Polynomiale Basisfunktionen und Quadratur (1) Polynomiale Basissysteme Quadraturformeln Spezielle...

Polynomiale Basissysteme Quadraturformeln Spezielle Polynome und deren Eigenschaften

Polynomiale Basisfunktionen und Quadratur (1)

Christian Otto

Universitat des Saarlandes

10.05.2016

Gliederung

1 Polynomiale BasissystemeEinleitungGram-Schmidt-Verfahren und RekursionsbeziehungGautschi-Stieltjes-Methode

2 QuadraturformelnGrundsatzlichesLagrange-InterpolationGaußsche Quadratur

3 Spezielle Polynome und deren EigenschaftenLegendre-PolynomeHalf-range-Legendre-PolynomeAssoziierte Legendre-PolynomeFourier-FunktionenKugelflachenfunktionenAssoziierte Laguerre-PolynomeAnwendung: SchrodingergleichungSonin-PolynomeHermite-PolynomeGegenbauer-Polynome

Einleitung

Definitionen

Seien f , g : [a; b] −→ R. Dann ist deren Skalarproduktdefiniert durch

〈f |g〉 :=

af (x)g(x)w(x) dx (1)

mit w(x) > 0 ∀x ∈ [a; b].

Zwei Polynome f, g heißen orthogonal, wenn gilt:

〈f |g〉 = 0. (2)

Einleitung

γn :=√〈Qn|Qn〉 (3)

Pn :=Qn

γn(4)

wobei die Qn die orthogonalen Polynome sind. Die Polynome Pn

sind also normiert

µn :=

axnw(x)dx (5)

Die µn heißen Momente von w(x)

Einleitung

Zielsetzung

Verfahren zur Konstruktion eines orthogonales Basissystemszu einer vorgegeben Gewichtsfunktion

Ansatz:

Qn(x) = xn +N−1∑k=0

Qnkxk (6)

Herleitung einer Rekursionsbeziehung zwischen denKoeffizienten (Drei-Term-Rekursion )

Gram-Schmidt-Verfahren und Rekursionsbeziehung

Gram-Schmidt-Verfahren

Setze Qn an wie oben und fordere

〈Qn|Qk〉 = 0 ∀n, k ≤ n (7)

⇒ LGS mit n Variablen und n Gleichungen

sehr umstandlich! Effizienter durch Rekursionsformeln

Rekursionsformeln fur Polynome

x |Qn〉 = |Qn+1〉+n∑

cnk |Qk〉 ‖ · 〈Qk | (8)

cnk =1

γn〈Qn|x |Qk〉 (9)

cnk 6= 0 genau dann, wenn k = n − 1 und k = n. So vereinfachtsich die Summe

x |Qn〉 = |Qn+1〉+ αn|Qn〉+ βn|Qn−1〉 ‖ ∗ 〈Qn| (10)

〈Qn|x |Qn〉 = αnγn (11)

Merke: αn = 0, wenn w(x) = w(−x)Dies ist bei den Legendre- und Hermitepolynomen der Fall!

Rekursionsformeln fur Polynome

Multipliziere nun (10) mit 〈Qn−1|:

〈Qn−1|x |Qn〉 = βnγn−1 (12)

Ersetze nun in (11) n durch n − 1, multipliziere mit 〈Qn|

γn = 〈Qn−1|x |Qn〉 (13)

Setze nun (12) und (13) gleich

βn =γn

γn−1(14)

Es folgt die

Drei-Term-Rekursion

|Qn+1〉 = (x − αn)|Qn〉 − βn|Qn−1〉 (15)

x |Pn〉 =√βn+1|Pn+1〉+ αn|Pn〉+

√βn|Pn−1〉 (16)

Beurteilung des Verfahrens

mangelt an Effizienz

schlecht konditioniertes Problem!γn = µ2n −

∑n−1k=0 c2

nk kann sehr klein werdenWegen βn = γn

γn−1wird durch solch eine Große geteilt

−→ extreme Fortpflanzung von Rundungsfehlern

Gautschi-Stieltjes-Methode

Berechnung der Nullstellen

Die Gautschi-Stieltjes-Methode beruht auf der numerischenBerechnung von Eigenwerten.Definiere Jacobi-Matrix:

Jnm : = 〈Pn|x |Pm〉 (17)

Aus (16) folgt:

Jnm =√βm+1δn,m+1 + αmδnm +

√βmδn,m+1 (18)

Daher sieht sie (exemplarisch) so aus (n = 3):α0

√β1 0 0√

β1 α1√β2 0

0√β2 α2

√β3

0 0√β3 α3

Gautschi-Stieltjes-Methode

Definiere nun :

−d2hn(x)

dx2+ x2hn(x) = (2n + 1)hn(x) (20)

R(x) : = [P0(x) . . .Pn−1(x)] (21)

e : = [0, . . . , 1] (22)

Schreibe nun () um:

xR(x) = J(x) + αnPn(x)e (23)

Genau fur Pn(xi ) = 0 ergibt sich Eigenwertgleichung:

xiR(xi ) = J(xi ) (24)

Also sind die Nullstellen xi von Pn genau die EW von J.−→ stabile und effiziente Berechnung der xi , da es furDiagonalisierung stabile und effiziente Verfahren gibt.

