Relationen und Graphen Winfried Hochstättler - · PDF fileOutline Relationen Graphen...

Outline Relationen Graphen

Studientag zur Algorithmischen MathematikRelationen und Graphen

Winfried Hochstättler

Diskrete Mathematik und OptimierungFernUniversität in Hagen

21. Mai 2011

Outline Relationen Graphen

Outline

RelationenÄquivalenzrelationen und Partialordnungen

GraphenGraphenisomorphieCodierung von GraphenValenzsequenzen

Outline Relationen Graphen

Relationen

Kartesisches ProduktSeien M und N Mengen. Das Kartesische Produkt von M und N istdie Menge aller geordeneten Tupel

M × N = {(m, n) | m ∈ M, n ∈ N}.

RelationenEine (binäre) Relation R ist eine Teilmenge des KartesischenProduktes R ⊆ M × N. An Stelle von (m, n) ∈ R schreiben wir auchmRn oder m ∼ n und sagen, m steht in Relation mit n.Die Linksklasse eines Elementes x ∈ M ist definiert als

[x ]l := {y ∈ N | xRy}.

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Relationen

Kartesisches ProduktSeien M und N Mengen. Das Kartesische Produkt von M und N istdie Menge aller geordeneten Tupel

M × N = {(m, n) | m ∈ M, n ∈ N}.

RelationenEine (binäre) Relation R ist eine Teilmenge des KartesischenProduktes R ⊆ M × N. An Stelle von (m, n) ∈ R schreiben wir auchmRn oder m ∼ n und sagen, m steht in Relation mit n.

Die Linksklasse eines Elementes x ∈ M ist definiert als

[x ]l := {y ∈ N | xRy}.

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Relationen

Kartesisches ProduktSeien M und N Mengen. Das Kartesische Produkt von M und N istdie Menge aller geordeneten Tupel

M × N = {(m, n) | m ∈ M, n ∈ N}.

RelationenEine (binäre) Relation R ist eine Teilmenge des KartesischenProduktes R ⊆ M × N. An Stelle von (m, n) ∈ R schreiben wir auchmRn oder m ∼ n und sagen, m steht in Relation mit n.Die Linksklasse eines Elementes x ∈ M ist definiert als

[x ]l := {y ∈ N | xRy}.

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Äquivalenzrelationen und Partialordnungen

Eine Relation R ⊆ M ×M heißt Relation auf M. Sie ist

ÄP1: reflexiv, wenn ∀x ∈ M : xRxÄ2: symmetrisch, wenn ∀x , y ∈ M : (xRy ⇒ yRx)

P2: antisymmetrisch, wenn∀x , y ∈ M : (xRy und yRx ⇒ x = y)

ÄP3: transitiv, wenn ∀x , y , z ∈ M : (xRy und yRz ⇒ xRz)

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißtÄquivalenzrelation. Eine reflexive, antisymmetrische und transitiveRelation heißt Partialordnung.

Die Linksklassen einer Äquivalenzrelation nennen wir auchÄquivalenzklassen.

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Äquivalenzrelationen und Partialordnungen

Eine Relation R ⊆ M ×M heißt Relation auf M. Sie istÄP1: reflexiv, wenn ∀x ∈ M : xRx

Ä2: symmetrisch, wenn ∀x , y ∈ M : (xRy ⇒ yRx)

P2: antisymmetrisch, wenn∀x , y ∈ M : (xRy und yRx ⇒ x = y)

ÄP3: transitiv, wenn ∀x , y , z ∈ M : (xRy und yRz ⇒ xRz)

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißtÄquivalenzrelation. Eine reflexive, antisymmetrische und transitiveRelation heißt Partialordnung.

Die Linksklassen einer Äquivalenzrelation nennen wir auchÄquivalenzklassen.

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Äquivalenzrelationen und Partialordnungen

Eine Relation R ⊆ M ×M heißt Relation auf M. Sie istÄP1: reflexiv, wenn ∀x ∈ M : xRx

Ä2: symmetrisch, wenn ∀x , y ∈ M : (xRy ⇒ yRx)

P2: antisymmetrisch, wenn∀x , y ∈ M : (xRy und yRx ⇒ x = y)

ÄP3: transitiv, wenn ∀x , y , z ∈ M : (xRy und yRz ⇒ xRz)

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißtÄquivalenzrelation. Eine reflexive, antisymmetrische und transitiveRelation heißt Partialordnung.

