Storia dei numeri primi - science.unitn.it · Esempio pratico Siano i soli primi non è divisibile...

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0.5setgray1 Storia dei numeri primi

Michele Avancini, Alice Passalacqua, Silvia Ruvidotti

Seminario di Algebra

Storia dei numeri primi – p. 1/57

Cosa sono i numeri primi?

Sono numeri interi e positivi che hanno comedivisori solo l’unità e sè stessi.

Numeri primi

Eccone un breve elenco:

, , , , , , ,

Numeri primi

, , , , , ,

Numeri primi

, , , , ,

Numeri primi

, , , ,

Numeri primi

, , , ,

Numeri primi

, , , ,

� �

Numeri primi

, , , ,

� �

Numeri primi

, , , ,

� �

Numeri primi

, , , ,

� �

� � �

Origini

Ma quand’è che l’uomo ha iniziato a interessarsiai numeri primi?

La più antica testimonianza

Risale al 6500 a.C.

Osso di Ishango

La più antica testimonianza

Risale al 6500 a.C.

Osso di Ishango

Trovato nel 1950 tra i monti dell’Africaequatoriale centrale...

è attualmente conservato presso il museo distoria naturale di Bruxelles.

Osso di Ishango

Trovato nel 1950 tra i monti dell’Africaequatoriale centrale...

è attualmente conservato presso il museo distoria naturale di Bruxelles.

Osso di Ishango

Ma che relazione ha con i numeri primi?

in una delle colonne in cui è suddiviso l’ossocompaiono e tacche...

...cioè i numeri primi tra e !

Osso di Ishango

in una delle colonne in cui è suddiviso l’ossocompaiono

� ��

� �e

��

tacche...

...cioè i numeri primi tra e !

Osso di Ishango

in una delle colonne in cui è suddiviso l’ossocompaiono

� ��

� �e

��

tacche...

...cioè i numeri primi tra

��

Osso di Ishango: domanda aperta

Sarà un caso...

...o effettivamente già allora gli uominiconoscevano i numeri primi?

Osso di Ishango: domanda aperta

Sarà un caso...

...o effettivamente già allora gli uominiconoscevano i numeri primi?

Antichi greci

Ogni intero è esprimibile come prodotto di primi.

Come lo si può dimostrare?

Antichi greci

Ogni intero è esprimibile come prodotto di primi.

Come lo si può dimostrare?

Antichi greci

Sia � non primo � � � ��

.Se � e

sono primi, la tesi è dimostrata.Se � e

non primi � � � ��

� � � con

�� e ��

Se sono primi la tesi è dimostrata;altrimenti continuo la fattorizzazione e alla fine siottiene ... con primi.

Antichi greci

.Se � e

� � � con

�� e ��

Se ��

� �� sono primi la tesi è dimostrata;altrimenti continuo la fattorizzazione e alla fine siottiene � � �� ...� �� con �� primi.

Antichi greci

.Se � e

� � � con

�� e ��

Se ��

� �� sono primi la tesi è dimostrata;altrimenti continuo la fattorizzazione e alla fine siottiene � � �� ...� �� con �� primi.

Euclide

Matematico e filosofo greco:

350-300 a.C.

Euclide

Matematico e filosofo greco:

350-300 a.C.

Euclide

Quanti numeri primi ci sono?

E’ possibile che ne esista solo un numero finito?

Euclide

La dimostrazione è presentata da Euclide nel IXlibro degli Elementi.

Siano , ,..., i soli numeri primi.

Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:...

Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da , ,..., ).

Euclide

Siano �� , �� ,..., �� i soli numeri primi.

Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:

� �� ...� ��

Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da , ,..., ).

Euclide

� �� ...� ��

Allora o è a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure è composto(cioè divisibile per numeri diversi da � � , �� ,..., �� ).

Euclide

� �� ...� ��

Euclide

� �� ...� ��

Esempio pratico

��

i soli primi

non è divisibile per .

E in realtà è primo perchè non è divisibile per, e .

