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KARINA LAGUNA ANDREZZO
“UM ESTUDO DO USO DE PADRÕES FIGURATIVOS NAAPRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA POR ALUNOS
SEM ACUIDADE VISUAL”
PUC/SP
SÃO PAULO
2005
KKAARRIINNAA LLAAGGUUNNAA AANNDDRREEZZZZOO
“UM ESTUDO DO USO DE PADRÕES FIGURATIVOS NAAPRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA POR ALUNOS
SEM ACUIDADE VISUAL”
Dissertação apresentada à Banca Examinadora daPontifícia Universidade Católica de São Paulo,como exigência parcial para obtenção do título deMESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob aorientação da Profª. Drª. Siobhan Victoria (Lulu)Healy.
PUC/SPSÃO PAULO
2005
Banca Examinadora
______________________________________
______________________________________
______________________________________
Autorizo para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ouparcial desta dissertação por processos de fotocópias ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________ Local e Data: _____________
Dedico este trabalho ao meu marido Luciano Dedico este trabalho ao meu marido Luciano Dedico este trabalho ao meu marido Luciano Dedico este trabalho ao meu marido Luciano Andrezzo,Andrezzo,Andrezzo,Andrezzo,
que sempre esteve ao meu lado e através do seu amor eque sempre esteve ao meu lado e através do seu amor eque sempre esteve ao meu lado e através do seu amor eque sempre esteve ao meu lado e através do seu amor e
compreensão, me apoiou e incentivou nesta caminhada,compreensão, me apoiou e incentivou nesta caminhada,compreensão, me apoiou e incentivou nesta caminhada,compreensão, me apoiou e incentivou nesta caminhada,
que muito me fez crescer, permitindo que meu sonho seque muito me fez crescer, permitindo que meu sonho seque muito me fez crescer, permitindo que meu sonho seque muito me fez crescer, permitindo que meu sonho se
realizasse.realizasse.realizasse.realizasse.
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a DEUS, que além da vida, proporcionou-me, saúde,
força, amor e perseverança para que mais um de meus projetos se realizasse.
À Lulu Healy, pela sua amizade, competência, paciência e extrema dedicação
durante todos os nossos encontros. Com seu jeito peculiar, ensinou-me a
olhar à frente, aceitar e superar as adversidades da vida.
Às Professoras Doutoras Iole de Freitas Druck e Anna Franchi, pelas valiosas
contribuições na concretização deste estudo, como membros da Banca
Examinadora.
À Prof.ª Dr.ª Marta Kohl de Oliveira, que nos possibilitou um encontro de
enriquecimento e aprofundamento em relação à teoria vygotskyana.
Ao Prof. Dr. Wagner Rodrigues Valente pelo apoio e contribuição na
elaboração do anteprojeto desta pesquisa.
À Prof.ª Dr..ªª Ana Paula Jahn e Profª Drª Celina Ap. Almeida Pereira Abar
pelas sugestões para a apresentação deste estudo no Encontro Brasileiro de
pós-graduando em Educação Matemática (VII EBRAPEM).
À Prof.ª Dr.ª Sandra Maria Pinto Magina por ter acreditado em mim no início
desta caminhada.
Aos professores do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação
Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, pelos
conhecimentos compartilhados durante o curso.
A todos os professores e participantes do grupo de pesquisa Tecnologias e
Meios de Expressão em Matemática - TecMem - pelo incentivo.
Ao secretário Francisco, pela atenção aos esclarecimentos prestados.
Ao meu marido, Luciano Andrezzo, que além do apoio, possibilitou-me
dedicação total a esta pesquisa, principalmente no último ano de curso.
Aos meus filhos, Amanda, Felipe e Bruno, que por alguns momentos
souberam me esperar.
Aos meus familiares em especial meus pais, Ana Maria e Vitor que desde o
início incentivaram e apoiaram a profissão por mim escolhida,
proporcionando-me dedicação total a meus estudos no período escolar e
graduação.
Aos meus irmãos, Laerte e Mauro, cunhadas e sobrinhos, por entenderem
minhas ausências.
Aos meus avós, Octávio, Angelina, Hilda e Benedito e sogros Zilda e Orlando,
pelo amor e incentivo.
À Direção da EE Caetano de Campos, funcionários, professores e alunos
videntes, pela colaboração nesta pesquisa.
Aos alunos que participaram das entrevistas, pela dedicação, carinho e
seriedade com que conduziram suas atividades.
Aos funcionários da Fundação Dorina Nowill, responsáveis pela digitação das
atividades para os caracteres no sistema Braille, viabilizando assim, sua
impressão à tinta.
À Prof.ª Dr.ª Nely Garcia, pelas valiosas sugestões bibliográficas.
Ao Prof. Dr. Manoel Carnayba, por compartilhar suas experiências como
deficiente visual.
À Prof.ª Genny Gomes Borelli, por datilografar as Atividades de Sondagem no
sistema Braille.
À Prof.ª Auta Adelaide Constantino Aihara, por esclarecimentos prestados
envolvendo a educação de alunos sem acuidade visual.
Aos meus colegas de mestrado, pelas experiências compartilhadas.
À Terezinha pela agradável companhia e sugestões na leitura final deste
trabalho.
Aos amigos Rosângela, Simone, Rita, Diva e Antônio, pelo apoio e incentivo.
À Prof.ª Lili, responsável pela revisão ortográfica do estudo.
À Olga Nakamura, por disponibilizar tradução de texto e por seu estudo que
muito me auxiliou.
Enfim, a todos que de uma forma ou de outra, diretamente ou indiretamente,
contribuíram para que este estudo se realizasse.
Muito Obrigada.
RESUMO
Nesta pesquisa, buscamos identificar fatores que contribuíram na apreensão
de expressões algébricas por alunos sem acuidade visual. Para isto elaboramos
atividades que facilitassem sua participação em atividades de generalização. O
estudo se desenvolveu com alunos do Ensino Médio e tem como ponto de partida a
posição de Vygotsky referente à integração social do aluno portador de alguma
deficiência e seu potencial para um desenvolvimento normal. A sugestão de
abordagem algébrica através de generalizações de padrões figurativos teve suporte
de vários pesquisadores em educação Matemática, em particular, os estudos e
considerações de Küchemann (1981), Booth (1988) e Mason (1996). A primeira fase
da pesquisa envolveu a elaboração das atividades e dos materiais manipulativos,
através dos quais os alunos s.a.v. poderiam ter acesso às seqüências de padrões
figurativos. A segunda fase constituiu-se de uma Atividade de Sondagem composta
por itens que envolviam noções algébricas e cinco entrevistas onde foram
trabalhadas sete seqüências cujos padrões eram representados por ímãs de formas
geométricas. A análise da Atividade de Sondagem possibilitou que identificássemos
as dificuldades dos alunos em lidar com três das seis categorias descritas por
Küchemann (1981), “letra como uma incógnita específica”, “letra como número
generalizado” e “letra como variável”; e alguns erros cometidos pelos alunos durante
as simplificações. Quanto à análise das tarefas, esta, procedeu das estratégias
usadas na evolução das generalizações matemáticas. Nossas análises indicaram
um processo gradual de internalização das marcas externas (os imãs e suas
organizações) através das “manipulações”, “articulações” e na tentativa de atribuir
significado algébrico às letras em expressões algébricas (“constituindo um sentido
para”).
Palavras-chave: Expressões algébricas, alunos sem acuidade visual, generalização,
seqüências.
ABSTRACT
This study aimed to identify factors that contribute to the understandings of
algebraic expressions constructed by blind students. To this end, it involved the
design of situations that would enable the participation of blind high-school students
(Brazilian Ensino Médio) in generalizing activities. The research was inspired by
Vygotsky’s visions of the social integration and intellectual development of learners
with special needs. The use of an approach to algebra emphasizing generalizations
based on the patterns underlying sequences presented as spatial arrangements has
been supported by various researchers in Mathematics Education, this study was
informed particularly by the work of Küchemann (1981), Booth (1988) and Mason
(1996). In the first phase of the research, materials based on the use of magnets to
represent dynamic elements of sequences were designed and tested. The second
phase involved five blind students in completing a preliminary activity, elaborated to
obtain data about their performance on traditional algebra exercises followed by a
series of interviews, during which each students worked through a set of seven
generalizing activities. The analysis of the students’ responses to the preliminary
activities indicated that the students had difficulties in dealing with three of six
categories for interpreting letters in algebraic expressions described by Küchemann
(1981), “letter as specific unknown”, “letter as generalized number” and “letter as
variable”; and identified errors committed during the simplification of expressions.
Analysis of the interview data was based on the strategies the students used to
construct mathematical generalizations. These analyses highlighted a process by
which the external marks (the magnets and their organizations) were gradually
internalized through the manipulations and articulations by which the learners strived
to get a sense of algebraic expressions.
KKeeyywwoorrddss:: Algebraic expressions, blind students, generalization, sequences.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Seqüências de tiras brancas e pretas .................................... 47Figura 2.2 - Exemplo de relações e métodos usados em Aritmética ...... 51Figura 2.3 - Investigação de padrões em representações figurativas .... 56Figura 2.4 - Fases do desenvolvimento em espiral de John Mason ....... 61Figura 3.1 - Prancha de metal .................................................................... 66Figura 3.2 - Ímãs .......................................................................................... 67Figura 3.3 - Máquina datilográfica ............................................................. 77Figura 3.4 - Reglete ..................................................................................... 77Figura 3.5 - Punção ..................................................................................... 77Figura 5.1 - 1ª Tarefa ................................................................................... 104Figura 5.2 - Construção dos termos: Fernando e Angélica ..................... 105Figura 5.3 - 2ª Tarefa ................................................................................... 108Figura 5.4 - 1ª Construção de Cláudio ....................................................... 109Figura 5.5 - 2ª Construção de Cláudio........................................................ 110Figura 5.6 - 3ª Tarefa .................................................................................... 116Figura 5.7 - Construção de Tânia................................................................ 117Figura 5.8 - Construção de Cláudio ........................................................... 118Figura 5.9 - Estratégia 3.1 ........................................................................... 119Figura 5.10 - Estratégia 3.2 ........................................................................... 119Figura 5.11 - Estratégia 3.3 ........................................................................... 120Figura 5.12 - Estratégia 3.4 ........................................................................... 121Figura 5.13 - Estratégia 3.5 ........................................................................... 122Figura 5.14 4ª Tarefa ................................................................................... 129Figura 5.15 - Construção de Cláudio ........................................................... 130Figura 5.16 - Estratégia 4.1 ........................................................................... 131Figura 5.17 - Estratégia 4.2 ........................................................................... 132Figura 5.18 - Estratégia 4.3 ........................................................................... 133Figura 5.19 - Estratégia 4.4 ........................................................................... 133Figura 5.20 - 4ª Tarefa - Fernando e Angélica ............................................. 137Figura 5.21 - 5ª Tarefa .................................................................................... 140
Figura 5.22 - 1ª Construção de Cláudio ....................................................... 140Figura 5.23 - 2ª Construção de Cláudio ....................................................... 141Figura 5.24 - Estratégia 5.2 ............................................................................ 142Figura 5.25 - Construção de Tânia ............................................................... 143Figura 5.26 - Estratégia 5.3 ........................................................................... 144Figura 5.27 - Estratégia 5.4 ........................................................................... 145Figura 5.28 - Contagem em grupo - Tânia ................................................... 146Figura 5.29 - 6ª Seqüência - Construção com triângulos e quadrados .... 152Figura 5.30 - 6ª Tarefa .................................................................................... 152Figura 5.31 - Construção do 2º termo .......................................................... 153Figura 5.32 - Reconstrução do 2º termo ...................................................... 153Figura 5.33 - Estratégia 6.1............................................................................ 154Figura 5.34 - Estratégia 6.2 ........................................................................... 156Figura 5.35 - Estratégia 6.3 ........................................................................... 157Figura 5.36 - Organização de Tânia ............................................................. 165Figura 5.37 - Organização de Fernando e Angélica .................................... 166Figura 5.38 - Organização de Cláudio .......................................................... 166Figura 5.39 - Organização de Giovanna ....................................................... 166
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 - Respostas do Item 1 ................................................................... 83Tabela 4.2 - Respostas do Item 2 ................................................................... 83Tabela 4.3 - Respostas do Item 12a ............................................................... 83Tabela 4.4 - Respostas do Item 3 ................................................................... 85Tabela 4.5 - Respostas do Item 7 ................................................................... 85Tabela 4.6 - Respostas do Item 12b ............................................................... 86Tabela 4.7 - Respostas do Item 4 ................................................................... 89Tabela 4.8 - Respostas do Item 5 ................................................................... 89Tabela 4.9 - Respostas do Item 9 ................................................................... 89Tabela 4.10 - Respostas do Item 13 ................................................................. 89Tabela 4.11 - Respostas do Item 6 ................................................................... 92Tabela 4.12 - Respostas do Item 8 ................................................................... 93Tabela 4.13 - Respostas do Item 10 ................................................................. 93Tabela 4.14 - Respostas do Item 11 ................................................................. 93Tabela 4.15 - Respostas dos Itens 14, 15 e 16 ................................................ 96Tabela 4.16 - Resultados da Atividade de Sondagem .................................... 97Tabela 4.17 - Acertos da Atividade de Sondagem (Itens 1 a 13 e Item 17) ... 98Tabela 5.1 - Expressões numéricas referente à Estratégia 3.2 ................... 124Tabela 5.2 - Expressões numéricas referente à Estratégia 3.5 ................... 125Tabela 5.3 - Expressões numéricas referentes à Estratégia 3.4 ................. 126Tabela 5.4 - Expressões algébricas ............................................................... 128Tabela 5.5 - Expressões numéricas do círculo.............................................. 135Tabela 5.6 - Expressões algébricas do círculo ............................................. 136Tabela 5.7 - Expressões numéricas e algébricas do quadrado ................... 138Tabela 5.8 - Expressões algébricas do Total de ímãs .................................. 139Tabela 5.9 - Expressões numéricas – Estratégia 5.3 .................................... 147Tabela 5.10 - Expressões numéricas – Estratégia 5.4 ................................... 147Tabela 5.11 - Expressões algébricas ............................................................... 149Tabela 5.12 - Expressão equivalente ............................................................... 151Tabela 5.13 - Expressões numéricas do círculo ............................................. 159
Tabela 5.14 - Expressões algébricas do círculo ............................................. 159Tabela 5.15 - Expressões numéricas do quadrado - 6ª Tarefa ...................... 160Tabela 5.16 - Expressões algébricas do quadrado ......................................... 161Tabela 5.17 - Expressões algébricas do total de ímãs ................................... 162Tabela 5.18 - Expressões numéricas e algébrica (total de ímãs) .................. 162Tabela 5.19 - Expressões algébricas do total de ímãs (equivalentes) .......... 163Tabela 5.20 - Respostas dos alunos - “Que é maior 2n ou n + 2?” .............. 169Tabela 5.21 - Resumo da 1ª Tarefa ................................................................... 172Tabela 5.22 - Resumo da 2ª Tarefa ................................................................... 173Tabela 5.23 - Resumo da 3ª Tarefa ................................................................... 173Tabela 5.24 - Resumo da 4ª Tarefa ................................................................... 174Tabela 5.25 - Resumo da 5ª Tarefa ................................................................... 174Tabela 5.26 - Resumo da 6ª Tarefa ................................................................... 175
Tabela A.1 - Desempenho dos alunos videntes do 1º ano do EnsinoMédio ....................................................................................... cxcvii
Tabela A.2 Desempenho dos alunos videntes do 2º ano do EnsinoMédio ....................................................................................... cxcviii
LISTA DE GRÁFICOS E QUADROS
Gráfico 2.1 - Interpretação das letras pelos alunos:“letra como objeto”ou “letra não utilizada” - Níveis 1 e 2 ....................................... 46
Gráfico 2.2 - Porcentagem acumulativa dos alunos em cada nível daÁlgebra ........................................................................................ 46
Quadro 2.1 - Interpretação da Álgebra escolar e as diferentes funçõesdas letras .................................................................................. 53
Quadro 3.1 - Fases do estudo ...................................................................... 65Quadro 3.2 - Itens da 1ª Tarefa ..................................................................... 69Quadro 3.3 - Itens da 2ª Tarefa ..................................................................... 70Quadro 3.4 - Itens da 3ª Tarefa ..................................................................... 71Quadro 3.5 - Itens da 4ª Tarefa ..................................................................... 72Quadro 3.6 - Itens da 5ª Tarefa ..................................................................... 73Quadro 3.7 - Itens da 6ª Tarefa ..................................................................... 74Quadro 3.8 - Organização cronológica da entrevistas .............................. 79Quadro 4.1 - Itens Nível 1 .............................................................................. 82Quadro 4.2 - Itens Nível 2 .............................................................................. 84Quadro 4.3 - Itens Nível 3 .............................................................................. 87Quadro 4.4 - Itens Nível 4 .............................................................................. 90Quadro 4.5 - Item 17 ...................................................................................... 94Quadro 4.6 - Itens 14, 15 e 16 ....................................................................... 95Quadro 5.1 - Estratégia de Fernando ........................................................... 111Quadro 5.2 - Outras estratégias de Fernando ............................................. 150
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO............................................................................................................ 20
CAPÍTULO 1 - O educando sem acuidade visual ................................................. 221.1 Integração dos alunos s.a.v. em sistemas educacionais .................................. 221.2 Vygotsky e o desenvolvimento da criança s.a.v. ............................................... 32 1.2.1 Integração Social ......................................................................................... 33 1.2.2 Mediação ..................................................................................................... 36 1.2.3 Internalização e o desenvolvimento de sistemas simbólicos...................... 39
CAPÍTULO 2 - O ensino e aprendizagem da Álgebra .......................................... 42
2.1 Apreensão de expressões algébricas................................................................ 42 2.1.1 Interpretação das letras .............................................................................. 42 2.1.2 Identificação dos tipos de erros (algébricos) cometidos pelos alunos ........ 482.2 Impacto das pesquisas no currículo da Álgebra ............................................... 522.3 As propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais Matemática no Ensino
Fundamental .............................................................................................................. 522.4 As propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio .......... 562.5 Generalização ................................................................................................... 59 2.5.1 A Espiral de Mason ..................................................................................... 59
CAPÍTULO 3 - Metodologia ................................................................................... 65
3.1 Fase 1 - Desenvolvimento das atividades ......................................................... 65 3.1.1 Material Manipulativo .................................................................................. 66 3.1.2 Elaboração da Atividade de Sondagem ...................................................... 67 3.1.3 Elaboração das Tarefas .............................................................................. 683.2 Fase 2 - Realização das Atividades .................................................................. 75 3.2.1 Sujeitos ........................................................................................................ 75 3.2.2 Atividade de Sondagem .............................................................................. 76
3.2.3 Tarefas ........................................................................................................ 78
CAPÍTULO 4 - Análise da Atividade de Sondagem .............................................. 814.1 Organização da análise ..................................................................................... 814.2 Análise dos itens de Nível 1 - Grupo 1.............................................................. 814.3 Análise dos itens de Nível 2 - Grupo 2 .............................................................. 834.4 Análise dos itens de Nível 3 - Grupo 3 ............................................................ 864.5 Análise dos itens de Nível 4 - Grupo 4 ............................................................ 904.6 Análise do Item 17 ............................................................................................ 944.7 Análise dos Itens 14, 15 e 16 ........................................................................... 954.8 Análise do desenvolvimento de cada aluno na Atividade de Sondagem ......... 96 4.8.1 Angélica ...................................................................................................... 98 4.8.2 Giovanna .................................................................................................... 98 4.8.3 Tânia ........................................................................................................... 99 4.8.4 Cláudio ........................................................................................................ 99 4.8.5 Fernando .................................................................................................... 1004.9 Considerações finais ........................................................................................ 101CAPÍTULO 5 - Análise das tarefas ........................................................................ 1025.1 Organização da Análise das tarefas ................................................................. 102 5.1.1 Representação dos termos específicos e a construção de expressões em
linguagem natural .................................................................................................... 102 5.1.2 Construção de expressões numéricas e algébricas .................................. 1035.2 Análise da 1ª Tarefa ......................................................................................... 104 5.2.1 Representação dos termos específicos e a construção de expressões em
linguagem natural ..................................................................................................... 1055.2.1.1 Relação entre termos ............................................................................ 105
5.3 Análise da 2ª tarefa ......................................................................................... 108 5.3.1 Representação dos termos específicos e construção de expressões em
linguagem natural ..................................................................................................... 108 5.3.1.1 Relação entre termos ............................................................................ 109 5.3.1.2 Regra para um termo geral .................................................................... 111 5.3.2 Construção de expressões numéricas e algébricas ................................... 113
5.3.2.1 Construção de expressões numéricas ................................................ 113
5.3.2.2 Construção de expressões algébricas ................................................. 1145.4 Análise da 3ª tarefa ......................................................................................... 116 5.4.1 Representação dos termos específicos e construção de expressões em
linguagem natural ..................................................................................................... 116 5.4.1.1 Relação entre termos ............................................................................ 117 5.4.1.2 Regra para um termo geral ................................................................... 121 5.4.2 Construção de expressões numéricas e algébricas ................................... 124
5.4.2.1 Construção de expressões numéricas ................................................. 124 5.4.2.2 Construção de expressões algébricas .................................................. 125
5.5 Análise da 4ª tarefa ......................................................................................... 129 5.5.1 Representação dos termos específicos e construção de expressões em
linguagem natural ..................................................................................................... 129 5.5.1.1 Relação entre termos ............................................................................ 131 5.5.1.2 Regra para um termo geral ................................................................... 132 5.5.2 Construção de expressões numéricas e algébricas ................................... 134
5.5.2.1 Construção de expressões numéricas algébricas do círculo .............. 134 5.5.2.2 Construção de expressões numéricas e algébricas do quadrado e do
total de ímãs ........................................................................................................... 1365.6 Análise da 5ª tarefa ......................................................................................... 139 5.6.1 Representação dos termos específicos e construção de expressões em
linguagem natural ..................................................................................................... 140 5.6.1.1 Relação entre termos ............................................................................ 141 5.6.1.2 Regra para um termo geral ................................................................... 143 5.6.2 Construção de expressões numéricas e algébricas ................................... 145
5.6.2.1 Construção de expressões numéricas ................................................. 146 5.6.2.2 Construção de expressões algébricas e equivalentes ......................... 148
5.7 Análise da 6ª tarefa ......................................................................................... 151 5.7.1 Representação dos termos específicos e construção de expressões em
linguagem natural ..................................................................................................... 153 5.7.1.1 Relação entre termos ........................................................................... 154 5.7.1.2 Regra para um termo geral .................................................................. 155 5.7.2 Construção de expressões numéricas e algébricas ................................... 158
5.7.2.1 Construção de expressões numéricas e algébricas do círculo ........... 158
5.7.2.2 Construção de expressões numéricas e algébricas do quadrado e do
total de ímãs ........................................................................................................... 1605.8 Análise da 7ª tarefa ......................................................................................... 163 5.8.1 Representação dos termos das seqüências (quantidade e organização
dos ímãs) .................................................................................................................. 164 5.8.1.1 Cálculo da quantidade de ímãs em cada termo .................................. 164 5.8.1.2 Organização dos ímãs ......................................................................... 165 5.8.2 Análise das respostas ................................................................................. 1675.9 Síntese do capítulo ......................................................................................... 171 5.9.1 Comportamento dos alunos nas tarefas ..................................................... 171 5.9.2 Resumo das tarefas .................................................................................... 172
CAPÍTULO 6 - Conclusão ...................................................................................... 1766.1 Introdução ......................................................................................................... 1766.2 Trajetória do estudo .......................................................................................... 1766.3 Síntese dos principais resultados ..................................................................... 178 6.3.1 A Atividade de Sondagem .......................................................................... 178 6.3.2 As tarefas (entrevistas) ............................................................................... 1806.4 Resposta à questão de pesquisa ..................................................................... 1826.5 Implicações para o ensino ................................................................................ 184
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................ 186
ANEXOS ............................................................................................................. clxxxixANEXO A Alfabeto Braille ................................................................................ cxcANEXO B Atividade de Sondagem - (Aplicada aos alunos videntes) .............. cxciiANEXO C Resultados dos alunos videntes ...................................................... cxcviiANEXO D Atividade de Sondagem Final - Selecionada (alunos s.a.v.)............ ccANEXO E Questões das entrevistas ................................................................ cciiiANEXO F Respostas da 4ª Tarefa no sistema Braille ...................................... ccviii
20
INTRODUÇÃO
Nós, professores, vivenciamos atualmente o desafio de incluir aprendizes
com necessidades especiais nas nossas aulas de Matemática. Em relação aos
alunos sem acuidade visual (s.a.v.) dentro dos padrões normais, não podemos
esperar que eles tenham os mesmos acessos às representações matemáticas
usualmente trabalhadas no ensino da Matemática, como por exemplo, as figuras, os
gráficos, diagramas etc. Assim, algumas situações experienciadas por nós,
professores, e os alunos s.a.v., tornam-se pouco significativas. Para que os alunos
s.a.v. sejam capazes de desenvolver suas potencialidades e, desta forma,
integrarem-se cultural e socialmente, é necessário que proporcionemos
oportunidades educacionais adequadas que favoreçam este processo. De acordo
com os “Parâmetros Curriculares Nacionais - Adaptações Curriculares”, os principais
aspectos envolvidos para que isto aconteça referem-se: à organização do trabalho
didático pedagógico, à definição dos objetivos, ao tratamento e desenvolvimento dos
conteúdos, às avaliações e a temporalidade. Dentre estes, estaremos focados no
tratamento e desenvolvimento dos conteúdos.
Nesse sentido, desenvolvemos nossa pesquisa com o objetivo de investigar
a compreensão de objetos algébricos, especificamente seqüências de padrões
figurativos por alunos s.a.v., e elaborar situações que facilitem sua participação
em atividades de generalização, buscando responder à questão: Quais os fatores
que contribuem na apreensão de expressões algébricas por alunos sem acuidade
visual?
A visão é uma das vias de acesso ao conhecimento, sendo que sua
ausência, se não compensada, pode impedir que o aluno s.a.v. perceba e se
relacione com o mundo de maneira adequada. A respectiva compensação pode ser
feita através de outros sentidos, como o tato e a audição. A exploração tátil do
ambiente físico e dos objetos em estudo, mediada verbalmente, deve ser viabilizada
e enfatizada sempre que possível, de forma que os alunos possam construir os
conceitos e incorporá-los ao conjunto de seus conhecimentos, oferecendo-lhes
condições para que possam agir. Estas peculiaridades que envolvem os alunos
21
s.a.v., é que nos direcionam à ação. A adaptação, observação, reflexão e a busca
de soluções criativas são estratégias necessárias, diante das diversas situações
presentes em sala de aula.
Para que possamos melhor exercer nosso papel de educadores junto a
esse aluno especial é fundamental conhecer e saber lidar com a deficiência,
visando tirar o máximo de proveito de suas eficiências. (Projeto de
Educação continuada. Proposta de Educação Especial – USP, p. 32).
Faremos, a seguir, a descrição do trabalho, que resultará em nossa
dissertação. Procuraremos expor, resumidamente, os principais tópicos de cada um
dos seis capítulos integrantes do presente trabalho.
No Capítulo 1, versaremos sobre a inclusão dos alunos s.a.v. no sistema
educacional e introduziremos algumas das idéias de Vygotsky relevantes para nosso
tema.
No Capítulo 2, trataremos da Álgebra e das dificuldades enfrentadas pelos
alunos em sua apreensão. Abordaremos os referenciais teóricos que fazem parte de
nosso estudo, entre eles, Küchemann (1981), que estudou as diferentes
interpretações das letras atribuídas pelos alunos; Mason (1996a), que apresentou as
fases de desenvolvimento na apreensão dos conceitos algébricos; e Booth (1988),
que investigou as razões dos erros algébricos cometidos pelos alunos.
O Capítulo 3 será dedicado à descrição da metodologia de nossa pesquisa.
Apresentaremos as fases de desenvolvimento das atividades, desde a elaboração
do material manipulativo, até a elaboração da Atividade de Sondagem e das
entrevistas.
No Capítulo 4, estaremos analisando as respostas dos alunos durante a
Atividade de Sondagem, relacionando-as com os estudos de Küchemann (1983) e
Booth (1988).
O Capítulo 5 trará a descrição e análise dos procedimentos dos alunos no
transcorrer das tarefas de generalização. Para isto, contaremos com a contribuição
dos estudos de Vygotsky (1983), Mason (1996a) e Booth (1988).
No Capítulo 6, procuraremos, de forma resumida expor nossas conclusões
com base na análise dos dados apresentados nos Capítulos 4 e 5.
22
CAPÍTULO 1O educando sem acuidade visual
Neste capítulo, apresentamos alguns dados estatísticos referentes ao
número de pessoas com problemas visuais e, através de um breve histórico,
relatamos o início da institucionalização da inclusão dos alunos s.a.v. e as mudanças
ocorridas até os dias de hoje. Não poderíamos deixar de mencionar as contribuições
do documento intitulado “Declaração de Salamanca e Enquadramento da Ação”,
incluindo também as “Adaptações Curriculares” que compõem o conjunto dos PCN.
Apresentamos Vygotsky e suas idéias a respeito da integração social e os processos
de mediação, internalização e o desenvolvimento de sistemas simbólicos,
fundamentais para que essa integração aconteça.
1.1 INTEGRAÇÃO DOS ALUNOS S.A.V. EM SISTEMASEDUCACIONAIS
O último censo do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE),
realizado em 2000, cerca de 16,5 milhões de habitantes (ou quase 10% da
população) têm algum tipo de deficiência visual no Brasil. Estima-se que, desse total,
20% a 30% correspondam a crianças com algum problema de acuidade visual
(IBGE, Censo demográfico 2000).
A cegueira pode decorrer de uma variedade de causas genéticas e
ambientais. Dentre as anomalias visuais congênitas, nem todas podem ser
consideradas hereditárias. Muitas são resultados de:
• fatores ambientais que atuam sobre o feto, como os traumatismos, o
alcoolismo e as drogas em geral, as radiações e as doenças infecciosas
como rubéola, sífilis e toxoplasmose, estas três, são consideradas as
mais freqüentes;
23
• problemas ligados também à higiene, como o tracoma e suas múltiplas
conseqüências; à ausência de cuidados pós-parto, ocasionando a oftalmia
neunatorum; à xeroftalmia, devida à vitaminose A, agravada pela
desnutrição proteinocalórica;
• “fibroplasia retrolental”, causada pela alta concentração de oxigênio nas
incubadeiras dos recém-nascidos prematuros.
Uma pessoa é considerada cega se corresponde a um dos critérios
seguintes: a visão corrigida do melhor dos seus olhos é de 20/200 ou menos, isto é,
se ela pode ver a 20 pés (6 metros) o que uma pessoa de visão normal pode ver a
200 pés (60 metros), ou se o diâmetro mais largo do seu campo visual subentende
um arco não maior de 20 graus, ainda que sua acuidade visual nesse estrito campo
possa ser superior a 20/2001
A inclusão dos alunos s.a.v. existe desde aproximadamente 1930, no
entanto a institucionalização da Educação Especial no Brasil, envolvendo as
deficiências físicas e mentais, deu-se na década de 70, iniciando um processo de
centralização administrativa e coordenação política a partir do governo federal
(Universidade Federal do Paraná). A Educação Especial, em termos de legislação,
surge pela primeira vez na LDB (Lei de Diretrizes e Bases) 4024/61, estabelecendo
que a educação dos excepcionais deveria, no que fosse possível, enquadrar-se no
sistema geral de educação. Na Lei 5692/71, foi previsto o tratamento especial para
alunos que apresentassem deficiências físicas ou mentais e superdotados. O
CENESP (Centro Nacional de Educação Especial) foi criado na década de 70 e,
juntamente com o MEC (Ministério da Educação e Cultura) tinha como objetivo
centralizar e coordenar as ações de política educacional. O CENESP existiu até
1986, quando então foi criada a CORDE (Coordenadoria para a integração de
pessoa portadora de deficiência) junto à Presidência da República para coordenar
assuntos, atividades e medidas referentes ao portador de deficiência. Extinto o
CENESP, criou-se a Secretaria de Educação Especial do MEC. Em 1989 a CORDE
1Dados extraídos do site: instituto Benjamin Constant – Um olhar sobre a cegueira.
http://www.ibcnet.org.br/Paginas/cegueira/Artigo_03.htm. Acesso em 05/05/04
24
foi transferida para o Ministério da Ação Social e a área de Educação Especial do
MEC tornou-se coordenação, configurando uma redução de poder político da área.
Em 1993, voltou a existir a Secretaria de Educação Especial (SEESP) no Ministério
da Educação.
A partir da década de 90, as discussões referentes à educação das pessoas
com necessidades especiais, tomaram uma dimensão maior, e em 20/12/96 foi
criada a Lei nº 9394 da LDB que, no capítulo V, aponta que a educação dos
portadores de necessidades especiais deve-se dar preferencialmente na rede
regular de ensino. Assim, a política educacional brasileira passou a ter como
objetivo maior de todo o planejamento nacional, a formação do cidadão brasileiro,
assegurando a todos os mesmos direitos, sem discriminação de qualquer natureza.
Segundo Semeghini (1998), a proposta da escola inclusiva é abrir oportunidades
educacionais adequadas a todas as crianças; dar condições a crianças com
necessidades educativas especiais para que possam se desenvolver social e
intelectualmente junto com as demais crianças na classe comum; aceitar todas as
diferenças e se adaptar à variedade humana, criando um cenário propício ao
desenvolvimento das potencialidades individuais.
Em 1994, na “Conferência Mundial sobre Necessidades Educativas
Especiais: Acesso e Qualidade”, organizada pelo governo da Espanha em
cooperação com a UNESCO, reuniram-se representantes de noventa e dois países
e de vinte e cinco organizações internacionais, com o objetivo de promover “a
educação para todos” - instituições que incluam todas as pessoas, aceitem as
diferenças, apóiem a aprendizagem e respondam às necessidades individuais.
Nessa conferência foi elaborado o documento “Declaração de Salamanca e
Enquadramento da Ação - Necessidades Educativas Especiais”, que representa um
consenso mundial sobre as futuras orientações da educação das crianças e jovens
com necessidades educativas especiais. O documento referente ao Enquadramento
da Ação, especificamente, “inspira-se na experiência a nível nacional dos países
participantes, assim como nas resoluções, recomendações e publicações das
Nações Unidas e das outras organizações internacionais governamentais,
especialmente nas Normas sobre Igualdade de Oportunidades para Pessoas com
25
Deficiência2”. O princípio orientador “consiste em afirmar que as escolas devem se
ajustar a todas as crianças, independente das suas condições físicas, sociais,
lingüísticas ou outras”. O termo, “necessidades educativas especiais”, na Declaração
de Salamanca e Enquadramento e Ação, refere-se à todas as crianças e jovens
cujas carências se relacionam com deficiências ou dificuldades escolares. Neste
conceito inclui-se as crianças com deficiências ou superdotadas, crianças da rua ou
crianças que trabalham, crianças de populações remotas ou nômadas, crianças de
minorias lingüísticas, étnicas ou culturais e crianças de áreas ou grupos
desfavorecidos ou marginais.
Todos os interessados devem aceitar o desafio e trabalhar, de modo que a
Educação para Todos seja, efetivamente, PARA TODOS, em especial para
os mais vulneráveis e com mais necessidades. (Mayor, 1994; Declaração de
Salamanca -prefácio)
Nos itens 6, 7 e 8 do referido documento, compreendemos melhor os
pressupostos da escola inclusiva:
6 – [...] O sucesso das escolas inclusivas que favorecem um ambiente
propício à igualdade de oportunidades e à plena participação depende de
um esforço concentrado, não só dos professores e do pessoal escolar, mas
também dos alunos, pais e voluntários. [...]
7 – O princípio fundamental das escolas inclusivas consiste em todos os
alunos aprenderem juntos, sempre que possível, independentemente das
dificuldades e das diferenças que apresentem. Estas escolas devem
reconhecer e satisfazer as necessidades diversas dos seus alunos,
adaptando-se aos vários estilos e ritmos de aprendizagem, de modo a
garantir um bom nível de educação para todos, através de currículos
adequados, de uma boa organização escolar, de estratégias pedagógicas,
de utilização de recursos e de uma cooperação com as respectivas
comunidades.[...] (Declaração de Salamanca, 1994).
8 – Nas escolas inclusivas, os alunos com necessidades educativas
especiais devem receber o apoio suplementar de que precisam para
assegurar uma educação eficaz.”[...] (Declaração de Salamanca, 1994).
2 Normas das Nações Unidas sobre Igualdade de Oportunidades para Pessoas com Deficiência,
A/RES/48/96, Resolução das Nações Unidas adotada pela Assembléia Geral, na sua 48ª sessão, a
20 de Dezembro de 1993. (Enquadramento da ação, 1994; introdução).
26
No Brasil, podemos considerar, por exemplo, a sala de recursos como sendo
um “apoio suplementar”, na qual encontra-se um professor especializado em
deficiência mental, visual ou auditiva, conforme as necessidades das crianças da
comunidade. As salas de recursos propiciam um atendimento complementar ao da
sala comum, em que é função do professor especializado transcrever as atividades,
orientar o educando especial, familiares, professores e demais elementos envolvidos
no processo educativo, procurando através da adequação de materiais técnicos e de
recursos didáticos, sanar as dificuldades de aprendizagem que, decorrentes da
limitação visual, não sejam passíveis de solução na classe por ele freqüentada. A
permanência do aluno na sala de recursos varia conforme a sua necessidade e
sempre que possível os atendimentos devem ser realizados no período oposto ao
das aulas regulares, evitando ausências que poderiam prejudicar o seu
desenvolvimento.
Procurando atender às propostas contidas na “Declaração de Salamanca” e
buscando subsidiar os professores em sua tarefa de beneficiar seus alunos na
ampliação do exercício da cidadania, a Secretaria de Educação Fundamental,
juntamente com a Secretaria de Educação Especial, produziram o material didático
pedagógico intitulado “Adaptações Curriculares”, que compõe o conjunto dos
Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN, inserindo-se na concepção da escola
integradora defendida pelo Ministério da Educação.
O PCN – “Adaptações Curriculares”, focaliza o currículo como ferramenta
básica da escolarização; busca dimensionar o sentido e o alcance que se pretende
dar às adaptações curriculares como estratégias e critérios de atuação docente; “e
admite decisões que oportunizam adequar a ação educativa às maneiras peculiares
de os alunos aprenderem, considerando que o processo de ensino-aprendizagem
pressupõe atender à diversificação de necessidades dos alunos na escola”.
(BRASIL, 1999, p.15).
Nessa linha, com o intuito de favorecer a aprendizagem do aluno, a
adaptação curricular procura auxiliar a prática docente, resguardando o caráter de
flexibilidade e dinamicidade, propondo alterações que podem ser de menor ou maior
expressividade envolvendo os aspectos:
• na organização do trabalho didático-pedagógico;
27
• na definição dos objetivos e no tratamento e desenvolvimento dos
conteúdos;
• no transcorrer de todo o processo avaliativo;
• na temporalidade.
Tratando-se das adaptações de menor expressividade - “Adaptações Não
Significativas do Currículo” - os PCN sugerem alterações na organização do trabalho
didático-pedagógico com um caráter facilitador do processo de ensino-aprendizagem
e estão relacionadas:
• ao tipo de agrupamento de alunos para a realização das atividades de
ensino-aprendizagem;
• à organização didática da aula – propõe conteúdos e objetivos de
interesse do aluno ou diversificados, para atender às suas necessidades
especiais, bem como disposição física de mobiliários, de materiais
didáticos e de espaço disponíveis para trabalhos diversos;
• à organização dos períodos definidos para o desenvolvimento das
atividades previstas – propõe previsão de tempo diversificada para
desenvolver os diferentes elementos do currículo na sala de aula.
(BRASIL, 1999, p.35-36).
As adaptações na definição dos objetivos e no tratamento e desenvolvimento
dos conteúdos favorecem a aprendizagem dos conteúdos trabalhados e visam:
• à priorização de áreas ou unidades de conteúdos que garantam
funcionalidade e que sejam essenciais e instrumentais para as
aprendizagens posteriores. Ex: habilidades de leitura e escrita, cálculos
etc.;
• à priorização de objetivos que enfatizam capacidades e habilidades
básicas de atenção, participação e adaptabilidade do aluno. Ex:
desenvolvimento de habilidades sociais, de trabalho em equipe, de
persistência na tarefa etc.;
• à sequenciação pormenorizada de conteúdos que requeiram processos
gradativos de menor à maior complexidade das tarefas, atendendo à
seqüência de passos, à ordenação da aprendizagem etc.;
• ao reforço da aprendizagem e à retomada de determinados conteúdos
para garantir o seu domínio e a sua consolidação;
28
• à eliminação de conteúdos menos relevantes, secundários para dar
enfoque mais intensivo e prolongado a conteúdos considerados básicos
e essenciais no currículo.
(BRASIL, 1999, p. 36).
As adaptações nos procedimentos didáticos e nas atividades de ensino e
aprendizagem correspondem à maneira de ensinar os componentes curriculares,
dispondo quanto:
• à alteração nos métodos definidos para o ensino dos conteúdos
curriculares;
• à seleção de um método mais acessível para o aluno;
• à introdução de atividades complementares que requeiram habilidades
diferentes ou à fixação e consolidação de conhecimentos já ministrados –
utilizadas para reforçar ou apoiar o aluno, oferecer oportunidades de
prática suplementar ou aprofundamento. São facilitadas pelos trabalhos
diversificados, que se realizam no mesmo segmento temporal;
• à introdução de atividades prévias que preparam o aluno para novas
aprendizagens;
• à introdução de atividades alternativas além das planejadas para a turma,
enquanto os demais colegas realizam outras atividades. É indicada nas
atividades mais complexas que exigem uma seqüenciação de tarefas;
• à alteração do nível de abstração de uma atividade oferecendo recursos
de apoio, sejam visuais, auditivos, gráficos, materiais manipulativos etc.;
• à alteração do nível de complexidade das atividades por meio de
recursos do tipo: eliminar partes de seus componentes (simplificar um
problema matemático, excluindo a necessidade de alguns cálculos, é um
exemplo); ou explicitar os passos que devem ser seguidos para orientar a
solução da tarefa, ou seja, oferecer apoio, especificando passo a passo a
sua realização;
• à alteração na seleção de materiais e adaptação de materiais - uso de
máquina Braille para o aluno cego, calculadoras científicas para os
alunos com altas habilidades/superdotados etc.
(BRASIL, 1999, p.36-37).
Com relação ao processo avaliativo, as adaptações que os PCN propõem,
devem atender as peculiaridades dos alunos especiais e estão direcionadas:
29
• à seleção das técnicas e instrumentos utilizados para avaliar o aluno.
Propõem modificações sensíveis na forma de apresentação das técnicas
e dos instrumentos de avaliação, a sua linguagem, de um modo diferente
dos demais alunos de modo que atenda às peculiaridades dos que
apresentam necessidades especiais.
(BRASIL, 1999, p.36).
Os alunos s.a.v. necessitam de uma ampliação na temporalidade do
cumprimento das tarefas, principalmente por envolver uma leitura e escrita, mais
lenta que a leitura e a escrita em caracteres. Diante disso, as adaptações na
temporalidade se referem:
• à alteração no tempo previsto para a realização das atividades ou
conteúdos;
• ao período para alcançar determinados objetivos.
(BRASIL, 1999, p. 37).
Nas adaptações de maior expressividade - “Adaptações Curriculares
Significativas”, considera-se a organização do trabalho didático-pedagógico, que
implicará em modificações expressivas no planejamento e na atuação do professor.
Estas adaptações objetivam:
• à introdução de método muito específicos para atender às necessidades
particulares do aluno. De um modo geral, são orientados por professor
especializado;
• às alterações nos procedimentos didáticos usualmente adotados pelos
professor;
• à organização significativamente diferenciada da sala de aula para
atender às necessidades específicas do aluno.
(BRASIL, 1999, p. 40).
Quanto à definição dos objetivos e ao tratamento e desenvolvimento dos
conteúdos, muitas vezes há a necessidade de modificar significativamente o
planejamento dos mesmos, adotando uma ou mais alternativas das descritas:
• eliminação dos objetivos básicos – quando extrapolam as condições do
aluno para atingi-lo, temporária ou permanentemente;
30
• introdução de objetivos específicos alternativos – não previstos para os
demais alunos, mas que podem ser incluídos em substituição a outros
que não podem ser alcançados, temporária ou permanentemente;
• introdução de objetivos específicos complementares – não previstos para
os demais alunos, mas acrescidos na programação pedagógica para
suplementar necessidades específicas.
(BRASIL, 1999, p. 39).
As adaptações relativas aos conteúdos incidem sobre conteúdos básicos e
essenciais do currículo e requerem uma avaliação criteriosa para serem adotadas.
Em respeito a estes aspectos os PCN visam:
• à introdução de novos conteúdos não previstos para os demais alunos,
mas essenciais para alguns, em particular;
• eliminação de conteúdos que, embora essenciais no currículo, sejam
inviáveis de aquisição por parte do aluno. Geralmente estão associados a
objetivos que também tiveram de ser eliminados.
(BRASIL, 1999, p. 39).
As adaptações de maior expressividade estão vinculadas à inclusão ou
eliminação de critérios específicos de avaliação, conseqüentemente os objetos
acrescidos ou eliminados influenciam os resultados que levam à promoção ou não
do aluno, “evitando a cobrança de conteúdos e habilidades que possam estar além
de suas atuais possibilidades de aprendizagem e aquisição” (PCN – “Adaptações
Curriculares”, 1999, p.40).
As adaptações sugerem:
• à introdução de critérios específicos de avaliação;
• à eliminação de critérios gerais de avaliação;
• à adaptações de critérios regulares de avaliação;
• à modificação dos critérios de promoção.
(BRASIL, 1999, p. 39).
As adaptações de maior expressividade relacionadas à temporalidade
referem-se ao ajuste temporal, possibilitando ao aluno a aquisição de
conhecimentos e habilidades que estão ao seu alcance, mas que dependem do seu
31
próprio ritmo ou de um conhecimento anterior, indispensável às novas
aprendizagens:
• prolongamento de um ano ou mais de permanência do aluno na mesma
série ou no ciclo (retenção).” (BRASIL, 1999, p. 39).
As medidas adaptativas voltadas à diversidade da população escolar
sugerem um tratamento diferenciado e estabelecem a igualdade de oportunidades
educacionais.
Apesar do esforço do professor especializado, bem como do professor da
sala regular de cumprir as propostas da Declaração de Salamanca também
explícitas no PCN – “Adaptações Curriculares”, nossa realidade vem mostrar que a
falta de materiais pedagógicos dificulta a integração dos alunos s.a.v.
