SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR MÉTODO DE FOURIER

SOLUCION DE ECUACIONES

DIFERENCIALES POR MÉTODO DE

FOURIER

Hallar 𝑦g usando las series de Fourier

’’𝑦 + =𝑦Solución:

• Con la homogénea:

+1=0 r=i donde : Yg = Yh + Yp

= + • Hallar siendo:

=

• Usando las derivadas:=-2n =-4• Reemplazando en la ecuación

diferencial ’’𝑦 + =𝑦 -4 =(1-4) = • Despejamos

=

Remplazamos el valor de en la ecuación (1) para determinar Yp

Así obtenemos que

Yp =

Finalmente la solución general es : Yh +Yp

Yg= + +

Resolver

’’𝑦 + =𝑦 • Con la homogénea: +1=0 r=i = + • Para n=1;se tiene en el lado derecho• Desarrollando la suma se tiene:

’’𝑦 + =𝑦 +Hallemos :

• Método de coeficientes indeterminados para hallar :

’’𝑦 + =𝑦 ………….(*)

• Sacando sus derivadas

• Reemplazando en (*) + =

A=-1/2 ;B=0• Se tiene:

• Hallando en:

’’𝑦 + =𝑦 ………….(**)

• Sea para n2• Sus derivadas : = =-• Reemplazando en (**)

-+==

• Siendo: =

• La solución particular será := +

• La solución del ejercicio es:

=+

• = + + +

EJEMPLO:X´´ + X = t ; Se tiene en cuenta: -1 ≤ t < 1

Sea la solución:

Reemplazando en la ecuación: X´´ + X = t

EJEMPLO:

Hallar la solución de fourier de la siguiente ecuación:

X´´ + 4X = 4t ; 0 ≤ t < 1 x(0)=0 , x(1)=0Solucion:Entonces para :

Sea la solución:

Reemplazando en la ecuación: X´´ + 4X = 4t