View
1.209
Download
6
Category
Preview:
Citation preview
MODUL 5
INVERS MATRIK
PRAYUDI STT PLN
PENGERTIAN INVERS MATRIK
Matrik bujur sangkar A dikatakan mempunyai invers, jika terdapat
matrik B sedemikian rupa sehingga :
AB = BA = I
dimana I matrik identitas
B dikatakan invers matrik A ditulis A–1
, maka, AA–1
= A–1
A = I
A dikatakan invers matrik B ditulis B–1
, maka, B–1
B= BB–1
= I
Contoh ; AB = BA = I
111
230
132
653
432
321
111
230
132
100
010
001
653
432
321
TEKNIK MENGHITUNG INVERS
Metode Adjoint matrik
Metode operasi elementer baris
Metode Perkalian Invers Matrik Elementer
Metode partisi matrik
Program Komputer – MATCADS, MATLAB
WS OFICE EXCELL
Metode Adjoint Matrik
Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn), Cij=(-1)i+j Mij kofaktorelemen matrik aij, dan andaikan pula det(A)≠0 maka A mempunyaiinvers yaitu :
adj(A)det(A)
1A 1
dimana,
ijji
ij
nnnnn
n
n
n
MC
CCCC
CCCC
CCCC
CCCC
Aadj
)1(
...
...............
...
...
...
)(
321
3332313
2322212
1312111
Kasus, n = 2 : maka
2221
1211
aa
aaA
1121
1222
21122211
1 1
aa
aa
aaaaA
Kasus, n = 3
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
332313
322212
312111
332313
322212
3121111-
MM-M
M-MM-
MM-M
det(A)
1
CCC
CCC
CCC
det(A)
1A
CONTOH :
554
543
432
A det(A)= 1
1-21-
26-5
1-55-
9)-(812)-(10-16)-(15
12)-(10-)16-10(20)-(15-
16)-(1520)-(15-25)-(20
43
32
54
32-
54
43
53
42-
54
42
54
53-
54
43
55
43-
55
54
(1)
1A 1-
KASUS : n = 4
44342414
43332313
42322212
41312111
1-
44434241
34333231
24232221
14131211
MM-MM-
M-MM-M
MM-MM-
M-MM-M
det(A)
1 A
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
CONTOH :
Hitunglah invers matrik berikut ini :
Ekspansi baris -1 :
det(a)=M11-2M12+3M13-4M14
=-10 – 2(5) + 3(9) – 4(2)= –1
6863
4753
5532
4321
A
Ekspansi baris-2 :
det(A)=-2M21+3M22-5M23+5M24
=-2(-6) –3(4) + 5(-6) –5(-1)= –1
Ekspansi baris-3 :
det(A)=3M31-5M32+7M33-4M34
=3(-8) –5(3) + 7(6) –4(1)= –1
Ekspansi baris-4 :
det(A)=-3M41+6M42-8M43+6M44
=-3(-7) +6(2) - 8(5) + 6(1)= –1
INVERS : OPERASI ELEMENTER BARIS
Operasi Elementer baris yang
digunakan adalah :
(1). Hj kHj
(2). Hj Hi
(3). Hj Hj + kHj
1000
...1......
0010
0001
...
.........
...
...
21
22221
11211
nnnn
ii
n
n
aaa
a
aaa
aaa
Langkah-langkah sebagai berikut
(1). Bentuk matrik lengkap [A,I]
(2). Dengan serangkain operasi
elelemter baris reduksilah [A,I]
menjadi matrik berbentuk [I,B]
(3). A–1 = B
nnnn
ii
n
n
bbb
b
bbb
bbb
...
.........
...
...
1000
...1......
0010
0001
21
22221
11211
nnnn
ii
n
n
bbb
b
bbb
bbb
...
.........
...
...
