View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
OBSAH
Úvod ............................................................................................................................... 5
1 História peňazí a finančných trhov ......................................................................... 7
2 Úrokový počet ........................................................................................................... 10
3 Jednoduché úrokovanie............................................................................................ 12
3.1 Jednoduchý úrok .................................................................................................. 12
3.2 Budúca hodnota kapitálu pri jednoduchom úrokovaní ........................................ 14
3.3 Výpočet úroku z viacerých istín ........................................................................... 17
3.4 Časová hodnota peňazí a princíp finančnej ekvivalencie .................................... 18
3.5 Diskont................................................................................................................. 20
3.6 Vzťah medzi úrokovou a diskontnou sadzbou..................................................... 24
4 Zložené úrokovanie................................................................................................... 28
4.1 Budúca hodnota kapitálu pri zloženom úrokovaní ............................................... 28
4.2 Nárast kapitálu pri jednoduchom a zloženom úrokovaní ..................................... 30
4.3 Frekvencia úrokovania.......................................................................................... 32
4.4 Efektívna úroková miera....................................................................................... 33
4.5 Diskontovanie pri zloženom úrokovaní................................................................ 34
5 Zmiešané úrokovanie................................................................................................ 37
6 Spojité úrokovanie .................................................................................................... 41
7 Analýza investícií ...................................................................................................... 44
8 Vplyv inflácie a daňového zaťaženia na úrokovú mieru....................................... 48
9 Rentový počet ............................................................................................................ 52
10 Polehotná renta ........................................................................................................ 54
10.1 Dočasná polehotná renta .................................................................................. 54
10.2 Odložená polehotná renta ................................................................................. 60
10.3 Večná polehotná renta ...................................................................................... 62
10.4 p- termínová polehotná renta ........................................................................... 63
11 Predlehotná renta .................................................................................................... 71
11.1 Dočasná predlehotná renta............................................................................... 71
11.2 Odložená predlehotná renta .............................................................................. 76
11.3 Večná predlehotná renta ................................................................................... 77
11.4 p- termínová predlehotná renta ....................................................................... 78
12 Umorovanie dlhu...................................................................................................... 84
12.1 Splácanie úveru rovnakými splátkami.............................................................. 85
12.2 Splácanie úveru vopred danou konštantnou anuitou ........................................ 87
12.3 Úmor úveru nerovnakými splátkami ................................................................ 89
13 Faktoring .................................................................................................................. 93
14 Leasing ...................................................................................................................... 99
15 Forfaiting ............................................................................................................... 109
Literatúra ................................................................................................................... 112
ÚVOD Finančná matematika sa zaoberá aplikáciami matematických metód vo finančníctve,
poisťovníctve a podnikovej praxi.
Predkladaná publikácia sa snaží zrozumiteľným spôsobom vysvetliť základné
pojmy a princípy finančných výpočtov. Prvá kapitola obsahuje historický prehľad
vzniku peňazí a finančných trhov. Ďalšie časti sa venujú úrokovému a rentovému počtu.
Po vymedzení základných pojmov a odvodení dôležitých vzťahov v jednotlivých
kapitolách, resp. podkapitolách vždy nasledujú riešené príklady, ktoré demonštrujú
vyloženú problematiku. Príklady sme sa snažili vybrať aktuálne, ktoré riešia konkrétne
úlohy z praxe. Okrem riešených príkladov obsahuje množstvo úloh na riešenie, na
ktorých si čitateľ môže preveriť svoje vedomosti. Výsledky riešenia sú uvedené
v zátvorkách. Posledné tri kapitoly sú venované dôležitým aplikáciám finančnej
matematiky v praxi ako je umorovanie dlhu, leasing, faktoring a forfaiting.
Publikácia môže slúžiť ako učebnica finančnej matematiky na stredných školách
s ekonomickým zameraním, študentom gymnázií s výučbou voliteľného predmetu
Finančná matematika, obchodných akadémií, ale môže poslúžiť aj pre potreby výučby
základov finančnej matematiky na vysokých školách.
Na záver chcem poďakovať všetkým, ktorí prispeli k skvalitneniu tejto publikácie,
predovšetkým pracovníkom z praxe a recenzentom za starostlivé prečítanie a
pripomienky, ktoré boli zapracované do predkladanej publikácie.
Autorka
7
1 HISTÓRIA PEŇAZÍ A FINANČNÝCH TRHOV
Peniaze sú univerzálne platidlo a slúžia ako všeobecný ekvivalent tovaru. Prvýkrát
sa objavili v podobe kovových mincí v polovici 7. storočia p.n.l. v Malej Ázii.
V Európe začali raziť mince v 6. storočí p.n.l. Gréci. Papierové peniaze sa začali
používať až v 11. storočí n.l. v Číne. V poslednej dobe sa rozšírili aj tzv. počítačové
peniaze, ktoré existujú len ako elektronické údaje, pričom platby sa vykonávajú
kreditnou kartou alebo prostredníctvom počítačovej siete.
Z ekonomického hľadiska majú peniaze časovú hodnotu s klesajúcim trendom , t.j.
peniaze sa časom znehodnocujú. Okrem toho sa súčasná dispozícia zdrojov vždy cenila
viac, ako dostupnosť tých istých zdrojov v budúcnosti, preto je prirodzené požadovať
poplatok (úrok) za dočasné poskytovanie voľných finančných prostriedkov. Úrok, resp.
úroková miera, podobne ako peniaze, majú svoju históriu vzniku a vývoja. Keď si
staroveký farmár prvýkrát požičal obilie, aby mohol kultivovať svoju pôdu, netušil čo
s tým odštartoval. Už 3000 rokov p.n.l. požičiavali starovekí Sumeri obilie na 33%-ný
úrok, striebro na 20%-ný úrok. Významný panovník starovekého Babylonu Chamurabi
vydal v roku 1800 p.n.l. zákonník, ktorý reguloval aj finančné transakcie v Babylone
(bankové vklady, šeky, pôžičky, používané ako prvé cenné papiere). Babylončania tým
položili základy fundovanej finančnej aktivity, ktorá mala vplyv na formovanie
finančných systémov počas nasledujúcich 2000 rokov a tento vplyv pretrváva až do
súčasnosti.
Prvé obchodné banky vznikli v 6. storočí p.n.l. a poskytovali úvery jednotlivcom,
podnikateľom aj vládam. Úroková miera sa v tomto čase pohybovala medzi 10 až 20%
na rok, podľa typu pôžičky. V tomto období neexistovali organizované finančné trhy,
len niekoľko súkromných bánk. Pôžičky mali individuálny charakter a boli väčšinou
krátkodobé – nepresahovali jeden rok.
V oblasti stredozemného mora boli veľmi rozšírené námorné pôžičky, dobre
zaistené loďou alebo lodným nákladom. Úroková miera dosahovala asi 30%, ale
v prípade vojnového konfliktu alebo rozšírenia pirátstva vystúpila na 60 až 100%.
Príspevok Grékov v oblasti rozvoja financií bol podstatne menší ako u Babylončanov.
V 4. storočí p.n.l. boli rozšírené v Grécku dobre zaistené pôžičky na nízke 6%-né úroky.
Mestské štáty Grécka mali ale nízku mieru úveruschopnosti. Rimania, ktorých
ekonomika bola založená na poľnohospodárstve, nemali veľký záujem o obchodovanie
8
a finančníctvo. Cieľom verejnej politiky bolo udržiavanie nízkych úrokových mier. V 3.
st. p.n.l. bola stanovená rímskymi zákonmi maximálna hranica úrokov na 831 %. Neskôr
sa zvýšila na 12% a ostala rovnaká počas niekoľkých storočí.
Doktrína nemorálnosti úrokovania pôžičky, označovaná ako úžerníctvo, začiatkom
nášho letopočtu ovplyvnila vývoj finančníctva na ďalších 1000 rokov. Pôžičky sa
chápali ako pomoc blížnemu v núdzi, teda bolo nemorálne priživovať sa na nešťastí
iných. Obchodné aktivity začali narastať až v 12. storočí n.l. a prispeli k rozvoju
bankovníctva. Doktrína úžerníctva sa nahradila doktrínou kompenzácie veriteľa za
poskytované finančné prostriedky, ale maximálna hranica úrokovej mieri bola len 5%.
V priebehu 12. a 13. storočia sa rozšírili dva druhy dlhodobých cenných papierov.
Prvým bol census, ktorý vyjadroval právo vlastníka pôdy na podiel
z poľnohospodárskej prosperity – napríklad právo na časť úrody. Census sa dal predať,
obchodovalo sa s ním na vzniknutom sekundárnom finančnom trhu. Census je
predchodcom dnešných hypoték. Druhý typ sekundárneho finančného nástroja vznikol
v Benátkach, kde sa iniciovalo poskytovanie pôžičky zo strany občanov štátu na
financovanie zdravotníckych služieb. Boli to prvé štátne obligácie, s ktorými sa dalo
obchodovať.
Rozvoj financií v Západnej Európe začína v 12. storočí n.l. a je charakterizovaný
obchodovaním s krátkodobými cennými papiermi. Z dlhodobých cenných papierov sa
rozšírili vládne obligácie a hypotéky na nehnuteľnosti. Mnohé bankové aktivity sa
uskutočňovali v rámci partnerských vzťahov, často len v rámci rodiny. Príkladom toho
bola rodina Medici vo Florencii. Členovia tejto rodiny boli významní bankári
a obchodníci s kontaktmi v celej Európe, Severnej Afrike a na Blízkom Východe.
Získali rozsiahle poľnohospodárske usadlosti a veľkú politickú moc v Taliansku v 15.
storočí.
Ako prvá banka založená vládou vznikla anglická národná banka (The bank of
England) v roku 1654. K tomuto roku sa viažu počiatky trhu s dlhopismi vo Veľkej
Británii, keď vláda Viliama III. vydaním dlhopisov získala 1 milión libier na
financovanie vojny v severnom Francúzsku. Národná banka prevzala garanciu za
splatenie tohto štátneho dlhu.
Idea vlastniť akcie pochádza tiež zo 17. storočia. Obchodníci kupovali podiely na
jednotlivých obchodných výpravách a rozdeľovali si zisk na konci plavby na základe
veľkosti podielu. Neskôr zistili, že nie je nutné akciovú spoločnosť rušiť po každej
9
plavbe, ale že stačí zaistiť predaj podielov pôvodných investorov novým investorom.
Neformálny trh s podielmi bol základom pre vznik Akciovej burzy (Stock of Exchange)
v Londýne v roku 1773.
Poisťovne založené v 17. storočí nadobudli význam vďaka súkromným investorom,
ktorí špekulovali s rizikom lodných ciest. V 18. storočí sa centrom finančníctva stal
Amsterdam. Na Amsterdamskej burze sa predávali akcie veľkých spoločností, komodity
aj obligácie. Rozšírili sa aj nové formy obchodovania, ako predaj nakrátko a termínové
obchody.
Zlatou érou financií bolo 19. storočie. Priemyselná revolúcia priniesla veľký dopyt
po kapitálových investíciách. Vznikali nové spoločnosti, zavádzali sa nové technológie.
Výstavba železníc v USA priťahovala obrovské množstvo kapitálu, hlavne britského.
Londýn nahradil Amsterdam v úlohe hlavného svetového finančného centra. Vznikali
ďalšie dôležité tipy finančných inštitúcií (napr. sporiteľne, stavebné a úverové
spoločnosti).
Pre 20. storočie je charakteristické rozptýlenie finančnej moci, dôraz na personálne
financie a vznik nových finančných nástrojov. Centrum svetového finančníctva sa
presúvalo do USA. Čo sa týka vývoja úrokových mier v USA, na začiatku storočia boli
nízke. Minimálnu hodnotu 3% dosiahli v tridsiatych rokoch, ale ostali na relatívne
nízkej úrovni až do roku 1965. v sedemdesiatych rokoch začalo vo finančníctve
a ekonomike obdobie dramatických zmien vynútených internacionalizáciou trhov
a troma svetovými krízami dlžníkov. Toto obdobie viedlo ku vzniku nových pravidiel a
finančných produktov v podobe finančných derivátov (opcie, futurity, swapy), ktoré
zaručovali ochranu pred nepriaznivým vývojom trhu obmedzovaním a riadením
finančných rizík. Prudko sa meniace finančné prostredie ovplyvnilo aj trend vývoja
úrokových mier. Po náhlom náraste (až na 16%) začiatkom osemdesiatych rokov nastal
začiatkom deväťdesiatych rokov ich prudký pokles.
Dnešné finančné trhy sú medzinárodné. Momentálne sú poznačené americkou
hypotekárnou krízou, čo spôsobuje ich značnú nestabilitu. Výhodou organizovaného
medzinárodného finančného trhu však je jednoduchosť a rýchlosť komunikácie
a prístup k finančným informačným zdrojom. Najväčšie finančné centrá na svete – New
York, London, Hong Kong, Singapure, Zurich, a Tokio sú v neustálom spojení a tvoria
takto celosvetový finančný trh.
10
2 ÚROKOVÝ POČET
Úrokový počet je základným nástrojom finančnej a poistnej matematiky. Na jeho
základe je založené veľké množstvo ekonomických, finančných a poistných úvah a
prepočtov.
Z hľadiska veriteľa, t. j. subjektu, ktorý poskytuje pôžičku, je úrok odmenou za
dočasné poskytnutie voľných peňažných prostriedkov. Je to odmena za dočasné
pozbavenie práva disponovať s peniazmi, za pokles ich hodnoty počas doby pôžičky
vplyvom inflácie a za rôzne riziká spojené s pôžičkou.
Z hľadiska dlžníka, t. j. subjektu, ktorý si požičiava, je úrok cena za získanie úveru.
Pre dlžníka je získanie úveru prínosom, nakoľko môže získané peňažné prostriedky
ihneď použiť na nákup potrebných vecí alebo ich investovať do podnikateľskej činnosti
a tak zbohatnúť. Aj súčasná svetová ekonomika je poháňaná úverom.
Ak vyjadríme úrok v percentách p z hodnoty kapitálu za časové obdobie, dostaneme
úrokovú sadzbu. Časové obdobie, po uplynutí ktorého sa pripisujú úroky, sa nazýva
úroková perióda. Ak vyjadríme úrokovou sadzbou úrok z kapitálu za rok, hovoríme
o ročnej úrokovej sadzbe. Úrokovou periódou je vtedy jeden rok. Ročnú úrokovú
sadzbu označujeme p. a. (per annum). Napr. úroková sadzba 5 % p. a. znamená, že
veriteľ o rok dostane z každého zapožičaného eura 5 centov. Polročnú úrokovú sadzbu
označujeme p.s. (per semestrem). Štvrťročnú úrokovú sadzbu označujeme p.q. (per
quartale). Mesačnú úrokovú sadzbu označujeme p.m. (per mensem). Dennú úrokovú
sadzbu označujeme p.d. (per diem).
Ak percentuálnu úrokovú sadzbu vyjadríme desatinným číslom, hovoríme
o úrokovej miere.
Doba, počas ktorej sa úroky pravidelne pripisujú, sa nazýva úrokové obdobie alebo
doba splatnosti.
Úroková miera sa v prípade investičných projektov nazýva mierou zisku alebo
výnosnosťou, respektíve výnosovým percentom. Úrok predstavuje výnos.
Výška úrokovej miery v konkrétnom ekonomickom prostredí závisí od množstva
faktorov. Najdôležitejšími sú :
• Výška zapožičaného kapitálu - úroková miera rastie s výškou zapožičanej čiastky.
Niektoré banky používajú pre vklady tzv. pásmové úrokovanie, kde výška úrokovej
miery rastie s výškou vloženej čiastky podľa pásiem.
11
• Doba pôžičky – úroková miera v stabilných ekonomikách väčšinou rastie s dobou
pôžičky. V období vysokej inflácie tomu tak však nie je.
• Riziko pôžičky – s rastúcim rizikom pôžičky úroková miera rastie. Najmenej rizikové
sú štátne cenné papiere, štátne pokladničné poukážky a štátne dlhopisy. V USA sa
nazývajú T-bills.
• Diskontná sadzba – je to úroková miera, za ktorú centrálna banka (na Slovensku NBS)
poskytuje úver ostatným bankám. Zvýšenie, resp. zníženie diskontnej sadzby má za
následok zvýšenie, resp. zníženie úrokových mier v komerčných bankách, ako aj na
celom finančnom trhu. Prostredníctvom diskontnej sadzby centrálna banka pôsobí na
zdražovanie alebo zlacňovanie úverov, na množstvo peňazí v ekonomike, na infláciu,
na oslabovanie alebo posiľňovanie meny, a teda aj na celkový hospodársky vývoj.
Dlhodobejšie znižovanie diskontnej sadzby má za následok zlacnenie úverov, a tým aj
podporu ekonomického rastu. Niektoré komerčné banky určujú úrokové miery
vkladových produktov a úverov pomocou odchýlok od diskontnej sadzby.
• Medzibanková úroková miera
• Stratégia banky
• Daňová politika štátu - v SR od 1.1.2004 platí jednotná 19%-ná daň na všetky
výnosy. V niektorých krajinách sú inak zdaňované výnosy zo štátnych cenných
papierov, inak výnosy z vkladov v bankách a inak kapitálové výnosy.
Existujú dva základné typy úrokovania.
• Jednoduché úrokovanie – úroky sa počítajú stále z pôvodného kapitálu.
• Zložené úrokovanie – úroky sa pripočítavajú k pôvodnému kapitálu a spolu s ním
sa ďalej úročia.
Podľa okamžiku splatnosti rozdeľujeme úrokovanie na:
- polehotné (dekurzívne) – úroky sa vyplácajú na konci úrokového obdobia,
- predlehotné (anticipatívne) – úroky sa vyplácajú na začiatku úrokového obdobia.
V nasledujúcom texte sa budeme zaoberať polehotným úrokovaním, ktoré sa v praxi
využíva najčastejšie.
12
3 JEDNODUCHÉ ÚROKOVANIE
Pri jednoduchom úrokovaní sa úroky nepripočítavajú k pôvodnému kapitálu a ďalej
sa neúročia. Úročí sa stále iba počiatočný kapitál. Jednoduché úrokovanie sa používa
najčastejšie v prípade krátkodobých investícií, ak doba pôžičky je kratšia ako jeden rok.
3.1 Jednoduchý úrok
Úrok vypočítame podľa vzťahu
npKniKu ⋅⋅=⋅⋅=10000 (3.1)
pričom
u je úrok,
0K - počiatočný kapitál,
i - úroková miera vyjadrená ako desatinné číslo,
n - doba pôžičky vyjadrená v jednotkách úrokovej periódy,
p - počet percent v príslušnej úrokovej sadzbe.
Ak t je doba pôžičky vyjadrená v dňoch, tak (3.1) možno napísať v tvare
3600
tiKu ⋅⋅= (3.2)
V tejto súvislosti sa treba zmieniť aj o tom, že vo vzorci (3.2) niektoré peňažné
ústavy nahrádzajú číslo 360 číslom 365. Zlomok 365
t alebo 360
t sa stanovuje podľa
tzv. štandardov.
Najpoužívanejšími štandardmi sú:
1. Štandard 30E / 360 predpokladá, že každý mesiac má 30 dní a rok má 360 dní
2. Štandard ACT / 360 je založený na skutočnom počte dní v čitateli a dĺžke roka
360 dní v menovateli.
13
3. Štandard ACT / 365 je založený na skutočnom počte dní v čitateli a dĺžke roka
365, resp. 366 dní v menovateli.
Platí dohovor, že z dvoch dní zmeny (deň získania pôžičky a deň jej splatenia) sa do
počtu dní úrokového obdobia počíta len jeden z nich.
Príklad 3.1 Aký úrok zaplatí dlžník 14. 12. 2009, ak si 5. 3. 2009 vypožičia čiastku
864 € pri 5 %-nej ročnej úrokovej sadzbe?
Riešenie: Pri výpočte dĺžky úrokového obdobia použijeme štandard ACT / 365
a z dní zmeny budeme brať do úvahy deň získania pôžičky.
28413303130313130313027 =+++++++++=t
613,3336528405,0864
3650 =⋅⋅=⋅⋅=tiKu
Úrok bude činiť 33,613 €, dlžník musí vrátiť čiastku v hodnote 897,613 €.
Príklad 3.2 Hypotekárny úver na byt vo výške 66 600 €, ktorý banka poskytla
s úrokovou mierou 6,5% p. a. je splácaný mesačnými splátkami 650 €. O koľko zníži
hodnotu úveru prvá mesačná splátka?
Riešenie. Každá splátka úveru sa skladá z časti, ktorá spláca úrok a z časti, ktorá
znižuje dlh. Úrok z celého úveru za jeden mesiac vypočítame podľa vzťahu ( 3.1 ) po
dosadení hodnôt 666000 =K , 065,0=i , 121
=n
75,360121065,0.66600 =⋅=u
Úrok predstavuje 360,75 €, prvá mesačná splátka teda splatí iba 289,25 € z hodnoty
úveru.
Príklad 3.3 Výrobca nedodržal termín dodania okien. Podľa zmluvy o dielo má
objednávateľ právo uplatniť si penále vo výške 0,5% za každý deň omeškania dodávky
z fakturovanej ceny 13000 € . Aké veľké bude penále, ak dodávka meškala 23 dní?
Riešenie. Penále vypočítame podľa (3.1) ako úrok za 23 dní pri dennej úrokovej miere
005,0=i . Potom
149523005,0.13000 =⋅=u
Penále bude 1495 €.
14
3.2 Budúca hodnota kapitálu pri jednoduchom úrokovaní
Ak si v banke otvoríme účet s výškou kapitálu 0K a banka platí jednoduchý úrok
s ročnou úrokovou mierou i , tak
po prvom roku bude na účte suma
( )iKiKKuKK +=⋅⋅+=+= 11 00001
po druhom roku bude na účte suma
( ) ( )iKiKiKuKK 2111 00012 +=⋅⋅++=+=
.
.
.
Po n-tom roku bude na účte suma
( )inKK n += 10 (3.3)
Hodnotu nK nazývame budúcou hodnotou počiatočného kapitálu 0K . Je to
hodnota, ktorú dostaneme po uplynutí času n. Zo vzťahu (3.3) máme
niKKKn ⋅⋅+= 00
a teda pri danej výške počiatočného kapitálu K0 a úrokovej miere i je budúca hodnota
kapitálu Kn lineárnou funkciou času. Viď. obr. 1
Obr.1 Budúca hodnota kapitálu
15
Zo základných vzťahov (3.1) a (3.3) možno vypočítať počiatočnú hodnotu
kapitálu 0K , dobu uloženia kapitálu (dobu splatnosti) n a veľkosť úrokovej miery i
in
KK n
+=
10 ( 3.4 )
iK
uiKKK
n n
⋅=
⋅−
=00
0 (3.5 )
a
nK
unKKK
i n
⋅=
⋅−
=00
0 (3.6 )
Príklad 3.4 Akú sumu musí klient vrátiť, ak mu bol poskytnutý spotrebný úver vo
výške 3000€ jednorazovo splatný za 6 mesiacov s úrokovou mierou 8%p.a.
Riešenie: Dosadením do vzťahu (3.3 ) máme
3120126.08,013000 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=nK
Za 6 mesiacov musí klient vrátiť 3120 €.
Príklad 3.5 Klient dostal od banky polročný úver vo výške 25000 € s ročnou úrokovou
sadzbou 11% a s podmienkou, že na svojom bankovom účte musí udržiavať aspoň 15%
z vypožičanej sumy. Aká je skutočná ročná úroková miera tohto úveru?
