Estructuras Isostaticas Cap I

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012

RETICULADOS ISOSTATICOSIng. Xavier Steverlynck

Captulo I


La palabra reticulado proviene del latn, reticulum, redecilla o que tiene forma de red. En ingeniera civil se denominan vigas de celosa, son armaduras formadas por barras, cuyos esfuerzos son de traccin o compresin, evitando esfuerzos de flexin. Estructura formada por barras sujetas por sus extremos, de forma tal que conforman un cuerpo rgido. Se consideran que las barras que conforman el reticulado son elementos rectos sometidos a la accin de dos fuerzas.

Ing. Xavier Steverlynck

Definicin

2



Clasificacin de reticulados

Reticulados Simples: Es una estructura rgida (indica que la armadura no colapsar) plana que puede ser formada por elementos estructurales rgidos dispuestos de manera, que partiendo de tres barras, donde sus ejes forman un triangulo, se van agregando dos barras de ejes no alineados por cada nuevo nudo. # barras = 2n - 3

3

Reticulados Compuestos:


Cuando dos o ms cerchas simples se unen para formar una nueva estructura rgida. Esto se har mediante la conexin entre nodos de los elementos simples por medio de vnculos (barras) no paralelas ni concurrentes o mediante vnculos equivalentes.


Clasificacin de reticulados

4

Los reticulados planos se utilizan en techos y puentes.



Uso de los reticulados

5



Uso de los reticuladosPor su longitud o luz entre apoyos

6

Partimos del tringulo primitivo, aadindole un par de barras (a) formando un nuevo triangulo

En forma generalbr = 3+2*a

br = 3+2*2

n=3+2

Reemplazando tenemos n = 3 + a

br = 2* n - 3

Condicin de estabilidad de un reticulado


br (# barras) = 3 n (# nudos) = 3

br = 3+2*1

n=3+1


Estabilidad interna y externa Estabilidad Interna:

7

La barra debe ser de eje recto

Los nudos se suponen articulados

Las cargas solo son concentradas y actan sobre nudos



Condiciones bsicas

8



Condiciones bsicas

Los ejes de las barras concurren a un nico punto nodal Las barras exclusivamente trabajan a SOLICITACION AXIL

9

Interna

Nmero de barrasrequeridas br = Nmero de nodos= n Nmero de reacciones R = br = 2 * n- R

br = 9 n= 6 R=3 br = 2 * n- R 9 = 2* 63 9=9

Es isosttica

10


Si Si Si

br = 2 * n- R Isosttico br 2 * n- R Hiperesttico br 2 * n- R Inestable


Determinacin esttica de reticulados

Externa

SiN.R. N.E. Hiperestt ico

SiN.R. N.E. InestableN.R = # de Reacciones N.E.= # de ecuaciones

# de Reacciones # de ecuaciones = 3= 3

11



Determinacin esttica de reticulados

SiN.R. = N.E. Isosttico

Interna

Nmero de barrasrequeridas br = Nmero de nodos= n Nmero de reacciones R = br = 2 * n- 3

Si Si Si

br = 2 * n- 3 Isosttico br 2 * n- 3 Hiperestt ico br 2 * n- 3 Hiposttic obr = 9 n= 6 R=3 br = 2 * n- 3 9 = 2* 63 9=9

Es isosttica

12



Estabilidad interna

Estabilidad internabr = 7 n= 5 br = 2 * n- 3 7 = 2* 53 7=7

Es estable

13



Ejemplo

Determinacin esttica enfoque internobr = 7 n= 5 R= 4 br = 2 * n- R 7 = 2* 5 4 76

Determinacin esttica enfoque externo4 reacciones > 3 ecuaciones

Es hiperesttica

14


Es hiperesttica


Ejemplo

Estabilidad internabr = 7 n= 5 br = 2 * n- 3 7 = 2* 53 7=7

Es estable

15



Ejemplo

br = 10 n= 8 R= 6 br = 2 * n- R 10 = 2 * 8 6 10 = 10

Determinacin esttica enfoque externo

6 reacciones > 3 ecuaciones

Es hiperesttica 3 exterior

16


Es isosttica


Ejemplo

Determinacin esttica enfoque interno

Estabilidad internabr = 10 n= 8 br = 2 * n- 3 10 = 2 * 8 3 10 13

Es hiposttico interior de 3 grado

17



Ejemplo

NomenclaturaESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012 Ing. Xavier Steverlynck