Garcia3 e Lora4 (1998) mencionam que uma das maiores limitações é a
precariedade de suporte pedagógico quanto ao acesso a informações escritas,
textos, livros didáticos e incluímos aqui o acesso a materiais concretos, que
propiciam em muitas situações, oportunidades semelhantes as dos alunos videntes.
Segundo os mesmos autores, a condição básica para a determinação do
valor e competência do indivíduo normalmente é dada pela perfeição física. Nesta
visão, o educando s.a.v. é considerado incapaz em quase todas as atividades. Em
contraste, estes autores argumentam que se forem dadas condições para que o
aluno s.a.v. se desenvolva num nível compatível com suas capacidades reais, os
dogmas e preconceitos criados em torno da cegueira serão cada vez menos
enfatizados e praticados pela sociedade.
Essa posição é semelhante à perspectiva de Vygotsky que se mostrava
otimista em relação ao desenvolvimento de crianças cegas e surdas, defendendo o
3 Profª da Faculdade de Educação da USP – Depto. De Metodologia do Ensino e Educação
Comparada.
4 Profª da Faculdade de Educação da USP – Depto. De Filosofia da Educação e Ciência da
Educação.
32
ponto de vista de que os efeitos possivelmente prejudiciais de um defeito físico,
como a cegueira ou a surdez, podiam ser totalmente superados através da criação
de vias alternativas, mas equivalentes para o desenvolvimento cultural; e que era
possível essas crianças tornarem-se membros valorizados e totalmente integrados
na sociedade.
1.2 VYGOTSKY E O DESENVOLVIMENTO DA CRIANÇA S.A.V.
Lev Semenivich Vygotsky nasceu na cidade de Orsha, próxima a Mensk,
capital de Bielarus, país da hoje extinta União Soviética, em 17 de novembro de
1896. Provavelmente o interesse de Vygotsky por problemas de defectologia surgiu
durante seu trabalho como professor em Gomel, em 1924, criando um laboratório de
psicologia na escola de formação de professores e participando da criação do
Instituto de Deficiências, em Moscou. Simultaneamente, Vygotsky, dirigiu um
departamento de educação de crianças deficientes e mentais, em Narkompros.
1.2.1 Integração Social
A primeira publicação dos escritos de Vygotsky na área de “defectologia”5
foi em 1924 e retratava o trabalho com “crianças defeituosas”, as quais eram
consideradas com deficiência física ou mental.
A posição defendida por Vygotsky referente à integração social da criança
especial, deve-se ao fato de que essas crianças têm potencial para um
desenvolvimento normal, pois são noventa e cinco por cento saudáveis. Segundo
Vygotsky (1983), o desenvolvimento da criança especial deve estar orientado pela
5 O termo “defectologia” era tradicionalmente usado para a ciência que estudava crianças com vários
tipos de problemas (“defeitos”) mentais e físicos. Entre as crianças estudadas estavam surdos-
mudos, cegos e deficientes mentais.(Veer e Valsiner,1991, p.73).
33
superação da cegueira; assim, a pedagogia deve ser orientada pela normalidade e a
saúde da criança, e não pela insuficiência da enfermidade:
Nos detemos às gramas de enfermidade e não observamos os quilos de
saúde. Reparamos no pequeno defeito, e não captamos as enormes áreas,
ricas de vida, que possuem as crianças que padecem de anormalidades.
(VYGOTSKY, 1983, p. 62); tradução nossa.
A falta da visão implica na perda de uma das mais importantes funções
sociais; o rompimento dos vínculos sociais e deslocamento de todos os sistemas de
conduta. Segundo Vygotsky “A tarefa consiste em vincular a pedagogia da infância
deficiente (pedagogia de surdos, cegos, oligofrênicos, etc.) com os princípios e
métodos gerais da educação social; encontrar tal sistema, que permita ligar
organicamente a pedagogia especial com a pedagogia da infância normal”
(VYGOTSKY, 1983, p. 59). Ele também argumenta que “É preciso ajustar o órgão
afetado. A tarefa da educação consiste em introduzir a criança cega na vida e criar a
compensação de sua insuficiência física. A tarefa se reduz a conseguir que a
alteração da conexão social com a vida se processe por algum outro caminho”
(Ibidem, p.61). Stern6, citado por Vygotsky (1983, p. 41) afirma que “Aquilo que não
mata, me faz mais forte” – pressupondo que a força surge da debilidade, assim
como as atitudes surgem das deficiências.
A sensação da insuficiência dos órgãos é para o indivíduo um estímulo
constante do desenvolvimento de sua psique.
(ADLER7 e O. RÜHLE8, apud VYGOTSKY, 1926, p.10); tradução nossa.
No desenvolvimento do seu trabalho, Vygotsky demonstrou que nem todos
os indivíduos s.a.v. tinham, necessariamente, uma audição, tato ou memória
superior. Portanto, a idéia de compensação biológica automática para certos
defeitos havia se mostrado errada. Investigações demonstraram que tanto o tato em
6 William Stern (1871-1938). Psicólogo alemão que trabalhou no campo da psicologia infantil e
diferencial. (VYGOTSKY, 1983, p.37).7 Alfred Adler (1870-1937). Psiquiatra e psicólogo austríaco. Fundou a escola de psicologia individual
(psicologia da personalidade). (VYGOTSKY, 1983, p. 38); tradução nossa.8 Otto Rühle (1874 1943). Pedagogo alemão, social democrata...Vygotsky cita O. Rühle em
vinculação com a análise da formação do caráter como “um processo socialmente orientado.”
(VYGOTSKY, 1983, p. 56); tradução nossa.
34
se tratando do cego, quanto a visão, para os surdos, não apresentam particularidade
superior alguma, comparadas com o desenvolvimento normal destes sentidos. O
tato do cego não desempenha o mesmo papel que nas pessoas videntes; as
funções do tato com respeito ao organismo são outras: criam vínculos com o
ambiente, vínculos esses que pessoas videntes recorrem a outras vias. Daí a origem
de sua riqueza funcional, adquirida pela experiência e que erroneamente são
tomadas por inata, própria da estrutura orgânica. Quando os cegos apresentam um
desempenho melhor que o das pessoas normais, é um resultado de suas
circunstâncias e treinamentos especiais. Consideram ainda, que uma criança s.a.v.
pode ser equiparada a uma criança normal, pois conseguem alcançar seus
objetivos, porém percorrendo caminhos diferentes. A criança, do ponto de vista
físico, implica simplesmente na falta de um dos órgãos dos sentidos, um dos
analisadores, não existindo, portanto, diferença essencial entre a educação da
criança com “defeito” e a educação da criança normal.
Não é que o cego não vê a luz como um vidente com os olhos vendados,
mas sim que o cego não vê a luz, como o homem vidente não vê com a sua
mão. (VYGOTSKY, 1983, p. 79); tradução nossa.
O cego não percebe diretamente a escuridão nem se sente em absoluto
imerso na escuridão, não se esforça por libertar-se do véu sombrio, e em
geral não percebe de modo algum sua cegueira. A infinita escuridão não é
dada ao cego na experiência como vivência direta e o estado de sua psique
não sofre minimamente dor pelo motivo de que seus olhos não vêem.
(VYGOTSKY, 1983, p.78); tradução nossa.
Vygotsky acreditava que o potencial de desenvolvimento das crianças com
deficiências deveria ser encontrado nas áreas de funções psicológicas superiores9,
pois as funções inferiores, por dependerem diretamente de fatores orgânicos, eram
menos educáveis. As funções psicológicas superiores se desenvolvem pela
interação social com a utilização de meios culturais; portanto há a necessidade de
ajustar esses meios às diferentes necessidades das crianças com deficiência.
9 Funções psicológicas superiores ou processos mentais superiores: mecanismos psicológicos mais
sofisticados, mais complexos (Oliveira, 1991, p.26).
35
Buscando uma psicologia que não fosse somente do tipo experimental – que
deixava de abordar as funções psicológicas mais complexas do ser humano, ou
mentalista – que não chegava a produzir descrições desses processos complexos
aceitável para a ciência, Vygotsky recorreu a uma abordagem alternativa que
possibilitasse uma síntese10 entre essas duas idéias. Essa nova abordagem para a
psicologia fica explícita em três idéias centrais consideradas como os “pilares”
básicos do pensamento de Vygotsky:
• as funções psicológicas têm um suporte biológico, pois são produtos da
atividade cerebral;
• o funcionamento psicológico fundamenta-se nas relações sociais entre o
indivíduo e o mundo exterior, as quais se desenvolvem num processo
histórico;
• a relação homem/mundo é uma relação mediada por sistemas
simbólicos.
(OLIVEIRA, 1991, p.23).
Vygotsky inspirou-se em algumas idéias marxistas, destacando-se entre elas
a de que: o homem, por meio do uso de instrumentos, modifica a natureza, e ao
fazê-lo, acaba por modificar a si mesmo (Moysés, 1997). Ou seja, o instrumento
mediatizando a atividade laboral do homem, e o signo, instrumento psicológico,
mediatizando não somente o pensamento, como também o próprio processo social
humano:Não devemos esquecer que é preciso educar não a um cego, mas antes de
tudo a uma criança[...]. Educar o cego[...] significa educar a cegueira e
transformar a pedagogia da defectividade infantil em pedagogia defectiva.
(VYGOTSKY, 1983, p.81); tradução nossa.
Ainda segundo Vygotsky, entre o mundo real e o homem, existem
ferramentas que auxiliam a atividade humana e que podemos chamar de
mediadores. A mediação é um conceito central para o entendimento das
10 Síntese: “ A síntese de dois elementos não é a soma ou justaposição desses dois elementos, mas
a emergência de algo novo, anteriormente inexistente. Esse componente novo não estava presente
nos elementos iniciais: foi tornando possível pela interação entre esses elementos, num processo de
transformação que gera novos fenômenos. Assim, a abordagem que busca uma síntese para a
psicologia integra, numa mesma perspectiva, o homem enquanto corpo e mente, enquanto ser
biológico e ser social...” (Oliveira, 2003, p. 23).
36
concepções Vygotskianas sobre o funcionamento psicológico, tema este que
passaremos a abordar.
1.2.2 Mediação
Alguns conceitos constituirão parte integrante das futuras análises nesta
pesquisa: funções psicológicas superiores, mediação e instrumento. Vygotsky
interessou-se em compreender as funções psicológicas superiores, envolvendo o
controle consciente do comportamento, a ação intencional e a liberdade do indivíduo
em relação às características do momento e do espaço presente. Assim, mediação
“é o processo de intervenção de um elemento intermediário numa relação”
(OLIVEIRA, 2002, p.26), dessa forma a relação deixa de ser direta e passa a ser
mediada por esse elemento. Através de experimentos, Vygotsky e seus
colaboradores11 tentaram entender como o processo de mediação, por meio de
instrumentos e signos é fundamental para o desenvolvimento das funções
psicológicas superiores. “A mediação é um processo essencial para tornar possível
atividades psicológicas voluntárias, intencionais, controladas pelo próprio indivíduo”
(OLIVEIRA, 2003, p.33). Os processos mediados são construídos ao longo do
desenvolvimento do indivíduo, constituindo as funções psicológicas superiores.
Para Vygotsky (1983), o sistema de leitura e escrita inventado por Louis
Braille – sistema Braille12, contribui para um dos descobrimentos mais importantes
da vida da criança: que cada objeto tem um nome, ou seja, o meio de denominação
e comunicação. Neste sentido, o sistema Braille, além da função de “mediador” entre
a criança s.a.v. e o conhecimento, favorece sua integração ao meio e seu
desenvolvimento sócio-cultural.
11 Luria, Leontiev, Bozhovich, Levina, Morozova, Slavina e Zaporozhec.
12 “Constitui num sistema de escrita e leitura para cegos, desenhado em relevo de modo a ser
explorado de forma tátil; a sua unidade básica é constituída por uma célula Braille, formada pela
combinação de seis pontos em relevo colocados verticalmente três a três, num espaço determinado,
permitindo sessenta e três combinações diferentes dos pontos (vide Anexo A), dando lugar à
formação de todas as letras do alfabeto, sinais de pontuação, símbolos de Matemática, Física,
Química além das notas musicais” (GARCIA, LORA, 1988, p. 01).’
37
A experiência da escrita em Braille para o cego, apesar de ser diferente para
com o vidente em relação à sensibilidade tátil, determina, apalpando os pontos em
Braille, um som correspondente a cada letra, sendo que este “som ordena-se em
palavras e o “caos” dos pontos se organizam em uma leitura inteligível”.
(VYGOTSKY, 1983, p. 75); tradução nossa.
“Ler com as mãos, como fazem as crianças cegas, e ler com a vista são
processos psicológicos diferentes apesar de cumprirem a mesma função
cultural na conduta da criança e ter basicamente um mecanismo fisiológico
similar”. (VYGOTSKY, 1983, p. 28); tradução nossa.
“O importante não é que o cego veja as letras, mas também saiba ler. O
importante é que o cego leia exatamente do mesmo modo que lêem os
outros e que aprenda a fazê-lo igual de uma criança normal”.
(VYGOTSKY, 1983, p.62); tradução nossa.
É necessário que se criem instrumentos culturais especiais, adaptados à
estrutura psicológica dessa criança s.a.v., dominando as formas culturais gerais com
ajuda de procedimentos pedagógicos especiais. A capacidade de utilizar-se dos
instrumentos psicológicos está conservada nessas crianças, em seu
desenvolvimento cultural. A linguagem tem um papel fundamental no
desenvolvimento das crianças s.a.v., principalmente em relação à assimilação das
experiências sociais dos videntes. O cego pode valer-se dos olhos de outra pessoa,
da experiência alheia como ferramenta da visão. Essas experiências colaboram para
sua integração social. Para uma pessoa cega é importante saber que “atrás da
cortina da janela não se vê a rua e quando a luz de uma residência está acesa e as
janelas não estão fechadas quaisquer um vê.” (VYGOTSKY,1983, p.80); tradução
nossa.
Vygotsky faz uma distinção entre instrumentos e signos (OLIVEIRA, 2003).
Os instrumentos são elementos externos ao indivíduo, cuja função é controlar
processos da natureza e provocar mudanças nos objetos; agindo concretamente. Os
signos agem no campo psicológico. Em contraposição aos instrumentos, que são
voltados para fora do indivíduo, os signos, são orientados para o próprio sujeito. Eles
caminham ao encontro do controle das ações psicológicas; são ferramentas que
auxiliam nos processos psicológicos e nas tarefas que exigem atenção e memória. A
38
linguagem, os sistemas de contagem, as técnicas mnemônicas, os sistemas
simbólicos algébricos, os esquemas, diagramas, mapas, desenhos, são exemplos de
signos. O homem, ao usá-los, modifica as suas próprias funções psíquicas
superiores e, conseqüentemente, o nível de seu desenvolvimento cultural,
estabelecendo um elo entre as formas iniciais e tardias do desenvolvimento.
Segundo Oliveira (2003), Vygotsky e seus colaboradores realizaram diversos
experimentos para estudar a função dos signos na atividade psicológica.
Destacamos um experimento conduzido por Leontiev que visa fornecer elementos
para a compreensão do papel dos signos mediadores na atenção voluntária13 e na
memória. A estrutura da situação experimental tem como base um jogo infantil,
tradicional na Europa, onde uma pessoa faz perguntas, do tipo: “Qual a cor de um
tomate?” ou “Qual a cor de sua blusa?”, e as crianças respondem, sem usar o
nome de duas cores definidas no experimento como “palavras proibidas”.
Na primeira fase do experimento o pesquisador formulava as perguntas
oralmente, e a criança simplesmente as respondia, como no jogo original.
Sua resposta era considerada errada se falasse o nome das cores
proibidas. Numa segunda fase, a mesma brincadeira de pergunta-resposta
era feita, mas a criança recebia cartões coloridos que podia utilizar, se
quisesse, como auxiliares no jogo. Algumas crianças passaram, então, a
utilizar os cartões como suportes externos para sua atenção e memória:
separavam os cartões com as cores proibidas e, antes de responderem às
perguntas, olhavam para os cartões, como se estivessem “consultando”
uma fonte de informação. (OLIVEIRA, 2003, p. 32)
Na análise dos resultados desse experimento, foi constatado que as crianças
que utilizaram os cartões como marcas externas para a regulação de sua atividade
psicológica, cometeram menos erros na segunda fase, comparados à primeira, sem
os cartões; em outras palavras, a atividade psicológica foi favorecida pela utilização
de signos como “instrumentos psicológicos”. O uso de mediadores fez com que
aumentasse a capacidade de atenção e de memória e, sobretudo, permitiu maior
controle voluntário do sujeito sobre sua atividade.
13 Intencionais, controladas pelo próprio indivíduo.
39
Fazendo uma analogia entre o instrumento e os signos, Vygotsky afirma que
os signos, na sua forma mais elementar, podem aparecer como marcas externas
favorecendo um suporte concreto para a ação do homem no mundo. Oliveira (2003)
descreve como a utilização de marcas externas vai se transformando em processos
internos de mediação, segundo um mecanismo, que Vygotsky denominou processo
de internalização.
1.2.3 Internalização e o desenvolvimento de sistemas simbólicos
No desenvolvimento de cada indivíduo, ocorrem duas mudanças qualitativas:
o processo de internalização e o desenvolvimento de sistemas simbólicos. Ambos
são essenciais para o desenvolvimento dos processos mentais superiores e
mostram a importância das relações sociais entre os indivíduos na construção dos
processos psicológicos.
Retomando o experimento “das palavras proibidas” desenvolvido por
Leontiev (mencionado na seção 1.2.2), Oliveira (2003) relata que em um
determinado momento, as crianças foram capazes de, por conta própria, pensar nas
cores proibidas, sem necessitarem da existência física de um cartão (marca externa)
para lembrá-las disto, em outras palavras, “ao longo do processo de
desenvolvimento, o indivíduo deixa de necessitar de marcas externas e passa a
utilizar signos internos, ou seja, os objetos do mundo real são substituídos por
representações mentais” (OLIVEIRA, 2003, p.35).
Outro exemplo citado pela autora ilustra um conceito internalizado:
Quando um indivíduo aprende o significado de “cavalo”, este conceito,
internalizado pelo indivíduo e compartilhado pelos outros usuários da língua
portuguesa, passa a ser uma representação mental que serve como signo
mediador na sua compreensão do mundo. Se alguém lhe contar uma
história sobre um cavalo, o indivíduo não necessitará do contato direto com
este animal para lidar mentalmente com ele, para compreender a história. A
idéia de cavalo fará a mediação entre o cavalo real (que pode estar
ausente) e a atividade psicológica do sujeito (pensar sobre o cavalo,
imaginá-lo nas ações descritas na história etc.). (OLIVEIRA, 2003, p. 36)
Os signos internalizados têm a mesma função das marcas externas, ambos
agem no psicológico e não no objeto. Planejar, comparar, lembrar, fazer relações,
40
imaginar, são alguns exemplos de atividades que o homem é capaz de operar
mentalmente sobre o mundo, supondo, assim, um processo de representação
mental. Dessa forma, o homem não se prende às necessidades de interagir
concretamente com os objetos de seu pensamento. Quando trabalhamos com os
processos superiores, “as representações mentais da realidade exterior, são os
principais mediadores a serem considerados na relação do homem com o mundo”
(OLIVEIRA, 2003, p. 35). Ainda segundo Oliveira, ao remetermos à criação e ao uso
de instrumentos, estamos buscando a origem dessas representações. A linguagem
é considerada como um dos sistemas simbólicos básicos de todos os grupos
humanos. As formas de perceber e organizar o real são fundamentalmente
influenciadas pelo grupo cultural, onde o indivíduo se desenvolve e constitui os
signos que fazem a mediação entre si e o mundo; conseqüentemente, as atividades
externas e interpessoais transformam-se em atividades internas e intrapsicológicas.
Complementando Oliveira, Moysés (1997) expõe que, em conseqüência de
observações e experimentos, Vygotsky formulou a “lei geral do desenvolvimento
cultural”, deixando evidente que toda função psicológica interna, foi antes, uma
função social surgida em um processo de interação e que a passagem do plano
externo para o interno, transforma o próprio processo, mudando sua estrutura e
funções. A lei supõe que:
Qualquer função presente no desenvolvimento cultural da criança aparece
duas vezes, ou em dois planos distintos. Primeiro aparece no plano social, e
depois, então, no plano psicológico. Em princípio aparece entre as pessoas
e como uma categoria interpsicológica, para depois aparecer na criança,
como uma categoria intrapsicológica. Isso é válido para a atenção
voluntária, a memória lógica, a formação de conceitos e o desenvolvimento
da vontade. [...] a internalização transforma o próprio processo e muda sua
estrutura e funções. As relações sociais ou relações entre as pessoas estão
na origem de todas as funções psíquicas superiores.(MOYSÉS, 1997, p. 28)
A cada nova representação implica uma ampliação e enriquecimento psico-
intelectual e, no momento que a nova função psíquica começa a ser internalizada,
há uma interação com as outras já existentes na mente da criança, ocorrendo uma
coordenação entre a nova função e as demais. A “lei genética geral do
desenvolvimento cultural” norteou grande parte dos trabalhos da linha sócio-
histórica.
41
Optamos enfocar nosso estudo no domínio da Álgebra, considerada uma
área da Matemática onde os alunos enfrentam grande dificuldade em sua
apreensão. No Capítulo 2, versaremos sobre as peculiaridades da Álgebra sob o
ponto de vista dos Parâmetros Curriculares Nacionais e dos estudos de Küchemann
(1981), Booth (1988) e de Mason (1996).
42
CAPÍTULO 2O ensino e aprendizagem da Álgebra
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN, 1998),
a Álgebra possibilita ao aluno desenvolver e exercitar sua capacidade de abstração
e generalização, além de constituir uma poderosa ferramenta para resolver
problemas. O desempenho dos alunos nas avaliações como a do SARESP (Sistema
de Avaliação do Rendimento escolar do Estado de São Paulo) e SAEB (Sistema de
Avaliação da Educação Básica) confirmam que, mesmo os professores se
dedicando boa parte do período escolar com o ensino da Álgebra, este
procedimento não tem garantido o sucesso dos alunos nesta aprendizagem.
2.1 APREENSÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Pesquisas internacionais em Educação Matemática também confirmam a
dificuldade dos alunos em apropriar-se de noções algébricas. Nossa pesquisa é
influenciada em particular pelos trabalhos de D. Küchemann (1981), Lesley R. Booth
(1988) e John Mason (1996a) que, embora baseados em alunos videntes, trazem
contribuições que pretendemos aplicar aos dados coletados com alunos não
videntes.
2.1.1 Interpretações das letras
Uma dificuldade para os alunos é a interpretação das letras em expressões
algébricas. Na década de 70, Küchemann realizou uma investigação sobre esse
tema, como parte do projeto CSMS - “Concepts in Secondary Mathematics and
Science”1 (KÜCHEMANN, 1981)
O projeto CSMS foi baseado em escolas e no currículo escolar, para que os
tópicos investigados, fossem próximos da realidade do professor vivida em sala de 1 Conceitos em Matemática e Ciência Secundárias
43
aula. Para o estudo da Álgebra, foi realizado um teste com papel e lápis, constituído
por 51 itens e a participação de 3000 alunos, de 13 a 15 anos. Os itens incluíam
procedimentos de substituição, simplificação, construção, interpretação e solução de
equações.
Utilizando uma classificação desenvolvida originalmente por Collis (1975),
Küchemann identificou seis diferentes caminhos de interpretação e uso das letras
nas respostas dos alunos. Segue abaixo uma breve descrição de cada uma das
categorias:
• Letra como valorA letra recebe um valor numérico desde o início.
Ex: Simplifique: 7b + 5c – b
Os alunos atribuem para as letras um valor particular, por exemplo,
correspondente à posição que ocupa no alfabeto; b = 2 e c = 3.
• Letra não utilizadaA letra é ignorada ou sua existência é reconhecida sem dar a ela um
significado.
Ex: Simplifique: 2b + 5c – 3b
Os alunos respondem 4, ignorando as letras e operando apenas com os
números presentes na expressão.
• Letra como objetoA letra é considerada como uma abreviação de um objeto ou como um
objeto concreto em si mesma.
Ex: Simplifique: 9m + 3b – 5m
Os alunos consideram, por exemplo, como m sendo maçãs e b, bananas.
• Letra como uma incógnita específicaA letra é considerada como um número específico, mas desconhecido,
podendo ser operada diretamente.
Ex: O que você pode dizer sobre m, se 3m - 5 = 13
Os alunos encontram o valor de m resolvendo a equação ou por tentativa
e erro.
44
• Letra como um número generalizadoA letra é vista como representando, ou pelo menos sendo capaz de
assumir vários valores, ao invés de somente um.
Ex: Parte desta figura não está desenhada. Há n lados, cada um com
comprimento 3. Escreva a expressão algébrica que representa o
comprimento de n lados (perímetro).
3 3 3 3
3 3 3
Através da lei de formação f(n) = 3n, o aluno verifica que o perímetro
varia em função do número de lados.
• Letra como variávelA letra é vista como representando um domínio de valores não
específicos e uma relação sistemática parece existir entre os dois
conjuntos de valores.
Ex 1. Qual expressão é maior 3n ou n + 3?
Atribuindo valores para n, o aluno compara as duas expressões; os dois
conjuntos de valores, um representado por 3n e o outro por n + 3.
Ex 2. Em quais casos é certa a seguinte igualdade:
A + B + C = A + D + C ?
( ) sempre ( ) às vezes ( ) nunca
Os alunos verificam que apesar das letras B e D serem diferentes, num
determinado momento elas podem assumir os mesmos valores.
Küchemann organizou as respostas em quatro grupos (Níveis 1 a 4). Cada
grupo refere-se às dificuldades encontradas pelos alunos de acordo com:
• a complexidade estrutural dos itens - critério para construir e analisar
um item do teste. Citamos como exemplo três critérios utilizados para
determinar a facilidade do item, ou seja, o número de variáveis que o
45
envolve, a forma de sua resposta (um ou mais termos) e a grandeza dos
números (pequenos ou grandes).
• a natureza de seus elementos - o significado que pode ser concedido
às letras (a interpretação das letras pelos alunos).
Nível 1: Alunos neste nível podem resolver itens com uma estrutura simples,
cujas soluções podem ser obtidas usando “letra como valor”, “letra como objeto” ou
“letra não utilizada”.
Nível 2: A nítida diferença entre os itens deste nível e os do Nível 1 é o
aumento da complexidade. Os alunos neste nível ainda não são capazes de utilizar
“letra como uma incógnita específica”, “letra como um número generalizado” ou “letra
como variável”.
Nível 3: O maior avanço alcançado pelos alunos neste nível é o de que eles
utilizem “letra como incógnita específica”, embora em itens de estrutura simples. Os
alunos aceitam a “falta do fechamento”, e são capazes de considerar respostas
como g + 7, 5m + 15, p = 4n como significativa, ainda que as letras representem
números e não objetos.
Nível 4: Os alunos neste nível são capazes de resolver itens que requeiram
“letra como uma incógnita específica” e que tenham uma estrutura complexa. Eles
também resolvem problemas que envolvem “letra como um número generalizado” ou
“letra como variável”.
Segundo Küchemann, poucos alunos de 13 a 15 anos foram capazes de
considerar as letras como números generalizados, um número ainda menor foi
capaz de interpretar letras como variáveis - (2% dos de 13 anos, 6% dos de 14 anos
e 9% dos de 15 anos - Nível 4); comparando “letra como uma incógnita específica” e
“letra como um número generalizado”, um maior número de alunos interpretou as
letras como “letra como uma incógnita específica” ao invés de “letra como um
número generalizado”. No entanto, a maioria dos alunos (73% dos de 13 anos, 59%
dos de 14 anos e 53% dos de 15), tratou as letras como “letra como objeto” ou “letra
não utilizada", em outras palavras, esses alunos estavam agindo nos Níveis 1 e 2
(vide Gráfico 2.1). No Gráfico 2.2 apresentamos a porcentagem acumulativa dos
alunos em cada nível da Álgebra.
46
Notamos nos gráficos, que a maioria dos alunos pertence aos Níveis 1 e 2,
sendo que eles ainda não interpretam as letras como “letra como uma incógnita
específica”, “letra como um número generalizado” ou “letra como variável”.
GRÁFICO 2.1 - INTERPRETAÇÃO DAS LETRAS PELOS ALUNOS: “LETRA COMOOBJETO” OU “LETRA NÃO UTILIZADA” – NÍVEIS 1 E 2
Fonte: KIERAN (1992, p. 13)
GRÁFICO 2.2 - PORCENTAGEM ACUMULATIVA DOS ALUNOS EM CADA NÍVEL DA
ÁLGEBRA
Fonte: KÜCHEMANN (1981, p. 116)
Segundo Küchemann, parece sensato organizar as aulas para alunos nos
níveis iniciais (1 e 2) de forma que os significados das letras possam ser facilmente
entendidos por eles. Entretanto, como o autor aponta, não é uma tarefa fácil de
0%
20%
40%
60%
80%
13 anos 14 anos 15anos
Idade
13 anos14 anos15anos
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 ou acima 2 ou acima 3 ou acima 4
Níveis
13 anos14 anos15 anos
47
entender, por exemplo, a diferença entre o uso de letras como objetos e o uso de
letras para representar quantidade de objetos. São nesses conflitos que o aluno
passa a sentir a necessidade de organizar seus pensamentos e, é desse modo, que
ele passa para um nível mais elevado. Nas considerações finais, Küchemann sugere
um tipo de atividade que pode facilitar a passagem para o nível mais elevado. A
Figura 2.1 mostra um exemplo deste tipo de atividade.
A seqüência é formada por três figuras de mesmo padrão e constituída por
tiras brancas e pretas onde o aluno terá que observar o padrão e responder qual
seria a quantidade necessária de tiras brancas para 10, 20 ou 100 tiras pretas.
FIGURA 2.1 - SEQÜÊNCIA DE TIRAS BRANCAS E PRETAS
Fonte: KÜCHEMANN (1981, p. 118)
Küchemann acrescenta que o ponto forte de cada problema é que as
configurações são facilmente definidas e reconhecidas (quando os números são
pequenos), até que uma base firme exista e gradualmente, o trabalho alcance um
ponto onde a construção torna-se tediosa e insegura. Ao mesmo tempo, a relação
numérica entre as tiras está longe do óbvio e pode ser resultado de diferentes
caminhos (acrescentar 3/2 e multiplicar por 2 ou dobrar e então adicionar 3 ou
adicionar 1, dobrar e adicionar 1). A tarefa de encontrar a relação entre as tiras, de
representá-la economicamente (de forma simplificada) e única, e de comparar as
representações equivalentes, fornece ao aluno um desafio que na opinião de
Küchemann, vale a pena.
48
2.1.2 Identificação dos tipos de erros (algébricos) cometidos pelosalunos
Duas estratégias foram utilizadas por Booth (1988) para entender as
dificuldades dos alunos em passar para os níveis mais elevados (3 e 4): identificar
os tipos de erros que alunos de treze a dezesseis anos normalmente cometem; e
também investigar as razões desses erros. Ela verificou que os mesmos erros ficam
reaparecendo em todos as séries sugerindo que estes erros podiam ter origem nas
idéias dos alunos sobre quatro aspectos:
a) o foco da atividade algébrica e a natureza das respostas;
b) o uso da notação e da convenção;
c) o significado das letras e das variáveis;
d) os tipos de relações e métodos usados em aritmética.
a) O foco da atividade algébrica e a natureza das respostas.
O foco, na Aritmética, é encontrar uma resposta numérica particular,
enquanto na Álgebra, é estabelecer procedimentos e relações expressas numa
forma geral, simplificada e aplicá-las na resolução de situações-problema. Grande
parte dos alunos, não percebe isso e continua com a idéia de que deve dar uma
resposta numérica ou com um único termo. Um erro freqüente entre os alunos é
simplificar expressões como 3b + 4c, para 7bc. Collis, citado por Booth (1988),
justifica que isto pode ocorrer porque os alunos têm dificuldade em aceitar a “falta de
fechamento”.
b) O uso da notação e convenção
Na Aritmética, a interpretação dos símbolos de adição “+” e de igualdade “=”
é geralmente entendida pelos alunos como efetuar ações; de forma que o símbolo
da adição significa efetivamente executar a operação e o símbolo da igualdade
fornecer a resposta. A idéia de que o símbolo de igualdade pode ser visto como um
indicador de uma relação de equivalência pode não ser percebida facilmente pelo
aluno. Conseqüentemente, uma mudança da Aritmética para a Álgebra requer, além
de uma mudança na interpretação representacional, uma possível mudança na visão
do símbolo de igualdade “=” e de toda proposta de atividade matemática, a qual não
está mais procurando uma resposta numérica específica.
49
Uma outra possível dificuldade relaciona as diferentes maneiras de
interpretação de simbolismos nos campos da Aritmética e da Álgebra. Na Aritmética,
frações mistas como 21 2 ,
413 devem ser interpretadas como
41 3 ,
21 2 ++ ; em
contraposição, os elementos da expressão algébrica 2a, devem ser multiplicados “2
x a” e não somados “2 + a”.
Diante destes fatos, Booth apresenta três sugestões:
1ª sugestão: É relevante que os alunos saibam que “2 + 3” não representa
somente uma instrução (somar 2 com 3), mas também o resultado desses números.
Isto pode ser feito lendo-se a expressão “o número que é 3 mais que 2”, e não
apenas como “2 mais 3” ou “ some 2 com 3”. Da mesma forma, é preciso acentuar o
valor bidirecional do símbolo de igualdade, lendo adequadamente “ é igual a”, em
vez de “2 mais 3 “dá” 5” e sugerindo para que os alunos escrevam expressões da
forma 5 = 2 + 3 (bem como: 1 + 4 = 2 + 3 ou 10 : 2 = 2 + 3 ...).
2ª sugestão: A forte tendência dos alunos associarem expressões
algébricas como soma em vez de produto (ou como representação de valor
posicional), leva a pensar que a introdução da escrita simplificada deveria ser
retardada e que o produto, na fase inicial da Álgebra, deveria ser escrito na forma
completa (n x 3 ou 3 x n), por um período considerável. Nestes termos, Booth
recomenda que, mesmo após introduzir a forma abreviada, escreva-se o produto
também na forma extensa, pelo menos no início.
3ª sugestão: Em se tratando da expressão 2m + 5b, o enfoque “2 maçãs
mais 5 bananas” pode não ser conveniente, pois além de favorecer uma visão
errada do significado das letras, os alunos justificam sua simplificação 7mb (2
maçãs mais 5 bananas é igual a 7 maçãs-e-bananas) ou a não possibilidade de
simplificação – utilizando “letra como objeto”.
c) O significado das letras e das variáveis
Além da tendência citada por Küchemann (1983) dos alunos considerarem a
expressão 3b como três bananas e não 3 vezes o numero de bananas, Booth (1988)
discute uma outra situação em que a designação da variável com a inicial do nome
50
do objeto que varia, pode interferir na construção de interpretações algébricas. Por
exemplo, na expressão 3m, m pode representar na Aritmética metros, “3 metros”.
Booth também reforça o resultado de Küchemann indicando que há da
mesma forma uma tendência por parte dos alunos em considerar a “letra como uma
incógnita específica”, como 4 + a = 10 , onde “a” assume um único valor (a = 6) e
não “letra como variável” ou “letra como um número generalizado” como 9x – 5 = y
onde x e y são números reais, com a única limitação de que um deles é nove vezes
um outro menos cinco (relação que existe entre os números que são soluções da
equação como: (2,13);(1,4);(3,22) ...)
Para muitos alunos as letras diferentes significam valores diferentes. Neste
caso D + E + F nunca poderia ser igual a X + Y + Z. Os alunos não dão conta de que
as letras representam números que variam e que, em algum momento, podem
assumir o mesmo valor.
d) Os tipos de relações e métodos usados em aritmética.
(...) a Álgebra não é isolada da Aritmética; na verdade é, em muitos
aspectos, a Aritmética generalizada. E nisso está a fonte das dificuldades.
Para compreender a generalização das relações e procedimentos
aritméticos é preciso primeiro, que tais relações e procedimentos sejam
apreendidos dentro do contexto aritmético. Se não forem reconhecidos ou
se os alunos tiverem concepções erradas a respeito deles, seu desempenho
em Álgebra poderá ser afetado. Neste caso, as dificuldades que o aluno tem
em Álgebra, não são tanto de Álgebra propriamente dita, mas, de problemas
em Aritmética que não foram corrigidos. (BOOTH, 1988, p. 32-33)
Um aspecto observado no estudo de Kieran, citado por Booth (1988, p. 33),
relacionado com “As convenções aritméticas malentendidas”, se refere ao uso dos
parênteses. Por exemplo, em uma das suas entrevistas, um aluno explicava a
diferença entre escrever: “18 + 27 x 19 e 18 x 27 + 19”. Afirmou sobre a primeira
expressão: “soma-se primeiro” e na segunda: “multiplica-se primeiro”. Geralmente os
alunos, por pensarem que a seqüência das operações escritas é que determina a
ordem em que os cálculos devam ser efetuados, não fazem uso dos parênteses,
influenciando desta forma, em seu desempenho. Uma outra visão relacionada com a
ordem dos cálculos é o contexto a que está ligada a expressão escrita, por exemplo:
51
“O que você pode escrever como área deste retângulo?” (Booth, 1988, p. 33) (vide
Figura 2.2)
O aluno entrevistado respondeu ao item escrevendo: “p x a + m”. Segundo
Booth, a necessidade de parênteses foi ignorada pelo aluno e, conseqüentemente,
as expressões algébricas foram escritas incorretamente podendo até acarretar
outros erros no momento em que a expressão é simplificada (por exemplo, p x a + m
poderá ser reescrita erradamente nesse contexto, como pa + m). Neste caso o erro
é fruto mais de uma visão incorreta da representação aritmética do que de
concepções algébricas erradas.
Segundo Kieran (1992), a invenção de Viète2 de uma notação extremamente
condensada (a letra), permitiu à Álgebra ser mais do que meramente uma
ferramenta processual3. Ela permitiu às formas simbólicas serem usadas
estruturalmente4 como objetos. Na expressão algébrica 5a + 2b, substituindo “a” e
“b” por 2 e 3, respectivamente, obteremos 19; na resolução de 3x + 7 = 22,
substituindo “x” por alguns valores, encontraremos o valor correto x = 5. Em ambos
os exemplos, apesar de aparentemente algébricos, os objetos a serem trabalhados
não são expressões algébricas já que produzem um resultado numérico. Estes
exemplos ilustram uma perspectiva processual em Álgebra. Efetuando a
simplificação da expressão 3c + 5d + 6c, resultaria na expressão 9c + 5d; uma
2 François Viète: Principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da Matemática. Viveude 1540 a 1603. Ficou conhecido como o pai da Álgebra.3 Processual: refere-se a operações aritméticas realizadas sobre números para produzir números.4O termo “estruturalmente” refere-se a um conjunto diferente de operações que são levadas a efeito,não sobre números, mas sobre expressões algébricas.
.
p
a m
Fonte: Booth (1988, p.33)
FIGURA 2.2 - EXEMPLO DE RELAÇÕES E MÉTODOS USADOS EM ARITMÉTICA
52
equação do tipo 9x + 2 – x = 4x – 6 + 2x poderia ser simplificada resultando em 2x =
-8. Nestes dois exemplos, os objetos que são trabalhados e os seus resultados, são
expressões algébricas. As operações que são realizadas, não são computacionais.
Estes são exemplos de uma perspectiva estrutural.
2.2 IMPACTO DA PESQUISA NO CURRÍCULO DA ÁLGEBRA
Os PCN, cientes de pesquisas nacionais e internacionais que constatam
dificuldade na aprendizagem da Álgebra pelos alunos, sugerem que o ensino de
Álgebra deve ser repensado em relação ao ensino tradicional, o qual enfatiza a
manipulação de regras sem sentido e exercícios de repetição mecânica.
[...] não basta revermos a forma ou metodologia de ensino, se mantivermos
o conhecimento matemático restrito à informação, com as definições e os
exemplos, assim como a exercitação, ou seja, exercícios de aplicação ou
fixação. Pois, se os conceitos são apresentados de forma fragmentada,
mesmo que de forma completa e aprofundada, nada garante que o aluno
estabeleça alguma significação para as idéias isoladas e desconectadas
umas das outras. Acredita-se que o aluno sozinho seja capaz de construir
as múltiplas relações entre os conceitos e formas de raciocínio envolvidas
nos diversos conteúdos; no entanto, o fracasso escolar e as dificuldades
dos alunos frente à Matemática mostram claramente que isso não é
verdade.
(BRASIL, 2000, p. 43)
Nesse sentido, os PCN sugerem uma nova abordagem para o ensino da
Álgebra. Na seção seguinte, apresentaremos as propostas do Ensino Fundamental e
do Ensino Médio.
2.3 AS PROPOSTAS NOS PARÂMETROS CURRICULARESNACIONAIS - MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL
A organização dos conteúdos propostos para o ensino de Matemática nos
PCN são divididos em quatro blocos:
• Números e Operações;
• Espaço e Forma;
• Grandezas e Medidas;
53
• Tratamento da informação.
A Álgebra, objeto de nosso estudo, pertence ao primeiro bloco - “Números e
Operações”, e tem como proposta que os professores trabalhem situações que
levem os alunos a construírem noções algébricas pela observação de regularidades
em tabelas e gráficos e estabelecendo relações. Segundo os PCN, isto deveria
acontecer desde os ciclos5 iniciais - 1º e 2º ciclos (1ª a 4ª série do ensino
fundamental), de modo informal, através de um trabalho articulado com a Aritmética.
O objetivo é que o aluno adquira base para uma aprendizagem algébrica mais
consistente. “Existe um razoável consenso de que para garantir o desenvolvimento
do pensamento algébrico o aluno deve estar necessariamente engajado em
atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra.” (BRASIL,
1998, p. 116)
Diante disso, os PCN apresentam um quadro sintetizador (vide Quadro 2.1)
das diferentes interpretações da álgebra escolar e as funções distintas das letras:
QUADRO 2.1 - INTERPRETAÇÃO DA ÁLGEBRA ESCOLAR E AS DIFERENTESFUNÇÕES DAS LETRAS
Fonte: BRASIL, 1998, p.116
Os PCN julgam importante trabalhar com conceitos elementares de Álgebra
logo nas séries iniciais, “pré-álgebra”, os mesmos devem ser retomados no terceiro
ciclo (5ª e 6ª séries), com atividades que articulem as quatro dimensões, 5 Ciclos: A organização em ciclos é uma tentativa de superar a segmentação excessiva produzidapelo regime seriado e de buscar princípios de ordenação que possibilitem maior integração doconhecimento. A adoção de ciclos de dois anos, pela flexibilidade que permite, possibilita trabalharmelhor com as diferenças e está plenamente coerente com os fundamentos psicopedagógicos, com aconcepção de conhecimento e da função da escola.
Dimensõesda Álgebra
Uso das letras
Conteúdos(conceitos eprocedimentos)
Propriedades dasoperações
generalizaçõesde padrões aritméticos
Letras comogeneralizações
do modeloaritmético
Aritmética Generalizada
Variação degrandezas
Letras comovariáveis para
expressar relações e funções
Funcional
Resoluçãode equações
Letras comoincógnitas
Equações
Cálculo algébricoObtenção de expressões
equivalentes
Letras comosímboloabstrato
Estrutural
Álgebra no Ensino Fundamental
54
possibilitando a compreensão de conceitos e procedimentos algébricos, sua
ampliação e consolidação.
Assim, no terceiro ciclo (5ª e 6ª séries) deve-se dar continuidade ao
processo de consolidação dos conhecimentos matemáticos adquiridos pelos alunos
nos ciclos 1 e 2, diagnosticando o domínio que cada aluno tem sobre os diferentes
conteúdos que serão explorados, identificando suas possibilidades e dificuldades
diante da aprendizagem destes conteúdos.
Aproveitando o espírito questionador peculiar nesta idade (10 - 11 anos), os
PCN sugerem que os alunos busquem explicações e as funções para os objetos
trabalhados, e discutam questões relativas à utilidade da Matemática, como ela foi
construída e como pode contribuir para a solução de problemas do cotidiano ou
ligados à investigação científica. Uma das observações feitas neste ciclo é a
dificuldade dos alunos em exprimir suas idéias, usando adequadamente a linguagem
matemática.
Desta forma, uma das propostas dos PCN que vai ao encontro de nosso
estudo, é que os alunos descubram regularidades e propriedades numéricas,
geométricas e métricas, desenvolvendo o potencial de abstração e admitam as
diferentes soluções apresentadas pelos colegas:
É importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar
centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na
resolução de problemas, em que o aluno desenvolve processos importantes
como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas para
a memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que
privilegie uma formalização precoce dos conceitos.
(BRASIL, 1998, p. 63)
Os objetivos contidos nos PCN relacionados com nosso estudo fazem parte:
Do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de
aprendizagem que levem o aluno a:
• reconhecer que representações algébricas permitem expressar
generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir
situações-problema e favorecer as possíveis soluções;
55
• traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem
algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificar os
significados das letras;
• utilizar os conhecimentos sobre operações numéricas e suas
propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico.
(BRASIL, 1998, p. 64)
Apesar da pretensão de que os alunos nesse ciclo compreendam a noção
de variável, reconheçam a expressão algébrica como uma forma de traduzir a
relação existente entre a variação de duas grandezas e apresentem diversas formas
de resolver uma equação envolvendo letra como incógnita, as avaliações e
pesquisas aqui mencionadas, apontam que cerca de dois terços dos alunos, mesmo
em idade avançada (13-16 anos), ainda não reconhecem as diferentes
interpretações que uma letra pode assumir em expressões algébricas.
Em se tratando do ensino e aprendizagem da Matemática no quarto ciclo (7ª
e 8ª série), há uma maior preocupação de que a aprendizagem da Matemática
esteja ancorada em contextos sociais e de mostrar as relações entre o
conhecimento matemático e a realidade – “[...]a Matemática é parte do saber
científico e tem um papel central na cultura moderna[..].”. No entanto, a
aprendizagem da Álgebra tem sido abordada de forma mecânica, distanciando-se
ainda mais das situações-problema do cotidiano. Um dos objetivos em relação ao
ensino da Matemática neste ciclo visa ao desenvolvimento:
Do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de
aprendizagem que levem o aluno a:
• Produzir e interpretar diferentes escritas algébricas, identificando as
equações, inequações e sistemas;
• Resolver situações-problema por meio de equações e inequações do
primeiro grau, compreendendo os procedimentos envolvidos;
• Observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem
a relação de dependência entre variáveis.