Die Linksklassen einer Äquivalenzrelation nennen wir auchÄquivalenzklassen.

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Äquivalenzrelationen und Partialordnungen

Eine Relation R ⊆ M ×M heißt Relation auf M. Sie istÄP1: reflexiv, wenn ∀x ∈ M : xRx

Ä2: symmetrisch, wenn ∀x , y ∈ M : (xRy ⇒ yRx)

P2: antisymmetrisch, wenn∀x , y ∈ M : (xRy und yRx ⇒ x = y)

ÄP3: transitiv, wenn ∀x , y , z ∈ M : (xRy und yRz ⇒ xRz)

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißtÄquivalenzrelation. Eine reflexive, antisymmetrische und transitiveRelation heißt Partialordnung.

Die Linksklassen einer Äquivalenzrelation nennen wir auchÄquivalenzklassen.

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Äquivalenzrelationen und Partialordnungen

Eine Relation R ⊆ M ×M heißt Relation auf M. Sie istÄP1: reflexiv, wenn ∀x ∈ M : xRx

Ä2: symmetrisch, wenn ∀x , y ∈ M : (xRy ⇒ yRx)

P2: antisymmetrisch, wenn∀x , y ∈ M : (xRy und yRx ⇒ x = y)

ÄP3: transitiv, wenn ∀x , y , z ∈ M : (xRy und yRz ⇒ xRz)

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißtÄquivalenzrelation. Eine reflexive, antisymmetrische und transitiveRelation heißt Partialordnung.

Die Linksklassen einer Äquivalenzrelation nennen wir auchÄquivalenzklassen.

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Äquivalenzrelationen und Partialordnungen

Eine Relation R ⊆ M ×M heißt Relation auf M. Sie istÄP1: reflexiv, wenn ∀x ∈ M : xRx

Ä2: symmetrisch, wenn ∀x , y ∈ M : (xRy ⇒ yRx)

P2: antisymmetrisch, wenn∀x , y ∈ M : (xRy und yRx ⇒ x = y)

ÄP3: transitiv, wenn ∀x , y , z ∈ M : (xRy und yRz ⇒ xRz)

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißtÄquivalenzrelation.

Eine reflexive, antisymmetrische und transitiveRelation heißt Partialordnung.

Die Linksklassen einer Äquivalenzrelation nennen wir auchÄquivalenzklassen.

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Äquivalenzrelationen und Partialordnungen

Eine Relation R ⊆ M ×M heißt Relation auf M. Sie istÄP1: reflexiv, wenn ∀x ∈ M : xRx

Ä2: symmetrisch, wenn ∀x , y ∈ M : (xRy ⇒ yRx)

P2: antisymmetrisch, wenn∀x , y ∈ M : (xRy und yRx ⇒ x = y)

ÄP3: transitiv, wenn ∀x , y , z ∈ M : (xRy und yRz ⇒ xRz)

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißtÄquivalenzrelation. Eine reflexive, antisymmetrische und transitiveRelation heißt Partialordnung.

Die Linksklassen einer Äquivalenzrelation nennen wir auchÄquivalenzklassen.

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Äquivalenzrelationen und Partialordnungen

Eine Relation R ⊆ M ×M heißt Relation auf M. Sie istÄP1: reflexiv, wenn ∀x ∈ M : xRx

Ä2: symmetrisch, wenn ∀x , y ∈ M : (xRy ⇒ yRx)

P2: antisymmetrisch, wenn∀x , y ∈ M : (xRy und yRx ⇒ x = y)

ÄP3: transitiv, wenn ∀x , y , z ∈ M : (xRy und yRz ⇒ xRz)

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißtÄquivalenzrelation. Eine reflexive, antisymmetrische und transitiveRelation heißt Partialordnung.

Die Linksklassen einer Äquivalenzrelation nennen wir auchÄquivalenzklassen.

