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ESPAD III * TC 1
NUMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
Tipos de números
• NATURALES (N)
• ENTEROS ( Z)
• NEGATIVOS
• RACIONALES ( Q )
• FRACCIONARIOS REALES ( R )
• IRRACIONALES
• IMAGINARIOS
CO
MP
LE
JOS
( C
)
Función y utilidad de los números.
•• Los números permiten:
• CONTAR Números cardinales• ORDENAR Números ordinales• IDENTIFICAR
• Y además....
• EXPRESAR MEDIDAS Medir• CALCULAR Aritmética
LOS NÚMEROS NATURALES• Origen de los números naturales• Los números naturales surgen por la necesidad de contar.• Tal y como se conocen hoy en día, los números naturales son: • 0, 1, 2, 3, 4... • Se representan con la letra N.
• El sistema de numeración decimal• Es un sistema que sirve para expresar cualquier número. • En él se utilizan diez cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9• A estas cifras se les llama cifras arábigas, porque fueron introducidas por
los árabes. • Cada cifra fue elegida según el número de ángulos que tenía su grafo
original:
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD POR:
2 Todos los números terminados en 0 o en cifra par 312
3 Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 3 321
4 Todo número cuyas dos últimas cifras formen un múltiplo de 4 2512
5 Todo número que termine en 0 o en 5 315
6 Todo número múltiplo de 2 y de 3 a la vez 312
7 Todo número que al suprimir la cifra de las unidades y restar del número que queda el doble de la cifra suprimida, se obtenga un múltiplo de 7
476(35)
8 Todo número cuyas tres últimas cifras formen un múltiplo de 8 13.720
9 Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 9 7.578
10 Todo número que termine en 0. 12.780
11 Todo número en el cual el valor absoluto de la diferencia de la suma de las cifras de lugar par e impar sea múltiplo de 11
8.195
NÚMEROS ENTEROS
• Un número entero a es menor que otro b, si para pasar del número a al número b hay que añadirle una o más unidades.
• Se escribe a < b
• Ejemplo 1
• 2 < 5 Al 2 hay que añadirle 3 unidades para llegar al 5.
• Ejemplo 2
• - 2 < 3 Al - 2 hay que añadirle 5 unidades para llegar al 3.
• Un número entero a es mayor que otro b, si para pasar del número a al número b hay que quitarle una o más unidades.
• Se escribe a > b
• Ejemplo 1
• 5 > 2 Al 5 hay que quitarle 3 unidades para llegar al 2.
• Ejemplo 2
• 2 > - 3 Al 2 hay que quitarle 5 unidades para llegar al - 3.
• Ejemplo 3
• - 2 > - 5 Al - 2 hay que quitarle 3 unidades para llegar al - 5.
USO DE NÚMEROS ENTEROS
• USOS
• Hay situaciones que se pueden expresar matemáticamente utilizando sólo los números naturales.
• Ejemplos: Edad de una persona, número de hijos de una familia, número de viviendas en un barrio, etc.
• Pero hay otras situaciones en que aparecen cantidades que necesitan un sentido, y que se representan con los números positivos y negativos.
• Ejemplos:• Ganar o perder dinero, tener o deber.• Temperatura por encima o por debajo de 0ºC.• Tiempo después de Cristo o antes de Cristo.• Alturas de una vivienda o sótanos.• El conjunto de números positivos (N, naturales) y números negativos son
los números enteros (Z).