Esempio pratico

��

i soli primi

� ��

��

� � � � � �

Esempio pratico

��

i soli primi

� ��

��

� � � � � �

� � �

non è divisibile per

��

Esempio pratico

��

i soli primi

� ��

��

� � � � � �

� � �

��

E in realtà

� � �

è primo perchè non è divisibile per

� �

� ��

Esempio pratico

��

� �

i soli primi

E in realtà è primo perchè non è divisibileper nessun primo minore o uguale a e

Esempio pratico

��

� �

i soli primi

� ��

��

� � � � � � � �

Esempio pratico

��

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i soli primi

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��

� � � � � � � �

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Esempio pratico

��

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i soli primi

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� � � � � � � �

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��

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E in realtà

� � � �

è primo perchè non è divisibileper nessun primo minore o uguale a

� �

� � � � � � � �

Esempio pratico

��

� ��

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i soli primi

non è divisibile per ...

...ma NON è primo! E’ divisibile per 59,infatti

Esempio pratico

��

� ��

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i soli primi

� ��

��

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� � � � ��

non è divisibile per ...

Esempio pratico

��

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i soli primi

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��

non è divisibile per�

��

Esempio pratico

��

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i soli primi

� ��

��

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��

non è divisibile per�

��

NON è primo! E’ divisibile per 59,infatti

��

Euclide

Con la dimostrazione di Euclide svanisce lapossibilità di costruire una “tavola periodica” che

comprenda tutti i numeri primi.

Eratostene

Scienziato e letterato greco:

275-195 a.C.

Eratostene

Scienziato e letterato greco:

275-195 a.C.

Eratostene

Inventò un metodo per determinare i numeriprimi:

CRIVELLO DI ERATOSTENE

Eratostene

Inventò un metodo per determinare i numeriprimi:

CRIVELLO DI ERATOSTENE

Crivello di Eratostene

Esempio: determiniamo i numeri primi tra

��

Consideriamo i numeri naturali fino a ,partendo da (setaccio):

��

Consideriamo i numeri naturali fino a

��

,partendo da

(setaccio):

��

Consideriamo i numeri naturali fino a

��

,partendo da

(setaccio):

� � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � ��

Cancelliamo tutti i multipli di

dal setaccio:

� � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � ��

dal setaccio:

� � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � ��

dal setaccio:

� � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � ��

dal setaccio:

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� � � � � � � � � � � � � � � � ��

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� � � � � � � � � � � � � � � � ��

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� � � � � � � � � � � � � � � � ��

dal setaccio:

� � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � ��

dal setaccio:

� � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � ��

dal setaccio:

� � � � �

� � � � � � � � ��

dal setaccio:

� � � � �

� � � � � � � � ��

dal setaccio:

� � � � �

� � � � � � � � ��

dal setaccio:

� � � � �

� � � � � � � � ��

dal setaccio:

� � � � �

� � � � � � � � ��

dal setaccio:

� � � �

� � � � � � ��

Il procedimento termina con l’eliminazione dalsetaccio dei multipli di

perchè�

è il massimointero primo il cui quadrato non supera

��

Abbiamo così ottenuto tutti i numeri primi

compresi tra e :

perchè�

��

Abbiamo così ottenuto tutti i numeri primicompresi tra

��

perchè�

��

Abbiamo così ottenuto tutti i numeri primicompresi tra

��

� ��

200 a.C. - 1600 d.C.

E’ un periodo in cui non vi sono significativiprogressi nella storia dei numeri primi:

Era dell’oscurantismo.

200 a.C. - 1600 d.C.

E’ un periodo in cui non vi sono significativiprogressi nella storia dei numeri primi:

Era dell’oscurantismo.