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Äquivalenklassen

BeispielWir betrachten die Relation auf Z

yRz :⇐⇒ y − z ist gerade.

PropositionDie Äquivalenzklassen partitionieren die Grundmenge.

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Äquivalenklassen

PropositionDie Äquivalenzklassen partitionieren die Grundmenge.

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Äquivalenklassen

PropositionDie Äquivalenzklassen partitionieren die Grundmenge.

Beweis.Wegen x ∈ [x ] ist jedes Element in mindestens einerÄquivalenzklasse enthalten. Wir müssen also zeigen, dass dieÄquivalenklassen zweier Elemente entweder gleich oder disjunktsind.

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Äquivalenklassen

PropositionDie Äquivalenzklassen partitionieren die Grundmenge.

Beweis.zu zeigen: [x ] ∩ [y ] 6= ∅ ⇒ [x ] = [y ].

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Äquivalenklassen

PropositionDie Äquivalenzklassen partitionieren die Grundmenge.

Beweis.zu zeigen: [x ] ∩ [y ] 6= ∅ ⇒ [x ] = [y ].Sei t ∈ [x ] ∩ [y ]⇒ xRt und yRt

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Äquivalenklassen

PropositionDie Äquivalenzklassen partitionieren die Grundmenge.

Beweis.zu zeigen: [x ] ∩ [y ] 6= ∅ ⇒ [x ] = [y ].Sei t ∈ [x ] ∩ [y ]⇒ xRt und yRtÄ2⇒ xRt und tRy ÄP3⇒ xRy ÄP3⇒ [y ] ⊆ [x ].

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Äquivalenklassen

PropositionDie Äquivalenzklassen partitionieren die Grundmenge.

Beweis.zu zeigen: [x ] ∩ [y ] 6= ∅ ⇒ [x ] = [y ].Sei t ∈ [x ] ∩ [y ]⇒ xRt und yRtÄ2⇒ xRt und tRy ÄP3⇒ xRy ÄP3⇒ [y ] ⊆ [x ]. Ganz symmetrisch folgt[x ] ⊆ [y ] und somit [x ] = [y ].

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Äquivalenklassen

BeispielWir betrachten die Relation auf Z

yRz :⇐⇒ y − z ist gerade.

PropositionDie Äquivalenzklassen partitionieren die Grundmenge.

Im Beispiel haben wir zwei Äquivalenzklasse, die geraden und dieungeraden Zahlen.

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Partialordnungen

BeispielSei S eine Menge. Dann erklären wir auf 2S die Partialordnung ≤vermöge

A ≤ B :⇐⇒ A ⊆ B.

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Partialordnungen

BeispielSei S eine Menge. Dann erklären wir auf 2S die Partialordnung ≤vermöge

A ≤ B :⇐⇒ A ⊆ B.

94

8

5

2

7

{1, 2, 3}

{4}{3}{2}{1}

∅1

12

6 10

11

{1, 2, 3, 4}

{2, 3, 4}

3

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Graphen

Eine Relation R auf V heißt irreflexiv, wenn ∀v ∈ V : (¬vRv).

Einesymmetrische, irreflexive Relation nennen wir Graph. Gilt uRv , sonennen wir {u, v} eine Kante von G. Wir schreiben G = (V , E) undauch (u, v) statt {u, v}.Einige Begriffe

Wege:P3 P4 P5

Kreise: C3 C4 C5

Spaziergänge: (v0e1v1e2, v2, . . . , vn−1, en, vn) mit ei = (vi−1, vi).

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Graphen

Eine Relation R auf V heißt irreflexiv, wenn ∀v ∈ V : (¬vRv). Einesymmetrische, irreflexive Relation nennen wir Graph.

Gilt uRv , sonennen wir {u, v} eine Kante von G. Wir schreiben G = (V , E) undauch (u, v) statt {u, v}.Einige Begriffe

Wege:P3 P4 P5

Kreise: C3 C4 C5

Spaziergänge: (v0e1v1e2, v2, . . . , vn−1, en, vn) mit ei = (vi−1, vi).

