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Referencias:
Tipler, P. and Mosca, G.(2004) Physics for Scientists and Engineers. Vth Ed.
Freeman and Company
Beer, F. and Jonhston, E. R. (2007) Vector Mechanics for Engineers. McGraw-
Hill
MECÁNICA
Cinemática de partículas:
La cinemática es el estudio de la geometría del movimiento; su objeto es relacionar
el desplamiento, la velocidad la aceleración y el tiempo, sin referencia a la causa del movimiento
Movimiento en una dimensión Movimiento en dos y tres dimensiones
Desplazamiento y velocidad
MECÁNICACinemática de las partículas
Movimiento en una dimensión
Posición, Desplazamiento, Velocidad, “rapidez”. Una dimensión
Posición xi. se define
por un marco o sistema
de referencia
Desplazamiento: es el cambio en la posición de la partícula
Velocidad: El ritmo al cual cambia la posición, m/s
Distancia recorrida: s
distancia total recorrida
Rapidez promedio: ratio de la distancia total recorrida por el tiempo empleado en recorrerla
Velocidad instantánea dt
ds
t
s
La velocidad instantánea es el límite del cociente Δx/Δt, cuando Δt tiende a cero, y tiene signo, positivo significa que x crece, y negativo que x disminuye
= pendiente de la línea tangente a la curva x frente a t
Velocidad promedio
VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Velocidad promedio e instantánea. Interpretación geométrica Movimiento en una dimensióh
La magnitud
de la velocidad
instantánea es la
rapidez
dt
ds
La velocidad promedio es la pendiente de la línea recta
Interpretación geométrica de la velocidad media
Velocidad instantánea
Velocidad promedio e instantánea.
Comentarios sobre terminología.
Diferencia entre velocidad y rapidez
Cuando hablamos de rapidez o módulo de la velocidad instantánea , estase considera siempre positiva. La “rapidez” promedio en un recorrido espues el promedio de los valores de la rapidez (módulo de la velocidad)instantánea, y es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempoempleado en recorrerla
Cuando hablamos de velocidad nos referimos a la velocidad como vector,por tanto tiene módulo y dirección. Cuando tratamos movimientosunidimensionales la dirección del vector la suele indicar el signo. Positivoo negativo
La diferencia fundamental entre ambos concceptos se encuentra cuandohablamos de velocidad promedio. En un movimiento como el que recorreun coche de Fórmula 1, al dar una vuelta al circuito la velocidad promedioen ese ciclo sería cero, pero el módulo de la velocidad instantáneapromedio sería la distancia recorrida dividida por el tiempo empleado enrecorrerla.
Velocidad promedio e instantánea.
dsv
dt
velocidad instantánea
ds es el infinitésimo de arco, distancia sobre la curva que recorre la partícula, en un infinitésimo de tiempo, dt;
Cuando se considera movimiento unidimensional, aunque fuera movimiento curvilíneo, es frecuente utilizar la letra “s” como distancia desde el origen, entonces “s” ya es posición y no distancia recorrida, por lo que tiene asociado un signo, positivo para distancias que crecen, negativo al contrario.
Cuando consideramos un movimiento rectilíneo para la distancia desde el origen se suelen utilizar letras como “x”, coincidiendo con el nombre del eje cartesiano correspondiente, entonces ds= dx
En el caso general de movimiento curvilíneo tridimensional, y para cordenadas cartesianas
2 2 2ds dx dy dz
Aceleración
MECÁNICACinemática de partículas
Movimiento en una dimensión
Aceleración Movimiento en una dimensiónAceleración es el ritmo de cambio de la velocidad instantánea
Aceleración promedio, m/s2
2
2
dt
xd
dt
dtdxd
dt
dv
Aceleración instantánea, m/s2
Movimiento bajo aceleración constante, a = aav = constante;
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Caso práctico: Objetos en caida libre “ que caen libremente bajo la
influencia de la gravedad solamente” “Cerca de la superficie de la tierra todos los objetos sin sujección caen verticalmente con aceleración constante (considerando la resistencia del aire despreciable) Aceleración de la gravedad ~ 9,81 m/s2.
atvv o
2
2
1attvsxxx oo savv
xavv
o
o
2
2
22
22
Eliminando t
pendiente de la línea tangente a la curva v frente a t
¿Cómo es el movimiento que se muestra en la figuras?
Escribe la ecuación que describe el movimiento en cada caso
Describe el movimiento que se representa en la figura. Estima la aceleración cuando: t=50 s; t=120 s; ¿Cual es la distancia recorrida desde el origen de tiempo a t = 60 s; t= 180 s
Un coche acelera desde el reposo como se muestra en la figura. Dibuja un gráfico mostrando su velocidad y posición respecto al tiempo
EjerciciosUn coche que parte del reposo registra la velocidad que se representa en la figura. Estima la distancia que recorre en los primeros 4 segundos. Calcula la aceleración cuando t = 2 s
Movimiento relativo de dos partículas Movimiento en una dimensión
ABAB xxx /Posición relativa de B respecto de A
BA xx
Velocidad relativa de B respecto de A
ABAB vvv /
Aceleración relativa de B respecto de A
ABAB aaa /
Movimientos dependientes Los movimientos de las partículas están enlazados,no son independientes
02
02
Constante2
AB
AB
AB
aa
vv
xx
Ejemplo: Poleas y objetos enlazados por cuerdas inextensibles
Un sistema de referencia es un objeto cuyas partes están en reposo relativo unas de otras
DEFINICIÓN DE SISTEMA DE REFERENCIA
MECÁNICA
Cinemática de partículas
Movimiento en dos y tres dimensiones
Vectores
Suma y resta de vectores
Método del paralelogramo
¡vamos a necesitar un concepto matemático!
