Rachunek Prawdopodobieństwa MAEW104 Projekt (f) Ilustracja Centralnego Twierdzenia Granicznego

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA MAEW104

PROJEKT (F)ILUSTRACJA CENTRALNEGO TWIERDZENIA GRANICZNEGO

Projekt wykonany przez studentów I roku ARI Politechniki Wrocławskiej:

Natalia Czop

Dawid Dąbrowski

Aneta Górniak

Andrzej Jakubiec

Piotr Walczak

09 czerwca 2008

CENTRALNE

TWIERDZENIE

GRANICZNE

(CTG Lindeberga-Lévy’ego)

Rozważmy zmienną losową postaci:

m – wartość oczekiwana

σ – pierwiastek z wariancji

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

Sn oznacza , gdzie Xi są

niezależnymi zmiennymi losowymi o:

● jednakowym rozkładzie

● takiej samej wartości oczekiwanej m

● skończonej wariancji σ 2 > 0

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

Wtedy zmienna losowa o takiej postaci

zbiega według rozkładu do

standardowego rozkładu normalnego,

gdy n (liczba zmiennych losowych

tworzących daną sumę) rośnie do

nieskończoności.

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

Dla każdego przy

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

Gdzie:

to dystrybuanta standardowego rozkładu

normalnego

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNEkrzywa Gauss’a – funkcja gęstości prawdopodobieństwa standardowego rozkładu normalnego o wartości

oczekiwanej równej zeru i wariancji równej 1.

JAK DZIAŁA

CTG ?

Xi o rozkładzie Poissona

Losujemy n liczb o takim samym rozkładzie

Sumę tych n liczb normalizujemy(aby rozkład zbiegał do rozkładu

normalnego o parametrach

m = 0, σ² = 1 )

Czynność powtarzamy N razy

JAK DZIAŁA CTG?

JAK DZIAŁA CTG?(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)

(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)

JAK DZIAŁA CTG?

JAK DZIAŁA CTG?(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a, l=0, λ = 2)

JAK DZIAŁA CTG?(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a, l=0, λ = 2)

To rozkład dyskretny

przedstawiający liczbę wystąpień

zjawiska w czasie t, w określonej

liczbie prób, gdy wystąpienia te

są niezależne od siebie.

ROZKŁAD POISSONA

RO

ZK

ŁA

D P

OIS

SO

NA

Rysujemy wykres:

Tworzymy histogram na podstawie otrzymanych w wyniku błądzenia

losowego sum zmiennych losowych

sprawdzamy czy histogram jest zbliżony do krzywej Gaussa.

JAK DZIAŁA CTG?

(liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000)

JAK DZIAŁA CTG?

(liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000

JAK DZIAŁA CTG?

(liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000

JAK DZIAŁA CTG?

(liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)

JAK DZIAŁA CTG?

(liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)

JAK DZIAŁA CTG?

(liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)

JAK DZIAŁA CTG?

DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU POISSONA

INNE PRZYKŁADY ROZKŁADU XI

ROZKŁAD LAPLACE’A(PODWÓJNIE WYKŁADNICZY)

Matematyczne zastosowania rozkładu Laplace'a można znaleźć w pracy Johnsona i

Kotza (Continuous univariate distributions,1995).

RO

ZK

ŁA

D L

AP

LA

CE

’A (P

OD

WÓ

JNIE

W

YK

ŁA

DN

ICZ

Y)

DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU LAPLACE’A

ROZKŁAD PASCALA (UJEMNY DWUMIANOWY)

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący

czas oczekiwania na l-ty sukces . Jeśli l to liczba

sukcesów, k - liczba porażek, a p –

prawdopodobieństwo sukcesu

(w badanych próbach Bernoulliego)

to rozkład Pascala opisuje jakie jest

prawdopodobieństwo wystąpienia

l sukcesów w k+l próbach.

RO

ZK

ŁA

D P

AS

CA

LA

(UJE

MN

Y D

WU

MIA

NO

WY

)

DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU PASCALA

Rozkład prawdopodobieństwa,

dla którego gęstość

prawdopodobieństwa na przedziale

(a,b) jest stała i różna od 0, a poza nim

równa 0 ( gdzie b > a )

ROZKŁAD JEDNOSTAJNY CIĄGŁY

RO

ZK

ŁA

D JE

DN

OS

TAJ

NY

CIĄ

GŁ

Y

DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU

JEDNOSTAJNEGO

Rozkład zmiennej losowej

opisujący sytuację, w której obiekt

może przyjmować stany X i Y,

przy czym obiekt w stanie X może

ze stałym prawdopodobieństwem

przejść w stan Y w jednostce czasu.

ROZKŁAD WYKŁADNICZY

RO

ZK

ŁA

D W

YK

ŁA

DN

ICZ

Y

DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU

WYKŁADNICZEGO