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Graphen

Eine Relation R auf V heißt irreflexiv, wenn ∀v ∈ V : (¬vRv). Einesymmetrische, irreflexive Relation nennen wir Graph. Gilt uRv , sonennen wir {u, v} eine Kante von G. Wir schreiben G = (V , E) undauch (u, v) statt {u, v}.

Einige Begriffe

Wege:P3 P4 P5

Kreise: C3 C4 C5

Spaziergänge: (v0e1v1e2, v2, . . . , vn−1, en, vn) mit ei = (vi−1, vi).

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Graphen

Eine Relation R auf V heißt irreflexiv, wenn ∀v ∈ V : (¬vRv). Einesymmetrische, irreflexive Relation nennen wir Graph. Gilt uRv , sonennen wir {u, v} eine Kante von G. Wir schreiben G = (V , E) undauch (u, v) statt {u, v}.Einige Begriffe

Wege:P3 P4 P5

Kreise: C3 C4 C5

Spaziergänge: (v0e1v1e2, v2, . . . , vn−1, en, vn) mit ei = (vi−1, vi).

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Graphen

Eine Relation R auf V heißt irreflexiv, wenn ∀v ∈ V : (¬vRv). Einesymmetrische, irreflexive Relation nennen wir Graph. Gilt uRv , sonennen wir {u, v} eine Kante von G. Wir schreiben G = (V , E) undauch (u, v) statt {u, v}.Einige Begriffe

Wege:P3 P4 P5

Kreise: C3 C4 C5

Spaziergänge: (v0e1v1e2, v2, . . . , vn−1, en, vn) mit ei = (vi−1, vi).

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Graphen

Eine Relation R auf V heißt irreflexiv, wenn ∀v ∈ V : (¬vRv). Einesymmetrische, irreflexive Relation nennen wir Graph. Gilt uRv , sonennen wir {u, v} eine Kante von G. Wir schreiben G = (V , E) undauch (u, v) statt {u, v}.Einige Begriffe

Wege:P3 P4 P5

Kreise: C3 C4 C5

Spaziergänge: (v0e1v1e2, v2, . . . , vn−1, en, vn) mit ei = (vi−1, vi).

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Graphen

Eine Relation R auf V heißt irreflexiv, wenn ∀v ∈ V : (¬vRv). Einesymmetrische, irreflexive Relation nennen wir Graph. Gilt uRv , sonennen wir {u, v} eine Kante von G. Wir schreiben G = (V , E) undauch (u, v) statt {u, v}.Einige Begriffe

Wege:P3 P4 P5

Kreise: C3 C4 C5

Spaziergänge: (v0e1v1e2, v2, . . . , vn−1, en, vn) mit ei = (vi−1, vi).

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Teilgraphen und Komponenten

Sind G = (V , E) und H = (V ′, E ′) Graphen, so heißt H ein Teilgraphvon G, falls V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E .

Der Teilgraph H ist induziert, wenndarüber hinaus E ′ =

(V ′

2

)∩ E .

Beispiele

GraphG H1 induziert H2 nicht induziertEin Graph ist zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch einenWeg verbunden sind. Die Zusammenhangskomponenten einesGraphen sind die Äquivalenzklassen(!) der „Verbundenheitsrelation“.

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Teilgraphen und Komponenten

Sind G = (V , E) und H = (V ′, E ′) Graphen, so heißt H ein Teilgraphvon G, falls V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E . Der Teilgraph H ist induziert, wenndarüber hinaus E ′ =

(V ′

2

)∩ E .

Beispiele

GraphG H1 induziert H2 nicht induziertEin Graph ist zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch einenWeg verbunden sind. Die Zusammenhangskomponenten einesGraphen sind die Äquivalenzklassen(!) der „Verbundenheitsrelation“.

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Teilgraphen und Komponenten

Sind G = (V , E) und H = (V ′, E ′) Graphen, so heißt H ein Teilgraphvon G, falls V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E . Der Teilgraph H ist induziert, wenndarüber hinaus E ′ =

(V ′

2

)∩ E .

Beispiele

GraphG

H1 induziert H2 nicht induziertEin Graph ist zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch einenWeg verbunden sind. Die Zusammenhangskomponenten einesGraphen sind die Äquivalenzklassen(!) der „Verbundenheitsrelation“.