Los vectores son objetos que poseen magnitud y dirección y se suman como los desplazamientos
Componentes rectangulares de un vector
Componentes de un vector
La suma de vectores puede hacerse por el procedimiento de unir la cabeza de uno con la cola del otro, el método del paralelogramo, o analíticamente usando los componentes del vector
Vectores
Vectores unitarios
Posición, Velocidad [rapidez], y Aceleración
Vectores posición, velocidad y aceleración Movimiento curvilíneo
Velocidad. Vector
Rapidez [speed]
s distancia medida sobre la curva desde un origen Po
dt
dsv
ΤvΤdt
ds
dt
rd
Δt
Δrlimv
0Δt
Vectores posición, velocidad y aceleración Movimiento curvilíneo
Aceleración
dt
Tvd
dt
vd
t
vdlima
0t
Componentes rectangulares del vector, posición, velocidad y aceleración Movimiento curvilíneo
kzjyixr
kdk
dzj
dt
dyi
dt
dxv
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xda
2
2
2
2
2
2
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Nv
Ndt
dsN
dt
d
dt
Td
Nv
Tdt
dvN
vvT
dt
dv
dt
TdvT
dt
dv
dt
Tvd
dt
vda
Tvv
2
Componentes tangencial y normal de la aceleración
ACELERACIÓN TANGENCIAL
ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA
NT
2
aaNv
Tdt
dv
dt
vda
Tvv
Caso especial: Movimiento circular
Caso especial: Movimiento circular
Radio, r [m] Arco, distancia recorrida, s [m] Velocidad, v; Rapidez, v [m/s] Ángulo girado, θ, [rad] Velocidad angular ω [rad/s] Aceleración angular, α [rad/s2] Aceleración, a [m/s2] Aceleración Tangencial, aT [m/s2] Aceleración Normal, aN [m/s2]
Frecuencia, ν [ciclos/s][Hertz] Período, T, [s]
22
T
N
arco angulo x radio
ds d R
ds dR
dt dt
v R
dv da R R
dt dt
va R
R
Relaciones básicas en el movimiento circular
!!!Ángulos en radianes!!!
Ejercicio: Representar a escala la velocidad y aceleración del punto P de la figura que gira con velocidad angular constante de 5 rad/s y radio de giro 3 m.
ABAB
ABAB
ABAB
aaa
vvv
rrr
/
/
/
Movimiento relativo a un sistema de referencia móvil: Caso de traslación
La posisición, velocidad y aceleración dependendel sistema de referencia desde el que se midan.
Sin embargo, si el movimiento del sistemade referencia móvil es de traslaciónuniforme, la aceleración es la misma medidaen los dos sistemas, el fijo y el móvil
AB
AB
AB
a
v
r
/
/
/
Posición relativa de B respecto al sistema móvil Ax´y´z´, o posición de B relativa a AVelocidad de B relativa al sistema de referencia móvil Ax´y´z´, o la velocidad de B relativa a A.Es la derivada del vector posición relativa
Acleración de B relativa al sistema de referencia móvil Ax´y´z´ o la aceleración relativa respecto de A. Es la derivada del vector velocidadrelativa
El movimiento de B respecto al sistema fijo Oxyz se denomina movimiento absoluto
B
AAO
ABv /
Av
A/BAB
A/BAB
A/BAB
aaa
vvv
rrr
Movimiento relativo respecto a un sistema de referencia
Si el vagón tiene un movimiento de traslación uniforme, las aceleraciones son las mismas medidas desde los dos sistemas
Problemas
Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 190 m de altura sobre el mar, con una velocidad de 180 m/s y un ángulo de 30º con la horizontal. Si se ignora la resistencia del aire (a) calcular la distancia horizontal desde el cañón hasta donde el proyectil impacta con el mar (b) la altura máxima que sobre el nivel del mar alcanza el proyectil
El automóvil A viaja hacia el este con una velocidad constante de 36 km/h. Cuando el automóvil A cruza la intersección que se muestra, el automóvil B parte del reposo desde una distancia de 35 m al norte de la intersección y se mueve hacia el sur con una aceleración constante de 1,2 m/s2. Determinar la posición, velocidad y aceleración de B relativa a A 5 s después de que A cruce la intersección
Un automovilista viaja a 120 km/hora sobre un tramo curvo en una autopista de 800 m de radio. Aplica los frenos, provocando que la rapidez del coche disminuya de forma constante y al cabo de 3 s la velocidad es de 90 km/hora. Calcular la aceleración del coche justo cuando el automovilista inicia la aplicación de los frenos
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