Grundsatzliches

Was sind Quadraturen?

Ziel: Algorithmus gewinnen, um Integral einer Funktionnaherungsweise zu berechnen, wenn nur die Funktionswerte andiskreten Stutzstellen xi gegeben sind.

Methode: Interpoliere Funktion durch Polynom und integrieredieses

Wahl der Stutzstellen hat entscheidenden Einfluss auf dieGenauigkeit

Lagrange-Interpolation

Gegeben: Funktionswerte f(xi ) an den Stellen x1 . . . xi . . . xn. Dannwird f(x) durch Polynom n-ten Grades interpoliert:

f (x) ≈ fn(x) :=n∑

f (xi )li (x) (25)

li (x) :=n∏

j = 1j 6= n

x − xj

xi − xj(26)

Man sieht, dass die Interpolation an den Stutzstellen exakt ist:

li (xj) = δij (27)

Definition:

Pn(x) :=n∏

(x − xj) (28)

Gaußsche Quadratur

Gaußsche Quadratur: Methode

Ziel: Polynom q(x) vom Grade 2n − 1 oder kleinerfolgendermaßen integrieren∫ b

aq(x)w(x)dx (29)

Wahle ONB von R≤n[x ] aus Polynomen Pn, die bzgl. w(x)auf [a ; b] orthogonal sind.Achtung: Intervall [a ; b] und Gewichtsfunktion w(x) gebeneindeutig vor, welche Polynome zu wahlen sind!

Wahle dessen Nullstellen xi als Stutzstellen furLagrange-Interpolation

Dann weiter wie bisher

Gaußsche Quadratur

Methode

Approximiere also wieder q(x) mithilfe von Lagrange-Interpolation:

q(x) ≈n∑

q(xi )li (x)

Integriere nun ∫ b

aw(x)q(x)dx ≈

n∑i=1

q(xi )wi (30)

aw(x)li (x)dx (31)

Frage : Wie bestimmt man die wi und die xi moglichst effizient?

Gaußsche Quadratur

Fehleranalyse fur Gauß-Quadratur

Der Vorteil der Gauß-Quadratur ist, dass sie exakt ist! BetrachteRestglied:

R(x) := q(x)− qn(x) (32)

deg R(x) ≤ 2n − 1

Da R(xi ) = 0 existiert Teilerpolynom d(x), sodass:

R(x) = d(x)Pn(x) (33)

deg d(x) ≤ n − 1

Also ist d(x) als LK von Polynomen Pk mit deg Pk ≤ n orthogonalzu Pn.

Gaußsche Quadratur

Fehleranalyse fur Gauß-Quadratur

Daher verschwindet der Fehler ε:

bR(x)w(x)dx

ad(x)w(x)Pn(x)dx

= 0 (34)

Gaußsche Quadratur

Christoffel-Darboux-Relation

Was fehlt noch?

Berechnung der Nullstellen−→ schon erledigt durch Gautschi-Stieltjes-Methode!

Berechnung der Quadraturgewichte wi

−→ Herleitung der Christoffel-Darboux-Relation

Man betrachte wieder die Drei-Term-Rekursion ():

xPk(x) =√βk+1Pk+1(x) + αkPk(x) +

√βkPk−1(x)

yPk(y) =√βk+1Pk+1(y) + αkPk(y) +

√βkPk−1(y)

Gaußsche Quadratur

Nun multipliziere man mit Pk(x) bzw. Pk(y):

xPk(x)Pk(y) =√βk+1Pk+1(x)Pk(y) + αkPk(x)Pk(y)

+√βkPk−1(x)Pk(y)

yPk(y)Pk(x) =√βk + 1Pk+1(y)Pk(x) + αkPk(x)Pk(y)

+√βkPk−1(y)Pk(x) (35)

Subtrahiere beide Gleichungen voneinander:

(x − y)Pk(x)Pk(y) =√βk+1[Pk(y)Pk+1(x)− Pk(x)Pk+1(y)]√βk [−(Pk(x)Pk−1(y)) + Pk(y)Pk−1(x)]