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Teilgraphen und Komponenten

Sind G = (V , E) und H = (V ′, E ′) Graphen, so heißt H ein Teilgraphvon G, falls V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E . Der Teilgraph H ist induziert, wenndarüber hinaus E ′ =

(V ′

2

)∩ E .

Beispiele

GraphG H1 induziert

H2 nicht induziertEin Graph ist zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch einenWeg verbunden sind. Die Zusammenhangskomponenten einesGraphen sind die Äquivalenzklassen(!) der „Verbundenheitsrelation“.

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Teilgraphen und Komponenten

Sind G = (V , E) und H = (V ′, E ′) Graphen, so heißt H ein Teilgraphvon G, falls V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E . Der Teilgraph H ist induziert, wenndarüber hinaus E ′ =

(V ′

2

)∩ E .

Beispiele

GraphG H1 induziert H2 nicht induziert

Ein Graph ist zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch einenWeg verbunden sind. Die Zusammenhangskomponenten einesGraphen sind die Äquivalenzklassen(!) der „Verbundenheitsrelation“.

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Teilgraphen und Komponenten

Sind G = (V , E) und H = (V ′, E ′) Graphen, so heißt H ein Teilgraphvon G, falls V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E . Der Teilgraph H ist induziert, wenndarüber hinaus E ′ =

(V ′

2

)∩ E .

Beispiele

GraphG H1 induziert H2 nicht induziertEin Graph ist zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch einenWeg verbunden sind.

Die Zusammenhangskomponenten einesGraphen sind die Äquivalenzklassen(!) der „Verbundenheitsrelation“.

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Teilgraphen und Komponenten

Sind G = (V , E) und H = (V ′, E ′) Graphen, so heißt H ein Teilgraphvon G, falls V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E . Der Teilgraph H ist induziert, wenndarüber hinaus E ′ =

(V ′

2

)∩ E .

Beispiele

GraphG H1 induziert H2 nicht induziertEin Graph ist zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch einenWeg verbunden sind. Die Zusammenhangskomponenten einesGraphen sind die Äquivalenzklassen(!) der „Verbundenheitsrelation“.

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Graphenisomorphie

G1 = (V1, E1) und G2 = (V2, E2) sind isomorph :⇐⇒

∃f : V1 → V2 bijektiv:∀u, v ,∈ V1 : ({u, v} ∈ E1 ⇐⇒ {f (u), f (v)} ∈ E2) .

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Graphenisomorphie

G1 = (V1, E1) und G2 = (V2, E2) sind isomorph :⇐⇒

∃f : V1 → V2 bijektiv:∀u, v ,∈ V1 : ({u, v} ∈ E1 ⇐⇒ {f (u), f (v)} ∈ E2) .

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Graphenisomorphie

G1 = (V1, E1) und G2 = (V2, E2) sind isomorph :⇐⇒

∃f : V1 → V2 bijektiv:∀u, v ,∈ V1 : ({u, v} ∈ E1 ⇐⇒ {f (u), f (v)} ∈ E2) .

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Codierung von Graphen

Adjazenzmatrix

s t i e rs 0 1 0 0 0t 1 0 1 1 0i 0 1 0 1 0e 0 1 1 0 1r 0 0 0 1 0

i

s r

t e

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Codierung von Graphen

Inzidenzmatrix

s 1 0 0 0 0t 1 1 1 0 0i 0 1 0 1 0e 0 0 1 1 1r 0 0 0 0 1

i

s r

t e

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Codierung von Graphen

Adjazenzlistens: tt: s,i,ei: t,e

e: t,i,rr: e

i

s r

t e

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Valenzsequenzen

Ist G = (V , E) ein Graph und V = {v1, . . . , vn}, so nennen wir(deg(v1), deg(v2), . . . , deg(vn)) seine Valenzsequenz.

Sei D = (d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn). Frage: Wann ist D die Valenzsequenzeines einfachen Graphen?

Lemma (Handshakelemma)∑v∈V

deg(v) = 2|E |.