LOS NÚMEROS NEGATIVOS
• Se expresan con un – delante• Ejemplo: – 5
• Los + están por encima de cero, y los – por debajo de cero.• Ejemplo: – 5 < 0 ; + 7 > 0
• El cero no es ni + ni –• Ejemplo: 0 ; + 0 Mal ; – 0 Mal
• Cuando se opera con – deberán ir entre paréntesis• Ejemplo: 5 + (– 3)
• Cuando el nº es + no se pone signo.• Ejemplo: – 5 = – 5 ; + 9 = 9 ; + 13 = 13
• Sea la expresión: A = 2 + (-3) + 4 + (-5) + (-6) + 7 + 8• • Los paréntesis que hay en ella no son tales. Es una manera de indicar que
son números enteros negativos.• No se pueden poner dos signos seguidos: 2 + - 3
• Resolvemos:
• Se escriben todos los números aplicando la regla de los signos:
• A = 2 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7 + 8
• Y finalmente se opera de izquierda a derecha; o se suman por un lado todos los positivos y por otro lado todos los negativos, restándose ambas sumas:
• A = (2 + 4 + 7 + 8 ) – ( 5 + 6) = 21 – 11 = 10
Sumas y diferencias SIN PARÉNTESIS
• Otro ejemplo:
• Sea la expresión: B = 3 - (-2) + 7 - (-5) + (- 4) + 1 + 8• • Resolvemos:
• Se escriben todos los números aplicando la regla de los signos:
• B = 3 + 2 + 7 + 5 – 4 + 1 + 8
• B = (3 + 2 + 7 + 5 + 1 + 8 ) – ( 4) = 26 – 4 = 22
• Sea la expresión:
• A = 2 + ( 3 – 4 ) + 1 – ( - 5 + 6 – 7 )• • Resolvemos:
• Se realizan las operaciones que hay dentro de los paréntesis:
• A = 2 + (– 1) + 1 – (– 6)
• Y finalmente se opera ya sin paréntesis:
• A = 2 - 1 + 1 + 6 = 9 – 1 = 8
Sumas y diferencias CON PARÉNTESIS
• Otro ejemplo:
• Sea la expresión:
• B = - 5 + (– 3 + 4 ) + 2 – ( - 7 + 6 – 8 )• • Resolvemos:
• Se realizan las operaciones que hay dentro de los paréntesis:
• A = - 5 + (1) + 2 – (– 9)
• Y finalmente se opera ya sin paréntesis:
• A = - 5 + 1 + 2 + 9 = 12 – 5 = 7
• Para hallar el producto de dos números enteros:
• 1.- Se multiplican sus valores absolutos.• 2.- El resultado es un número positivo si los dos números tienen el
mismo signo.• 3.- El resultado es un número negativo si los dos números tienen el
signo diferente.• • Regla de los signos de la multiplicación:
• (+) x (+) = (+)• (+) x (-) = (-)• (-) x (+) = (-)• (-) x (-) = (+)
• Ejemplos: 4 x (-9) = - 36 ; (-3) x (- 7) = 21
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
• En una división exacta se cumple siempre:• Dividendo = divisor x cociente
• Dividir dos números entre sí es encontrar un tercer número cuyo producto por el divisor nos de el dividendo.
• • Regla de los signos de la multiplicación:
• (+) : (+) = (+)• (+) : (-) = (-)• (-) : (+) = (-)• (-) : (-) = (+)
• Ejemplos: 36 : (-9) = - 4 ; (-21) : (- 3) = 7
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
• DIVISIÓN EXACTA: D =d.c
• Si un número (D=dividendo) se divide entre otro (d=divisor), se obtiene el cociente (c ).
• Si el resto es 0 entonces la división es exacta.
• DIVISIÓN ENTERA: D=d.c+r
• Si hay resto distinto de 0, entonces la división es entera.
• EJEMPLO DE DIVISIÓN EXACTA:
• Dividendo = divisor x cociente
• 12 : 6 = 2 D =d.c 12 = 6.2
• Pues D=12, d=6 y c=2
• EJEMPLO DE DIVISIÓN ENTERA:
• Dividendo = divisor x cociente + resto
• 13 : 5 = 2 y de resto 3 D=d.c+r 13 = 5.2 + 3
• SACAR FACTOR COMÚN
• Si tenemos 12 + 15 , a veces nos interesa sacar factor común.• 12 = 3.4• 15 = 3.5
• El 12 y el 15 tienen un factor común, que es el 3.
