Modulo i Lezione 4

Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaC di T i d ll C i i I° M d l A/A 2007 08

LEZIONE N° 4 – STATO LIMITE ULTIMO DI TORSIONE

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08

LEZIONE N 4 STATO LIMITE ULTIMO DI TORSIONE

• Posizione del problema• La torsione di travi in c.a - I° stadio: il comportamento elasticoLa torsione di travi in c.a I stadio: il comportamento elastico

– la torsione nelle sezioni monoconnesse– La torsione nelle sezioni biconnesse

• La torsione di travi in c.a - III° stadio: SLU– quadro fessurativo di una trave in c.a. soggetta a torsione– Il modello a traliccio– Il progetto delle armature longitudinali– Il progetto delle armature trasversali

• Indicazioni normative– Le prescrizioni del D.M. 14.09.05– Le prescrizioni dell’Eurocodice EC2

• La contemporanea presenza di Torsione e taglio• Esempio: progetto di una trave in c.a. soggetta a torsione

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SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema)

Le azioni torcenti sono presenti in molte situazioni strutturali essendo i carichidifficilmente applicati al centro di taglio della trave. Tuttavia, nella praticaprogettuale esse vengono in genere trascurate sia perché le strutture sononormalmente considerate piane, sia perché in effetti, a parte casi particolari, essenon producono rilevanti effetti indesideratinon producono rilevanti effetti indesiderati.

Torsione Primaria(Balconi, Scale, etc.)(Balconi, Scale, etc.)

i d i

Mt

Torsione Secondaria

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SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema)

Torsione secondaria delle travi di un solaioun solaio

Torsione primaria della trave di un pbalcone o dell’impalcato di un ponte

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SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema)

Il comportamento di travi in calcestruzzo soggette a torsione è molto differente alvariare del livello di sollecitazione. Per bassi livelli di sollecitazione la trave sicomporta con buona approssimazione come una trave di De Saint-Venant,dunque con sezione interamente reagente (I° Stadio). Al crescere del momentotorcente la trave comincia a fessurarsi con riduzione della rigidezza torsionale Latorcente la trave comincia a fessurarsi con riduzione della rigidezza torsionale. Laresistenza della trave allo stato limite ultimo è fornita da una parte limitata dellasezione e dalle armature presenti.

Mt crescente

I° Stadio III° Stadio

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La torsione in travi in c.a. (I° stadio)

SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)Al I° stadio la trave si comporta approssimativamente come una trave di DeSaint-Venant soggetta a Momento Torcente. Le tensioni tangenziali presentano unandamento lineare che si annulla a metà dello spessore.

M2

tma ψτ = ⎨

⎧ →==

79.41b/hψge

nzia

li τ Tensioni Tangenziali

hb2max ψτ⎩⎨ →∞= 3b/h

ψ

ensi

oni t

ang

Rigidezza Torsionale

nto

delle

te

hGbMK 3tt β

θ==

⎩⎨⎧

→∞=→=

=3/1b/h

41.01b/hβ

And

amen

Angolo di torsione: Rotazione tra due sezioni a distanza unitaria

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SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)

SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)Nelle travi con sezione decomponibile in più rettangoli, il momento torcenteagente nei singoli rettangoli si valuta in proporzione alla rigidezza torsionale deirettangoli stessi.

MK

Momento Torcente e tensioni tangenziali nel rettangolo i-mo

M

i2

i

tiiimax, hb

Mψτ =∑

=i

ti

titti K

KMMMt1

Mt2

τmax,i

N.B. il procedimento per la valutazione dei singoli momentitorcenti Mti è in realtà esatta solo per h/b=∞, ma può essere

tt t t ll bil i i h i i i

Mt3

accettata con tollerabile approssimazione anche in sezioni conspessore non trascurabile.

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SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)

SEZIONI CAVE (VALUTAZOINE TENSIONI TANGENZIALI)Nelle travi a sezione cava le relazioni precedenti non sono applicabili. Per sezionidi piccolo spessore esiste una teoria approssimata dovuta a Bredt che permettedi valutare la tensione media lungo lo spessore.