Riešenie: Dosadením hodnôt 250000 =K , 11,0=i , 5,0=n , 15,0=p
do vzťahu (3.1) vypočítame úrok, ktorý bude musieť klient banke zaplatiť.
13755,011,025000 =⋅⋅=u
Skutočná hodnota prostriedkov, s ktorými môže klient disponovať je
212502500015,025000000 =⋅−=⋅−= KpKK s
Preto skutočná ročná úroková miera bude
129,05,021250
1375
0
=⋅
=⋅
=nK
uis
s
Skutočná úroková miera daného úveru je 12,9% p.a.
16
Banky často ako podmienku k úveru vyžadujú, aby pomerná časť úveru bola
udržiavaná na účte. Toto spôsobuje, že skutočná úroková miera úveru je vyššia ako
oficiálne udávaná hodnota, pretože časť úveru je pre klienta prakticky nedostupná
Príklad 3.6 Akciu nominálnej hodnoty 90 € kúpil investor 2. 1. 2007 za trhovú cenu
70 €. Dividendy za rok 2007 boli vyplatené v januári 2008 a na jednu akciu
predstavovali 2 % z nominálnej hodnoty akcie. Aká bola pre investora skutočná ročná
miera zisku?
Riešenie: Po uplynutí času 1=n prinesie akcia investorovi zisk (úrok) 2 % z 90 €,
teda
8,1102,090 =⋅⋅=u
Tento zisk investor získal z kapitálu 700 =K €. Zo vzťahu (3.6) pre i dostaneme
0257,0170
8,1
0
=⋅
=⋅
=nK
ui
Skutočná miera zisku bola pre investora 2,57 % p. a.
Príklad 3.7 Záujemca o kúpu technologického zariadenia má dve možnosti. Buď
uskutoční kúpu teraz a za zariadenie zaplatí 440 000 € alebo ho kúpi za 480 000 € o 10
mesiacov neskôr. Má tiež možnosť hotovosť 440 000 € uložiť na účet úročený
úrokovou sadzbou 9,5% p.a.. Zistite, ktorá z možností je pre záujemcu výhodnejšia.
Riešenie: Dosadením hodnôt 4400000 =K , 65
1210
==n , 095,0=i do vzťahu ( 3 .3)
zistíme, ako by sa suma 0K zhodnotila na účte počas 10-tich mesiacov.
47483365095,01440000 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅=nK
Zistili sme, že hotovosť investovaná v banke po dobu 10 mesiacov, by nestačila na
nákup technologického zariadenia za 480 000 € o 10 mesiacov neskôr, preto je
výhodnejšie kúpu uskutočniť hneď.
Príklad 3.8 Za koľko dní vzrastie vklad 1000 € na 1010 €, ak je úročený úrokovou
mierou 5% p.a. a banka používa štandard 30E / 360?
Riešenie: Dosadením do vzťahu (3.5 ) máme
17
2,005,01000
10001010
0
0 =⋅−
=⋅
−=
iKKK
n n
Vklad vzrastie za 0,2 roka, čo po prepočítaní na dni pri danom štandarde je 72 dní.
3.3 Výpočet úroku z viacerých istín
V bankovej praxi sa často počítajú úroky z viacerých istín rôznych hodnôt, s rôznou
dĺžkou úrokového obdobia, ale s rovnakou úrokovou mierou. Pri ich výpočte pri
jednoduchom úrokovaní je výhodné použiť tzv. úrokové čísla UC a úrokové delitele
UD. Úrokové číslo sa definuje ako
100
tKUC ⋅= , (3.8)
kde K je výška kapitálu, ktorý bol uložený počas t dní. Úrokový deliteľ sa definuje ako
p
UD 360= , (3.9)
kde p udáva počet % v ročnej úrokovej sadzbe.
Uvažujme bežný účet s ročnou úrokovou sadzbou p %. Nech kapitál K1 je úročený t1
dní, kapitál K2 je úročený t2 dní, ..., kapitál Kr je úročený tr dní. Celkový úrok z
kapitálov K1, ..., Kr bude
UD
UCpt
Ku
r
jj
jr
jj
∑∑ =
=
=⋅⋅= 1
1 100360 (3.10)
t.j. sčítame úrokové čísla jednotlivých istín a výsledok vydelíme úrokovým deliteľom.
Príklad 3.9 Podnikateľ mal k 1.1.2007 na účte s úrokovou sadzbou 4% p.a. zostatok
16425 € . 18.2.2007 naň vložil 4000 € a 4.7.2007 z neho vybral 9000 €. Do konca roku
už nebol na účte žiadny pohyb. Aké úroky mu pripísala banka na konci roku?
Riešenie: Úroky sa počítajú z troch rôznych istín, v rôznych úrokových obdobiach, ale
s rovnakou úrokovou mierou 04,0=i . Bude teda výhodné použiť UC a UD. Počet dní
vypočítame podľa štandardu 30E/360. Jednotlivé istiny sú uložené nasledovne:
164251 =K ............... 471 =t dní
18
204254000164252 =+=K .......... 1362 =t dní
114259000204253 =−=K .......... 1773 =t dní
( ) 096,61990
17725,11413624,2044725,164321
3
1 =⋅+⋅+⋅
=++
==∑=
UDUCUCUC
UD
UCu j
j
Zmeny na účte môžeme zhrnúť do tabuľky:
Dátum Zostatok v € Počet dní UC
1.1.2007 16 425 47 7719,75
18.2.2007 20 425 136 27778
4.7.2007 11 425 177 20225,25
31.12.2007 11 425
∑ 55 723
Na konci roka pripísala banka na účet úrok 619,096 € .
3.4 Časová hodnota peňazí a princíp finančnej ekvivalencie
V praxi sa často stretávame s úlohami, keď jednu finančnú povinnosť treba zameniť
inou. Napr. zmeniť dátum splatnosti zmenky, spojiť niekoľko finančných povinností do
jednej a pod. Pri riešení úloh takéhoto typu používame princíp finančnej ekvivalencie.
Princíp finančnej ekvivalencie umožňuje porovnávať platby uskutočňované v rôznych
termínoch tak, že ich vyjadríme k rovnakému dátumu. Tento dátum nazývame
porovnávací alebo referenčný dátum.
Všeobecná metóda riešenia úloh zámenou platieb spočíva v zostavení rovnice
ekvivalencie – hodnotovej rovnice, v ktorej súčet známych platieb k porovnávaciemu
dátumu sa rovná novej neznámej platbe k tomu istému dátumu.
Príklad 3.10 Klient si dohodol kúpu domu v hodnote 200 000 €. Zálohu 100 000 €
zložil hneď pri podpise kúpnopredajnej zmluvy a zvyšnú sumu má splatiť tromi
splátkami do jedného roka pri 10%-nej ročnej úrokovej sadzbe. Prvú splátku vo výške
45 000 € uskutočnil hneď po mesiaci, ďalších 25 000 € splatil po uplynutí ďalších troch
19
mesiacov. Aká veľká bola posledná splátka, ktorú vyplatil 9 mesiacov po podpise
zmluvy?
Riešenie: Klient má doplatiť 100 000 €. Pri zostavovaní rovnice ekvivalencie
zoberieme za porovnávací dátum deň poslednej splátky. Označme výšku poslednej
splátky A . Pri zostavovaní rovnice ekvivalencie si pomôžeme tzv. časovým diagramom
Z časového diagramu zostavíme rovnicu ekvivalencie. Budúca hodnota dlhu o 9
mesiacov sa musí rovnať súčtu budúcich hodnôt jednotlivých splátok. Pre 1,0=i
dostaneme rovnicu
A+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅
1251,0100025
1281,0100045
1291,01000100
458330422600048500107
=−−=
AA
Posledná splátka bola vo výške 33 458 €.
Príklad 3.11 Dlžník chce vrátiť dlh 20 000 € zapožičaný pri úrokovej sadzbe 9%p.a.
dvomi rovnakými splátkami s polročným odstupom. Prvú splátku vyrovná po polroku
odo dňa pôžičky. Aké veľké budú splátky?
Riešenie: Nech porovnávacím dátumom je deň pôžičky . Prítomná hodnota dlhu je
v tento deň 20 000 € a túto hodnotu musí mať i súčet prítomných hodnôt oboch splátok.
Označme veľkosť splátky A.
Z diagramu dostaneme rovnicu ekvivalencie:
109,015,009,0120000
⋅++
⋅+=
AA
30,10670=A
Obe splátky budú v hodnote 10 670,30 €.
20
Príklad 3.12 Dlžník má splatiť zvyšok dlhu, ktorý bol zapožičaný pri úrokovej sadzbe
9% p.a. ešte dvoma splátkami. Prvou vo výške 12 000 € o 5 mesiacov, druhou vo výške
10 000 € o 8 mesiacov. Rozhodne sa dlh vyrovnať jednou splátkou o pol roka. Aká
veľká bude táto splátka?
Riešenie: Za porovnávajúci dátum si zvolíme dátum vyrovnania dlhu, teda koniec
šiesteho mesiaca. Hľadanú splátku označme A.
Z časového diagramu zostavíme rovnicu ekvivalencie v tvare
A=⋅+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅
12209,01
1000012109,0112000
2,21942=A
Na konci šiesteho mesiaca dlžník zaplatí 21 942,2 €.
3.5 Diskont
Výpočet prítomnej hodnoty kapitálu 0K v závislosti od budúcej hodnoty kapitálu
nK sa nazýva diskontovanie (odúrokovanie). Hodnotu 0K nazývame diskontnou
hodnotou kapitálu nK . Rozdiel 0KK n − medzi budúcou hodnotou kapitálu a jej
prítomnou hodnotou nazývame matematickým diskontom a označujeme Dm.
inK
KKKD nnnm +−=−=
10
in
inKD nm +⋅=1
(3.11)
Ak položíme nK = 1 , 1=n , dostaneme
ii
iDm ⋅=+
= υ1
Veličina i+
=1
1υ sa nazýva diskontný faktor – odúročiteľ .
21
V bankovej praxi je zaužívané (pri krátkodobých cenných papieroch, pri eskonte
zmeniek), že úroky, ktoré si banka ponecháva vo forme diskontu, sa nepočítajú
z množstva peňazí v súčasnosti, ale z množstva peňazí v budúcnosti. Takto určený
diskont sa nazýva bankový diskont alebo obchodný diskont. Viď. obr.2
Pri použití tohto princípu s diskontnou sadzbou 10 % p.a. dlžník obdrží zo zapožičaného
eura iba 90 centov, ale po uplynutí jedného roka musí vrátiť celé 1 euro .
Bankový diskont označujeme bD .
360
tdKndKD nnb ⋅⋅=⋅⋅= (3.12 )
pričom nK je splatná čiastka,
d - ročná diskontná miera,
n - doba pôžičky vyjadrená v rokoch,
t - doba pôžičky vyjadrená v dňoch.
Obr.2 Diskont
Vyplatená suma z pôžičky nK ( z nominálnej hodnoty kapitálu), ktorú dlžník
skutočne obdrží pri diskontnom princípe je
bn DKK −=0
Po dosadení za bD máme
( )dnKK n −⋅= 10 (3.13)
alebo
22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅=
36010
tdKK n (3.14)
S diskontom sa možno stretnúť pri odkupovaní pohľadávok. Ak finančná inštitúcia
prevezme nejakú pohľadávku pred dobou splatnosti tejto pohľadávky, nevyplatí celú
výšku pohľadávky, ale istú časť si ponechá dopredu ako náhradu. Diskont je teda
odmena odo dňa odkúpenia do dňa splatnosti pohľadávky.
Príklad 3.13 Finančná spoločnosť poskytuje úvery s 10%-nou ročnou diskontnou
sadzbou. Klient si zobral úver vo výške 15 000 € splatný o 6 mesiacov. Akú sumu
dostal od finančnej spoločnosti?
Riešenie: Dosadením hodnôt 15000=nK , 1,0=d , 21
126==n do vzťahu
( )ndKK n ⋅−⋅= 10
máme 14250211,01150000 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅=K
Klientovi poskytli sumu vo výške 14 250 €, ale o pol roka musí splatiť 15 000 €.
Príklad 3.14 Finančná spoločnosť zakúpila 1. 7. 2008 zmenku v nominálnej hodnote
100 000 €, splatnú 1. 11. 2008. Dňa 1. 9. 2008 eskontuje túto zmenku v banke, ktorá si
účtuje eskontnú províziu 0,05 % z nominálnej hodnoty a má diskontnú sadzbu
5,95 % p. a.. Vypočítajte, koľko zaplatí banka finančnej spoločnosti za zmenku.
Riešenie: Dosadením hodnôt 0595,0,122,000100 === dnK n do vzťahu (3.13)
máme 333,00899
1220595,010001000 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−=K
Vypočítame veľkosť provízie p a odčítame ju od 0K
33,98958500333,00899500001000005,0
=−=⋅=p
Banka zaplatí za zmenku 98 958,33 €.
23
Príklad 3.15 Slovenský dovozca importoval zásielku vína za 275 000 € od
francúzskeho výrobcu. Sprostredkovaním kontraktu bola poverená slovenská banka,
ktorá bola ochotná ručiť francúzskemu vývozcovi za jeho pohľadávku, s čím vývozca
súhlasil. Po doručení zásielky, 15.2.2008 slovenská banka akceptovala zmenku na
275 000 € s dátumom splatnosti 15.4.2008. Zmenka sa stala bankovým akceptom.
1.3.2008 vývozca eskontoval tento bankový akcept vo svojej francúzskej banke
s ročnou diskontnou sadzbou 9%. 10.3.2008 francúzska banka eskontovala zmenku v
slovenskej banke s ročnou diskontnou sadzbou 7,8%. Akú sumu vyplatila francúzska
banka vývozcovi a slovenská banka francúzskej banke ?
Riešenie: Postupným dosadením 275000=nK , 09,01 =d , 078,02 =d do
vzťahu ( )ndKK n ⋅−⋅= 10 dostaneme:
Vývozca od francúzskej banky obdržal sumu:
2719063604509,012750000 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅=K
Do vzorca sme za n dosadili 36045 , lebo od dátumu, kedy vývozca eskontoval zmenku
vo svojej francúzskej banke (1.3.2008), do dátumu splatnosti zmenky (15.4.2008)
uplynulo 45 dní.
Francúzska banka od slovenskej obdržala sumu:
27285536036078,01275000'0 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅=K
Do vzorca sme za n dosadili 36036 , lebo od dátumu, kedy francúzska banka eskontovala
zmenku v slovenskej banke (10.3.2008), do dátumu splatnosti zmenky (15.4.2008)
uplynulo 36 dní.
Francúzska banka zaplatila vývozcovi za zmenku 271906 € a slovenská banka
vyplatila francúzskej banke za zmenku čiastku 272855 €.
24
3.6 Vzťah medzi úrokovou a diskontnou sadzbou
Zaoberajme sa teraz vzťahom medzi diskontnou a úrokovou sadzbou. Vzťah medzi
diskontnou a úrokovou sadzbou dostaneme z nasledujúcej úvahy. Súčasnú hodnotu pri
použití diskontného princípu vyjadríme ako
( )dnKK n −⋅= 10
a pri použití jednoduchého úrokovania
inK
K n
+=
10
Ak sa súčasné hodnoty rovnajú, tak
( )in
KdnK n
n +=−⋅
11
a odtiaľ
dn
di−
=1
( 3.15 )
alebo analogicky
in
id+
=1
( 3.16 )
Príklad 3.16 Akou ročnou úrokovou mierou sa zhodnotí 9-mesačný depozitný certifikát
v nominálnej hodnote 10 000 € s diskontnou sadzbou 6,5 % p. a.. ?
Riešenie: Dosadením ,065,0=d 75,0129==n do vzťahu (3.15 ) dostaneme
0683,075,0065,01
065,01
=⋅−
=−
=dn
di
Depozitný certifikát sa zhodnotí 6,83 % p. a..
Poznámka: Všeobecne platí, že i > d.
Pri odkupovaní zmeniek si finančné inštitúcie okrem diskontu strhnú aj manipulačný
poplatok, zrážky za prevod zmenky a iné. Suma týchto zrážok sa nazýva ážio.
25
ÚLOHY NA RIEŠENIE:
1. Na akú sumu vzrastie počiatočný kapitál 8 500 € pri úrokovej sadzbe 6,5% p.a. od
12.7. do 15.12.?
[8 736 € ]
2. Aký veľký úver môže poskytnúť banka klientovi, ak doba splatnosti je 6 mesiacov a
po tejto dobe bude mať klient na splácanie úveru a úroku k dispozícií 10000 € .
Ročná úroková sadzba je 8,5 % p.a..
[959 2,33 € ]
3. Banka poskytuje na vkladoch 11%-ný ročný úrok. Akú sumu musíte dnes uložiť, aby
ste o 10 mesiacov mohli zaplatiť dovolenku v hodnote 70 000 € ?
[64 122 € ]
4. Za ako dlho prinesie vklad 15 000 € pri 8%-nej ročnej úrokovej sadzbe úrok 300 € ?
[3 mesiace]
5. Klient si 14.1. 2007 na účet v banke vložil 4500 €. Peniaze plánuje vybrať
18.11.2007. Koľko si bude môcť v tento deň vybrať, ak banka ponúka úrokovú
sadzbu 10% p.a. a neuvažujeme zdanenie?
[487 9,73 € ]
6. Zistite, ktorá z nasledujúcich možností je pre investora výhodnejšia, ak má záujem o
kúpu bytu. Uskutočniť kúpu teraz a za byt zaplatiť 120000 €, alebo počkať pol roka
a za byt zaplatiť 125000 €. Investor má možnosť hotovosť 120000 € uložiť na
polročný terminovaný účet s úrokovou sadzbou 9% p.a..
[Kn=122 700 €, teda 1. možnosť je výhodnejšia]
7. Dlžník Vám ponúka 2 možnosti splatenia svojho dlhu:
1. zaplatiť o 5 mesiacov 10 000 €
2. zaplatiť o 11 mesiacov 11 000 €
Ktorá z možností je pre Vás výhodnejšia pri úrokovej sadzbe 13% p.a.?
[2. možnosť je pre nás výhodnejšia]
26
8. Klient si vypožičal 1.7.2008 sumu 130 000 €, ktorú chce splatiť dvomi rovnakými
splátkami. Prvá bude 15.10.2008 a druhá 30.5.2009. Úroková sadzba pôžičky je 10%
p.a. Aká bude veľkosť splátok?
[68 807 €]
9. Klient si vypožičal sumu 250 000 € pri 6,8%-nej ročnej úrokovej sadzbe. O mesiac
splatil časť dlhu vo výške 50 000 €, o ďalšie 2 mesiace zaplatil 70 000 €. Zvyšok
dlhu chce splatiť jednou splátkou o 10 mesiacov od dátumu pôžičky. Aká bude výška
poslednej splátky?
[138 840 €]
10. Pôžičku máme splatiť dvomi splátkami. Prvá splátka je naplánovaná o 3 mesiace
vo výške 20 000 €, druhá o 9 mesiacov vo výške 35 000 €. Rozhodneme sa
pôžičku splatiť jednou splátkou o 7 mesiacov. Aká bude jej výška, ak ročná
úroková sadzba je 7%?
[55 063 €]
11. Zistite, ktorý z nasledujúcich úverov je výhodnejší pre dlžníka.
• Úver založený na eskonte zmenky splatnej o 3 mesiace s nominálnou hodnotou
500 000 € pri diskontnej sadzbe 8% p.a.
• Úver založený na jednoduchom úrokovaní s ročnou úrokovou sadzbou 8% p.a.,
pričom o 3 mesiace musí byť splatená suma 500 000 €.
[2. možnosť je pre dlžníka výhodnejšia]
12. Banka prijala k eskontu zmenku na sumu 3 500 000 € splatnú o 7 mesiacov.
Ročná diskontná sadzba je 8,5%. Koľko vyplatí banka pri eskonte zmenky jej
majiteľovi, ak si okrem diskontu účtuje aj províziu 0,05% z nominálnej hodnoty
tejto zmenky?
[3 324 708 €]
13. Spoločnosť A vydala zmenku na sumu 10 000 000 Kč splatnú 5.2.2008.
Spoločnosť B ju odkúpila 16.5.2007 pri diskontnej sadzbe 10% p.a.. Dňa
27.6.2007 však zmenku odpredala pri diskontnej sadzbe 9,8% p.a.. Akú ročnú
27
mieru zisku realizovala spoločnosť B pri tejto transakcii?
[11,9%]
14. Banka diskontuje zmenku nominálnej hodnoty 25 000 € splatnú o rok pri
diskontnej sadzbe 9,8% p.a. Aká úroková miera zodpovedá tejto transakcii?
[0,1086]
15. Banka odkúpila v ten istý deň dve zmenky pri rovnakej ročnej diskontnej sadzbe.
Za obe zaplatila rovnakú sumu. Prvá zmenka mala nominálnu hodnotu 10 000 € a
bola splatná o 2 mesiace, druhá mala nominálnu hodnotu 10 100 € a bola splatná o
3 mesiace. Vypočítajte výšku diskontnej sadzby.
[11,7%]
28
4 ZLOŽENÉ ÚROKOVANIE
Pri zloženom úrokovaní sa úroky pripočítavajú k pôvodnému kapitálu a spolu s ním
sa ďalej úročia. Zložené úrokovanie sa používa väčšinou vtedy, ak úrokové obdobie je
dlhšie ako úroková perióda. V obchodnej praxi je to najmä v prípade dlhodobých
investícií, v prípade dlhodobých cenných papierov a pod..
4.1 Budúca hodnota kapitálu pri zloženom úrokovaní
Nech je 0K - počiatočná hodnota kapitálu,
i - úroková miera pre danú úrokovú periódu,
n - dĺžka úrokového obdobia vyjadrená v jednotkách úrokovej
periódy,
nK - hodnota kapitálu po n úrokových periódach.
Zistíme, aký bude stav kapitálu po n úrokových periódach pri použití zloženého
úrokovania.
Nech kapitál na začiatku prvej periódy je 0K .
Kapitál na konci prvej periódy bude ( )iKiKKuKK +⋅=⋅+=+= 100001
Kapitál na konci druhej periódy bude ( ) ( ) 201112 11 iKiKiKKK +⋅=+⋅=⋅+=
Kapitál na konci tretej periódy bude ( ) ( ) 302223 11 iKiKiKKK +⋅=+⋅=⋅+=
.
.
.
.
Kapitál na konci n -tej periódy bude ( ) nn iKK +⋅= 10
Veličinu nK nazývame budúcou hodnotou kapitálu, veličinu 0K nazývame
prítomnou (súčasnou, počiatočnou) hodnotou kapitálu. Na ich výpočet budeme
používať vzťahy
( ) n
n iKK +⋅= 10 (4.1)
29
( ) ( ) nnn
n iKi
KK −+⋅=+
= 110 (4.2)
Súčasná hodnota nám hovorí, aký veľký kapitál musíme dnes uložiť, aby sme po
čase n , pri úrokovej miere i a za predpokladu kapitalizácie úrokov, dosiahli kapitál
nK . Veľký význam súčasnej hodnoty tkvie v tom, že nám umožňuje porovnávať
kapitál v čase. Súčasná hodnota nám umožňuje rozhodnúť, akým spôsobom máme
naložiť s hotovosťou. Postupujeme tak, že porovnáme súčasnú hodnotu budúcich
príjmov z investície s jej cenou, pričom uvažujeme úrokovú sadzbu, pri ktorej by sme
mohli danú hotovosť uložiť. Ak bude súčasná hodnota budúcich príjmov z investície
vyššia než jej cena, investícia je výhodná. Naopak, ak bude súčasná hodnota budúcich
príjmov nižšia ako cena investície, je lepšie neinvestovať.
