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4.TransformaçõesCanônicas
PGF 5005 - Mecânica Clássica web.if.usp.br/controle
(Referências principais: Lichtenberg e Lieberman, 1992,
Percival, 1989, Lowenstein 2012 )
IFUSP, 2021
TransformaçõesCanônicas(MudançasdevariáveiscomequaçõesdeHamiltonparaasnovasvariáveis)
è è
Analogamente,podemosintroduzirgeratrizes
2NequaçõesentreasnovaseasanEgasvariáveis
è
Princípiovariacional
AderivadatemporaldafunçãogeratrizF1é:
Comparandoasduasequaçõesanterioresobtemos
Obterastransformações
Alémdasequações,obtemostambém
Introduzindoafunção,
obtemos
è è
=0
Aplicação:UmapossibilidadeparaobterF2(emHseparável)
SeessaequaçãoobEdaforintegrávelobtem-seF2easvariáveisemfunçãodotempo.
è
è
=E
Outraaplicação:UmapossibilidadeparaobterF2Hautonoma(independedet)
EquaçãodeHamilton-Jacobi.SeessaequaçãoobEdaforseparável,elaseráintegradaeF2obEda.Nessecaso,asvariáveispodemserobEdasemfunçãodotempo.
)=E)=
Duas Lagrangianas que diferem por um derivada df/dt descrevem o mesmo movimento
Escrevendo
Obtemos
Podemos escrever a mesma equação de Lagrange
=0
De
obtemos
Equação de Newton
Lagrangiana de uma partícula
Equação de Newton
Equação de Lagrange
Hamiltoniana
L – T – V H = T + V
Percival, Introduction to Dynamics
Percival, Introduction to Dy
FunçõesGeradorasdeTransformaçõesCanônicas
RelaçõesentreasanEgaseasnovasvariáveis
RelaçõesentreFunçõesGeradoras
SendoF2conhecida,obtemosF1:
DerivandocomrelaçãoaqkcomQ,,tfixos
Comosabemosque
Obtemosa)
Analogamente
Obtemosb)
Equaçõesa,brelacionamq,pcomQ,P
De
obtemos
ExemplosdeTransformações