(BRASIL, 1998, p. 81)
O trabalho com situações-problema diversificadas, segundo os PCN, permite
ao aluno reconhecer as diferentes funções da Álgebra, como resolver problemas
56
considerados difíceis do ponto de vista da Aritmética, modelizar, generalizar,
demonstrar propriedades e fórmulas, e estabelecer relações entre grandezas.
Os PCN apresentam como sugestão, um exemplo de “representações
geométricas” (identificadas em nosso estudo como padrões de “representações
figurativas”), onde o aluno determinará o número de quadradinhos brancos da
n-ésima figura, por diferentes caminhos, para depois constatar a equivalência das
expressões encontradas (n2 – n e n x (n – 1) - (vide Figura 2.3).
FIGURA 2.3 - INVESTIGAÇÃO DE PADRÕES EM REMPRESENTAÇÕES FIGURATIVAS
Dando continuidade ao desenvolvimento matemático do Ensino
Fundamental, apresentaremos as propostas a serem desenvolvidas no Ensino
Médio.
2.4 AS PROPOSTAS NOS PARÂMETROS CURRICULARESNACIONAIS DO ENSINO MÉDIO6
A idéia central nos PCN para este nível é estabelecer o ensino médio como
etapa conclusiva da educação básica de toda a população estudantil, preparando-a
para a vida, qualificando-a para a cidadania e capacitando-a para o aprendizado
permanente, seja para um prosseguimento dos estudos ou diretamente no mundo
6 PCN + Ensino Médio – Orientações Complementares aos Paramentos Curriculares Nacionais –2002. “Reformulação do ensino médio no Brasil, estabelecida pela Lei de Diretrizes e Bases daEducação Nacional (LDBEN) de 1996, regulamentada em 1998 pelas Diretrizes do Conselho Nacionalde Educação e pelos Parâmetros Curriculares Nacionais, procurou atender a uma reconhecidanecessidade de atualização da educação brasileira, tanto para impulsionar uma democratização sociale cultural mais efetiva pela ampliação da parcela da juventude brasileira que completa a educaçãobásica, como para responder a desafios impostos por processos globais, que têm excluído da vidaeconômica os trabalhadores não-qualificados, por conta da formação exigida de todos os partícipes dosistema de produção e de serviços” (PCN + Ensino Médio, 2002, p. 7-8).
1 2 3 4
Fonte: BRASIL, 1998, p.117.
57
do trabalho - e não mais somente uma preparação para outra etapa escolar - “pré-
universitária” ou para o exercício profissional - “profissionalizante”.
O Ensino Médio apresenta três áreas que organizam e interligam disciplinas:
• Ciências da Natureza e Matemática;
• Ciências Humanas;
• Linguagem e Códigos.
Os conjuntos de competências envolvidos no aprendizado da área das
Ciências da Natureza e Matemática referem-se à:
• Representação e Comunicação;
• Investigação e Compreensão;
• Contextualização sócio-cultural.
Em relação à competência - “Representação e Comunicação”, que envolve a
leitura, a interpretação e a produção de textos nas diversas linguagens e formas
textuais, características dessa área do conhecimento, podemos citar:
• Reconhecer e utilizar adequadamente, na forma oral e escrita,
símbolos, códigos e nomenclatura da linguagem científica.
• Ler, articular e interpretar símbolos e códigos em diferentes linguagem e
representações: sentenças, equações, esquemas, diagramas, tabelas,
gráficos e representações geométricas.
• Consultar, analisar e interpretar textos e comunicações de ciências e
tecnologia veiculados em diferentes meios.
• Elaborar comunicações orais ou escritas para relatar, analisar e
sistematizar eventos, fenômenos, experimentos, questões, entrevistas,
visitas, correspondências.
• Analisar, argumentar e posicionar-se criticamente em relação a temas
de ciência e tecnologia.
(BRASIL, 2002, p. 114-115)
Na “Investigação e Compreensão”, a competência é marcada pela
capacidade de enfrentamento e resolução de situações-problema, utilização dos
conceitos e procedimentos peculiares do fazer e pensar das ciências. Neste
contexto, temos algumas habilidades envolvidas como:
• “Identificar em dada situação-problema as informações ou variáveis
relevantes e elaborar possíveis estratégias para resolvê-la.
58
• Identificar fenômenos naturais ou grandezas em dado domínio do
conhecimento científico, estabelecer relações, identificar regularidades,
invariantes e transformações.”
(BRASIL, 2002, p.115 - 116)
A “Contextualização sócio-cultural” abrange competências de inserção da
ciência e de suas tecnologias em um processo histórico, social e cultural, e o
reconhecimento e discussão de aspectos práticos e éticos da ciência no mundo
contemporâneo.
Os conteúdos a serem explorados, devem ser relativos à:
• Tema 1: Álgebra: números e funções;
• Tema 2: Geometria e medidas;
• Tema 3: Análise de dados.
O Tema 1, abordado em nosso estudo, tem como procedimentos básicos,
calcular, resolver, identificar variáveis, traçar e interpretar gráficos e resolver
equações de acordo com as propriedades das operações no conjunto dos números
reais e as operações válidas para o cálculo algébrico. Este tema possui fortemente o
caráter de notações (números e letras) e regras (as propriedades das operações),
formando os termos desta linguagem que são as expressões que, por sua vez,
compõem as igualdades e desigualdades.
Em relação às competências a serem desenvolvidas nesse tema, deve-se
permitir ao aluno “usar e interpretar modelos, perceber o sentido de transformações,
buscar regularidades, conhecer o desenvolvimento histórico e tecnológico de parte
de nossa cultura e adquirir uma visão sistematizada de parte do conhecimento
matemático” (BRASIL, 2002, p.122).
Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e
relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de
competências e habilidades que são especialmente formadoras, à medida
que instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o
para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens
específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar
decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua
formação.
(BRASIL, 2002, p.111)
59
Especificamente, um trabalho envolvendo seqüências, além de estar
conectado à idéia de funções, permite a exploração de regularidades, mostra aos
alunos quais as propriedades decorrentes dessas seqüências e, finalmente, chega
na sua lei de formação:[...]aprender Matemática no Ensino Médio deve ser mais do que memorizar
resultados dessa ciência e que a aquisição do conhecimento matemático
deve estar vinculada ao domínio de um saber fazer Matemática e de um
saber pensar matemático. Saber aprender é a condição básica para
prosseguir aperfeiçoando-se ao longo da vida.
(BRASIL, 2000, p. 41)
De acordo com as propostas acima mencionadas, optamos trabalhar em
nosso estudo com generalizações de padrões figurativos – mencionada tanto no
trabalho de Küchemann quanto nos PCN do Ensino Fundamental e Médio.
2.5 GENERALIZAÇÃO
Após uma vasta experiência com estudos voltados à generalização, Mason
(1996a) traz suas reflexões sobre: a relevância da generalidade no entendimento da
Álgebra, as dificuldades dos alunos nesta aprendizagem e, através de vários
exemplos, os possíveis caminhos percorridos pelos alunos até chegaram à
expressão de generalização.
2.5.1 A Espiral de Mason
Mason (1996a) acredita que, se os alunos em sala de aula tivessem
consciência da generalidade, a Álgebra não seria mais um problema para a maioria
deles. A forma em que a Álgebra é interpretada nas escolas é como se fosse um
assunto “morto”, sem sentido, “como conjugar verbos em Latim ou memorizar as
partes de uma flor”. Nos estudos de Mason são identificadas quatro principais raízes
da Álgebra:
• “Expressing Generality” (Expressando Generalidade): é de extrema
importância, no entanto, muitas vezes é deixada de lado ou mal utilizada;
• “Possibilities and Constraints” (supporting awareness of variable) -
(Possibilidades e Limitações): favorece a consciência de variável;
60
• “Rearranging and Manipulating” (Rearranjo e Manipulação): permite
observar porque expressões aparentemente diferentes que representam o
mesmo objeto, resultam de fato, na mesma resposta;
• “Generalized Arithmetic” (Aritmética Generalizada): as letras substituem
números para expressar as regras da Aritmética.
Para o referido autor, a generalização é considerada um dos processos
essenciais da atividade matemática - “A generalização é o coração da matemática e
aparece em muitas formas” - (Mason,1996a, p. 65) e, ao contrário do que muitos
pensam, não é apenas o final das investigações mais ainda esclarece e amplia as
perspectivas ante o pensamento algébrico. “É natural, endêmica e presente em
qualquer lugar”. (ibid, p.66).
Mason defende a idéia de que os professores, em se tratando de
generalização, ao mudarem a forma de agir e de pensar perante os alunos, estarão
contribuindo para uma mudança cultural, tornando os pensamentos e expressões
matemáticas tão naturais quanto a fala e a audição, nas suas línguas nativas. O
trabalho com padrões numéricos envolvendo suas respectivas expressões de
generalização fornece experiências fundamentais no processo de ensino-
aprendizagem da Álgebra, considerando-as como sendo o melhor momento do
processo de generalização.
De acordo com Mason, uma forma de desenvolver a percepção de
generalidade é sensibilizar pela distinção entre “olhar através” e “olhar para” -
“trabalhar sobre” e “trabalhar através”; ou seja, ver a generalidade através do
particular e ver o particular no geral. Este processo de desenvolvimento pode ser
descrito numa espiral, a iniciar com uma “manipulação confiante”, passando pelo
entendimento e articulação do sentido, até que a articulação torne-se uma
manipulação confiante, reiniciando-se assim, o processo. Mason (1996b) acrescenta
que a espiral de desenvolvimento não necessariamente deve ter um percurso linear:
“cada manipulação, sentido e articulação informa e é informado por outras” (Mason,
1996b, p. 17); tradução nossa.
A hélice espiral tenta levar em conta o movimento a partir do confiantemente
manipulável ao crescimento da percepção de relação ou padrão, e a
expressão desse padrão com facilidade crescente, que finalmente inspira
61
confiança suficiente para que essas articulações possam por elas mesmas,
se tornarem fontes de confiança e daí, componentes para mais padrões e
relações. A noção de hélice tenta conectar estados similares mais ainda
diferentes, enquanto sugere que a manipulação muda de acordo com a
percepção estrutural, que tentativas de articulação podem causar re-
pensamento e re-manipulação, mais isso através de um processo fluido,
quase simbiótico (associação e entendimento “íntimo”), aumentando a
facilidade e desenvolvimento da confiança. (Vide Figura 2.4).
(MASON,1996a, p. 82-83); tradução nossa.
FIGURA 2.4 - FASES DO DESENVOLVIMENTO EM ESPIRAL DE JOHN MASON
- Manipulation (Manipulação): fornece a base para encontrar os padrões, as
relações, as generalizações, etc. A manipulação pode ser mental, física ou de
objetos simbólicos.
- Getting a sense of (Constituindo um sentido para): o esforço para trazer os
padrões, as relações e as generalizações para a articulação é um processo
contínuo. Enquanto este processo se desenvolve ocorre mudanças no “sentido”.
Fonte: Expressing Generality and Roots of Algebra, Mason, 1996a, p. 82
62
- Articulation (Articulação): ao se tornar articulado, sua relação com as idéias
muda; sua experiência atual muda a maneira de ver as coisas, alterando a forma
e a estrutura da sua atenção; o que era anteriormente abstrato, torna-se cada
vez mais uma manipulação confiável.
No livro “Supporting Primary Mathematics: Álgebra” (Mason,1991), o autor
expõe diferentes formas de pensar na obtenção de expressões equivalentes.
Extraímos uma das atividades:
AATTIIVVIIDDAADDEE::
“Diga para você mesma (ou para um colega) o que você vê no desenho da
seqüência. Então formule uma regra em palavras para estender a seqüência de
figuras indefinidamente. Trabalhe nisso, antes de continuar a ler. Quantos
quadrados serão usados para fazer a 7ª, 37ª e 137ª figura?”
Algumas pessoas vêem “T”s em pé, de ponta cabeça, ou cruzes sem um
“braço”. Existem vários modos de formular uma regra. Apresentaremos quatro
maneiras diferentes:
A)
“Em cada estágio acrescenta-se mais um quadrado para cada braço”
1; 1 + 3; 1 + 3 + 3... a 7ª figura necessitaria de 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 quadrados.
63
B)
“Em cada estágio, há um quadrado central com três braços de igual
comprimento, acrescidos de um quadrado em cada braço”:
1; 1 + 3 x 1; 1 + 3 x 2, a 7ª figura necessitaria de 1 + 3 x 6 quadrados.
C)
“Em cada estágio, há três braços iguais que sobrepõe (indicado pela
sombra) num quadrado central comum”:
3 x 1 – 2; 3 x 2 – 2; 3 x 3 – 2 ... a 7ª figura necessitaria de 3 x 7 – 2 quadrados.
D)
“Em cada estágio, existem dois “L”s idênticos sobrepostos na coluna
central”:
2 x 1 – 1; 2 x 3 – 2; 2 x 5 – 3 ... a 7ª figura necessitaria de 2 x 13 – 7 quadrados.
64
Esse tipo de atividade pretende proporcionar aos alunos uma participação
efetiva no processo de generalização; seja através do desenho, da contagem ou da
observação da estrutura.
Questão de pesquisa:
Considerando a ênfase dada ao trabalho com padrões de representações
figurativas, tanto nos Parâmetros Curriculares Nacionais, quanto nas pesquisas de
Küchmenann (1981) e Mason (1996a), pretendemos enfocar nossas investigações
nesta área. Assim, explicitamos a questão que norteará nosso estudo:
Quais os fatores que contribuem na apreensão de expressões algébricas por alunos
sem acuidade visual?
No próximo capítulo, descreveremos detalhadamente a metodologia adotada
em nosso estudo.
65
CAPÍTULO 3Metodologia
Considerando-se a problemática que pretendemos investigar, optamos pela
metodologia de pesquisa qualitativa estruturando nosso estudo em duas fases,
conforme Quadro 3.1:
QUADRO 3.1 - FASES DO ESTUDO
- Material Manipulativo- Elaboração da Atividade de Sondagem- Elaboração das Tarefas
1ª FASE - Elaboração das Atividades
- Sujeitos- Administração da Atividade de Sondagem- Entrevistas
2ª FASE - Realização das Atividades
3.1 FASE 1 - DESENVOLVIMENTO DAS ATIVIDADES
A primeira fase de nosso estudo destina-se ao desenvolvimento das
Atividades, desde a elaboração do material manipulativo da Atividade de Sondagem,
até as escolhas das tarefas. Incluímos nesta fase, o estudo “piloto”, responsável por
alterações relativas ao esclarecimento de alguns itens envolvidos nas atividades.
Já na segunda fase, apresentaremos os sujeitos, identificando, através dos
resultados da Atividade de Sondagem, os níveis referentes à interpretação das letras
segundo Küchemann e investigaremos, durante as entrevistas, o desenvolvimento e
o processo de internalização de elementos algébricos trabalhados por eles.
66
3.1.1 Material manipulativo
A ferramenta elaborada constitui-se de uma prancha de metal e ímãs de
diferentes formas, facilitando a exploração dos padrões propostos pelos alunos s.a.v.
A escolha pelo ímã deve-se a sua versatilidade, nem fixo nem tão solto,
magnetização ideal para sua manipulação.
A priori, tínhamos a idéia de construir ímãs com uma superfície de várias
texturas: lisa, áspera, emborrachada. No entanto, ao contatarmos informalmente os
especialistas da área, tivemos a informação de que algumas pessoas s.a.v.
poderiam ter a sensibilidade ou até reações alérgicas a certos materiais, causando
uma sensação pouco agradável no momento de manuseá-los. Daí a opção por imãs
com formas geométricas, que auxiliam na distinção e percepção das características
dos termos apresentados em cada seqüência.
Características do material:
! Prancha de metal: 40 cm por 60 cm (vide Figura 3.1).
! Ímãs: quadrados de lado com 2 cm, circulares com 2 cm de diâmetro e
triangulares de base com 2 cm, todos estes, com espessura de 2 mm. Para a
escrita no sistema Braille foram usados ímãs circulares com 5 mm de
diâmetro por 2,5 mm de espessura (vide Figura 3.2).
FIGURA 3.1 - PRANCHA DE METAL
67
FIGURA 3.2 - ÍMÃS
3.1.2 Elaboração da Atividade de Sondagem
Organizamos uma Atividade de Sondagem para 51 alunos videntes do
Ensino Médio, com 43 itens envolvendo os quatro níveis classificados por
Küchemann (vide Anexo B). A escolha partiu dos itens utilizados no trabalho de
Küchemann e de livros didáticos nacionais (Giovanni, 2000; Lellis, 1999). A
aplicação da atividade primeiramente aos alunos videntes objetivou comparar as
dificuldades experienciadas por nossos alunos e as dos alunos ingleses. Os itens
envolviam operações, simplificações algébricas, operações com polinômios,
perímetros com figuras geométricas e a passagem de sentenças na linguagem
natural para a linguagem matemática.
Quanto à Atividade de Sondagem para os alunos s.a.v., foram selecionados
21 itens da Atividade de Sondagem aplicada aos videntes (vide Anexo D). As
atividades foram datilografadas no sistema Braille por uma professora especializada,
e a seleção fez-se necessária devido a sua extensão, já que em média, uma folha
digitada no nosso sistema corresponde a três no sistema Braille. A Atividade de
Sondagem constituiu-se de:
• 4 itens cujas resoluções poderiam envolver as categorias de interpretação
das letras: “letra como valor”, “letra não utilizada” ou “letra como objeto”
(Nível 1 na classificação de Küchemann).
68
• 4 itens que poderiam ser resolvidos ainda usando as mesmas categorias de
interpretações das letras dos itens anteriores, porém de estrutura mais
complexa (Nível 2 da classificação supra).
• 6 itens de estrutura simples, cujas soluções poderiam envolver a categoria
“letra como uma incógnita específica” (Nível 3 da classificação supra).
• 4 itens de estrutura complexa cujas resoluções poderiam envolver as
categorias: “letra como uma incógnita específica”, “letra como um número
generalizado” e “letra como variável” (Nível 4 da classificação supra).
• 3 itens - não especificados - (itens referentes a passagem da linguagem
natural para a linguagem matemática).
3.1.3 Elaboração das tarefas
A seleção das tarefas partiu de livros paradidáticos nacionais, em particular,
Souza e Diniz (1998), além das sugestões contidas nos estudos de Küchemann e
Azarquiel (1993). Os itens que orientaram as tarefas surgiram dos livros pesquisados
em conjunto com o estudo de Nakamura (2003) que abordara o mesmo tema
matemático, generalização de padrões figurativos; sendo que estes itens permitiram
que os alunos percebessem a regularidade da seqüência e, posteriormente, sua lei
de formação (vide Anexo E). Neste estudo foram utilizadas as funções do 1º e 2º
graus onde a variável independente é representada pela posição do termo “n” e a
variável dependente pela quantidade de ímãs em cada termo “f(n)”. Na
apresentação das seqüências foram utilizados termos consecutivos ou termos
alternados, para que os alunos construíssem os termos que indicavam sua
continuidade ou os que faltavam, respectivamente.
Seguem as tarefas selecionadas em nosso estudo, os itens que as
orientaram e seus respectivos comentários:
69
1ª TAREFA
Nossa intenção era investigar as idéias dos alunos a respeito das posições
que os círculos, os quadrados e os triângulos poderiam ocupar, concluindo que as
posições múltiplas de três seriam ocupadas pelos círculos, as múltiplas de três
menos um, pelos quadrados e as múltiplas de três mais um, pelos triângulos. Não
esperávamos neste primeiro momento que os alunos escrevessem a lei de formação
da seqüência.
2ª TAREFA
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º
1º 2º 3º
a) Qual é a figura que representa o 6º termo da seqüência? E o 8º termo?b) Construa a seqüência até o 15º termo.c) Você pode explicar como chegou até o 15º termo?d) Qual figura estaria representada na 20ª posição?e) Qual figura ocupa a 12ª, 15ª, 18ª e 21ª posições? Quais outras posições essa figura
pode ocupar?f) Vamos agora pensar no quadrado. Quais posições que o quadrado pode ocupar?g) Qual figura ocupará a 30ª, 42ª, 60ª e 88ª posições?h) Explique como chegou nestas respostas.
QUADRO 3.2 – ITENS DA 1ª TAREFA
70
Pretendíamos que os alunos percebessem que o número de quadrados de
cada figura seria o quádruplo do número referente à sua posição (número do termo),
concluindo a sua lei de formação: (f(n) = 4n), sendo:
f(n) = Total de quadrados;
n = Posição do termo.
3ª TAREFA
Nosso objetivo era que os alunos percebessem que, na passagem de um
termo da seqüência para outro, a forma das figuras se mantinha, variando-se o
número de elementos segundo uma certa regularidade (f(n) = 2n – 1), sendo:
2º 4º
a) Construa o 4º termo da seqüência.b) Explique como você chegou nesta resposta.c) Quantos quadrados têm cada termo?d) Quantos quadrados têm o 5º, 6º, 7º e o 15º termos da seqüência?e) Qual a relação entre a posição do termo na seqüência e o número de quadrados
(desse termo)?f) Escreva uma expressão numérica, para indicar o total de quadrados de cada figura.
Escreva a expressão numérica do 100º e 1000º termos.g) Como calcular o número de quadrados num termo qualquer?h) Determine outros métodos para calcular o número de quadrados em cada termo e
escreva outras expressões algébricas que representem a quantidade de quadradosde um termo qualquer da seqüência.
i) Justifique a equivalência das expressões algébricas.
QUADRO 3.3 – ITENS DA 2ª TAREFA
71
f(n)= Total de círculos;
n = Posição do termo.
4ª TAREFA
Esta tarefa foi dividida em três partes. Na primeira, as questões orientavam
os alunos a relacionarem a quantidade de círculos com o número do termo; na
segunda, a quantidade de quadrados com o número do termo e, finalmente, o total
de ímãs, concluindo assim sua lei de formação: (f(n) = 3n + 3), sendo:
f(n) = Total de ímãs;
n = Posição do termo.
As figuras apresentadas correspondem ao 2º e 4º termos da seqüência.a) Construa o 3º e 5º termos da seqüência.b) Observe uma regularidade na seqüência (uma mesma maneira de formar cada figura da
seqüência ou mesmo padrão de formação) e explique como construiu o 3º e 5º termos.c) Quantos círculos possuem cada um dos termos?d) Estabeleça uma relação entre o número do termo e a quantidade de círculos, levando em
conta a organização dos mesmos.e) Quantos círculos possuem o 6º, 7º, 20º e 30º termos?f) Escreva uma expressão numérica para esses resultados.g) Reescreva essas expressões numéricas relacionando com o número do termo.h) Escreva a expressão numérica do 100º e 1000º termos. Em seguida escreva uma
expressão algébrica que represente a quantidade de círculos de um termo qualquer daseqüência.
i) Observe outras regularidades e obtenha outras expressões algébricas que tambémrepresentem a quantidade de círculos de um termo qualquer da seqüência. Justifique aequivalência das expressões algébricas.
QUADRO 3.4 – ITENS DA 3ª TAREFA
1º 4º
72
5ª TAREFA
Nossa intenção era aumentar a complexidade da tarefa, introduzindo um
padrão que representasse uma função de 2º grau: (f(n) = (n +1)2 – 1), sendo:
f(n) = Total de círculos;
n = Posição do termo.
a) Observe a regularidade e construa o 2º e 3º termos da seqüência.b) Explique como pensou para construí-los?c) Estabeleça uma relação entre o número do termo e a quantidade de círculos de cada
figura.d) Escreva uma expressão numérica que represente a quantidade de círculos do 3º, 6º,
11º e 25º termos.e) Escreva uma expressão algébrica que represente a quantidade de círculos de um
termo qualquer da seqüência.f) Observe a organização dos quadrados em cada termo. Estabeleça uma relação entre
o número do termo e a quantidade de quadrados de cada figura.g) Escreva uma expressão numérica que represente a quantidade de quadrados do 2º,
4º, 10º e 32º termos.h) Escreva uma expressão algébrica, que represente a quantidade de quadrados de um
termo qualquer da seqüência.i) Escreva a expressão correspondente ao total de ímãs (círculos e quadrados) de um
termo qualquer da seqüência.j) Observe outras regularidades e obtenha outras expressões algébricas que também
representem a quantidade de ímãs (círculos e quadrados) de um termo qualquer daseqüência. Justifique a equivalência das expressões algébricas.
QUADRO 3.5 – ITENS DA 4ª TAREFA
1º 2º 3º
73
6ª TAREFA
Além do aumento da complexidade, esta tarefa também foi dividida em três
partes. A primeira relacionava a quantidade de círculos com a posição da figura; a
segunda, a quantidade de quadrados com a posição da figura e a terceira, o total de
ímãs em cada posição; concluindo sua lei de formação: (f(n) = (n + 2)2), sendo:
f(n) = Total de ímãs;
n = Posição do termo.
1º 3º
a) Continuando a seqüência, construa o 4º termo.b) Explique como pensou para construí-lo.c) Quantos círculos tem cada um dos termos da seqüência?d) Relacione o número do termo com a organização dos círculos.e) Escreva a expressão numérica do 1º, 2º, 3º, 4º, 20º e 50º termos da seqüência.f) Escreva a expressão algébrica para um termo qualquer da seqüência.g) Determine outras métodos para calcular o número de círculos de um termo qualquer
da seqüência. Justifique a equivalência das expressões algébricas.
QUADRO 3.6 – ITENS DA 5ª TAREFA
74
7ª TAREFA
Observando os resultados da Atividade de Sondagem, verificamos que os
alunos tiveram extrema dificuldade em responder ao item:
Qual expressão algébrica é maior, 2n ou n + 2? Justifique.
Inversamente ao trabalhado nas tarefas anteriores, onde era dada a
seqüência e os alunos encontravam a lei de formação, propusemos aos mesmos
que construíssem as seqüências a partir de suas leis (2n e n + 2), e observassem o
crescimento das mesmas, tentando responder ao solicitado. Após a realização das
6 tarefas, esperávamos que os alunos trabalhassem com maior confiabilidade,
articulando os conceitos algébricos envolvidos, sendo capazes de estabelecer as
relações entre 2n e n + 2:
• para n = 1 .......... n + 2 > 2n;
• para n = 2 .......... n + 2 = 2n;
• para n ≥ 3 .......... n + 2 < 2n.
a) Construa a figura que corresponde ao 2º e 4º termos da seqüência.b) Explique como pensou para construí-losc) Pensando no círculo, relacione o número do termo com o total de círculos.d) Escreva uma expressão numérica e algébrica que represente a quantidade de ímãs
circulares.e) Agora, tente relacionar o número do termo com a organização do quadrado.f) Escreva uma expressão numérica, representando o número de quadrados de cada
termo construído, incluindo o 8º e 30º termos.g) Escreva a expressão algébrica que represente a quantidade de quadrados de um
termo qualquer.h) Escreva a expressão algébrica para calcular a quantidade total de ímãs (círculos e
quadrados) de um termo qualquer.i) Determine outros métodos para calcular o número de círculos e/ou quadrados de um
termo qualquer da seqüência. Justifique a equivalência das expressões algébricas.
QUADRO 3.7 – ITENS DA 6ª TAREFA
75
3.2 FASE 2 - REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES
O estudo desenvolveu-se em uma escola da rede estadual de ensino,
localizada no bairro da Aclimação, na cidade de São Paulo, no período letivo de
2003. Houve, inicialmente, uma conversa informal com todos os alunos s.a.v. do
período matutino, explicitando a relevância e seriedade da pesquisa e o quanto eles
eram fundamentais para a realização da mesma. Cinco alunos do Ensino Médio
concordaram em participar de nosso estudo, com o uso de nomes fictícios
escolhidos pelos próprios, disponibilizando-se, em média, duas horas por semana.
3.2.1 Sujeitos
Giovanna (16 anos) iniciou sua vida escolar aos 7 anos de idade freqüentando
quatro diferentes escolas. Cursou o 1º ano do Ensino Médio em 2003. A falta de
acuidade visual deu-se aos 6 anos a partir de uma retinose pigmentar1 avançada.
Fernando (17 anos) ingressou na escola aos 7 anos. Em 2003, cursou o 2º ano do
Ensino Médio. Até os 9 anos possuía baixa visão. Estudou em uma escola particular
até o primeiro ano do 3º ciclo (5ª série). Tinha vida normal, jogava bola, vídeo game,
andava de bicicleta, etc. Como conseqüência destas experiências, antes de perder
totalmente a visão, já possuía noções de formas e cores. Fernando possui uma
opacificação bilateral de córnea2, catarata3, glaucoma4 e comprometimento do fundo
do olho.
Cláudio (18 anos) iniciou seus estudos aos 7anos. Estudou em três escolas
públicas, incluindo a escola de nosso estudo. Em 2003, cursou o 2º ano do Ensino
Médio. Sua mãe, durante a gestação, teve toxoplasmose5, afetando a visão do feto
na sua totalidade, desde o seu nascimento.
1 “Doença que ataca a retina, diminuindo progressivamente o campo de visão pigmentar até acegueira total”. www.idisa.org.br/lista_tit_not.cfm?id_subass=259 - acesso em 23/02/05.2 Podemos chamar também de leucoma (opacificação branca e densa da córnea), como uma cicatriz.3 Doença em que o cristalino torna-se opaco, é mais comum em pessoas idosas. A visão torna-seborrada” www.hc.ufu.br/outras_paginas/banco de olhos/BO_FAEPU_Arquivos/Doencas.htm – acessoem 25/02/05.4 Aumento da pressão interna do olho causado por uma anomalia na eliminação do humoraquoso.(Projeto de Educação continuada, 1998).5 “Quando a mãe tiver toxoplasmose durante a gravidez, essa infecção pode passar para o feto. Osagentes transmissores estão nas fezes do cachorro, gato, aves e na carne de porco. A acuidadevisual estará muito comprometida quando a lesão for na mácula (opacidade da córnea, visível à luzdo dia, como mancha cinzenta)”. (Projeto de Educação Continuada, 1998)
76
Angélica (19 anos), deu início a sua vida escolar aos 8 anos. Freqüentou no ano
letivo de 2003 o 3º ano do Ensino Médio. Até um ano e meio de idade, possuía baixa
visão. Cursou o Instituto Padre Chico até o 4º ciclo (8ª série do Ensino
Fundamental), ingressando nessa escola no 1º ano do Ensino Médio. Segundo a
aluna, a doença que afetou sua visão foi a retinoblastoma6.
Tânia (24 anos) freqüentou quatro escolas públicas, sendo duas no interior de
Minas. Iniciou sua vida escolar aos 6 anos. No ano letivo de 2003, cursou o 3º ano
do Ensino Médio. Devido ao problema de acessibilidade, não freqüentou a escola
durante 5 anos (1992 -1996). Até os 13 anos possuía baixa visão, sendo que, com o
passar do tempo, o glaucoma afetou sua visão direita e, em seguida, a esquerda.
Ingressou nessa escola a partir do 1º ano do Ensino Médio.
3.2.2 Atividade de Sondagem
A aplicação foi feita simultaneamente a todos os alunos sem interferência da
professora pesquisadora, com uma duração média de aproximadamente 50 minutos.
A máquina datilográfica7, (vide Figura 3.3), a reglete8 (vide Figura 3.4) e o punção9
(vide Figura 3.5) foram os equipamentos utilizados pelos alunos para responderem
aos itens da respectiva atividade. Foi feita uma análise, usando-se a classificação de
Küchemann (1981) e os “erros” identificados por Booth (1988).
6 “Tumor originário das células da retina. Entre os pediátricos, é o mais freqüente, ocorrendoaproximadamente um a cada 15 mil crianças nascidas”. www.graacc.org.br/jornal/atual/pg3.pdf -acesso em 11/08/047 “Foi inventada por Frank H. Hall, em 1892 nos Estados Unidos da América. As máquinas especiaisde datilografia para cegos possuem sete teclas. Cada tecla corresponde a um ponto e ao espaço. Opapel é fixo e enrolado em rolo comum, deslizando normalmente quando pressionado o botão demudança de linha. O toque de uma ou mais teclas simultaneamente produz a combinação dos pontosem relevo, correspondente ao símbolo desejado. O Braille é produzido da esquerda para a direita,podendo ser lido sem a retirada do papel da máquina”. (Sociedade de assistência aos cegos –www.sac.org.br, p 03 – acesso 10/08/04).8 “Consiste essencialmente de duas placas de metal ou plástico, fixas de um lado com dobradiças, demodo a permitir a introdução do papel. A placa superior funciona como a primitiva régua e possui asjanelas correspondentes às celas Braille. Ponto por ponto, as pessoas cegas, com o punção, formamo símbolo Braille correspondente às letras, números ou abreviaturas desejadas. Escreve-se da direitapara a esquerda e a leitura é feita da esquerda para a direita”. (ibidem) 9 “O punção: Formado por uma pequena haste de metal com a ponta arredondada presa a um punhode plástico ou madeira, moldado automaticamente, para um perfeito ajuste à mão”. (Práticapedagógica: O Deficiente na classe comum, 1993, p.49).
78
3.2.3 Tarefas
Realizamos um série de 5 entrevistas com os 5 alunos (três individuais e
uma dupla), em que foram resolvidas 7 tarefas envolvendo padrões figurativos, com
complexidade crescente de funções do 1º e 2º graus apresentadas na seção 3.1.3
do presente trabalho. Além do registro com fotos das seqüências construídas pelos
alunos, suas produções orais e escritas (transcritas pela professora pesquisadora),
foram gravadas em áudio e vídeo. Estes registros foram os dados utilizados para a
análise. Cada entrevista durou aproximadamente, 120 minutos, e resultou na
produção de 22 fitas de vídeo.
A intenção da professora pesquisadora foi interferir o menos possível nas
atividades, mas às vezes, foram necessários esclarecimentos dos objetivos de
certas tarefas bem como as estratégias de resolução sendo que, neste caso, a
professora pesquisadora pedia a justificativa das estratégias utilizadas.
Decidimos entrevistar três alunos individualmente, Tânia, Giovanna e
Cláudio, e os outros dois alunos, Fernando e Angélica, em conjunto. Esta decisão
deu-se por dois fatores: ao fato de que cada um dos grupos referia-se a alunos cujas
respostas para a Atividade de Sondagem indicavam que suas interpretações das
letras se encontravam no mesmo nível ou em níveis muito próximos, de acordo com
os termos de Küchemann (1981) e a pretensão de entendermos como se
processava o desenvolvimento durante as tarefas dos alunos, organizadas em grupo
e individualmente (o Capítulo 4 justificará o agrupamento dos alunos).
Apresentaremos a seguir a organização cronológica das entrevistas (vide
Quadro 3.8).
79
QUADRO 3.8 - ORGANIZAÇÃO CRONOLÓGICA DAS ENTREVISTAS
Os itens das tarefas a serem cumpridos pelos alunos (vide Anexo E) eram
lidos pela professora pesquisadora, respondidos pelos mesmos oralmente e, em
seguida, registrados pelos próprios alunos no sistema de escrita Braille.
Alguns procedimentos foram necessários para estruturarmos a análise das
tarefas. Iniciamos com as transcrições das tarefas do sistema Braille e, a partir dos
registros em vídeos, descrevemos detalhadamente cada uma das entrevistas.
Incluímos trechos dos diálogos desenvolvidos que, ao nosso entender, foram
fundamentais para identificarmos as conjecturas dos alunos e compreendermos as
Ordem Alunos Tarefas Data Início Término1ª Tânia 1ª e 2ª 19/09/03 8:25 10:252ª Giovanna 1ª e 2ª 23/09/03 15:26 17:123ª Ang/Fern 1ª e 2ª 25/09/03 8:40 11:104ª Cláudio 1ª e 2ª 26/09/03 8:25 10:105ª Giovanna 3ª 30/09/03 15:20 17:206ª Ang/Fern 3ª 01/10/03 14:20 16:057ª Cláudio 3ª 02/10/03 8:15 9:388ª Tânia 3ª 03/10/03 8:15 10:239ª Giovanna 4ª 07/10/03 14:00 16:04
10ª Tânia 4ª 09/10/03 8:05 10:0211ª Ang/Fern 4ª 09/10/03 10:15 11:4512ª Cláudio 4ª 10/10/03 10:05 11.4713ª Cláudio 5ª 15/10/03 15:00 16:15
14ª Tânia 5ª 17/10/03 9:15 11:0515ª Giovanna 5ª 21/10/03 14:42 16:2416ª Tânia 6ª 23/10/03 8:12 11:2717ª Cláudio 6ª e 7ª 29/10/03 15:00 17:0018ª Ang/Fern 5ª 30/10/03 8:27 10:2019ª Tânia 7ª 30/10/03 10:30 11:0520ª Ang/Fern 6ª e 7ª 31/10/03 8:10 10:1521ª Giovanna 6ª e 7ª 31/10/03 10:19 11:52
80
estratégias desenvolvidas por eles ao responderem as questões colocadas. Em
seguida, analisamos estas descrições identificando as fases de “manipulação”,
“constituindo um sentido para” e “articulação”, definidas por Mason (1996a); a origem
e os tipos de erros cometidos pelos alunos no transcorrer das tarefas, a partir do
estudo de Booth (1988) e, em alguns momentos, as interpretações das letras em
termos das categorias de Küchemann, em particular as três últimas: “letra como uma
incógnita específica”, “letra como um número generalizado” e “letra como variável”.
Concomitante a esta análise, tentamos destacar aspectos relacionados ao processo
de mediação e internalização em relação às perspectivas vygotskyanas.
No Capítulo 4, procederemos à análise das respostas dos alunos durante a
Atividade de Sondagem a partir dos estudos de Küchemann (1981) e Booth (1988).
81
CAPÍTULO 4Análise da Atividade de Sondagem
Neste capítulo, procederemos à análise dos resultados da Atividade de
Sondagem aplicada aos alunos s.a.v., investigando, a partir dos estudos de
Küchemann (1981) e Booth (1988) os tipos e a origem de alguns erros cometidos
pelos alunos envolvendo conceitos algébricos. Os Itens 14 a 16 referentes à
passagem da linguagem natural para a linguagem matemática e o Item 17,
constituído por quatro subitens, onde os alunos verificam, em cada um deles, a
veracidade da sentença matemática, serão analisados separadamente já que não
fazem parte do estudo de Küchemann.
4.1 ORGANIZAÇÃO DA ANÁLISE
Optamos em organizar as respostas dos primeiros 13 itens da Atividade de
Sondagem, segundo os quatro níveis descritos por Küchemann (1981) e
apresentados na seção 2.1.1 deste trabalho, de forma que possamos identificar as
várias estratégias usadas pelos alunos e os seus erros quanto aos itens que
possuem uma mesma estrutura. A análise será organizada na seguinte ordem: o
grupo de itens de mesmo nível será apresentado num quadro sendo que, para cada
grupo, haverá uma breve descrição sobre a estrutura dos itens e as possíveis
interpretações das letras; em seguida, apresentaremos as respostas dos alunos,
interpretando-as à luz dos teóricos mencionados na introdução deste capítulo e, ao
final, analisaremos o desempenho de cada aluno na atividade.
4.2 ANÁLISE DOS ITENS DE NÍVEL 1 – GRUPO 1
Os itens neste nível possuem uma estrutura simples, ou seja, são itens com
apenas uma operação e valores numéricos familiares, próximos da realidade dos
alunos. Geralmente as respostas para estes itens são obtidas usando “letra como
valor”, “letra como objeto” ou “letra não utilizada”, o que não significa que um aluno
82
de um nível mais elevado não possa resolver, por exemplo, um item de Nível 1,
utilizando “letra como uma incógnita específica”. Nossos alunos tiveram um bom
desempenho nesses itens, acertando todos ou errando apenas um. O Quadro 4.1
apresenta os itens de Nível 1.
Em re
devido
e Tân
ao 50
categ
valore
valore
Quan
Giova
+ m +
Angél
crer q
Cláud
tinha
respo
QUADRO 4.1 - ITENS NÍVEL 1
1) O que você pode dizer sobre b, se b + 3 = 9?2) Se d + e = 50 d + e + 4 = ___12a) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro da figuraabaixo:
Os itens deste nível foram respondidos sem dificuldade por nossos alunos.
lação ao primeiro, Küchemann atribuiu o bom desempenho de seus alunos
à familiaridade com os números envolvidos. Para o Item 2, Fernando, Cláudio
ia escreveram apenas o resultado “54”; é possível que eles tenham somado 4
sem considerarem as letras que, segundo Küchemann, seria indicativa da
oria “letra não utilizada”. Giovanna e Angélica, por outro lado, atribuíram
s específicos às letras, ou seja, trataram “letra como valor”. Angélica atribuiu
s distintos: “d = 20” e “e = 30” e Giovanna atribuiu valores iguais “d = e = 25”.
to ao Item 12a, os alunos o responderam com certa facilidade. Angélica,
nna e Tânia escreveram e simplificaram a expressão relativa ao perímetro: “m
m = 3m”. Fernando não simplificou a expressão “m + m + m”. O fato de
ica explicitar o coeficiente numérico na expressão “1m + 1m + 1m”, leva-nos a
ue, assim como os ingleses, ela usou “letra como objeto” para resolvê-lo.
io escreveu uma expressão “a + b + c = 90 graus” que, ao nosso entender, não
relação com o item. Apresentamos as Tabelas 4.1, 4.2, 4.3 referentes às
stas dos alunos para os Itens 1, 2, e 12a, respectivamente:
m m
m
83
TABELA 4.1 - RESPOSTAS DO ITEM 1
ALUNOS RESPOSTASAngélica, Giovanna, Tânia, Cláudio e Fernando “b = 6”
TABELA 4.2 - RESPOSTAS DO ITEM 2
ALUNOS RESPOSTASAngélica “20 + 30 + 4 = 54”Giovanna “25 + 25 + 4 = 54”Tânia, Cláudio e Fernando “d + e + 4 = 54”
TABELA 4.3 - RESPOSTAS DO ITEM 12a
ALUNOS RESPOSTASAngélica “1.m + 1.m + 1.m = 3m”Giovanna e Tânia “m + m + m = 3m”Cláudio “a + b + c = 90 graus”Fernando “m + m + m”
4.3 ANÁLISE DOS ITENS DE NÍVEL 2 – GRUPO 2
Os itens deste grupo, assim como os itens do grupo anterior, podem, segundo
Küchemann, ser resolvidos usando as três primeiras categorias, quais sejam, “letra
como valor”, “letra como objeto” ou “letra não utilizada”, embora em uma estrutura
mais complexa, por exemplo; o Item 3, envolve mais de uma operação (multiplicação
e adição); e no caso do Item 12b, os lados dos polígonos não são representados
somente por letras (como no Item 12a) ou por números, mas por letras e números.
Os alunos não tiveram um bom desempenho neste grupo, sendo que ninguém
acertou todos os itens e Cláudio, errou todos. O Quadro 4.2 apresenta os itens de
Nível 2.
84
QUADRO 4.2 - ITENS NÍVEL 2
sub
efet
mul
tent
mem
resp
Aco
valo
de
lado
resp
Talv
esc
esc
a a
term
ree
3) O que você pode dizer sobre m, se m = 4n +1 e n = 5?
7) Simplifique: 2d + 5e + d = _____
12b) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro da figura abaixo:
a a
No Item 3, apenas Fernando resolveu corretamente: “4 . 5 + 1 = 21”,
stituindo o valor de “n” dado no problema. Giovanna e Cláudio também
uaram a substituição de 5 por “n” mas, ao invés de considerarem a operação de
tiplicação, somaram todos os elementos (“4 + 5 + 1 = 10”). Angélica e Tânia
aram resolvê-lo como uma equação, onde os termos literais ficariam no primeiro
bro da equação e os termos independentes no segundo membro. Angélica
ondeu: “m = 4n + 1, calculo 4n + 1 me dá 5n. Se eu isolar o n, fica n = 5.
ntece que sobrou o “m”, então m vale 1” , nesta última passagem, ela atribuiu um
r para “m”, usando a categoria “letra como valor”. Tânia, seguindo a mesma linha
raciocínio de Angélica, respondeu: “Separando os termos, ou seja, literais de um
e números do outro, obtemos a resposta n = 5”.
Quanto ao item 7, Giovanna e Fernando não responderam. Cláudio
ondeu “7d” somando os valores numéricos explícitos e ignorando a letra “e”.
ez este procedimento justifique-se pelo fato de que a letra “e” é comum na
rita da língua portuguesa, por representar uma conjunção. Angélica e Tânia,
reveram a resposta com um único termo. Angélica, respondeu: “8 d2e” sendo que
luna somou os coeficientes numéricos e multiplicou as partes literais de cada
o. Já Tânia, escreveu: “2d + e + 4 + 5 = 3d + 4 + 5 = 12d”. Além de Tânia ter
scrito a expressão incorretamente, somou todos os termos, desconsiderando a
6 6
8
85
letra “e” (a inclusão do número 4 provavelmente deve-se ao fato de que a letra “d” e
o número 4 ocupam as mesmas posições na escrita Braille (vide Anexo A),
diferenciando-se apenas quanto ao “sinal de número” que precede a escrita
numérica).
Tratando-se do item 12b, constituído por um pentágono cujos lados são
representados por letra e valores numéricos, Angélica, Tânia e Giovanna
escreveram de maneira correta a expressão, mas no momento de simplificarem,
deram como resposta um único termo. Angélica procedeu da seguinte forma: “2a + 6
+ 6 + 8 = 2a + 12 + 8 = 2a + 20 = 22a”; Tânia indicou: “2a + 12 + 8”, no entanto,
quando simplificou a expressão, não considerou a letra “a”, escrevendo “2 + 12 + 8 =
22”, identificando-se neste momento, o uso da categoria “letra não utilizada”.