Fermat

Matematico francese:

1601-1665

Fermat

Matematico francese:

1601-1665

Fermat

Pensa di aver trovato una formula che producesolo numeri primi:

ennesimo numero di Fermat

Fermat

Pensa di aver trovato una formula che producesolo numeri primi:

� � � �ennesimo numero di Fermat

Esempio pratico:

� �

- � � �

primo numero di Fermat

secondo numero di Fermat

Esempio pratico:

� �

- � � �

� � � � � �

Esempio pratico:

� �

- � � �

� � � � � �

- � � �

Esempio pratico:

� �

- � � �

� � � � � �

- � � �

� � � � � � �

Esempio pratico:

� �

- � � �

terzo numero di Fermat

quarto numero di Fermat

Esempio pratico:

� �

- � � �

� � � � � � � �

Esempio pratico:

� �

- � � �

� � � � � � � �

- � � �

Esempio pratico:

� �

- � � �

� � � � � � � �

- � � �

� � � � � � � � � � �quarto numero di Fermat

Controesempio:

- � � �

Questo numero non è primo.Infatti

la formula non fornisce numeri primi!

Controesempio:

- � � �

� � � � � � � ��

Questo numero non è primo.

Infatti

Controesempio:

- � � �

� � � � � � � ��

� ��

Controesempio:

- � � �

� � � � � � � ��

� ��

- � � �

Controesempio:

- � � �

� � � � � � � ��

� ��

- � � �

� la formula non fornisce numeri primi!

Esempio pratico:

� �

Conclusione:

Oggi i numeri di Fermat non hanno prodotto che4 numeri primi:

, primo numero di Fermat

, secondo numero di Fermat

, terzo numero di Fermat

, quarto numero di Fermat

Esempio pratico:

� �

Conclusione:

, quarto numero di Fermat

Esempio pratico:

� �

Conclusione:

� � � � �

� � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � � � �, quarto numero di Fermat

Fermat

Ogni numero primo avente la forma di� � �

puòessere scritto in modo unico come la somma didue quadrati.

Esempio pratico:

- � � �

Esempio pratico:

- � � �

� ��

Esempio pratico:

- � � �

� ��

- � � �

Esempio pratico:

- � � �

� ��

- � � �

� � � � � � � �

Esempio pratico:

- � � �

� ��

- � � �

� � � � � � � �

- � � � �

Esempio pratico:

- � � �

� ��

- � � �

� � � � � � � �

- � � � �

� � � � ��

Fermat

Beffa di Fermat:

Sebbene sostenga di possedere ladimostrazione, tralascia di mettere per iscritto lamaggior parte dei dettagli.

Fermat

Beffa di Fermat:

Sebbene sostenga di possedere ladimostrazione, tralascia di mettere per iscritto lamaggior parte dei dettagli.

Fermat

Però egli dimostra quello che è conosciuto comeil piccolo teorema di Fermat :

Sia un numero primo e relativamente primocon . Allora

(mod ).

Fermat

Sia � un numero primo e � relativamente primocon �. Allora

(mod ).

Fermat

Sia � un numero primo e � relativamente primocon �. Allora

� � � � � �(mod �).

Mersenne

Scienziato e filosofo francese:

1588-1648

Mersenne

Scienziato e filosofo francese:

1588-1648

Mersenne

Riprende la formula di Fermat, la modifica, e neelabora una molto più efficace non per scopriretutti i numeri primi, ma un elenco maggiore:

i numeri primi dati dalla formula perparticolari valori di sono noti come primi diMersenne.

Mersenne

Riprende la formula di Fermat, la modifica, e neelabora una molto più efficace non per scopriretutti i numeri primi, ma un elenco maggiore:

i numeri primi dati dalla formula

� �

��

perparticolari valori di � sono noti come primi diMersenne.

Mersenne

Per quali � la formula

� �

��

genera numeri primi?

Mersenne afferma che per valori di nonsuperiori a , è primo se e solo se

Mersenne

Per quali � la formula

� �

��

genera numeri primi?

Mersenne afferma che per valori di � nonsuperiori a

� � �

� �

��

è primo se e solo se

� � ��

��

� ��

� � ��

� � �

Problema aperto

I matematici ritengono che i primi di Mersennesiano infiniti...

a questo proposito però manca ancora unadimostrazione della veridicità diquest’affermazione.

