PGF 5005 - Mecânica Clássica web.if.usp.br/controle

4.TransformaçõesCanônicas

PGF 5005 - Mecânica Clássica web.if.usp.br/controle

(Referências principais: Lichtenberg e Lieberman, 1992,

Percival, 1989, Lowenstein 2012 )

IFUSP, 2021

TransformaçõesCanônicas(MudançasdevariáveiscomequaçõesdeHamiltonparaasnovasvariáveis)

è è

Analogamente,podemosintroduzirgeratrizes

2NequaçõesentreasnovaseasanEgasvariáveis

è

Princípiovariacional

AderivadatemporaldafunçãogeratrizF1é:

Comparandoasduasequaçõesanterioresobtemos

Obterastransformações

Alémdasequações,obtemostambém

Introduzindoafunção,

obtemos

è è

=0

Aplicação:UmapossibilidadeparaobterF2(emHseparável)

SeessaequaçãoobEdaforintegrávelobtem-seF2easvariáveisemfunçãodotempo.

è

è

=E

Outraaplicação:UmapossibilidadeparaobterF2Hautonoma(independedet)

EquaçãodeHamilton-Jacobi.SeessaequaçãoobEdaforseparável,elaseráintegradaeF2obEda.Nessecaso,asvariáveispodemserobEdasemfunçãodotempo.

)=E)=

Duas Lagrangianas que diferem por um derivada df/dt descrevem o mesmo movimento

Escrevendo

Obtemos

Podemos escrever a mesma equação de Lagrange

=0

De

obtemos

Equação de Newton

Lagrangiana de uma partícula

Equação de Newton

Equação de Lagrange

Hamiltoniana

L – T – V H = T + V

Percival, Introduction to Dynamics

Percival, Introduction to Dy

FunçõesGeradorasdeTransformaçõesCanônicas

RelaçõesentreasanEgaseasnovasvariáveis

RelaçõesentreFunçõesGeradoras

SendoF2conhecida,obtemosF1:

DerivandocomrelaçãoaqkcomQ,,tfixos

Comosabemosque

Obtemosa)

Analogamente

Obtemosb)

Equaçõesa,brelacionamq,pcomQ,P

De

obtemos

ExemplosdeTransformações