18

CORDN SUPERIOR

19



CORDN INFERIOR

20



MONTANTES

21



DIAGONALES

22



APOYOS

23



FUERZAS

24



Ejercicio

br = 9 n= 6 R=3 br = 2 * n- R 9 = 2* 63 9=9

Es isosttica

25



Mtodo de los Nudos

Nudo F

Mtodo de los NudosESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012

Nudo CIng. Xavier Steverlynck

26

Mtodo de los NudosESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012

Nudo BIng. Xavier Steverlynck

Nudo A

27

Mtodo de los Nudos Nudo EESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012 Ing. Xavier Steverlynck

28

br = 11 n= 7

R=3 br = 2 * n- R 11= 2 * 7 3 11= 11

Es isosttica

Reacciones

29



Mtodo de las Secciones o de Ritter

Mtodo de las Secciones o de RitterESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2012 Ing. Xavier Steverlynck

30

3t

M1.5 tX 5 25 = X= 5 8 8

A

=0

1.5 t

3x5-VE x10=0VE =1.5t

M

E

=0

3x5 + V x = 0 V = 1.5t A 10 A

H

=0

H A = 3t

31



Ejercicio

3 P1=20 t

4

B

Bx

n= 6By

R=3 br = 2 * n- R 9 = 2* 63

1 P2=20 t 2

= 0 x + 20 + 20 + 20 = 0x = 60t

A P3=20 t Ay3.00 m 3.00 m

= 0 y * 6 60 * 6 + 20 * 6 + 20 * 3 = 0 y = 180 y = 30t 6

V = 0 By + Ay = 0 Ay= ByAy = 30t

32


9=9


br = 9

3 P1=20 t

4

B

Bx = 60 tIng. Xavier Steverlynck

By = 30 t

1 P2=20 t 2

A P3=20 t Ay =30 t3.00 m 3.00 m

33


3 P1=20 t

4

B


By = 30 t m

1 P2=20 t 2

n A P3=20 t Ay =30 t3.00 m 3.00 m

34


3 P1=20 t S1 m S1 1 P2=20 t S2 S3 n S3 A P3=20 t Ay =30 t3.00 m

4

B


By = 30 t

S2 2

0 0 M1 = S3 * 3 * cos45 +20 * 3 = 20 28.28t S3 =2t = M 2 = 0 S1 * 3 20 * 3 + 30 * 3 = 0 S1 = 10t

3.00 m

35


= 0 20 * 3 + S2 * 3 = 0 S2 = 20t

36



Estos se forman conectando dos o ms reticulados simples de modo que cumplan las exigencias establecidas para la completa inmovilidad en un plano. Reticulados compuestos Ejemplos:

Reticulado simple

37



Reticulados Compuestos

br = 2*nbr = 11 n= 7 br = 2 * n- 3 11= 2 * 7 3 11= 11 br = 10 n= 8 br = 2 * n- 3 10 = 2 * 8 3 10 13 br = 10 n= 5 br = 2 * n 10 = 2 * 5 10 = 10

38



Reticulados Complejos

Para que exista un reticulado rgido de acuerdo a lo estudiado y deber cumplir br = 2*n -3 Pero si tenemos

Si tenemosA

B

C

D

E

F

G

H

Y sustituimos la barra FC con otra BHA B C D

E

F

G

H

Para inmovilizar completamente nudos en un plano debemos conectarlos entre si y con el cimiento mediante br = 2*n barras o vnculos concurrentes.