Problema aperto

I matematici ritengono che i primi di Mersennesiano infiniti...

a questo proposito però manca ancora unadimostrazione della veridicità diquest’affermazione.

Mersenne

Ancora oggi si continuano a scoprire numeriprimi della forma di Mersenne:

uno degli ultimi risale al Febbraio del 2005,grazie a un chirurgo che ha trovato il numeroprimo di Mersenne, composto da bencifre!

Mersenne

Ancora oggi si continuano a scoprire numeriprimi della forma di Mersenne:

uno degli ultimi risale al Febbraio del 2005,grazie a un chirurgo che ha trovato il

� � �

numeroprimo di Mersenne, composto da ben

��

� � ��

� ��

cifre!

Eulero

Matematico svizzero:

1707-1783

Eulero

Matematico svizzero:

1707-1783

Eulero

Egli dimostra che la formula

� � � �

data daFermat, per calcolare i numeri primi, non è piùvalida per � �

Infatti, come abbiamo visto prima, perè divisibile per e quindi

non è primo

Eulero

� � � �

Infatti, come abbiamo visto prima, per

� � � � � � �

è divisibile per� � �

e quindi

non è primo

Eulero

� � � �

Infatti, come abbiamo visto prima, per

� � � � � � �

è divisibile per� � �

e quindi

non è primo

Eulero

Inoltre scopre un algoritmo che da come risultatoalcuni numeri primi:

che genera numeri primi sostituendo ad inumeri compresi tra e .

Eulero

Inoltre scopre un algoritmo che da come risultatoalcuni numeri primi:

��

� � �

che genera numeri primi sostituendo ad � inumeri compresi tra

e��

Eulero

Considerando la formula

si accorge che, scegliendo sitrovano numeri primi per ogni valore dicompreso tra e .

Eulero

Considerando la formula

��

� �

si accorge che, scegliendo � � ��

��

� ��

� �

sitrovano numeri primi per ogni valore di �

compreso tra

e � ��

Esempio pratico

��

� �

Prendiamo :

numero primo.

Esempio pratico

��

� �

� � �

, � � � � � ��

��

Prendiamo :

numero primo.

Esempio pratico

��

� �

� � �

, � � � � � ��

��

Prendiamo � � �

numero primo.

Esempio pratico

��

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, � � � � � ��

��

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numero primo.

Esempio pratico

��

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, � � � � � ��

��

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numero primo.

Esempio pratico

��

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, � � � � � ��

��

numero primo.

Esempio pratico

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Esempio pratico

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, � � � � � ��

��

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Esempio pratico

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Esempio pratico

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numero primo.

Esempio pratico

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Esempio pratico

��

� �

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numero primo.

Esempio pratico

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numero primo.

Esempio pratico

��

� �

� � �

, � � � � � ��

��

� � � � � � � �numero primo.

Goldbach

Matematico prussiano:

1690-1764

Goldbach

Matematico prussiano:

1690-1764

Goldbach

Egli, in una lettera ad Eulero, propone leseguenti congetture:

- ogni numero dispari maggiore di può esserescritto come somma di numeri primi;

- ogni numero pari maggiore di può esserescritto come somma di numeri primi.

Goldbach

- ogni numero dispari maggiore di

può esserescritto come somma di

�numeri primi;

- ogni numero pari maggiore di può esserescritto come somma di numeri primi.

Goldbach

- ogni numero dispari maggiore di

�numeri primi;

- ogni numero pari maggiore di

numeri primi.