Zo základného vzťahu (4.1) možno získať vzťah pre výpočet úrokovej miery, resp.
výnosnosti a vzťah na výpočet dĺžky uloženia kapitálu
10
−= nn
KK
i (4.3)
( )iKKn n
+−
=1ln
lnln 0 (4.4)
V praxi sa používajú aproximácie pre približné určenie počtu rokov n potrebných
k zdvojnásobeniu resp. strojnásobeniu základu pri ročnej úrokovej sadzbe p %:
• pravidlo 72- počet rokov pre zdvojnásobenie základu
p
n 72≈
• pravidlo 69- počet rokov pre zdvojnásobenie základu
35,069+≈
pn
• pravidlo 110- počet rokov pre strojnásobenie základu
52,0110+≈
pn
30
Príklad 4.1. Klient si v banke uložil sumu 8 000 € pri ročnej úrokovej sadzbe 8%. Aká
bude výška tohto kapitálu po 6 rokoch?
Riešenie: Úlohu budeme riešiť pomocou vzťahu (4.1) pre 80000 =K , 08,0=i a 6=n .
Potom
( ) 1269508,018000 6 =+⋅=nK
Kapitál po 6 rokoch vzrastie na 12 695 €.
Príklad 4.2 Za akú dobu vzrastie vklad 2 000 € pri úrokovej sadzbe 12% p.a. na
2 500 €?
Riešenie: Dosadením 20000 =K , 2500=nK , 12,0=i do (4.4) máme
( ) ( ) 96,112,01ln
2000ln2500ln1ln
lnln 0 =+−
=+−
=i
KKn n
Vklad sa zvýši na 2 500 € približne za 2 roky.
Príklad 4.3 Zahraničná firma kúpila nehnuteľnosť za 800 000 €. Pritom 400 000 €
zaplatila okamžite a ďalej vystavila zmenku na 300 000 € splatnú o rok. Aká zmenka
splatná o 2 roky splatí zvyšok dlhu, ak si veriteľ účtuje úrokovú sadzbu 18 % p.a. ?
Riešenie: Firma má doplatiť 400 000 €. Pri zostavovaní rovnice ekvivalencie vezmeme
za porovnávací dátum deň kúpy nehnuteľnosti.
( )
60029218,130000018,1400000
18,0118,01300000400000
2
2
=⋅−⋅=
++
+=
KK
K
Druhá zmenka musí byť v nominálnej hodnote 2 029 60 €.
4.2 Nárast kapitálu pri jednoduchom a zloženom úrokovaní
Porovnajme teraz nárast kapitálu pri jednoduchom a zloženom úrokovaní. Pri
jednoduchom úrokovaní je daný vzťahom ( )inKKn +⋅= 10 , teda je lineárnou funkciou
času. Pri zloženom úrokovaní je nárast kapitálu daný vzťahom ( ) nn iKK +⋅= 10 , teda
31
je exponenciálnou funkciou n . Pre 1=n je v oboch prípadoch výsledný kapitál
( )iKKn +⋅= 10 .
Vyjadrime ( ) ni+1 pomocou binomického rozvoja:
( ) ( ) ( ) ( )⋅⋅⋅+
−⋅−⋅+
−⋅++=+ 32
!321
!21
!111 innninnini n
Pre 0 < i < 1 môžeme zanedbať vyššie členy. Potom
( ) ( ) 2
!2111 innnii n −⋅
++≈+
Pre 0 < n < 1 je ( ) ni+1 < in+1 a teda ( ) niK +⋅ 10 < ( )inK +⋅ 10
Pre 1=n je ( ) ini n +=+ 11 a ( ) ( )inKiK n +⋅=+⋅ 11 00
Pre n >1 je ( ) ni+1 > in+1 a ( ) niK +⋅ 10 > ( )inK +⋅ 10
Situáciu znázorníme na nasledujúcom obrázku.
Obr.3 Nárast kapitálu pri jednoduchom a zloženom úrokovaní
Z uvedeného vyplýva, že ak doba uloženia kapitálu je kratšia ako jedna úroková
perióda, je pre sporiteľa výhodnejšie použiť jednoduché úrokovanie, zatiaľ čo pri dlhšej
dobe uloženia kapitálu je výhodnejšie použiť zložené úrokovanie.
32
4.3 Frekvencia úrokovania (úrokovanie s m konverziami)
V praxi sa často stretávame s prípadmi, že pripisovanie úrokov prebieha častejšie než
jedenkrát za rok. To znamená, že úroková perióda je napr. mesačná, štvrťročná,
polročná. Predpokladajme, že k pripisovaniu úrokov dochádza m-krát ročne. Dobu
medzi dvoma nasledujúcimi pripisovaniami úrokov nazývame konverziou. Teda počet
konverzií je m. Postup výpočtu kapitálu v rámci jedného roka po uplynutí 1, 2, …, m
častí roka je nasledovný:
m
mmmmmmmm
mmmm
m
miK
miK
miKKK
miK
miK
miKKK
miK
miKKK
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⋅+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⋅+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⋅+=
−−− 11
11
1
0111
2
01112
0001
kde 0K je počiatočný kapitál, i je nominálna ročná úroková miera, mi je úroková
miera za jednu m-tinu roka. Z uvedeného vyplýva, že stav kapitálu po n rokoch, ak
pripisujeme úrok m-krát ročne, je
mn
n miKK ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 10 (4.5)
Pri pripisovaní úroku m-krát do roka pre výpočet doby splatnosti platí
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=
mim
KKn n
1ln
lnln 0 (4.6 )
Príklad 4.4 Nájdite budúcu hodnotu vkladu 2 000 € uloženého v banke na 6 rokov pri
úrokovej sadzbe 8% p.a , ak banka pripisuje úroky na účte mesačne.
Riešenie: Dosadením 20000 =K , 6=n , 12=m , 08,0=i do vzťahu ( 4.5) máme
32271208,012000
612
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
⋅
nK
Hodnota vkladu po 6 rokoch bude 3 277 €.
33
4.4 Efektívna úroková miera
Nech i je nominálna úroková miera pri m ročných konverziách. Potom ročná
úroková miera ei , ktorá za jeden rok poskytuje ten istý výnos sa nazýva efektívna
úroková miera. Z tejto definície pre ei platí
( )m
e mii ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+ 11 1
11 −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
m
e mii (4.7)
Ročná efektívna úroková miera nám hovorí, aká veľká ročná úroková miera pri
ročnom pripisovaní úrokov zodpovedá ročnej úrokovej miere pri častejšom pripisovaní
úrokov. Preto sa používa na porovnanie rôznych nominálnych úrokových mier, ktoré sa
líšia frekvenciou pripisovania úrokov.
Vzhľadom na (4.7) vždy platí iie ≥ . Efektívna úroková miera so zvyšujúcou sa
frekvenciou pripisovania úrokov rastie. Z uvedeného vyplýva, že čím častejšie sa počas
roka úroky pripisujú, tým je to pre vkladateľa výhodnejšie.
Príklad 4.5 Vypočítajte efektívne úrokové miery, ktoré zodpovedajú úrokovej sadzbe
9% p.a., ak úroky sú pripisované
a) polročne
b) štvrťročne
c) mesačne
Riešenie: Pre 09,0=i dosadíme do vzťahu ( 4.7) postupne 2=m , 4=m a 12=m ,
Potom
a) 092,01209,01
2
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=ei ... 9,2%
b) 093,01409,01
4
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=ei ... 9,3%
34
c) 0938,011209,01
12
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=ei ... 9,38%
Vidíme, že efektívna úroková miera so zvyšujúcou sa frekvenciou pripisovania úrokov
skutočne rastie.
4.5 Diskontovanie pri zloženom úrokovaní
Matematický diskont je rozdiel medzi budúcou a prítomnou hodnotou kapitálu, čo
pri zloženom úrokovaní predstavuje
( ) ( ) ( )nnnnn
nnnm K
iK
iK
KKKD υ−⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=+
−=−= 11
1110
pričom veličina i+
=1
1υ je diskontný faktor.
Bankový (obchodný) diskont je úrok zo splatnej čiastky nK pri danej diskontnej
sadzbe d. Pre
( )nn dKK −= 10 (4.8 )
dostaneme
( ) ( )( )nn
nnnnb dKdKKKKD −−⋅=−⋅−=−= 1110
Zaoberajme sa teraz vzťahom medzi diskontnou mierou d a úrokovou mierou i. Pre
prítomné hodnoty 0K platí
( ) ( ) nnn
n dKKai
KK −⋅=
+= 1
1 00
Úroková miera i a diskontná miera d budú ekvivalentné, ak sa rovnajú prítomné
hodnoty pri tej istej splatnej čiastke nK a rovnakom období n. Platí teda
( ) ( ) nnn
n dKi
K−⋅=
+1
1
Potom
d
di−
=1
(4.9)
35
υ⋅=+
= ii
id1
( 4.10 )
Príklad 4.6 Finančná spoločnosť poskytuje úvery s 8%-nou ročnou diskontnou
sadzbou. Klient si zobral úver vo výške 30 000 € splatný o 2 roky. Akú sumu dostal od
finančnej spoločnosti?
Riešenie: Úlohu riešime dosadením 08,0=d , 30000=nK , 2=n do vzťahu
( )nn dKK −= 10 . Potom
( ) 2539208,0130000 20 =−⋅=K
Klient od finančnej spoločnosti dostal sumu 25 392 €.
Príklad 4.7 Finančná spoločnosť zakúpila zmenku v nominálnej hodnote 250 000 €
splatnú o 3 roky. Po roku zmenku eskontuje v banke, ktorá si účtuje eskontnú províziu
0,05 % z nominálnej hodnoty a diskontnú sadzbu 6,5% p.a.. Vypočítajte, koľko zaplatí
banka finančnej spoločnosti za zmenku.
Riešenie: Úlohu riešime dosadením 250000=nK , 2=n a 065,0=d do vzťahu
( )nn dKK −= 10 . Potom
( ) 218556065,01250000 20 =−⋅=K
Vypočítame províziu P, ktorú si účtuje banka za eskont zmenky:
1252500000005,0 =⋅=P
Sumu S, ktorú vyplatí banka za zmenku vypočítame ako rozdiel K0 a P:
218431125218556 =−=S
Banka finančnej spoločnosti za zmenku zaplatí 218 431 €.
ÚLOHY NA RIEŠENIE:
1. Klient si otvoril v banke účet a vložil naň 16 000 €. Po dvoch rokoch z účtu vybral
3 500 €. Akú sumu bude mať na účte po ďalších 5 rokoch, ak banka poskytuje
úrokovú sadzbu 9% p.a.?
[23 864 €]
36
2. Zistite budúcu hodnotu vkladu 12 000 € uloženého v banke pri 9,5%-nej ročnej
úrokovej sadzbe na dobu 10 rokov, ak úroky sú pripisované:
a) polročne
b) štvrťročne
c) mesačne.
[30 357 €, 30 686 €, 30 913 €]
3. Zistite výšku úrokovej sadzby a výšku počiatočného kapitálu, ak po 2 rokoch sa
zúročili na 1 000 € a po ďalších 2 rokoch na 1 080 € pri zloženom úrokovaní
a ročnom pripisovaní úrokov.
[3,92%, 926 €]
4. Pri akej ročnej úrokovej sadzbe sa zdvojnásobí uložený kapitál pri zloženom
úrokovaní a ročnom pripisovaní úrokov za 5 rokov?
[14,87%]
5. Klient dlhuje finančnej inštitúcii 80000 € splatných za rok a 100000 € splatných za 2
roky. Disponuje dostatočným finančným obnosom a preto chce vyrovnať dlh
okamžite. Koľko zaplatí ak úroková miera pôžičky bola 9 % p.a. s ročným úročením
a úver môže byť splatený predčasne bez sankcii.
[157 562 €]
6. Otec odkázal svojim trom synom 800000€, pričom každý má pri dovŕšení 18 rokov
dostať rovnaký podiel. Peniaze sú uložené na účte úročenom 4,5 % p.a. s ročným
pripisovaním úrokov. Koľko dostane každý syn, ak teraz majú 10, 12 a 16 rokov?
[335174,7 €]
7. Klient si chce uložiť v banke istú sumu peňazí na 2 roky. Ktorá možnosť je pre neho
výhodnejšia?
a) systém opakovaných polročných termínovaných vkladov pri úrokovej sadzbe
9,2% p.a.
b) systém opakovaných trojmesačných termínovaných vkladov pri úrokovej sadzbe
9,1% p.a.
[ možnosť b) je výhodnejšia]
37
5 ZMIEŠANÉ ÚROKOVANIE
Predpokladajme, že doba splatnosti vyjadrená v rokoch nie je celé číslo. Pri analýze
vývoja splatnej čiastky v závislosti od času sme zistili, že pre veriteľa je výhodnejšie
použiť jednoduché úrokovanie, ak je doba splatnosti kratšia ako jeden rok. Pri dlhšom
období je výhodnejšie použiť zložené úrokovanie. Tento fakt akceptuje zmiešané
úrokovanie. Zmiešané úrokovanie je kombináciou jednoduchého a zloženého
úrokovania.
Predpokladajme, že úroky sa pripisujú na konci roka. Nech dobu splatnosti n
možno napísať tnn += 0 , kde 0n je prirodzené číslo udávajúce počet rokov a t je
číslo menšie ako 1, označujúce necelú časť roka.
Konečnú výšku kapitálu za dobu n určíme tak, že najskôr vypočítame zloženým
úrokovaním výšku kapitálu po 0n rokoch a tú potom za t–tu časť roka úrokujeme
jednoduchým úrokovaním. Dostaneme
( ) ( )tiiKK nn +⋅+⋅= 11 0
0 (5.1)
V prípade, že by sme na výpočet konečnej výšky kapitálu použili vzťah
( ) nn iKK +⋅= 10 s tým, že za n dosadíme racionálne číslo, dostali by sme konečnú
výšku kapitálu nižšiu.
Banky pripisujú úroky z vkladov väčšinou k tomu istému dátumu. Vtedy uvažujeme
presahovanie celočíselného násobku úrokovej periódy na začiatku aj na konci doby
splatnosti. Nech 201 tntn ++= . Potom
( ) ( ) ( )itiitKK nn 210 111 0 +⋅+⋅+⋅= (5.2)
kde 1t < 1 je necelá časť úrokovej periódy na začiatku doby splatnosti a 2t < 1 je necelá
časť úrokovej periódy na konci doby splatnosti.
Doteraz sme uvažovali, že úroky sa pripisujú jedenkrát na konci úrokového obdobia.
Predpokladajme teraz, že úroky sa pripisujú m–krát do roka a doba splatnosti n nie je
celé číslo. Nech tnn m += , kde mn je počet ukončených m–tin roku, počas ktorých
je kapitál uložený a t je číslo menšie než m–tina roka. Konečnú výšku kapitálu za dobu
38
n určíme tak, že najprv vypočítame zloženým úrokovaním výšku kapitálu po mn
úrokových obdobiach a tú potom jednoduchým úrokovaním úrokujeme za dobu t.
Dostaneme
( )itmiKK
mn
n +⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 110 (5.3)
Zo vzťahov (5.1) a (5.2) možno vyjadriť ostatné veličiny.
Príklad 5.1. Klient si 27.11.2004 uložil v banke 2500 €. Na akú sumu vzrástol tento
vklad do 12.2.2007 pri úrokovej sadzbe 4% p.a., ak neuvažujeme zdanenie?
Riešenie. Dosaďme 25000 =K , 095,0=i . Situáciu znázornime graficky
Potom 360422
36034
201 ++=++= tntn a využijeme vzťah
( ) ( ) ( )itiitKK nn ⋅+⋅+⋅⋅+⋅= 210 111 0 .
( ) 88,27263604204,0104,01
3603404,012500 2 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅=nK
Vklad počas uloženej doby vzrástol na 2726,88 €.
Príklad 5.2. Klient si uložil v banke sumu 4900 € na 5 rokov a 4 mesiace. Na akú sumu
vzrastie tento vklad pri úrokovej sadzbe 10% p.a., ak úroky sú pripisované štvrťročne?
Riešenie: Zo zadania máme 49000 =K , 21145 =+⋅=mn , 121
=t , 1,0=i , 4=m
Úlohu riešime dosadením do vzťahu ( 5.3 ). Potom
5,82981211,01
41,014900
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=nK
Vklad počas uloženej doby vzrastie na sumu 8298,5 €.
Príklad 5.3. Za akú dlhú dobu (presne na dni) vzrastie suma 80 000 € na 105 000 € pri
úrokovej sadzbe 6% p.a. s polročným pripisovaním úrokov?
39
Riešenie: Zo zadania máme 800000 =K , 06,0=i , 2=m
Príklad budeme riešiť v dvoch krokoch:
1. Použijeme zložené úrokovanie (n – počet polrokov). n
n miKK ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅= 10
199,9
206,01ln
80000ln105000ln
1ln
lnln 0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=
n
mi
KKn n
2. Použijeme zmiešané úrokovanie. Za 0n zoberieme celočíselný počet úrokovacích
období, teda 90 =n . Za t dosadíme360
x , kde x je zostávajúci počet dní, počas
ktorých sa používa jednoduché úrokovanie.
5,35360
06,01206,0180000105000
36011
9
0
0
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
x
x
ximiKK
n
n
Vklad 80 000 € sa zúročí na 105 000 € za 4,5 roka a 36 dní.
ÚLOHY NA RIEŠENIE:
1. Koľko bude mať klient na dôchodkovom účte po 2 rokoch a 4 mesiacoch, ak naň
dnes uložil sumu 2500 € pri ročnej úrokovej sadzbe 4,5%?
[2771 €]
2. Zistite výšku kapitálu 1850 € uloženého v banke na 1 rok, 11 mesiacov a 11 dní
s ročnou úrokovou sadzbou 8,25% a s mesačným úročením.
[2171,14 €]
40
3. Počas akej doby (vypočítanej presne na dni) vzrastie vklad 1 000 € na 1 200 € ak je
uložený pri úrokovej miere 4 % p.a. s polročným pripisovaním úrokov
[ 4roky 6 mesiacov 37dní]
4. Koľko je potrebné dnes uložiť do banky, ak si o 14 mesiacov chceme kúpiť motorku
za 4000 €? Ročná úroková sadzba je 7,9% a banka uplatňuje štvrťročné úročenie.
[3650,8 €]
41
6 SPOJITÉ ÚROKOVANIE
Vo všetkých doterajších úvahách sme predpokladali, že úroky sa počítajú
v diskrétnych časových okamihoch. Ukázali sme, že efektívna úroková miera rastie
s frekvenciou pripisovania úrokov. Proces úrokovania, v ktorom počet konverzií m v
roku rastie do nekonečna, t. j. proces úrokovania, pri ktorom sa úrokovanie uskutočňuje
v časových intervaloch blížiacich sa k nule, sa nazýva spojité úrokovanie.
Odvoďme vzťah pre výpočet budúcej hodnoty kapitálu po čase n. Označme
( )mii = nominálnu úrokovú mieru i v závislosti od m.
Veličinu ( )mim ∞→
= limδ nazývame úrokovou intenzitou, resp. úrokovou sadzbou
spojitého úrokovania.
Vzhľadom na definíciu spojitého úrokovania určíme budúcu hodnotu nK
zodpovedajúcu prítomnej hodnote 0K vzťahom
mn
mn mKK ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
∞→
δ1lim 0
mn
mn mKK ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
∞→
δ1lim0
a teda
nn eKK δ⋅= 0 (6.1)
Veličinu δe nazývame úrokovým faktorom spojitého úrokovania.
Zo vzťahu (6.1) možno vyjadriť vzťah pre výpočet počiatočnej hodnoty kapitálu 0K ,
dobu uloženia kapitálu (dobu splatnosti) n a intenzitu úrokovaniaδ
n
n eKK δ−⋅=0 (6.2)
nKK n 0lnln −
=δ (6.3)
δ
0lnln KKn n −= (6.4)
42
Poznámka: Z praktického hľadiska je medzi denným pripisovaním úrokov a spojitým
úrokovaním zanedbateľný rozdiel. Treba však podotknúť, že použitie vzorcov spojitého
úrokovania je pri mnohých výpočtoch jednoduchšie ako použitie analogických vzorcov
zloženého úrokovania.
Pre zodpovedajúce veličiny zloženého a spojitého úrokovania platia vzťahy
1−= dei
(6.5)
( )i+= 1lnδ
(6.6)
δυ −=+
= ei1
1
Príklad 6.1. Nájdite budúcu hodnotu kapitálu 1150 € uloženého v banke na 2 roky a 5
mesiacov pričom úroková sadzba spojitého úrokovanie je 7%.
Riešenie: Zo zadania máme 11500 =K , 416,21252 =+=n , 07,0=δ
Dosadením do vzťahu (6.1) máme
9,13611150 416,207,0 =⋅= ⋅eKn
Budúca hodnota kapitálu je 1361,9 €.
Príklad 6.2. Cena nehnuteľnosti vzrástla zo sumy 4 500 000 € na 6 000 000 €, pričom
ceny nehnuteľností podľa realitných maklérov rástli 6% ročne. Za akú dlhú dobu nastal
tento nárast ceny?
Riešenie: Využijeme spojité úrokovanie, pričom 45000000 =K , 6000000=nK ,
06,0=δ . Potom
δ0lnln KKn n −= .
8,406,0
4500000ln6000000ln=
−=n
Vzrast nastal počas 4,8 roku.
43
ÚLOHY NA RIEŠENIE:
1. Kapitál vzrástol za 6 rokov pri spojitom úrokovaní s úrokovou sadzbou 6% na
10000 €. Akú výšku mal kapitál v čase uloženia do banky?
[6976,8 €]
2. Aká ročná úroková miera pri spojitom úrokovaní zodpovedá ročnej úrokovej miere
4,4% p.a. pri zloženom úrokovaní?
[4,305 % ]
3. Akú dlhú dobu je potrebné nechať sumu 300 000 € v banke pri spojitom úrokovaní
s úrokovou sadzbou 6,5%, ak si chceme kúpiť rodinný dom za 490 000 €.
[7,5 roka]
44
7 ANALÝZA INVESTÍCIÍ
V ďalšom sa budeme zaoberať základmi investičnej analýzy. Investícia je väčšinou
tvorená systémom peňažných tokov rozložených v čase. Peňažné toky predstavujú
postupnosť príjmov a výdajov. Príjmy vstupujú do vzorcov s kladným znamienkom,
výdaje so záporným znamienkom. Aby sme mohli sústavy peňažných tokov
porovnávať, musíme ich hodnoty prepočítať k jednému časovému okamihu,
k porovnávaciemu dátumu.
Vyhodnotenie investičných projektov možno robiť na základe:
• čistej súčasnej hodnoty,
• vnútorného výnosového percenta,
• doby návratnosti.
Nikdy však nesmieme zanedbať riziko a stupeň likvidity investície.
Čistá súčasná hodnota NPV (Net Present Value) je súčet diskontovaných príjmov
a výdavkov (s prihliadnutím na ich znamienko) k porovnávaciemu dátumu. Za tento
referenčný dátum sa berie súčasná časová pozícia.
Nech jC sú peňažné toky realizované na konci j-teho roku pre j= 0, 1, …, n. Nech i
je požadovaná ročná výnosnosť investície, rovnaká počas celej doby investície, vo
všetkých prípadoch - ak si investor peniaze vypožičiava, ak ich investuje alebo ich sám
požičiava. Potom čistú súčasnú hodnotu vypočítame zo vzťahu
( ) ( ) ( ) nn
iC
iC
iC
CiNPV+
+⋅⋅⋅++
++
+=111 2
210 (7.1)
Podotýkame, že jC môžu byť aj záporné. Veľmi často je záporné 0C , nakoľko
väčšina investícií začína výdajom, napr. nákupom nehnuteľností, cenných papierov,
strojných zariadení.
Pri posudzovaní projektu postupujeme nasledovne:
Ak NPV( i ) > 0, projekt je pre investora výhodný.
Ak NPV( i )< 0, projekt je pre investora nevýhodný.
Ak NPV( i ) = 0, projekt je krajne akceptovateľný.
Na výpočet čistej súčasnej hodnoty možno použiť počítačový software typu EXCEL.
45
Veľa investičných rozhodnutí je založených na výbere spomedzi niekoľkých
vzájomne sa vylučujúcich alternatív. Ak postupujeme metódou čistej súčasnej hodnoty,
uprednostníme alternatívu s najväčšou kladnou NVP.
Ak máme vybrať spomedzi viacerých investičných variantov najvýhodnejší, často
pritom využívame tzv. vnútorné výnosové percento. Postupujeme tak, že hľadáme pre
každý investičný variant takú úrokovú mieru, pri ktorej sa bude súčet súčasných hodnôt
všetkých tokov z investície rovnať nule, teda NPV = 0. Túto úrokovú mieru nazývame
vnútorné výnosové percento alebo vnútorná miera výnosnosti. Je to teda tá úroková
miera, ktorá vyhovuje rovnici.
( ) ( ) 0111 2
210 =
++⋅⋅⋅+
++
++ n
n
iC
iC
iC
C (7.2)
Ak pre každý investičný variant vypočítame príslušné vnútorné výnosové percento,
vyberieme tú alternatívu, ktorej prislúcha najväčšie vnútorné výnosové percento.
Poznámka. Rovnicu (7.2) možno len zriedkavo riešiť algebraicky. Ak jej ľavá strana je
monotónnou funkciou úrokovej miery i , riešenie je jednoduché. Rovnica (7.2) má
koreň práve vtedy, ak existujú také hodnoty 1i a 2i , že po dosadení za i do ľavej
strany rovnice dostaneme hodnoty s opačnými znamienkami. V takom prípade výnos
leží medzi 1i a 2i a určíme ho napríklad lineárnou interpoláciou alebo metódou
pokusov a omylov.
Doba návratnosti projektu je čas potrebný na opätovné získanie investovaných
prostriedkov z peňažných tokov projektu. Projekt je akceptovateľný, keď má dobu
návratnosti kratšiu ako je hraničná doba určená manažmentom. Pri porovnávaní
viacerých projektov preferujeme investíciu, ktorá má najkratšiu dobu návratnosti.
Príklad 7.1 Jednorazová investícia vo výške 1 000000 € prinesie finančnej spoločnosti
o rok výnos 410 000 €, o dva roky výnos 456 000 € a o tri roky výnos 492 000 €.
Zistite, či daná investícia bola pre finančnú spoločnosť výhodná, ak porovnateľný
46
kapitál bol na kapitálovom trhu v tej dobe zhodnocovaný 13 % p. a.. Ak áno, vpočítajte
výnos tohto projektu.
Riešenie: Pri vyhodnocovaní projektu použijeme vzťah (7.1), pričom
00000010 −=C , 13,0,000492,000456,000410 321 ==== iCCC . Potom
9276013,1
00049213,1
00045613,10004100000001 32
=
+++−=
NPV
NPV
NPV > 0
Čistá súčasná hodnota je kladná, teda investícia je výhodná.
Vnútornú mieru zisku vypočítame podľa vzťahu (7.2). Rovnicu
( ) ( )0
1492000
1456000
14100001000000 32 =
++
++
++−
iii
riešime rovnicu metódou pokus – omyl.
Pre 15,01 =i máme
( ) ( )
2482115,01
49200015,01
45600015,01
4100001000000 32 =+
++
++
+−
Pre 2,02 =i dostaneme
( ) ( )
569442,01
4920002,01
4560002,01
4100001000000 32 −=+
++
++
+−
Rovnica má koreň, lebo existujú hodnoty 1i a 2i také, že po dosadení do ľavej strany
rovnice dostaneme hodnoty s opačnými znamienkami. Vnútorné výnosové percento sa
nachádza medzi hodnotami 1i a 2i a zistíme ho metódou pokusu a omylu.
Pre 165,0=i máme
( ) ( )
926165,01
492000165,01
456000165,01
4100001000000 32 −=+
++
++
+−
Vnútorné výnosové percento bude rovné približne 16,45% p.a.
Príklad 7.2 Firma má dve možnosti ako investovať kapitál :
1. Jednorázová investícia 10000 € prinesie počas nasledujúcich 6 rokov postupne
výnos 2400 € o rok, 2500 € o dva roky, 2700 € na konci tretieho a štvrtého roku,
2600 € o pať rokov a 2200 € o šesť rokov.
2. Jednorázová investícia 10 000 € prinesie počas nasledujúcich 6 rokov výnos
2500 € ročne.
47
Zistite, ktorá investícia je pre spoločnosť výhodnejšia
Riešenie: Pre obe investície vypočítame vnútorné výnosové percento
V prvom prípade 100000 −=C , 24001 =C , 25002 =C , 27003 =C , 27004 =C ,
26005 =C , 22006 =C Vnútorné výnosové percento vypočítame podľa vzťahu (7.2).
Dostaneme rovnicu
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
12200
12600
12700
12700
12500
1240010000 65432 =
++
++
++
++
++
++−
iiiiii
Výpočtom metódou pokus omyl, alebo využitím EXCELu dostaneme i= 0,1328, teda
výnos v prvom prípade je 13,8%.
V prípade druhej investície 100000 −=C , 2500654321 ====== CCCCCC .
Vnútorné výnosové percento vypočítame podľa vzťahu ( 7.2). Dostaneme rovnicu
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
12500
12500
12500
12500
12500
1250010000 65432 =
++
++
++
++
++
++−
iiiiii
Výpočtom dostaneme i= 0,1298, teda výnos v druhom prípade je 12,98%.
Z výpočtu vyplýva, že prvá alternatíva je pre firmu výhodnejšia, nakoľko dáva vyšší
výnos.
ÚLOHY NA RIEŠENIE:
1. Investor očakáva, že daná investícia mu prinesie nasledujúce peňažné toky v €.
Obdobie 0 1 2 3 4 5
Peňažné toky - 5 000 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200
Určte vnútorné výnosové percento a čistú súčasnú hodnotu pri požadovanom výnose
15 % p,a..
[i=6,3%, NPV= -977]
2. Od investície do technologického zariadenia s dobou životnosti 10 rokov očakávate
stabilné výnosy 100 000 € ročne počas celej životnosti. Celkové prevádzkové
náklady predstavujú 60 000 € ročne. Akú sumu ste ochotný dnes zaplatiť, ak
požadujete výnos minimálne 20 % ročne a na konci životnosti musíte zaplatiť za
likvidáciu zariadenia 20 000 € .
[164 469]
48
8 VPLYV INFLÁCIE A DAŇOVÉHO ZAŤAŽENIA NA
ÚROKOVÚ MIERU
Úrokové sadzby, o ktorých sme doteraz hovorili, sú tzv. nominálne úrokové
sadzby, to znamená také, pri ktorých sme nezohľadňovali infláciu.
Inflácia je pokles hodnoty peňazí v dôsledku rastu cien. Zvyčajne sa meria
pomocou cenových indexov založených na maloobchodnej cene spotrebného koša
vybraných tovarov a služieb. Miera inflácie za nejaké obdobie je relatívna zmena
cenového indexu za toto obdobie.
Pri porovnávaní inflácie rôznych štátov sa miera inflácie odvodzuje od pomeru
nominálneho a reálneho hrubého domáceho produktu, nazývaného deflátor hrubého
domáceho produktu. Miera inflácie sa najčastejšie uvažuje za kalendárny rok.
Inflácia, ktorá znehodnocuje peniaze, samozrejme znehodnocuje aj úroky. Ak
zahrnieme do hodnoty úrokovej miery aj infláciu, hovoríme o reálnej úrokovej miere.
Nech rK je reálna výška kapitálu na konci úrokového obdobia, ri je reálna úroková
miera, ii je miera inflácie, 0K je kapitál na začiatku úrokového obdobia, i je
nominálna úroková miera.
Potom reálnu výšku kapitálu na konci úrokového obdobia vypočítame tak, že najprv
počiatočný kapitál úrokujeme nominálnou úrokovou mierou, a potom diskontujeme
mierou inflácie. Dostaneme
( )i
r iiKK
+⋅+⋅=1
110 (8.1)
Reálnu výšku kapitálu získame aj tak, že počiatočný kapitál úrokujeme reálnou
úrokovou mierou. Dostaneme
( )rr iKK +⋅= 10 (8.2)
Porovnaním (8.1) a (8.2) dostaneme
( ) ( )ri
iKi
iK +⋅=+
⋅+⋅ 11
11 00
Z toho dostaneme Fischerovu rovnicu
irir iiiii ⋅++=
49
Pre nízke hodnoty ri a ii zanedbávame ir ii . a reálnu úrokovú mieru možno
aproximovať
ir iii −≈ (8.3)
V predchádzajúcich výpočtoch sme neuvažovali o zdanení. Počítali sme výšku
úrokov (výnos) pred zdanením, teda hrubý výnos. Úrokové výnosy však podliehajú
zdaneniu. Ak od hrubého výnosu odpočítame daň, dostaneme čistý výnos. V SR je od
1. 1. 2004 19 %-ná daň z výnosov.
Podľa predchádzajúcich častí hrubý výnos pri jednoduchom úrokovaní vypočítame
niKu ..0=
Čistý výnos bude
niKdniKu sč ⋅⋅⋅−⋅⋅= 00
( ) ndiKu sč ⋅−⋅⋅= 10 (8.4)
kde sd je daňová sadzba vyjadrená ako desatinné číslo. Z toho čistá ročná výnosnosť
( )sč
č dinK
ui −== 1
.0
( )sč dii −= 1 (8.5)
Príklad 8.1. Vypočítajte čistú ročnú výnosnosť, ktorú dosiahne klient, ak si na začiatku
roku uložil v banke sumu 15 000 € na 6 mesiacov pri úrokovej sadzbe 11% p.a. Po
šiestich mesiacoch peniaze vybral a vložil ich na 6- mesačný termínovaný vklad pri
úrokovej sadzbe 12,5% p.a. Úroky z vkladov podliehajú 19%-nej dani.
Riešenie: Zo zadania máme 1500000 =K , 5,01 =n , 11,01 =i , 5,02 =n , 125,02 =i ,
19,0=sd , 121 =+= nnn .
Hodnotu kapitálu Kn po 1 roku vypočítame tak, že počiatočný kapitál najskôr zúročíme
o 6 mesiacov s úrokovou mierou 1i a túto sumu následne zúročíme o ďalších 6
mesiacov s úrokovou mierou 2i
( )[ ] ( )[ ] 5,164615,0125,019,0115,011,019,01115000 =⋅⋅−+⋅⋅⋅−+⋅=nčK
Vypočítame čistú ročnú výnosnosť:
50
nKKčK
nKu
i ncc ⋅
−=
⋅=
0
0
0
0974,0115000
150005,16461=
⋅−
=ci
Klient dosiahne čistú ročnú výnosnosť 9,74%.
Príklad 8.2. Akú sumu musíme dnes vložiť na účet do banky, ak o 5 rokov potrebujeme
vybrať 50000 €. Úroky sú pripisované štvrťročne pri ročnej úrokovej sadzbe 8%
a úroky podliehajú 19%-nej dani.
Riešenie: Úlohu riešime pomocou vzťahu pre výpočet budúcej hodnoty kapitálu pri
zloženom úrokovaní s m konverziami ročne:
( ) nms
n mdi
KK⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⋅=
110
Odtiaľ vyjadríme K0 a dosadením 50000=nK , 5=n , 4=m , 08,0=i , 19,0=sd máme
( ) ( )5,36256
419,0108,01
500001
1540 =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+
= ⋅⋅nms
n
mdi
KK
Na účet je potrebné vložiť 362 56,5 €. ÚLOHY NA RIEŠENIE:
1. Klient uložil 25.11 2005 do banky kapitál 9500 € pri úrokovej sadzbe 8% p.a.. 26.1.
2007 všetok kapitál z účtu vybral a následne ho vložil na iný účet s úrokovou
sadzbou 8,9% p.a. Akú čistú výnosnosť dosiahne klient do dnešného dňa, ak úroky
z vkladu podliehajú 19%-nej dani?
2. Na trojročný terminovaný vklad klient vložil sumu 25 000 €. Koľko bude môcť po 3
rokoch vybrať, ak úroky sú pripisované mesačne pri 5 %-nej ročnej úrokovej sadzbe
a úrok podlieha 19%-nej dani?
[28223,9 € ]
51
3. Vypočítajte pri akej úrokovej miere sa zdvojnásobí počiatočný kapitál za 10 rokov,
ak úroky z vkladu podliehajú 19 % dani a sú pripisované na konci každého roku k
vkladu a spolu s ním úročené rovnakou úrokovou sadzbou
[8,86 %]
4. Vypočítajte na koľko vzrástla suma 6500 € uložená na účte, úročenom počas celej
doby trvania vkladu 6%-nou ročnou úrokovou sadzbou, od 27.4.2000 do 31.12.2007,
ak úroky sú pripisované ročne vždy k 31.12. a daňová sadzba bola do 31.12.2003
15% a od 1.1.2004 je 19%.
[9439,635 €]
52
9 RENTOVÝ POČET
V ekonomickej praxi, vo finančníctve a v poistení sa veľmi často stretávame so
systémom pravidelne sa opakujúcich platieb.
Postupnosť pravidelne sa opakujúcich platieb, ktoré sú buď rovnaké alebo sa menia
podľa určitého pravidla, budeme nazývať renta alebo dôchodok. Jednotlivé platby
nazývame anuity alebo splátky. Typickým príkladom dôchodku, renty je pravidelné
sporenie, výplata starobného dôchodku, splácanie úveru, lízingové splátky, výplata
kupónových platieb a iné. Časové obdobie trvania renty nazývame dobou splatnosti
renty. Periódou renty budeme rozumieť dĺžku časového intervalu, na konci (začiatku)
ktorého sa uskutočňujú splátky.
Renty môžeme klasifikovať podľa rôznych kritérií. My si pomenujeme len tie,
ktoré budeme používať v ďalšom texte.
Podľa podmienok splácania delíme renty na nepodmienené (isté) a podmienené.
Príkladom nepodmienenej renty, teda renty, kde jednotlivé splátky renty nepodliehajú
splneniu žiadnej podmienky, môže byť napríklad splácanie úveru. S podmienenými
dôchodkami sa stretávame v poistení, kde výplata dôchodku je podmienená nastatím
poistnej udalosti, ktorá je náhodného charakteru.
Podľa počtu splátok rozoznávame renty konečné ( dočasné) a nekonečné ( večné).
Dočasná renta má konečnú dobu splatnosti a večná renta má časovo neobmedzenú dobu
splatnosti. Príkladom večnej renty je napr. výplata dividendy.
Podľa veľkosti jednotlivých splátok rozoznávame renty konštantné a premenlivé.
Jednotlivé splátky premenlivej renty sa môžu počas doby splatnosti meniť podľa
určitého pravidla. Pri konštantnej rente sa veľkosť splátok nemení.
Podľa dĺžky periódy medzi jednotlivými splátkami delíme renty na ročné, polročné,
mesačné, všeobecne p - termínové renty, kde číslo p udáva počet splátok za l rok.
Podľa termínu platieb v jednotlivých periódach, rozlišujeme predlehotnú rentu
(duálnu anuitu) a polehotnú rentu(ordinárnu anuitu). Splátky predlehotnej renty sa
uskutočňujú vždy na začiatku periódy. Splátky polehotnej renty sa uskutočňujú vždy na
konci periódy.
Podľa začiatku vyplácania delíme renty na bezprostredné a odložené. Ak sa
začína s výplatou renty „hneď“, t.j. keď sa prvá splátka realizuje na začiatku alebo na
konci prvej periódy renty, hovoríme o bezprostrednej rente. Ak sa prvá splátka
53
realizuje neskôr ako v prvej perióde, po určitom období t, hovoríme o odloženej rente.
Tento čas odkladu t nazývame čakacou dobou (doba sporenia, nedostatku).
Rentu nazývame prerušenou, ak medzi niektorými platbami renty je čakacia doba.
Nakoľko na každú rentu sa môžeme pozerať ako na systém peňažných tokov,
môžeme počítať jeho súčasnú ( prítomnú) hodnotu a jeho budúcu hodnotu.
Súčasná (začiatočná) hodnota renty predstavuje súčet všetkých splátok renty
prepočítaných k začiatku doby splatnosti renty.
Budúca (akumulovaná) hodnota renty predstavuje súčet všetkých splátok renty
prepočítaných ku koncu doby splatnosti renty.
V ďalšom texte sa budeme zaoberať len istými rentami s konštantnými anuitami.
Keďže pri rente ide o systém finančných tokov uskutočňovaných v určitom čase a za
konkrétnych úrokových podmienok, budeme sa odvolávať na pojmy a poznatky
uvedené v úrokovom počte. V celom rentovom počte budeme používať nasledovnú
symboliku:
n – počet splátok renty, počet časových periód,
R – splátka za 1 časovú periódu, člen renty,
i – úroková sadzba za 1 časovú periódu.
54
10 POLEHOTNÁ RENTA
Polehotná renta je renta, ktorej platby sa uskutočňujú na konci jednotlivých
intervalov počas určitej doby.
10.1 Dočasná polehotná renta
Uvažujme konštantnú, nepodmienenú, polehotnú rentu s n splátkami veľkosti R,
s úrokovou sadzbou i za 1 časovú periódu renty.
Najskôr pre jednoduchosť predpokladajme, že platobné obdobia sa zhodujú
s úrokovacími. n je doba splatnosti renty v rokoch, a teda aj počet splátok a úrokových
periód.
Odvodíme vzťah pre výpočet prítomnej a budúcej hodnoty takejto polehotnej renty.
Súčasná hodnota dočasnej polehotnej renty sa označuje symbolom nA . Súčasná
hodnota renty sa rovná súčtu súčasných hodnôt všetkých v budúcnosti realizovaných
platieb renty. Súčasná hodnota renty nám udáva, koľko si musíme dnes uložiť, aby sme
si zaistili pri danej úrokovej sadzbe vyplácanie príslušných splátok renty počas danej
doby. Z pohľadu dlžníka je nA výška pôžičky, ktorú treba splatiť n splátkami veľkosti R
peňažných jednotiek ročne polehotne. Uvažovanú rentu môžeme znázorniť
nasledujúcim časovým diagramom. Obr.4
nA
Obr.4 Súčasná hodnota polehotnej renty
Súčasnú hodnotu každej výplaty renty vypočítame tak, že ju odúročíme k východziemu
dátumu, teda k času 0, využitím vzťahu (4.2). Postup je v nasledujúcej tabuľke
55
Poradie výplaty Súčasná hodnota
1. ( ) 11 −+⋅ iR
2. ( ) 21 −+⋅ iR
: : :
: : :
n-1. ( ) )1(1 −−+⋅ niR
n. ( ) niR −+⋅ 1
Tab.1 Súčasná hodnota
Potom
( ) ( ) nn iR
iR
iRA
++⋅⋅⋅+
++
+=
111 2
Použitím vzorca na výpočet súčtu prvých n členov klesajúcej geometrickej
postupnosti , ktorej ( ) niRa −+= 1.1 a ( ) 11 −+= iq máme
( ) ( )( )
( )i
iRiiiRA
nn
n −−+
⋅=−+−+
⋅+⋅=−
−
−− 11
11111 1
1
Po jednoduchej úprave dostaneme vzťah pre výpočet prítomnej hodnoty polehotnej
renty
( )i
iRAn
n
−+−⋅=
11 ( 10.1 )
prípadne použitím odúročiteľa i+
=1
1υ
i
RAn
nυ−
⋅=1
V poistnej matematike sa v základných vzorcoch často používajú jednotkové
renty, t.j. renty so splátkami v hodnote jednej peňažnej jednotky. Súčasná hodnota
jednotkovej renty sa označujeme symbolom an⎤ a nazýva sa polehotný zásobiteľ.
Jeho hodnoty sú pre rôzne i a rôzne n uvedené vo finančných tabuľkách. Udáva
prítomnú hodnotu renty so splátkou R =1 pri úrokovej sadzbe i za l periódu renty. an⎤
určuje, aké množstvo peňazí by sme mali teraz deponovať na účte, aby táto suma spolu
56
s úrokmi priniesla za n periód ten istý výnos ako n periodických splátok veľkosti R = 1
pri rovnakej úrokovej sadzbe.
an⎤ ( )
iii nn υ−
=+−
=− 111 (10. 2 )
Budúcu hodnotu dočasnej polehotnej renty označme symbolom Sn.. Budúca
(akumulovaná) hodnota renty predstavuje súčet všetkých splátok renty, prepočítaných
ku koncu doby splatnosti renty. Budúca hodnota renty udáva, koľko by sme získali ku
koncu posledného roku, keby sme všetky výplaty renty okamžite po ich vyplatení pri
danej úrokovej sadzbe uložili. Budúca hodnota renty je rovnaká ako nasporená suma.
Môžeme ju znázorniť nasledujúcim časovým diagramom
Sn
Obr.5. Budúca hodnota polehotnej renty
Pri jej výpočte musíme vypočítať hodnotu všetkých splátok ku koncu n-tej periódy
a potom ich spočítať. Postup je uvedený v nasledujúcej tabuľke.
Poradie splátky Počet období kedy
je úročená
Hodnota splátky na
konci n-tého obdobia
1. n-1 ( ) 11 −+⋅ niR
2. n-2 ( ) 21 −+⋅ niR
: : :
: : :
: : :
n-1. 1 ( )iR +⋅ 1
n. 0 R
Tab. 2 Budúca hodnota
57
Prvá splátka sa zúročí o ( )1−n rokov, predposledná o jeden rok, posledná ostane
nezmenená . Teda
( ) ( ) ( ) RiRiRiRS nnn ++⋅+⋅⋅⋅++⋅++⋅= −− 111 21
Analogickými úvahami ako pri úprave vzťahu pre výpočet súčasnej hodnoty, použitím
vzorca pre výpočet súčtu geometrického radu, kde Ra =1 a iq += 1 , dostaneme pre
budúcu hodnotu vzťah
( )iiRS
n
n11 −+
⋅= (10.3)
Položením R = 1 a dosadením do vzťahu (10.3) získame hodnotu polehotného
sporiteľa, ktorého hodnoty sú uvedené vo finančných tabuľkách. Budúca hodnota
jednotkovej dočasnej polehotnej renty sa označuje symbolom sn⎤ a platí
sn⎤ ( )
ii n 11 −+
= (10.4)
Vzťah medzi prítomnou a budúcou hodnotou renty môžeme určiť na základe rovnice
ekvivalencie, ak za dátum porovnávania zoberieme začiatok, resp. koniec výplaty renty.
Potom
( ) nnn iSA −+= 1. , resp. (10.5)
( )nnn iAS += 1. (10.6)
Zo vzťahov (10.1) a (10.3) môžeme vyjadriť veličiny R a n.
Veľkosť splátky R renty, ktorá má prítomnú hodnotu nA , resp. budúcu hodnotu Sn pri n
periódach a pri úrokovej sadzbe i za periódu je
( ) nn i
iAR −+−=
11. , resp. (10.7)
( ) 11
.−+
= nn iiSR (10.8)
Dobu splatnosti renty, v našom prípade aj počet splátok renty a počet periód renty,
ktorej splátky sú veľkosti R, budúca hodnota je Sn pri úrokovej sadzbe i za jednu
periódu, dostaneme nasledujúcimi úpravami vzťahu (10.3 )
( )nn iR
iS+=+
⋅11
58
( )inR
iSn +⋅=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
1ln1ln
( )iR
iS
n
n
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅
=1ln
1ln (10.9)
Počet periód renty, ktorej periodická splátka je R, prítomná hodnota je nA , pri úrokovej
sadzbe i za 1 periódu, dostaneme nasledujúcimi úpravami vzťahu (10.1)
( ) nn iR
iA −+=⋅
− 11
( )inR
iAn +⋅−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅− 1ln1ln
( )iR
iA
n
n
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−
−=1ln
1ln (10.10)
Hodnotu n v predchádzajúcom vzťahu môžeme určiť len za predpokladu, že platí
0.
1 >−R
iAn
Teda ak iAR n .< . V opačnom prípade ide o tzv. večnú rentu, o ktorej budeme hovoriť
neskôr.
Hodnota n podľa vzorcov (10.9), resp. (10.10) je vo všeobecnosti desatinné číslo. V tom
prípade n zaokrúhlime na najbližšie menšie celé číslo a poslednú splátku dopočítame
s využitím rovnice ekvivalencie. Veličina n vo vzorcoch (10.9) a (10.10) udáva tiež
počet splátok renty.
Na výpočet hodnôt nA , Sn,, R a n podľa vyššie uvedených vzorcov môžeme využiť
tabuľkový procesor EXCEL.
Príklad 10.1 Dedič rozsiahleho majetku, ktorý zahŕňa aj les, sa rozhodol založiť účet,
z ktorého chce zabezpečiť financie na úpravu terénu a výsadbu nových drevín ročne vo
výške 15000 € počas 6 rokov. Prvá platba sa uskutoční o rok. Koľko musí dnes vložiť
na účet úročený úrokovou mierou 3% p.a.?
Riešenie: Máme vypočítať prítomnú hodnotu polehotnej renty, pričom 15000=R ,
n = 6, i = 0,03. Použitím vzťahu (10.1) dostaneme:
59
9,8125703,003,1115000
6
=−
⋅=−
nA
Dedič musí uložiť na účet 81257,9 €, aby pokryl financie na údržbu lesa počas
nasledujúcich 6 rokov..
Príklad 10.2 Rodičia sa rozhodli, že začnú svojmu 12 ročnému synovi ukladať ku
koncu každého roka na účet, ktorý poskytuje 5% ročnú úrokovú mieru, čiastku 700 €.
Akú sumu dostane chlapec k 18-tym narodeninám?
Riešenie: Ide o výpočet budúcej hodnoty polehotnej renty, pričom poznáme: R = 700,
n = 6, i = 0,05. Dosadením daných hodnôt do vzťahu (10.3) dostaneme :
3,476105,0
105,17006
=−
⋅=nS
Chlapec dostane od rodičov k 18-tym narodeninám sumu 4761,3 €.
Príklad 10.3 Zamestnanec sa dohodol so svojim šéfom, od ktorého si požičal peniaze
na dostavbu domu, že vyrovná dlžobu 3 rovnakými splátkami po 8000 € koncom
každého nasledujúceho roku pri 6% úrokovej miere. Ten však nebol schopný zaplatiť
prvú splátku a tak sa dohodol so šéfom, že celú dlžobu vyrovná jednou ekvivalentnou
splátkou na konci 3. roku. Aká bude výška tejto splátky?
Riešenie: Najskôr určíme prítomnú hodnotu polehotnej renty dosadením R = 8000,
i = 0,06, n = 3 do vzťahu (10.1). Následne z tejto sumy určíme budúcu hodnotu.
1,2138406,006,118000
3
=−
⋅=−
nA
Teraz určíme budúcu hodnotu zo sumy nA .
8,2546806,11,2138406,1 33 =⋅=⋅= nn AS
Zamestnanec splatí svoj dlh na konci 3. roku vo výške 25468,8 €.
Príklad 10.4 Koľko rokov možno vyberať z vkladu 20000 € koncom každého roku
sumu 3500 €, ak vklad je uložený na účte úročenom úrokovou mierou 10% p. a.?
Riešenie: V tomto prípade máme ako neznámu, dobu splatnosti n, pričom poznáme
An = 20000, R = 3500, i = 0,1. Použitím vzťahu (10.10) dostaneme:
60
8,51,1ln
35001,0200001ln
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−
−=n
Z vkladu 20000 € môžeme vyberať každoročne sumu 3500 € počas doby 5 rokov.
Príklad 10.5 Účastník doplnkového dôchodkového sporenia má na svojom účte
úročenom 5% p.a. k 1.1.2008 nasporenú sumu 10000 €. Z tohto účtu mu bude
vyplácaný pravidelný ročný dôchodok vždy k 31.12. počas 10 rokov. Aká bude výška
dôchodku?
Riešenie: Ide o výpočet výšky splátky renty, ak poznáme jej prítomnú hodnotu.
Dosadením do vzťahu (10.7 ) máme
( )045,1295
05,01105,0.10000 10 =
+−= −R
Výška dôchodku bude 1295 €.
10.2 Odložená polehotná renta
Odložená renta je renta, pri ktorej sa platby začínajú až po určitom období t . Tento
čas odkladu nazývame čakacou dobou. Typickým príkladom takejto renty je výplata
starobného dôchodku, ktorého výplaty sú odložené k dôchodkovému veku.
Uvažujme konštantnú, nepodmienenú, polehotnú rentu s n splátkami veľkosti R,
s úrokovou sadzbou i za 1 časovú periódu renty, ale so splátkami odloženými o t rokov.
t An An nt S
Obr.6 Odložená renta
Máme teda polehotnú rentu odloženú o t rokov. Jej súčasná hodnota sa označuje
symbolom nt A (resp. pre jednotkovú t an⎤ ), budúca hodnota symbolom nt S (resp.
61
t sn⎤ ). Nakoľko sa prvá splátka uskutoční až na konci ( )1+t –ho roku a posledná na
konci ( )nt + - tého roku, pri výpočte súčasnej hodnoty dostaneme
( ) ( ) ( ) ntttnt iR
iR
iRA +++ +
+⋅⋅⋅++
++
=111 21
( ) tnnt iAA −+⋅= 1 ( 10.11)
( ) ( ) tn
tn
nt iRi
iiRA υυ
⋅−
⋅=+⋅+−
⋅= −− 1111 (10.12)
t an⎤( ) ( ) t
nt
n
ii
ii υυ
⋅−
=+⋅+−
= −− 1111 ( 10.13)
Je zrejmé, že budúca hodnota odloženej renty sa nezmení, nakoľko prvú splátku by
sme úrokovali opäť len 1−n rokov a poslednú, i keď zaplatenú v čase tn + , by sme
neúrokovali. Teda
nt S = ( )iiRS
n
n11 −+
⋅= (10.14 )
t sn⎤ = sn⎤
Príklad 10.6 Renta sa bude vyplácať počas 12-tich rokov pravidelnou splátkou rovnou
1200 € koncom každého roka. S vyplácaním sa začne o 3 roky. Určite prítomnú a
budúcu hodnotu tejto renty pri úrokovej miere 5%p.a.
Riešenie: Dosadením hodnôt: n = 12, R = 1 200, t = 3, i = 0,05 do vzťahov (10.12) a
(10.14) získame riešenie úlohy.
1910105,0
105,1120012
=−
⋅== nnt SS
7,918705,005,1105,11200
123 =
−⋅⋅=
−−
nt A
Zistili sme, že prítomná hodnota renty je 9187,7 € , budúca hodnota 19101 € .
62
10.3 Večná polehotná renta
Ak je doba splatnosti renty neohraničená, čiže aj počet výplat renty je neohraničený,
hovoríme o večnej polehotnej rente.
A∞ S∞
Obr.7 Večná polehotná renta
Prítomnú hodnotu A∞ večnej renty aj budúcu hodnotu S∞ takejto renty dostaneme
limitným prechodom pre ∞→n vo vzťahoch pre výpočet príslušných hodnôt
dočasnej renty. Potom máme
( ) ( )( )n
n
n
nnni
iR
iiRAA −
∞→
−
∞→∞→∞ +−⋅=+−
⋅== 11lim11limlim
iRA =∞ (10.15 )
Prítomná hodnota jednotkovej večnej polehotnej renty bude
a∞⎤ ∞→
=nlim an⎤ = i
1
Prítomná hodnota odloženej večnej polehotnej renty bude
tntnt AA
∞→∞ = lim
( ) ttt i
RiiRA υ⋅=+⋅= −
∞ 1 (10.16 )
Prítomná hodnota odloženej jednotkovej večnej polehotnej renty bude
t a∞⎤ = tn ∞→lim an⎤ = ( )
ii
i
tt υ=+⋅ −11
Je zrejmé, že budúce hodnoty večnej renty musia byť neohraničené vo všetkých
uvažovaných prípadoch.
Príklad 10.7 Akú sumu musíme koncom každého roka vložiť na účet, aby sme za 25
rokov vytvorili fond, z ktorého bude vyplácaná výročná cena v hodnote 10 000 €,
63
udeľovaná vždy na konci roka, 26-tym rokom počnúc, ak uvažujeme nemennú úrokovú
sadzbu 3 % p.a.?
Riešenie: Budúca hodnota vytváraného fondu s neznámou anuitou R sa musí rovnať
súčasnej hodnote večnej renty so splátkou 10 000 €. Pre 03,0,25 == in dostaneme
( )
6,1429103,1
0001003,000010
03,0103,01
25
2525
=−
=
=−+
⋅
= ∞
R
R
AS
Na vytvorenie fondu večnej renty treba ukladať 9 142,6 € ročne.
Príklad 10.8 Zistite minimálnu sumu, ktorá musí byť v zabezpečovacom fonde, aby
mohol poskytovať pravidelné polehotné ročné platby v sume 5000 € neobmedzene dlho,
pričom je úročený 7% p.a..
Riešenie: Ide o prítomnú hodnotu večnej polehotnej renty, pričom i = 0,07, R = 5 000.
Dosadením do vzťahu (10.15) dostaneme:
7142907,0
5000==∞A
Zabezpečovací fond musí byť vo výške 71 429 €.
10.4 p - termínová polehotná renta
Rentu, ktorá sa realizuje p platbami ročne počas n rokov v rovnakých časových
intervaloch, budeme nazývať p-termínová renta.
Uvažujme p - termínovú polehotnú rentu, ktorá obsahuje p splátok veľkosti R ročne
počas n rokov s nominálnou úrokovou sadzbou i(m) pri m- konverziách za rok. Nech
p ≠ m a 1≥p . Počet všetkých členov renty teda bude n · p.
Budúcu hodnotu p-termínovej polehotnej renty značíme Sn(p). Súčasnú hodnotu
p – termínovej polehotnej renty označujeme symbolom )( pnA .
64
An
(p) Sn(p)
Obr.8 p-termínová polehotná renta
Odvoďme vzťah pre výpočet budúcej hodnoty tejto renty. Prvá splátka bude
splatená po uplynutí p1 -tiny roka a bude úrokovaná m – krát do roka efektívnou
úrokovou mierou mi počas doby
pn 1− . Hodnota tejto splátky na konci n-tého roka
bude ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
pnm
miR
1
1 . Druhá splátka bude za tých istých podmienok úrokovaná počas
doby p
n 2− , jej hodnota na konci n-tého roka bude
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
pnm
miR
2
1 . Predposledná
splátka bude úrokovaná počas jednej p1 -tiny roka, jej hodnota na konci n-tého roka
bude pm
miR ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅ 1 . Posledná splátka nebude úrokovaná, nakoľko je realizovaná na
konci n-tého roka. Budúcu hodnotu p-termínovej polehotnej renty vypočítame ako
súčet jednotlivých výplat renty zúročených ku koncu posledného roka kedy sa renta
vypláca. Dostaneme
RmiR
miR
miRS
pmpnmp
nmp
n +⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⋅⋅⋅+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−−121
)( 111
Po úprave exponentov
( ) ( )
RmiR
miR
miRS
pmpn
pmpn
pm
pn +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−⋅−⋅
11121
)(
65
Použitím vzorca na výpočet súčtu prvých n.p členov geometrickej postupnosti, kde
Ra =1 a pm
miq ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 1 dostaneme
11
11)(
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
⋅⋅
pm
pnpm
pn
mi
mi
RS ,
a teda
11
11)(
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
pm
nm
pn
mi
mi
RS (10.17 )
Súčasnú hodnotu p – termínovej polehotnej renty dostaneme zo vzťahu (10.17 )
odúročením za obdobie n rokov
nm
pn
pn m
iSA⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅= 1)()(
Po dosadení a úprave
11
11)(
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅=
−
pm
nm
pn
mi
mi
RA ( 10.18 )
Súčasnú hodnotu p – termínovej polehotnej večnej renty dostaneme limitným
prechodom
11
lim )()(
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==∞→∞
pm
pnn
p
mi
RAA ( 10.19)
Budúca hodnota večnej renty )( pS∞ musí byť neohraničená.
66
Súčasnú hodnotu p –termínovej polehotnej renty odloženej o t rokov označujeme
symbolom .)( pnt A Použitím vzťahov (10.11) a (10.12) dostaneme
tm
pn
pnt m
iAA⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅= 1)()(
tm
pm
nm
pnt m
i
mi
mi
RA−
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅= 1
11
11)( (10.20)
Budúca hodnota p – termínovej polehotnej renty odloženej o t rokov sa rovná budúcej
hodnote p – termínovej renty vyplácanej bezprostredne a teda
11
11)()(
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅==
pm
nm
pn
pnt
mi
mi
RSS (10.21)
Príklad 10.9 Dlžník sa zaviazal splácať 1 500 € na konci každého mesiaca po dobu 10
rokov. Začiatkom 5. roku (hneď potom, ako bola zaplatená 48. splátka) veriteľ túto
pohľadávku predal. Aká bola cena pohľadávky, ak úroková miera bola 12 % p.a. a
úrokovacie obdobie bolo 1 mesiac?
Riešenie: Ide o prítomnú hodnotu p – termínovej polehotnej renty, v tomto prípade
o cenu pohľadávky, ktorá má byť splácaná ešte ďalších 6 rokov mesačne, dokopy teda
72 splátkami. Hodnoty R = 1 500, n = 6, i = 0,12, m = 12, p = 12 dosadíme do vzťahu
(10.18) a dostaneme:
6,76725
1212,01212,011
1500
72
)( =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅=
−
pnA
Cena pohľadávky bola 76 725,6 €.
Príklad 10.10 Nájomca musí platiť koncom každého mesiaca nájom za byt vo výške
500 €. Kvôli finančným problémom nemohol zaplatiť nájom za apríl a máj.
S prenajímateľom sa dohodol, že na konci júna vyrovná nedoplatok a navyše zaplatí
67
nájomné až do konca roka. Akú čiastku bude musieť koncom júna zaplatiť pri 6%
úrokovej miere s mesačným pripisovaním úrokov?
Riešenie: Najskôr musíme vypočítať budúcu hodnotu nájmu za 3 mesiace (apríl, máj,
jún) a potom prítomnú hodnotu nájmu do konca roka, t.j. za 6 mesiacov (júl –
december),pričom vieme, že: R = 5 000, i = 0,06, m = 12, p = 12
15075
1206,0
11206,01
5000
3
)( =−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=p
nS
29482
1206,01206,011
5000
6
)( =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅=
−
pnA
Nájomca teda zaplatí koncom júna 15 075 + 29 482 = 44 557 €.
Príklad 10.11 Stavebný úver vo výške 1 milión € s úrokovou sadzbou 6 % p.a a
štvrťročným úrokovaním, ktorý získala firma 1.5.2000, má byť splatený do 1.6. 2010.
V úverových podmienkach je zakotvené, že jednotlivé splátky budú splácané v rovnakej
výške na konci každého mesiaca, pričom prvá splátka sa uskutoční 31.5.2002.
Vypočítajte výšku splátok a celkové úrokové náklady úveru.
Riešenie: Jedná sa o polehotnú p-termínovú rentu odloženú o dva roky, pričom m = 4,
p = 12, i = 0,06, t = 2, n = 8, 6)12(82 10=A
Použitím vzťahu (10.20) dostaneme
( ) ( )
4,78714
015,11
015,11015,110
406,01
1406,01
406,011
10
32
831
6
24
124
84
6
=
−
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅=
−
⋅−
⋅−
R
R
R
68
Za 8 rokov sa uskutoční 128 ⋅ splátok po 14 787,40 €, čo spolu predstavuje sumu
1 419 590 €. Celkové úrokové náklady úveru teda sú 419 590 €.
Príklad 10.12 Pani Zdenka vyhrala v lotérii. Výhra jej bude vyplácaná v 20 splátkach
vo výške 10000 € vždy na konci štvrťroku a to prvý krát po 3 rokoch. Určte súčasnú
hodnotu výhry pri úrokovej miere 10% p.a..
Riešenie: Máme vypočítať prítomnú hodnotu p – termínovej polehotnej renty
odloženej o 3 roky, pričom p = 4, n = 5, R = 10000, t = 3, i = 0,1. Hodnoty dosadíme do
vzťahu (10.20) a dostaneme:
763,19021711,1
11,11,11000041
53)( =
−
−⋅⋅= −p
nt A
Súčasná hodnota výhry je 190217,763 €.
Príklad 10.13 Akú sumu musí klient uložiť do banky na účet, ktorý poskytuje
štvrťročný úrok pri 7% p.a., ak chce vždy koncom mesiaca z účtu vyberať 800 €?
Riešenie: V tomto príklade ide o večnú p – termínovú polehotnú rentu. Máme zistiť
výšku vkladu, ak vieme, že R = 800, i = 0,07, m = 4, p = 12. Dosadením do vzťahu
(10.19) dostaneme:
773,137939
1407,01
800
124
)( =
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=∞pA
Klient musí vložiť na účet 137 939,77 €.
ÚLOHY NA RIEŠENIE: 1. Klient mal splatiť úver v banke 6 splátkami vo výške 7500 € postupne na konci 1. až
6. roku. Po finančných problémoch klienta banka pripustila, že dlžník môže
vyrovnať dlh jednorazovo na konci 6. roku. O akú čiastku pôjde, keď banka používa
pre úvery úrokovú mieru 10% p.a.?
[57867 €]
69
2. Rodičia chcú dať dcére k promócii za 5 rokov do daru dovolenku v hodnote 1000 €.
Koľko musia koncom každého roku uložiť do fondu, ktorý garantuje výnos
5,5% p.a.?
[179,176 €]
3. Spoločnosť zaoberajúca sa výrobou nábytku uvažuje o projekte, ktorý vyžaduje
začiatočnú investíciu 1 106 022 € a ktorý prinesie 180 000 € na konci každého
z nasledujúcich 10 rokov. Nájdite vnútornú mieru výnosnosti projektu za
predpokladu 0-vej inflácie.
[10%p.a.]
4. Úver 240 000 € s úrokovou mierou 10% p.a. má byť splatený dvadsiatimi
polehotnými rovnakými ročnými splátkami. Dlžník zaplatil splátky za prvých 5
rokov, no v ďalších rokoch nebol schopný svoj záväzok voči banke splniť. Banka
súhlasila s odkladom splátok s tým, že na konci 9. roku splatí naraz celú zostávajúcu
časť úveru. O akú sumu pôjde?
[313929 €]
5. Pán Kováč investoval do kúpy cenných papierov 25000 € s nominálnou úrokovou
sadzbou 7% p.a. s tým, že obdrží 8 rovnakých platieb na konci každého roku, pričom
prvá platba sa uskutoční po uplynutí 4 rokov. Aké veľké budú platby ktoré obdrží?
[5129 €]
6. Klient uložil na účet, ktorý poskytuje úrok 6% p.a., sumu 200000 €. Akú veľkú
sumu môže vždy koncom roka vyberať, aby počiatočná hodnota vkladu zostala
zachovaná?
[R =12000 €]
7. Rodičia založili dcére pri narodení účet úročený počas celej doby trvania vkladu
úrokovou mierou 4 % p.a. so štvrťročným pripisovaním úroku a s počiatočným
vkladom l00000 €. Od 20-teho roku života jej má byť na konci každého mesiaca po
dobu 40 rokov z tohto účtu vyplácaná istá suma. O akú sumu ide?
[924,61€]
70
8. Istá nitrianska firma sa rozhodla, že podporí miestny futbalový klub sumou 5000 €
každý rok po dobu 6 rokov. Rozhodli sa kvôli tomu založiť v banke nadačný fond,
ktorý je úročený 5%-nou ročnou úrokovou mierou s polročným pripisovaním
úrokov. Akú sumu musela firma vložiť do fondu?
[25 328 €]
9. Klient ukladá mesačne polehotne 30 € na účet úročený úrokovou mierou 4% p.a. s
mesačným pripisovaním úrokov po dobu 10 rokov. Aká bude hodnota na účte 5
rokov po poslednej platbe?
[5393,75€]
71
11 PREDLEHOTNÁ RENTA
Predlehotná renta je renta, ktorej platby sa uskutočňujú na začiatku jednotlivých
intervalov počas určitej doby.
11.1 Dočasná predlehotná renta
Uvažujme konštantnú, nepodmienenú, predlehotnú rentu s n splátkami veľkosti R,
s úrokovou sadzbou i za 1 časovú periódu renty.
Na úvod uvažujme opäť o rente, ktorej perióda aj úroková perióda sú rovné jednému
roku.
Súčasnú hodnotu dočasnej predlehotnej renty budeme označovať symbolom nA .
Je to hodnota renty v čase platby prvej anuity. Viď obrázok 9.
Än
Obr.9 Súčasná hodnota predlehotnej renty
Vypočítame ju ako súčet súčasných hodnôt všetkých výplat renty. Teda musíme každú
splátku odúrokovať za príslušný počet úrokových periód. Prvá splátka, ktorá je platená
na začiatku prvej periódy, zostane nezmenená a do Än prispeje sumou R , posledná
splátka, ktorá je platená na začiatku n-tej periody sa odúrokuje o 1−n rokov a do Än
prispeje sumou ( ) )1(1 −−+⋅ niR . Potom
( ) 111 −+
+⋅⋅⋅++
+= nn iR
iRRA
Použitím vzorca pre výpočet súčtu geometrickej postupnosti kde prvý člen Ra =1 a
( ) 11 −+= iq dostaneme:
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )i
iiRi
iiRiiRA
nnn
n
−−
−
− +−⋅+⋅=
−−+
⋅+⋅=−+−+
⋅=111111
1111
1
..
72
Pre prítomnú hodnotu dočasnej predlehotnej renty teda platí:
( ) ( )i
iiRAn
n
−+−⋅+⋅=
111..