• Lo extraemos: 12 + 15 = 3.4 + 3.5 = 3.(4+5)
• Vemos si es verdad:
• 12 + 15 = 3.(4+5) , 27 = 3.9 , 27 = 27
• La operación de sacar factor común es la inversa de aplicar la propiedad distributiva.
JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES
•• Cuando hay mezcla de sumas, productos, paréntesis, etc…
• Primero se realizan los PARÉNTESIS, si les hay.• Si hay paréntesis anidados ( uno dentro de otro) se opera de dentro
hacia fuera.
• Segundo las POTENCIAS y RAÍCES, si las hay.
• Tercero los PRODUCTOS y DIVISIONES, si los hay.
• Cuarto las SUMAS y RESTAS, si las hay
• Si hay una igualdad en el orden o jerarquía en las operaciones, se opera de IZQUIERDA a DERECHA.
• Ejemplo 1
• 5 + 4 – 7 – 2 + 6 =
• Todas son sumas o restas, presentan el mismo orden jeraquico.
• Operamos de izquierda a derecha:• = 5 + 4 – 7 – 2 + 6 =• = 9 – 7 – 2 + 6 =• = 2 – 2 + 6 =• = 0 + 6 =• = 6
• Ejemplo 2
• 8 : 4 . 7 : 2 : 7 =
• Todas son productos o divisiones, presentan el mismo orden jerárquico.
• Operamos de izquierda a derecha:
• = 8 : 4 . 7 : 2 : 7 = • = 2. 7 : 2 : 7 = • = 14 : 2 : 7 = • = 7 : 7 = • = 1
• Ejemplo 3
• 5 + 4.3 – 7.9 + 40:5 =• Hay sumas, restas, productos y divisiones.• Primero efectuamos los productos y divisiones de
izquierda a derecha:• = 5 + 4.3 – 7.9 + 40:5 =• = 5 + 12 – 7.9 + 40:5 =• = 5 + 12 – 63 + 40:5 =• = 5 + 12 – 63 + 8 =• Y después las sumas y restas de izquierda a derecha:• = 5 + 12 – 63 + 8 =• = 17 – 63 + 8 =• = – 46 + 8 =• = - 38
• Ejemplo 4:
• 5 + 4.(3 – 7).9 + 40:5 =
• Vemos que hay un paréntesis. Será lo primero que efectuemos:• = 5 + 4.(-4).9 + 40:5 =
• Luego productos y divisiones, de izquierda a derecha:• = 5 + (-16).9 + 40:5 =• = 5 + (-144) + 40:5 =• = 5 + (-144) + 8 =
• Y después las sumas y restas de izquierda a derecha:• = 5 - 144 + 8 =• = – 139 + 8 =• = - 131
• Ejemplo 5:
• 5 + 4.[3 – 7.(9 – 2)] : 4. 5 + 2 =
• Vemos que hay un paréntesis anidado.• 5 + 4.[3 – 7.(9 – 2)] : 4. 5 + 2 =
• Queda:• 5 + 4.[3 – 7.7] : 4. 5 + 2 =
• En el paréntesis que queda hay restas y productos.
• Queda:• 5 + 4.[3 – 49] : 4. 5 + 2 =• 5 + 4.[ – 46] : 4. 5 + 2 =
• Vemos que hay sumas, productos y divisiones.
• 5 + 4.[ – 46] : 4. 5 + 2 =• Vemos que hay sumas, productos y divisiones.
• Productos y divisiones de izquierdas a derecha, quedando:• 5 + [ – 184] : 4. 5 + 2 =• 5 + [ – 46] . 5 + 2 =
• Finalmente las sumas y restas de de izquierdas a derecha, quedando:
• 5 + [ – 230] + 2 =• - 225 + 2 =• - 223
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