Gaußsche Quadratur

Summiere uber k von 0 bis n und beachte, dass sich jeweilsunterstrichene und uberstrichene Terme wegheben!

n∑k=0

Pk(y)Pk(x)

√βn+1

x−y [Pn(y)Pn+1(x)− Pn(x)Pn+1(y)] (36)

Setze y = xi und beachte Pn(xi ) = 0:

n∑k=0

Pk(xi )Pk(x) =

√βn+1

x − xi· (−Pn(x)Pn+1(xi )) (37)

Multipliziere mit w(x)P0(x) und integriere:

P0(xi )︸︷︷︸1

= −√βn+1Pn+1(xi )

x − xiw(x)dx (38)

Gaußsche Quadratur

Wir betrachten den Integranden genauer:

x − xi=

∏nj=1(x − xj)

x − xi

j = 0j 6= i

(x − xj) (39)

Außerdem gilt

P ′n(xi ) =n∏

j = 0j 6= i

(xi − xj) (40)

Aus (39), (40) und der Definition von li (x) (26) folgt:

x − xi= li (x) · P ′n(xi ) (41)

Gaußsche Quadratur

Damit lasst sich das Integral (38) auswerten:

1 = −√βn+1Pn+1

w(x)Pn(x)

x − xidx

= −√βn+1Pn+1

aw(x)li (x)P ′n(xi )dx

= −√βn+1P ′n(xi )Pn+1(xi )wi

Nun kann man umstellen und erhalt:

wi = − 1√βn+1Pn+1(xi )P ′n(xi )

Wir wollen den Nenner auf eine andere Form bringen. Betrachte(37) und bilde mithilfe von L’Hopital’s Regel den limx−→xi .

Gaußsche Quadratur

Es folgt:

−√βn+1Pn+1(xi )P ′n(xi ) =

n−1∑k=0

Pk(xi )2 (43)

Man erhalt durch Einsetzen in (42):

wi =1∑n−1

k=0 Pk(xi )2(44)

Dieser Ausdruck lasst sich leicht mithilfe der Gautschi-StieltjesMethode berechnen!

Gaußsche Quadratur

Gautschi-Stieltjes-Methode (2)

Erinnerung (Gautschi-Stieltjes-Methode):

R(x) := (P0(x) . . .Pn−1(x))

R(xi ) · R(xi )> =

n−1∑k=0

Pk(xi )2

wi(45)

wiR(xi )) · (√

wiR(xi ))> = 1 (46)

Also ist√

wiR(xi ) ein ganz spezieller Vektor: der normierteEigenvektor zum Eigenwert xi !

Gaußsche Quadratur

Gautschi-Stieltjes-Methode (2)

Dieser ist numerisch berechenbar und wird im Folgenden als ubezeichnet. Indem man berucksichtigt, dass P0(x) = 1

µ0und die

erste Komponente betrachtet, findet man:

√wiP0 =

= (u)0

Numerische Bestimmung der Quadraturgewichte

wi = (u)0µ20 (47)

−→ fertiger Algorithmus fur numerische Quadratur!

Legendre-Polynome

Wir wollen in diesem Kapitel die wichtigsten Eigenschaften einigerklassischer Polynombasen studieren und beginnen mit denLegendre-Polynomen.

Gewichtsfunktion: w(x) = 1

Definitionsbereich [−1 ; 1]

Normquadrat: γl = 22l+1

Rekursionskoeffizienten: αl = 0 und βl = 2l−12l+1

Sturm-Liouville-Problem: Legendre-DGL :

[(1− x2)

]= −l(l + 1)Pl (48)

Legendre-Polynome

Momente der Gewichtsfunktion: µn = 2n+1 fur gerade n, sonst

Half-range-Legendre-Polynome

Gesucht: Polynome, die auf [0 ; 1] bzgl. w(x) = 1 orthogonal sind!Losung durch Variablensubstitution:

Phrl (x) = Pl(2x − 1) (49)

Da die Phrl auf den Pl basieren, lassen sich deren Eigenschaften

leicht aus denen der Pl gewinnen:

Gewichtsfunktion w(x) = 1

Definitionsbereich [0 ; 1]

Normquadrat: γl = 12l+1

Rekursion: wie bei Legendre-Polynomen

Momente: µn = 1n+1

Assoziierte Legendre-Polynome

Will man Legendres verallgemeinerte DGL losen, benotigtman ein Orthogonalsystem, das nicht mehr aus Polynomenbesteht.