(11.1)
Alebo
υυ⋅−
⋅=i
RAn
n1
Položením 1=R a dosadením do tohto vzorca získame hodnotu predlehotného
zásobiteľa na ⎤ , ktorého hodnoty možno nájsť vo finančných tabuľkách. Udáva
prítomnú hodnotu jednotkovej predlehotnej renty.
na ⎤( ) ( )
dii
ii nnn υ
υυ −
=⋅−
=+⋅+−
=− 11111
(11.2)
Budúcu hodnotu dočasnej predlehotnej renty označujeme symbolom nS .
nS
Obr.10 Budúca hodnota predlehotnej renty
Budúca (akumulovaná) hodnota renty predstavuje súčet všetkých splátok renty,
prepočítaných ku koncu doby splatnosti renty, teda jednu časovú (a teda aj úrokovú)
periódu po platbe poslednej anuity. Pri jej výpočte musíme zúročiť každú splátku
príslušným počtom úrokových periód. Prvú splátku uskutočnenú na začiatku prvej
periódy zúročíme o n rokov, druhú splátku zúročíme o n-1 rokov, až postupne
predposlednú splátku uskutočnenú na začiatku n-1-ej periódy zúročíme o 2 roky a
poslednú splátku uskutočnenú na začiatku n-tej periódy zúročíme do konca tejto
periódy, teda o jeden rok. Potom
( ) ( )iRiRS nn +⋅+⋅⋅⋅++⋅= 11
73
Použitím vzorca pre výpočet súčtu geometrickej postupnosti kde ( )iRa +⋅= 11 a
iq += 1 dostaneme:
( ) ( )11
111..
−+−+
⋅+⋅=i
iiRSn
n
Pre budúcu hodnotu dočasnej predlehotnej renty teda platí:
( ) ( )iiiRS
n
n111
.. −+⋅+⋅= (11.3)
Položením R = 1 a dosadením do vzťahu (2.4) získame hodnotu predlehotného
sporiteľa ns ⎤, ktorého hodnoty možno nájsť vo finančných tabuľkách. Udáva budúcu
hodnotu jednotkovej predlehotnej renty.
ns ⎤ ( ) ( )i
ii n
+⋅−+
= 111 (11.4)
Porovnaním vzťahov pre výpočet budúcej a prítomnej hodnoty polehotnej a
predlehotnej renty zistíme, že sa líšia iba o úrokovací faktor (1+i) . To vyplýva z faktu,
že splátky v predlehotnej rente sú za rovnakú dobu splatnosti úročené o jednu úrokovú
periódu dlhšie. Platí:
( ) nn AiA ⋅+= 1 (11.5)
( ) nn SiS ⋅+= 1 (11.6)
Zo vzťahov pre výpočet budúcej a prítomnej hodnoty predlehotnej renty môžeme
vyjadriť R a n.
Veľkosť splátky R predlehotnej renty pri úrokovej sadzbe i za jednu periódu pri danom
n a danej prítomnej, resp. budúcej hodnote je
( ) ( )( )n
n
iiiAR −+−⋅+⋅
=111
..
, (11.7)
resp.
74
( ) ( )( )111
..
−+⋅+⋅
= nn
iiiSR (11.8)
Počet periód n predlehotnej renty pri úrokovej sadzbe i za jednu periódu, pri danom R
a danej prítomnej, resp. budúcej hodnote je
( )
( )i
iRiA
n
n
+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+⋅
−
−=1ln
1.1ln
..
(11.9)
resp.
( )
( )i
iRiS
n
n
+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
+⋅
=1ln
11.
ln..
(11.10)
Príklad 11.1 Koľko nasporíme za 5 rokov, ak ukladáme na účet 15 000 € začiatkom
každého roka a banka poskytuje na tomto type účtu úrok 5% p.a. s ročným pripisovaním
úrokov?
Riešenie: Ide o budúcu hodnotu predlehotnej renty, pričom n = 5, i = 0,05, R = 15 000.
Hodnoty veličín dosadíme do vzťahu (11.3) a dostaneme:
( ) ( ) 692,8702805,0
105,0105,01150005..
=−+
⋅+⋅=nS
Za 5 rokov pri danej úrokovej miere nasporíme 87028,692 €.
Príklad 11.2 Úver má byť banke splatený piatimi splátkami vo výške 30000 € postupne
na začiatku prvého, druhého až piateho roku. Banka súhlasí s požiadavkou dlžníka
zaplatiť dlh jednorázovo na konci piateho roku. O akú čiastku sa jedná, ak úroková
miera úveru je 10 % p. a. s ročným pripisovaním úrokov?
Riešenie: Ide len o inú alternatívu zadania na sporenie, teda počítame budúcu hodnotu
splátok úveru. Do vzťahu (11.3) dosadíme hodnoty R = 30000, n = 5, i = 0,1.
75
3,2014681,0
11,11,1300005..
=−
⋅⋅=nS
Úver bude splatený splátkou vo výške 201468,3 €.
Príklad 11.3 Pán Novotný má svojej bývalej manželke vyplatiť po rozvode podiel
z majetku v hodnote 150000 €. Suma má byť splatená 6 rovnakými splátkami vždy na
začiatku roku pri úrokovej miere 6% p. a. Aká bude výška jednej splátky?
Riešenie: Výšku splátky vypočítame dosadením hodnôt 150000..
=nA , n = 6, i = 0,06
do vzťahu
( ) ( )( )nn
iiiAR −+−⋅+⋅
=111
..
Potom
( ) 73,2877706,1106,1
06,01500006 =
−⋅⋅
= −R
Výška splátky, ktorú obdrží pani Novotná každý rok, je 28777,73 €.
Príklad 11.4 Ako dlho musíme ukladať na účet začiatkom každého štvrťroka sumu
2000 € aby sa nám na účte naakumuloval kapitál 50 000 €, ak účet je úročený úrokovou
mierou 8% p.a. a úroky sú pripisované štvrťročne?
Riešenie: Našou úlohou je zistiť hodnotu n, pričom i = 0,08/4 = 0,02, R = 2000,
50000..
=nS
( )
( )i
iRiS
n
n
+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
+⋅
=1ln
11.
ln..
14,2002,1ln
102,1200002,050000ln
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⋅⋅
=n
Treba uskutočniť 20,14 splátok (približne 5 rokov a 1,5 mesiaca).
Určíme, aká suma bude na účte po 5 rokoch (20 splátkach):
63,4956602,0
102,102,1200020..
=−
⋅⋅=nS
Do sumy 50 000 € na konci 5. roka teda chýba ešte čiastka 433,37 €.
76
11.2 Odložená predlehotná renta
Uvažujme konštantnú nepodmienenú predlehotnú rentu s n splátkami veľkosti R,
s úrokovou sadzbou i za 1 časovú periódu renty, ale prvú splátku odložíme o t rokov.
Takúto rentu budeme nazývať odložená predlehotná renta.
nt A
..
nA..
nt S..
Obr.11 Odložená predlehotná renta
Prítomnú hodnotu predlehotnej renty odloženej o t rokov označujeme nt A .
Dostaneme ju odúročením prítomnej hodnoty predlehotnej renty bez odkladu nA..
o t
rokov. Teda
( ) tnnt iAA −+⋅= 1....
(11.11)
nt A ( ) ( ) ( ) tn
tn
iRi
iiiR υυ
⋅−
⋅=+⋅+−
⋅+⋅= −− 11111 (11.12)
Pre prítomnú hodnotu predlehotnej renty odloženej o t rokov platí aj
nt A ( ) nt Ai ⋅+= 1 (11.13)
( ) ( )i
iiRAn
tnt
−+− +−⋅+⋅=
111 1..
(11.14)
Budúcu hodnotu predlehotnej renty odloženej o t rokov označujeme nt S a platí:
( ) ( )iiiRSS
n
nnt111
.... −+⋅+⋅== (11.15)
A tiež
nt S ( ) ( ) nnt SiSi ⋅+=⋅+= 11 (11.16)
77
Príklad 11.5 Podnikateľ investoval do kúpy cenných papierov čiastku, ktorá mu má
o 4 roky priniesť pri úrokovej miere 7% p.a. platby vo výške 100 000 € vyplácané na
začiatku každého roku po dobu 6 rokov. Akú sumu investoval?
Riešenie: Musíme zistiť čomu sa rovná prítomná hodnota predlehotnej renty odloženej
o 4 roky, pričom R = 100000, i = 0,07, t = 4, n = 6. Dosadením hodnôt do vzťahu
(11.14) dostaneme:
68,37736408,008,1107,1100000
63
..
=−
⋅⋅=−
−nt A
Podnikateľ investoval 377 364,68 €.
11.3 Večná predlehotná renta
Ak je doba splatnosti neohraničená, hovoríme o večnej predlehotnej rente.
∞
..
A ∞
..
S
Obr.12 Večná predlehotná renta
Prítomnú hodnotu ∞A predlehotnej večnej renty aj budúcu hodnotu ∞
..
S takejto
renty dostaneme limitným prechodom pre ∞→n vo vzťahoch pre výpočet
príslušných hodnôt dočasnej predlehotnej renty .
( ) ( ) ( ) ( )( )n
n
n
nnni
iiR
iiiRAA −
∞→
−
∞→∞→∞ +−⋅+⋅
=+−
⋅+⋅== 11lim1111limlim
υ⋅
=+
⋅=∞ iR
iiRA 1 ( 11.17)
∞a ⎤∞→
=nlim na ⎤
υ⋅=
+=
iii 11
( )υ
υ⋅
⋅=+⋅+
⋅== −
∞→∞ iRi
iiRAA
tt
ntnt 11lim ( 11.18)
78
t na ⎤ tn→∞= lim na ⎤ ( )
υυ⋅
=+⋅+
= −
ii
ii t
t11
Budúce hodnoty večnej predlehotnej renty musia byť vo všetkých uvažovaných
prípadoch neohraničené.
Príklad 11.6 Akou úrokovou mierou musí byť úročený vklad na účte, aby sme mohli
začiatkom každého roka neobmedzene dlho vyberať sumu 7 000 € pri počiatočnom
vklade 120 000 €?
Riešenie: V tomto príklade je našou úlohou zistiť úrokovú mieru, vypočítame ju
odvodením zo vzťahu (11.17), pričom R = 7000, 120000..
=∞A . Potom
RA
Ri−
=∞
..
061946,07000120000
7000=
−=i
Výška úrokovej miery musí byť 6,19%p.a..
11.4 p – termínová predlehotná renta
Nech je renta vyplácaná p-krát ročne predlehotne pravidelnými splátkami vo výške
R, pri ročnej úrokovej miere i konvertovanej m – krát do roka, pričom uvažujme
1≥p a mp ≠ . Nech je doba splatnosti n rokov.
)(..
pnA )(
..p
nS
Obr. 12 p – termínová predlehotná renta
79
Označme budúcu hodnotu p – termínovej predlehotnej renty symbolom )( pnS .
Keďže splátky sa uskutočňujú na začiatku každej p-tiny roka, pri výpočte jej budúcej
hodnoty musíme každú splátku v porovnaní s polehotnou p – termínovou rentou úročiť
o p1 - tinu roka dlhšie, čo pri daných podmienkach znamená každú splátku násobiť
ešte úrokovacím faktorom pm
mi⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +1 . Potom
)(
1
)( 1 pn
pmp
n SmiS ⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
11
111)(
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
pm
nm
pm
pn
mi
mi
RmiS (11.19)
Pre budúcu hodnotu jednotkovej p – termínovej predlehotnej renty
ns ⎤)( p ⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += p
m
mi1 sn⎤
)( p
Označme súčasnú hodnotu p – termínovej renty symbolom )( pnA . Pri jej výpočte
v porovnaní s polehotnou rentou budeme každú splátku odúrokovávať o časové obdobie
dĺžky p1 menej , a tak
)( pnA )(1 p
n
pm
Ami
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += (11.20)
Analogicky by sme odvodili vzťahy pre súčasné a budúce hodnoty p – termínovej
predlehotnej renty odloženej o t rokov a večnej p – termínovej predlehotnej renty.
pm
mt
pm
nm
pm
pnt
pnt
mi
mi
mi
mi
RmiAA ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
⋅−
⋅−
11
11
111)()(
..
(11.21)
80
pm
pm
nm
pm
pnt
pnt
mi
mi
mi
RmiSS ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
⋅
1
11
111)()(
..
(11.22)
11
111limlim )(
..)(
..
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅==
⋅−
∞→∞→∞
pm
nm
pm
n
pn
n
p
mi
mi
miRAA
)(..
pA∞
11
1
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
=pm
pm
mi
miR
(11.23)
Príklad 11.7 Akú sumu treba na konci každého mesiaca odvádzať do penzijného fondu,
aby jeho účastník mohol o 20 rokov začať poberať mesačný dôchodok vo výške 700 €,
vyplácaný na začiatku mesiaca po dobu 10 rokov? Fond garantuje výnos 6 % p.a
s mesačným pripisovaním úrokov.
Riešenie: Budúca hodnota polehotnej renty s neznámou anuitou R sa musí rovnať
súčasnej hodnote predlehotnej renty s anuitou 700 €. V polehotnej rente je
20,12,06,0 ==== npmi .
11206,01
11206,01
1212
2012
20
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
⋅
RS
V predlehotnej rente je 10,007,12,06,0 ===== nRpmi .
11206,01
1206,011
1206,01007
1212
1012
1212
10
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
⋅−
A
( )005,0005,11005,1007
005,01005,01 120240 −−
⋅⋅=−+
⋅R
15,371=R
Do penzijného fondu treba odvádzať mesačne 137,15 €.
81
Príklad 11.8 Podnikateľ investoval 350000 € do kúpy cenných papierov s nominálnou
úrokovou mierou 5%p.a. s polročným úrokovaním s tým, že obdrží 20 rovnakých
platieb na začiatku každého štvrťroka, pričom prvá platba sa uskutoční po uplynutí 3
rokov. Aké veľké budú tieto platby?
Riešenie: Ide o odloženú predlehotnú 4 – termínovú rentu. Zo vzťahu pre prítomnú
hodnotu p – termínovej odloženej predlehotnej renty (11.21) odvodíme R a dosadíme
)(..
pnt A = 350 000, i = 0,05, m = 2, n = 5, p = 4, t = 3.
pm
mtnm
pm
pnt
mi
mi
mi
miA
R
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
=⋅−⋅−
1111
11)(..
48,22762
205,01
205,01
205,011
1205,01350000
21610
21
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
=−−
R
Podnikateľ obdrží platby vo výške 22 762,48 €.
Príklad 11.9 Mladomanželia získali pôžičku na malý domček pri polročnom úrokovaní
a 5%-nej nominálnej úrokovej miere. Súčasne sa dohodli, že prvú splátku zaplatia na
začiatku 3. roku pôžičky a potom budú platiť pravidelné mesačné splátky začiatkom
každého mesiaca vo výške 800 € po dobu ďalších 20 rokov. Aká je výška pôžičky ktorú
získali?
Riešenie: Máme vypočítať prítomnú hodnotu p-termínovej predlehotnej renty odloženej
o 3 roky. Do vzťahu (11.21) dosadíme hodnoty: i = 0,05, t = 3, p = 12, m = 2, n = 20,
R = 800
0392,105411205,01
205,01
1205,01
205,011
80061
6
61
40
)(..
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅=−
−
pnt A
Výška pôžičky ktorú banka poskytla mladomanželom bola 105 411 €.
82
Príklad 11.10 Koľko musí byť uložené na účte s nominálnou úrokovou mierou 7%p.a.
a štvrťročným pripisovaním úrokov ak chceme začiatkom každého mesiaca vyberať
čiastku 500 € ?
Riešenie: V tejto úlohe budeme uvažovať večnú predlehotnú rentu, pričom poznáme:
i = 0,07, m = 4, p = 12, R = 500. Hodnoty dosadíme do vzorca (11.23) a dostaneme:
358,86712
1407,01
407,01500
31
31
)(..
=
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
=∞pA
Aby sme mohli vyberať z účtu každý mesiac sumu 500 € , musí byť na účet uložený
počiatočný vklad vo výške 86 712,358 € .
ÚLOHY NA RIEŠENIE:
1. Starí rodičia chcú dať svojmu vnukovi za 6 rokov k jeho 25-tym narodeninám
50 000 €. Akú sumu musia na začiatku každého roku ukladať na účet úročený
úrokovou mierou 6 % p.a.?
[6 762,39 €]
2. Koľko rokov môžeme vyberať z vkladu vo výške 350 000 € začiatkom každého
roku sumu 55 000 €, ak je vklad uložený pri 8% - nej ročnej úrokovej miere?
[9,24]
3. Klient uložil na účet 56 228 €, z ktorého bude počas 7 rokov vyberať na začiatku
každého roka sumu 10 000 €. Akou úrokovou mierou musí byť účet úročený?
[8% p. a.]
4. Ekonóm istej firmy navrhol investíciu 2 085 740 €, ktorá jej má po niekoľkých
rokoch pri 6% úrokovej miere vyniesť sumu 500 000 € vždy na začiatku každého
z nasledujúcich 7 rokov. Po koľkých rokoch začnú poberať tieto platby?
[4]
83
5. Klient vložil na účet úročený úrokovou mierou pri 6% p.a. 200000 € s tým, že 5
rokov musia zostať peniaze nedotknuté. Akú sumu bude môcť vyberať z účtu
začiatkom každého roku počas nasledujúcich 8 rokov?
[43100,483€]
6. Koľko musíme mať na účte aby sme mohli pri úrokovej miere 7% p. a. vyberať
každoročne 12 000 €?
[183 428,57 €]
7. Koľko budete ochotný zaplatiť za investíciu, ktorej životnosť je 15 rokov a
začiatkom každého polroku z nej plynie platba vo výške 16 000 € ? Požadujeme
minimálny výnos vo výške 8% p.a.
[279 275,998 € ]
8. Akú výšku konta musí mať účastník penzijného fondu, aby on sám, prípadne jeho
pozostalí, mohli poberať po dobu 15 rokov mesačnú penziu vo výške 800 €
vyplácanú vždy začiatkom mesiaca? Fond garantuje zhodnotenie 5 % p.a. s ročným
pripisovaním úroku.
[102 323,313 € ]
9. Klientka si zaistila večný dôchodok vyplácaný na konci každého polroku vo výške
30 000 € . Chce ho zmeniť na predlehotný štvrťročný dôchodok vo výške 15 000 €
trvajúci 30 rokov. Úroková sadzba je 7 % p.a. s polročným pripisovaním úroku.
Koľko musí doplatiť?
[vrátia jej preplatok 89 156,85 € ]
10. Koľko musí pán Kováč ukladať začiatkom každého mesiaca na účet do banky po
dobu 20 rokov, ak si chce zabezpečiť rentu po dobu ďalších 15 rokov vyplácanú
začiatkom každého štvrťroka so splátkami 1500 €. Účet je úročený úrokovou
sadzbou 5% p.a., pričom úroky sú pripisované dvakrát ročne.
[156 € ]
84
12 UMOROVANIE DLHU Jednou z najdôležitejších aplikácií úrokového a rentového počtu je umorovanie dlhu.
V tejto kapitole sa budeme zaoberať metódami splácania úverov ( pôžičiek).
Úverom budeme rozumieť poskytnutie peňažnej sumy na určitú dobu za dohodnutý
úrok. Podľa doby splatnosti rozdeľujeme úvery na krátkodobé ( doba splatnosti
nepresahuje 1 rok), strednodobé (doba splatnosti je 1 až 4 roky) a dlhodobé ( doba
splatnosti viac ako 4 roky).
Umorovanie (splácanie) úveru z hľadiska veriteľa môžeme považovať za príjem
renty.
Každá splátka úveru sa skladá z úmoru a z úroku. Umorovacia zložka splátky úveru
postupne znižuje dlžnú sumu (zostatok dlhu). Úroková zložka splátky úveru spláca úrok
zo zostatku dlhu. Postupným znižovaním zostatku dlhu klesá aj veľkosť úrokovej
zložky splátok. Úver môže byť umorený rôznymi spôsobmi. Podľa spôsobu
umorovania úvery rozdeľujeme:
1. Úver splatný jednorázovo vrátane úrokov po uplynutí doby splatnosti.
V tomto prípade ide o problém výpočtu budúcej hodnoty z poskytnutej sumy na
základe dohodnutej doby splatnosti a úrokovej sadzby.
2. Úver bez záväzného splácania tzv. úrokové dlžoby. Dlžník spláca v určených
termínoch iba dohodnuté úroky, má však právo kedykoľvek vykúpiť pôžičku. Takúto
pôžičku považujeme za večnú rentu, v ktorej jedna splátka reprezentuje dohodnuté
úroky z pôžičky.
3. Úver splácaný pravidelnými platbami od začiatku. Podľa charakteru týchto
platieb rozlišujeme 2 možnosti:
a) Platby sú stále rovnaké. Hovoríme o konštantnej anuite.
b) Výška platieb nie je rovnaká. V tomto prípade je väčšinou rovnaká čiastka, ktorá
znižuje dlh – úmor. Hovoríme o konštantnom úmore. Ďalší možný prípad je keď
ani úmory nie sú konštantné.
Najčastejšie sa stretávame s úvermi (hypotekárne, spotrebné), ktoré sa splácajú
pravidelnými platbami. Banky a finančné inštitúcie, ktoré poskytujú úvery
vypracovávajú pre klientov umorovacie plány. Plán udávajúci pre každé obdobie, koľko
z pravidelnej splátky pripadá na zaplatenie úroku z úveru, koľko na umorenie dlhu a aký
je zostatok dlhu po zaplatení umorovacej splátky, nazývame umorovací plán.
85
12.1 Splácanie úveru rovnakými splátkami – konštantná anuita
Uvažujme úver veľkosti D, ktorý má byť splatený aj s úrokmi n rovnakými anuitami
a, splatnými vždy koncom úrokovacieho obdobia pri nemennej ročnej úrokovej sadzbe
i. Budeme predpokladať, že úrokovacie obdobie je ročné. Tento spôsob splácania úveru
sa dá previesť na úlohy o rente. Počiatočnú hodnotu úveru možno považovať za
počiatočnú hodnotu renty a jednotlivé anuity možno považovať za výplaty dôchodku
(renty).
Na základe uvedenej analógie veľkosť anuity určíme podľa vzťahu (10.1) tak, že za
nA dosadíme výšku poskytnutého úveru D a výška splátky renty R sa bude rovnať
výške anuity a. Potom
( )i
iaDn−+−
⋅=11 (12.1)
a odtiaľ
( ) nn
iDi
iDaν−
=+−
= − 1.
11. (12.2)
kde
D je počiatočná výška úveru
a je výška anuity
ν je diskontný faktor
n – doba splatnosti úveru vyjadrená v rokoch
Podiel n
iν−1
sa nazýva umorovateľ.
Umorovací plán zostavíme nasledovne:
Označme počiatočný stav úveru 0D .
Z prvej anuity pripadá na úrok 1U čiastka iD0 . Využitím (12.1) dostaneme
)1(01naiDU ν−==
Na úmor bude pripadať teda nn aaaUaM νν =−−=−= )1(11
Zostatok úveru po zaplatení prvej splátky bude
86
naDMDD ν.0101 −=−=
Nech po zaplatení r splátok je zostatok úveru rD . Potom pre výšku úroku v (j+1)-ej
anuite platí
)1.(.1jn
jj aiDU −+ −== ν (12.3)
Výšku úmoru v (j+1)-ej anuite vypočítame ako anuita mínus úrok a teda
jnjj aiDaM −
+ =−= ν..1 (12.4)
Vidíme, že jednotlivé úmory tvoria geometrickú postupnosť s kvocientom
iq +== − 11ν . Potom výška úmoru v (j+1)-ej anuite bude
( )iMM jj +=+ 1.1
Umorovací plán bude
obdobie anuita úrok úmor zostatok
úveru
0 D
1 a iDU .1 = 11 UaM −= 1MD −
2 a 2U 2M 21 MD −
3 a
a
n-1 a
n a nU nM 0
Príklad 12.1 Úver 40000 € na nákup strojného zariadenia má byť umorený rovnakými
polehotnými ročnými anuitami za 6 rokov pri fixovanej úrokovej sadzbe počas celej
doby splácania úveru 12% p.a. Vypočítajte výšku anuity a zostavte umorovací plán.
