Programación No Lineal Antonio H. Escobar Z. 2014 Universidad Tecnológica de Pereira – Colombia

Programación No Lineal

Antonio H. Escobar Z.

2014

Universidad Tecnológica de Pereira – Colombia

Conceptos asociados a laFunción Objetivo

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

0

2-20

-15

-10

-5

0

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Curvas de nivel

Función objetivo convexa para un problema con dos

variables

2 21 2 1 2, 10f x x x x

convexa

2 21 2 1 2, 10f x x x x

cóncava

Definiciones alternativas:

GradienteMatriz Hessiana

• Dada una matriz cuadrada A se dice que es diagonalizable si existe una matriz diagonal D y una matriz regular P tale que:

A = P.D.P -1 D: matriz diagonal

• Si D y P existen entonces se dice que las matrices A y D son semejantes.

• Una matriz cuadrada A es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal D.

a) f (x) es definida positiva si y sólo si i > 0 i

b) f(x) es definida negativa si y sólo si i < 0 i

c) f(x) es semidefinida positiva si y sólo i 0 i, siendo al menos un j = 0

d) f(x) es semidefinida negativa si y sólo i 0 i, siendo al menos un

j = 0

e) f(x) es indefinida si y sólo si algún i > 0 y algún j < 0

si i representa a los valores propios de la matriz Hessiana de la función f(x), entonces:

Funciones multimodales

Ejemplo: Hacer la expansión de segundo orden de la función: