mesmo nmero
Tpicos essenciais, na resoluo de uma equao do 2 grau e de problemas que envolve as equaes do 2 grau;
Listagem de 31 exerccios de aplicao da frmula resolvente.
Compndio de Matemtica A. A. Costa, Afredo Osrio dos A., Antnio A. Lopes (1970)
O captulo 5 Problemas e Equaes do 2 grau
Divide-se em 2 seces: - Equaes (12pg.) Resoluo algbrica - Problemas do 2 grau (3 pg.)Termina com uma listagem de exerccios de reviso.
Captulo 5- Resoluo algbrica
Inicia com a resoluo de problemas e exemplos de equaes do 2. grau incompletas.
Reduz o polinmio do 1. membro a um quadrado perfeito, aplica os casos notveis, na resoluo de equaes do 2. grau completas.Aplica a Lei do Anulamento do Produto, colocando o 1. membro sob a forma de um produto de dois ou mais factores.
Define equao do 2. grau e foca os casos de c=0 e b= 0, dizendo que nestes casos so equaes incompletas e mostra como proceder. Apresenta regras prticas para resolver as equaes do tipo:
x2 c 0
ax 2 bx 0
A primeira equao que resolvida segundo a frmula resolvente
6 x 2 5x 1 0
Caso O coeficiente b=2k.
Captulo 5 Problemas do 2 Grau
apresenta 4 exemplos de problemas (2 ligados ao quotidiano e um envolvendo a Geometria), de aplicao da frmula resolvente, no caso de serem equaes do 2. grau completas. Finaliza esta parte com a proposta de resoluo de 5 problemas: - 2 numricos; - 2 geomtricos; - 1 quotidiano. Termina o Captulo com uma listagem de exerccios e problemas a que denomina por Exerccios de reviso. Este dividem-se em: - inequaes; - sistemas de inequaes com parntesis e denominadores; - decomposio de polinmios em factores; - resoluo de equaes; - resoluo de problemas; - um exerccio de simplificao de radicais.
Matemtica 9 M. A. F. Neves,Lus Guerreiro e Armando Neves (2004)
Captulo IV: Equaes do 2 grau Divide-se em 4 sub-ttulos: - Operaes com polinmios. Casos notveis da multiplicao de polinmios. Decomposio em factores (Reviso) (4 pg.); - Resoluo de equaes de 2. grau incompletas. Lei do Anulamento do Produto. (Reviso) (4 pg.); - Resoluo de equaes do 2. grau completas. Frmula Resolvente (4 pg.); - Resoluo de problemas do 2. grau (4 pg.);
Captulo V- Equaes do 2. grau
Refere os contedos a serem estudados; Apresenta uma breve Nota Histrica; Aponta o que os alunos j devem saber:
Operar com polinmios; Aplicar os casos notveis da multiplicao de polinmios; Decompor em factores um polinmio; Resolver equaes do 2. grau incompletas.
Apresenta exemplos, exerccios e problemas de reviso; Desenvolve o conceito atravs da resoluo de um problema, apresentando dois processos de resoluo; Refere que: existe uma frmula resolvente de equaes do 2. grau que permite determinar as solues de qualquer equao do 2. grau.
Captulo IV- Equaes do 2. grau
Apresenta a deduo da frmula , sob a forma de nota;
A primeira equao a ser resolvida 2 x 2 7 x 3 0Refere que: na resoluo de um problema, [deve-se] fazer um desenho ou um esquema que pode ajudar a formar uma equao que relacione os dados e a incgnita. Em seguida resolve-se a equao e interpreta-se as suas solues; Apresenta a resoluo de trs problemas seguindo os passos sugeridos; Sugere a resoluo de problemas; Palavras-chave/Conhecimentos e Capacidades Especficos
Avaliao: Prope exerccios de avaliao de dois tipos: Questes de escolha mltipla e Questes de desenvolvimento;Apresenta as solues de todos os exerccios de todos os captulos.
Concluses
Os contedos a serem aprendidos pelos alunos e a abordagem dos mesmos sofreu grandes alteraes com a evoluo do currculo da Matemtica;
Livros analisados desde 1887 at 2004;
Evoluo na abordagem das equaes do 2 grau:formalismo e abstraco excessivo abordagens simples e concretas
A frmula resolvente s aparece aps uma primeira parte em que se
trabalham equaes do mesmo grau mas incompletas ou completas;
Actualmente as equaes do 2 grau incompletas so estudadas num ano lectivo (8 ano), no ano seguinte introduzem-se as equaes do 2 grau completas (com o estudo da frmula resolvente) e apenas no 10 ano introduzida a discusso das solues da equao completa (binmio discriminante), bem como o estudo dos radicais (Curriculo em espiral).
Concluses
A relao entre as equaes do 2. grau e a funo quadrtica s abordada no livro de Ismael Andrea;
As tarefas propostas aos alunos deixaram de ter um cunho estritamente matemtico dando espao a problemas contextualizados em situaes do quotidiano;
O grau de dificuldade dos exerccios diminui gradualmente;
A natureza do texto muda com a poca em que escrito;Evoluo gradual do aumento da letra e dos espaos utilizados entre pargrafos; deixam de existir pargrafos numerados e utilizam esquemas, desenhos e cores.
Referncias Bibliogrficas
Agudo, F. D. (1938). lgebra e Trigonometria. Lisboa: Livraria Popular de Francisco Franco. Andrea, E. I. S. (1924). Compndio de lgebra. Lisboa: Imprensa Nacional de Lisboa. Calado, J. J. G. (1960). Compndio de lgebra. Lisboa: Livraria Popular de Francisco Franco. Costa, A. A., Anjos, A. O. & Lopes, A. A. (1970). Compndio de Matemtica. Porto: Porto Editora. Costa, A. A., Anjos, A. O. & Lopes, A. A. (1987). Matemtica Jovem. Porto: Porto Editora. Cunha, A. J. (1887). Elementos de lgebra. (5 edio). Lisboa: Livraria de Antnio Maria Pereira. Neves, M. A. F., Guerreiro, L. & Neves, A. (2004). Matemtica 9.(1 edio). Porto: Porto Editora. Ponte, J. P. (2004). As equaes nos manuais escolares. Revista Brasileira de Histria da Matemtica, 4(8), 149-170.
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