Giovanna, por sua vez, respondeu: “a a + 6 + 6 + 8 = 20a” . Ao nosso entender, a
ausência de uso do símbolo de adição entre os “a’s” por Giovanna pode ter
decorrido de esquecimento ou de dificuldade em operar com “a + a”. Fernando
indicou a expressão algébrica sem simplificá-la (“a + a + 6 + 6 + 8 + 8”), e Cláudio
escreveu uma expressão que não apresentava qualquer relação com o item (“a + b +
c = 15”). Apresentamos as Tabelas 4.4, 4.5, 4.6, referentes às respostas dos alunos
para os Itens 3, 7 e 12b, respectivamente:
TABELA 4.4 - RESPOSTAS DO ITEM 3
ALUNOS RESPOSTASAngélica “m = 1”Giovanna “4 + 5 + 1 = 10”Tânia “4n + 1 = 5n”Cláudio “4 + 5 + 1 = 10”Fernando “4 . 5 + 1 = 21”
TABELA 4.5 - RESPOSTAS DO ITEM 7
ALUNOS RESPOSTASAngélica “2d + 5e + d = 8d2e”Giovanna Não respondeuTânia “2d + e + 4 + 5 = 3d + 4 + 5 = 12d”Cláudio “2d + 5e + d= 7d”Fernando Não respondeu
86
TABELA 4.6 - RESPOSTAS DO ITEM 12b
ALUNOS RESPOSTASAngélica “2a + 12 + 8 = 2a + 20 = 22a”Giovanna “a a + 6 + 6 + 8 = 20a”Tânia “2a + 12 + 8 = 2 + 12 + 8 = 22”Cláudio “a + b + c = 15”Fernando “a + a + 6 + 6 + 8”
Identificamos a tendência por parte dos alunos em responderem itens com um
valor numérico ou um único termo. Dois aspectos relacionados com esses tipos de
erros são levantados por Booth (1988): quanto “à natureza das respostas”, onde a
dificuldade cognitiva dos alunos está em aceitar a “falta de fechamento”; e quanto
“ao uso da notação e da convenção”, onde o autor justifica que este tipo de erro
pode estar relacionado com a interpretação de simbolismos (“+” e “=”) no campo da
Aritmética e da Álgebra (seção 2.1.2). Assim, concordamos com a idéia de Booth
(1988) de que, no contexto do estudo de equações, muitos alunos consideram o
símbolo de igualdade como unidirecional precedendo com uma resposta numérica
ou com um único termo. A sugestão da autora para este tipo de erro é que os alunos
devam ser trabalhados de forma que percebam que o símbolo da igualdade “=”,
além de significar “escreva a resposta”, representa, também, uma relação de
equivalência.
4.4 ANÁLISE DOS ITENS DE NÍVEL 3 – GRUPO 3
Segundo Küchemann, a diferença entre os itens do Nível 3 e os itens dos
Níveis 1 e 2 é que sua resolução envolve uma interpretação de letra mais
sofisticada, como “letra como incógnita específica” ou “letra como um número
generalizado” , mas ainda, como uma noção inicial, em uma estrutura simples. Neste
grupo, há itens que possuem apenas uma operação, ou itens que possuem apenas
um valor desconhecido. O Quadro 4.3 apresenta os itens de Nível 3.
87
at
G
in
al
à
de
eq
co
=
va
es
a
D
su
po
QUADRO 4.3 - ITENS NÍVEL 3
4) O que você pode dizer sobre s, se: s = t + u e s + t + u = 30?5) Se e + f = 7, então e + f + g = ______9) Adicione (some) 6 à 5n.13) Parte desta figura não está desenhada. Há n lados, cada um com comprimento 4.Escreva a expressão algébrica que representa o comprimento de n lados.
4
4
4
4
4
4
4
4 44
Cláudio e Tânia não res
ribuíram valores às letras, faz
iovanna atribuíram valores ig
formações da primeira equaç
unos que participaram do estu
“s”, “t” e “u” (s = t = u = 10).
ter atribuído valores às letr
uação, que s = t + u. Este pr
rreto de “s” (s = 15): “t = 7,5 e
30”. Fernando sabia que “s” e
lores iguais a “t” e “u”, “t = u =
O Item 5, nenhum aluno
creveu: “Depende dos valores
categoria “letra como variável
e fato isto é verdade, desde q
a vez, escreveu “7f”; possive
is as letras “f” e “g” no sistem
pon
end
ua
ão
do
Fe
as
oce
u
“t
7
ac
q
” on
ue
lme
a
deram o Ite
o uso da ca
is, “s = t =
, de que “s
de Küchem
rnando, dife
“t” e “u”, co
dimento fez
= 7,5 e 7
+ u”, ambo
,5”.
ertou. Giov
ue se dá a c
de “e”, “f” e
a soma de
nte a aluna
Braille são
m 4
teg
u =
= t
ann
rent
nsid
com
,5 +
s de
anna
ada
“g”,
“e”
erro
pare
o
e
. Angélica, Giovanna e Fernando
ria “letra como valor”. Angélica e
10”; elas não consideraram as
+ u”. Vinte e um por cento dos
também atribuíram valores iguais
de Angélica e Giovanna, apesar
erou as informações da primeira
que o aluno encontrasse o valor
7,5 = 15 s = 15; 15 + 7,5 + 7,5
veriam valer 15 e, então, atribuiu
não respondeu o item. Angélica
letra”; neste caso, Angélica usava
poderiam assumir qualquer valor.
e “f” seja igual a sete. Tânia, por
u na hora de escrever a letra “g”,
cidas. Se isto realmente ocorreu,
88
Tânia devia ter pensado que, se e + f = 7, então e + f + g = 7 + g = 7g. De forma
análoga ao item anterior, Fernando escreveu: “e = 3,5 e f = 3,5 3,5 + 3,5 = 7 g
= 3,5 3,5 + 3,5 + 3,5 = 10,5”; ele atribuiu valores às letras sem notar que “e”, “f” e
“g”, poderiam assumir qualquer valor, desde que a soma de “e” e “f” fosse 7. Por fim,
Cláudio respondeu: “e + f + g = 8”. Seis por cento dos alunos ingleses procederam
como Cláudio, somando 1 unidade, ou seja, usaram a categoria “letra como valor”.
Na opinião de Küchemann (1981), isto ocorreu “presumidamente porque este era o
caminho mais simples de fazer a resposta aumentar”. Talvez a necessidade de dar
como resposta um valor numérico, tenha contribuído para que Cláudio optasse por
atribuir um valor para “g”.
Considerando o Item 9, somente Fernando respondeu corretamente “6 + 5n”.
Angélica e Tânia, respectivamente, responderam: “11àn” e “11n”, diferenciando-se
apenas em relação ao artigo “à” do enunciado, que foi considerado por Angélica,
como a parte literal do termo “6à”. Cláudio e Giovanna, por outro lado, deram como
resposta um valor numérico “11”, desconsiderando a letra e fazendo, neste
momento, uso da categoria “letra não utilizada”.
No Item 13, Collis (1975), citado por Küchemann, argumenta que apesar
deste item possuir somente uma variável “n”, e de estar bem definido como um
número (n lados), a dificuldade que os alunos possuem é a de operar com um valor
desconhecido. Muitos alunos da “secondary school”, segundo Collis, acharam esse
item extremamente difícil, inclusive os nossos alunos. Fernando e Cláudio não
responderam ao item. Tânia escreveu: “5n = n”, sem dar indicações de como
pensou. Angélica contou a quantidade de números “4” presentes na figura, como
sendo o número de lados e escreveu: “4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 40,
porque, se o perímetro é a soma dos lados, somo 10 lados de valor 4 cada um,
obtenho o resultado que é 40”. Assim, Angélica atribuiu um valor à quantidade de
lados (n = 10), usando a categoria “letra como valor”. Giovanna, por sua vez,
respondeu: “n + n + n + n = 4n”. Apesar da aluna ter respondido corretamente “4n”,
não é claro como Giovanna extraiu a relação n + n + n + n no problema.
89
Apresentamos as Tabelas 4.7, 4.8, 4.9 e 4.10 referentes aos Itens 4, 5, 9 e
13, respectivamente:
TABELA 4.7 - RESPOSTAS DO ITEM 4
ALUNOS RESPOSTASAngélica “s = t = u = 10”Giovanna “s = t = u = 10”Tânia Não respondeuCláudio Não respondeuFernando “15 + 7,5 + 7,5 = 30”
TABELA 4.8 - RESPOSTAS DO ITEM 5
ALUNO RESPOSTAS
Angélica “Depende os valores que se dá a cadaletra”
Giovanna Não respondeuTânia “e + f + g = 7f”Cláudio “e + f + g = 8”Fernando “3,5 + 3,5 + 3,5 = 10,5”
TABELA 4.9 - RESPOSTAS DO ITEM 9
ALUNOS RESPOSTASAngélica “6 + 5n = 11àn”Giovanna e Cláudio “6 + 5n = “11”Tânia “6 + 5n = 11n”Cláudio “6 + 5n = 11”Fernando “6 + 5n”
TABELA 4.10 - RESPOSTAS DO ITEM 13
ALUNOS RESPOSTASAngélica “4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 40”Giovanna “n + n + n + n= 4n”Tânia “5n = n”Fernando e Cláudio Não responderam
90
Novamente identificamos uma inclinação por parte dos alunos em dar
respostas numéricas ou com um único termo. Verificamos que dois procedimentos
estavam se repetindo para que a resposta fosse um valor numérico: em alguns itens,
os alunos desconsideravam as letras, operando apenas com os coeficientes
numéricos; em outros, eles atribuíam valores numéricos para as letras. Estes fatos
remetem-nos a pensar que os alunos tinham dificuldade em operar com o
desconhecido, ou seja, em usar a categoria “letra como incógnita específica”. Em
outras situações, os alunos operavam com todos termos envolvidos, de forma que
as respostas tivessem um único termo. Neste caso, era comum que os alunos
somassem ou subtraíssem os coeficientes numéricos e multiplicassem as partes
literais das expressões.
4.5 ANÁLISE DOS ITENS DE NÍVEL 4 – GRUPO 4
Os itens deste grupo envolvem as três últimas categorias descritas por
Küchemann (1981): “letra como uma incógnita específica”, “letra como um número
generalizado” e “letra como variável”. Nossos alunos tiveram dificuldade em lidar
com essas categorias, acertando apenas um item ou errando todos. O Quadro 4.4
apresenta os itens de Nível 4.
QUADRO 4.4 - ITENS NÍVEL 4
es
pa
alu
6) Multiplique m + 3 por 5 8) Simplifique: (e – f) + f =_____
10) Qual expressão algébrica é maior, 2n ou n + 2. Justifique.11) H + I + J = H + K + JSempre ( ) Nunca ( ) Às vezes ( )
Quando _________
O Item 6, requer no mínimo que a letra seja interpretada como um “número
pecífico desconhecido”. Küchemann argumenta que o baixo índice de acertos
ra este item (17%, na Inglaterra) talvez decorra da falta dos parênteses. Nossos
nos também não tiveram sucesso neste item, apenas Angélica o respondeu
91
corretamente: “5m + 15”; Tânia, Cláudio e Giovanna deram como resposta um valor
numérico. Tânia e Cláudio usaram a categoria “letra como valor”, atribuindo valor
para “m" (“m = 1”), resultando em “4 . 5 = 20”. Giovanna, por sua vez, desconsiderou
a letra e respondeu: “3 x 5 = 15”, usando assim, a categoria ”letra não utilizada”; e
por fim, Fernando escreveu: “3 . 5 . m = 15m”, desconsiderando a operação de
adição.
Em contraste ao Item 6, em que a dificuldade foi associada à ausência de
parênteses, Küchemann considera que a presença dos parênteses contribuiu para a
complexidade do Item 8. Nenhum de nossos alunos acertou este item. Fernando,
Cláudio e Giovanna não responderam. Tânia escreveu: “e – f”, ignorando a parte da
expressão fora dos parênteses; já Angélica, respondeu: “Temos dois “f” e um “e”
calculando e – f2”. A aluna trocou a operação de adição pela multiplicação
(multiplicando apenas os dois elementos iguais). Acreditamos que os parênteses
possam ter influenciado na decisão de Angélica em trocar a operação.
Em relação ao Item 10, pretendíamos que os alunos reconhecessem que o
valor relativo às duas expressões “2n e n + 2”, dependia do valor de “n”, isto é, “letra
como variável”. Todos os alunos responderam “n + 2”. Angélica não justificou;
Giovanna escreveu: “O 2n é menor que n + 2 por que nós somamos n com o 2”.
Talvez a aluna estivesse pensando no primeiro termo, quando n = 1. Fernando
respondeu: “n + 2 porque 2n já está representando um termo, o n + 2 representa
dois termos”; ele concluiu que a maior expressão seria aquela com o maior número
de termos. Cláudio justificou: “maior n + 2 porque n = 1 + 2 = 3”; ele considerou
somente o primeiro termo, atribuindo o valor 1 para “n”, como uso da categoria “letra
como valor”. Tânia respondeu: “n + 2, porque o n corresponde a 1, portanto n + 2 =
3n”; talvez ela estivesse considerando o valor “1” como sendo o coeficiente de “n” e
não o valor de “n” como parecia ter escrito. Desta forma a aluna fez uso da categoria
“letra como objeto”.
Destacaremos, ainda neste item, a forma de questionamento aos alunos
(“ Qual expressão é maior...”); talvez o uso do pronome demonstrativo “Qual”, possa
ter influenciado os alunos a pensarem que teria uma única resposta. Constatamos
no estudo realizado por Küchemann, que a maioria de seus alunos também
92
escolheu uma das duas expressões. Diferentemente dos alunos s.a.v., setenta e um
por cento dos alunos ingleses responderam “2n” justificando: “Porque é
multiplicação”. Diante disto, entendemos que eles perceberam que em relação às
leis (“2n” e “n + 2”), “2n”, formada pela operação de multiplicação, cresce mais
rapidamente em comparação com a lei “n + 2”. Segundo o autor, poucos alunos
substituíram valores específicos em “n”, e havia pouca evidência de que tivessem
usado alguma forma de tentativa e erro.
Na opinião de Küchemann, o Item 11, “H + I + J = H + K + J”, demonstra
dificuldade já que os alunos não percebem que a letra é usada como número
generalizado, capaz de levar a mais de um valor. Os alunos ainda pensam em
resolvê-lo usando a categoria “letra como uma incógnita específica”. Fernando e
Tânia estavam no caminho certo. Fernando respondeu: “Às vezes. Só quando o
exercício diz que eles são iguais”. Pensamos que o aluno estava se referindo as
letras “K” e “I”. Tânia respondeu: “Às vezes, pois o resultado será o mesmo, mas a
letra K está no lugar da letra I”. A aluna queria dizer que a igualdade aconteceria se
“K” estivesse no lugar de “I”, ou seja, se ambos os membros da equação fossem
iguais. Angélica, inicialmente respondeu: “nunca”; depois, retomou o item,
respondendo: “Às vezes. Porque depende dos valores”. Talvez ela estivesse se
referindo a “K” e “I”. Cláudio, por outro lado, escreveu: “Nunca, porque não há
números na expressão”. Para o aluno, as letras dificultam a percepção de que elas
representam números que variam e que em algum momento poderiam assumir o
mesmo valor. Giovanna justifica: “Nunca, porque não tem como fazer essa
expressão”. Pela forma como a aluna se expressou, ela pretendia resolver o item
como uma equação. As Tabelas 4.11, 4.12, 4.13 e 4.14 apresentam as respostas
referentes aos Itens 6, 8, 10, e 11, respectivamente:
TABELA 4.11 - RESPOSTAS DO ITEM 6
ALUNOS RESPOSTASAngélica “5m + 15”Giovanna “3 x 5 = 15”Tânia “4 . 5 = 20”Cláudio “4 . 5 = 20”Fernando “3.5.m = 15m”
93
TABELA 4.12 - RESPOSTAS DO ITEM 8
ALUNOS RESPOSTASAngélica “e – f2”Tânia “e – f”Fernando, Cláudio e Giovanna Não responderam
TABELA 4.13 - RESPOSTAS DO ITEM 10
ALUNOS RESPOSTAAngélica, Tânia, Giovanna, Cláudio e Fernando “n + 2”
TABELA 4.14 - RESPOSTAS DO ITEM 11
ALUNOS RESPOSTAS JUSTIFICATIVAAngélica “Porque depende dos valores”.
Tânia“Pois o resultado será o mesmo,mas a letra K está no lugar da letraI”.
Fernando
“Às vezes”
“Só quando o exercício diz queeles são iguais”.
Cláudio “Porque não há números naexpressão”.
Giovanna“Nunca”
“Porque não tem como fazer estaexpressão”.
No Item 6, repete-se a necessidade dos alunos darem como resposta um
valor numérico ou um único termo. Comparando os Itens 6 e 8, notamos que no
primeiro, a ausência dos parênteses pode ter dificultado sua resolução, visto que é
usual, os livros apresentarem itens envolvendo adição e multiplicação de polinômios
com os parênteses, principalmente quando é introduzida a propriedade distributiva,
por exemplo: (m + 3) 5; por outro lado, a presença destes, no Item 8, em que as
operações envolvidas eram apenas as de adição e de subtração, dificultou sua
resolução.
94
4.6 ANÁLISE DO ITEM 17
No “piloto” da Atividade de Sondagem de nosso estudo, direcionada aos
alunos videntes, observamos uma relação entre as respostas dos subitens (a, b, c,
d) deste item e os níveis de Küchemann. Alunos que costumavam acertar apenas
itens de Nível 1, também acertaram o Item 17b; os alunos de Nível 2, geralmente
acertaram o Item 17a; e algum sucesso nos itens de Nível 3 foi associado com os
acertos dos Itens 17c e 17d (ver Anexo C). Desta forma, decidimos incluir o Item 17
nas considerações dos níveis de Küchemann.
QUADRO 4.5 - ITEM 17
Somente Angélica respondeu e justificou o Item 17a corretamente: “falso,
porque n + n = 2n”; os demais alunos responderam “verdadeiro”, sem o justificarem
(de fato não foi pedido justificativa às afirmações corretas). No Item 17b, Angélica,
Giovanna, Tânia e Cláudio responderam corretamente “verdadeiro”, com exceção de
Fernando que respondeu “falso”, justificando: “porque não se pode juntar as letras”.
Já o Item 17c, apenas Angélica respondeu corretamente, “F. Porque 2(a + b) = 2a +
2b”. Os demais alunos responderam “verdadeiro”. No Item 17d, Fernando escreveu:
“F. Porque não pode juntar as letras”; Angélica e Cláudio responderam
incorretamente como “verdadeiro”. Giovanna, por sua vez, respondeu “falso”, mas
justificou-o de forma incorreta: “porque 3a + 5b = 8c”; e, finalmente, Tânia respondeu
“falso”, porém não o justificou.
Os alunos persistiram no uso da mesma estratégia de resolução feita e ora
apresentada, ou seja, somaram ou subtraíram os coeficientes numéricos e
17) Coloque verdadeiro (V) ou falso (F) , caso seja falso, justifique ao lado:
Nível 2 a) n + n = n2 ( ) ____________________Nível 1 b) 3n.4p =12np ( ) ____________________Nível 3 c) 2( a + b ) = 2a + b ( ) ____________________Nível 3 d) 3a + 5b = 8ab ( ) ____________________
95
multiplicaram as partes literais, fazendo com que as respostas tivessem um único
termo. Fernando, em contraposição, mesmo em itens que envolviam a operação de
multiplicação, justificava que não poderia juntar as letras. No Item 6 , “Multiplique m
+ 3 por 5”, Küchemann justificou o baixo índice de acerto, 17%, devido à ausência
dos parênteses; entretanto, no Item 17c, “2(a + b) = 2a + b”, em que os parênteses
se faziam presentes, nossos alunos não tiveram sucesso em suas respostas,
contrariando, pois, o argumento de Küchemann.
4.7 ANÁLISE DOS ITENS 14, 15 E 16
Ciente da relevância da linguagem oral no ensino-aprendizagem para alunos
s.a.v., pretendíamos com estes itens, verificar se os mesmos faziam a passagem da
linguagem natural para a linguagem matemática (processo utilizado freqüentemente
pelos alunos durante as entrevistas descritas no Capítulo 5).
ite
QUADRO 4.6 - ITENS 14, 15 E 16
14) Escreva a expressão algébrica correspondente ao triplo de um número, mais um.
15) Escreva a expressão algébrica correspondente a um número par.
16) Escreva a expressão algébrica correspondente ao dobro de um número p, somado
com 7.
A Tabela 4.15 organiza as diferentes respostas que emergiram para estes
ns de forma a favorecer a identificação dos erros e acertos dos alunos.
96
TABELA 4.15 - RESPOSTAS DOS ITENS 14, 15 E 16
Nos itens então analisados, constatamos que, apesar da maioria dos alunos
identificar corretamente “o dobro de um número” como “2x”, “2c” e “o triplo de um
número” como “3x”, “3b”, “3a”, Tânia e Angélica, por exemplo, apresentaram
dificuldade em interpretar e escrever matematicamente as expressões em linguagem
natural. Giovanna, no Item 16, escreveu a expressão algébrica corretamente, porém,
cometeu um erro na simplificação, (o mesmo cometido em itens anteriores), gerando
uma resposta com um único termo. Tânia, além de escrever a expressão
incorretamente, simplificou-a e operou com todos os termos da expressão, obtendo,
assim como Giovanna, uma resposta com um único termo. Os demais alunos
responderam os itens com certa facilidade.
4.8 ANÁLISE DO DESENVOLVIMENTO DE CADA ALUNO NAATIVIDADE DE SONDAGEM
Iniciaremos esta seção apresentando a Tabela 4.16 onde consta um resumo
das respostas dos alunos (certas, erradas e em branco) e a Tabela 4.17, que
seleciona apenas as respostas certas de cada item. Em continuidade, faremos uma
síntese do desempenho de cada aluno, definindo o nível em que cada um se
encontra.
ALUNOS ITEM 14 ITEM 15 ITEM 16
Angélica “3a + 3b + 3x + 1” “ 2m x 6m + 2a” “11n + 6x – 8y”
Giovanna “3x + 1” “2x” “p + p + 7 = 7p”
Tânia “3b, 9a +1” “2c = 4 c = 6c “4p + 4p + 7 = 15p”
Cláudio “3x + 1” “2x + 2” “2p + 7”
Fernando “3x + 1” “2 . x = 4” “2p +7”
TABE
LA 4
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ITEM
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XX
XX
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2) d
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=1
XX
XX
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1X
XX
XX
417
b) 3
n.4p
=12n
p1
XX
XX
X4
3) m
=4n
+ 1
/ n=5
2X
XX
X X
17)
2d
+ 5e
+ d
2X
XX
XX
012
b)
2X
XX
X X
417
a) n
+ n
= n
22
XX
XX
X1
4) s
+ t
+ u
= 30
3X
XX
XX
15)
e +
f +
g =
3X
XX
XX
09)
5n
+ 6
3X
XX
XX
113
)3
XX
XX
X1
17c)
2(a
+b)=
2a+b
3X
XX
XX
217
d) 3
a+5b
=8ab
3X
XX
XX
16)
Mul
t.m+3
p/ 5
4X
XX
XX
18)
(e +
f) +
f4
XX
XX
X0
10) >
2n
ou n
+ 2
4X
XX
XX
011
) H +
I +
J =.
..4
XX
XX
X2
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090
0609
0306
1101
0312
0310
0503
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S4N
1, 2
N2, 1
N3, 2
N44N
1, 1
N2, 1
N34N
1, 1
N2, 1
N43N
13N
1, 2
N2, 4
N3, 1
N4
(C)
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Níve
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N3
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3
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te, p
orém
não
sim
plifi
cou
98
TABELA 4.17 - ACERTOS DA ATIVIDADE DE SONDAGEM - (Itens 1 a 13 e Item 17)
NOME NÍVEL 14 ITENS
NÍVEL 24 ITENS
NÍVEL 36 ITENS
NÍVEL 44 ITENS
Angélica 04 02 01 02Giovanna 04 01 01 00Tânia 04 01 00 01Cláudio 03 00 00 00Fernando 03 02 04 01
4.8.1 Angélica
Angélica acertou todos os itens de Nível 1; dois dos quatro itens de Nível 2;
um dos seis itens de Nível 3; e dois dos quatro itens de Nível 4. Diante destes
resultados, decidimos classificá-la entre os Níveis 2 e 3. Em alguns itens, Angélica,
desnecessariamente, atribuiu valores às letras, como por exemplo, no Item 2 (“Se d
+ e = 50, d + e + 4 = __?”), onde “d” e “e” tiveram valores específicos (d = 20 e e =
30). Em outros, Angélica não foi consistente em relação à aceitação da “falta de
fechamento”, por exemplo: no Item 6, “multiplique m + 3 por 5”, a aluna parecia
aceitá-la, respondeu “5m + 15”; entretanto no Item 12b, “Simplifique 2a + 12 + 8”,
parecia não aceitá-la e respondeu: “22a”. O procedimento da aluna quanto a
resolução dos Itens 7 e 17a, por exemplo, também não foi consistente. No Item 7,
“2d + 5e + d”, a aluna somou os coeficientes numéricos e multiplicou as partes
literais de cada termo, obtendo como resposta “8d2e”. Seguindo esta mesma linha,
esperávamos que no Item 17a, “n + n = n2”, Angélica respondesse “verdadeiro”, o
que não ocorreu. Ela respondeu e justificou corretamente: “Falso, porque n + n =
2n”. Nos itens referentes à passagem da linguagem natural para a linguagem
matemática, Angélica não acertou nenhum deles, mostrando uma certa dificuldade
neste procedimento. Em contraposição, nos itens que envolviam a multiplicação de
um monômio, por um polinômio, como era o caso dos Itens 6 e 1 “Multiplique m + 3
por 5” e “2 (a + b) = 2a + b”, respectivamente, suas respostas foram corretas.
4.8.2 Giovanna
Giovanna acertou todos os itens de Nível 1; somente um dos quatro itens de
Nível 2; um dos seis itens de Nível 3; e nenhum item de Nível 4. Mediante sua
performance, classificamos a aluna no Nível 1. Giovanna, assim como Angélica
atribuiu, desnecessariamente, valores às letras, o que pode ser observado, por
99
exemplo, no Item 4 “O que você pode dizer sobre s, se s = t + u e s + t + u = 30”,
sendo que a aluna atribuiu o mesmo valor para “s”, “t “e “u” (s = t = u = 10). Os Itens
que envolviam simplificações de expressões cujos termos não eram semelhantes, a
aluna não os respondeu; contudo, as expressões formadas por termos semelhantes,
foram respondidas corretamente. Houve itens que Giovanna desconsiderou a letra,
operando apenas com os valores numéricos. Isto aconteceu nos Itens 6 e 9. No item
6 “multiplique m + 3 por 5” , Giovanna respondeu “15”, e no Item 9 “Adicione 6 à 5n”,
a aluna escreveu “11”, confirmando, assim, a resistência em aceitar a “falta do
fechamento”. Quanto aos itens que envolviam a passagem da linguagem natural
para a linguagem matemática, Giovanna respondeu corretamente dois, dos três itens
apresentados.
4.8.3 Tânia:
Tânia acertou todos os itens de Nível 1; apenas um dos quatro itens de Nível
2; nenhum de Nível 3; e um dos quatro itens de Nível 4. Decidimos, então, classificá-
la como pertencendo ao Nível 1. Tânia também tinha dificuldade em aceitar os itens
que envolviam a “falta de fechamento” (atribuía um valor qualquer para a letra),
obtendo respostas com um único termo, como por exemplo, o Item 6, “Multiplique m
+ 3 por 5”, em que a aluna atribuiu um valor para ”m” (m = 1), obtendo como
resposta um valor numérico “20”; e o Item 9, onde Tânia operou com termos não
semelhantes, “Some 6 à 5n”, obtendo uma resposta com um único termo “11n”.
Quanto à simplificação de expressões, no Item 12b, que solicitava o perímetro do
pentágono, Tânia escreveu a expressão corretamente, porém, ao simplificar,
desconsiderou a letra (“2a + 12 + 8 = 2 + 12 + 8 = 22”), obtendo como resposta um
valor numérico. Nos itens referentes à passagem da linguagem natural para a
linguagem matemática, um fato chamou-nos a atenção.Tânia escreveu as sentenças
em forma de equação.
4.8.4 Cláudio:
Cláudio acertou apenas três itens correspondentes ao Nível 1, motivo pelo
qual classificamos o aluno como pertencendo ao Nível 1. Cláudio não aceitava a
“falta de fechamento”, como por exemplo, no Item 5, “Se e + f = 7, então e + f + g =
__?”, onde o aluno atribuiu um valor numérico à letra “g” (g = 1), obtendo como
100
resposta um valor numérico. Considerando os itens que envolviam simplificação,
como o Item 7, “Simplifique 2d + 5e + d”, além de operar com termos não
semelhantes, ele somou apenas os coeficientes numéricos explícitos, gerando uma
resposta com um único termo “7d”. Nos itens referentes à expressão do perímetro
das figuras, o aluno parecia querer uma expressão que se relacionasse com os
ângulos da figura; no Item 12a, especificamente, que solicitava a expressão do
perímetro de um triângulo, Cláudio respondeu “a + b + c = 90 graus”. Itens referentes
à passagem da linguagem natural para a linguagem matemática, o aluno resolveu
dois dos três itens com sucesso.
4.8.5 Fernando:
Fernando acertou três dos quatro Itens de Nível 1; dois dos quatro Itens de
Nível 2; quatro dos seis itens de Nível 3; e um dos quatro itens de Nível 4. Perante
estes resultados, achamos viável classificá-lo como pertencendo ao Nível 3. Alguns
itens em que as expressões algébricas deveriam ser reduzidas, como por exemplo,
nos itens que envolviam o perímetro das figuras, Fernando não as simplificou,
respondendo “m + m + m”, para a expressão do perímetro do triângulo, e “a + a + 6
+ 6 + 8”, para a expressão do perímetro do pentágono. O Item 7 que solicitava a
simplificação de uma expressão “simplifique 2d + e + 5”, Fernando não o respondeu.
Para itens que envolviam adição ou multiplicação, como por exemplo, nos Itens 17b
e 17d em que era solicitado aos alunos para que verificassem a veracidade das
expressões: “3n.4p = 12np ( )” e “3a + 5b = 8ab ( )”, Fernando respondeu
“falso” para ambos os itens e deu a mesma justificativa: “porque não se pode juntar
as letras” . Talvez o fato de o aluno ter pensado que não poderia “juntar” as letras,
mesmo na operação de multiplicação, seja o motivo pelo qual Fernando evitou
simplificar. Nestes termos, verificamos que não havia uma preocupação por parte do
aluno em dar como resposta um único temo; em outras palavras, parece que
Fernando aceitou a “falta de fechamento”. O Item 3 “O que você pode dizer sobre m,
se m = 4n + 1 e n = 5?”, onde o valor numérico da expressão era obtido com a
substituição do valor numérico dado, na variável n, e o Item 4 “O que você pode
dizer sobre s, se s = t + u e s + t + u = 30?”, onde a condição necessária para que
ele fosse resolvido, era que o aluno considerasse os dados da primeira expressão,
apenas Fernando os resolveu corretamente. Quanto aos itens que envolviam a
101
passagem da linguagem natural para a linguagem matemática, o aluno acertou dois
dos três itens, mostrando uma certa familiaridade com este procedimento.
4.9 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Observando os resultados da Atividade de Sondagem, constatamos que os
erros dos alunos s.a.v. são similares aos dos alunos videntes: tanto aqueles que
participaram dos estudos de Küchemann e Booth, quanto os nossos alunos que
participaram da primeira Atividade de Sondagem (vide Anexo C). Considerando as
seis categorias para a interpretação das letras pelos alunos, verificamos que, em
suas resoluções, os mesmos utilizaram, na maioria das vezes, “letra como valor”,
“letra não utilizada” e “letra como objeto”. Os itens relacionados com as três últimas
categorias “letra como uma incógnita específica”, “letra como um número
generalizado” e “letra como variável”, não foram resolvidos com sucesso pelos
nossos alunos. Nestes termos, os resultados ora apresentados mostram que os
alunos s.a.v., mesmo cursando o Ensino Médio, apresentam uma defasagem no
entendimento de procedimentos algébricos. Desta forma, no Capítulo 5,
exploraremos em que medida o trabalho com padrões figurativos, conforme
sugestões tanto dos teóricos quanto dos documentos oficiais do currículo brasileiro,
poderia favorecer a construção de interpretações das letras que inclui “letra como
uma incógnita específica”, “letra como um número generalizado” e “letra como
variável”.
102
CAPÍTULO 5Análise das tarefas
Neste capítulo, apresentaremos nossa análise das estratégias utilizadas
pelos alunos no transcorrer das tarefas, interpretando-as à luz dos referenciais
teóricos expostos nos capítulos 1 e 2.
5.1 ORGANIZAÇÃO DA ANÁLISE DAS TAREFAS
Optamos por iniciar a análise das seis primeiras tarefas, pelo fato de que
estas apresentam uma mesma estrutura, ou seja, itens que envolvem a
representação de termos específicos, a relação entre a quantidade de ímãs e a
posição da figura (dos termos) e a construção de expressões numéricas, algébricas
e equivalentes. A sétima tarefa será analisada separadamente, por duas razões:
primeiramente, por se tratar de um item da Atividade de Sondagem; e em segundo,
por possuir uma estrutura diferente das tarefas anteriores, requerendo que os alunos
caminhem no sentido oposto; em outras palavras, a partir das leis (2n e n + 2), os
alunos construiriam as seqüências.
A análise das produções dos alunos no transcorrer das seis primeiras tarefas
será organizada, em geral, em duas partes:
• Representação dos termos específicos e construção de expressões em
linguagem natural;
• Construção de expressões numéricas e algébricas1.
5.1.1 Representação dos termos específicos e a construção deexpressões em linguagem natural
Este item apresentará as estratégias utilizadas nas representações dos
termos específicos e a identificação de padrões de regularidades das seqüências.
1 As expressões numéricas, algébricas e equivalentes não fazem parte da primeira tarefa.
103
Os diálogos que emergiram neste processo nos mostram os momentos em que os
alunos fazem uso da linguagem natural para expressar suas construções e relações.
Estaremos subdividindo-o em duas seções:
a) Relações entre termos:
- relação de recorrência. Os alunos encontram um padrão de regularidade
entre termos (esta relação apareceu com freqüência na maioria das
tarefas);
- relação multiplicativa. Os alunos criam uma estratégia, usando um
processo multiplicativo que permite encontrar a quantidade de ímãs para
termos distantes; em outras palavras, o aluno, a partir de um termo
conhecido, multiplica ou soma este, por valores numéricos que o convém,
até chegar ao termo, ou próximo ao termo requisitado (esta relação
esteve presente nas duas primeiras tarefas).
b) Regra para o termo geral:
- uma expressão que permite encontrar uma relação entre a variável
independente (a posição do termo) e a variável dependente (número de
ímãs).
5.1.2 Construção de expressões numéricas e algébricas
Neste item, estaremos focando o caminho percorrido pelos alunos na
tentativa de chegarem à expressão algébrica, considerando as diferentes maneiras
que os mesmos expressam e validam suas generalizações nos diferentes momentos
das atividades:
a) Na construção de expressões numéricas:
- a partir da organização dos ímãs. Os alunos escrevem as expressões
numéricas levando em conta a forma de organização dos ímãs;
- a partir do total de ímãs. Os alunos escrevem as expressões numéricas
relacionando-as com o total de ímãs.
104
b) Na construção de expressões algébricas, distinguimos duas categorias
inspiradas no trabalho de Nakamura (2003):
- a partir de variáveis diretamente substituíveis: quando os valores das
variáveis de cada expressão numérica (que descrevem os sucessivos
termos da seqüência) indicam explicitamente as posições das figuras
na seqüência, sendo assim, substituídas diretamente;
- a partir de variáveis indiretamente substituíveis: quando os valores das
variáveis de cada expressão numérica indicam implicitamente as
posições das figuras na seqüência, mas podem ser substituídas por
meio de relações tais como: n + 1, n – 1, n + 2 etc., onde n indica a
posição da figura na seqüência.
Durante esta análise, consideraremos os procedimentos de generalização à
luz de Mason (1996), os erros e interpretações das letras em relação à perspectiva
de Küchemann (1981), as justificativas desses erros nos termos de Booth (1988) e
destacaremos os aspectos relacionados aos processos de mediação e
internalização em relação às perspectivas vygotskyanas, citados por Oliveira (2003).
5.2 ANÁLISE DA 1ª TAREFA
Pretendíamos, por ser a primeira tarefa, que os alunos se familiarizassem
com o material e as peculiaridades da seqüência, como os termos e o padrão de
regularidade. Não esperávamos, neste momento, que os alunos chegassem à lei de
formação da seqüência, embora os itens possibilitassem que os mesmos
pensassem a respeito.
FIGURA 5.1 - 1ª TAREFA
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º
105
5.2.1 Representação dos termos específicos e a construção deexpressões em linguagem natural
Apesar de não solicitarmos a expressão algébrica nesta primeira tarefa, os
alunos tiveram oportunidade de formular, em linguagem natural, suas primeiras
tentativas de generalização, envolvendo uma relação entre termos.
5.2.1.1 Relação entre termos
Constatamos duas estratégias que emergiram no transcorrer da atividade:
relação de recorrência e a relação multiplicativa.
- Relação de recorrência
Todos os alunos, durante a representação dos termos na prancha,
procuraram identificar uma relação de recorrência, usando a palavra “seqüência”
para descreverem o padrão de regularidade, “triângulo, quadrado e círculo”. Cláudio
por exemplo, expressou oralmente: “Eu continuei a mesma seqüência dos termos:
triângulo, quadrado e círculo”; Tânia, por sua vez, respondeu: “Segui a seqüência
das figuras e logo após, dei continuidade do sétimo até o décimo quinto termo”;
Giovanna comentou: “Ah! Eu olhei a seqüência daqui e eu fiz aqui e continuei a
seqüência”; e, finalmente, Fernando e Angélica escreveram: “Estão construídas três
seqüências e faltam mais duas” (vide Figura 5.2).
FIGURA 5.2 - CONSTRUÇÃO DOS TERMOS: FERNANDO E ANGÉLICA
106
O item que solicitava as figuras ocupadas na 12ª, 15ª, 18ª e 21ª posições,
tinha como objetivo que os alunos percebessem que as posições múltiplas de três
eram ocupadas pelo círculo. Neste item, todos os alunos viram que os triângulos
apareciam a cada três termos e expressavam esta relação em linguagem natural:
“de três em três”, “da tabuada do três”, “entre um círculo e outro, a gente tem o
triângulo e o quadrado”; e a maioria também notou que isto se repetia em relação
aos quadrados (com exceção de Tânia, que pelo fato do primeiro quadrado estar
representado na segunda posição, sugeriu inicialmente que as posições dos
quadrados se repetiam “de dois em dois”). O uso da palavra “seqüência” e as
relações expressas em linguagem natural indicaram que os alunos conseguiram, a
partir de suas “articulações” e “manipulações” com os ímãs, encontrar regularidades
e construir generalizações (fase descrita por Mason (1996a) como “constituindo um
sentido para”). Neste processo observamos as primeiras evidências da Espiral de
Mason. Ainda neste item, vale a pena destacar a forma de como Tânia chegou a
conclusão de que o 18º e 21º termos eram representados pelo círculo: “Eu fui
imaginando: o 16º triângulo, 17º quadrado, 18º círculo, 19º triângulo, 20º quadrado e
21º círculo”. Ela não recorreu aos imãs da seqüência já construída (as marcas
externas) mas, contando em voz baixa, continuou mentalmente a seqüência. A aluna
percebeu que há uma seqüência, uma regularidade, um padrão que se repetia e que
podia ser identificado e, então, internalizado.
O fato dos alunos “lembrarem” que os valores numéricos 3, 6, 9, 12, 15,...,
30 pertencem a “tabuada do três” e a forma de como Tânia chegou a conclusão de
que o 18º e 21º termos eram círculos, remetem-nos a pensar que “lembrar” e
“imaginar” são aspectos relacionados aos processos de mediação e intenalização e
que, segundo Oliveira (2003), correspondem a signos internos, isto é,
representações mentais que substituem os objetos do mundo real e agem como
mediadores na relação do homem com o mundo.
Quando Tânia escreveu sua resposta no sistema Braille, precisou recorrer à
seqüência construída para confirmá-la. A aluna estava utilizando conhecimentos
internalizados (como por exemplo, o sistema de contagem e a tabuada do três), mas
ao mesmo tempo, a prancha e os ímãs ainda eram suportes. Nestes termos,
entendemos que Tânia não internalizou completamente a seqüência, estando em
processo de transição.
107
- Relação Multiplicativa
No transcorrer desta tarefa, questionamos sobre quais figuras pertenciam às
posições 30ª, 42ª, 60ª, 88ª (posições mais distantes), com o intuito de que, pela
inviabilidade da construção dos termos, os alunos criassem estratégias que
possibilitassem conhecer a figura em uma posição qualquer (formulando uma regra
para o termo geral). Diante disto, emergiu uma outra estratégia, utilizada por
Fernando, envolvendo o uso de relações multiplicativas. Fernando começou com um
múltiplo de três familiar, depois aumentou, usando outros valores múltiplos de três
(30, 60, 120, 180, 600...), ou multiplicava-o por múltiplos de dez (por exemplo, 6 x
100 = 600), até chegar no termo mais perto ao solicitado, termo este, representado
por um círculo; depois, ajustou sua contagem para identificar se o termo era um
triângulo ou quadrado. Nestas condições, podemos dizer que Fernando, em suas
resoluções, foi além das “manipulações” dos ímãs; ele manipulou relações
multiplicativas e as articulou para casos específicos. Esta estratégia permitiu que ele
calculasse qualquer termo dado. Quando Fernando usou a relação multiplicativa
para chegar aos termos mais distantes, entendemos que a relação usada pelo aluno
foi uma ação internalizada. As transcrições a seguir, por exemplo, ilustram como
Fernando chegou no 231º e no 653º termos
Em se tratando do 231º termo:
Faça o que eu te falei Angélica, pega o termo mais alto, tipo o sessenta, cento
e vinte, cento e oitenta; você chega no resultado mais rápido.
...Você tem que parar no cento e oitenta, porque cento e oitenta, mais sessenta
dá duzentos e quarenta, e já passa do termo; a não ser que você vai até o
duzentos e quarenta e depois volta contando.
...Aí comecei a contar - cento e oitenta, mais trinta é igual a duzentos e dez e
daí para frente eu contei de três em três (213, 216, 219, 222, 225, 228, 231) ai
eu cheguei no resultado que é um círculo.
(Fernando expressou oralmente).
Em se tratando do 653º termo:
Eu acrescentei um zero que é seiscentos, eu sabia que seiscentos era círculo,
aí eu somei com mais trinta, ficou seiscentos e trinta e eu sabia que também
era círculo e depois do seiscentos e trinta para frente eu fui fazendo de três em
três (633, 636, 639, 42, 45, 48, 51) aí deu seiscentos e cinqüenta e um que é
108
círculo. Seiscentos e cinqüenta e dois era o triângulo e seiscentos e cinqüenta
e três o quadrado.
(Fernando expressou oralmente).
Os exemplos nos mostraram que Fernando combinou uma relação
multiplicativa com uma relação de recorrência, ou seja, apesar dele ter encontrado
uma estratégia que permitisse encontrar a quantidade de ímãs para termos distantes,
ainda estava utilizando uma relação entre termos.
É interessante destacar que, no caso das posições ocupadas pelos círculos,
os alunos trabalharam com números familiares, da “tabuada do três”; entretanto,
lembramos que, apesar desta identificação, os alunos não descreveram estes
valores como sendo “múltiplos de três” e, portanto, a generalização dos termos em
uma forma equivalente de f(n) = 3n, também não foi articulada.
5.3 ANÁLISE DA 2ª TAREFA
Optamos na segunda tarefa, por uma seqüência cuja lei geral é a função de
f(n) = 4n e por ímãs de uma única forma geométrica. Apresentamos os três primeiros
termos e solicitamos que os alunos construíssem o quarto.
5.3.1 Representação dlinguagem natural
A construção d
exceção de Cláudio q
FIGURA 5.3 - 2ª TAREFA
º
1º 2º 3os termos específicos e construção de expressões em
o 4º termo foi cumprida com facilidade pelos alunos, com
ue, no início, apresentou dificuldade neste procedimento.
109
Durante a representação dos termos e a percepção dos padrões, emergiram os dois
tipos de regras: relação entre termos e relação para um termo geral. Vale a pena
lembrar que as expressões em linguagem natural estiveram presentes em toda a
atividade, mas com maior freqüência, durante a justificativa da representação dos
termos.
5.3.1.1 Relação entre termos
A natureza da função envolvida (f(n) = 4n) nesta tarefa, provocou
generalizações baseadas em dois diferentes tipos de relações entre termos: a
relação de recorrência e a relação multiplicativa.
- Relação de recorrência
Cláudio, inicialmente, notou que de um termo para outro eram somados
quatro quadrados em relação ao total de ímãs do termo anterior. Nesta linha,
entendemos que, na construção do 4º termo, o aluno considerou apenas os quatros
quadrados que foram acrescentados (vide Figura 5.4).
Porque é sem
tinha mais qu
(Cláudio expr
No transco
observando o tota
O
1º
FIGURA 5.4 - 1ª CONSTRUÇÃO DE CLÁUDI
pre quatro quadradinhos. O primeiro tinha quatro, o segundo
atro.
essou oralmente)
rrer da atividade, Cláudio tentou reconstruir o 4º termo,
l de ímãs, mas não se preocupou em organizá-lo seguindo o
2º 3º 4º
110
padrão da seqüência. O aluno sabia que o 4º termo era constituído por dezesseis
ímãs; entretanto os organizou horizontalmente em duas fileiras (vide Figura 5.5).
Após questionarmos quanto à organização dos termos anteriores, Cláudio corrigiu
sua construção.
quatro e
recorrên
- Relaç
multiplic
quinto te
chegou
FIGURA 5.5 - 2ª CONSTRUÇÃO DE CLÁUDIO
1º 2º 3º 4º
Pensando no total de ímãs do décimo quinto termo, Cláudio contou de
m quatro, até chegar no termo solicitado, utilizando novamente a relação de
cia.
ão multiplicativa
Assim, como na primeira tarefa, novamente Fernando usou uma relação
ativa, já internalizada, para responder a quantidade de ímãs do décimo
rmo. Apresentaremos o trecho em que Fernando explica à Angélica como
à resposta correta (60 quadrados):
Dá para fazer de um jeito bem fácil! Você pega o quinto termo que é vinte, e aí
você faz cinco vezes três, é quinze; então, se o quinto termo é vinte, então vinte
vezes três é igual a sessenta. (vide Quadro 5.1).
(Fernando expressou oralmente).
111
Embora Fernando não tenha encontrado no início da tarefa uma regra para
um termo geral, a partir desta relação, o aluno respondia a qualquer termo solicitado,
mesmo os mais distantes, sem recorrer às marcas externas. Devemos ressaltar,
porém, que esta estratégia funciona apenas para uma seqüência cuja função seja do
tipo f(n) = an, mas não pode ser generalizada às funções do tipo f(n) = an + b.
5.3.1.2 Regra para um termo geral
Há indícios de que a trajetória inicial para regra geral emergiu para alguns
alunos na representação do 4º termo. Verificamos nas falas de Angélica, Giovanna,
Tânia e Fernando que, além dos alunos levarem em conta a organização dos ímãs
dos termos anteriores, parece que eles estavam atentos também à relação entre a
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
20 20 20
20 x 3 = 60
Número do termo
Quantidade de ímãs em cada
QUADRO 5.1 - ESTRATÉGIA DE FERNANDO
5º 20
15º 60
X 3X 3
112
quantidade de “colunas” (grupo de quatro ímãs na posição vertical2) e o número do
termo.O 3º termo já é formado por três “barrinhas” de quatro quadradinhos, então o
quarto, seria quatro “barrinhas” com quatro quadradinhos.