La forza elementare agente sul tratto disezione di lunghezza ds risulta essere pari a:

dshdsqdF τ== dshdsqdF τIl momento esterno Mt dovrà essereequilibrato dalla somma dei momenti che leforze dF hanno rispetto al baricentro della

Ω sezione:

∫∫∫ Ω==== q2rdsqrdsqqdsrMt

Ω Costanza flusso delle tensioni

h2Mt

Ω=τ Formula

di Bredtse h=cost

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SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)

SEZIONI CAVE (VALUTAZIONE RIGIDEZZA TORSIONALE)La rigidezza torsionale di travi cave di piccolo spessore si può trovarefacilmente utilizzando il principio di conservazione dell’energia. Uguagliandoinfatti l’energia di deformazione al lavoro delle forze esterne si ha:

θtM1L =

Lavoro Esterno

θθ2

KG4M =Ω

=(TeoremaC )θte M

2L

1Energia di deformazione

θθ tt K

hdsM ==

∫Rigidezza Torsionale Mt

di Clapeyron)

∫= dVLi γτ21

11 Eτ

h2t

Ω=τ

ei LL = ∫= dVMt γτθ21

21

Ponendo)1(2

EGG ντγ

+==

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SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)

LINEE ISOSTATICHE DI UNA TRAVE SOGGETTA A TORSIONE

Mt Le linee isostatiche di una trave cava soggetta amomento torcente sono quelle schematicamentemomento torcente sono quelle schematicamenteindicate nella figura in basso.

ElementoRiferimento principale

Elementoinfinitesimo

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SLU per torsione in travi in c a (III° stadio)

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SLU per torsione in travi in c.a. (III stadio)

STATO FESSURATIVO E MODELLO A TRALICCIO

Nel momento in cui la trave si fessura perde rigidezza e la sezione reagisce soloparzialmente alla sollecitazione. Allo stato limite ultimo è ragionevole adottareun modello a traliccio, considerando come parte reagente della sezione unasezione cava di spessore h L’andamento delle linee isostatiche primasezione cava di spessore h. L andamento delle linee isostatiche primaillustrato suggerisce il modello indicato in figura costituito da bielle compressedi cls e bielle tese rappresentate dall’armatura in ognuna delle quattro facceesterne. Questi quattro modelli piani sono poi connessi nello spazio mediantearmature longitudinali.

TRALICCIODIDI RAUSCH

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SLU per torsione in travi in c.a. (III stadio)

CALCOLO ARMATURE LONGITUDINALI

Considerata un porzione della sezione di lunghezza unitaria la forza su di esse(scorrimento) vale τh dove h è lo spessore della sezione tubolare. Perl‘equilibrio questa forza si scompone in una forza nell’armatura long. (Fl) eun’altra nella biella compressa (C) La forza di compressione C allo spigolo dellaun altra nella biella compressa (C). La forza di compressione C allo spigolo dellasezione ha una componente orizzontale equilibrata dall’armatura longitudinale.

αατ

sin2M

sin1hC t

Ω==

αα sin2sin Ω

αατ

tan2M

tan1hF t

1l Ω==

d

yd

t

yd

1ll ftan2

pMf

pFAαΩ

==

d

ydyd ff

p = perimetro sezione tubolare1.0 <cotα <2.0

Armatura Longitudinale

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SLU per torsione in travi in c.a. (III stadio)

CALCOLO ARMATURE TRASVERSALI

La componente verticale deve essere invece equilibrata da un’armaturatrasversale (staffe)

N° staffe intercettare da una biella di cls

Ω==⋅⋅=

2sin1 t

stMChF ατ

M

scotdnst

α=

MAnAd

2MfAn t

ydst,1st Ω=α

αtan

f2M

cotdAn

sA

yd

tst,1stst

Ω==

α2lst tanpA

sA

=α

αtanpfA2

M ydlt =

Armatura Trasversale

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SLU per torsione in travi in c.a. (III stadio)

CALCOLO ARMATURE A TORSIONE

α2lst tanpA

sA

=

Fissato l’angolo α e determinata la quantità diarmatura longitudinale Al si può determinarel’area delle staffe per unità di lunghezza dellattrave.In alternativa, fissata l’armatura trasversale el’angolo α di inclinazione delle fessure si puòvalutare l’armatura longitudinale. Se poi sig pvalutano indipendentemente armaturalongitudinale e trasversale si può ricavare ilvalore dell’angolo di inclinazione delle bielle α

α

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SLU per torsione in travi in c.a. (III stadio)

VERIFICA BIELLE COMPRESSE

La forza di compressione C deve essere compatibile con la resistenza del cls. Inparticolare la tensione nella biella di cls compresa tra due fessure a distanzaunitaria, la cui area resistente è pari a A=1 x h x cosα

ασ

2sinhM

AC t

c Ω== α2sin, hfM cdCtu Ω=

Se α = 45°cosα

hM

AC t

c Ω==σ

Momento ultimo per

hfM cdC,tu Ω=

schiacciamento delle bielle di cls

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SLU per torsione in travi in c.a. (III stadio)

RIFERIMENTI NORMATIVI (EUROCODICE 2)L’eurocodice impone che lo spessore sia pariL’eurocodice impone che lo spessore sia parial rapporto tra l’area racchiusa dalperimetro esterno e il perimetro esterno pstesso.