39




Si tenemosA B

C

D

A

B

C

D

E

F

G

H

E

F

G

H

Por lo tanto:

As aun cuando cumple br = 2*n Este sistema NO es rgido.

Debemos modificar nuestro criterio de rigidez diciendo 2 *n barras son necesarias y cuando se las dispone convenientemente, suficientes para vincular rgidamente entre si y con el cimiento n nudos en un plano

40




Sustituimos la barra FC con otra CH

A

D

Este es un reticulado simple Remplazando BF por EC Esta disposicin de barras y vnculos exteriores satisface an la relacin br = 2*n-3

E F

G

Figura AB C

A

D

Este tipo de sistema se denominaE F G

RETICULADO COMPLEJO 41

Figura B



Reticulados ComplejosB C

EjercicioA C

42


500 kgF E

1000 kgB D

500 kg


S' i

s'i

XEn el ultimo caso tenemos fuerzas de intensidad X en cualquier barra ser

si '* X

43



Por superposicin de los dos casos el esfuerzo en cada barra ser

Para la barra BE ser

= Si= Sa

'+ s i ' X Si

S a '+ s a ' X

44



si

=0 Sa

'+ s a ' X = 0 Sa

X= ' Sa

sa

'45



0 0 0 = S cos = S = 0 0 V = S + 500 = S = 5002 2 1 1

2

2

2

1

1

46


0 0 =S cos + 1 cos = 0.9918S + 1* 0.7433 = 0 S = .749 0 0 V = S + 1* 0.6699 0.7494 * 0.1276 = S = 0.574


Calculamos

1

0 0.9098S 1 + 0.5 * S 4 .6699 * S 3 = S 3 =

Si

SSi

1

500 455 = S3 = S4 = 391 0.574 S 3 = .5222 S 4 = = 0.448

S

1

47



0 = S 0 V = S

4

3 / 2 + S 3 * .7433 = S 4 =0.8582S 3 0

X

872 = = 953 0.915

48


Barra 1 2 3 4 5 6 7 8 a

S'i -500 0 455 -391 0 1,000 0 0 -872

s'i (0.5740) (0.7490) 0.5220 (0.4480) (0.7490) (0.1910) (0.8580) (1.0980) 0.9150

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Barra 1 2 3 4 5 6 7 8 a

S'i -500 0 455 -391 0 1,000 0 0 -872

s'i (0.5740) (0.7490) 0.5220 (0.4480) (0.7490) (0.1910) (0.8580) (1.0980) 0.9150

s'iX -547 -714 497 -427 -714 -182 -818 -1,046 872

Si -1,047 -714 952 -818 -714 818 -818 -1,046 0


s'iX

Si -500 0 455 -391 0 1,000 0 0 -872

br = 33 n = 18 br = 2 * n- 3 33 = 33Ing. Xavier Steverlynck

33 = 2 * 18 3

Calculamos reacciones

2 * 4.5 + 2 * 9 + 4 * 12 + 1 * 12 + 5 * 18 + 10 * 24 + 10 * 30 + 5 * 36 + 2.5 * 42 V i * 48 = 0

M

a

=0

V

1002 = 20.875 48 = 0 4 + 5 + 10 + 10 + 5 + 2.5 V i V a = 0 V a = 15.625

Vi =

H

= 0 H a + 2 + 2 + 1 = 0 H a = 5

49


50



51



15.625 * 24 + 5 * 12 5 * 6 4 * 12 2 * 3 2 * 7.5 S de * 12 = 0x

9 45

= s de

336 = 28 12 s de = 28C

sen 45 = 2 cos 45 = 2

M2 2

=0 9* 2 = 0 2

15.625 * 12 + 5 * 9 + 5 * 6 2 * 4.5 28 * 9 S iE * = s iE 1.5 * 2 = 0.236 9* 2 s iE = 0.236

