Solucion de estructuras I

PREGUNTA Nº 01: Estimar las reacciones y dibujar los Diagramas de Fuerza Cortante, Diagramas de Momento Flector y Diagramas de Fuerza Axial en la estructura mostrada.

Solución:

D.L.C.

Reacciones:

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE: Analizando por tramos

DIAGRAMA DE FUERZA AXIAL:

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR:

Calcular los esfuerzos en las barras de la celosía de la figura P3.4 para los valores del ángulo α=15 y α=30.

Solución

Análisis del grado de hiperestaticidad externa como interna:

G.H.E.= nº ECUACIONES – nº REACCIONES

G.H.E.= 3-3

G.H.E.=0

G.H.I.=nº DE BARRAS + nº(REACIONES)-2*(nº DE NUDOS)

G.H.I.= 9+3-2*(6)

G.H.I.=0

Por lo tanto la Armadura es isostática.

Resolvemos la armadura por el método de los nudos.

Formamos las ecuaciones en cada nudo:

en el nudo AAx+ f 3cos(α )+ f 2cos (45 )=0Ay−f 3sin( α )+ f 2sin(45 )+f 1=0

en el nudo B

f 1+ f 6cos( 45)−f 9sin(30 )=0f 6 cos( 45)+ f 9cos(30 )=0en el nudo C

f 9cos(60 )+ f 8cos (60)+ f 4=0f 9sin (60)−f 8sin(60 )=0

en el nudo D

f 8cos (30 )+ f 2cos( 45)=0f 8sin (30)−f 7−f 2sin(45 )=0

en el nudo E

Ey+f 7+ f 6sin(45 )−f 5sin(α )=0f 5cos (α )+ f 6cos (45 )=0

en el nudo F

f 3cos (α )−f 5cos(α )=0f 3sin (α )+ f 5sin(α )−10+f 4=0

A partir de las ecuaciones formamos la matriz de coeficientes de la armadura (celosía)

A=

||

0 cos( 45) cos (α ) 0 0 0 0 0 0 1 0 01 sin(45 ) −sin(α ) 0 0 0 0 0 0 0 1 01 0 0 0 0 cos (45 ) 0 0 −sin (30) 0 0 00 0 0 0 0 cos (45 ) 0 0 cos (30) 0 0 00 0 0 1 0 0 0 cos (60) cos (60) 0 0 00 0 0 0 0 0 0 −sin (60) sin(60 ) 0 0 00 cos( 45) 0 0 0 0 0 cos (30) 0 0 0 00 −sin( 45) 0 0 0 0 −1 sin(30 ) 0 0 0 00 0 0 0 −sin(α ) sin( 45 ) 1 0 0 0 0 10 0 0 0 cos (α ) cos (45 ) 0 0 0 0 0 00 0 cos (α ) 0 −cos(α ) 0 0 0 0 0 0 00 0 sin (α ) 1 sin (α ) 0 0 0 0 0 0 0

||

La matriz de términos independientes B=

[0000000000010

] resolviendo el sistema : …..x=inv(A)*B

Para α=15, remplazamos en la matriz, se obtienen los siguientes valores

X=

F1=-25.4904

F2=22.8541

F3=-16.7303

F4= 18.6603

F5=-16.7303

F6= 22.8541

F7=-25.4904

F8=-18.6603

F9= -18.6603

Ax= -0.0000

Ay= 5.0000

Ey= 5.0000

Para α=30, remplazamos en la matriz, se obtienen los siguientes valores

Ejercicio 01:En la estructura que se muestra en la figura se pide: Hallar movimientos del nudo A, la sección de todas las barras es A = 10 cm2.

Solución:

Para solucionar la estructura lo primero es hallar el grado de determinación de la estructura

R = Reacciones = 4 4+14 = 2*(9) = 18

B = # de barras = 14 Ecuac. Isostática.

N = # de Nudos = 9

R + B < 2N Ecuac. Inestable.

R + B = 2N Ecuac. Isostática.

R + B > 2N Ecuac. Hiperestático

El método análisis de la estructura para hallar los esfuerzos en las barras lo haremos aplicando el principio de equilibrio en cada nodo para luego formar un sistema de ecuaciones lineales que posteriormente se solucionara por matrices.