Goldbach

Prima congettura:

dove è un numero dispari maggiore di ,, , sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo :Allora , , che sono numeriprimi;infatti

Goldbach

Prima congettura:

� � ��

dove � è un numero dispari maggiore di

�� , �� , � � sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo :Allora , , che sono numeriprimi;infatti

Goldbach

Prima congettura:

� � ��

Esempi:

Prendiamo :Allora , , che sono numeriprimi;infatti

Goldbach

Prima congettura:

� � ��

Esempi:Prendiamo � � � �

Allora , , che sono numeriprimi;infatti

Goldbach

Prima congettura:

� � ��

:Allora ��

, �� , � � � �

che sono numeriprimi;

infatti

Goldbach

Prima congettura:

� � ��

:Allora ��

, �� , � � � �

che sono numeriprimi;infatti

� � � � � �

Goldbach

Prima congettura:

� � ��

Esempi:Prendiamo � � � � �

Allora , , che sononumeri primi;infatti

Goldbach

Prima congettura:

� � ��

:Allora ��

, ��

, � � � � �

che sononumeri primi;

infatti

Goldbach

Prima congettura:

� � ��

:Allora ��

, ��

, � � � � �

che sononumeri primi;infatti

� � � � � � � � � � � �

Goldbach

Seconda congettura:

dove è un numero pari maggiore di , ,sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo :Allora , che sono numeri primi;infatti

Goldbach

Seconda congettura:

� � ��

dove � è un numero pari maggiore di

, �� , ��

sono numeri primi.

Esempi:Prendiamo :Allora , che sono numeri primi;infatti

Goldbach

Seconda congettura:

� � ��

, �� , ��

sono numeri primi.

Esempi:

Prendiamo :Allora , che sono numeri primi;infatti

Goldbach

Seconda congettura:

� � ��

, �� , ��

sono numeri primi.

Allora , che sono numeri primi;infatti

Goldbach

Seconda congettura:

� � ��

, �� , ��

sono numeri primi.

:Allora ��

, �� che sono numeri primi;

infatti

Goldbach

Seconda congettura:

� � ��

, �� , ��

sono numeri primi.

:Allora ��

infatti

� � � � � �

Goldbach

Seconda congettura:

� � ��

, �� , ��

sono numeri primi.

Allora , che sono numeri primi;infatti

Goldbach

Seconda congettura:

� � ��

, �� , ��

sono numeri primi.

:Allora ��

infatti

Goldbach

Seconda congettura:

� � ��

, �� , ��

sono numeri primi.

:Allora ��

infatti

� � � � ��

Goldbach

Questi due enunciati, oggi noti come congetturaternaria e binaria di Goldbach, sono ancora prividi dimostrazione.

Per incentivare i matematici alla ricerca,un’università americana ha messo in palio

di dollari a chi riuscisse a dimostrarli.

Goldbach

Questi due enunciati, oggi noti come congetturaternaria e binaria di Goldbach, sono ancora prividi dimostrazione.

Per incentivare i matematici alla ricerca,un’università americana ha messo in palio

��

� � ��

� � �

di dollari a chi riuscisse a dimostrarli.

Problema:

Se secoli di ricerche non erano servite a trovareuna formula che generasse un elenco di numeriprimi, forse era tempo di adottare una strategiadiversa...

...con Gauss, Legendre, Dirichlet, ma soprattuttocon Riemann si cercò una formula perdeterminare quanti fossero i numeri primicompresi tra e .

Problema:

Se secoli di ricerche non erano servite a trovareuna formula che generasse un elenco di numeriprimi, forse era tempo di adottare una strategiadiversa...

...con Gauss, Legendre, Dirichlet, ma soprattuttocon Riemann si cercò una formula perdeterminare quanti fossero i numeri primicompresi tra

L’enigma dei numeri primi

Anche se la disposizione dei primi sembravacaotica,

Riemann scoprì che era comunque possibiledeterminare una funzione che ne prevedessel’ordine.

Anche se la disposizione dei primi sembravacaotica,

Riemann scoprì che era comunque possibiledeterminare una funzione che ne prevedessel’ordine.

Non poteva però dimostrare che questo ordinesarebbe sempre stato rispettato, ma pensava disì...

...nasceva così l’ipotesi di Riemann.

Non poteva però dimostrare che questo ordinesarebbe sempre stato rispettato, ma pensava disì...

...nasceva così l’ipotesi di Riemann.

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