52


M

E

=0


V15.625 5 4 + S DE *

=0

SDC

D

SDE

S DC *

12 12 + S DE * = 0 S DC = S DE 3 * 17 3 * 17

H

D

=0

SDI

S DC *

3 3 * 17

v+ S DE *

D

=0 S Di = 0 S Di = 0

3

3 * 17

53


3 2 + 0.236 * =0 2 3 17 sDE = 28.003


28.003 1 1.5 1.5 4.5 4.5 0 Haa b c d

E F G

4 2C

28.003 D 0 .236J

5e

10f

10g h

5i

Va

5

108a6m

10

5

2.5

Vi

54


2

B

I

H


L

3

J

K

M

N

5

Analizar la armadura y calcular el esfuerzo de las barras AH, BC y DI debido a las cargas que actan sobre ella

9A B

H C D

I E F G

3

5

10 6a8m

8

5

M = 0 0 R * 48 3 * 40 5 * 32 10 * 24 8 * 16 5 * 8 + 5 * 9 = 733 = = 15.271t M = 0 R 48 0 R * 48 + 3 * 8 + 5 * 16 + 10 * 24 + 8 * 32 + 5 * 40 5 * 9 =G A A

A

G

Comprobamos

= RG

755 = 15.729t 48

V = 0

3 5 10 8 5 + 15.271 + 15.729 = 0

OK

55



L

3

J

K

M

N

58

3

95A B

H C D D

I E F G

15.271

3

5

10 6a8m

8

5

15.271* 24 3 * 16 5 * 8 + S K Lsen * 8 + S K L cos * 9 = 0

M

D

=0 278.504 = 24.787t Comp. 8 * sen + 9cos

SEn el nudo K

= K L

H = 0 0 S S * cos = = 24.787 * cos 23.209t Comp. = SK J K J K K L

56



tan = 3 = 20.55605 8

L

3

J

K

M

N

58

3

95A B

H C D D

I E F G

15.271

3

5

10 6a8m

8

5

15.271* 16 5 * 4.5 3 * 8 + S K L cos * 4.5 S C D * 4.5 = 0 = S C D 93.394 = 20.754t Tracc. 4.5

H

=0

H = 0 0 S S = S = 20.754t Tracc.K B C C D B C

En el nudo C

V = 0 S = 5t Tracc.K C H

57


M


tan = 3 = 20.55605 8

tan = 9 = 48.36646 8SAJ SAH

tan= 4.5

5

A

20.754 15.271

S

5 + 20.754 + S AH * cos + S AJ * cos = 0A H

25.754 * cos + S AJ * cos =A

S

A H

* sen + S AJ * sen = 15.271

S S

A H

* cos + S AJ * cos = 25.754 * sen + S AJ * sen = 15.271 A H

Resolviendo

S S

A H

= 16.8698t = 14.3209t

58

AJ


15.271 + S AH * sen + S AJ * sen = 0

V

=0


H

16

= 15.70864

A

=0

L J K M N

4.5

5

H A B C D D

I E F G

tan = 4.5 = 29.35775 8 Ing. Xavier Steverlynck

8

3

5

10 6a8m

8

5

15.729t

M S

0 15.729 * 24 + 5 * 16 + 8 * 8 5 * 9 + S L Msen * 8 + S L M cos * 9 = = L M 278.496 = 24.787t Comp. 8 * sen + 9 * cos

D

=0

M

15.729 * 16 + 5 * 8 5 * 9 ( 24.787) * cos + S D I cos * 4.5 = 0 47.792 = 12.185t Comp. cos * 4.5

E

=0

S D I =

S

= 12.185t Comp. D I

59


2.5 * 7.5 + 5 * 15 + 5 * 22.5 + 2.5 * 30 + 2.5 * 37.5 + 10 * 9 V g * 45 = 0 375 V g = 45 = 10.3333