Supondremos que todos los esfuerzos trabajan a tensión

Nodo 1:

X :−T 12∗cos 48.81+1x=0

Y :−T 12∗sin 48.81+1 y=0

Nodo 2:

X :T 12∗cos 48.81−T 23∗cos69.44−T 25∗co 69.44−T 24=0

Y :T12∗sin 48.81+T 25∗sin 69.44−T23∗sin 69.44−10=0

Nodo 3:

Nodo 4:

X :T 34∗cos 69.44+T 24+T 45∗cos69.44=0

Y :T34∗sin 69.44−T 45∗sin 69.44+10=0

Nodo 5:

X :T 25∗cos69.44−T 45∗cos69.44−T56∗cos29.74−T 57∗cos17.10−5 x=0

Y :T25∗sin 69.44+T 45∗sin 69.44+T 56∗sin 29.74+T 57∗sin17.10−5 y=0

Nodo 6:

X :T 56∗cos29.74−T 67−T 68∗cos56.31=0

Y :T56∗sin 29.74−T68∗sin 56.31=0

Nodo 7:

X :T 57∗cos17.10+T67+T 78∗cos71.57+20=0

Y :T57∗sin 17.10−T 78∗sin 71.57−T79=0

Nodo 8:

T 68∗cos56.31−T78∗cos71.57−T 89 cos77.47=0

T 68∗sin 56.31−T 78∗sin 71.57−T 89sin 77.47=0

Nodo 9:

X :T 39∗cos17.10+T 89∗cos77.47+20=0

Y :T39∗sin 17.10+T 89∗sin 77.47+T 79−10=0

Tenemos un sistema de ecuaciones de 12 incógnitas y 12 ecuaciones solucionando por matrices de la forma:

[A ] {X }= {C }De donde: {X }=[A ]−1 {C }

Resolviendo la matriz se tiene la solución:

1 x=81.375 T 56=−97.42

1 y=93.0 T 57=90.46

T 12=123.58 5 x=21.375

T 25=−26.31 5 y=133.0

T 24=61.23 T 68=−58.1

T 23=83.69 T 67=−52.36

T 34=−81.85 T 78=−44.57

T 39=39.9 T 79=68.89

T 45=92.53 T 89=−92.42

Gráficamente los esfuerzos:

Para poder hallar los movimientos del nudo A aplicaremos el método de la carga unitaria por esfuerzos axiales:

∆=∑ μ∗N∗LA∗E

Calculando los esfuerzos de la barra producido por la carga unitaria vertical en el punto A que se tiene en la siguiente grafica:

Esfuerzos Por la carga unitaria horizontal:

Se tiene la siguiente tabla:

Elemento L A N u uNL/AE

12 6,32 0,001 123,58 1,462 0,0057093

24 3 0,001 61,23 0,6080,0005584

2

23 4,27 0,001 83,69 1,0920,0019511

725 4,27 0,001 -26,31 -0,083 4,6623E-05

34 4,27 0,001 -81,85 -0,8660,0015133

3

39 6,8 0,001 39,89 0,7190,0009751

545 4,27 0,001 -92,53 -0,866 0,0017108

56 4,03 0,001 -97,42 -4,5810,0089925

6

67 6,8 0,001 90,46 3,4570,0106324

9

68 3,61 0,001 -58,09 -2,7320,0028645

7

67 3 0,001 -52,36 -2,4620,0019336

578 3,16 0,001 -44,58 -2,987 0,0021039

479 8 0,001 68,89 3,973 0,010948

89 5,1 0,001 -92,42 -4,2650,0100513

70,0599913

6 De donde:

∆=∑ μ∗N∗LA∗E

∆ y=0.0599m

También se tiene la siguiente tabla.

Elemento L A N u uNL/AE

12 6,32 0,001 123,58 1,3290,0051899

224 3 0,001 61,23 0,553 0,0005079

23 4,27 0,001 83,69 0,9930,0017742

725 4,27 0,001 -26,31 -0,075 4,2129E-05

34 4,27 0,001 -81,85 -0,7870,0013752

8

39 6,8 0,001 39,89 0,6540,0008869

945 4,27 0,001 -92,53 -0,784 0,0015488

56 4,03 0,001 -97,42 -1,3440,0026382

9

67 6,8 0,001 90,46 1,6130,0049610

1

68 3,61 0,001 -58,09 -0,8010,0008398

7

67 3 0,001 -52,36 -0,7220,0005670

6

78 3,16 0,001 -44,58 -2,5910,0018250

1

79 8 0,001 68,89 2,9330,0080821

7

89 5,1 0,001 -92,42 -3,1870,0075108

3

0,0377495

4

∆x=0.03775m

El movimiento del nudo A es:

∆=√∆x2+∆ y2=√0.037752+0.05992=0.0708m=7.08cm

∆=7.08cm