(Angélica expressou oralmente).
O primeiro termo tinha só uma “fileira”; o segundo duas; o terceiro três; e o
quarto quatro.
(Giovanna expressou oralmente)
Analisando os termos anteriores, podemos chegar à conclusão que como o 3º
termo tinha três “barrinhas”, o 4º termo teria que ter quatro “barrinhas”.
(Fernando escreveu).
Além da organização dos ímãs dos termos anteriores e a possível relação da
quantidade de “colunas” com o número do termo, Tânia considerou também o total
de ímãs em cada termo:
O primeiro termo tem quatro quadrados e uma coluna só; o segundo termo tem
duas colunas com oito quadrados no total; o terceiro tem três colunas com
doze; então, o quarto termo terá quatro colunas com 16 quadrados.
(Tânia expressou oralmente).
Para Giovanna, a regra para um termo geral tornou-se mais explícita a partir
do item que pedíamos o número de ímãs de alguns termos específicos, por exemplo:
O quinto termo tem vinte quadrados, porque quatro vezes cinco é igual a vinte.
O sexto termo tem vinte e quatro quadrados, porque quatro vezes seis é igual a
vinte e quatro. O sétimo termo tem vinte e oito quadrados, porque quatro vezes
sete é igual a vinte e oito. O décimo quinto termo tem sessenta quadrados,
porque quatro vezes quinze é igual a sessenta.
(Giovanna expressou oralmente).
Tratando-se de Angélica, Cláudio e Fernando, a regra para um termo geral
ficou evidente quando solicitamos a relação entre o número do termo e a quantidade
de ímãs em cada termo:
Angélica expressou em linguagem natural a regra para um termo geral.
2 Fileira, carreira, barrinha e coluna foram os termos usados pelos alunos para se referirem ao grupode quatro ímãs na posição vertical.
113
Que sempre o número do termo multiplicando por quatro dá sempre o número
de quadrados.
(Angélica expressou oralmente).
Identificamos na fala de Angélica, “o número do termo multiplicando por
quatro dá sempre o número de quadrados”, um dos aspectos citados por Booth
(1988) quanto ao “uso da notação e convenção”. Segundo a autora, a leitura
inadequada do símbolo de igualdade, de “é igual a” para “dá”, dificulta o
entendimento por parte dos alunos de que este símbolo indica uma relação de
equivalência.
O total de ímãs de cada termo (4, 8, 12, 16, 20...) permitiu a Cláudio
perceber que os valores pertenciam à “tabuada do quatro”.
Tipo quatro vezes um, quatro vezes dois, quatro vezes três, quatro vezes
quatro, é a tabuada...do quatro.
(Cláudio expressou oralmente).
Fernando, diferentemente de seus colegas, pensou a partir do total de
quadrados de um determinado termo, chegando à posição da figura (número do
termo em função do total de quadrados), 4y f(y) = , sendo y o total de ímãs e f(y), o
número do termo.
É sempre um quarto, um quarto de oito é dois; um quarto de doze é três.
(Fernando expressou oralmente).
5.3.2 Construção de expressões numéricas e algébricas
Em continuidade ao processo de generalização, alguns itens da atividade
solicitaram a construção de expressões numéricas e algébricas.
5.3.2.1 Construção de expressões numéricas
Embora os alunos já tivessem pensado em uma regra geral quando
contavam a quantidade de ímãs em termos específicos, ao solicitarmos para
expressá-la numericamente, alguns não manipularam as posições dos termos nas
suas generalizações, sendo que outros aspectos ligados à organização dos ímãs
114
nos termos emergiram. Giovanna e Tânia, por exemplo, relacionaram a quantidade
de ímãs em cada termo, com o número de “fileiras” e “colunas”, respectivamente:
Quatro vezes o número de fileiras
(Giovanna expressou oralmente).
Quatro vezes o número de colunas;
(Tânia expressou oralmente).
Cláudio, que no início não havia pensado em uma regra para a construção
dos termos, relacionou-os com a “tabuada do quatro”, como mencionado na seção
anterior; e Fernando, que relacionou o número do termo em função do total de
quadrados )4y (f(y) = , influenciado pela estratégia de Angélica, “Que sempre o
número do termo multiplicando por quatro, dá sempre o número de quadrados”,
modificou sua estratégia inicial para: “Uma vezes quatro é igual a quatro; duas vezes
quatro é igual a oito; três vezes quatro é igual a doze; quatro vezes quatro é igual a
dezesseis”. Em síntese, percebemos que todos os alunos chegaram nas expressões
numéricas “4 x 1, 4 x 2, 4 x 3...”, mas nem todos relacionaram-nas com o número do
termo. Alguns relacionaram com a quantidade de “colunas” ou “fileiras”, e outros
pensaram no total de ímãs, por exemplo, 4 = 4 x 1, 8 = 4 x 2, 12 = 4 x 3.
5.3.2.2 Construção de expressões algébricas
A estratégia usada para que os alunos passassem da expressão numérica
para a algébrica, foi questionar sobre os termos, desde os mais próximos até os
mais distantes, como por exemplo, o 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º, 15º, 100º, 1000º e,
finalmente, o “enésimo” termo. Todas as construções das expressões algébricas
partiram de variáveis diretamente substituíveis; em outras palavras, os alunos
substituíram diretamente as variáveis que indicavam as posições dos temos por uma
letra qualquer, chegando nas expressões algébricas “4 x n” ou “n x 4” ou “4 x x”. Por
último, validaram alguns termos conhecidos. É possível que durante a validação da
regra para um termo geral, alguns alunos, que ainda não tinham feito a relação entre
a organização dos ímãs e o número do termo, tenham percebido que a variável “n”
115
ou “x”, representava a posição da figura e não o número de colunas dos termos.
Fazendo uma conexão com os aspectos vygotskyanos de “mediação” e
“internalização”, há indícios de que as estratégias utilizadas pelos alunos emergiram
de conceitos já internalizados por eles, como por exemplo, os elementos
pertencentes à “tabuada do quatro” (o produto 4, 8, 12... e a operação de
multiplicação que gera este produto, como 4 x 1, 4 x 2 e 4 x 3). Podemos dizer que
além dos ímãs, a “tabuada do quatro” também serviu como elemento mediador nas
estratégias dos alunos.
Quanto ao item referente a outros métodos para calcular o número de
quadrados em cada termo, somente Fernando usou uma outra metodologia. De
forma semelhante aos alunos de Arzarello (citado em Mason, 1991, p. 76), ele
extrapolou uma relação que funcionou para um caso particular, mas não para uma
regra geral. Considerando a quantidade de quadrados do 2º termo (oito quadrados),
ele pensou em outra operação que resultasse em oito – “dois elevado ao cubo” .
Quando validamos para o 3º termo, ele disse “não dá certo”, pois 33 seria 27 e a
quantidade de quadrados do 3º termo é 12.
Destacamos nesta tarefa, formas diferentes de articular relações, como no
início da atividade, onde os alunos, com maior freqüência, usavam à seqüência
construída, manipulando os objetos com o objetivo de encontrarem os padrões de
regularidades. Estes padrões, na sua forma inicial eram expressos em linguagem
natural, sendo representados em expressões numéricas e, finalmente, em
expressões algébricas. No momento da validação da regra para um termo geral,
identificamos o que Mason (1996a) dispôs ao se referir “ver o geral no particular” e
“ver o particular no geral”. O aluno pode ver, através da concretização de uma regra
geral, qualquer termo específico da seqüência, isto é, “ver o particular no geral”. No
sentido oposto, pela abstração, o aluno pode generalizar a partir dos casos
particulares, “ver o geral no particular”. Em nosso estudo, identificamos como sendo
cada termo construído da seqüência chegando na regra geral.
Apesar de Cláudio e Fernando iniciarem o processo de generalização
utilizando uma relação entre termos, ou seja, a relação de recorrência ou a relação
multiplicativa, no transcorrer da atividade, todos chegaram à regra para um termo
geral. Dois fatores contribuíram para isto: a familiaridade dos valores resultantes da
116
lei geral (f(n) = 4n), e o fato de que o número de “colunas” coincidia com o número
do termo.
5.4 ANÁLISE DA 3ª TAREFA
Inicialmente, explicamos aos alunos que os termos apresentados nesta
seqüência não estavam na forma consecutiva, como nas seqüências anteriormente
trabalhadas (vide Figura 5.6).
5.4.1 Repexp
To
seguindo u
organizaçã
Tânia e Fe
círculo. Est
foco era o
segundo M
Figura 5.7
º
FIGURA 5.6 - 3ª TAREFA
2º 4
resentação dos termos específicos e construção deressões em linguagem natural
dos os alunos, com exceção de Cláudio, construíram o 3º e 5º termos
m padrão de regularidade, sempre atentando-se à quantidade e à
o dos ímãs da seqüência construída. Um fato chamou-nos a atenção.
rnando, espontaneamente, construíram o 1º termo, colocando um único
e procedimento nos mostra que os mesmos, nas suas “articulações”, cujo
s padrões de regularidade, foram além das “manipulações”; e estavam,
ason (1996a), “constituindo um sentido para” os ímãs manipulados. A
mostra o 1º, 3º e 5º termos construídos por Tânia.
117
Durante as jus
primeiras tentativas de
estabeleceram uma re
considerando as organi
5.4.1.1 Relação entre
Cláudio, Angél
relação entre termos, ca
- Relação de recorrên
Cláudio constru
levar em consideração
construções apontaram
ímãs, tanto na sua org
Figura 5.8 mostra a prim
A
FIGURA 5.7 - CONSTRUÇÃO DE TÂNItificativas das representações dos termos constatamos as
generalizações expressas em linguagem natural. Três alunos
lação entre termos e dois iniciaram suas observações,
zações dos ímãs com o número do termo.
termos
ica e Tânia iniciaram suas estratégias pensando em uma
da um deles gerando uma estratégia diferente.
cia
iu os termos solicitados, como nas tarefas anteriores, sem
a organização ou a quantidade de ímãs em cada termo. As
, que o aluno apresenta dificuldade na manipulação física dos
anização quanto na quantidade de ímãs em cada termo. A
eira construção do 3º e 5º termos feita por Cláudio.
118
Refletindo s
pesquisadora fez u
regularidade e corrig
Angélica, C
os termos solicitado
• Estratégia 3.1 -
extremidade da f
• Estratégia 3.2 -
considerou-se a
termo (vide Figur
• Estratégia 3.3 -
número do termo
com a quantidad
5.11).
Angélica us
círculo em cada extr
FIGURA 5.8 - CONSTRUÇÃO DE CLÁUDIO
2º 3º 4º 5º
obre a quantidade de ímãs do 2º para o 3º termo, a professora
ma intervenção para que Cláudio atentasse ao padrão de
isse suas construções.
láudio e Tânia usaram a relação de recorrência para construírem
s; desta relação, emergiram três estratégias:
Acrescentou-se, de um termo para outro, um círculo em cada
igura (vide Figura 5.9).
Além de acrescentar um círculo em cada extremidade da figura,
quantidade de círculos nas posições vertical e horizontal de cada
a 5.10).
A quantidade de ímãs na posição vertical foi relacionada com o
e a quantidade de círculos na posição horizontal foi relacionada
e de círculos na posição vertical do termo anterior (vide Figura
ou a Estratégia 3.1, acrescentando de um termo para outro, um
emidade da figura (vide Figura 5.9).
119
Marcando um círculo como base em cada termo, acrescentamos conforme
mudamos de um termo para outro, um círculo em cima e outro do lado direito.
(Angélica expressou oralmente).
Cláudio usou a Estratégia 3.2; em outras palavras, além de observar que de
um termo para outro aumentava um ímã na posição vertical e horizontal, considerou
também a quantidade de ímãs nas posições vertical e horizontal. Convém ressaltar
que, apesar de Cláudio se referir ao número do termo durante suas justificativas e
sua fala ter todos os indícios de uma regra para um termo geral, o fato é que ele
ainda estava descrevendo o que para si foi uma relação de recorrência. (vide Figura
5.10).
2º 3º 4º
FIGURA 5.9 - ESTRATÉGIA 3.1
“base”
FIGURA 5.10 - ESTRATÉGIA 3.2
“em pé”
deitado 2º 3º 4º
120
Aumentou um do segundo para o terceiro. No segundo termo havia dois em pé
e um deitado, no terceiro termo havia três em pé e dois deitados, no quarto
termo, quatro em pé e três deitados, no quinto, cinco em pé e quatro deitados.
(Cláudio expressou oralmente).
Tânia, por sua vez, utilizou a Estratégia 3.3, relacionando a quantidade de
ímãs “deitados” de um termo com o número de ímãs “em pé” do termo anterior (vide
Figura 5.11).
Segui uma certa seqüência: ou seja, observei a posição dos círculos (Angélica
queria dizer a organização dos ímãs). Para construir, me baseei nos círculos
anteriores e na posição e na quantidade de cada um deles. No 3º termo:
coloquei 3 círculos “em pé” e 2 “deitados” porque o 2º termo tinha 2 círculos
“em pé”.
(Tânia escreveu).
Ao nosso entender, é natural que os alunos iniciem suas articulações a
caminho da regra geral, levando em conta as relações de recorrências, uma vez que
a ausência da visão faz com que os mesmos percebam parte da seqüência (termo a
termo), e não a seqüência como um todo (com todos os termos apresentados). Além
disto, as construções dos termos também requerem que os alunos observem os
termos anteriores e posteriores, propiciando assim, este tipo de relação.
2º 3º
FIGURA 5.11 - ESTRATÉGIA - 3.3
121
5.4.1.2 Regra para um termo geral
Há indícios nas falas de Giovanna e Fernando de que tenham percebido,
desde o início, na representação dos termos, alguma relação entre a quantidade de
ímãs nas posições vertical e horizontal e o número do termo, emergindo assim, as
Estratégias 3.4 e 3.5.
• Estratégia 3.4 - A quantidade de ímãs nas posições vertical e horizontal
(considerando o ímã do canto), foi relacionada com o número do termo (vide
Figura 5.12).
• Estratégia 3.5 - A quantidade de ímãs nas posições vertical e horizontal
(desconsiderando o ímã do canto), foi relacionada com o número do termo (vide
Figura 5.13).
Giovanna observou que a quantidade de ímãs nas posições vertical e
horizontal coincidia.
Eu peguei o exemplo que estava aqui (apontou para o 2º termo construído). O
segundo tem dois em pé e dois deitados; o quarto tem quatro em pé e quatro
deitados. No terceiro, eu coloquei três em pé e três deitados, e no quinto, cinco
em pé e cinco deitados.
(Giovanna expressou oralmente).
2º 3º 4º
23
4
2 3 4
FIGURA 5.12 - ESTRATÉGIA 3.4
122
Fernando percebeu que se o ímã situado no canto esquerdo não fosse
considerado, haveria uma mesma quantidade de ímãs nas posições vertical e
horizontal (Estratégia 3.5 - vide Figura 5.13).
Eu pensei assim: se o segundo vinha um pra cá e um pra cá (Fernando
apontava para a direção dos ímãs), e no quarto vinha três pra cá e três pra cá,
então eu percebi que o terceiro vinha dois pra cá e dois pra cá, e o quinto vinha
quatro pra cá e quatro pra cá.”
(Fernando expressou oralmente)
Angélica, Tânia e Cláudio somente começaram a pensar em relacionar a
quantidade de ímãs com a posição da figura, a partir de um item da tarefa que pedia
esta relação. Das estratégias usadas até o momento, três delas prosseguiram, uma
proveniente da relação entre termos (Estratégia 3.2), e outras duas provenientes da
relação com o número do termo (Estratégias 3.4 e 3.5).
Fernando e Angélica usaram a Estratégia 3.5. Fernando seguiu a mesma
estratégia inicial, separando o ímã do canto em relação aos demais e relacionando-
-os com o número do termo. Angélica, que inicialmente havia pensado em uma
relação de recorrência, passou a relacionar a organização dos círculos com o
número do termo.
Que o número do termo menos 1 é igual ao número de círculos que tem que ir
para a direita e para cima.
(Fernando escreveu).
O número do temo menos 1, é igual a quantidade de círculos que se localiza
do lado direito e em cima, mais um que é a base.
(Angélica escreveu).
2º 4º
FIGURA 5.13 - ESTRATÉGIA 3.5
123
Cláudio e Tânia usaram a Estratégia 3.2, onde a quantidade de círculos na
posição vertical coincidia com o número do termo e a quantidade de círculos na
posição horizontal era uma unidade menor que o número do termo (vide Figura
5.10).
A quantidade de círculos de pé é sempre igual ao número do termo. Os
círculos deitados são sempre um abaixo do número do termo.
(Cláudio expressou oralmente).
Tânia, que inicialmente havia pensado em uma relação de recorrência,
relacionou os ímãs na posição vertical com o número do termo com certa facilidade;
mas insistiu em relacionar os ímãs na posição horizontal com os ímãs na posição
vertical do termo anterior. Após relacionarmos numericamente esses ímãs com o
número do termo, Tânia corrigiu a relação e expressou-a em linguagem natural.
O que está “em pé” representa a quantidade do número do termo. Por
exemplo: se é o 3º termo, tem 3 “em pé”
(Tânia expressou oralmente).
Ao questionarmos a aluna a respeito dos círculos na posição horizontal:
Tem que tirar menos um, sempre menos um da quantidade do quarto termo.
Vai ser difícil explicar. (Tânia se referiu a explicar na escrita em Braille)
(Tânia expressou oralmente).
Giovanna, por sua vez, respondeu prontamente, seguindo a mesma
estratégia inicial (Estratégia 3.2, Figura 5.12), onde a quantidade de círculos nas
posições vertical e horizontal coincidiam.
Que o número do termo é o mesmo número que está posicionado em pé e
deitado.
(Giovanna expressou oralmente).
Notamos durante a representação dos termos, as primeiras tentativas de
generalização expressas em linguagem natural. Os alunos encontraram os padrões
de regularidade das seqüências a partir de suas “manipulações” e “articulações”, e
perceberam algumas relações “constituindo um sentido para” os objetos envolvidos.
124
Nas tentativas de estabelecerem relações, os alunos manipularam os ímãs,
agrupando-os ou separando-os. Em termos vygotskyanos, estas relações são
identificadas como estratégias externas que, no transcorrer da atividade, contribuem
para que os alunos desenvolvam “estratégias internas”, indicando, desta forma, um
processo de internalização.
5.4.2 Construção de expressões numéricas e algébricas
Os alunos escreveram as expressões numéricas e algébricas a partir das
várias estratégias apresentadas anteriormente.
5.4.2.1 Construção de expressões numéricas
As primeiras expressões numéricas, onde as variáveis não eram diretamente
substituíveis, foram escritas com facilidade pelos alunos; entretanto, ao reescrevê-
las relacionando com o número do termo, eles apresentaram grandes dificuldades,
dificuldades estas, que serão consideradas na próxima seção.
Giovanna, Tânia e Cláudio usaram a Estratégia 3.2 (ver seção 5.4.1.2) para
escreverem as expressões numéricas dos 6º, 7º, 20º e 30º termos (vide Tabela 5.1).
Angélica e Fernando, por outro lado, usaram a Estratégia 3.5 (vide Tabela 5.2). No
item referente a reescrever a expressão numérica usando o número do termo,
Fernando espontaneamente usou os parênteses e justificou:
Para saber dividir (separar) bem. Podia colocar, parênteses, chaves... mais
para ter uma divisão (separação) mesmo.
(Fernando expressou oralmente)
Ex
6º te
7º te
20º
30º
TABELA 5.1 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS REFERENTES À ESTRATÉGIA 3.2
pressões numéricas Reescrevendo as expressões numéricas (Item g)
rmo = 6 + 5 = 11 6º termo = 6 + 6 – 1 = 11
rmo = 7 + 6 = 13 7º termo = 7 + 7 – 1 = 13
termo = 20 + 19 = 39 20º termo = 20 + 20 – 1 = 39
termo = 30 + 29 = 59 30º termo = 30 + 30 – 1 = 59
125
em
fato
indic
sub
do t
num
algé
5.4.
exp
“ené
exp
vert
form
qua
E
6º te
7º te
20º
30º
5
TABELA 5.2 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS REFERENTES À ESTRATÉGIA 3.Apesar dos alunos representarem corretamente as expressões numéricas
linguagem natural, a passagem para uma regra geral não foi tão simples. Este
deve-se aos valores das variáveis das expressões numéricas que, neste caso,
avam implicitamente as posições das figuras na seqüência, sendo necessária a
stituição dos mesmos por uma relação do tipo “n – 1”, onde “n” indica a posição
ermo na seqüência. Em termos vygotskyanos, podemos dizer que as expressões
éricas agem como mediadoras entre a linguagem natural e as expressões
bricas.
2.2 Construção de expressões algébricas
Dos três alunos que usaram a Estratégia 3.2, Tânia e Cláudio escreveram as
ressões numéricas do 100º e 1000º termos e, em seguida, a expressão do
simo” termo, “n + n – 1”. Giovanna, entretanto, não conseguiu chegar à
ressão algébrica. Transcreveremos o trecho que mostra esta dificuldade.
Professora: E o enésimo termo?
Giovanna: “Ene” em pé e “o” deitado. (Giovanna deu outra letra para a quantidade de
ímãs deitados)
Professora: Qual é a relação dos ímãs deitados com o número do termo?
Giovanna: É menos um “ene”. O de pé é “ene” e o deitado é menos um. Menos “ene”.
Giovanna entendeu a relação entre a quantidade de ímãs nas posições
ical e horizontal, e o número do termo, mas notamos uma certa dificuldade na
alização. Uma das dificuldades refere-se ao aspecto estudado por Booth (1988)
nto ao “significado das letras e das variáveis”; neste caso, a aluna representou
xpressões numéricas Reescrevendo as expressões numéricas (Item g)
rmo = 5 + 5 + 1 = 11 6º termo = (6 – 1) + (6 – 1) + 1 = 11
rmo = 6 + 6 + 1 = 13 7º termo = (7 – 1) + (7 – 1) + 1 = 13
termo = 19 + 19 + 1 = 39 20º termo = (20 – 1) + (20 – 1) + 1 = 39
termo = 29 + 29 + 1 = 59 30º termo = (30 – 1) + (30 – 1) + 1 = 59
126
um valor diferente por uma letra diferente e a outra, em relação a ordem dos termos,
Giovanna invertia-os como, por exemplo: “É menos um “ene”” ao invés de ““ene”
menos um”. O fato da aluna não ter chegado à expressão algébrica, deixou-a
inquieta e ansiosa. Frente a esta situação, retomamos a Estratégia 3.4, inicialmente
enunciada por Giovanna, afim de que, através de um outro caminho, ela tentasse
escrever as expressões numéricas e algébricas. Nesta estratégia, as variáveis das
expressões numéricas eram diretamente substituíveis.
Apresentamos as expressões que emergiram da Estratégia 3.4 (vide Tabela
5.3) e a relação expressa em linguagem natural:
Que o número do termo é o mesmo número que está posicionado em pé e
deitado, menos um.
(Giovanna expressou oralmente)
Neste caminho, Giovanna chegou na mesma expressão algébrica de Tânia
e Cláudio “n + n – 1”3. Na simplificação, a aluna respondeu oralmente:
Giovanna: Dois “ene” menos um que dá n” (2n – 1 = n)
Ao validarmos, Giovanna percebeu que a expressão seria “2n – 1” e em
seguida questionou:
Giovanna: Mas pode dar duas respostas?
3 Ressaltamos que o fato dos alunos chegarem na mesma expressão “n + n – 1”, deve-se ao não usodos parênteses; caso contrário, obteríamos “n + (n - 1)” proveniente da Estratégia 3.2 e “(n + n) - 1”proveniente da Estratégia 3.4. Ambas as expressões reduzidas resultariam na expressão equivalente“2n – 1”.
Expressões numéricas
6º termo = 6 + 6 - 1 = 11
7º termo = 7 + 7 - 1= 13
20º termo = 20 + 20 - 1 = 39
30º termo = 30 + 30 - 1 = 59
TABELA 5.3 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS REFERENTES À ESTRATÉGIA 3.4
127
As duas respostas a que Giovanna estava se referindo era uma resposta
com dois termos (2n – 1). Neste caso, é evidente a não aceitação por parte da aluna
da “ausência de fechamento”, confirmando um dos aspectos mencionados por Booth
(1988) no que se refere à “natureza das respostas”. Um outro aspecto identificado na
fala de Giovanna e mencionado na segunda tarefa foi o “uso da notação e
convenção”, onde na expressão “Dois “ene” menos um que dá n”, a aluna fez uma
leitura inadequada do símbolo de igualdade.
Tratando-se da simplificação da expressão algébrica “n + n – 1”, Cláudio não
tentou reduzí-la e Tânia, por sua vez, simplificou-a, porém, apresentou dificuldade
em operar com a letra “n”. Transcreveremos este trecho:
Professora: Você acha que é possível simplificar n + n + 1?
Tânia: Eu só não sei se é assim, mas no caso, é n + 1? Ou n + n dá 1n? No
caso n, dá 2n.
Professora: Quanto é n + n?
Tânia: Um, dá 2n.
Professora: Você falou um, não entendi, você ...
Tânia: 1n.
Professora: Quanto é x + x?
Tânia: 2x.
Professora: Porque você me respondeu tão rápido para x?Tânia: Eu faço confusão, não sei porque.
Professora: Mas não importa a letra. E se eu falar b + b?
Tânia: 2b.
Professora: Se eu falar d + d?
Tânia: 2d.
Professora: E n + n?
Tânia: 2n, 2n – 1.
Apesar de Tânia ter chegado à expressão algébrica 2n - 1, identificamos,
novamente, durante a simplificação, que os erros cometidos pela aluna, segundo os
estudos de Booth (1988), pertencem aos aspectos da “natureza das respostas” e “do
“uso da notação e convenção”, como descrito anteriormente.
Fernando e Angélica, por outro lado, utilizando a Estratégia 3.5 (seção
5.4.1.2), não encontraram dificuldade em escrever a expressão algébrica:
128
“(n – 1) + (n – 1) + 1”. Entretanto, na simplificação, Fernando e Angélica não
procederam corretamente.
Fernando: Abre parênteses,”ene” menos dois, fecha parênteses, mais um”. (n – 2) + 1”
Angélica: Dois “ene” menos 3. (2n – 3)
Percebemos que o uso dos parênteses, talvez, possa ter influenciado no
processo de simplificação de Fernando. No caso de Angélica, a dificuldade foi em
operar com a adição e subtração (regra de sinal).
Somente a dupla, Fernando e Angélica, a partir de uma outra trajetória,
encontraram uma expressão equivalente àquela encontrada inicialmente
“(n – 1) + (n – 1) + 1”. A Estratégia usada foi a mesma de Cláudio e Tânia (Estratégia
3.2), com a diferença de que tanto as expressões numéricas quanto a algébrica
foram escritas usando parênteses, isto é, a expressão algébrica equivalente
encontrada foi a “n + (n – 1)” (vide Tabela 5.4). No final, a dupla procedeu a
validação de ambas as expressões.
Destacamos
validação. Os aluno
ausência de parênte
soma ou subtração
os alunos atribuam
aquisição de uma
expressões equiva
regularidade, repres
A percepção
linguagem e do tato
(signos externos) pa
Giovanna e Tâ
Termo n = n + n – 1 =
TABELA 5.4 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
nos dois últimos exemplos, o quanto é relevante o processo de
s são capazes de detectar possíveis erros, como por exemplo, a
ses, um cálculo incorreto, ou ainda, durante a simplificação, uma
de termos não semelhantes. Durante a validação, é possível que
significado às expressões algébricas construídas, favorecendo a
concepção estrutural de expressões algébricas. As várias
lentes encontradas, a partir dos diferentes padrões de
entam, cada uma delas, um caso particular de generalização.
dos alunos s.a.v. se faz, durante toda a atividade, através da
. É comum alguns alunos recorrerem a um termo construído
ra estabelecerem relações para um termo geral. A linguagem e
nia Cláudio Fernando e Angélica
2n - 1 Termo n = n + n - 1 Termo n = (n – 1) + (n – 1) –1
Termo n = n + (n – 1) expressão
equivalente
129
os sistemas de contagem, neste processo, agem como mediadores entre o sujeito e
os objetos do mundo real, contribuindo para o desenvolvimento das funções
psicológicas superiores.
5.5 ANÁLISE DA 4ª TAREFA4
Os itens que orientaram esta tarefa foram estruturados de tal forma para que
os alunos pensassem, inicialmente, em relação aos círculos e, posteriormente, em
relação aos quadrados, finalizando-a com o total de ímãs e outras regularidades. As
leis envolvidas, f(n) = n, f(n) = 2n + 3 e f(n) = 3n + 3, correspondem às leis do círculo,
quadrado e total de ímãs, respectivamente. Apresentaremos o 1º e o 4º termos da
seqüência.
5.5.1 Representação dosexpressões em lingua
Todos os alunos const
observação da organização e
Cláudio, que nas tarefas anteri
ímãs, nesta, organizou-os corre
4 As respostas dos alunos referentes transcritas para os nossos caracteretarefas originais impressas em alto re
1º
FIGURA 5.14 - 4ª TAREFA
termos específicos e construção degem natural
ruíram o 2º e 3º termos desta seqüência, a partir da
da quantidade de ímãs em cada termo; inclusive
ores apresentou certa dificuldade na organização dos
tamente (vide Figura 5.15).
a esta tarefa estão impressas à tinta no sistema Braille e forams. Os leitores poderão encontrá-las no Anexo F. As demais
levo encontram-se em poder da professora pesquisadora.
4º
130
Em relação à justificativa da representação dos termos, emergiram quatro
estratégias:
! Estratégia 4.1 - Considerou-se o total de ímãs em cada termo (círculos e
quadrados) e a relação feita entre os termos (relação de recorrência) - (vide
Figura 5.16);
! Estratégia 4.2 - Os três quadrados na posição horizontal (primeira linha de cima
para baixo) e os quadrados nas posições verticais da esquerda e da direita foram
agrupados e separados. Os quadrados em cor verde e os círculos foram
relacionados com o número do termo (vide Figura 5.17);
! Estratégia 4.3 - Os quadrados na posição vertical da esquerda e da direita foram
agrupados e separados de forma que um único quadrado fique acima da “coluna”
do meio. Os quadrados em cor verde e os círculos foram relacionados com o
número do termo (vide Figura 5.18);
• Estratégia 4.4 - O conceito de conjunto foi utilizado para expressar o fato dos
quadrados estarem contornando os círculos (não na sua totalidade) - (vide Figura
5.19).
FIGURA 5.15 - CONSTRUÇÃO DE CLÁUDIO
131
5.5.1.1 Relação entre termos
Apenas Cláudio usou uma relação de recorrência. Os demais alunos
iniciaram suas relações considerando o número do termo.
- Relação de recorrência
Cláudio percebeu que de um termo para outro, o total de ímãs aumentava de
três em três e os círculos, de um em um (vide Figura 5.16). A prontidão com que o
aluno justificou sua construção leva-nos a crer que os valores 6, 9, 12 e 15
mencionados por ele, assim como na primeira tarefa, lhe pareciam familiares, talvez
por pertencerem à “tabuada do três”.
Mantive uma seqüência: tipo o primeiro havia seis (ímãs); se o quarto tinha
quinze (ímãs), então o segundo, automaticamente, tinha que ter nove e o
terceiro doze. Aumenta de três em três.
(Cláudio respondeu oralmente).
Os círculos eu observei que no 1º termo havia só 1 círculo e então fui
aumentando 1 e 1 por termo. Os círculos do meio da coluna do meio.”
(Cláudio escreveu).
As ”manipulações” e “articulações” de Cláudio estavam, ainda, voltadas para
a relação entre termos; ele apenas começou a pensar em relacionar a quantidade ou
a organização dos ímãs com a posição da figura a partir do item que pedia esta
relação.
1º 2º 3º 4º
FIGURA 5.16 - ESTRATÉGIA 4.1
Total deímãs = 6
Total deímãs = 15
132
5.5.1.2 Regra para um termo geral
No item que solicitava a justificativa da representação dos termos, Fernando,
Angélica, Giovanna e Tânia, espontaneamente, iniciaram uma relação que envolvia
a organização dos círculos e quadrados com o número do termo.
Tânia e Angélica usaram a Estratégia 4.2, observando que havia três
quadrados na primeira “linha” (expressão utilizada pelas alunas para designar os
ímãs na posição horizontal) de cada termo e, a partir da segunda linha, o termo era
composto por um quadrado, um círculo e um quadrado. Segundo Tânia, deveria
sempre ser colocada “uma linha a mais em relação ao número do termo” (incluindo a
primeira linha de quadrados). Angélica, depois de construída a primeira linha,
continuou colocando quadrado, círculo e quadrado, até que a “quantidade de
círculos fosse igual ao número do termo” (vide Figura 5.17).
Eu pensei assim: eu me baseei aqui (1º termo). Primeiro eu observei a posição
dele, primeira e segunda linha (ímãs na posição horizontal) reparei que no
meio, a partir da segunda linha, já seria círculo até o final. Aí, pra fazer os
outros... esse é o primeiro termo e, ao invés de você colocar uma linha, você
colocou duas, no segundo termo serão três porque é uma a mais da quantidade
do termo...O círculo sempre a partir da segunda linha, e um quadrado à direita
e à esquerda.
(Tânia expressou oralmente).
O primeiro tem três quadrados, assim em cima (Angélica estava se referindo
aos três quadrados na posição horizontal) aí um quadrado um círculo e outro
quadrado na linha de baixo. Aí no terceiro termo, tem três quadrados em cima e
1º 2º 3º 4º
FIGURA 5.17 - ESTRATÉGIA 4.2
3
34
1
133
na linha de baixo, um quadrado, um círculo e um quadrado, um quadrado um
círculo e um quadrado...assim por diante até três círculos. O número de
círculos de cada termo é correspondente ao número desse termo.
(Angélica expressou oralmente).
Giovanna, por sua vez, usou a Estratégia 4.3, considerando que o número
de quadrados nas fileiras da esquerda e da direita era uma unidade a mais em
relação ao número do termo (vide Figura 5.18).
O primeiro eu vi, só tinha uma bolinha e no quarto tinha quatro, aí o segundo
tinha que ter duas e o terceiro três. Os quadrados têm sempre um a mais.
(apontou para as colunas, na posição vertical, ao lado dos círculos).
(Giovanna respondeu oralmente)
Fernando observou que a quantidade de círculos era igual ao número do
termo, e que os quadrados cercavam os círculos (não na sua totalidade). Vide Figura
5.19.
FIGURA 5.19 - ESTRATÉGIA 4.4
1º 2º 3º
2 1 2
5 1 5
1º 2º 3º 4º
FIGURA 5.18 - ESTRATÉGIA 4.3
3 1 34 1 4
134
Cada termo é formado por um conjunto e o número do termo é correspondente
ao número de círculos que está dentro dele. Exemplo: o 3º termo tem 3
círculos dentro dele.
(Fernando escreveu).
Cláudio, assim como Tânia e Angélica, ao iniciar as relações das
organizações dos ímãs com o número do termo, utilizou a Estratégia 4.2. Em relação
aos círculos e quadrados, Cláudio expressou:
O número do termo é a mesma quantidade de círculos.
Coloca duas vezes o número do termo mais três. (Cláudio estava se referindo
aos quadrados)
(Cláudio expressou oralmente).
5.5.2 Construção de expressões numéricas e algébricas
A estrutura desta tarefa orientou os alunos a trabalharem com expressões
numéricas e algébricas dos círculos e dos quadrados. Em vista disto, optamos dividir
este item em dois subitens: o primeiro destinado às construções das expressões
(numéricas e algébricas) dos círculos, e o outro destinado às construções das
expressões (numéricas e algébricas) dos quadrados e do total de ímãs.
Os caminhos percorridos pelos alunos na construção das expressões
numéricas e algébricas, tanto do círculo quanto do quadrado, emergiram
basicamente das Estratégias 4.2 e 4.3 (vide Figuras 5.17 e 5.18).
5.5.2.1 Construção de expressões numéricas e algébricas do círculo
Giovanna, Tânia e Cláudio, embora cientes da quantidade de ímãs em cada
termo, queriam de qualquer forma escrever a expressão numérica usando a
operação de adição:
! Giovanna e Tânia: “três mais três” (3º termo = 3 + 3);
! Cláudio: “um mais dois” (3º termo = 1 + 2).
135
Refletindo sobre este item, Fernando fez uma observação que, talvez,
justifique a dificuldade dos alunos escreverem a expressão numérica.
“A expressão numérica você imagina um negócio enorme! Assim tipo três
vezes na, na...mais...com parênteses, uma coisa mais longa.”
(Fernando comentou oralmente)
Talvez a estrutura das expressões numéricas das tarefas anteriores, onde
todas elas possuíam pelo menos uma operação, possa ter influenciado nas
respostas de Giovanna, Tânia e Cláudio.
Ao retomarmos a quantidade de ímãs em cada termo, a dupla (Angélica e
Fernando), Cláudio e Tânia, escreveram as seguintes expressões numéricas (vide
Tabela 5.5):
Giov
expressão a
“O n
(Giov
Tân
linguagem n
do círculo.
Em
uma expre
O
TABELA 5.5 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS DO CÍRCULanna não escreveu a expressão numérica do círculo, porém enunciou a
lgébrica em linguagem natural e, em seguida, escreveu-a “Termo p = p”.
úmero do termo p e o de círculo é p. O termo p é igual a p círculos.”
anna expressou oralmente).
ia, por sua vez, apesar de ter expressado as relações corretamente em
atural “ambos são iguais”, não chegou a escrever a expressão algébrica
geral, os alunos não costumam encontrar dificuldade na passagem de
ssão numérica para uma algébrica, onde os valores da expressão
Fernando, Angélica, Giovanna e Cláudio
3º termo = 3
6º termo = 6
11º termo = 11
25º termo = 25
136
(numérica) são substituídos diretamente por uma variável, variáveis diretamente
substituíveis. Neste caso específico, apesar de uma regra geral, aparentemente
“simples” (f(n) = n), três dos cinco alunos não souberam escrever as expressões
numéricas, como mencionamos no início desta seção. (vide Tabela 5.6).
5.5.2.2 Cotot
As e
Estratégias 4
relações com
tarefa, com
Estratégia 4.3
quadrados co
“... o nú
“tem os
(Giovan
Todo
a Estratégia
um deles exp
momento em
dúvida levant
Transcrevere
O
TABELA 5.6 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO CÍRCULnstrução de expressões numéricas e algébricas do quadrado e doal de ímãs
xpressões numéricas referentes aos quadrados emergiram também das
.2 e 4.3. No transcorrer da atividade, dois alunos que iniciaram suas
uma das estratégias, mudaram para outra. Por exemplo: no início da
o intuito de justificar a construção dos termos, Giovanna usou a
; entretanto, no decorrer da atividade, ao relacionar a organização dos
m o número do termo, a aluna fez uso da Estratégia 4.2.
mero do termo é igual ao número de quadrado do lado do círculo” ...
três em cima, que eu tenho que acrescentar.”
na expressou oralmente).
s os alunos, com exceção de Tânia (que usou a Estratégia 4.3), usaram
4.2 na trajetória de escrever a expressão numérica do quadrado. Cada
ressou-a a sua maneira, em linguagem natural. Vale a pena ressaltar, o
que Fernando explicou sua estratégia à Angélica e esclareceu uma
ada pela aluna quanto aos três quadrados situados na primeira linha.
mos este trecho:
Giovanna Angélica, Fernando e Cláudio
Termo p = p Termo x = x
137
Fernando: Então Angélica é sempre assim: o número de quadrados da
esquerda e da direita, permanece a mesma coisa do...não, “pêra” aí, sempre
vai ter três quadrados em cima. ...sempre ao lado do círculo, o número de
quadrados vai ser correspondente ao número do termo, permanece a mesma
coisa do círculo; se for o quarto termo, é quatro quadrados na esquerda e
quatro quadrados na direita; se for o quinto termo, cinco quadrados na
esquerda e cinco quadrados na direita.
Angélica: ...e os três de cima como que fica? Tem que ter relação com o
número do termo?
Fernando: Não! Sempre... tipo assim, se a professora fosse pedir para eu
justificar o quadrado como ela pediu na “f” (vide Anexo E, 4ª Tarefa, Item f), eu
ia escrever assim: sempre os quadrados de cima vão ser três, e sempre os
quadrados que tiverem ao lado do círculo, tanto da esquerda quanto da direita
é igual ao número do termo.
Fernando costumava responder os itens requisitados com disposição,
principalmente ao explicar à Angélica algo que não estava claro para ela.
Tânia, assim como Giovanna, mudou de estratégia, porém no sentido
contrário. Iniciou usando a Estratégia 4.2, alterando, no desenvolver da tarefa para a
Estratégia 4.3.
FIGURA 5.20 - 4ª TAREFA - FERNANDO E ANGÉLICA
138
“A quantidade de quadrados é sempre mais um do número do termo em
cada coluna, mais um no meio”
(Tânia expressou oralmente)
A Tabela 5.7 apresenta as expressões numéricas e algébricas relacionadas
aos quadrados.
com
da
rec
“du
os
exp
úni
me
ace
dist
Enq
rep
mo
situ
and
pro
2º t
Ter
Ter
(Du
TABELA 5.7 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS E ALGÉBRICAS DO QUADRADO
Na passagem da expressão numérica para a algébrica, alguns erros foram
etidos pelos alunos. Tânia, por exemplo, substituiu todos os valores numéricos
expressão, pela letra “p”. Isto mostra uma certa dificuldade por parte da aluna em
onhecer as variáveis nas expressões. Cláudio inicialmente, escreveu “x.x” para
as vezes o número do termo”, corrigindo-o em seguida para x.2 (freqüentemente
alunos cometem este tipo de erro em Álgebra). Durante a simplificação da
ressão algébrica, Giovanna somou todos os termos, reduzindo sua resposta a um
co termo “3 + p + p = 5p”. Neste caso, identificamos um dos aspectos
ncionados por Booth (1988) quanto à “natureza das respostas”, onde o aluno não
ita a “falta de fechamento”. Ressaltamos, também, que os alunos, em momentos
intos, apresentaram um tratamento diferenciado em relação aos símbolos.
uanto eles estavam construindo as expressões algébricas, a letra, que
resentava o número do termo, parecia ter significado para eles. Entretanto, no
mento da simplificação, ocorria uma desconexão da expressão algébrica à
ação dos ímãs, sugerindo que o processo de internalização ainda estava em
amento.
Em geral, os erros eram encontrados pelos alunos a partir da validação,
cedimento presente em todas as tarefas e fundamental no sentido de permitir que
Giovanna e a dupla(Estratégia 4.2)
Cláudio(Estratégia 4.2)
Tânia(Estratégia 4.3)
ermo = 3 + 2 + 2 2º termo = 2.2 + 3 2º termo = 3 + 3 + 1
= 2 + 1 + 2 + 1 + 1
mo p = 3 + p + p = 5p (Giovanna)
mo x = 3 + x + x = 3 + 2x
pla)
Termo x = x.2 + 3 Termo p = p + p + p + p + 1
(Tânia)
139
os mesmos repensem e reestruturem suas conjecturas. Nesta tarefa, após a
validação, alguns alunos corrigiram suas respostas ou, simplesmente, evitaram
simplificar.
Tratando-se da expressão algébrica do total de ímãs (a soma da expressão
algébrica do círculo com a expressão algébrica do quadrado), apenas Tânia não
chegou a escrevê-la e, de fato, isto não seria possível, pois a aluna não encontrou a
expressão algébrica do círculo, a não ser que, a partir de outra regularidade, a aluna
escrevesse as expressões considerando o total de ímãs em cada termo (6, 9, 12,
15...). Quanto a outras regularidades, a dupla (Fernando e Angélica), e Giovanna
utilizaram a Estratégia 4.2. Apresentaremos a Tabela 5.8 onde constam as
expressões algébricas do total de ímãs (incluindo as expressões equivalentes).
V
a atividad
confirmam
deve, nec
5.6 ANÁ
N
introduzin
f(n) = (n +
Fernan
Termo x =
Termo x =
Termo p =
TABELA 5.8 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO TOTAL DE ÍMÃS
erificamos nesta tarefa, que alguns alunos mudaram de estratégias durante
e, voltando a manipular os ímãs na seqüência construída. Nestes termos,
os quando Mason (1996b) diz que a Espiral de Desenvolvimento não
essariamente, seguir um percurso linear.
LISE DA 5ª TAREFA
ossa intenção, neste momento, era aumentar a complexidade da tarefa,
do uma seqüência que representasse uma função do 2º grau:
1)2 – 1. Apresentaremos os três primeiros termos:
do, Angélica, Cláudio e Giovanna(Estratégia 4.1)
Dupla e Giovanna(Estratégia 4.2)
(expressões equivalentes)
3 + x + x + x = 3 + 3x (Dupla)
x + x.2 + 3 (Cláudio)
p + p + 3 + p (Giovanna)
Termo x = x + x + 1 + x + 1 + 1 (Dupla)
Termo p = p + 1 + p + 1 + 1 + p
(Giovanna)
140
5.6.1 Representação doexpressões em ling
A dupla (Fernando e
o 4º termo; entretanto, Cláud
quanto à organização dos ím
de ímãs em cada coluna, Clá
A
FIGURA 5. 21 - 5ª TAREFs termos específicos e construção deuagem natural
Angélica), Tânia e Giovanna construíram corretamente
io, caracteristicamente, voltou a apresentar dificuldade
ãs (veja Figura 5.22). Após a verificação da quantidade
udio corrigiu sua construção (vide Figura 5.23).
º
FIGURA 5. 22 - 1ª CONSTRUÇÃO DE CLÁUDIO
1º 2º 3
1º 2º 3º 4º
141
estabele
termo).
entre te
5.6.1.1
Uma es
- Rela
• Eq
“
a
º
O
1º 2º 3º 4
No que se
ceu, desd
Os demais
rmos.
Relação
A partir d
tabelecida
ção de reco
Apresentam
stratégia 5ue de um
fileira”) e “li
menos em
FIGURA 5.23 - 2ª CONSTRUÇÃO DE CLÁUDI
refere à justificativa da representação dos termos, apenas Tânia
e o início, uma relação com a posição da figura (número do
alunos iniciaram suas observações considerando uma relação
entre termos
a relação entre termos, emergiram duas estratégias diferentes.
por Cláudio, Giovanna e Fernando, e a outra, por Angélica.
rrência
os as duas estratégias que emergiram desta relação.