M

a

=0

H = 0 10 H = 0 Ha

a

= 10

2.5 * 7.5 2.5 * 15 5 * 22.5 5 * 30 2.5 * 37.5 + 10 * 9 + V a * 45 = 0

M

g

=0

V

a

=

322.5 = 7.1667 45

V

=0

60 OK

10.333 + 7.1667 2.5 5 5 2.5 2.5 = 0



Prctica 2Ejercicio 1

Calcular los esfuerzos en las barras Ac -Dd - Ce - de

10

A

B

C

D

E

F

G

9m

b

c

d

e

f

Ha=10

Va=7.167

2.5

5

56 a 7.50 m

2.5

2.5 Vg=10.333

9

15 7.5

Nudo gSEg0

S

Eg

* sen + 10.333 = 0 S Eg = 20.084 C

V = 0

Sfg

Va=10.333

g

H = 0 S * cos S = 0 SEg fg

fg

= 17.222 T

61


tan =

9 15 = 30.9638

9

9 7.5 = 50.1944 tan =


a

g

10

A

B

C

D

E

F

G

9m

b

c

d

e

f

Ha=10

Va=7.167

2.5

5

56 a 7.50 m

2.5

2.5 Vg=10.333

9

15 7.5

Nudo fSDf0

SSfg

Df

* sen 2.5 = 0 S Df = 4.859 T

V = 0

f

Sef

2.5

H = 0 S * cos S + S = 0 SDf ef fg

ef

= 13.056 T

62


9

9 7.5 = 50.1944 tan =


a

g

10

A

B

C

D

E

F

G

9m

b

c

d

e

f

Ha=10

Va=7.167

2.5

5

56 a 7.50 m

2.5

2.5 Vg=10.333

Nudo ESDE0

E

V = 0 S * sen S = 0 SEg Ee

Ee

= 10.333 T

SEg SEe

H = 0 S * cos + S = 0 SEg DE

DE

= 17.222 T

63



a

g

10

A

B

C

D

E

F

G

9m

b

c

d

e

f

Ha=10

Va=7.167

2.5

5

56 a 7.50 m

2.5

2.5 Vg=10.333

Ce

Ee

SEe SCe Sdee

S Ce = 15.225 CSef

2.5

H = 0 S * cos + S SCe ef

de

= 0

S de = 26.111 T

64


Nudo e

V = 0 S * sen + S

2.5 = 0


a

g

10

A

B

C

D

E

F

G

9m

b

c

d

e

f

Ha=10

Va=7.167

2.5

5

56 a 7.50 m

2.5

2.5 Vg=10.333

SDd SBd Scdd

SSde

Bd

* sen S Dd 5 = 0 S Bd = 14.577 T

V = 0

5

H = 0 S * cos S + S = 0 SBd cd de

cd

= 13.611 T

65


Nudo d


a

g

10

A

B

C

D

E

F

G

9m

b

c

d

e

f

Ha=10

Va=7.167

2.5

5

56 a 7.50 m

2.5

2.5 Vg=10.333

SCD

D

SDE

V = 0 S * sen + S = 0 SDf Dd

Dd

= 2.5 C

SDd

SDf

H = 0 S * cos + S S = 0 SDf CD DE

CD

=

13.056 T

66


Nudo D


a

g

10

A

B

C

D

E

F

G

9m

b

c

d

e

f

Ha=10

Va=7.167

2.5

5

56 a 7.50 m

2.5

2.5 Vg=10.333

Nudo CSBCC

SSCe

Ce

* sen SCc = 0 SCc = 7.833 T

SCc

H = 0 S * cos S + S = 0 SCe CD BC

BC

= 26.111 C

Nudo cSCc SAc Sbcc

Scd

5

S

Ac

* sen + SCc 5 = 0 S Ac = 5.507 C

V = 0

67


SCD

V = 0


a

g

Calcular los esfuerzos en las barras Ac -Dd - Ce - de

10

A

B

C

D

E

F

G

7.507C

15.225C

2.5C9m

a b c d

g

26.111T

e

f

Ha=10

Va=7.167

2.5

5

56 a 7.50 m

2.5

2.5 Vg=10.333

68



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