Definitionsbereich [−1 ; 1]

Normquadrat: γn = 2(l+m)!(2l+1)(l−m)!

Rekursionskoeffizkienten: αn = 0 und βn = 2l−12l+1

l+ml−m

Assoziierte Legendre-Polynome

Sturm-Liouville-Problem (Legendres verallgemeinerteDGL ):

[(1− x2)

]− m2

1− x2Pm

l = −l(l + 1)Pml (50)

Momente: wie bei Legendre

Bedeutung: VLDG tritt z.B. nach Variablentrennung inQuantenmechanik und Elektrodynamik auf. Außerdem fuhrendie ALP auf die Kugelflachenfunktionen.

Fourier-Funktionen

Um im nachsten Schritt die Kugelflachenfunktionen zukonstruieren, brauchen wir noch ein weiteres Orthogonalsystem:

Gewichtsfunktion: w(x) = 1

Definitionsbereich: [0 ; 2π]

explizite Formel:Φm(ϕ) = e imϕ

mit m ∈ ZSturm-Liouville-Problem:

d2Φm(ϕ)

dϕ2= −m2Φ(ϕ) (51)

Kugelflachenfunktionen

Als Funktionen, die von ϕ und cos(ϑ) abhangen und auf[0 ; π]× [0 ; 2π] orthonormal sind, definieren wir dieKugelflachenfunktionen:

Ylm(ϕ, ϑ) :=

√(2l + 1)

(l −m)!

(l + m)!Pm

(cos(ϑ)

)e imϕ (52)

Eigenschaften:

orthonormal:∫ ϕ=2π

∫ ϑ=π

ϑ=0Y ∗lm(ϕ, ϑ)Yl ′m′(ϕ, ϑ)sin(ϑ)dϑdϕ = δll ′δmm′

Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators

∆ΩYlm(ϕ, ϑ) = l(l + 1)Ylm(ϕ, ϑ) (53)

∆Ω :=1

sin(ϑ)

[sin(ϑ)

sin2(ϑ)

∂ϕ2(54)

Kugelflachenfunktionen

Eigenfunktionen des ∂ϕ-Operators:

∂Ylm(ϕ, ϑ)

∂ϕ= mYlm(ϕ, ϑ) (55)

Daher Anwendungen: Losungen der Schrodinger-Gleichung derQM oder der Laplace-Gleichung der E-Dynamik

Assoziierte Laguerre-Polynome

Gewichtsfunktion: w(x) = xαe−x

Definitionsbereich [0 ; ∞)

Normquadrat: γn = Γ(n+α+1)n!

Rekursionsformel:

L(α)n (x) = (2 +

α− x − 1

(α)n−1(x)− (1 +

α− 1

(α)n−2(x)

Anwendungen:

Radialgleichung der Atomorbitale beim WasserstoffatomEigenfunktionen des Kollisionsoperators derBoltzmann-Gleichung

Anwendung: Schrodingergleichung

Die (stationare) Schrodingergleichung fur ein Teilchen mit Masse µund Energie E im Potential V (r) lautet allgemein:[

− ~2

2µ∆ + V (r)

]ψ(r) = Eψ(r) (56)

Fur ein Elektron im Coulompotential des Kerns lautet das Potential

V (r) = −k

Schreibt man den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten, erhaltman:(

− ~2

∂r(r 2 ∂

∂r) +

r 2 sin(ϑ)

(sin(ϑ)

sin(ϑ)2

∂ϕ2

]+ E − V (r)

)Ψ = 0 (58)

Man setze an

ψ(r) = R(r)Φ(ϕ)Θ(ϑ) (59)

Setzt man diesen Ansatz ein und teilt durch ~2

2µ , erhalt man:

(r 2 dR(r)

)Θ(ϑ)Φϕ

r 2 sin(ϑ)

(sin(ϑ)

dΘ(ϑ)

)R(r)Φ(ϕ)

r 2 sin2(ϑ)

d2Φ(ϕ)

dϕ2R(r)Θ(ϑ)

(E − V (r)

)R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) = 0 (60)

Nun multipliziere man mit sin2(ϑ)r 2

sin(ϑ)2 d

(r 2 dR(r)

)Θ(ϑ)Φ(ϕ)

+ sin(ϑ)d

(sin(ϑ)

dΘ(ϑ)

)R(r)Φ(ϕ)

+d2Φ(ϕ)

dϕR(r)Θ(ϑ)

(E − V (r)

)r 2 sin(ϑ)R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) = 0 (61)

Als nachstes teile man durch RΦΘ. Zur Abkurzung werdenArgumente der Funktionen nicht mitangeschrieben.

sin2(ϑ)

(r 2 dR

sin(ϑ)

(sin(ϑ)

dϕ2︸︷︷︸−m2

(E − V (r)

)r 2 sin2(ϑ) = 0 (62)

Da die Gleichung bzgl ϕ komplett separiert ist, muss derunterklammerte Term konstant sein. Daraus ergibt sich fur Φ(ϕ)die DGL:

dϕ2= −m2Φ (63)

Da die Losung auch 2π-periodisch sein muss, ergeben sich alsLosungen die Fourierfunktionen und m ∈ N.