.1 - Nesta estratégia, Giovanna, Cláudio e Fernando perceberam
termo para outro acrescentou-se um ímã em cada “coluna” (ou
nha”, sendo que a última “coluna” da direita sempre tinha um ímã
relação às demais.
142
Eu mantive a seqüência do terceiro para o quarto termo. Aumentando uma
coluna e uma linha; e uma linha havia sempre um ímã a menos.
(Cláudio escreveu).
Eu vi que o primeiro termo tinha dois círculos e um do lado. O segundo tinha
três fileiras, duas de três círculos e uma de dois. O terceiro, três de quatro
círculos e uma de três; aí, eu achei, entendi que sempre era um a mais aqui,
na primeira fileira (Giovanna apontou para a primeira fileira da esquerda na
posição vertical). No primeiro termo tem dois círculos, no segundo termo eram
três círculos. Só na última fileira que diminui um círculo. Aí, no quarto termo,
tinha cinco e uma de quatro.
(Giovanna expressou oralmente).
Sempre acrescenta uma fileira pra direita e uma pra cima. (Fernando apontava
para os ímãs situados na última fileira da direita (vertical) e para os ímãs na
primeira linha (horizontal) de cima para baixo).
(Fernando expressou oralmente).
• Estratégia 5.2 - Angélica utilizou uma estratégia bem diferente da anterior. A
aluna foi relacionando os termos entre si (o 2º termo com o 1º; o 3º termo com
o 1º e o 2º; o 4º com o 1º, 2º e 3º termos), onde cada termo estaria encaixado
no termo subseqüente, estabelecendo, assim, uma relação de recorrência
(vide Figura 5.24).
FIGURA 5.24 - ESTRATÉGIA 5.2
1º 2º 3º 4º
1º
2º
3º
143
Para construir o 4º termo, pensei: fazer a “soma” dos termos 1, 2 e 3
encaixando um termo dentro do outro.
(Angélica escreveu).
As Estratégias 5.1 e 5.2, provenientes das relações estabelecidas entre os
termos, são abandonadas quando os alunos iniciam outras relações voltadas para o
número do termo. É interessante notar que, quando apresentamos uma seqüência
quadrática, a maioria dos alunos escolheu manipulações baseadas nas relações
entre termos antes de buscar uma regra para um termo geral; isto mostra a não
linearidade do Espiral de Desenvolvimento (“manipulação”, “constituindo um sentido
de” “articulação”) e, também, que a busca de relações de recorrência pode ser um
passo importante na identificação de uma regra geral.
5.6.1.2 Regra para um termo geral
Como mencionado anteriormente, Tânia foi a única aluna que desde o início
relacionou a organização dos imãs com o número do termo (vide Figura 5.25).
FIGURA 5.25 - CONSTRUÇÃO DE TÂNIA
144
Giovanna e Cláudio estabeleceram a mesma relação de Tânia, que
identificamos como a Estratégia 5.3 (vide Figura 5.26).
Estratégia 5.3 - Os alunos relacionaram três grupos de ímãs com o número do
termo: os ímãs na posição vertical do lado direito (círculos verdes), a quantidade de
“colunas” e a quantidade de ímãs em cada “coluna”.
Eu me baseei nos círculos que estão em pé à direita dos restantes, esses à
direita representam o número de termos. Os que estão à esquerda também em
pé, ou seja, de dois em dois, (Tânia estava se referindo ao segundo termo)
representam o número de termos, mas sempre com uma linha a mais.
(Tânia escreveu).
Em todo os termos, sempre a fileira da direita a quantidade de círculos é igual
o número do termo e as fileiras da esquerda é igual ao número do termo, mas
a quantidade dos círculos é sempre um a mais em cada fileira.
(Giovanna escreveu).
A última coluna tem sempre o número do termo. E as outras colunas tem um
ímã a mais. O número de colunas é o número do termo.
(Cláudio escreveu).
Fernando e Angélica, todavia, agruparam os ímãs de uma forma diferente,
emergindo a Estratégia 5.4.
Estratégia 5.4 - Os alunos separaram os três ímãs da primeira linha e os três ímãs
da “coluna” da direita (ímãs laranjas), dos ímãs do centro (ímãs azuis), fazendo uma
relação destes três grupos de ímãs com o número do termo (vide Figura 5.27).
FIGURA 5.26 - ESTRATÉGIA 5.3
1º 2º 3º
2
1
1
2
23
3
34
145
O número do termo multiplicado por ele mesmo dá o número de círculos
existente no “miolo” (os círculos azuis da Figura 5.27) e acrescentando
o número de termos com uma coluna e uma linha.
(Fernando escreveu).
Em relação ao “miolo”: o número do termo vezes ele mesmo dá a
quantidade de círculos que há no “miolo” e, acrescentamos a
quantidade do número do termo para a direita e outra quantidade do
número do termo para cima
(Angélica escreveu).
As “manipulações”, “articulações” e relações estabelecidas pelos alunos em
linguagem natural constituíram o ponto de partida para a construção das expressões
numéricas, algébricas e equivalentes.
5.6.2. Construção de expressões numéricas e algébricas
As expressões numéricas e algébricas encontradas pelos alunos emergiram
das Estratégias 5.3 e 5.4, anteriormente descritas. No transcorrer da tarefa, alguns
procedimentos dos alunos nos remeteram às considerações de Oliveira (2003) e
Booth (1988).
1º 2º 3º 4º
FIGURA 5.27 - ESTRATÉGIA 5.4
146
5.6.2.1 Construção de expressões numéricas
Pretendíamos, com o item que solicitava a quantidade de círculos em cada
termo, que os alunos percebessem que o total de círculos (1º termo = 3, 2º termo =
8, 3º termo = 15 e o 4º termo = 24) era, respectivamente, uma unidade menor em
relação aos números quadrados perfeitos (4, 9, 16 e 25); entretanto, eles não
fizeram esta conexão. Em geral, os alunos, mesmo tendo identificado algumas
relações durante a construção, sentiram a necessidade de efetuar a contagem do
total de ímãs de cada termo. Tânia, que desde o início havia feito uma relação entre
a organização dos ímãs e o número do termo, usou uma estratégia diferente dos
demais alunos para contar o total de ímãs. Enquanto os alunos contavam os ímãs
um a um, Tânia os contava em grupo, por exemplo: “dois mais seis”, chegando ao
número seis, contando da seguinte forma: “dois mais: dois; quatro; seis” (apontava
de dois em dois para os ímãs das duas fileiras da esquerda de cima para baixo. No
3º termo, procedeu quase da mesma forma: “Três mais: três; seis; nove; doze” –
“três, mais doze” (vide figura 5.28), utilizando apenas os ímãs da fileira da esquerda.
Observamos, nestes termos, que o sistema de contagem de “dois em dois, “de três
em três” já era um conceito internalizado pela aluna, provavelmente por
pertencerem às “tabuadas”.
FIGURA 5.28 - CONTAGEM EM GRUPO - TÂNIA
Dois
Quatro
Seis
2º
Três
Seis
Nove
Doze
3º
147
A expressão numérica encontrada por Tânia emergiu da estratégia de
contagem dos ímãs para um termo específico. Incluímos aqui, Giovanna e Cláudio
que também desenvolveram a expressão numérica a partir desta mesma estratégia
(vide Figura 5.26).
Nas expressões numéricas para termos mais distantes como o 20º e 50º
termos, Tânia utilizou o 4º termo construído para ajudar no processo. Percebemos,
segundo as perspectivas vygotskyanas, que a aluna estava usando um suporte
externo (os ímãs) como marca, apoio, instrumento mediador entre o objeto real e o
sujeito. A Tabela 5.9 apresenta as expressões numéricas referentes à Estratégia 5.3.
Fernando e Angélica, por outro lado, utilizaram a Estratégia 5.4, gerando
uma expressão numérica equivalente àquela encontrada pelos colegas (vide Tabela
5.10).
Tânia Giovanna e Cláudio
1º termo = 1 + 2 = 1 + 1 x 2 1º Termo = 2 + 1 = 2 x 1 + 1
2º termo = 2 + 6 = 2 + 2 x 3 2º Termo = 3 + 3 + 2 = 3 x 2 + 2
3º termo = 3 + 12 = 3 + 3 x 4 3º Termo = 4 + 4 + 4 + 3 = 4 x 3 + 3
20º termo = 20 + 20 x 21 20º Termo = 21 x 20 + 20
50º Termo = 50 + 50 x 51 50º Termo = 50 x 51 + 50 (Giovanna)
50º Termo = 51 x 50 + 50 (Cláudio)
TABELA 5.9 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS - ESTRATÉGIA 5.3
4
TABELA 5.10 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS - ESTRATÉGIA 5. Fernando e Angélica1º termo = 1 x 1 + 1 + 1
2º termo = 2 x 2 + 2 + 2
3º termo = 3 x 3 + 3 + 3
4º termo = 4 x 4 + 4 + 4
20º termo = 20 x 20 + 20 + 20
50º termo = 50 x 50 + 50 + 50
148
Todas as expressões numéricas foram escritas sem o uso dos parênteses.
Alguns alunos começaram a pensar efetivamente em utilizá-los após a validação das
expressões algébricas. Este procedimento será discutido na próxima seção.
5.6.2.2 Construção de expressões algébricas e equivalentes
No que se refere à passagem da expressão numérica para a algébrica,
Cláudio cumpriu a tarefa com facilidade; por outro lado, constatamos que Tânia e
Giovanna apresentaram dificuldade em trabalhar com variáveis nas expressões
numéricas que indicavam, implicitamente, as posições das figuras na seqüência,
neste caso, a variável deveria ser substituída por “n + 1”. Quanto à expressão: “3º
termo = 3 + 3 x 4”, Tânia chegou a expressar corretamente em linguagem natural
que “O quatro é o número do termo mais um”, porém, apresentou dificuldade em
escrevê-la matematicamente. Na tentativa de substituir o valor numérico “4” por “3 +
1”, ela escrevia (3 + 3 x (+ 1)). Giovanna, por sua vez, procedeu como na 3ª Tarefa
(vide seção 5.4.2), substituindo a expressão “n + 1” pela letra subseqüente à letra
“n”; em outras palavras, a letra “o”. Transcreveremos o trecho em que este
procedimento se verificou:
Giovanna: “n vezes n mais n”. Eu vou pegar a quantidade de círculos
em cada fileira.
Professora: E a quantidade de círculos em cada fileira, como você
relacionou com o número do termo?
Giovanna: Eu não sei a quantidade, então eu coloquei n.
Professora: Mas você fez uma relação da quantidade com o número do termo?
Giovanna: É um a mais.
Professora: E se é um a mais? Se é termo n...
Giovanna: Letra “o”.
No caso específico de Giovanna, a aluna escreveu a expressão algébrica
após termos retomados alguns exemplos numéricos, seguindo a trajetória em que
eram reescritas as expressões numéricas, ajustando-as em relação ao número do
termo. Tratando-se de Giovanna e Tânia, percebemos que, na passagem de uma
expressão numérica para uma algébrica, onde a variável não era diretamente
substituível, as alunas ainda apresentavam dificuldades. Nestes termos, notamos
149
que o processo de internalização de marcas externas representando termos da
seqüência, para variáveis algébricas, não ocorreu de maneira espontânea para todos
os alunos, sendo que ambas as alunas precisaram de intervenções da professora
pesquisadora para chegar às expressões algébricas.
A Tabela 5.11 mostra as expressões algébricas e equivalentes que
representam a quantidade de círculos de um termo qualquer.
Nenhum do
validações, percebe
nas respostas. Tâni
obteve um valor dife
Dois mais dois
(Termo n = n +
(Tânia expres
Giovanna, p
seguiu a ordem das
Giovanna: Três
Professora: Iss
indicar que tem
Giovanna: Colo
Professora: Iss
Cláudio seg
primeira a ser efetu
algébrica, o resultad
TABELA 5.11 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
s alunos fez uso dos parênteses; porém, ao efetuarem as
ram que a ordem com que eram feitas as operações influenciava
a, por exemplo, no 2º termo, seguiu a ordem das operações e
rente do correto:
igual a quatro, vezes dois, igual a oito, mais um, igual a nove.
n x n + 1)
sou oralmente).
or outro lado, no que se refere à validação do 3º termo, não
operações:
mais um são quatro, vezes três, doze, mais três. (Termo n = n x n + 1 + n)
o! E por que você fez três mais um primeiro? Matematicamente para você
que fazer primeiro a adição e não a multiplicação o que você tem que fazer?
car um parênteses.
o!
uiu a ordem das operações. Como a operação de adição era a
ada e, coincidentemente, era a primeira operação da expressão
o obtido foi o correto (Termo n = n + 1.n + n)
Alunos Expressões Algébricas
Giovanna Termo n = n x n + 1 + n
Tânia Termo n = n + n x n + 1
Cláudio Termo n = n + 1. n + n
Fernando Termo x = x x x + x + x
Angélica Termo n = n x n + n + n = n2 + 2n
150
Identificamos neste procedimento, um dos aspectos estudados por Booth
(1988) referente aos “tipos de relações e métodos usados em aritmética”, em
particular, “as convenções malentendidas”. A autora justifica que, em geral, os
alunos não fazem uso dos parênteses por pensarem que a seqüência escrita de
operações é o que determina a ordem em que os cálculos devam ser efetuados,
influenciando, dessa forma, em seu desempenho.
No item referente a outros métodos para calcular o número de círculos de
um termo qualquer da seqüência, Fernando fez duas observações:
a) Se você fizer 8 – 3 é 5; se você fizer 15 – 8 é 7, acrescenta sempre dois.
b) Se você pega o número do termo mais dois e pegar esse resultado e
multiplicar pelo número do termo, vai dar a quantidade de círculos.
Fernando justificou:
Peguei os resultados e via se tinha uma multiplicação. Ex: 6 x 4 = 24, depois
tentei 6 x 3 = 18, não dá, então peguei 5 x 3 e deu 15; e se eu for diminuindo
um, sempre dá certo.
(Fernando expressou oralmente)
O Quadro 5.2 ilustra as duas observações mencionadas por Fernando.
Verificamos que a estratégia utilizada por Fernando no item “a”, resultou de
uma relação entre termos, enquanto no item “b”, iniciou com uma relação entre
termos, ajustando-a posteriormente para uma relação com o número do termo.
1º 2º 3º 4º
a) 5 7 9
b) 3 x 1 4 x 2 5 x 3 6 x 4
QUADRO 5.2 - OUTRAS ESTRATÉGIAS DE FERNANDO
3 8 15 24 Total de ímãs emcada termo
151
Nos produtos 6 x 4, 5 x 3, 4 x 2, 3 x 1, Fernando identificou que os valores
6, 5, 4, 3 representam dois a mais do número do termo e 1, 2, 3 e 4 eram os
números dos termos. Prosseguindo, ele escreveu as expressões numérica e
algébrica: “3º termo = 3 + 2 x 3” e “Termo x = x + 2 x x”. No momento da validação,
Fernando percebeu que deveria, primeiro, resolver a adição e, depois, a
multiplicação. Angélica interrompeu o diálogo e fez a observação de que estava
faltando os parênteses na operação de adição - vide Tabela 5.12 - (Angélica estava
sempre atenta acompanhando o raciocínio de Fernando).
5.7 ANÁLISE DA
Considerações ini
Tânia foi a
Inicialmente, cons
quadrados e triân
manipulação e na o
este fato seja porq
aos ímãs quadrang
maior facilidade. O
ficando decidido q
alunos, seria inicia
manipulação (vide F
E
TABELA 5.12 - EXPRESSÃO EQUIVALENT6ª TAREFA
ciais
primeira aluna a trabalhar nesta tarefa (vide Figura 5.29).
truímos a seqüência como havíamos planejado, utilizando
gulos. A aluna sentiu grande dificuldade na percepção,
rganização dos ímãs triangulares. Talvez a justificativa perante
ue a área de magnetização do triângulo é diferente em relação
ulares e circulares, fazendo com que eles se deslocassem com
ptamos então, por trocar os ímãs triangulares pelos circulares,
ue, esta atividade, realizada posteriormente com os demais
da diretamente com quadrados e círculos, favorecendo sua
igura 5.30).
Fernando
Termo x = (x + 2) x x
152
Iniciamos a tarefa apresentando o 1º e 3º termos da seqüência, cuja função
quadrática é definida por f(n) = (n + 2)2 . Os itens que a orientaram, permitiram que
os alunos pensassem primeiramente nos círculos, em seguida nos quadrados,
finalizando com o total de ímãs, similar à 4ª Tarefa.
Em geral, os alunos
4º), buscando estabelecer,
quantidade de ímãs e o núm
1º
FIGURA 5.29 - 6ª SEQÜÊNCIA - CONSTRUÇÃO COM TRIÂNGULOS E QUADRADOS
FIGURA 5.30 - 6ª TAREFA
construíram com facilidade os termos solicitados (2º e
desde o início, relações entre a organização ou
ero do termo.
3º
153
5.7.1 Representação dos termos específicos e construção deexpressões em linguagem natural
Cláudio, caracteristicamente, sentiu dificuldade na construção dos termos
(vide Figura 5.31). Ele construiu o 2º termo na 4ª posição. Apesar de sua construção
incorreta, observamos o esforço do aluno em suas “manipulações” e “articulações”,
tentando seguir o padrão apresentado pela seqüência (vide Figura 5.32).
As interfer
sua construção. A
coluna, Cláudio co
FIGURA 5.31 - CONSTRUÇÃO DO 2º TERMO
1º 3º 2º
FIGURA 5.32 - RECONSTRUÇÃO DO 2º TERMO
ências tinham por objetivo fazer com que o aluno refletisse sobre
pós questionarmos a respeito da quantidade de ímãs em cada
rrigiu sua construção.
154
5.7.1.1 Relação entre termos
Três estratégias emergiram durante a justificativa da construção dos termos.
Uma delas voltada para uma relação entre termos, e duas direcionadas para o
número do termo.
- Relação de recorrência
Cláudio e Angélica fizeram suas primeiras observações, usando uma
relação de recorrência (Estratégia 6.1).
• Estratégia 6.1 - Acrescentou-se (de um termo para outro) um círculo em cada
“coluna” e “linha” de círculos, e um quadrado em cada “coluna” e “linha” de
quadrados (vide Figura 5.33).
Eu me baseei no primeiro que só havia um círculo e coloquei aqui mais um
nessa coluna e aqui mais um nessa outra coluna. Duas colunas de dois. E
aumentei mais um quadrado aqui e aqui (Cláudio apontava para o 1º e
último quadrado da primeira fileira da esquerda de cima para baixo e na
primeira linha da esquerda para a direita).
(Cláudio expressou oralmente).
Uma variação da Estratégia 6.1 foi estabelecida por Angélica. Neste caso,
especificamente, a aluna observou que de um termo para outro acrescentava-se uma
“coluna” e “linha” de quadrados e círculos.
1º 2º 3º
FIGURA 5.33 - ESTRATÉGIA 6.1
155
Para mim, eu diria que cada termo vai aumentando uma linha e uma coluna do
círculo, pro lado direito e para baixo. E para os quadrados também, pro lado
direito e pra baixo. Para poder dar espaço para o círculo.
(Angélica expressou oralmente).
Ressaltamos que Angélica, ao escrever sua resposta no sistema Braille,
expressou duas estratégias: uma referente à relação entre termos, como
mencionado acima, e a outra referente a uma regra para um termo geral,
relacionando a organização dos ímãs com a posição da figura:
Primeiramente me baseei nas linhas e colunas de círculos que constituem cada
terno, por exemplo, o 1º termo tem uma linha e uma coluna e o 2º tem 2 linhas
e 2 colunas e assim sucessivamente.
(Angélica escreveu).
5.7.1.2 Regra para um termo geral
Giovanna, Tânia, Fernando e Angélica, desde o início, pensaram em uma
relação com o número do termo. Percebemos, nestes termos, que os alunos em
geral, foram além de suas manipulações, articulando as organizações ou quantidade
de ímãs com a posição da figura, antes mesmo de chegarmos a questionar sobre
esta relação. Eles não apresentaram dificuldade em relacionar o total de círculos
com o número do termo. Todos os alunos, com exceção de Giovanna, escreveram
de forma similar:
A relação é o número do termo vezes ele mesmo é igual ao total de
círculos.
(Angélica escreveu).
Giovanna comentou:
A relação do 3º termo é que 3 é múltiplo do 9 e o 4º termo, o 4 é múltiplo do 16.
(Giovanna escreveu e expressou oralmente).
Acreditamos que Giovanna entendeu a relação, porém ao justificá-la, a aluna
usou o termo “múltiplo” para indicar esta relação. Mesmo que Giovanna escrevesse
no sentido oposto, 9 é múltiplo de 3, a resposta não estaria correta, pois 12 também
é múltiplo de três e, no entanto, não pertence a nenhum termo desta seqüência.
156
Cláudio apenas começou a pensar na regra geral para o círculo, a partir do
termo que solicitava a relação da quantidade de círculos com o número do termo.
Esses números podem ser multiplicados por ele mesmo.
(Cláudio escreveu)
Quanto à relação entre a organização dos quadrados e o número do termo,
Angélica, espontaneamente, separou os ímãs dos dois primeiros termos para mostrar
as duas estratégias encontradas por ela, as Estratégias 6.2 e 6.3.
• Estratégia 6.2 - Os quadrados foram agrupados e separados nas posições
horizontal ou vertical, restando dois grupos de quadrados com a mesma
quantidade em relação ao número do termo, nas posições vertical e horizontal,
respectivamente (vide Figura 5.34).
• Estratégia 6.3 - Em todos os termos foram separados os quadrados
localizados nas extremidades das figuras (quatro quadrados) dos demais. Os
quadrados restantes (quatro grupos de quadrados situados ao lado dos
círculos), foram relacionados com o número do termo (vide Figura 5.35).
º
1º 4FIGURA 5.34 - ESTRATÉGIA 6.2
157
A Estratégia 6.2
Giovanna, Cláudio, Fern
agrupamento dos ímãs (
desenvolvida exclusivame
seqüência e retomada n
tarefa.
Transcreveremos
expressar a Estratégia 6.2
A relação é que a file
do termo e a linha a q
(Giovanna escreveu).
As colunas do meio (
central na primeira e ú
termo mais ele mesm
termo mais dois é o to
(Cláudio escreveu).
Separando as colunas
baixo e a linha de c
número do termo, e p
colunas é só acrescen
(Fernando escreveu).
3
FIGURA 5.35 - ESTRATÉGIA 6.o
i
u
C
o
2º 3º
apresentada por Angélica foi a mesma encontrada por
ando e Tânia, invertendo, apenas, as posições do
vide Figura 5.34 - 1º e 4º termos); já a Estratégia 6.3,
nte por Angélica, foi representada no 2º e 3º termos da
item que requisitava outras regularidades, no final da
as diferentes formas que os alunos encontraram para
:
ra é sempre dois quadrados a mais do que o número
antidade de quadrado é igual o número do termo.
láudio estava se referindo aos quadrados na região
ltima linha) no seu total de quadrados é o número do
. As colunas da direita e da esquerda é o número do
tal.
da esquerda e da direita podemos ver que a linha de
ima, o número de quadrados é correspondente ao
ara descobrir o número de quadrados existente nas
tar ao número do termo mais dois.
158
Por exemplo: no 1º termo eu separei a primeira linha e a terceira que são
constituídas por quadrados e sobrou um quadrado do lado esquerdo do
círculo e outro quadrado do lado direito.
(Angélica expressou oralmente e escreveu).
Sempre nas primeiras linhas e nas últimas linhas dos quadrados, o termo é
a soma do número de termo mais dois. O restante de quadrados das
laterais é duas vezes o número do termo.
(Tânia escreveu).
Notamos nesta tarefa, uma diferença quanto à temporalidade nas respostas
dos alunos. Acreditamos que eles estavam mais familiarizados com a estrutura da
tarefa pelo fato de que a maioria dos alunos estabeleceu relações com o número do
termo antes que solicitássemos.
5.7.2 Construção de expressões numéricas e algébricas
Por tratar-se da mesma estrutura da 4ª Tarefa, envolvendo círculos e
quadrados, optamos neste item, proceder de forma similar, isto é, dividi-lo em dois
subitens: o primeiro destinado às construções das expressões (numéricas e
algébricas) dos círculos; e o outro destinado às construções das expressões
(numéricas e algébricas) dos quadrados e do total de ímãs.
5.7.2.1 Construção de expressões numéricas e algébricas do círculo
Angélica, Giovanna, Tânia e Cláudio escreveram as expressões numéricas
do círculo usando a operação de multiplicação; para isto, os alunos levaram em
conta o total de círculos em cada termo (1, 4, 9, 16...). Fernando escreveu usando a
operação de potenciação (vide Tabelas 5.13 e 5.14). Dois fatores contribuíram para
que todos os alunos escrevessem as expressões numéricas e algébricas do círculo:
o fato de que as variáveis das expressões numéricas eram diretamente substituíveis;
e de que sua estrutura envolvia pelo menos uma operação.
159
Apen
caso de Giov
pela “x”. Tran
Giova
Profes
Giova
Profes
Giova
Profes
Giova
Profes
conse
Giova
Obse
estava busca
necessárias
percebemos
x 4; no entan
substituídos
talvez por nã
Booth (1988)
como produt
vezes, é sub
Giovan
Termo n
O
TABELA 5.13 - EXPRESSSÕES NUMÉRICAS DO CÍRCULn
n
n
n
g
n
o
Angélica, Giovanna, Tânia e Cláudio Fernando
1º termo = 1 x 1 = 1 1º termo = 12
2º termo = 2 x 2 = 4 2º termo = 22
3º termo = 3 x 3 = 9 3º termo = 32
=
O
TABELA 5.14 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO CÍRCULas Angélica e Giovanna simplificaram as expressões corretamente. No
anna, especificamente, houve a necessidade de substituirmos a letra “n”
screveremos o trecho que verificamos essa situação:
na: Então n x n é igual a 2n.
sora: Então 4 x 4 é igual a 2 x 4?
na: Não. n x n é igual ...(não continuou)
sora: Quanto é x x x?
na: Vai ser n2
sora: Por que você conseguiu agora?
na: Porque eu lembrei do x.
sora: Por que será que os alunos conseguem com o x e não
uem com o n que é a mesma coisa?
na: Porque usa mais o x.
rvamos na fala de Giovanna, “Porque eu lembrei do x”, que a aluna
ndo conceitos já internalizados em resposta a algumas simplificações
durante a atividade. Analisando as duas primeiras linhas do diálogo
que a aluna, assim como muitos alunos, sabe que 4 x 4 é diferente de 2
to, não seguem o mesmo raciocínio quando os valores numéricos são
por letras. Neste caso, os alunos chegam a aceitar que n x n = 2n
o perceberem a operação de multiplicação envolvida na expressão 2n.
justifica que o fato dos alunos não associarem expressões algébricas
seja porque a escrita do produto na forma completa (3 x n), muitas
stituída com certa rapidez pela escrita simplificada (3n). A sugestão da
na Tânia Angélica Cláudio Fernando
n x n Termo n = n x n = n 2 Termo x = x x x Termo x = x2
160
autora é que o produto, escrito na forma completa, deveria ser estendido, mesmo na
fase inicial da Álgebra.
5.7.2.2 Construção de expressões numéricas e algébricas do quadrado e dototal de ímãs
Em continuidade à Estratégia 6.2, emergiram duas expressões numéricas
equivalentes. Giovanna, Fernando, Angélica e Cláudio escreveram essas expressões
atentando-se para o número do termo; já Tânia escreveu-as primeiramente,
considerando o total de quadrados em cada “coluna” e “linha” e, em seguida, na
forma multiplicativa. No final, ao passarem para a expressão algébrica, apenas Tânia
substituiu as variáveis por “n + 2”, sem precisar escrever as expressões numéricas
intermediárias5, como foi necessário nas tarefas anteriores. As expressões algébricas
foram simplificadas somente por Fernando e Angélica (vide Tabela 5.16).
Percebemos nas respostas dos alunos que ninguém apresentou resistência em
aceitar a “falta de fechamento”.
Angélica e Cláudio1º termo = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2
2º termo = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
3º termo = 3 + 3 + 3 + 2 + 3 + 2
8º termo = 8 + 8 + 8 + 2 + 8 + 2
30º termo = 30 + 30+ 30 + 2 + 30 + 2
5 Expressões numéricas cujas variáveis foram relacionadas com o número do termo.
Giovanna e Fernando Tânia1º termo = 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 1º termo = 3 + 3 + 1 + 1 = 2 x 3 + 2 x 1
2º termo = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2º termo = 4 + 4 + 2 + 2 = 2 x 4 + 2 x 2
3º termo = 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 3 3º termo = 5 + 5 + 3 + 3 = 2 x 5 + 2 x 3
8º termo = 8 + 2 + 8 + 2 + 8 + 8 8º termo = 10 + 10 + 8 + 8 = 2 x 10 + 2 x 8
30º termo = 30 + 2 + 30 + 2 + 30 + 30 30º termo = 32 + 32 + 30 + 30 = 2 x 32 + 2 x 30
TABELA 5.15 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS DO QUADRADO - 6ª TAREFA
161
Na validaç
Tân
qua
Pro
Tân
Na
ordem em
diferente d
Do
expressão
algébricas
encontrar
5.18). No
encontrada
pudessem
segundo c
precisar s
posteriorm
Tânia pre
semelhant
Giovanna,
as expres
algébrica c
estava te
Alu
ANGÉLICA
GIOVANNA
TÂNIA
CLÁUDIO
FERNANDO
TABELA 5.16 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO QUADRADO
ão do 3º termo Tânia calculou:
ia: Duas vezes três, vai dar seis, mais dois, oito, mais seis,
torze.”(Termo n = 2 x n + 2 + 2 x n)
fessora: Deu certo?
ia: Não, tinha que dar dezesseis.
primeira linha do diálogo, notamos que Tânia procedeu aos cálculos na
que eram escritas as operações, gerando como resposta um valor
o esperado.
is foram os caminhos encontrados pelos alunos para escreverem a
algébrica do total de ímãs: um deles consistiu em somar as expressões
do círculo e do quadrado (vide Tabela 5.17); e o outro, consistiu em
a expressão algébrica a partir do total de ímãs em cada termo (vide Tabela
primeiro caso, lembramos das expressões algébricas do círculo,
s anteriormente (x x x ou x2), para que Fernando, Angélica e Cláudio
somá-las às expressões algébricas do quadrado. Tânia, que optou pelo
aso, escreveu a expressão numérica do total de ímãs de cada termo sem
omar a expressão do círculo com a expressão do quadrado e,
ente, reescreveu-a relacionando com o número do termo. Ao simplificá-la,
ocupou-se em operar como num polinômio (operar com os termos
es e com os termos independentes, separadamente - vide Tabela 5.18).
em contraposição, precisou recorrer à seqüência construída, retomando
sões numéricas do total de ímãs e, só então, escreveu a expressão
orretamente. Podemos dizer que a aluna, em termos de Mason (1996a),
ntando “constituir um sentido para” as construções das expressões
nos Expressões algébricas
Termo n = n + n + n + 2 + n + 2 = 4n + 4 (Angélica)
Termo n = n + 2 + n + 2 + n + n
Termo n = 2 x n + 2 + 2 x n
Termo x = x + x + x + 2 + x + 2
Termo x = x + 2 + x + 2 + x + x = 4x + 4 (Fernando)
162
algébricas, sendo que, freqüentemente, a aluna voltava a manipular o material
buscando entender as relações envolvidas e, desta forma, chegar às expressões
algébricas solicitadas. Giovanna ainda estava em processo de internalização.
A Tabela 5.17 apresenta as expressões algébricas que representam o total
de ímãs de um termo qualquer de cada um dos alunos.
A Tabela 5.18 apresenta as expressões referentes à estratégia utilizada por
Tânia:
algéb
uma
uma
Alunos Expressões algébricas(círculos + quadrados)
Fernando x2 + 4x + 4
Angélica n2 + 4n + 4
Giovanna n + 2 + n + 2 + n + n + n x n
Cláudio x x x + x + x + x + 2 + x + 2
TABELA 5.17 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO TOTAL DE ÍMÃS
TABELA 5.18 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS E ALGÉBRICA (TOTAL DE ÍMÃS)
Um fato chamou-nos a atenção. Angélica, ao escrever a expressãorica do total de ímãs (n2 + 4n + 4), lembrou da forma normal (ou reduzida) de
equação de 2º grau, comentando:
Angélica: Que bonitinho, é só por um zerinho na frente! (n2 + 4n + 4 = 0)
Este é um exemplo de que Angélica tem internalizado a forma (reduzida) de
equação de 2º grau.
TÂNIA
1º termo = 3 x 3 = 9 (2 + 1) x (2 + 1) = 9
2º termo = 4 x 4 = 16 (2 + 2) x (2 + 2) = 16
3º termo = 5 x 5 = 25 (3 + 2) x (3 + 2) = 25
4º termo = 6 x 6 = 36 (4 + 2) x (4 + 2) = 36
Termo n (n + 2) x (n + 2) = 2n +4
163
Apenas Tânia e a dupla (Fernando e Angélica), encontraram outras
maneiras de escrever a expressão algébrica do total de ímãs. Tânia escreveu a
expressão equivalente ao total de ímãs, dessa vez, somando as expressões
algébricas do círculo e do quadrado. Em relação à dupla, conforme havíamos tratado
no início da tarefa, retomamos a Estratégia 6.3, estabelecida por Angélica, e então,
a partir dela, eles escreveram as expressões numéricas do 2º e 3º termos: “2º termo
= 4 x 2 + 4” e “3º termo = 4 x 3 + 4”. Estas expressões, constituídas por “variáveis
diretamente substituíveis”, foram substituídas por uma determinada letra escolhida
pelos alunos, ou seja, “n” e “x” (vide Tabela 5.19).
5.8 ANÁLISE DA 7ª TAREFA (Qual expressão é maior, n + 2 ou 2n?)
Após constatarmos que a maioria dos alunos apresentou dificuldade em
responder a este item da Atividade de Sondagem, decidimos retomá-lo; porém,
desta vez, no contexto de representação dos termos da seqüência, utilizando para
isto, a prancha e os ímãs. Inicialmente foi explicado que esta tarefa caminharia no
sentido oposto aos procedimentos das seis primeiras, onde apresentamos a
seqüência e, então, os alunos encontravam a lei geral. Nesta, os alunos partiriam
das leis “2n” e “n + 2”, e então, construiriam as seqüências para que pudessem
responder ao item solicitado.
Alunos Expressões equivalentes
Fernando 4 x x + 4 + x2
Angélica n x 4 + 4 + n2
Giovanna ------------
Cláudio ------------
Tânia n x n + 2 x n + 2 + n x 2
TABELA 5.19 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO TOTAL DE ÍMÃS(EQUIVALENTES)
164
Dividiremos esta tarefa em dois itens: no Item 5.8.1, estaremos descrevendo
o método utilizado pelos alunos quanto ao cálculo do número de ímãs para cada
termo e sua organização; e no Item 5.8.2, analisaremos as respostas dos alunos. A
tarefa propiciou momentos onde os alunos aplicaram conceitos algébricos
trabalhados nas tarefas anteriores, buscando estabelecer relações que certamente
contribuíram para a reflexão deste item.
5.8.1 Representação dos termos das seqüências (quantidade eorganização dos ímãs)
Os alunos, em geral, não apresentaram dificuldade em determinar a
quantidade de ímãs em cada termo, porém, surgiram dúvidas quanto à organização.
5.8.1.1 Cálculo da quantidade de ímãs em cada termo
Todos os alunos iniciaram a atividade calculando o número de ímãs para
cada um dos cinco primeiros termos das seqüências (n = 1, 2, 3, 4 e 5). Quanto à lei
“n + 2”, eles substituíram os valores de n por (1, 2, 3, 4 e 5) na expressão,
encontrando a quantidade de ímãs para cada um dos termos. Nenhum aluno
apresentou dificuldade neste procedimento. Com relação à expressão “2n”, a dupla
(Fernando e Angélica) e Tânia utilizaram a mesma estratégia, ou seja, a partir do
produto, calcularam o número de imãs para (n = 1, 2, 3, 4, 5). Giovanna em nenhum
momento pensou na multiplicação; para ela, a operação envolvida na expressão “2n”
era a adição (“2n” era igual a “n + n”), e foi desta forma que os valores da seqüência
“2n” foram calculados - substituindo-se o número do termo na expressão “n + n”.
Quando perguntamos a Cláudio sobre a operação envolvida na expressão “2n”, ele
disse ser a “adição”. Talvez Cláudio também estivesse pensando como Giovanna
“2n = n + n”. Para ter mais clareza sobre a interpretação do aluno, a professora
pesquisadora interferiu:
Professora: Então quer dizer que 2n é igual a 2 + n?
Cláudio: Não.
165
Cláudio, de imediato, corrigiu sua resposta dizendo que a operação
envolvida era a multiplicação, e isto foi suficiente para que ele calculasse
corretamente os primeiros cincos termos.
5.8.1.2 Organização dos ímãs
Quanto à organização dos ímãs na representação dos termos, os alunos não
levaram em conta a expressão geral das seqüências; eles focaram suas
organizações nos valores específicos de cada termo, isto é, no total de ímãs. Isto foi
especialmente evidenciado no caso de “n + 2”, onde surgiram diferentes padrões
(vide Figuras 5.36, 5.37, 5.38, 3.39). Tratando-se da expressão “2n”, talvez a
familiaridade com valores múltiplos de dois tenha contribuído para que os alunos
organizassem os ímãs de forma regular - vertical ou horizontalmente, mas sempre
com a atenção focada ao total de imãs f(n), e não ao número do termo “n”.
Apresentaremos as construções das seqüências:
FIGURA 5.36 - ORGANIZAÇÃO DE TÂNIA
166
FIGURA 5.37 - ORGANIZAÇÃO DE FERNANDO E ANGÉLICA
FIGURA 5.38 - ORGANIZAÇÃO DE CLÁUDIO
FIGURA 5.39 - ORGANIZAÇÃO DE GIOVANNA
167
No caso de Tânia, no início da construção, parecia que ela estava
considerando a expressão geral, pelo fato de que os dois primeiros termos possuíam
dois ímãs na posição vertical, representando o termo independente da expressão
“n + 2”, e os demais ímãs na posição horizontal, representando o número do termo
“n”. (vide Figura 5.36). No entanto, no 3º, 4º e 5º termos, a aluna acrescentou um
ímã na posição vertical, diminuindo em um o número do termo na posição horizontal,
procedimento este que dificultou nosso entendimento quanto à estratégia utilizada. É
possível que, continuando a seqüência, Tânia tenha percebido essa mudança, mas
não houve evidências em sua fala que essa estratégia foi uma escolha consciente.
Considerando o trabalho da dupla, Fernando e Angélica, cada um construiu
uma seqüência, sendo que Fernando optou pela expressão “2n” e Angélica ficou
com a expressão “n + 2” (vide Figura 5.37). Em seguida, houve a verificação da
construção pelo seu parceiro, onde a atenção estava voltada ao número de ímãs em
cada termo e não aparentemente à estrutura. Cláudio construiu os termos da
expressão “n + 2” similar à expressão “2n”, ou seja, organizando os ímãs
regularmente, “de dois em dois”, na posição horizontal (vide Figura 5.38). Giovanna
organizou os ímãs da expressão “n + 2” na posição vertical (vide Figura 5.39). Com
as construções cumpridas, colocamos a questão: Quem é maior, “n + 2” ou “2n”?
5.8.2 Análise das respostas
Em resposta a este item, apesar de todos os alunos terem efetuado uma
comparação termo a termo entre as duas seqüências, estabelecendo oralmente as
relações: para n = 1 .......... n + 2 > 2n; para n = 2 .......... n + 2 = 2n; para n ≥ 3 .......... n + 2 < 2n;
eles insistiam em dar como resposta uma das expressões (“2n” ou “n + 2”). Os
alunos que responderam “n + 2”, consideraram apenas o 1º termo das duas
seqüências, comparando-os. Os demais alunos que responderam “2n” perceberam
intuitivamente que a partir do 3º termo, a quantidade de ímãs de “2n” sempre seria
maior que “n + 2”. Os diálogos que apresentaremos a seguir mostram claramente
que os alunos sabiam que a resposta dependia do valor do termo “n”. Fernando, por
168
exemplo, teve a iniciativa de responder a questão proposta, sugerindo ser “2n” a
maior expressão, justificativa esta baseada nas construções do primeiro e último
termos. Quando o aluno percebeu que no 1º termo, “n + 2” era maior, interrompemos
o diálogo e direcionamos a questão à Angélica, que respondeu:
Angélica: Um é igual, outro não é... (Angélica estava se referindo aos dois
primeiros termos).
Fernando interrompeu:
Fernando: Dependendo do termo ele é maior, mas dependendo do termo ele é menor.
Considerando o 1º termo, Fernando substituiu “n” por 1 e completou:
Fernando: Dois mais um é maior que duas vezes um.
Angélica e Fernando compararam com suas mãos, termo a termo, chegando
à conclusão que “2n” era maior a partir do 3º termo.
Tânia por sua vez, respondeu em termos de maior probabilidade, tratando o
1º e 2º termos como exceções.
Acho que agora, a probabilidade de 2n ser maior vai ser freqüente, porque vai
aumentando.
Cláudio, inicialmente, respondeu que a expressão maior era “n + 2”
justificando que o 1º termo, quando n = 1, para “n + 2”, resultava em 3, e para “2n”
resultava em 2. Neste momento parece que ele estava atribuindo apenas um valor
para “n”. Após questionarmos sobre os outros termos das seqüências, Cláudio
percebeu que o valor numérico da expressão dependia do valor de “n”.
Professora: O que você acha que vai acontecer depois? (depois do 3º termo)
Cláudio: Eu acho que 2n vai continuar maior.
Giovanna, assim como Cláudio, também começou considerando apenas
o 1º termo. Ela respondeu que “n + 2” era maior que “2n”. Logo em seguida, sem
intervenção da professora, com suas mãos sobre os ímãs, Giovanna percebeu
que no 2º termo a quantidade de ímãs era igual, logo “2n = n + 2” e que, a
partir do 3º termo “2n”, era maior que “n + 2”. (Vale a pena ressaltarmos que os
valores negativos para “n” não foram considerados, isto porque no contexto de
169
seqüências, a letra “n” é associada ao número do termo; desta forma, números
negativos não são privilegiados - é uma limitação neste tipo de atividade).
Dando continuidade a nossa análise, faremos uma síntese das respostas
dos alunos para este item, na Atividade de Sondagem, e na 7ª Tarefa. A Tabela 5.20
apresenta as respostas dos alunos, nestes dois momentos:
Percebemos na tabela supra, que todos os alunos na Atividade de
Sondagem, responderam “n + 2”. Entretanto, na 7ª Tarefa, alguns mudaram de
opinião: Fernando, Tânia e Cláudio, por exemplo, consideraram a “freqüência” com
que “2n” aparecia como expressão “maior” (a partir do 3º termo). Angélica e
Giovanna utilizaram a análise do início da tarefa comparando termo a termo.
Lembramos que setenta e um por cento dos alunos ingleses escolheram também
uma resposta, no caso “2n”. Neste sentido, podemos pensar que a forma de como
foi introduzido o item, “Qual é ...”, pode ter induzido os nossos alunos a pensarem
que deveriam escolher uma das duas expressões como resposta. Isto é uma
indicação de que os alunos não estão acostumados a itens como este, onde a
resposta seria, por exemplo, “depende do valor de n”.
Alunos Atividade de Sondagem 7ª Tarefa
Fernando “n + 2, porque 2n está representando um
termo e o n + 2 representa dois termos”.
“2n é maior do 3º termo em diante”.
Tânia “n + 2, porque n corresponde a 1,
portanto n + 2 = 3n”
“a probabilidade de 2n ser maior vai
ser freqüente, porque vai
aumentando”.
Cláudio “n + 2, porque n = 1 + 2 = 3” “Eu acho que 2n vai continuar
maior”.
Angélica “n + 2” “Um é igual, o outro não é”.
Giovanna “n + 2, porque nós somamos n com o 2” “no 1º termo n + 2 é maior, no 2º
termo é igual e no 3º termo, 2n é
maior”
TABELA 5.20 - RESPOSTAS DOS ALUNOS - “Quem é maior 2n ou n + 2?”
170
Alguns aspectos envolvidos nas seis tarefas contribuíram na construção das
expressões “2n” e “n + 2”, como por exemplo, a determinação da quantidade de
ímãs em cada termo, obtida pela substituição de “n” por alguns valores que
representam o número do termo (processo utilizado com freqüência pelos alunos,
nas tarefas anteriores, durante a validação). Podemos acrescentar, também, o fato
dos alunos se encontrarem, de certa forma, mais familiarizados com os conceitos
aritméticos e algébricos envolvidos na atividade, como por exemplo, os “termos”, as
“regularidades” e a “regra geral”.
Entendemos, que a 7ª Tarefa propiciou uma situação onde os alunos,
efetivamente, aprofundaram-se nos estudos das duas expressões “2n” e “n + 2”,
construindo-as, comparando-as, enfim, verificando as peculiaridades de cada uma,
contribuindo assim, para o processo de “internalização”. Em todas as tarefas os
mediadores externos (pranchas e ímãs) foram utilizados como estratégias de acesso
à solução do problema, porém a “natureza das respostas” referentes às seis
primeiras não foi a mesma em relação à última. Nas seis primeiras, os alunos
partiram do material concreto e chegaram à regra geral; no sentido oposto, os alunos
na 7ª Tarefa, partiram da regra geral (o abstrato) para o particular utilizando o
material concreto, e depois, voltaram às generalizações para responderam o item
proposto. Isto quer dizer, que não era suficiente que os alunos construíssem as
seqüências; eles necessitavam examiná-las cuidadosamente para que chegassem a
uma conclusão. Para isto, os alunos, no que diz respeito à Espiral de
Desenvolvimento de Mason, em suas “articulações” com as expressões algébricas e
depois aritméticas, foram capazes, através da “manipulação” e “constituindo um
sentido para” os ímãs, construir as seqüências referentes à “2n” e “n + 2”,
possibilitando estabelecer as diferenças entre as mesmas. Neste momento,
identificamos uma das idéias de Mason quanto à forma de desenvolver a percepção
de generalidade - sensibilizar pela distinção entre “olhar através” e “olhar para” -
“trabalhar sobre” e “trabalhar através”, ou seja, ver a generalidade através do
particular e ver o particular no geral.
171
5.9 SÍNTESE DO CAPÍTULO
Finalizaremos este capítulo apresentando o comportamento dos alunos
durante as entrevistas e um quadro resumo referente às trajetórias dos mesmos
para cada tarefa.