Riešenie: Pre hodnoty D=40000, n=6, i=0,12 vypočítame výšku anuity
03,972912,1112,040000
1 6 =−
=−
= −n
iDaν
Výška každej annuity bude 9729 €. Teraz vyplníme postupne umorovací plán. Najskôr
vyplníme počiatočnú hodnotu úveru a potom celý stĺpec s anuitami. Ďalej vypočítame v
každom riadku výšku úroku a úmoru s použitím vzťahov (12.3) a (12.4).
87
obdobie anuita úrok úmor zostatok dlhu
0 40000
1 9729 4800 4929 35071
2 9729 4208 5520 29551
3 9729 3546 6183 23368
4 9729 2804 6925 16443
5 9729 1973 7756 8687
6 9729 1042 8687
12.2 Splácanie úveru vopred danou konštantnou anuitou
V praxi sa často stretávame s prípadmi, keď úver D s úrokovou sadzbou i chce
klient splácať vopred danou konštantnou anuitou a . Tento prípad umorovania dlhu je
bežnejší. Obvykle sú anuity zaokrúhlené na stovky, tisíce, alebo desaťtisíce.
V takomto prípade potrebujeme určiť počet dopredu daných konštantných anuít a
veľkosť poslednej splátky , t.j. potrebujeme určiť ako dlho sa bude úver splácať , teda
n a aká veľká bude posledná splátka , ktorá splatí zbytok úveru.
Vychádzame zo vzťahu
iaD
nν−=
1 ,
odkiaľ
νln
).1ln(a
iD
n−
= (12.5)
Ak je n celé číslo , postupujeme ako v predchádzajúcom príklade. Ak n nie je celé
číslo, určíme celé číslo 0n , ktoré je rovné celej časti čísla n. Úver potom splácame
10 +n splátkami. 0n krát zaplatíme anuitu a a potom poslednú splátku veľkosti X.
Poslednú splátku veľkosti X vypočítame z rovnice ekvivalencie. Za porovnávací dátum
vezmeme dátum poskytnutia pôžičky. Potom výška pôžičky sa musí rovnať súčtu
súčasných hodnôt všetkých splátok úveru.. Teda
1001 ++
−= n
n
Xi
aD νν
88
( ) 100
11 ++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−= n
n
ii
aDX ν (12.6)
Stav úveru po 0n -tej splátke je νX . Výška úmoru bude νXM n =+10 a, iXU n ..10
ν=+
Príklad. Úver 50000€ , ktorý poskytla banka klientovi s úrokovou mierou 12% p.a sa
má splácať polehotnými ročnými anuitami vo výške 9000 €. Určte počet anuít, výšku
poslednej splátky a zostavte umorovací plán.
Riešenie: Dosadením hodnôt D = 50000, a = 9000, i = 0,12 do vzťahu pre výpočet
počtu splátok dostaneme
69,9
12,11ln
900012,0.500001ln
ln
1ln=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=ν
aD
n
i
Počet splátok bude 10. Klient zaplatí deväť krát splátku 9000 € a posledná splátka bude
nižšia.. Jej veľkosť bude
( ) 795,6353)12,01).(12,0
)12,01(1.900050000(11 109
100
=++−
−=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
−+n
n
ii
aDX ν
Zostavíme umorovací plán
obdobie anuita úrok úmor zost. úveru
0 50000
1 9000 6000 3000 47000
2 9000 5640 3360 43640
3 9000 5236,8 3763,2 39876,8
4 9000 4785,2 4214,8 35662
5 9000 4279,4 4720,6 30941,5
6 9000 3713 5287 25654,4
7 9000 3078,5 5921,5 19733
8 9000 2368 6632 13100,9
9 9000 1572,1 7427,9 5673
10 6353,8 680,8 5673
89
Poznámka: Pri dobe splatnosti úveru kratšej ako 10 rokov sú zaplatené úroky pomerne
nízke na rozdiel od mesačných anuít. Pri dobe splatnosti medzi 10 a 20 rokov je
mesačná splátka výrazne nižšia ako pre päťročný úver a úroky sú ešte prijateľné. Pre
úvery s dobou splatnosti nad 20 rokov sa mesačná anuita už oveľa nezníži, zatiaľ čo
zaplatené úroky sa blížia niekoľko násobku vypožičanej čiastky.
Doteraz sme sa zaoberali prípadom splácania úverov, keď sa splátky platili jeden krát
za úrokovacie obdobie, vždy na konci roku. V praxi však veľa úverov je splácaných
mesačnými anuitami.
V prípade anuitného umorovania, pri ktorom treba dlh splatiť v stanovenom termíne
a výplata umorovacích splátok a úrokov za pôžičku sa vykonáva m - krát do roka, sa
výška anuity a vypočíta tak isto ako v (12.2), ale miesto i píšeme mi a miesto n
píšeme nm . Potom
nm
mi
mi
Da −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=
11 (12.7)
12.3 Úmor úveru nerovnakými splátkami
V tomto prípade môžu nastať dve alternatívy:
1. Úmor úveru rovnakými (konštantnými) úmormi
2. Úmor úveru nerovnakými úmormi
ÚMOR ÚVERU ROVNAKÝMI (KONŠTANTNÝMI) ÚMORMI
Daný úver D má byť splácaný aj s úrokmi n splátkami splatnými vždy koncom
úrokovacieho obdobia pri nemennej ročnej úrokovej sadzbe i . Každá splátka sa skladá
z konštantného úmoru ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nD a premenlivého úroku, ktorý sa znižuje s rastúcim počtom
splátok.
90
Pri tomto spôsobe umorovania úveru úmory nDMMMM n ===== …21 a
jednotlivé úrokové platby tvoria aritmetickú postupnosť s diferenciou
( ) inDi
nDni
nDnUU =−−=− 121 .
Pretože jednotlivé úrokové platby tvoria aritmetickú postupnosť a úmory sú konštantné,
tak aj celkové splátky tvoria aritmetickú postupnosť.
Príklad 12.3 Klient získal úver 50000 € s dobou splatnosti 10 rokov a s úrokovou
mierou 12% p.a., pričom bude splácaný vždy pravidelnými splátkami s rovnakými
úmormi na konci roku. Vytvorte umorovací plán.
Riešenie: Dosaďme hodnoty D=50000, n=10, i=0,12 a vypočítajme výšku úmoru
500010
50000===
nDM
Umorovací plán:
obdobie splátka úrok úmor zost. úveru
0 50000
1 11000 6000 5000 45000
2 10400 5400 5000 40000
3 9800 4800 5000 35000
4 9200 4200 5000 30000
5 8600 3600 5000 25000
6 8000 3000 5000 20000
7 7400 2400 5000 15000
8 6800 1800 5000 10000
9 6200 1200 5000 5000
10 5600 600 5000 0
V tabuľke sme najskôr vyplnili stĺpec úmor, potom stĺpce zostatok úveru, úrok a splátka
V porovnaní s predchádzajúcim príkladom vidíme, že celkové splátky sú pri konštantnej
anuite až do 5. roku splácania nižšie než v prípade konštantných úmorov. Celkový
zaplatený úrok je však pri konštantnej anuite vyšší, lebo základ pre výpočet úrokov
(zostatok) sa znižuje pomalšie.
91
ÚMOR ÚVERU NEROVNAKÝMI ÚMORMI
V tomto prípade je obtiažne odvodiť všeobecné vzťahy. Riešenie tohto problému
ukážeme na konkrétnom príklade.
Príklad 12.4 Úver 12000 € má byť splatený ročnými polehotnými splátkami vrátane
úrokov. V úverových podmienkach bolo zakotvené, že prvá splátka vo výške 2400 €
bude o rok odložená, teda bude splatná o 2 roky. Každá ďalšia splátka bude vždy o 2000
€ vyššia ako predchádzajúca. Zostavte umorovací plán, ak úroková sadzba úveru je
10% p.a.
Riešenie:
obdobie anuita úrok úmor zost. úveru
0 12000
1 1200 13200
2 2400 1320 1080 12120
3 4400 1212 3188 8932
4 6400 893,2 5506,8 3425,2
5 3767,72 342,52 3425,2 0
ÚLOHY NA RIEŠENIE:
1. Úver 40 000 € na nákup automobilu má byť umorený rovnakými polehotnými
ročnými anuitami za 6 rokov pri fixovanej úrokovej sadzbe počas celej doby
splácania úveru 13% p.a. Vypočítajte výšku anuity, zostavte umorovací plán
a vypočítajte celkové úrokové náklady úveru.
[a= 1006 €, celkové úrokové náklady sú 20036,8 € ]
2. Úver 4000 €, ktorý poskytla banka klientovi s úrokovou mierou 12% p.a sa má
splácať polehotnými ročnými anuitami vo výške 1000 €. Určte počet anuít, výšku
poslednej splátky a zostavte umorovací plán.
[Úver bude splácaný 5 splátkami vo výške 1000 € ajednou splátkou vo výške 780,1€]
92
3. Hypotekárny úver vo výške 100 000 € poskytnutý s úrokovou mierou 6% p.a.
a mesačným úročením má byť splácaný rovnakými mesačnými splátkami na konci
jednotlivých mesiacov počas 25 rokov. Určte výšku splátky, zostavte umorovací plán
a vypočítajte celkové úrokové náklady úveru.
[a= 644,4 €, celkové úrokové náklady sú 93320 € ]
4. Pôžička 5000 € poskytnutá s úrokovou sadzbou 6,5% p.a. má byť umorená za 5
rokov konštantnými úmormi ročnými polehotnými splátkami. Vypočítajte výšku
druhej splátky.
[ 1260 €]
93
13 FAKTORING
Faktoring je špecializovaná finančná služba zameraná na urýchlenie hotovostných
tokov spomalených v dôsledku predaja s odloženou splatnosťou v tuzemskom a
medzinárodnom obchode.
Táto služba vytvára nové možnosti prístupu dodávateľov (predávajúcich)
k finančným zdrojom, keďže dodávateľ nemusí viazať svoj kapitál v pohľadávkach
a dovozcom umožňuje nakupovať tovar s odloženou splatnosťou. Je to financovanie
krátkodobých obchodných pohľadávok (so splatnosťou 14 – 180 dní), vyplývajúcich
z dodávateľsko-obchodnej zmluvy, uzatvorenej medzi klientom faktoringovej
spoločnosti ako dodávateľom a jeho dlžníkom ako odberateľom, ktoré už vznikli a ešte
nie sú splatené, alebo ktoré vzniknú v budúcnosti.
Odkupovanie pohľadávok uskutočňuje faktoringová spoločnosť (banka) buď s
možnosťou spätného regresu na dodávateľa, alebo s bez spätného regresu.
V prípade, že zmluva o faktoringu je uzatvorená bez regresu – t.j. bez spätného
postihu predávajúceho, ručenie za prípadné neplnenie zo strany kupujúceho v dôsledku
jeho platobnej neschopnosti uhradiť si svoje finančné záväzky voči predávajúcemu
preberá faktoringová spoločnosť až do výšky 100%. V prípade, že faktoringová zmluva
je uzatvorená s regresom – t.j. so spätným postihom predávajúceho, ručenie za
prípadné neplnenie zo strany kupujúceho v dôsledku jeho platobnej neschopnosti
uhradiť si svoje finančné záväzky voči predávajúcemu ostáva v plnej miere na
predávajúcom.
Fungovanie faktoringu je znázornené na nasledujúcom obrázku
Obr. Schéma fungovania faktoringu
94
pričom 1. kúpna zmluva
2. dodanie tovaru
3. zmluva o odplatnom postúpení pohľadávky
4. oznámenie (notifikácia)
5. preddavok ( predfinancovanie)
6. zaplatenie pri splatnosti
7. vyúčtovanie
Faktoring možno rozdeliť na: 1. Tuzemský faktoring
2. Vývozný faktoring
3. Dovozný faktoring
4. Nákupný faktoring
5. Správa pohľadávok
Pri využívaní faktoringu vznikajú pre podnik určité náklady (cena), ktoré môžeme
rozdeliť na úrok a poplatok (provízia) faktoringovej spoločnosti.
Faktoringový poplatok zahŕňa náklady na administratívne spracovanie faktoringu,
ako aj náklady za záruku pred platobnou neschopnosťou (úverové riziko). Jeho výška je
priamo úmerná:
- stupňu rizika platobnej neschopnosti
- celkovému objemu fakturovaného predaja
- počtu postúpených faktúr a ich priemernej hodnote
Poplatok (provízia) sa môže stanoviť aj odstupňovane (intervaly obratu), ak podnik
nedokáže odhadnúť predpokladaný vývoj.
Úrok sa platí za predfinancovanie. Úroková sadzba môže byť stanovená ako fixná
alebo pohyblivá. Je približne zhodná so sadzbou, ktorú aplikujú komerčné banky pri
poskytovaní krátkodobých úverov na financovanie pohľadávok do lehoty splatnosti,
pričom sa počíta iba z toho objemu zdrojov, ktoré by sa v danom účtovnom období
využili. V niektorých prípadoch, hlavne pri vývoznom a dovoznom faktoringu úroková
sadzba môže vychádzať z úrokových sadzieb mien, v ktorých je export fakturovaný.
Skutočnú cenu faktoringu možno vyjadriť ako vnútornú mieru výnosu. Rovnicu na
jej výpočet zostavíme tak, že navzájom porovnáme súčasnú hodnotu cash - flow (napr.
ku dňu odkúpenia pohľadávky), ktoré faktoringová spoločnosť dostáva, tzn. provízia,
95
úrok, úhrada pohľadávky, a naopak, to, čo platí vo forme predfinancovania a
vyúčtovania. Pre vnútornú mieru výnosu potom platí:
( ) ( )nn i
uPRPOPRi
POFP+
−−+=
++
11 (13.1)
kde:
PR - je výška pohľadávky, uhradená na predfinancovanie
FP - je faktoringový poplatok (provízia)
PO - je úhrada pohľadávky v dobe jej splatnosti
n - doba splatnosti v rokoch
u - úrok z predfinancovania
i - vnútorná miera výnosu.
Úpravou vzťahu vyjadríme vnútornú mieru výnosu nasledovne:
( )niPOuPRPOPRFP
+−−−
=−1
( )PRFP
uPRi n
−−−
=+1
1−−+
= n
FPPRuPRi ( 13.2)
Priklad 1: Vypočítajte ročné náklady podniku na faktoring v absolútnom a relatívnom
vyjadrení na základe týchto podmienok a údajov: Úroková sadzba 9,5 % p. a.. Poplatok
pri obrate do 1,5 mil. € ročne 1,25 %. Zálohu faktoringová spoločnosť uhrádza vo výške
75 % do troch dní od doručenia faktúry. Doba splatnosti faktúr je 60 dní. Podnik mal v
priebehu roka nasledovné pohľadávky:
1. štvrťrok 2. štvrťrok 3. štvrťrok 4. štvrťrok
Pohľadávky v € 250 000 385 600 185 000 432 800
96
Riešenie:
1. štvrťrok 2. štvrťrok 3. štvrťrok 4. štvrťrok Rok
Pohľadávky v € 250 000 385 600 185 000 432 800 1 253 400
Záloha (do 3 dní) 187 500 289 200 138 750 324 600 940 500
Úrok z
predfinancovania *1 2 968,8 4 579 2 196,9 5 139,5 14 884,2
Faktoringový
poplatok 3 125 4 820 2 312,5 5 410 15 667,5
Náklady celkom 6 093,8 9 399 4 509,4 10 549,5 30 551,8
Doplatok 56 406,2 87 001 41 740,6 97 650,5 282 798,4
Záloha + doplatok 243 906,2 376 201 180 490,6 422 250,5 1222848,4
∗ 1 úrok z predfinancovania sa počíta za príslušné obdobie lehoty splatnosti z objemu
poskytnutej zálohy
Náklady v relatívnom vyjadrení vyčíslime takto:
1539,057360
12534008,30551
57360
=⋅=⋅=∑∑
pohladavoknakladov
r
Celkové náklady na cudzí kapitál (faktoring) predstavujú 15,39 % ročne.
Poznámka: Keďže riešenie príkladu je pomerne prácne, tak na zjednodušenie výpočtu
je vhodné použiť program Excel, ktorý nám sprehľadní riešenie a urýchli počítanie. Do
jednotlivých buniek pomocou základných funkcií nadefinujeme (vložíme) vzorce a tým
urýchlime výpočty príkladov takéhoto typu.
Príklad 2: Vypočítajte vnútornú mieru výnosu poskytnutého úveru vo výške 1 mil. €;
so splatnosťou 3 mesiace refinancovaného pomocou faktoringu za týchto podmienok:
Faktoringová provízia: 1 %
Úrok z predfinancovania: 9 % p. a.
97
Výška predfinancovania: 90 %
Riešenie: Výpočet uskutočníme podľa uvedeného vzťahu.
( ) 14304,0101,0100000090000012309,0900000900000
41
=−⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+
=i
Vnútorná miera výnosu je 14,304%.
ÚLOHY NA RIEŠENIE:
1. Vypočítajte ročné náklady podniku na faktoring v relatívnom vyjadrení na základe
nasledovných podmienok a údajov: Úroková sadzba 8 % p. a.. Poplatok pri obrate do
10 mil. € ročne 1,5 %. Zálohu faktoringová spoločnosť uhrádza vo výške 80 % do
troch dní od doručenia faktúry. Doba splatnosti faktúr je 50 dní. Podnik mal v
priebehu roka takéto pohľadávky:
1. štvrťrok 2. štvrťrok 3. štvrťrok 4. štvrťrok
Pohľadávky v € 2 200 000 3 256 000 1 350 000 3 128 000
[18,29% p.a.]
2. Vypočítajte ročné náklady podniku na faktoring v relatívnom vyjadrení na základe
nasledovných podmienok a údajov: Úroková sadzba je pohyblivá, a to EURIBOR +
0,80 % p.a. Faktoringový poplatok z ročného obratu je 0,85 %. Zálohu faktoringová
spoločnosť uhrádza vo výške 80 % do 5 dní od doručenia faktúry. Lehota splatnosti
faktúr je 75 dní. Podnik mal v priebehu roka takéto pohľadávky:
1. štvrťrok 2. štvrťrok 3. štvrťrok 4. štvrťrok
Pohľadávky v € 39 000 45 000 50 000 78 000
[EURIBOR = 6,324%, 16,478 % p.a.]
98
3. Porovnajte výhodnosť dvoch rôznych podmienok od dvoch faktoringových
spoločností pre podnik na základe vyčíslenia relatívnych nákladov:
A. Úroková sadzba 8 % p. a., faktoringový poplatok 1,2 % z ročného obratu,
záloha 70 % do 3 dní
B. Úroková sadzba 9 % p. a., faktoringový poplatok 1 % z ročného obratu, záloha
75% do 4 dní. Podnik uvádza splatnosť faktúr 50 dní pri nasledovných objemoch
pohľadávok:
1. štvrťrok 2. štvrťrok 3. štvrťrok 4. štvrťrok
Pohľadávky v € 5 930 000 3 752 000 9 758 000 6 328 000
[Výhodnosť je porovnateľná A: 15,149% p.a., B: 15,163% p.a.]
4. Podnik sa rozhoduje medzi ponukami dvoch faktoringových spoločností. Ktorá z
nich je pre podnik za nasledovných podmienok výhodnejšia z hľadiska nákladov
v relatívnom vyjadrení?
A. Úroková sadzba 7,5 % p. a., faktoringový poplatok 1,1 % z ročného obratu,
záloha 75 % do 3 dní.
B. Úroková sadzba 6,5 % p. a., faktoringový poplatok 1,8 % z ročného obratu,
záloha 85 % do 5 dní.
Podnik uvádza splatnosť faktúr 50 dní pri nasledovných objemoch pohľadávok:
1. štvrťrok 2. štvrťrok 3. štvrťrok 4. štvrťrok
Pohľadávky v € 70 000 39 000 23 500 105 000
[ A: 14,409%]
99
14 LEASING
V slovenskom zákonodarstve je leasing charakterizovaný ako prenájom s právom
kúpy prenajatej veci. Je to trojstranný vzťah, ktorého aktérmi sú dodávateľ tovaru,
nájomca – užívateľ tovaru a leasingová spoločnosť – prenajímateľ, vlastník tovaru.
Leasing možno definovať z dvoch pohľadov. Z vecného hľadiska ide o prenájom
tovaru dlhodobej spotreby zákazníkom, ktorí ho používajú za úplatu (leasingové platby)
podľa zmluvne dohodnutých podmienok, s právom kúpy prenajatej veci. Vlastníkom
prenajímaného majetku je leasingová spoločnosť (lessor). Z finančného hľadiska
predstavuje leasing špeciálnu formu úverového krytia dlhodobých potrieb fyzických
a právnických osôb.
Leasingové splátky sú platby platené pravidelne (mesačne, štvrťročne) alebo
nepravidelne (sezónne) leasingovej spoločnosti. Ich výška je dohodnutá v leasingovej
zmluve a predstavuje nájomné za možnosť využívať predmet leasingu. Leasingové
splátky môže byť po celú dobu leasingu konštantné alebo nerovnomerné. Leasingová
platba pokrýva cenu obstarania predmetu leasingu u a leasingovú maržu. Obstarávacia
cena je cena predmetu leasingu , za ktorú ho nadobudla leasingová spoločnosť.
Leasingové spoločnosti spravidla požadujú tzv. akontáciu, t.j. peňažnú čiastku, ktorú
zaplatí nájomca pri podpise leasingovej zmluvy. Predstavuje určité percento z
obstarávacej ceny predmetu leasingu. Akontáciu majú leasingové spoločnosti zvyčajne
vymedzenú v rozmedzí od desať, dvadsať až do sedemdesiat percent. Akontácia
zároveň slúži ako určitá forma záruky za realizáciu obchodného prípadu.
Cena leasingu je suma, ktorú nájomca zaplatí leasingovej spoločnosti za jej služby
spojené s poskytnutím leasingu. Je to súčet prvej navŕšenej splátky, všetkých splátok,
poplatkov, zostatkovej hodnoty, prípadne ďalších poplatkov.
Koeficient leasingu vyjadruje percentuálne preplatenie leasingu. Je to pomer ceny
leasingu a obstarávacej ceny, ktorý je stále vyšší ako 1 a jeho hodnota závisí od
mnohých faktorov, akými sú: dĺžka leasingovej zmluvy, výška akontácie, úroková
sadzba, zisk leasingovej spoločnosti a pod. Nie je však zákonom stanovené, čo by mal
leasingový koeficient obsahovať, preto to nie je najlepší spôsob porovnania ponúk
leasingových spoločnosti.
Ročná percentuálna miera nákladov vyjadruje koeficient nákladov leasingu
vypočítaný podľa zákona o spotrebiteľských úveroch.
100
Doba leasingu je doba, počas ktorej je leasingová spoločnosť a nájomca v
zmluvnom vzťahu. Minimálna doba leasingu je stanovená v zákone a závisí od doby
odpisovania hmotného investičného majetku a jeho zaradenia do odpisovej skupiny.
