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DERIVADAS
Contenidos.
Derivadas de Funciones
Inversas.
Derivadas de orden
Superior.
Derivación Implícita.
Derivación Logarítmica.
Derivadas de Ecuaciones
Paramétricas.
Derivadas de Orden Superior o sucesivas
Ya hemos visto que al derivar
una función , obtenemos
otra función . Si a su
vez tiene una derivada , ésta se
denota por y se llama la
segunda derivada de .
y f ( x )'f ( x )
''f ( x )
f
'f ( x )
En base a lo anterior, podemos
denotar:
2" ( 2 )
2
d dy d yf ( x ) f
dx dx dx
Similarmente, si es
derivable con respecto a , la
tercera derivada existe y se
denota por
f "( x )
x
2 3"' ( 3 )
2 3
d d y d yf ( x ) f
dx dx dx
Lo anterior se puede generalizar.
Si una función es n veces
derivable con respecto a , se
dice que tiene derivada de
orden n y se denota por:
xf
n 1 n( n )
n 1 n
d d y d yf ( x )
dx dx dx
Ejemplo.
Halla las primeras cuatro derivadas
de𝑓 𝑥 =2
𝑥 .
𝑓′ 𝑥 = −2
𝑥2
𝑓′′ 𝑥 =4
𝑥3
𝑓(3) 𝑥 = −12
𝑥4
𝑓(4) 𝑥 =48
𝑥5
Ejemplo. Si 𝑓 𝑥 = 6𝑥3 − 5𝑥2, entonces la:
primera derivada es :
𝑓′ 𝑥 = 18𝑥2 − 10𝑥
segunda derivada es:
𝑓"(𝑥) = 36𝑥 − 10
tercera derivada es :
𝑓′′′ 𝑥 = 36
cuarta derivada es :
𝑓(4) = 0
n-ésima derivada es :
𝑓(𝑛) = 0
Ejemplo.
Si 𝑓 𝑥 = −𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥 + 4.
Halla 𝑓′′′(−1).
𝑓′ 𝑥 = −4𝑥3 + 6𝑥2 + 1.
𝑓′′ 𝑥 = −12𝑥2 + 12𝑥.
𝑓′′′ 𝑥 = −24𝑥 + 12.
Luego 𝑓′′′ −1 = 36
Ejercicios Propuestos.
Dadas las siguientes funciones, derive lo
que se indique.
donde
23 2
2 n
24 x
25
2
2 35 2 x
2 3 3
x 1
1) v( x ) 4x 3x 2x 3 v ( x )
2 ) m( x ) x 5x m ( x )
3 ) f ( x ) 3x e f ( x )
d t4 ) t( x ) 2x sen( x )
dx
d d y 25 ) 3x e 6 ) y
dx dx x
Derivación Logarítmica.
Es un método que permite calcular
fácilmente muchas derivadas y que consiste
en tomar logaritmos neperianos en los dos
miembros de la función y derivar a
continuación.
Ejemplo: Derivar 2x 1f ( x ) ( 3x )
2
2
x 1
x 1 2
f ( x ) ( 3x ) / ln
ln f ( x ) ln( 3x ) ln f ( x ) x 1 ln( 3x )
Derivando
2
2 2
2
2
2x 1
d d dln f ( x ) x 1 ln( 3x ) x 1 ln( 3x )
dx dx dx
f '( x ) 32x ln( 3x ) x 1
f ( x ) 3x
x 1f '( x ) f ( x ) 2x ln( 3x )
x
x 1f '( x ) 3x 2x ln( 3x )
x
Ejercicios propuestos.
Deriva las funciones:
tan( x )
cos( x )
sen( x )
x
x
ln( x )
1) f ( x ) ( x )
2 ) f ( x ) ( sen ( x ))
3 ) f ( x ) ( sen ( x ))
4 ) f ( x ) (cos( x ))
5 ) f ( x ) (ln( x ))
6 ) f ( x ) (tan( x ))
Derivación implícita.
Cuando se da una relación entre 𝑥 e
𝑦 por medio de una ecuación no
resuelta para 𝑦, es decir 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0,
entonces 𝑦 se llama función implícita
de 𝑥 (o también 𝑥 función implícita
de 𝑦).
Por ejemplo:
2F( x, y ) x 4 y 0
En algunas ocasiones, por
ejemplo:
𝑒𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥𝑦
despejar una de las variables es
imposible o muy complicada.
Cuando sucede tal caso, para
calcular la derivada de esta
clase de funciones se aplican los
siguientes pasos:
A veces, es posible resolver la
ecuación que define una función
implícita con respecto a una de las
variables, obteniendo así una función
explícita. Así, puede definirse 𝑦 como
función explícita de 𝑥.
21y x
4
Derivar término a término con
respecto a 𝑥 y donde aparece 𝑦
derivarla como función de 𝑥.
Agrupar términos con en el primer
miembro 𝑑𝑦
𝑑𝑥 o
𝑑𝑥
𝑑𝑦 (según sea el
caso).
Despejar 𝑑𝑦
𝑑𝑥 o
𝑑𝑥
𝑑𝑦 (según sea el
caso).