5.9.1 Comportamento dos alunos nas tarefas
Giovanna foi uma aluna que vibrou a cada acerto; entretanto, quando
percebia não conhecer a resposta de um determinado item, requisitava a professora
pesquisadora para que o explicasse. Por exemplo:
Giovanna: Ah! Mas eu queria descobrir, eu vou ficar até amanhã para
descobrir isso! (Isto aconteceu na 1ª Tarefa, quando já estava
finalizando-a.)
Por outro lado, durante as interferências da professora pesquisadora,
Giovanna interrompia e voltava a suas tentativas. Parece que ela queria somente
uma indicação sobre estar caminhando na linha certa. Na maioria das vezes, não
demonstrou cansaço no final das tarefas, fazendo com que a professora
pesquisadora ficasse mais à vontade para incentivá-la a encontrar outras
regularidades para a seqüência trabalhada.
Tânia também foi uma aluna persistente, não desistindo frente a um
obstáculo. Durante as atividades que acompanhou com sucesso, sua alegria foi
contagiante. No entanto, esmorecia ao perceber que em algumas situações não
respondia corretamente. Nestes momentos, procurávamos encorajá-la para que não
desanimasse.
Apesar de Cláudio possuir uma certa dificuldade na construção dos termos e
na forma de organizá-los espacialmente, teve um bom desempenho nos itens
solicitados. Suas respostas foram claras e objetivas. No último item das tarefas,
onde pedíamos para que os alunos encontrassem outras regularidades, geralmente
o aluno não se empenhava em responder o item; talvez por cansaço.
Angélica mostrou-se uma pessoa tímida e tranqüila. No transcorrer das
tarefas em dupla, Fernando freqüentemente respondia antes que Angélica;
172
entretanto, com o passar do tempo, foi constatado que a aluna, além do problema
visual, também possuía uma deficiência auditiva. A professora pesquisadora passou,
então, a falar mais alto e direcionar as questões para que Angélica tivesse as
mesmas oportunidades de resposta em relação à Fernando. Por iniciativa dos
próprios alunos, nos itens que solicitavam a construção dos termos, cada aluno
construía um termo e, em seguida, verificavam a construção do seu colega. Houve
algumas situações em que Fernando explicou à Angélica as estratégias utilizadas
para suas respostas. No final da 4ª tarefa, Angélica estava mais confiante, o que fez
melhorar sua participação. Fernando pensava com rapidez e, em alguns momentos,
levantava questões fundamentadas ao que tínhamos trabalhado. Foi um aluno um
pouco ansioso e agitado; enquanto esperava sua vez para responder, ficava
movimentando suas mãos sobre a mesa, parecendo já saber a resposta.
5.9.2 Resumo das tarefas
Na 1ª Tarefa os alunos não estabeleceram uma regra para um termo geral.
As relações foram expressas oralmente, considerando apenas as relações entre
termos.
Quanto à 2ªTarefa, cuja lei geral era definida por f(n) = 4n, todos os alunos
escreveram a expressão algébrica. Os valores familiares, da “tabuada do quatro“ (4,
ALUNOS RELAÇÃO DERECORRÊNCIA
REGRA GERAL
Linguagem
natural
Linguagem
natural
Expressões
numéricas
Expressões
algébricas
Expressões
equivalentes
Angélica X
Giovanna X
Tânia X
Cláudio X
Fernando X
TABELA 5.21 - RESUMO DA 1ª TAREFA
173
8, 12, 16...), proveniente desta lei, contribuíram para o sucesso desta tarefa. Os
alunos não encontraram outras regularidades.
ALUNOS REGRA DERECORRÊNCIA
REGRA GERAL
Linguagem
natural
Linguagem
natural
Expressões
numéricas
Expressões
algébricas
Expressões
equivalentes
Angélica X X X
Giovanna X X X
Tânia X X X
Cláudio X X X X
Fernando X X X
Na 3ª Tarefa, a maioria dos alunos iniciou suas observações estabelecendo
uma relação entre termos; por fim, todos escreveram as expressões algébricas, e
apenas Fernando e Angélica encontraram outra regularidade.
ALUNOS REGRECO
Lin
n
Angélica
Giovanna
Tânia
Cláudio
Fernando
Já em relação
uma relação para u
algébricas do círcu
familiarizados com a
TABELA 5. 23 - RESUMO DA 3ª TAREFA
R
gu
a
m
lo
es
TABELA 5.22 - RESUMO DA 2ª TAREFA
RA DERÊNCIA
REGRA GERAL
agem
tural
Linguagem
natural
Expressões
numéricas
Expressões
algébricas
Expressões
equivalentes
X X X X X
X X X
X X X X
X X X X
X X X X
à 4ª Tarefa, a maioria dos alunos estabeleceu, desde o início,
a regra geral. Apenas Tânia não escreveu as expressões
e do total de ímãs. Os alunos pareciam estar mais
trutura das tarefas.
174
ALUNOS REGRECOR
Ling
na
C
Angélica
Giovanna
Tânia
Cláudio
Fernando
A 5ª Tarefa, d
entre a quantidade o
maioria dos alunos
termos. Tânia foi a
termo desde o início.
ALUNOS REGRECOR
Ling
na
Angélica
Giovanna
Tânia
Cláudio
Fernando
TABELA 5. 24 - RESUMO DA 4ª TAREFA
RA DERÊNCIA
REGRA GERAL
uagem
tural
Linguagem
natural
Expressões
Numéricas
Expressões
algébricas
Expressões
Equivalentes
Q T C Q T C Q T C Q T C Q T
X X X X X X X X X
X X X X X X X X
X X X X X
X X X X X X X X
X X X X X X X X X
l
C - Círculo Q - Quadrado T - Totaefinida pela lei quadrática f(n) = (n + 1)2 dificultou uma relação
u organização dos ímãs e o número do termo. Desta forma, a
iniciou suas observações estabelecendo uma relação entre
única aluna que estabeleceu uma relação com o número do
RA DERÊNCIA
REGRA GERAL
uagem
tural
Linguagem
natural
Expressões
numéricas
Expressões
algébricas
Expressões
equivalentes
X X X X
X X X X
X X X
X X X X
X X X X X
TABELA 5.25 - RESUMO DA 5ª TAREFA
175
Quanto à 6ª Tarefa, cuja lei de formação era definida por f(n) = (n + 2)2,
Giovanna, Tânia e Fernando iniciaram suas relações considerando o número do
termo. O item que solicitou as expressões algébricas do total de ímãs foi cumprido
com sucesso por todos os alunos, e três deles, no final da tarefa, estabeleceram
outras regularidades. Eles foram além das expectativas da pesquisadora.
ALUNOS REGRRECOR
Lingu
na
C
Angélica X
Giovanna
Tânia
Cláudio X
Fernando
O Capítulo 6 s
teóricos mencionados
de Sondagem e nas t
TABELA 5. 26 - RESUMO DA 6ª TAREFA
A DERÊNCIAREGRA GERAL
agem
tural
Linguagem
natural
Expressões
Numéricas
Expressões
algébricas
Expressões
Equivalentes
Q T C Q T C Q T C Q T C Q T
X X X X X X X X X X
X X X X X X X
X X X X X X X X
X X X X X X X X
X X X X X X X X X
C - Círculos Q - Quadrados T - Total
erá dedicado às conclusões do estudo tomando como base os
anteriormente e os resultados obtidos na análise da Atividade
arefas.
176
CAPÍTULO 6Conclusão
6.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo, tendo como base a análise dos dados, procuraremos expor
resumidamente nossas conclusões dividindo-o em quatro partes, sendo a primeira
um breve relato da trajetória de nosso estudo; a segunda, uma síntese dos principais
resultados obtidos na Atividade de Sondagem e nas sete tarefas; quanto à terceira
parte, retomaremos a questão de pesquisa tendo como apoio a análise dos
resultados e as pesquisas internacionais por nós apresentadas; e, finalmente, na
quarta parte, faremos algumas sugestões para futuras pesquisas relacionadas com o
tema.
6.2 A TRAJETÓRIA DO ESTUDO
A realização desta pesquisa teve como objetivo principal investigar a
compreensão de objetos algébricos, especificamente, seqüências de padrões
figurativos por alunos sem acuidade visual (s.a.v.), e elaborar atividades que
facilitassem sua participação em atividades de generalização.
Iniciamos nossa trajetória expondo as principais características inerentes aos
alunos s.a.v., tendo como base o documento intitulado “Declaração de Salamanca”,
as alterações sugeridas pelo PCN - “Adaptações Curriculares”, e a posição
defendida por Vygotsky (1983) referente à integração social da criança portadora de
alguma deficiência. Vygotsky acreditava que estas crianças tinham potencial para
um desenvolvimento normal, e que este potencial deveria ser encontrado nas áreas
das funções psicológicas superiores, com o auxílio de quatro processos
considerados pelo autor como essenciais para este desenvolvimento: “as relações
sociais entre os indivíduos”, a “mediação”, a “internalização” e o “desenvolvimento
de sistemas simbólicos” (Capítulo 1).
177
No Capítulo 2, pesquisamos sobre as dificuldades dos alunos na apreensão
de conceitos algébricos, tendo como base pesquisas internacionais em Educação
Matemática realizadas por Küchemann (1981), Booth (1988) e Mason (1996a).
A pesquisa de Küchemann (1981) teve contribuição fundamental em nosso
estudo, principalmente na elaboração e análise da Atividade de Sondagem. Em
relação à sua elaboração, 14 dos 21 itens (contando os subitens) foram
selecionados a partir da pesquisa de Küchemann (1981). Estes itens permitiram que
identificássemos as dificuldades encontradas por nossos alunos em questões que
envolviam a apreensão de conceitos algébricos. No que diz respeito à análise da
Atividade de Sondagem, outra contribuição relevante foi a classificação por níveis,
levando em conta as seis categorias de interpretação das letras (“letra como valor”,
“letra não utilizada”, “letra como objeto”, “letra como uma incógnita específica”, “letra
como um número generalizado” e “letra como variável”), e a complexidade estrutural
dos itens - fatores que determinaram a organização dos nossos alunos (em grupo ou
individualmente) durante as entrevistas.
Tivemos um particular interesse no trabalho desenvolvido por Booth (1988), o
qual procurou entender as dificuldades dos alunos em passar para os níveis mais
elevados (3 e 4 – níveis descritos por Küchemann), identificando e investigando as
razões dos tipos de erros que os alunos normalmente cometem, referentes aos
aspectos: “o foco da atividade algébrica e a “natureza das respostas”; o uso da
notação e da convenção; o significado das letras e das variáveis; os tipos de
relações e métodos usados em aritmética”. Estes aspectos foram identificados com
freqüência na Atividade de Sondagem e nas simplificações e validações das
expressões algébricas durante as tarefas.
O estudo de Mason (1996a) refletiu sobre a relevância da generalidade no
entendimento da Álgebra, as dificuldades dos alunos nesta aprendizagem e os
diferentes caminhos percorridos pelos alunos até chegarem à expressão de
generalização. Mason apresenta a “Espiral de Desenvolvimento” no processo de
generalização, que se inicia com a “manipulação confiante”, passando pelo
entendimento e articulação do sentido, até que a articulação torne-se uma
manipulação confiante, reiniciando-se, assim, o processo. No transcorrer das
tarefas, tentamos identificar os momentos em que eram verificadas as fases de
desenvolvimento descritas por Mason.
178
Com base nessas idéias teóricas, organizamos o desenvolvimento da
pesquisa em duas fases (Capítulo 3): a primeira dedicada à elaboração da Atividade
de Sondagem, às sete tarefas de generalização e à elaboração do material
manipulativo; a segunda, destinada à realização destas atividades. As seis primeiras
tarefas envolvendo generalização de padrões figurativos foram selecionadas
atendendo as sugestões dos PCN, de Küchemann (1981) e Mason (1996a). Ainda
no Capítulo 3, apresentamos nossos sujeitos e os instrumentos utilizados por eles no
sistema de escrita Braille. Os capítulos 4 e 5 foram dedicados às análises das
Atividades de Sondagem e das sete tarefas, respectivamente. Na seção 6.3,
daremos início à síntese dos principais resultados do estudo.
6.3 SÍNTESE DOS PRINCIPAIS RESULTADOS
Organizaremos esta seção em duas partes, sendo a primeira voltada para a
Atividade de Sondagem e, a segunda, dedicada às tarefas.
6.3.1 A Atividade de Sondagem
A Atividade de Sondagem possibilitou-nos identificar algumas dificuldades
encontradas pelos alunos durante as resoluções dos itens. Faremos um breve relato
para cada uma das dificuldades.
- Atribuição desnecessária de valores específicos às letras
Alguns alunos atribuíram, desnecessariamente, valores específicos às letras,
ajustando-os em relação aos resultados das expressões. Isto ocorreu em dois itens
estruturados com duas equações, como em um sistema. A categoria de
interpretação das letras associada a este tipo de resolução é descrita por
Küchemann como “letra como valor”.
- Não aceitação à “falta de fechamento”
As simplificações com polinômios, quando efetuadas pelos nossos alunos,
não foram resolvidas com sucesso. A maioria dos alunos operou com todos os
termos da expressão, somando ou subtraindo os coeficientes numéricos, e
179
multiplicando ou apenas incluindo as partes literais. Isto aconteceu freqüentemente
porque os alunos insistiram em dar uma resposta com um único termo, não
aceitando a “falta de fechamento”. Identificamos este tipo de erro pertencendo ao
aspecto citado por Booth (1988) como “o foco da atividade algébrica” e a “natureza
das respostas”.
- A operação de multiplicação não é percebida na escrita simplificada (2n)
A associação de expressões do tipo “4n“ como soma (“4 + n”) em vez de
produto foi um erro comum entre os alunos que participaram deste estudo, e refere-
se a um dos aspectos mencionados por Booth (1988) como “uso da notação e
convenção” na Aritmética e na Álgebra. Os alunos substituíram o valor numérico de
“n” e somaram todos os elementos da expressão.
- Dificuldade em itens que envolvem as categorias, “letra como um númeroespecífico desconhecido” , “letra como um número generalizado” e “letracomo variável”
Verificamos que os itens que envolviam as três últimas das categorias de
Küchemann (1981), não foram respondidos com sucesso por nossos alunos. Quanto
à categoria “letra como um número específico desconhecido”, os alunos tiveram
dificuldade em operar com o desconhecido e, por este motivo, alguns atribuíram
valores às letras, desnecessariamente. Na categoria “letra como número
generalizado”, em particular, os alunos não perceberam que as letras eram usadas
como um número generalizado, capazes de assumir diversos valores e que, em um
determinado momento, as letras, apesar de diferentes, poderiam assumir o mesmo
valor. Em relação à categoria “letra como variável”, o baixo índice de acertos talvez
ocorreu porque os alunos não admitiram que os valores das expressões dependiam
dos valores atribuídos à variável. Constatamos que as dificuldades dos alunos s.a.v.,
em geral, são muito semelhantes às dos alunos videntes que participaram da
pesquisa de Küchemann (1981) e de nosso estudo “piloto” (vide Anexo C).
180
6.3.2 As tarefas (entrevistas)
Nesta seção, apresentaremos uma síntese dos principais resultados
discutidos no capítulo da análise das tarefas, considerando a análise vygotskiana na
visão de Oliveira (2003), o estudo de Mason (1996a) e as justificativas dos erros
cometidos pelos alunos discutidas por Booth (1988). Ao nosso entender, as idéias
de Vygotsky e o estudo de Mason estão presentes em toda a tarefa, enquanto as
considerações de Booth aparecem apenas no final, quando os alunos escrevem as
expressões matematicamente. Organizamos esta seção em três partes.
Primeiramente, comentaremos sobre aspectos vygotskyanos; em seguida, faremos
as observações focadas em Mason; e finalmente, falaremos sobre as justificativas
dos erros dos alunos nos termos de Booth.
Segundo a perspectiva vygotskiana, descrita por Oliveira (2003), a prancha e
os ímãs, a linguagem, os sistemas de contagem, as técnicas mnemônicas, os
sistemas simbólicos algébricos, as figuras e a escrita Braille (todos considerados
como signos) agem como mediadores, podendo, assim, contribuir para o
desenvolvimento das funções psicológicas superiores. As marcas externas
(definidas por Oliveira como instrumentos externos e palpáveis que possuem uma
carga semiótica, simbólica), identificadas em nosso estudo como sendo a prancha e
os ímãs, vão, com o passar do tempo, transformando-se em signos internos; ou seja,
os objetos do mundo real vão sendo substituídos por representações mentais que se
fazem necessárias no processo de internalização. Durante as atividades,
identificamos como representações mentais (signos internos) as relações de
generalidade, baseadas nos padrões das seqüências; e as expressões numéricas e
algébricas.
As evidências nas falas e produções em Braille dos sujeitos, ao longo das
tarefas, indicaram que os signos externos eram gradualmente internalizados,
permitindo a construção de novos significados para as letras em expressões
algébricas. Geralmente este processo é lento, dificultando a percepção do momento
em que o processo de internalização completou-se. Em algumas situações, a
internalização de alguns conceitos ficou evidente quando, por exemplo, os alunos
necessitaram buscá-los junto às funções psicológicas superiores, como aconteceu
ao trabalharem na 2ª Tarefa, cuja lei era definida como sendo f(n) = 4n, onde os
mesmos identificaram os valores (4, 8, 12, 16...) como pertencendo à “tabuada do
181
quatro” (conceito já internalizado por eles). No transcorrer das tarefas percebemos
uma crescente familiaridade com os elementos e processos utilizados pelos alunos,
como seqüência, termo, padrão de regularidade, expressões numéricas, algébricas,
equivalentes e validação. Ressaltamos que, em diferentes momentos, alguns alunos
apresentaram um tratamento diferente em relação aos símbolos algébricos:
enquanto eles estavam construindo as expressões algébricas, a letra, representando
o número do termo, parecia ter significado para eles. Entretanto, no momento da
simplificação, ocorria uma desconexão da expressão algébrica à situação dos ímãs,
sugerindo que o processo de internalização ainda estava em andamento.
Em geral, a trajetória percorrida por nossos alunos em busca da
generalização segue àquela sugerida nos itens de cada tarefa: eles partiram da
representação de termos específicos e suas justificativas; em seguida, foram
construídas as expressões numéricas e algébricas (incluindo as expressões que
representavam outras regularidades - as expressões equivalentes); e por fim, a
validação das mesmas. Destacamos que todas as respostas dos alunos, inclusive
com relação às expressões numéricas e algébricas, foram expressas, inicialmente,
em linguagem natural, e em seguida, registradas no sistema Braille. Neste caminho,
tentamos identificar as fases da Espiral de Desenvolvimento, descritas por Mason
(1996a). Verificamos, em algumas situações, que o desenvolvimento em busca da
generalização não ocorria, necessariamente, de forma linear. Podemos citar como
exemplo, a situação em que o aluno ao apresentar dificuldade para escrever a
expressão algébrica de uma das seqüências apresentadas, voltava a manipular os
imãs, na tentativa de encontrar uma outra regularidade. Observamos, também, que
mesmos os alunos que não apresentaram dificuldade no transcorrer das tarefas,
utilizaram a “manipulação” dos ímãs em todo o processo de generalização (com
maior freqüência no início das atividades). Ao nosso entender, este procedimento
era natural, uma vez que nossos sujeitos eram alunos s.a.v.. A “articulação”,
presente em todo o processo de generalização, auxiliava-os nas estratégias em que
eram envolvidas uma relação entre termos (relação de recorrência) ou uma relação
com o número do termo. O esforço para trazer os objetos para a “articulação” fazia
com que esta se desenvolvesse, “constituindo um sentido para” o material concreto,
isto é, as pranchas e os ímãs.
182
A contribuição de Booth (1988) deu-se nesta fase do estudo, principalmente
durante a simplificação de expressões algébricas e a validação de alguns termos
específicos. Em geral, os erros cometidos pelos alunos durante as simplificações
pertenciam aos aspectos “o foco da atividade algébrica e a natureza das respostas”,
que refletia a dificuldade dos alunos em aceitar a “falta de fechamento”; o “uso da
notação e convenção”, onde os alunos, não percebendo a operação de multiplicação
envolvida na forma reduzida de escrever “2x” , operavam-na como “2 + x”; e o
“significado das letras e das variáveis”, onde para os alunos, letras diferentes
representavam valores diferentes. Um outro erro cometido com freqüência, e
percebido durante validação de termos específicos, está relacionado ao aspecto “os
tipos de relações e métodos usados em aritmética - As convenções aritméticas
malentendidas”, em que os alunos, por pensarem que a seqüência das operações
escritas é que determina a ordem em que os cálculos deveriam ser efetuados, não
fizeram uso dos parênteses, acarretando outros erros no momento da simplificação.
Por outro lado, foi também, neste momento, que os alunos começaram a entender a
necessidade dos parênteses em certas expressões.
Não poderíamos deixar de mencionar a relevância da 7ª Tarefa em nosso
estudo. Ela proporcionou-nos mais um momento para a observação da habilidade
com que os alunos manusearam os objetos trabalhados, destacando o papel do
material como mediador e facilitador na análise deste item. Eles foram capazes de
construir as seqüências definidas pelas leis “2n” e “n + 2”, analisar o comportamento
da seqüência termo a termo, e depois, voltar a generalizar para responderem ao
item proposto. Acreditamos que houve um avanço por parte dos alunos no
tratamento deste item na 7ª Tarefa, comparado com o mesmo na Atividade de
Sondagem. De certa forma, os alunos encontraram-se mais familiarizados com os
conceitos algébricos envolvidos nesta atividade.
Levando em consideração a análise dos resultados obtidos em nosso estudo,
retomaremos nossa questão de pesquisa, respondendo-a na próxima seção.
6.4 RESPOSTA À QUESTÃO DE PESQUISA
Quais os fatores que contribuem na apreensão de expressões algébricas por
alunos sem acuidade visual?
183
O acesso a padrões figurativos para alunos s.a.v. deu-se através de material
constituído por uma prancha de metal e ímãs de diferentes formas geométricas, em
que os alunos, através do tato, percebiam os padrões das seqüências. A mobilidade
dos ímãs favoreceu o agrupamento dos mesmos de diversas maneiras, facilitando a
percepção de outras regularidades. As representações figurativas que descreviam
um padrão, assim como a relação entre termos, a relação entre a organização dos
ímãs e a posição da figura, e a construção de expressões numéricas, contribuíram
na trajetória para que os alunos chegassem a uma regra geral.
O caminho percorrido pelos alunos até a regra geral era proveniente, na
maioria das vezes, da forma como eles percebiam o padrão e construíam os termos.
Assim, no item referente à justificativa da construção dos termos solicitados, alguns
alunos fizeram uma relação com os termos anteriores e posteriores (relação entre
termos). Neste contexto, emergiu a relação multiplicativa que fez parte das duas
primeiras tarefas, onde o aluno calculava a quantidade de ímãs para um termo
qualquer solicitado, mesmo os mais distantes. Devido à eficácia desta relação, o
aluno não precisava encontrar uma outra regra, neste caso, a regra geral. Não
podemos deixar de observar que, em algumas tarefas, a regra entre termos foi útil
na identificação da regra geral, afinal, foram as primeiras tentativas de generalização
expressas em linguagem natural. Outros alunos, em contraposição, utilizavam a
posição da figura nas justificativas das representações dos termos, fator este que os
auxiliou, na maioria das vezes, na formação da regra geral.
Outro fator relevante e facilitador na trajetória até a regra geral foi
requerermos a construção de expressões numéricas antes das expressões
algébricas (seguindo a estratégia de Nakamura (2003)). A construção de expressões
numéricas emergiu de dois caminhos: um deles partiu da organização dos ímãs,
onde os alunos levavam em conta a forma de como os ímãs estavam organizados; o
outro, do total de ímãs, onde os alunos encontravam uma operação que estabelecia
uma relação com o total de ímãs em cada termo. Quanto às expressões algébricas,
estas eram escritas a partir de expressões numéricas, onde as variáveis eram direta
ou indiretamente substituíveis. A passagem da expressão numérica para a algébrica,
onde a variável não era diretamente substituível, não ocorreu de maneira
espontânea para todos os alunos. Alguns precisaram de intervenções da professora
pesquisadora para chegar às expressões algébricas.
184
6.5 IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO
Considerando o pequeno grupo de alunos que participou de nosso estudo,
entendemos que se trata de uma pesquisa que não teve um caráter generalizador,
caracterizando-a como um estudo qualitativo. Esta pesquisa instigou-nos outras
possibilidades de investigação sobre este assunto. Uma delas seria o estudo similar
a este, utilizando o material manipulativo (prancha de metal e os ímãs), direcionado
a um número maior de alunos, porém, videntes. Desta forma, possibilitaríamos uma
situação mais dinâmica no que se refere à aprendizagem de conceitos algébricos.
Uma segunda possibilidade, estaria voltada a um trabalho onde os alunos s.a.v.
estariam integrados em um grupo com alunos videntes, onde poderiam ser
observadas as contribuições dos alunos videntes para a apreensão de conceitos
matemáticos pelos alunos s.a.v. e vice-versa. Desta forma, estaríamos indo ao
encontro das propostas dos PCN e da Declaração de Salamanca, cujo objetivo
principal é o de promover “a educação para todos”. Uma outra possibilidade seria a
utilização deste material em outros ramos da Matemática, como por exemplo, em
Estatística, onde cada ímã, no estudo de gráficos de barras, equivaleria a uma
unidade de medida ou múltiplo de um valor específico (múltiplos de cinco, dez...); em
Geometria, no estudo de área e perímetro de um polígono, onde cada ímã
corresponderia a uma unidade de medida e na inicialização do estudo de Análise
Combinatória, onde poderíamos utilizar os ímãs para representar a “árvore das
possibilidades” (esquema desenvolvido para mostrar todas as possibilidades de um
acontecimento).
Outros aspectos também poderiam ser pesquisados e relacionados à
formação de professores voltados à aprendizagem dos alunos, independente de
suas necessidades particulares, seja visual, mental, surdez e/ou mudez. Entretanto,
para que isto se efetive, precisamos assegurar aos professores acesso a estas
informações através de cursos, palestras, pesquisas etc.
Além do aprofundamento em atividades envolvendo seqüências de padrões
figurativos, este estudo proporcionou-nos momentos de grande satisfação. Os
alunos que assumiram o compromisso de participar deste estudo, cumpriram-no
integralmente; estiveram presentes no dia, local e horário combinado, sempre com
muita disposição. Em geral, eles empenharam-se nas tarefas, não desistindo dos
185
objetivos propostos, mesmo nas situações mais complexas. O desempenho dos
alunos no transcorrer das tarefas superou nossas expectativas iniciais. Após a
análise do nosso estudo, concordamos quando Vygotsky (1983) argumenta que as
crianças com deficiência têm potencial para um desenvolvimento normal. Se
oferecermos a um aluno s.a.v. as mesmas oportunidades de um aluno vidente, como
foi feito em nosso estudo através do material manipulativo, podemos confirmar que
eles não somente são capazes de trabalhar com os conceitos algébricos
representados em padrões figurativos, como também de chegar até a regra geral,
assim como os alunos videntes.
Nos detemos às gramas de enfermidade e não observamos os quilos de
saúde. Reparamos no pequeno defeito, e não captamos as enormes áreas,
ricas de vida, que possuem as crianças que padecem de anormalidades.
(VYGOSKY, 1983, p. 62); tradução nossa.
Inspiradas nas palavras de Vygotsky supra citadas, acreditamos que há um
vasto campo a ser explorado quando nos referimos aos alunos s.a.v. Esperamos
que este estudo seja um dos muitos que ainda estão por vir. Temos certeza de que
não faltarão idéias para que os pesquisadores da área de Educação Matemática,
possam empenhar-se, buscando cumprir um dos principais objetivos da educação: A
Educação para Todos.
186
BIBLIOGRAFIA
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cxc
ANEXO A ALFABETO BRAILLE
CELA
a b c d e f g h
I j k l m n o p q r s t u v x y
z ç é á è ú â ê
1ª posição
2ª posição
3ª posição
4ª posição
5ª posição
6ª posição
cxci
ì ô ù à ï ü õ w
, ; : . ? ! “ ”
ò í ã ó grifo hífen
0 1 2 3 4 5 6
7 8 9 Código das operações aritméticas fundamentais e os símbolos de: igualdade e parênteses.
+ - X . : = ( )
sinal de
maiúscula
Sinal de número
cxcii
ANEXO B ATIVIDADE DE SONDAGEM (Aplicada aos alunos videntes)
1) O que você pode dizer sobre b , se : b + 3 = 9 Resp: ________________________________ 2) Se d + e = 50 d + e + 4 = _______________ 3) O que você pode dizer sobre u , se:
u = v + 5 e v = 3 Resp: _______________________________________
4) O que você pode dizer sobre m , se : m = 4n + 1 e n = 5 Resp: _______________________________________ 5) O que você pode dizer sobre s , se:
s = t + u e s + t + u = 30 Resp: _________________________________ 6) Se e + f = 7 e + f + g = ________________ 7) O que você pode dizer sobre m, se
m + n = 10 Resp: ____________________________________ e m é menor que n ? Resp: ____________________________________
cxciii
8) Multiplique:
m + 3 por 5 Resp: ________________________________ 9) Simplifique: 3c + 7c = ______________ 10) Simplifique: 2d + 5e + d = ___________ 11) Simplifique:
5p – q + p = ________________ 12) Simplifique: (e – f) + f = ______________ 13) Acrescente 4 à : n + 3 Resp: _______________________________________ 14) Acrescente 6 à : 5n Resp: ______________________________________ 15) O que você pode dizer sobre: k, se 2k + 1 = k + 5 Resp: _______________________________________ 16) O que você pode dizer sobre: 2n e n + 2 Resp: ______________________________________ 17) H + I + J = H + K + J Sempre ( ) Às vezes ( ) quando ___________________________________ Nunca ( )
cxciv
18 ) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro da figura abaixo: a) m Resp: _________________________________ 19) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro das figuras abaixo: a) Resp: _____________________________________ r b) 6 6 Resp: ______________________________________ 8 20) Parte desta figura não está desenhada. Há n lados, cada um com comprimento 4 Escreva a expressão algébrica que representa o comprimento de n lados. 4 4 4 4 Resp: ____________________________________ 4 4 4
m m
t t
t t
a a
cxcv
21) Escreva a expressão algébrica correspondente a: a) o triplo de um número _______________________________________
b) o triplo de um número, mais um _______________________________
c) um número par _____________________________________________
d) um número ímpar ___________________________________________
e) a metade de um número ______________________________________
f) três números consecutivos _____________________________________
g) o dobro de um número p, somado com 7 ___________________________
h) o perímetro de um retângulo de lados medindo r e s _________________
22) Usando as letras a e b para representar dois números reais quaisquer,
escreva simbolicamente:
a) o dobro do produto desses dois números ____________________________ b) o triplo da soma desses dois números _______________________________ c) a diferença entre esses dois números ________________________________ 23) Se um livro de Matemática custa t reais e um livro de Ciências custa z reais, qual a expressão algébrica que representa a quantia que vou gastar se comprar os dois livros? Resp: _______________________________ 24) Se você multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura de um retângulo, encontrará a área do retângulo. Representando por c a medida do comprimento e por d a medida da largura, escreva simbolicamente a representação da área do retângulo. Resp: _______________________________ 25) Um mesmo aparelho eletrodoméstico é vendido em duas lojas diferentes nas seguintes condições: LOJA 1
Entrada de 2x reais e 3 prestações iguais de y reais.
cxcvi
LOJA 2
Entrada de x reais e 5 prestações iguais de y reais. a) Qual a expressão algébrica que representa o preço na loja 1? Resp: __________________________ b) Qual a expressão algébrica que representa o preço na loja 2? Resp: ___________________________ c) Qual a expressão algébrica que expressa a diferença de preço entre a loja 1
e a loja 2? Resp: ___________________________ 26) Coloque verdadeiro (V) ou falso (F), caso seja falso, escreva ao lado a equação na forma correta. a) n + n = n2 ( ) ______________________________ b) b + b = 2b ( ) ______________________________ c) 3n . 4p = 12np ( ) ______________________________ d) 2 ( a + b ) = 2a + b ( ) ______________________________ e) 3a + 5b = 8ab ( ) ______________________________ g) 5a + 4b + 10b + 7a = 12a + 14b ( ) ______________________________
OBRIGADA
BOA ATIVIDADE!!!
cxcvii
ANEXO C RESULTADOS DOS ALUNOS VIDENTES A Tabela abaixo mostra o desempenho dos (31) alunos do 1º ano do (E.M.) em cada item: TABELA A.1 - DESEMPENHO DOS ALUNOS VIDENTES DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO
QUESTÃO RESPOSTAS CERTAS n =31
RESPOSTAS ERRADAS n = 31
BRANCO
n = 31 1 29 (94%) 2 (7%) - 2 29 (94%) 2 (7%) - 3 26 (84%) 2 (7%) 3 (10%) 4 16 (52%) 9 (29%) 6 (19%) 5 6 (19%) 12 (39%) 13 (42%) 6 8 ( 26%) 12 (39%) 11 (35%) 7 16 inc.(52%) 2 (7%) 13 (42%) 8 8 (26%) 15 (48%) 8 (26%) 9 22 (71%) 6 (19%) 3 (10%) 10 23 (74%) 4 (13%) 4 (13%) 11 20 (65%) 6 (19%) 5 (16%) 12 9 (29%) 11 (35%) 11 (35%) 13 2 inc. (7%) 11 (35%) 16 (52%) 2 (7%) 14 10 32%) 17 (55%) 3 (10%) 15 8 (26%) 9 (29%) 14 (45%) 16 15 inc (48%) 2 (7%) 14 (45%) 17 2 às vezes (7%) 2 sempre (7%)
18 nunca (58%) 9 (29%)
18 22 (71%) 4 (13%) 5 (16%) 19 a 17 (55%) 4 (13%) 10 (33%) 19 b 21 (68%) 3 (10%) 7 (23%) 20 - 3 (10%) 28 ( 90%)
21 a Algébrica 12 (39%) Numérica 8 (26%)
- 6 (19%)
21b Algébrica 13 (43%) Numérica 7 (23%)
- 6 (19%)
21d Numérica 19 (61%) 1 (3%) 11 (35%) 21e Algébrica 2 (7%)
Numérica 8 (58%) 11 (35%)
21f Algébrica 1 (3%) 1 (3%) 11 (35%)
cxcviii
Numérica 8 (58%)
21j Algébrica 10 (33%) Numérica 4 (13%)
- 7 (23%)
21l 9 (29%) 6 (19%) 16 (52%) 22 a 4 (13%) 11 (35%) 16 (52%) 22 b 3 (10%) 9 (29%) 19 (61%) 22 c 5 (16%) 5 (16%) 21 (68%) 23 21 (70%) 1 (3%) 9 (29%) 24 8 (26%) 4 (13%) 19 (61%)
25 a 10 (32%) 10 (32%) 11 (35%) 25 b 10 (32%) 10 (32%) 11 (35%) 25 c 6 (19%) 7 (23%) 18 (58%) 26 a 24 (77%) 7 (23%) - 26 b 27 (87%) 4 (13%) - 26 c 24 (77%) 6 (19%) 1 (3%) 26 d 20 (66%) 7 (23%) 4 (13%) 26 e 10 (32%) 19 (61%) 2 (7%) 26 f 28 (90%) 2 (7%) 1 (3%)
Resultado da Atividade de Sondagem dos (20) alunos do 2º ano (E.M.)
TABELA A.2 - DESEMPENHO DOS ALUNOS VIDENTES DO 2º ANO DO ENSINO MÉDIO QUESTÃO RESPOSTAS CERTAS
n = 20 RESPOSTAS ERRADAS
n = 20 BRANCO
n = 20
1 17 (85%) 3 (15%) - 2 17 (85%) 3 (15%) - 3 18 (90%) 1 (5%) 1 (5%) 4 15 (75%) 4 (20%) 1 (5%) 5 2 (10%) 6 (30%) 12 (60%) 6 6 (30%) 6 (30%) 8 (40%) 7 8 – inc. (40%) - 12 (60%) 8 9 (45%) 4 (20%) 7 (35%) 9 13 (65%) 4 (20%) 3 (15%)
10 12 (60%) 5 (25%) 3 (15%) 11 11 (55%) 6 (30%) 3 (15%) 12 4 (20%) 7 (35%) 9 (45%) 13 9 (45%) 10 (50%) 1 (5%) 14 9 (45%) 9 (45%) 2 (10%) 15 7 (35%) 2 (10%) 11 (55%)
16 5 (25%) 4 (20%) 10 (50%)
cxcix
17 às vezes 4 (20%) Sempre 3 (15%) Nunca 8 (40%)
5 (25%)
18 11 (55%) 4 (20%) 5 (25%) 19 a 9 (45%) 6 (30%) 5 ( 25%) 19 b 8 (40%) 7 (35%) 5 (25%) 20 4 (20%) 4 (20%) 12 (60%)
21 a Algébricas 8 (40%) Numérica 1 (5%)
6 (30%) 5 (25%)
21b Algébrica 8 (40%) Numérica 1 (5%)
5 (25%) 6 (30%)
21c Numérica 10 (50%) 2 (10%) 8 (40%) 21d Numérica 10 (50%) 2 (10%) 8 (40%) 21e Algébrica 4 (20%)
Numérica 7 (35%) 2 (10%) 7 (35%)
21f Algébrica 8 (40%)
4 (20%) 8 (40%)
21j Algébrica 8 (40%) Numérica1 (5%)
4- (20%) 7 (35%)
21l Algébrica 6 (30%)
4 (20%) 10 (50%)
22 a 5 (25%) 7 (35%) 8 (40%) 22 b 8 (40%) 5 (25%) 7 (35%) 22 c 8 (40%) 2 (10%) 10 (50%) 23 17 (85%) 1 ( 5%) 2 (10%) 24 7 (35%) 5 (25%) 8 (40%)
25 a 8 (40%) 8 (40%) 4 (20%) 25 b 8 (40%) 7 (35%) 5 (25%) 25 c 7 (35%) 7 (35%) 6 (30%) 26 a 10 (50%) 10 (50%) - 26 b 13 (65%) 7 (35%) - 26 c 16 (80%) 3 (15%) 1 (5%) 26 d 11 (55%) 5 (25%) Branco 2 (10%)
s/ just. 2 (10%) 26 e 6 (30%) 12 (60%) Branco1 ( 5%)
s/ just. 1 (5%) 26 f 15 (75%) 1 (5%) 1 (5%) 2 (10%)
cc
ANEXO D ATIVIDADE DE SONDAGEM FINAL - SELECIONADA (Aplicada para os alunos não videntes) Nível 1: N 1 Nível 2: N 2 Nível 3: N 3 Nível 4: N 4
1) O que você pode dizer sobre b , se : b + 3 = 9
2) Se d + e = 50 d + e + 4 = ______________
3) O que você pode dizer sobre m , se
m = 4n + 1 e n = 5 Resp: ________________________ 4) O que você pode dizer sobre s , se:
s = t + u e s + t + u = 30 Resp: _______________________
5) Se e + f = 7 e + f + g = __________ 6) Multiplique:
m + 3 por 5 Resp: _____________________
7) Simplifique: 2d + 5e + d = ___________
N 2
N 2
N 3
N 4
N 1
cci
8) Simplifique: (e – f) + f = ______________ 9) Adicione (some) 6 à : 5n Resp: _______________________ 10) Qual expressão algébrica é maior , 2n ou n + 2 ? Justifique. Resp: _________________________ 11) H + I + J = H + K + J Sempre( ) Nunca( ) Às vezes( ) quando ______________________
12 ) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro das figuras abaixo: a)
Resp: ________________________
b) Resp: ______________________
m m
a a
m
6 6
8
N 1
N 2
N 4
N 3
N 4
ccii
13) Parte desta figura não está desenhada. Há n lados , cada um com comprimento 4. Escreva a expressão algébrica que representa o comprimento de n lados. 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Resp: ________________________ 14) Escreva a expressão algébrica correspondente ao triplo de um número,
mais um. Resp: ________________________ 15) Escreva a expressão algébrica correspondente a um número par . Resp: ________________________ 16) Escreva a expressão algébrica correspondente ao dobro de um número
p, somado com 7 . Resp:_________________________
17) Coloque verdadeiro (V) ou falso (F) , caso seja falso, justifique ao lado: a) n + n = n2 ( ) ______________________________ b) 3n.4p = 12np ( ) ______________________________ c) 2( a + b ) = 2a + b ( ) ______________________________
d) 3a + 5b = 8ab ( ) _______________________________
N 2
N 3
N 3
OBRIGADA BOA ATIVIDADE!!!
N 1
cciii
ANEXO E QUESTÕES DAS ENTREVISTAS
1ª TAREFA
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º
a) Qual é a figura que representa o 6º termo da seqüência? E o 8º termo?
b) Construa a seqüência até o 15º termo.
c) Você pode explicar como chegou até o 15º termo?
d) Qual figura estaria representada na 20ª posição?
e) Qual figura ocupa a 12ª, 15ª, 18ª e 21ª posições? Quais outras posições
essa figura pode ocupar?
f) Vamos agora pensar no quadrado. Quais posições que o quadrado pode
ocupar?
g) Qual figura ocupará a 30ª, 42ª, 60ª e 88ª posições?
h) Explique como chegou nestas respostas.
2ª TAREFA
1º 2º 3º
cciv
a) Construa o 4º termo da seqüência.
b) Explique como você chegou nesta resposta.
c) Quantos quadrados têm cada termo?
d) Quantos quadrados têm o 5º, 6º, 7º e o 15º termos da seqüência?
e) Qual a relação entre a posição do termo na seqüência e o número de
quadrados (desse termo)?
f) Escreva uma expressão numérica para indicar o total de quadrados de cada
figura. Escreva a expressão numérica do 100º e 1000º termos.
g) Como calcular o número de quadrados de um termo qualquer?
h) Determine outros métodos para calcular o número de quadrados em cada
termo e escreva outras expressões algébricas que representem a
quantidade de quadrados de um termo qualquer da seqüência.
i) Justifique a equivalência das expressões algébricas.
3ª TAREFA
2ª 4ª
As figuras apresentadas correspondem ao 2º e 4º termos da seqüência.
a) Construa o 3º e 5º termos da seqüência.
b) Observe uma regularidade na seqüência (uma mesma maneira de formar
cada figura da seqüência ou mesmo padrão de formação) e explique como
construiu o 3º e 5º termos.
c) Quantos círculos possuem cada um dos termos?
d) Estabeleça uma relação entre o número do termo e a quantidade de
círculos, levando em conta a organização dos mesmos.
e) Quantos círculos possuem o 6º, 7º, 20º e 30º termos?
f) Escreva uma expressão numérica para esses resultados.
ccv
g) Reescreva essas expressões numéricas relacionando com o número do
termo.
i) Escreva a expressão numérica do 100º e 1000º termos. Em seguida escreva
uma expressão algébrica que represente a quantidade de círculos de um termo
qualquer da seqüência.
j) Observe outras regularidades e obtenha outras expressões algébricas que
também representem a quantidade de círculos de um termo qualquer da
seqüência. Justifique a equivalência das expressões algébricas.
4ª TAREFA
1º 4º
As figuras acima correspondem ao 1º e 4º termos da seqüência.
a) Observe a regularidade e construa o 2º e 3º termos da seqüência.
b) Explique como pensou para construí-los?
c) Estabeleça uma relação entre o número do termo e a quantidade de círculos
de cada figura.
d) Escreva uma expressão numérica que represente a quantidade de círculos
do 3º, 6º, 11º e 25º termos.
e) Escreva uma expressão algébrica que represente a quantidade de círculos
de um termo qualquer da seqüência.
f) Observe a organização dos quadrados em cada termo. Estabeleça uma
relação entre o número do termo e a quantidade total de quadrados de cada
figura.
ccvi
g) Escreva uma expressão numérica que represente a quantidade de
quadrados do 2º, 4º, 10º e 32º termos.
h) Escreva uma expressão algébrica que represente a quantidade de
quadrados de um termo qualquer da seqüência.
i) Escreva a expressão correspondente ao total de ímãs (circulares e
quadrados) de um termo qualquer da seqüência.
j) Observe outras regularidades e obtenha outras expressões algébricas que
também representem a quantidade de ímãs (circulares e quadrados) de um
termo qualquer da seqüência. Justifique a equivalência das expressões
algébricas.
5ª TAREFA
1º 2º 3º
a) Continuando a seqüência, construa o 4º termo.
b) Explique como pensou para construí-lo.
c) Quantos círculos tem cada um dos termos da seqüência?
d) Relacione o número do termo com a organização dos círculos.
e) Escreva uma expressão numérica para o 1º, 2º, 3º, 4º, 20º e 50º termos da
seqüência.
f) Escreva uma expressão algébrica para um termo qualquer da seqüência.
g) Determine outros métodos para calcular o número de círculos de um termo
qualquer da seqüência. Justifique a equivalência das expressões algébrica.
ccvii
6ª TAREFA
1º 3º
As figuras acima correspondem ao 1º e 3º termos da seqüência.
a) Construa a figura que corresponde ao 2º e 4º termos da seqüência.
b) Explique como pensou para construí-los
c) Pensando no círculo, relacione o número do termo com o total de círculos.
d) Escreva uma expressão numérica e algébrica que represente a quantidade
de ímãs circulares.
e) Agora, tente relacionar o número do termo com a organização do quadrado.
f) Escreva uma expressão numérica, representando o número de quadrados
de cada termo construído, incluindo o 8º e 30º termos.
g) Escreva a expressão algébrica que represente a quantidade de quadrados
de um termo qualquer.
h) Escreva a expressão algébrica para calcular a quantidade total de ímãs
(circulares e quadrados) de um termo qualquer.
i) Determine outros métodos para calcular o número de círculos e/ou
quadrados de um termo qualquer da seqüência. Justifique a equivalência
das expressões algébricas.
7ª TAREFA
Qual expressão é maior, 2n ou n + 2? Construa as seqüências e justifique sua resposta.
ccviii
ANEXO F RESPOSTAS DOS ALUNOS EM RELAÇÃO À 4ª TAREFA
4 ª T A R E F A
#4a .TAREFA #4a .TAREFA #4a .TAREFA #4a .TAREFA
G I O V A N N A
.GIOVANNA.GIOVANNA.GIOVANNA.GIOVANNA 0 7 / 1 0 / 0 3
#jg,1#aj,1#jc #jg,1#aj,1#jc #jg,1#aj,1#jc #jg,1#aj,1#jc a = C O N S T R U Ç Ã O D O 2 º E 3 º
a7 CONSTRU&>O DO #2o E #3oa7 CONSTRU&>O DO #2o E #3oa7 CONSTRU&>O DO #2o E #3oa7 CONSTRU&>O DO #2o E #3o T E R M O
TERMOTERMOTERMOTERMO b = E U C O N S T R U I R O 2 º T E R M O
B7EU CONSTRUIR O #2o TERMOB7EU CONSTRUIR O #2o TERMOB7EU CONSTRUIR O #2o TERMOB7EU CONSTRUIR O #2o TERMO E O 3 º T E R M O .