Musí vždy predstavovať najmenej 60 percent z doby odpisovania v príslušnej odpisovej
skupine.
Spracovateľský poplatok je suma, ktorú nájomca zaplatí leasingovej spoločnosti
jednorazovo pri uzatvorení leasingovej zmluvy. Je určený buď fixne alebo ako percento
z obstarávacej ceny.
Zostatková hodnota je suma, ktorú vo forme splátok a akontácie nesplatí nájomca
z obstarávacej ceny. Zostatkovú hodnotu uhrádza zákazník na konci leasingu
jednorazovo. Môže byť nulová, stanovená ako pevná čiastka alebo percentuálne.
Môžeme sa stretnúť s tromi typmi leasingu: Finančný leasing, operatívny leasing
a spätný leasing.
Finančný leasing
Je najbežnejšou a najčastejšie využívanou formou prenájmu. Predmet leasingu,
ktorý si nájomca vyberie kúpi od dodávateľa leasingová spoločnosť. Predmet leasingu
je od momentu kúpi až po ukončenie leasingovej zmluvy majetkom prenajímateľa –
leasingovej spoločnosti. V okamihu, keď nájomca a leasingová spoločnosť podpíšu
leasingovú zmluvu a klient uhradí prvú splátku, takzvanú akontáciu, môže predmet
leasingu využívať. O prevádzku a údržbu predmetu leasingu sa stará nájomca, ktorý
má naň po ukončení obdobia prenájmu predkupné právo. Od leasingovej spoločnosti ho
odkupuje za vopred dohodnutú zostatkovú cenu.
Operatívny leasing
Využívajú ho väčšinou nadnárodné spoločnosti na obstaranie a správu svojho
firemného vozového parku. Ide iba o krátkodobý zmluvný vzťah medzi leasingovou
spoločnosťou a nájomcom. Základom operatívneho leasingu je prenájom majetku,
ktorý nájomca využíva, avšak po ukončení doby nájmu vlastnícke práva ostávajú
leasingovej spoločnosti. Tá môže po ukončení nájomnej zmluvy s majetkom nakladať
podľa svojho uváženia. Podstatou operatívneho leasingu je používanie prenajatej veci,
nie jej získanie. Trvanie operatívneho leasingu býva zvyčajne kratšie ako pri finančnom
leasingu. Leasingová spoločnosť poskytuje väčšinou nájomcovi aj sprievodné služby,
101
napríklad servis, údržbu, úhradu poistného. V prípade poruchy prenajatého zariadenia
poskytuje leasingová spoločnosť zvyčajne náhradu. Operatívny leasing sa využíva aj
pri prenájme počítačovej a kancelárskej techniky alebo pri sezónnych technológiách.
Spätný leasing
Tento typ leasingových operácií nie je využívaný v takej miere ako dva
predchádzajúce. Jeho podstatou je odpredaj majetku zákazníka, najčastejšie automobilu
alebo strojného zariadenia, leasingovej spoločnosti, ktorá sa stane jeho majiteľom.
Leasingová spoločnosť následne spätne prenajme majetok formou finančného alebo
operatívneho leasingu bývalému majiteľovi – novému užívateľovi. Ten takto získava
dodatočnú hotovosť a navyše môže využívať daňové úľavy leasingu.
Hlavnou výhodou leasingu je, že podnik môže užívať majetok i vtedy, keď nemá
jednorazové zdroje na jeho nákup. Leasingové financovanie je flexibilné a podnik nie je
ohrozený nedostatkom likvidity. Podnik si leasingové platby zakalkulováva do
nákladov a znižuje svoje daňové zaťaženie.
Predchádzajúce výhody leasingu pomáhajú podniku udržať úverovú schopnosť.
Nevýhodou leasingu môže byť fakt, že leasingové financovanie je spravidla
drahšie než financovanie prostredníctvom úveru, alebo dlhopisov. Neuvážené
financovanie prostredníctvom leasingu môže zhoršiť finančnú stabilitu podniku. Ďalšou
nevýhodou je, že na podnik (nájomcu) je prenesená väčšina vlastníckych rizík, ale
pritom pri svojich užívacích právach je obmedzený leasingovou zmluvou.
Pri hodnotení efektívnosti leasingu vzhľadom k ostatným formám financovania sa
berú do úvahy daňové aspekty, ktoré výdavky možno zahrnúť do nákladov, výška
akontácie a úspory pri jednotlivých spôsoboch financovania, časové rozloženie
leasingových splátok, dĺžka trvania leasingového vzťahu, sadzba a výška odpisov,
zvolená metóda odpisovania.
Pokiaľ porovnávame možnosti financovania prostredníctvom lízingu s nejakou inou
formou financovania, napr. Prostredníctvom úveru, obyčajne porovnávame čisté
súčasné hodnoty peňažných tokov jednotlivých variant.
Príklad 1: Nitrianska obchodná spoločnosť uvažuje o kúpe zariadenia v hodnote
3,5 mil. € , ktoré je zaradené do prvej odpisovej skupiny, životnosť zariadenia sa
102
predpokladá počas odpisovania, teda obdobie 4 rokov. Spoločnosť sa rozhoduje
financovať zariadenie prostredníctvom lízingu alebo prostredníctvom úveru.
Leasingová spoločnosť navrhuje nasledujúce podmienky: splátka zálohy vo výške
3 500 € na začiatku kontraktu a potom pravidelné štvrťročné splátky počas 4 rokov pri
k = 1,15
Banka navrhuje nasledujúce podmienky: úrok vo výške 9 % p. a., pravidelné polročné
splátky po dobu 4 rokov formou anuity.
Daň z príjmov je 19 % a predpokladáme, že spoločnosť si zvolí rovnomerný spôsob
odpisovania, pričom odpisy vchádzajú do nákladov priebežne po celý kalendárny rok.
Oba spôsoby financovania sa začínajú v januári 2009 a končia v decembri 2010.
Porovnajte oba spôsoby financovania, pri diskontnej sadzbe 10 % p. a.
Riešenie:
obdobie leasingová splátka daňová úspora
náklady na leasing po
zdanení
0 35 000 6 650 28 350
1 249 375 47 381 201 994
2 249 375 47 381 201 994
3 249 375 47 381 201 994
4 249 375 47 381 201 994
5 249 375 47 381 201 994
6 249 375 47 381 201 994
7 249 375 47 381 201 994
8 249 375 47 381 201 994
9 249 375 47 381 201 994
10 249 375 47 381 201 994
11 249 375 47 381 201 994
12 249 375 47 381 201 994
13 249 375 47 381 201 994
14 249 375 47 381 201 994
15 249 375 47 381 201 994
16 249 375 47 381 201 994
SPOLU 4 025 000 764 750 3 260 250
103
Keďže nakúpené zariadenie sa zaraďuje do prvej odpisovej skupiny, tak výška ročného
odpisu bude 1/4. Výšku ročného odpisu určíme ako podiel vstupnej ceny a doby
odpisovania. Podľa návrhu leasingovej spoločnosti budú splátky platené štvrťročne,
potom leasingovú splátku vypočítame nasledovne:
( ) 16/3500015,13500000 −⋅=splátka
Keďže leasingové splátky podliehajú zdaneniu, určíme výšku splátky po zdanení.
Náklady na leasing po zdanení musíme diskontovať na ich súčasné hodnoty. Diskontná
sadzba na jedno štvrťročné obdobie bude 0,10/4 = 0,025. Hodnota odúročiteľa je
( )obdobieodurocitel
025,011
+=
Súčasná hodnota budúcich nákladov na leasing je uvedená v tabuľke:
obdobie
náklady na leasing
po zdanení odúročiteľ
súčasná hodnota na
leasing po zdanení
0 28 350 1 28 350
1 201 994 0,976 197 067
2 201 994 0,952 192 261
3 201 994 0,929 187 571
4 201 994 0,906 182 996
5 201 994 0,884 178 533
6 201 994 0,862 174 179
7 201 994 0,841 169 930
8 201 994 0,821 165 786
9 201 994 0,801 161 742
10 201 994 0,781 157 797
11 201 994 0,762 153 948
12 201 994 0,744 150 194
13 201 994 0,725 146 530
14 201 994 0,708 142 956
15 201 994 0,690 139 470
16 201 994 0,674 136 068
SPOLU 3 260 250 2 665 379
104
Získali sme súčasnú hodnotu leasingu po zdanení. Cena leasingu bude smerodajná pre
rozhodnutie spoločnosti o investícii.
Nakoľko firma má ešte jednu možnosť financovania nákupu zariadenia, a to bankový
úver, je potrebné zostaviť umorovací plán. Umorovací plán zostavíme s rovnakou
výškou splátky (anuitou). Umorovací plán je v nasledujúcej tabuľke.
( ) nn iiDa −+−
⋅=11
obdobie anuita úrok úmor zostatok
0 3 500 000
1 530 634 157 500 373 134 3 126 866
2 530 634 140 709 389 925 2 736 941
3 530 634 123 162 407 471 2 329 470
4 530 634 104 826 425 808 1 903 662
5 530 634 85 665 444 969 1 458 693
6 530 634 65 641 464 993 993 701
7 530 634 44 717 485 917 507 784
8 530 634 22 850 507 784 - 0
SPOLU 4 245 070 -
V prípade financovania prostredníctvom úveru si spoločnosť môže dať do nákladov
úroky i odpisy z nakupovaného zariadenia. Odpisy sú rovnomerné, za polročné obdobie
do nákladov vchádza polovica ročných odpisov.
obdobie úrok
odpisy za
obdobie daňové daňová úspora
1 157 500 437 500 595 000 113 050
2 140 709 437 500 578 209 109 860
3 123 162 437 500 560 662 106 526
4 104 826 437 500 542 326 103 042
5 85 665 437 500 523 165 99 401
6 65 641 437 500 503 141 95 597
7 44 717 437 500 482 217 91 621
8 22 850 437 500 460 350 87 467
105
V nasledujúcej tabuľke je výpočet nákladov na úver po zdanení.
obdobie splátka daňová úspora
náklady na úver po
zdanení
1 530 634 113 050 417 584
2 530 634 109 860 420 774
3 530 634 106 526 424 108
4 530 634 103 042 427 592
5 530 634 99 401 431 232
6 530 634 95 597 435 037
7 530 634 91 621 439 013
8 530 634 87 467 443 167
Získané náklady na úver musíme diskontovať na súčasnú hodnotu nákladov na úver po
zdanení. Pretože sa plánujú polročné anuitné platby,
( )obdobieodurocitel05,011
+=
obdobie
náklady na úver po
zdanení odúročiteľ
súčasná hodnota na úver
po zdanení
1 417 584 0,952 397 699
2 420 774 0,907 381 654
3 424 108 0,864 366 360
4 427 592 0,823 351 781
5 431 232 0,784 337 882
6 435 037 0,746 324 631
7 439 013 0,711 311 998
8 443 167 0,677 299 953
SPOLU 2 771 959
Na základe výpočtu súčasnej hodnoty nákladov na leasing po zdanení a súčasnej
hodnoty na úver po zdanení je vidno, že firme sa oplatí predmet kúpy prefinancovať
leasingom. Financovanie leasingom bude pre obchodnú spoločnosť lacnejšie o 105 580
€ ako financovanie prostredníctvom úveru. Pre leasing sa firma rozhodne aj napriek
106
tomu, že daňová úspora je v prospech financovania prostredníctvom úveru, nakoľko nie
je až taká výrazná, aby jej využitie bolo rentabilné pre investujúcu firmu. Uvedená
daňová úspora je výhodou pre podnikajúci subjekt ale v tomto prípade nie dostačujúcou.
Uvedený model financovania leasingom je základným modelom, kde pri
rozhodovaní firma neuvažuje poistenie, poplatky leasingovej spoločnosti a ďalšie
náklady spojené s leasingom. Na základe tohto modelu je však pre firmu výhodnejšie
financovanie prostredníctvom leasingu, aj keď v skutočnosti býva forma financovania
leasingom drahšia.
Príklad 2 Podnik sa rozhodol prenajať si osobné motorové vozidlo na dobu 12
mesiacov, na ktorom hodlá najazdiť 58 000 km počas prenájmu. Vypočítajte mesačné
náklady na operatívny leasing pre podnik za takýchto zmluvných podmienok:
Základná cena vozidla: 900 000 €
Zmluvný počet najazdených km/rok: 40 000
Pod limitná sadzba na 1 km: 1,42 €
Nadlimitná sadzba na 1 km: 2,1 €
Amortizácia: 25 % ročne
Úrok: 9 % p. a.
Povinné ručenie ročne: 18 000 €
Havarijné poistenie ročne: 20 400 €
Servis: 2 000 € /mesiac
Pneuservis: 500 € /mesiac
Náhradné vozidlo: 4 800 € /ročne
Rádio s CD prehrávačom: 1 800 € /rok
Riešenie:
1. Prekročenie počtu kilometrov nad limit:
18 000 * 2,1 = 37 800 na rok; 37 800/12 = 3 150 € /mesiac
2. Amortizácia:
900 000 * 25/100 = 225 000 ročne; 225 000/12 = 18 750 € /mesiac
3. Úrok:
900 000 * 0,09/12 = 6 750 € /mesiac
4. Povinné ručenie:
18 000/12 = 1 500 € /mesiac
107
5. Havarijné poistenie:
20 400/12 = 1 700 € /mesiac
6. Servis:
2 000 € /mesiac
7. Pneuservis:
500 € /mesiac
8. Náhradné vozidlo:
4 800/12 = 400 € /mesiac
9. Rádio s CD prehrávačom:
1 800/12 = 150 € /mesiac
10. Náklady mesačne spolu:
3 150 + 18 750 + 6 750 +1 500 + 1 700 + 2 000 + 500 + 400 + 150 = 34 900 €
ÚLOHY NA RIEŠENIE:
1. Dopravná firma plánuje kúpiť nákladné auto za 800 000 €. Na jeho nákup nemá
voľné vlastné zdroje a rozhoduje sa medzi dvomi spôsobmi financovania:
A. čerpať na celú sumu štvorročný bankový úver pri úrokovej sadzbe 8 % p. a..
Úver sa bude splácať polročne s rovnakou výškou platby (anuitou)
B. získať auto leasingom, pričom leasingové platby sa platia 4 roky
(polročne).
Akontácia je vo výške 100 000 €, ostatné splátky sú vo výške 100 000 €. Odpisy sú
degresívne, zrýchlené a daň z príjmov je vo výške 19 %. Porovnajte obidva spôsoby
financovania pri diskonte 10 % p. a.
[Výhodnejšie financovanie bude prostredníctvom lízingu]
2. Podnik si prenajal osobné motorové vozidlo formou operatívneho leasingu na 12
mesiacov. Počas prenájmu na ňom najazdil 75 000 km. Vypočítajte mesačné náklady
na operatívny leasing pre podnik za nasledovných zmluvných podmienok:
Základná cena vozidla: 110 000 €
Zmluvný počet najazdených km/rok: 30 000
Pod limitná sadzba na 1 km: 1,31 €
108
Nadlimitná sadzba na 1 km: 2,7 €
Amortizácia: 25 % ročne
Úrok: 8 % p. a.
Povinné ručenie ročne: 16 000 €
Havarijné poistenie ročne: 22 500 €
Servis, pneuservis: 22 000 € /rok
Náhradné vozidlo: 5 000 € /ročne
[38 933,10 € /mesiac]
3. Podnik má možnosť si vybrať do prenájmu na dobu 6 mesiacov a 50 000 km formou
operatívneho leasingu nákladný automobil (kamión) v základnej cene 4 mil. € z
dvoch ponúk. Vypočítajte celkové náklady na operatívny leasing v jednotlivých
leasingových spoločnostiach za nasledovných podmienok:
A B
Zmluvný počet km/6
mesiacov 60 000 45 000
Odpisy v % ročne 20 25
Úroková sadzba v % 9,5 10
Diaľničná nálepka mesačne
€ 100 120
Povinné ručenie ročné € 25 000 22 000
Havarijné poistenie ročné € 40 000 37 000
Údržba,servis, pneumatiky/
€ ročne 15 000 13 000
Pod limitná sadzba € /l km 1,45 1,18
Nadlimitná sadzba € /l km 2,1 2,33
Tankovacia karta € /mesiac 50 -
[Výhodnejšia je ponuka A: 80 316,50 € /mesiac]
109
15 FORFAITING
Forfaiting patrí k novším a modernejším spôsobom financovania, ktorého objem vo
svete i u nás vzrastá. Je alternatívou k bankovým úverom.
Forfaitingom sa rozumie odkup pohľadávky bez spätného postihu na klienta.
Forfaiting je flexibilná možnosť financovania, ktorá umožňuje predávajúcemu
poskytnúť dodávateľský úver kupujúcemu bez toho, aby musel viazať svoje peňažné
prostriedky a znášať riziko z oneskorenej platby resp. z nezaplatenia. Vzhľadom na to,
že forfaiting je odkúpenie pohľadávky bez spätného postihu voči predajcovi, banky
požadujú zabezpečenie pohľadávky niektorým zo zabezpečovacích inštrumentov, ako
sú: neodvolateľný, dokumentárny akreditív (L/C) s odloženou splatnosťou minimálne
30 až 45 dní, vlastná alebo cudzia zmenka avalovaná bankou, alebo účtovnou
pohľadávkou krytou bankovou zárukou. Forfaitingová spoločnosť si vyžaduje aby
postupca odoslal dlžníkovi oznámenie o postúpení pohľadávky (tzv. tichá cesia nie je
možná)
Pohľadávka môže byť odkúpená iba pred splatnosťou a odkup prebieha na
diskontnej báze. Forfaitingové spoločnosti (banky) odkupujú v rámci forfaitingu
strednodobé a dlhodobé pohľadávky. Forfaiting sa používa najmä v zahraničných
obchodoch. Banka ako forfaitér v rámci odkupu pohľadávok vypláca vývozcovi
hodnotu pohľadávky ihneď, pričom hodnota pohľadávky je znížená o diskont
a poplatky spojené s touto operáciou. Výška diskontnej sadzby vychádza z úrokovej
miery pre úvery na medzibankovom trhu, je ovplyvnená rizikovosťou a bonitou
dlžníckeho subjektu. Výška spracovateľského poplatku je závislá od zložitosti
(dokumentárnej náročnosti) operácie. K tejto úrokovej miere sa pripočíta prirážka, ktorá
kryje jeho náklady, riziká a zahrňuje aj zisk.
Pre výpočet diskontu sa používa vzorec:
dnFD ..= (15.1)
kde:
D - výška diskontu
n - dĺžka kontraktu v rokoch
F - fakturovaná čiastka
d - diskontná sadzba vyjadrená ako desatinné číslo.
Na výpočet ceny odkupu 0K platí vzorec:
110
( )dnFDFK −=−= 10 (15.2)
Výhody forfaitingu sú:
• Promptné vyplatenie predajcu ihneď po dodaní tovaru a akceptovaní dokumentov
spoločnosťou, zlepšenie bilancie a cash – flow predajcu
• Premena úverového obchodu (dodávateľského úveru) na obchod v hotovosti a s tým
spojené zlepšenie likvidity, resp. eliminácia rizika platobnej neschopnosti,
výhodnejšie konkurenčné postavenie predávajúceho na trhu tým, že poskytuje
kupujúcemu dodávateľský úver
• Možnosť forfaitovania v predstihu v predkontačnej etape a forfaitingové náklady
môžu byť zapracované do ceny kontraktu
• Vhodný pre exportérov vo všetkých hospodárskych odvetviach, nakoľko pre
forfaiting nie je presne vymedzený okruh tovarov a služieb, ktoré môžu byť týmto
spôsobom prefinancované
• Financovanie bez spätného postihu na predávajúceho
• Predávajúci neznáša kurzové ani úrokové riziko
• Jednoduchá dokumentácia a administrácia obchodného prípadu
Príklad 12: Podnik má pohľadávku u zahraničného odberateľa v hodnote 500 000 € s
dvojročnou splatnosťou. Úroková miera na medzibankovom trhu pre dvojročné úvery je
9 % p. a. a k tejto úrokovej miere si forfaiter pripočíta prirážku vo výške 2,5 %, jeho
diskontná sadzba je 11,5 % p. a. vypočítajte diskont a výšku odkupu pohľadávky.
Riešenie: Zo zadania máme F= 500 000 €, n = 2 roky, d = 0,115
Potom diskont vypočítame podľa (15.1):
D= 500 000 . 2 . 0,115 = 115 000€
Cenu odkupu vypočítame podľa (15.2).
0K = 500 000 - 115 000 = 385 000 €
Forfaiter odkúpi pohľadávku za 385 000 €
111
ÚLOHY NA RIEŠENIE:
1. Podnik má pohľadávku u domáceho odberateľa v hodnote 37 500 € s ročnou lehotou
splatnosti. Úroková miera na medzinárodnom bankovom trhu na ročné úvery je 8 %
p. a. K tejto úrokovej miere si forfaiter pripočíta 1,25 %. Vypočítajte výšku diskontu
a sumu, za ktorú pohľadávku forfaiter odkúpi.
[3468,75 €, 34 031,25 €]
2. Dodávateľ má pohľadávku u domáceho odberateľa v hodnote 5 mil. € s ročnou
lehotou splatnosti. Úroková miera na medzibankovom trhu pre 12 mesačné úvery je
9 % p.a. K tejto úrokovej miere si forfaiter pripočítava prirážku vo výške 1,5 %.
Vypočítajte výšku diskontu a sumu, za ktorú forfaiter pohľadávku odkúpi.
[525000 €, 4 475 000 €]
112
LITERATÚRA
[1] BUJNOVÁ, D., - VARGOVÁ, A.,: Podnikanie v malých a stredných podnikoch –
Praktikum. Bratislava: EKONÓM 2006. ISBN 80-225-2254-6
[2] BRONDOŠOVÁ. J.,: Lízing rástol nečakane rýchlo. In: TREND TOP vo
finančníctve, JÚN 2006, s. 56
[3] CIPRA,T.: Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. HZ Praha 2001,
ISBN 80-901918-0-0
[4] FETISOVOVÁ, E., a kol.: Podnikové financie – Zbierka príkladov. Bratislava:
IURA EDITION 2005.
[5] HYRÁNEK, E., - JÁNOŠOVÁ, V.: Dlhové financovanie – Zbierka príkladov.
Bratislava: EKONÓM 2006. ISBN 80-225-2160-4.
[6] MACHÁČEK, O.: Finanční a pojistní matematika (2. doplněné vydání),
Prospektrum, Praha, 2001, ISBN 80-7175-104-9
[7] POTOCKÝ, R.: Finančná matematika. UK Bratislava, 1997. ISBN 80-223-1090-5
[8] RADOVÁ, J. – DVOŘÁK, P.: Finanční matematika pro každého. (4. rozšírené
vydání), GRADA Publishing 2003. ISBN 80-247-04730
[9] RADOVÁ, J. A KOL.: Finanční matematika pro každého příklady. GRADA
Publishing 2008. ISBN 978-80-247-2346-8
[10] RADOVÁ, J.- CHÝNA, V.-MÁLEK, J.: Finanční matematika v příkladech..
PROFESSIONAL Publishing 2005. ISBN 80-86419-86-X
[11] SKŘIVÁNKOVÁ, V.- SKŘIVÁNEK, J.: Kvantitatívne metódy finančných
operácií. IURA EDITION 2006. ISBN 80-8078-074-9
[12] URBANÍKOVÁ, M. – VACULÍKOVÁ, Ľ: Aktuárska matematika, 1. vydanie,
STU, Bratislava, 2006, ISBN 80-227-2442-4
Recommended