Para derivar implícitamente, debes
seguir los siguientes pasos:
Ejemplo.
Sea la función , hallar la
derivada .
1x37xy2y 3
dx
dy
3
2
2
2
d d d dy 2 x y x y 3x 1
dx dx dx dx
dy dy3y 2y 2x 3
dx dx
dy3y 2x 3 2y
dx
dy 3 2y
dx 3y 2x
Deriva la función x3x53y2 332
32 3
22 2
22 2
2
22
2y 3 5x 3x
dy3 2y 3 4 y 15x 3
dx
dy12y 2y 3 15x 3
dx
dy 15x 3
dx 12y 2y 3
Ejercicios Propuestos.
Deriva las siguientes funciones:
3 2
y x1) 6
3 y
2 ) x xy y 4
3 ) sen( x ) 2cos( 2y ) 1
4 ) xy x 2y
2
2 2 xy
xy
5 ) sen( x ) x(1 tan( y ))
6 ) sen( x ) cos( y ) 2
7 ) x y y x e
8 ) e ln xy sen( xy ) yx
Derivadas de Funciones Inversas.
Si una función f es inyectiva y
derivable, con derivada distinta
de cero, la función inversa
también es derivable y su
derivada es:
1
1
1(x)
(x)f
f f
Ejemplo.
Derivar 𝑓 𝑥 =𝑥
arctan(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
arctan(𝑥)=1∙arctan 𝑥 −𝑥∙
1
1+𝑥2
arctan(𝑥) 2
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
arctan(𝑥)=
1+𝑥2 arctan 𝑥 −𝑥
1+𝑥2
arctan(𝑥) 2
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
arctan(𝑥)=
1+𝑥2 arctan 𝑥 −𝑥
1+𝑥2 arctan(𝑥) 2
Derivar
Observemos que por tratarse de un producto de radicales del mismo índice.
xarcseny
=
2
d 1 1arcsen x
dx 2 x1 x
1 1
2 x 1 x 2 x 1 x
xxxx 11
Ejercicios Propuestos.
Deriva las siguientes funciones.
1) f x arc sec 2x 4
2 x3 ) f x arctan e 3tan x
12
3 3
xe) f ( x ) arctan
x4 ) f x arccos e
25 ) f x arcsen x 4
Ecuaciones Paramétricas.
Las coordenadas (𝑥, 𝑦)de un punto
𝑃de una curva pueden ser funciones
𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔(𝑡) , de una tercera
variable o parámetro 𝑡.
Las ecuaciones 𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡
reciben el nombre de ecuaciones
paramétricas de la curva dada.
Ejemplo.
𝑥 = cos 𝜃 , 𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛(𝜃)son las ecuaciones
paramétricas, siendo el parámetro 𝜃, de la
parábola 4𝑥2 + 𝑦 = 4, ya que:
4𝑥2 + 𝑦 = 4𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃
Ejemplo.
𝑥 =1
2𝑡, 𝑦 = 4 − 𝑡2 es otra representación
paramétrica de la curva, en la que el
parámetro es 𝑡.
Obsérvese, sin embargo, que el primer sistema
de ecuaciones paramétricas solo representa
una porción de la curva, mientras que el
segundo representa la totalidad de ella.
La primera derivada 𝑑𝑦
𝑑𝑥 viene dada por:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑡𝑑𝑥
𝑑𝑡
.
Segunda Derivada 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 viene dada por
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑡
Ejemplo.
Hallar 𝑑𝑦
𝑑𝑥 y
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 , siendo 𝑥 = 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛(𝜃) e 𝑦 = 1 − cos(𝜃).
𝑑𝑥
𝑑𝜃= 1 − cos 𝜃 ,
𝑑𝑦
𝑑𝜃= 𝑠𝑒𝑛 𝜃 entonces
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦𝑑𝜃𝑑𝑥𝑑𝜃
=𝑠𝑒𝑛(𝜃)
1 − cos(𝜃)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
𝑑𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑛(𝜃)1 − cos(𝜃)
1 − cos(𝜃)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
cos 𝜃 − 1
1 − cos(𝜃 )2∙
1
1 − cos 𝜃= −
1
1 − cos(𝜃) 2
Ejemplo.
Hallar 𝑑𝑦
𝑑𝑥 y
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 , siendo 𝑥 = 𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜃) e 𝑦 = 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜃).
t t
2
22 t t
dy dxe cos( t ) sen( t ) ; e sen( t ) cos( t )
dt dt
dy cos( t ) sen( t )
dx sen( t ) cos( t )
d sen( t ) cos( t )
dt cos( t ) sen( t )d y 2 1
dx e sen( t ) cos( t ) e cos( t ) sen( t )cos( t ) sen( t )
2
22 t
d y 2
dx e cos( t ) sen( t )
Ejercicios Propuestos.
Encuentra primera y segunda derivada
para las siguientes curvas.
con
3 2
2
2
2
x( t ) tx( t ) t t 11) , t 2 )
y( t ) 1 t y( t ) t t
3x( t )
x( t ) t sen( t )t 13 ) 4 )
3t y( t ) 1 cos( t )y( t )
t 1
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