E O #3o TERMOE O #3o TERMOE O #3o TERMOE O #3o TERMO'''' E U O B S E R V E I Q U E O 1 º T E R M O
EuEuEuEu OBSERVEI QUE O#ao TERMO OBSERVEI QUE O#ao TERMO OBSERVEI QUE O#ao TERMO OBSERVEI QUE O#ao TERMO
T I N H A U M C I R C O E E U
TINHA UM CIRCO E EU TINHA UM CIRCO E EU TINHA UM CIRCO E EU TINHA UM CIRCO E EU
ccix
I M A G I N E I Q U E O 2 º I A T E R
IMAGINEI IMAGINEI IMAGINEI IMAGINEI QUE O #2o IA TERQUE O #2o IA TERQUE O #2o IA TERQUE O #2o IA TER
O C I R C U L O S E O 3º 3
O CIRCULOS O CIRCULOS O CIRCULOS O CIRCULOS E O #3o #C E O #3o #C E O #3o #C E O #3o #C
C I R C U L O S E O S Q U A D R A D O S
CIRCULOS E OS QUADRADOSCIRCULOS E OS QUADRADOSCIRCULOS E OS QUADRADOSCIRCULOS E OS QUADRADOS
S E M P R E E R A U M A M A I S
SEMPRE ERA UM A MAISSEMPRE ERA UM A MAISSEMPRE ERA UM A MAISSEMPRE ERA UM A MAIS c = A R E L A Ç Ã O É Q U E O 1 º
c 7 A RELA&>O = QUE O #1oc 7 A RELA&>O = QUE O #1oc 7 A RELA&>O = QUE O #1oc 7 A RELA&>O = QUE O #1o
T E R M O T E M U M C I R C U L O O 2 º
TERMO TEM UM CIRCULO O #2oTERMO TEM UM CIRCULO O #2oTERMO TEM UM CIRCULO O #2oTERMO TEM UM CIRCULO O #2o
T E R M O T E M 2 C I R C U L O O 3 º
TERMO TEM #b CIRCULO O #3oTERMO TEM #b CIRCULO O #3oTERMO TEM #b CIRCULO O #3oTERMO TEM #b CIRCULO O #3o
T E R M O T E M 3 C I R C U L O E O
TERMO TEM #c CIRCULO E OTERMO TEM #c CIRCULO E OTERMO TEM #c CIRCULO E OTERMO TEM #c CIRCULO E O
4 º T E R M O T E M 4 C I R C U L O .
#4o TERMO TEM #d CIRCULO#4o TERMO TEM #d CIRCULO#4o TERMO TEM #d CIRCULO#4o TERMO TEM #d CIRCULO''''
A R E L A Ç Ã O É Q U E O N Ú M E R O
.A RELA&>O = QUE O N)MEROA RELA&>O = QUE O N)MEROA RELA&>O = QUE O N)MEROA RELA&>O = QUE O N)MERO
D O T E R M O É I G U A L N Ú M E R O D E
DO TERMO = IGUAL N)MERO DEDO TERMO = IGUAL N)MERO DEDO TERMO = IGUAL N)MERO DEDO TERMO = IGUAL N)MERO DE C I R C U L O
CIRCULOCIRCULOCIRCULOCIRCULO
ccx
d = N Ã O S E I
d 7 N>O SEId 7 N>O SEId 7 N>O SEId 7 N>O SEI e = T E R M O P = P C I R C U L O S
e 7 TERMO P 7 P CIRCULOSe 7 TERMO P 7 P CIRCULOSe 7 TERMO P 7 P CIRCULOSe 7 TERMO P 7 P CIRCULOS d = 3 º T E R M O = 3 C I R C U L O S
d7 #3o TERMO 7 #c CIRCULOSd7 #3o TERMO 7 #c CIRCULOSd7 #3o TERMO 7 #c CIRCULOSd7 #3o TERMO 7 #c CIRCULOS 6 º T E R M O 6 C I R C U L O
#6o TERMO #f CIRCULO#6o TERMO #f CIRCULO#6o TERMO #f CIRCULO#6o TERMO #f CIRCULO 1 1 º T E R M O = 1 1 C I R C U L O S
#11o TERMO 7 #aa CIRCULOS#11o TERMO 7 #aa CIRCULOS#11o TERMO 7 #aa CIRCULOS#11o TERMO 7 #aa CIRCULOS 2 5 º T E R M O = 2 5 C I R C U L O
#25o TERMO 7 #be CIRCULO#25o TERMO 7 #be CIRCULO#25o TERMO 7 #be CIRCULO#25o TERMO 7 #be CIRCULO
f = E U N Ã O V E J O N E M U M T I P O
f7 EU N>O VEJf7 EU N>O VEJf7 EU N>O VEJf7 EU N>O VEJO NEM UM TIPOO NEM UM TIPOO NEM UM TIPOO NEM UM TIPO
D E R E L A Ç Ã O P O R Q U E O N U M E R O
DE RELA&>O PORQUE O NUMERODE RELA&>O PORQUE O NUMERODE RELA&>O PORQUE O NUMERODE RELA&>O PORQUE O NUMERO D O T E R M O É D I F E R E N T E D O
DO DO DO DO TERMO = DIFERENTE DOTERMO = DIFERENTE DOTERMO = DIFERENTE DOTERMO = DIFERENTE DO
N Ú M E R O D E Q U A D R A D O
N)MERO DE QUADRADON)MERO DE QUADRADON)MERO DE QUADRADON)MERO DE QUADRADO
ccxi
E U O B S E R V E I Q U E O N Ú M E R O D O
EU OBSERVEI QUE O N)MERODOEU OBSERVEI QUE O N)MERODOEU OBSERVEI QUE O N)MERODOEU OBSERVEI QUE O N)MERODO
T E R M O É I G U A L O N Ú M E R O D E
TERMOTERMOTERMOTERMO = IGUAL O N)MERO de = IGUAL O N)MERO de = IGUAL O N)MERO de = IGUAL O N)MERO de
Q U A D R A D O D O L A D O D O C I R C U L O .
QUADRADODO LADO DO CIRCULOQUADRADODO LADO DO CIRCULOQUADRADODO LADO DO CIRCULOQUADRADODO LADO DO CIRCULO''''
E X E M P L O . 3 º T E R M O = 3
EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO'''' #3o TERMO 7 #c #3o TERMO 7 #c #3o TERMO 7 #c #3o TERMO 7 #c
Q U A D R A D O S D E C A D A L A D O D O
QUADRADOS DE CADA LADO DO QUADRADOS DE CADA LADO DO QUADRADOS DE CADA LADO DO QUADRADOS DE CADA LADO DO C I R C U L O S
CIRCULOSCIRCULOSCIRCULOSCIRCULOS
g = 2 º T E R M O = 2 + 2 + 3 = 7
g7#;o TERMO7 #b6#b6#cg7#;o TERMO7 #b6#b6#cg7#;o TERMO7 #b6#b6#cg7#;o TERMO7 #b6#b6#c7#g7#g7#g7#g 4 º T E R M O = 4 + 4 + 3 = 1 1
#4oTERMO7 #d 6 #d 6 #c7#aa#4oTERMO7 #d 6 #d 6 #c7#aa#4oTERMO7 #d 6 #d 6 #c7#aa#4oTERMO7 #d 6 #d 6 #c7#aa 1 0 º T E R M O = 1 0 + 1 0 + 3 = 2 3
#10oTERMO7#aj6 #aj6 #c7#bc#10oTERMO7#aj6 #aj6 #c7#bc#10oTERMO7#aj6 #aj6 #c7#bc#10oTERMO7#aj6 #aj6 #c7#bc 3 2 º T E R M O = 3 2 + 3 2 + 3 = 6 7
#3;oTERMO 7#cb6#cb6 #c7#fg#3;oTERMO 7#cb6#cb6 #c7#fg#3;oTERMO 7#cb6#cb6 #c7#fg#3;oTERMO 7#cb6#cb6 #c7#fg h = p T E R M O P + P
h 7 p TERMO P 6 Ph 7 p TERMO P 6 Ph 7 p TERMO P 6 Ph 7 p TERMO P 6 P i = E X E M P L O : P E N S A N D O N O
i 7 EXEMPi 7 EXEMPi 7 EXEMPi 7 EXEMPLO 3 PENSANDO NOLO 3 PENSANDO NOLO 3 PENSANDO NOLO 3 PENSANDO NO
ccxii
4 º T E R M O = 4 + 4 + 3 + 4 = 1 5
#4o TERMO7#d6#d6#c6#d 7#ae#4o TERMO7#d6#d6#c6#d 7#ae#4o TERMO7#d6#d6#c6#d 7#ae#4o TERMO7#d6#d6#c6#d 7#ae
E X P R E S S Ã O A L G E B R I C A :
EXPRESS>O ALG=BRICA 3EXPRESS>O ALG=BRICA 3EXPRESS>O ALG=BRICA 3EXPRESS>O ALG=BRICA 3 4 º T E R M O = p + p + 3 + p =
#4o TERMO 7 p 6 p 6 #c 6 p#4o TERMO 7 p 6 p 6 #c 6 p#4o TERMO 7 p 6 p 6 #c 6 p#4o TERMO 7 p 6 p 6 #c 6 p
j = 3 º T E R M O = 4 + 4 + 4
j7 #3o TERMO 7 #d6 #d 6 #dj7 #3o TERMO 7 #d6 #d 6 #dj7 #3o TERMO 7 #d6 #d 6 #dj7 #3o TERMO 7 #d6 #d 6 #d
R E L A C I O N A N D O C O M O N Ú M E R O
RELACIONANDO COM O N%)MERORELACIONANDO COM O N%)MERORELACIONANDO COM O N%)MERORELACIONANDO COM O N%)MERO
D O T E R M O :
DO TERMO 3DO TERMO 3DO TERMO 3DO TERMO 3
3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1
#c6 #a6 #c 6 #a 6 #c 6 #a#c6 #a6 #c 6 #a 6 #c 6 #a#c6 #a6 #c 6 #a 6 #c 6 #a#c6 #a6 #c 6 #a 6 #c 6 #a
E X P R E S S Ã O A L G É B R I C A
EXPRESS>O ALG=BRICAEXPRESS>O ALG=BRICAEXPRESS>O ALG=BRICAEXPRESS>O ALG=BRICA p + 1 + p + 1 + p + 1
p 6 #a 6 p 6 #a 6 p 6 #ap 6 #a 6 p 6 #a 6 p 6 #ap 6 #a 6 p 6 #a 6 p 6 #ap 6 #a 6 p 6 #a 6 p 6 #a
E X P R E S S Ã O N U M E R I C A D O
EXPRESS>O EXPRESS>O EXPRESS>O EXPRESS>O NUMERICANUMERICANUMERICANUMERICA DO DO DO DO
ccxiii
Q U A D R A D O P O R E X E M P L O =
QUADRADO POR EXEMPLO 7QUADRADO POR EXEMPLO 7QUADRADO POR EXEMPLO 7QUADRADO POR EXEMPLO 7 3 º T E R M O = 3 + 1 + 3 + 1 + 1
#3oTERMO7 #c 6 #a 6 #c 6##3oTERMO7 #c 6 #a 6 #c 6##3oTERMO7 #c 6 #a 6 #c 6##3oTERMO7 #c 6 #a 6 #c 6#1
E X P R E S S Ã O A L G É B R I C A :
EXPRESS>O ALG=BRICA3EXPRESS>O ALG=BRICA3EXPRESS>O ALG=BRICA3EXPRESS>O ALG=BRICA3
p + 1 + p + 1 + 1 :
p 6 #a6 p 6 #a 6 #1 3p 6 #a6 p 6 #a 6 #1 3p 6 #a6 p 6 #a 6 #1 3p 6 #a6 p 6 #a 6 #1 3
E X P R E S S Ã O A L G E B R I C A D O
EXPRESS>O ALGEBRICA DO EXPRESS>O ALGEBRICA DO EXPRESS>O ALGEBRICA DO EXPRESS>O ALGEBRICA DO T O T A L D E I M Ã S :
TOTATOTATOTATOTALDE IM>S 3LDE IM>S 3LDE IM>S 3LDE IM>S 3
p + 1 + p + 1 + 1
p 6 #a 6 p 6 #a 6 #a p 6 #a 6 p 6 #a 6 #a p 6 #a 6 p 6 #a 6 #a p 6 #a 6 p 6 #a 6 #a
ccxiv
T Â N I A
.T*NIA.T*NIA.T*NIA.T*NIA 0 9 / 1 0 / 0 3
#ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc a – C O N S T R U Ç Ã O S T E R M O S : 2 º
a- CONSTRU&>OS TERMOS3 #2oa- CONSTRU&>OS TERMOS3 #2oa- CONSTRU&>OS TERMOS3 #2oa- CONSTRU&>OS TERMOS3 #2oE 3 º T E R M O S
E #3o TERMOSE #3o TERMOSE #3o TERMOSE #3o TERMOS
b – M E B A S I E I N O 1 º E 4 º
b- ME BASIE I NO #1o E b- ME BASIE I NO #1o E b- ME BASIE I NO #1o E b- ME BASIE I NO #1o E #4o#4o#4o#4o
T E R M O , R E P A R A N D O N A
TERMO1 REPARANDO NA TERMO1 REPARANDO NA TERMO1 REPARANDO NA TERMO1 REPARANDO NA Q U A N T I D A D E D E F I G U R A S
QUANTIDADE DE FIGURASQUANTIDADE DE FIGURASQUANTIDADE DE FIGURASQUANTIDADE DE FIGURAS E A P O S I Ç Ã O E M Q U E
E A POSI&>O EM QUEE A POSI&>O EM QUEE A POSI&>O EM QUEE A POSI&>O EM QUE E L A S E E M T R A V A . C O M O P O R
ELA SE EM TRAVAELA SE EM TRAVAELA SE EM TRAVAELA SE EM TRAVA'''' COMO por COMO por COMO por COMO por E X E M P L O
EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 1 º T E R M O T I N H A
#1o TERMO TINHA#1o TERMO TINHA#1o TERMO TINHA#1o TERMO TINHA 1 a L I N H A 3 Q U A D R A D O S
#1a#1a#1a#1a LINHA #c QUADRADOSLINHA #c QUADRADOSLINHA #c QUADRADOSLINHA #c QUADRADOS
ccxv
2 a L I N H A T I N H A U M Q U A D R A D O
#2aLINHA TINHA UM QUADRADO#2aLINHA TINHA UM QUADRADO#2aLINHA TINHA UM QUADRADO#2aLINHA TINHA UM QUADRADO
A D I R E I T A E U M O U T R O A
a DIREITA E UM OUTRO A a DIREITA E UM OUTRO A a DIREITA E UM OUTRO A a DIREITA E UM OUTRO A E S Q U E R D A E U M C Í R C U L O N O
Esquerda e um c/rculo no Esquerda e um c/rculo no Esquerda e um c/rculo no Esquerda e um c/rculo no M E I O
mefomefomefomefo
3 T E R M O : 3 C O L U N A S C O M 3
#c TERMO3 #3COLUNAS COM #c#c TERMO3 #3COLUNAS COM #c#c TERMO3 #3COLUNAS COM #c#c TERMO3 #3COLUNAS COM #c
Q U A D R A D O S N A 1 a L I N H A E A
QUADRADOS NA #1a LINHA E AQUADRADOS NA #1a LINHA E AQUADRADOS NA #1a LINHA E AQUADRADOS NA #1a LINHA E A
P A R T I R D A 2 a L I N H A U M
PARTIR DA #2a LINHA umPARTIR DA #2a LINHA umPARTIR DA #2a LINHA umPARTIR DA #2a LINHA um
Q U A D R A D O A D I R E I T A E O U T R O A
QUADRADO A DIREITAE OUTROAQUADRADO A DIREITAE OUTROAQUADRADO A DIREITAE OUTROAQUADRADO A DIREITAE OUTROA E S Q U E R D A E U M C Í R C U L O
ESQUERDA E UM C/RCULO ESQUERDA E UM C/RCULO ESQUERDA E UM C/RCULO ESQUERDA E UM C/RCULO
N O M E I O , E S E M P R E C O L O C A N D O
NO MEIO1E SEMPRE COLONO MEIO1E SEMPRE COLONO MEIO1E SEMPRE COLONO MEIO1E SEMPRE COLOCANDOCANDOCANDOCANDO
ccxvi
U M A L I N H A A M A S D A
UMA LINHA A MAS DAUMA LINHA A MAS DAUMA LINHA A MAS DAUMA LINHA A MAS DA
Q U A N T I D A D E D E T E R M O S
QUANTIDADE DE TERMOSQUANTIDADE DE TERMOSQUANTIDADE DE TERMOSQUANTIDADE DE TERMOS c – A M B O S S Ã O I G U A I S .
c - AMBOS S>O IGUAISc - AMBOS S>O IGUAISc - AMBOS S>O IGUAISc - AMBOS S>O IGUAIS'''' d - 3 º T E R M O = 3
d - #3o TERMO 7 #cd - #3o TERMO 7 #cd - #3o TERMO 7 #cd - #3o TERMO 7 #c 6 º T E R M O = 6
#6o TERMO 7 #f#6o TERMO 7 #f#6o TERMO 7 #f#6o TERMO 7 #f 1 1 º T E R M O = 1 1
#11o TERMO 7 #aa#11o TERMO 7 #aa#11o TERMO 7 #aa#11o TERMO 7 #aa 2 5 º T E R M O = 2 5
#25o TERMO 7 #be#25o TERMO 7 #be#25o TERMO 7 #be#25o TERMO 7 #be e - N Ã O S E I A I N D A
e - N>O SEI AINDAe - N>O SEI AINDAe - N>O SEI AINDAe - N>O SEI AINDA
f – A Q U A N T I D A D E D E T E R M O +
f -A QUANTIDADE DE TERMO 6
1 E M R E L A Ç Ã O A O N Ú M E R O D E
#a EM RELA&>O AO N)MERO de#a EM RELA&>O AO N)MERO de#a EM RELA&>O AO N)MERO de#a EM RELA&>O AO N)MERO de
ccxvii
T E R M O – D E C A D A L A D O + 1 N A
TERMO- DE CADA LADO 6 #aNATERMO- DE CADA LADO 6 #aNATERMO- DE CADA LADO 6 #aNATERMO- DE CADA LADO 6 #aNA C O L U N A D O M E I O .
COLUNADO MCOLUNADO MCOLUNADO MCOLUNADO MEIOEIOEIOEIO''''
g - 2 º T E R M O = 3 + 3 + 1
g - #2o TERMO 7 #c 6 #c 6 g - #2o TERMO 7 #c 6 #c 6 g - #2o TERMO 7 #c 6 #c 6 g - #2o TERMO 7 #c 6 #c 6
#a#a#a#a
4 º T E R M O = 5 + 5 + 1
#4o TERMO 7 #e 6 #e 6 #a#4o TERMO 7 #e 6 #e 6 #a#4o TERMO 7 #e 6 #e 6 #a#4o TERMO 7 #e 6 #e 6 #a
1 0 º T E R M O = 1 1 + 1 1 + 1
#10o TERMO 7 #aa 6 #aa 6 ##10o TERMO 7 #aa 6 #aa 6 ##10o TERMO 7 #aa 6 #aa 6 ##10o TERMO 7 #aa 6 #aa 6 #
aaaa 3 2 º T E R M O = 3 3 + 1
#32o TERMO 7 #cc 6 #a#32o TERMO 7 #cc 6 #a#32o TERMO 7 #cc 6 #a#32o TERMO 7 #cc 6 #a
2 º T E R M O = 2 + 1 + 2 + 1 + 1
#2oT#2oT#2oT#2oTERMO7 #b6#a6#b6#a 6 #aERMO7 #b6#a6#b6#a 6 #aERMO7 #b6#a6#b6#a 6 #aERMO7 #b6#a6#b6#a 6 #a 4 º T E R M O = 4 + 1 + 4 + 1 + 1
#4o TERMO7 #d 6#a6#d 6#a 6 #a#4o TERMO7 #d 6#a6#d 6#a 6 #a#4o TERMO7 #d 6#a6#d 6#a 6 #a#4o TERMO7 #d 6#a6#d 6#a 6 #a
1 0 º T E R M O = 1 0 + 1 + 1 0 + 1 + 1
#10o TERMO7 #aj6 #a6 #aj 6 #a 6 #a#10o TERMO7 #aj6 #a6 #aj 6 #a 6 #a#10o TERMO7 #aj6 #a6 #aj 6 #a 6 #a#10o TERMO7 #aj6 #a6 #aj 6 #a 6 #a
ccxviii
3 2 º T E R M O = 3 2 + 1 + 3 2 + 1 + 1
#3;o TERMO7 #cb6 #a6 #cb6 #a 6 #a#3;o TERMO7 #cb6 #a6 #cb6 #a 6 #a#3;o TERMO7 #cb6 #a6 #cb6 #a 6 #a#3;o TERMO7 #cb6 #a6 #cb6 #a 6 #a h – p + p + p + p + 1
h - p h - p h - p h - p 6 p 6 p 6 p 6 #a6 p 6 p 6 p 6 #a6 p 6 p 6 p 6 #a6 p 6 p 6 p 6 #a 4 P + 1 .
#dP 6 #a#dP 6 #a#dP 6 #a#dP 6 #a''''
ccxix
F E R N A N D O
.Fernando.Fernando.Fernando.Fernando 0 9 / 1 0 / 0 3
#ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc a = C O N S T R U Ç Ã O D O 2 º E 3 º
aaaa7 CONSTRU&>O DO #2o E #3o7 CONSTRU&>O DO #2o E #3o7 CONSTRU&>O DO #2o E #3o7 CONSTRU&>O DO #2o E #3o
T E R M O
TERMOTERMOTERMOTERMO b = C A D A T E R M O É F O R M A D O P O R
b7 CADA TERMO = FORMADOPOR
U M C O N J U N T O E O N Ú M E R O D O
UM CONJUNTO E O N)MERO DOUM CONJUNTO E O N)MERO DOUM CONJUNTO E O N)MERO DOUM CONJUNTO E O N)MERO DO
T E R M O É C O R R E S P O N D E N T E A O
TERMO = CORRESPONDENTE AO
N Ú M E R O D E C I R C U L O Q U E E S T Á
N)MEro DE CIRCULO QUE EST(
D E N T R O D E L E , E X E M P L O : O
DENTRO DELE1 EXEMPLO 3 ODENTRO DELE1 EXEMPLO 3 ODENTRO DELE1 EXEMPLO 3 ODENTRO DELE1 EXEMPLO 3 O 3 º T E R M O T E M 3 C I R C U L O S
#3o TERMO TEM #3 CIRCU#3o TERMO TEM #3 CIRCU#3o TERMO TEM #3 CIRCU#3o TERMO TEM #3 CIRCULOS LOS LOS LOS D E N T R O D E L E .
DENTRO DELEDENTRO DELEDENTRO DELEDENTRO DELE''''
ccxx
c = C O M O E U D I S S E N O I T E M B
c7 COMO EU DISSE NO ITEM Bc7 COMO EU DISSE NO ITEM Bc7 COMO EU DISSE NO ITEM Bc7 COMO EU DISSE NO ITEM B
( N A ) N U M E R O D O T E R M O É
<NA> NUMERO DO TERMO = <NA> NUMERO DO TERMO = <NA> NUMERO DO TERMO = <NA> NUMERO DO TERMO =
C O R R E S P O N D E N T E A O N Ú M E R O
CORRESPONDENTE AO N)MEROCORRESPONDENTE AO N)MEROCORRESPONDENTE AO N)MEROCORRESPONDENTE AO N)MERO
D E C Í R C U L O S
DE C/RCULOSDE C/RCULOSDE C/RCULOSDE C/RCULOS d = 3 º T E R M O = 3
d 7 #3o TERMO 7 #cd 7 #3o TERMO 7 #cd 7 #3o TERMO 7 #cd 7 #3o TERMO 7 #c 6 º T E R M O = 6
#6o TERMO 7 #f#6o TERMO 7 #f#6o TERMO 7 #f#6o TERMO 7 #f 1 1 º T E R M O = 1 1
#11o TERMO 7 #aa#11o TERMO 7 #aa#11o TERMO 7 #aa#11o TERMO 7 #aa 2 5 º T E R M O = 2 5
#25o TERMO 7 #25#25o TERMO 7 #25#25o TERMO 7 #25#25o TERMO 7 #25
e = T E R M O X = X
e 7 TERMO X 7 Xe 7 TERMO X 7 Xe 7 TERMO X 7 Xe 7 TERMO X 7 X f = O S Q U A D R A D O S D E S I M A S Ã O
f7 OS QUADRADOS DE SIMAS>Of7 OS QUADRADOS DE SIMAS>Of7 OS QUADRADOS DE SIMAS>Of7 OS QUADRADOS DE SIMAS>O
S E M P R E 3 . J Á O S Q U A D R A D O S
SEMPRE #c SEMPRE #c SEMPRE #c SEMPRE #c ''''J( OS QUADRADOSJ( OS QUADRADOSJ( OS QUADRADOSJ( OS QUADRADOS Q U E E S T Ã O A O L A D O D O C Í C U L O
QUE EST>O AOLADO DO C/CULOQUE EST>O AOLADO DO C/CULOQUE EST>O AOLADO DO C/CULOQUE EST>O AOLADO DO C/CULO
ccxxi
F I C A A M E S M A R E G R A D O
FICAA MESMA REGRA DOFICAA MESMA REGRA DOFICAA MESMA REGRA DOFICAA MESMA REGRA DO C Í R C U L O O U S E J A O N Ú M E R O D O
C/RCULO OU SEJAO N)MERO DOC/RCULO OU SEJAO N)MERO DOC/RCULO OU SEJAO N)MERO DOC/RCULO OU SEJAO N)MERO DO T E R M O É I G U A L A O N Ú M E R O D E
TERMO = IGUAL AO %)MERO DeTERMO = IGUAL AO %)MERO DeTERMO = IGUAL AO %)MERO DeTERMO = IGUAL AO %)MERO De Q U A D R A D O S T E N T O D A E S Q U E R D A
QUADRADOS TENTO DAESQUERDAQUADRADOS TENTO DAESQUERDAQUADRADOS TENTO DAESQUERDAQUADRADOS TENTO DAESQUERDA Q U A N T O A D I R E I T A .
QUANTO A DIREITAQUANTO A DIREITAQUANTO A DIREITAQUANTO A DIREITA' ' ' '
g = 2 º = 3 + 2 + 2 = 7
g 7 #2o 7 #c 6 #b 6#b 7 #gg 7 #2o 7 #c 6 #b 6#b 7 #gg 7 #2o 7 #c 6 #b 6#b 7 #gg 7 #2o 7 #c 6 #b 6#b 7 #g 4 º = 3 + 4 + 4 = 1 1
#4o 7 #c 6 #d 6 #d 7 #aa#4o 7 #c 6 #d 6 #d 7 #aa#4o 7 #c 6 #d 6 #d 7 #aa#4o 7 #c 6 #d 6 #d 7 #aa 1 0 º = 3 + 1 0 + 1 0 = 2 3
#10o 7 #c 6 #aj 6 #aj7 #bc#10o 7 #c 6 #aj 6 #aj7 #bc#10o 7 #c 6 #aj 6 #aj7 #bc#10o 7 #c 6 #aj 6 #aj7 #bc 3 2 º = 3 + 3 2 + 3 2 = 6 7
#32o 7#c 6 #cb 6 #cb 7 #fg#32o 7#c 6 #cb 6 #cb 7 #fg#32o 7#c 6 #cb 6 #cb 7 #fg#32o 7#c 6 #cb 6 #cb 7 #fg
h - T E R M O X = 3 + X + X =
hhhh - TERMO X 7 #c 6 X 6 X 7- TERMO X 7 #c 6 X 6 X 7- TERMO X 7 #c 6 X 6 X 7- TERMO X 7 #c 6 X 6 X 7
= 3 + 2 X =
7 #c 6 #b X 77 #c 6 #b X 77 #c 6 #b X 77 #c 6 #b X 7 i - 2 º T E R M O =
i - #2o TERMO 7i - #2o TERMO 7i - #2o TERMO 7i - #2o TERMO 7 = 3 + 2 + 2 + 2 = 9
7 #c 6 #b 6 #b 6 #b 7 #i7 #c 6 #b 6 #b 6 #b 7 #i7 #c 6 #b 6 #b 6 #b 7 #i7 #c 6 #b 6 #b 6 #b 7 #i
ccxxii
T E R M O X = 3 + X + X + X =
TERMO X 7 #c 6 X 6 X 6 X 7TERMO X 7 #c 6 X 6 X 6 X 7TERMO X 7 #c 6 X 6 X 6 X 7TERMO X 7 #c 6 X 6 X 6 X 7
3 + 3 X
#c 6 #c X#c 6 #c X#c 6 #c X#c 6 #c X
j - O U T R A E X P R E S S Ã O A L G É B R I C A
j -OUTRA EXPRESS>O ALG=BRICAj -OUTRA EXPRESS>O ALG=BRICAj -OUTRA EXPRESS>O ALG=BRICAj -OUTRA EXPRESS>O ALG=BRICA 4 º 5 + 5 + 1 + 4 = 1 5
#4o #e 6 #e 6 #a 6 #d7 #ae#4o #e 6 #e 6 #a 6 #d7 #ae#4o #e 6 #e 6 #a 6 #d7 #ae#4o #e 6 #e 6 #a 6 #d7 #ae
T E R M O X = 1 + X + X + X =
TERMO X 7 #a 6 X 6 X 6 X 7TERMO X 7 #a 6 X 6 X 6 X 7TERMO X 7 #a 6 X 6 X 6 X 7TERMO X 7 #a 6 X 6 X 6 X 7
3 º = 3 + 3 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1
#3o7 #c6 #c6 #a6 #c6 #a6 #a6 #a#3o7 #c6 #c6 #a6 #c6 #a6 #a6 #a#3o7 #c6 #c6 #a6 #c6 #a6 #a6 #a#3o7 #c6 #c6 #a6 #c6 #a6 #a6 #a T E R M O X = X + X + 1 + X + 1 + 1
TERMO X7 X6 X6 #a 6 X 6 #a6 #aTERMO X7 X6 X6 #a 6 X 6 #a6 #aTERMO X7 X6 X6 #a 6 X 6 #a6 #aTERMO X7 X6 X6 #a 6 X 6 #a6 #a
3 x 1 + 3 x X = 3 + 3 X
#c8 #a 6 #c 8 X 7#c6 #c X#c8 #a 6 #c 8 X 7#c6 #c X#c8 #a 6 #c 8 X 7#c6 #c X#c8 #a 6 #c 8 X 7#c6 #c X
ccxxiii
A N G É L I C A
.ang=lica.ang=lica.ang=lica.ang=lica 0 9 / 1 0 / 0 3
#ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc a - C O N S T R U Ç Ã O D O 2 º E 3 º
a -CONSTRU&>O DO #2o E #3oa -CONSTRU&>O DO #2o E #3oa -CONSTRU&>O DO #2o E #3oa -CONSTRU&>O DO #2o E #3o
T E R M O S
TERMOSTERMOSTERMOSTERMOS b - C A D A T E R M O T E M U M N Ú M E R O
b - CADAb - CADAb - CADAb - CADA TERMO TEM UM N)MERO TERMO TEM UM N)MERO TERMO TEM UM N)MERO TERMO TEM UM N)MERO D E Q U A D R A D I N H O S Q U E E N V O L V E
DEDEDEDE QUADRADINHOS QUE ENVOLVEQUADRADINHOS QUE ENVOLVEQUADRADINHOS QUE ENVOLVEQUADRADINHOS QUE ENVOLVE U M N Ú M E R O D E C Í R C U L O S D O S
UM N)MERO DE C/RCULOS DOSUM N)MERO DE C/RCULOS DOSUM N)MERO DE C/RCULOS DOSUM N)MERO DE C/RCULOS DOS L A D O S E E M C I M A M A S O
LADOS E EM CIMA MAS OLADOS E EM CIMA MAS OLADOS E EM CIMA MAS OLADOS E EM CIMA MAS O N Ú M E R O D E C Í R C U L O S Q U E C A D A
N)MERODE C/RCULOS QUE CADAN)MERODE C/RCULOS QUE CADAN)MERODE C/RCULOS QUE CADAN)MERODE C/RCULOS QUE CADA T E R M O T E M É C O R R E S P D E N T E
TTTTERMO TEM = CORRESpDENTEERMO TEM = CORRESpDENTEERMO TEM = CORRESpDENTEERMO TEM = CORRESpDENTE A O N Ú M E R O D E S S E T E R M O
AO N)MERO DESSE TERMOAO N)MERO DESSE TERMOAO N)MERO DESSE TERMOAO N)MERO DESSE TERMO c - O N Ú M E R O D O T E R M O É C O R R E S -
c- O N)MERO DO TERMO = CORRES-c- O N)MERO DO TERMO = CORRES-c- O N)MERO DO TERMO = CORRES-c- O N)MERO DO TERMO = CORRES-
ccxxiv
P O N D E N T E A O N Ú M E R O D E C Í R C U L O S
PONDENTEPONDENTEPONDENTEPONDENTEAo N)MERODE C/RCULSAo N)MERODE C/RCULSAo N)MERODE C/RCULSAo N)MERODE C/RCULS d - 3 º T E R M O = 3 C Í R C U L O S
d -#3o TERMO 7 #c C/RCULOSd -#3o TERMO 7 #c C/RCULOSd -#3o TERMO 7 #c C/RCULOSd -#3o TERMO 7 #c C/RCULOS 6 º T E R M O = 6 C Í R C U L O S
#6o TERMO 7 #f C/RCULOS#6o TERMO 7 #f C/RCULOS#6o TERMO 7 #f C/RCULOS#6o TERMO 7 #f C/RCULOS 1 1 º T E R M O = 1 1 C Í R C U L O S
#11o TERMO 7 #aa C/RCULOS#11o TERMO 7 #aa C/RCULOS#11o TERMO 7 #aa C/RCULOS#11o TERMO 7 #aa C/RCULOS 2 5 º T E R M O = 2 5 C Í R C U L O S
#25o TERMO 7 #be C/RCULOS#25o TERMO 7 #be C/RCULOS#25o TERMO 7 #be C/RCULOS#25o TERMO 7 #be C/RCULOS
e – T E R M O X = X
e - TERMO X 7 Xe - TERMO X 7 Xe - TERMO X 7 Xe - TERMO X 7 X
f - A Q U A N T I D A D E D E
f-- A QUANTIDADE DE f-- A QUANTIDADE DE f-- A QUANTIDADE DE f-- A QUANTIDADE DE Q U A D R A D I N H O S Q U E F I C A E M C I M A
qUADRADINHOS qUADRADINHOS qUADRADINHOS qUADRADINHOS QUE FICA EM CIMAQUE FICA EM CIMAQUE FICA EM CIMAQUE FICA EM CIMA
É 3 S E M P R E C O N S T A N T E E O S
= #c SEMPRE CONSTANTE E OS= #c SEMPRE CONSTANTE E OS= #c SEMPRE CONSTANTE E OS= #c SEMPRE CONSTANTE E OS
Q U A D R O S Q U E F I C A M D O L A D O
QUADROS QUE FICAM DO LADOQUADROS QUE FICAM DO LADOQUADROS QUE FICAM DO LADOQUADROS QUE FICAM DO LADO
E S Q U E R D O E D O D I R E I T O É
ESQUERDO E DO DIREITO =ESQUERDO E DO DIREITO =ESQUERDO E DO DIREITO =ESQUERDO E DO DIREITO =
ccxxv
I G U A L A O N Ú M E R O D O T E R M O
IGUAL AO N)MERO DO TERMOIGUAL AO N)MERO DO TERMOIGUAL AO N)MERO DO TERMOIGUAL AO N)MERO DO TERMO
T A N T O D O L A D O E S Q U E R D O
TANTO DO LADO ESQUERDOTANTO DO LADO ESQUERDOTANTO DO LADO ESQUERDOTANTO DO LADO ESQUERDO
C O M O D O D I R E I T O .
COMO DO DIREITOCOMO DO DIREITOCOMO DO DIREITOCOMO DO DIREITO''''
g - 2 º T E R M O = 3 + 2 + 2
g - #2o TERMO 7 #c 6 #b 6 g - #2o TERMO 7 #c 6 #b 6 g - #2o TERMO 7 #c 6 #b 6 g - #2o TERMO 7 #c 6 #b 6
#b#b#b#b
4 º T E R M O = 3 + 4 + 4
#4o TERMO 7 #c 6 #d 6 #d #4o TERMO 7 #c 6 #d 6 #d #4o TERMO 7 #c 6 #d 6 #d #4o TERMO 7 #c 6 #d 6 #d
1 0 º T E R M O = 3 + 1 0 + 1 0
#10o TERMO 7#c 6 #aj 6 #aj#10o TERMO 7#c 6 #aj 6 #aj#10o TERMO 7#c 6 #aj 6 #aj#10o TERMO 7#c 6 #aj 6 #aj
3 2 º T E R M O = 3 + 3 2 + 3 2
#32o TERMO 7 #c6 #cb 6 #cb#32o TERMO 7 #c6 #cb 6 #cb#32o TERMO 7 #c6 #cb 6 #cb#32o TERMO 7 #c6 #cb 6 #cb
h – T E R M O X = 3 + X + X 3 + 2 . X
h - TERMO X7 #c6 X6 X #c6 #b8Xh - TERMO X7 #c6 X6 X #c6 #b8Xh - TERMO X7 #c6 X6 X #c6 #b8Xh - TERMO X7 #c6 X6 X #c6 #b8X i – 3 + X + X + X .
i - #c 6 X 6 X 6 X i - #c 6 X 6 X 6 X i - #c 6 X 6 X 6 X i - #c 6 X 6 X 6 X ''''
ccxxvi
S I M P L I F I C A Ç Ã O 3 + 3 . X
SIMPLIFICA&>O #c 6 #c 8 XSIMPLIFICA&>O #c 6 #c 8 XSIMPLIFICA&>O #c 6 #c 8 XSIMPLIFICA&>O #c 6 #c 8 X j - O U T R A E X P R E S S Ã O
j -- OUTRA EXPRESS>Oj -- OUTRA EXPRESS>Oj -- OUTRA EXPRESS>Oj -- OUTRA EXPRESS>O A L G É B R I C A :
ALG=BRICALG=BRICALG=BRICALG=BRICAAAA3 3 3 3 4 + 5 + 5 + 1
#d 6 #e 6 #e 6 #a#d 6 #e 6 #e 6 #a#d 6 #e 6 #e 6 #a#d 6 #e 6 #e 6 #a
X + X + X + 1
X 6 X 6 X 6 #aX 6 X 6 X 6 #aX 6 X 6 X 6 #aX 6 X 6 X 6 #a
3 º T E R M O = 3 + 3 + 1 + 3 + 1 + 1
#3o TERMO7 #c6#c6#a6#c6 #a6 #a#3o TERMO7 #c6#c6#a6#c6 #a6 #a#3o TERMO7 #c6#c6#a6#c6 #a6 #a#3o TERMO7 #c6#c6#a6#c6 #a6 #a
X + X + 1 + X + 1 + 1
X 6 X 6 #a 6 X 6 #a 6 #aX 6 X 6 #a 6 X 6 #a 6 #aX 6 X 6 #a 6 X 6 #a 6 #aX 6 X 6 #a 6 X 6 #a 6 #a 3 X + 3
#cX 6 #c#cX 6 #c#cX 6 #c#cX 6 #c
ccxxvii
C L Á U D I O
.cl(udio.cl(udio.cl(udio.cl(udio 1 0 / 1 0 / 0 3
#aj,1#aj,1#jc #aj,1#aj,1#jc #aj,1#aj,1#jc #aj,1#aj,1#jc a - C O N S T R U Ç Ã O D O 2 º 3 º T E R M O
a-CONSTRU&>O DO #2o#3oTERMOa-CONSTRU&>O DO #2o#3oTERMOa-CONSTRU&>O DO #2o#3oTERMOa-CONSTRU&>O DO #2o#3oTERMO b - E X M A N T I V E A S E Q U E N C I A
b- E X MANTIVE A SEQUENCIAb- E X MANTIVE A SEQUENCIAb- E X MANTIVE A SEQUENCIAb- E X MANTIVE A SEQUENCIA
N O 1 º T E R M O A V I A 6 I M A S
NO #1o TERMO AVIA #f IMASNO #1o TERMO AVIA #f IMASNO #1o TERMO AVIA #f IMASNO #1o TERMO AVIA #f IMAS
5 Q U A D R A D I N H O E U M S I R C U L O
#e QUADRADINHO EUM SIRCULO#e QUADRADINHO EUM SIRCULO#e QUADRADINHO EUM SIRCULO#e QUADRADINHO EUM SIRCULO
E N T Ã O F U I A L M E N T A N D O E M 3 E M
ENT>O FUI ALMENTANDO EM #c EMENT>O FUI ALMENTANDO EM #c EMENT>O FUI ALMENTANDO EM #c EMENT>O FUI ALMENTANDO EM #c EM 3 E O S C I R C U L O S E U O B I E R U E
#c #c #c #c E OS CIRCULOS EU OBIERUEE OS CIRCULOS EU OBIERUEE OS CIRCULOS EU OBIERUEE OS CIRCULOS EU OBIERUE
Q U E N O 1 º - T E R M O A V I A
QUE NO #1o - TERMO AVIAQUE NO #1o - TERMO AVIAQUE NO #1o - TERMO AVIAQUE NO #1o - TERMO AVIA
S O . 1 S I R C U L O E E N T Ã O F U I
SOSOSOSO'''' #a SIRCULO E ENT>O FUI #a SIRCULO E ENT>O FUI #a SIRCULO E ENT>O FUI #a SIRCULO E ENT>O FUI
A L M E O T A N O 1 E 1 P O R T E R M O
ALMEOTANALMEOTANALMEOTANALMEOTANO #aE #a POR TERMOO #aE #a POR TERMOO #aE #a POR TERMOO #aE #a POR TERMO
ccxxviii
O S S I R C U L O S D O M E I O D A
OS SIRCULOS DO MEIO DAOS SIRCULOS DO MEIO DAOS SIRCULOS DO MEIO DAOS SIRCULOS DO MEIO DA
C O L U I N A D O M E I O
COLUINA DO MEIOCOLUINA DO MEIOCOLUINA DO MEIOCOLUINA DO MEIO
c – A R E L A Ç Ã O D O S I R C U L O
c - ARELA&>O DO SIRCULO c - ARELA&>O DO SIRCULO c - ARELA&>O DO SIRCULO c - ARELA&>O DO SIRCULO
E O N Ú M E R O D E T E R M O
E O N)MERO DE TERMOE O N)MERO DE TERMOE O N)MERO DE TERMOE O N)MERO DE TERMO
É T U E A N Ú M E R O T E R M O E A
= TUE AN)MERO TERMO E A M= TUE AN)MERO TERMO E A M= TUE AN)MERO TERMO E A M= TUE AN)MERO TERMO E A M
M E S M A S M Q U A N T I D A D E c í r c u l o
MESSM SM QUANTIDADE circuoMESSM SM QUANTIDADE circuoMESSM SM QUANTIDADE circuoMESSM SM QUANTIDADE circuo d - 3 º T E R M O
d #3o TERMOd #3o TERMOd #3o TERMOd #3o TERMO 6 º - 6
#6o - #f#6o - #f#6o - #f#6o - #f 1 1 º - T E R M O 1 1
#11o - TERMO #aa#11o - TERMO #aa#11o - TERMO #aa#11o - TERMO #aa 2 5 º - T E R M O 2 5
#25o - TERMO #be#25o - TERMO #be#25o - TERMO #be#25o - TERMO #be
ccxxix
e - T E R M O X = X
e - TERMO X 7 Xe - TERMO X 7 Xe - TERMO X 7 Xe - TERMO X 7 X
f = A R E L A Ç Ã O A E N T R E O S
f 7 A RELA&>O A ENTRE OS f 7 A RELA&>O A ENTRE OS f 7 A RELA&>O A ENTRE OS f 7 A RELA&>O A ENTRE OS
Q U A D R A D O Q U E S Ã C O L O C A D O S
QUADRADO QUE S> COLOCADOSQUADRADO QUE S> COLOCADOSQUADRADO QUE S> COLOCADOSQUADRADO QUE S> COLOCADOS
2 . ( v e z e s ) O N Ú M E R O D O + 3
#b TERMO #c numero do#b TERMO #c numero do#b TERMO #c numero do#b TERMO #c numero do T E R M O
TERMOTERMOTERMOTERMO g - 2 . 2 + 3 = 7
g - #b 8 #b 6 #c 7 #g g - #b 8 #b 6 #c 7 #g g - #b 8 #b 6 #c 7 #g g - #b 8 #b 6 #c 7 #g
3 º T E R M O 4 . 2 + 3
#3o TERMO #d 8 #b 6 #c#3o TERMO #d 8 #b 6 #c#3o TERMO #d 8 #b 6 #c#3o TERMO #d 8 #b 6 #c
1 0 º T E R M O 1 0 x 2 + 3
#10o TERMO #aj8 #b 6 #c#10o TERMO #aj8 #b 6 #c#10o TERMO #aj8 #b 6 #c#10o TERMO #aj8 #b 6 #c 3 2 . 2 + 3
#cb 8 #b 6 #c#cb 8 #b 6 #c#cb 8 #b 6 #c#cb 8 #b 6 #c h - T E R M O X X . 2 + 3
h - TERMO X X h - TERMO X X h - TERMO X X h - TERMO X X 8888 #b 6 #c #b 6 #c #b 6 #c #b 6 #c
ccxxx
i - I T E R M O X
i - I TERMO X i - I TERMO X i - I TERMO X i - I TERMO X
T O T A L D E I M A S
TOTAL DE IMASTOTAL DE IMASTOTAL DE IMASTOTAL DE IMAS
X + X . 2 + 3
X 6 X X 6 X X 6 X X 6 X 8888 #b 6 #c #b 6 #c #b 6 #c #b 6 #c
D = P R A M I M N Ã O A O U T I A
D 7 PRA MIM N>O A OUTIA D 7 PRA MIM N>O A OUTIA D 7 PRA MIM N>O A OUTIA D 7 PRA MIM N>O A OUTIA
M A N E I R A .
MANEIRAMANEIRAMANEIRAMANEIRA''''
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