pAh = A = area racchiusa dal perimetro esterno p

AIl valore minino di h = 2 c con c=copriferro

hL’EC2 impone inoltre che per la verifica dellebielle compresse la resistenza acompressione del cls sia ridotta del fattore ν

p

p

35.0200f7.07.0 ck ≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=ν

Nelle travi a a cassone se le staffe sono disposte su entrambe le facce ν può essere ≥ 0.5

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SLU per torsione in travi in c.a. (III stadio)

LA CONTEMPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE

Nella maggior parte dei casi gli elementi strutturali sottoposti a torsione sonoanche in genere sottoposti anche a taglio. Si pensi ad esempio ad una trave chegarantisca l’equilibrio dell’aggetto di un balcone e contemporaneamentegarantisca l’equilibrio ai carichi verticali rappresentati dal peso del solaio e dellagarantisca l equilibrio ai carichi verticali rappresentati dal peso del solaio e dellatamponatura, oltre che al preso proprio. La contemporanea azione di taglio e

torsione produce un certo grado diinterazione tra le due sollecitazione

Vd (Taglio di calcolo)

che tuttavia nella pratica progettuale siritiene opportuno trascurare. Learmature così calcolate si sommanosemplicemente Occorre però

Mtd (Momento torcente di calcolo)

semplicemente. Occorre peròverificare la seguente condizione (Ec2)

22⎞⎛⎞⎛ VM M t t t lti

1≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

u

d

tu

td

VV

MM Mtu = momento torcente ultimo

Vu = Taglio ultimo

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LA CONTEMPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE (EC2)

122

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ dtd

VV

MM

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ utu VM

Mtu = momento torcente ultimo per crisi del cls

V T li l i i i d l l

hfM cdtu Ω=ν

dbfV 9050 ν Vu = Taglio ultimo per crisi del clsdbfV cdu 9.05.0 ν=

3507070 ≥⎟⎞

⎜⎛ −= ckfν V = Fattore di riduzione della resistenza35.0

2007.07.0 ≥⎟

⎠⎜⎝

−=ν Vu Fattore di riduzione della resistenza a compressione

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ESERCIZIO

Con riferimento all’Eurocodice 2

1) si dimensioni allo stato limite ultimo una sezione rettangolare in c.a.soggetta ad un momento torcente Mt=46 kNm. A tale scopo di utilizzi uncalcestruzzo di classe C20/25 e un acciaio con resistenza caratteristica allo

t f 430 MPsnervamento fyk=430 MPa.

2) Si dimensioni l’armatura longitudinale e trasversale a torsione della trave.

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ESERCIZIO: PROGETTO DI UNA TRAVE SOGGETTA A TORSIONE

Utilizzando un copriferro di 3 cm e scegliendo lo spessore della sezionetubolare equivalente h pari a 2 volte il copriferro c l’area della sezione

QUESITO N° 1

tubolare equivalente h pari a 2 volte il copriferro c, l area della sezionesoggetta al momento torcente Mt si ricava dalla formula che fornisce ilmomento torcente ultimo della sezione per schiacciamento delle biellecompresse inclinate di un angolo θ:compresse inclinate di un angolo θ:

θν 2sinhfM Ω=M t=Ω

M t=Ωθν 2sinhfM cdt Ω=θν 2sinhfcd

=Ω θν 2sin2 cfcd

Ω

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ESERCIZIO

Scegliendo come forma della sezione quella rettangolare e prefissando la base B l’altezza H si può ricavare dall’espressione di Ω come segue:

QUESITO N° 1

base B l altezza H si può ricavare dall espressione di Ω come segue:

( )cHcB 2)2( −×−=Ω cB

H 22

+Ω

=( ))( cB 2−

Partendo da un valore cautelativo di θ=26°.5 e scegliendo una base B=40 cm si ha:

21765803.03297.1417.02

4600 cm=××××

=Ω cmH 60323240

1765≅×+

×−=

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ESERCIZIO

QUESITO N°2

Armatura longitudinale:Armatura longitudinale:

293.134.375.017652)6040(24600

tan2cm

fpMA

yd

tl =

×××+×

=Ω

=θ

si scelgono 6φ18 =15.24 cm2

yd

In tal modo si dispongono 4 ferri d’angolo e due ferri di parete distanti dai primi 28 cm, inferiore almassimo ammesso dall’Ec2 e pari a 35 cm

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ESERCIZIO

QUESITO N°2

Armatura Trasversale:

mcm

cmcm

sAst

222 74.10174.0tan

)6040(293.13

==+×

= θ

Scegliendo staffe φ8 il passo è pari a

50 cmms 2828.074.15.0

===

Tale passo risulta superiore al massimo ammesso e pari a 1/8 del diametro esterno della sezione edunque pari a 1/8 × 2 (40+60) = 25 cm. Il passo delle staffe si assume quindi pari a s = 25 cm dunque pari a 1/8 × 2 (40+60) 25 cm. Il passo delle staffe si assume quindi pari a s 25 cm