Dies liefert nur eine notwendige Bedingung. Allerdings gilt:

PropositionD ist die Valenzsequenz eines Multigraphen genau dann, wenn dieSumme aller Knotengrade gerade ist.

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Valenzsequenzen

Ist G = (V , E) ein Graph und V = {v1, . . . , vn}, so nennen wir(deg(v1), deg(v2), . . . , deg(vn)) seine Valenzsequenz.

Sei D = (d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn). Frage: Wann ist D die Valenzsequenzeines einfachen Graphen?

Lemma (Handshakelemma)∑v∈V

deg(v) = 2|E |.

Dies liefert nur eine notwendige Bedingung. Allerdings gilt:

PropositionD ist die Valenzsequenz eines Multigraphen genau dann, wenn dieSumme aller Knotengrade gerade ist.

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Valenzsequenzen

Ist G = (V , E) ein Graph und V = {v1, . . . , vn}, so nennen wir(deg(v1), deg(v2), . . . , deg(vn)) seine Valenzsequenz.

Sei D = (d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn). Frage: Wann ist D die Valenzsequenzeines einfachen Graphen?

Lemma (Handshakelemma)∑v∈V

deg(v) = 2|E |.

Dies liefert nur eine notwendige Bedingung. Allerdings gilt:

PropositionD ist die Valenzsequenz eines Multigraphen genau dann, wenn dieSumme aller Knotengrade gerade ist.

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Valenzsequenzen

Ist G = (V , E) ein Graph und V = {v1, . . . , vn}, so nennen wir(deg(v1), deg(v2), . . . , deg(vn)) seine Valenzsequenz.

Sei D = (d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn). Frage: Wann ist D die Valenzsequenzeines einfachen Graphen?

Lemma (Handshakelemma)∑v∈V

deg(v) = 2|E |.

Dies liefert nur eine notwendige Bedingung. Allerdings gilt:

PropositionD ist die Valenzsequenz eines Multigraphen genau dann, wenn dieSumme aller Knotengrade gerade ist.

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Eine notwendige und hinreichende Bedingung

Satz (Erdos, Gallai)D ist die Valenzsequenz eines einfachen Graphen genau dann, wenn

∀i = 1, . . . , n :i∑

j=1

dj ≤ i(i + 1) +n∑

j=i+1

min{i , dj}.

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Noch eine notwendige und hinreichende Bedingung

Satz (Havel, Hakimi)D = (d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn) ist Valenzsequenz eines einfachen Graphengenau dann wenn d1 < n undD′ = (d2 − 1, d3 − 1, . . . , dd1+1 − 1, dd1+1. . . . , dn) Valenzsequenzeines einfachen Graphen ist.

Beweis.

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Noch eine notwendige und hinreichende Bedingung

Satz (Havel, Hakimi)D = (d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn) ist Valenzsequenz eines einfachen Graphengenau dann wenn d1 < n undD′ = (d2 − 1, d3 − 1, . . . , dd1+1 − 1, dd1+1. . . . , dn) Valenzsequenzeines einfachen Graphen ist.

Beweis.

Outline Relationen Graphen

Noch eine notwendige und hinreichende Bedingung

Satz (Havel, Hakimi)D = (d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn) ist Valenzsequenz eines einfachen Graphengenau dann wenn d1 < n undD′ = (d2 − 1, d3 − 1, . . . , dd1+1 − 1, dd1+1. . . . , dn) Valenzsequenzeines einfachen Graphen ist.

Beweis.

1 2

k ijj

ik

21

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Verfahren nach Havel und Hakimi

D = (5, 5, 3, 2, 2, 2, 1)

D′ = (4, 2, 1, 1, 1, 1)

D′ = (1, 0, 0, 0, 1)

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Verfahren nach Havel und Hakimi

D = (5, 5, 3, 2, 2, 2, 1)

D′ = (4, 2, 1, 1, 1, 1)

D′ = (1, 0, 0, 0, 1)

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Verfahren nach Havel und Hakimi

D = (5, 5, 3, 2, 2, 2, 1)

D′ = (4, 2, 1, 1, 1, 1)

D′ = (1, 0, 0, 0, 1)

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Graphensuchmethoden