Nun setze man also fur 1Φ

d2Φdϕ2 den Eigenwert −m2 ein, teile durch

sin2(ϑ) und sortiere nach Variablen:

(r 2 d2R

(E − V (r)

sin(ϑ)Θ

(sin(ϑ)

)− m2

sin2(ϑ)= 0 (64)

Beachtet man nun, dass

dϑ= − sin(ϑ)

d cos(ϑ)(65)

und dass

sin2(ϑ) = 1− cos2(ϑ) (66)

dann erhalt man:

(r 2 d2R

(E − V (r)

d cos(ϑ)Θ

[1− cos2(ϑ)

d cos(ϑ)

]− m2

1− cos2(ϑ)︸︷︷︸=C

= 0(67)

Da der unterstrichene Teil nur von Θ abhangt, muss er gleich einerKonstanten C sein sein. Diese Bedingung ergibt wieder Legendre’sVDG zum Eigenwert C, und die Losungen sind:

Θ(ϑ) = Pml (cos(ϑ)) (68)

C = −l(l + 1) (69)

Man setzt also den Eigenwert fur C ein und erhalt eine nur nochvon r abhangige Gleichung.

Anwendung: Schrodingerleichung

(r 2 dR

(E − V (r)

)r 2R = CR (70)

Diese hat die Losung (fur gegebene l):

Rnl(r) = e−kr (2kr)lL2l+1n−l−1(2kr) (71)

√−2mE

E ∝ − c

n2(73)

Die Losung wurde uber einen Separationsansatz gewonnen. IhreAllgemeinheit folgt aus physikalischen Randbedingungen,algebraischen Uberlegungen und Konvergenzbetrachtungen.

Wir fassen nochmal zusammen:

Schrodingergleichung fur 1r -Potential

Die Losungen der stationaren Schrodingergleichung[− ~2

2m∆− k

]Ψ(r) = E Ψ(r)

lauten

Ψnlm(r , ϕ , ϑ) = e−kr (2kr)lL2l+1n−l−1(r)Pm

l (cos(ϑ)) (74)

Sonin-Polynome

Gewichtsfunktion: w(x) = x2α+1e−x2

Definitionsbereich: [0 ; ∞)

Achtung: Nehme als Variable nicht x , sondern x2!

Normierung

γn =Γ(n + α + 1)

2n!(75)

Anwendung in der kinetischen Gastheorie, wobei x die Rolleeiner reduzierten Geschwindigkeit spielt

Hermite-Polynome

Gewichtsfunktion w(x) = e−x2

Definitionsbereich (−∞ ; ∞)

Normierung γn =√π2nn!

Rekursionsbeziehungen

Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x) (76)

Hn+1(x) = 2xHn(x)− dHn(x)

dx(77)

dHn(x)

dx= 2nHn−1 (78)

Rekursionskoeffizienten: αn = 0 und βn = 2n

Hermite-Polynome

Sturm-Liouville-Problem

[e−x2

H ′n(x)]

= 2ne−x2Hn(x) (79)

Hermite-Polynome

Orthonormale Hermite-Polynome

Aus den Hermite-Polynomen kann man auch die sogenanntenorthonormalen Hermite-Polynome ableiten:

hn(x) :=Hn(x)√√π2nn!

Diese haben folgende Eigenschaften:

Definitionsbereich (−∞ ; ∞)

Normierung γn = 1

Rekursionskoeffizienten: αn = 0 und βn = n2

Hermite-Polynome

Orthonormale Hermite-Polynome

Anwendung: Die OHP losen die Schrodingergleichung fureinen harmonischen Oszillator.

−d2hn(x)

dx2+ x2hn(x) = (2n + 1)hn(x) (81)

Gegenbauer-Polynome

Gewichtsfunktion: w(x) = (1− x2)λ−12

Definitionsbereich: [−1 ; 1]

Normierung γn = 21−2λπΓ(n+2λ)n!(n+λ)[Γ(λ)]2

Rekursionskoeffizienten: αn = 0 und βn = Γ(l+2λ)Γ(l+2λ−1

l−1+λl+λ

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