AJadi,
21
22221
11211
1-Operasi elementer baris
Gaouss-Jordan
CONTOH :
M.Asal
2 3 4 1 0 0
3 4 5 0 1 0
4 5 5 0 0 1
Iterasi-1
1 1.5 2 0.5 0 0 H1=(1/a11)H1
0 -0.5 -1 -1.5 1 0 H2=H2-(a21/a11)H1
0 -1 -3 -2 0 1 H3=H3-(a31/a11)H1
Iterasi-2
1 1.5 2 0.5 0 0
0 1 2 3 -2 0 H2=(1/a22)H2
0 0 -1 1 -2 1 H3=H3-(a32/a22)H2
Iterasi-3
1 1.5 2 0.5 0 0
0 1 2 3 -2 0
0 0 1 -1 2 -1 H3=(1/a33)H3
Iterasi-4
1 1.5 0 2.5 -4 2 H1=H1-(a13/a33)H3
0 1 0 5 -6 2 H2=H2-(a23/a33)H3
0 0 1 -1 2 -1
Iterasi-5
1 0 0 -5 5 -1 H1=H1-(a12/a22)H2
0 1 0 5 -6 2
0 0 1 -1 2 -1
Lanjutan :
1-21-
26-5
1-55-
AJadi, 1-
Matrik Awal
1 2 3 4 1 0 0 0
2 3 5 5 0 1 0 0
3 5 7 4 0 0 1 0
3 6 8 6 0 0 0 1Iterasi - 1
1 2 3 4 1 0 0 0 H1=(1/a11)H1
0 -1 -1 -3 -2 1 0 0 H2=H2-(a21/a11)H1
0 -1 -2 -8 -3 0 1 0 H3=H3-(a21/a11)H1
0 0 -1 -6 -3 0 0 1 H4=H4-(a41/a11)H1
Iterasi - 2
1 2 3 4 1 0 0 0
0 1 1 3 2 -1 0 0 H2=(1/a22)H2
0 0 -1 -5 -1 -1 1 0 H3=H3-(a32/a22)H2
0 0 -1 -6 -3 0 0 1 H4=H4-(a42/a22)H2
Iterasi-4
1 2 3 4 1 0 0 0
0 1 1 3 2 -1 0 0
0 0 1 5 1 1 -1 0 H3=(1/a33)H3
0 0 0 -1 -2 1 -1 1 H4=H4-(a43/a33)H3
Iterasi-5
1 2 3 4 1 0 0 0
0 1 1 3 2 -1 0 0
0 0 1 5 1 1 -1 0
0 0 0 1 2 -1 1 -1 H4=(1/a44)H4Iterasi-6
1 2 3 0 -7 4 -4 4 H1=H1-a14*H4
0 1 1 0 -4 2 -3 3 H2=H2-a24*H4
0 0 1 0 -9 6 -6 5 H3=H3-a34*H4
0 0 0 1 2 -1 1 -1Iterasi-7
1 2 0 0 20 -14 14 -11 H1=H1-a13*H3
0 1 0 0 5 -4 3 -2 H2=H2-a23*H3
0 0 1 0 -9 6 -6 5
0 0 0 1 2 -1 1 -1
Iterasi-8
1 0 0 0 10 -6 8 -7 H1=H1-a12*H2
0 1 0 0 5 -4 3 -2
0 0 1 0 -9 6 -6 5
0 0 0 1 2 -1 1 -1
1-112
56-69-
2-34-5
7-86-10
AJadi, 1-
PERKALIAN MATRIK ELEMENTER
(1). Matrik elementer adalah
matrik yang diperoleh dari
operasi elementer yang
dikenakan pada matrik
identitas.
(2). Setiap matrik elementer
mempunyai invers, dan setiap
matrik bujur sangkar berordo
(nxn) yang mempunyai invers
ekivalen baris terhadap matrik
identitas I.
(3). Akibatnya, jika :
EkEk–1Ek–2 …E2E1A = I,
maka,
A–1 = EkEk–1Ek–2 …E2E1
Matrik elementer E diperoleh dari
transformasi matrik identitas dimana
pada kolom ke-I diganti dengan
normalitas vektor kolom :
1......00
...................
0......00
...................
0......10
0......01
.
.
.
.
ik
ik
ik
ik
i
N
N
N
N
E
iiin
aii
iii
ik
aa
aa
N
/
...
/1
...
/
,
,1
,
iiiik IAEEEN 121, ...
: dimana
CONTOHHitung invers matrik A
Jawab :
Menghitung E1
554
543
432
A
5
5
4
A;
5
4
3
A;
4
3
2
A 321
102-
011.5-
000.5
10/aa-
01/aa-
001/a
E
1131
1121
11
1
Menghitung E2
12-1
02-3
034-
102
011.5-
000.5
12-0
02-0
031
EE
12-0
02-0
031
1)(-1)/(-0.5-0
00.5-1/0
00.5-1.5/-1
E
1-
0.5-
1.5
5
4
3
102-
011.5-
000.5
AEN
12
2
212
Menghitung E3 dan Invers Matrik
1-21-
26-5
1-55-
12-1
02-3
034-
1-00
210
1-01
EEE
1-00
210
1-01
1/(-1)00
(2)/(-1)-10
(-1)/(-1)-01
E
1-
2
1-
5
5
4
12-1
02-3
034-
AEEN
123
3
3123
Jadi Invers Matrik
1-21-
26-5
1-55-
A 1-
CONTOHHitung invers matrik A
Jawab :
Menghitung E1
6863
4753
5532
4321
A
1003-
0103-
0012-
0001
E
3
3
2
1
AN
1
11
Menghitung E2
1003-
011-1-
001-2
0023-
1003-
0103-
0012-
0001
1000
011-0
001-0
0021
EE
1000
011-0
001-0
0021
100/(-1)-0
01(-1)/(-1)-0
001-1/0
002/(-1)-1
E
0
1-
1-
2
6
5
3
2
1003-
0103-
0012-
0001
AEN
12
2
212
Menghitung E3
11-12-
01-11
012-1
0113-
1003-
011-1-
001-2
0023-
1000
0100
0010
0001
EEE
11-00
01-00
0110
0101
1(-1)/(-1)-00
01/(-1)00
01/(-1)-10
01/(-1)-01
E
1-
1-
1
1
8
7
5
3
1003-
011-1-
001-2
0023-
AEEN
123
3
3123
Menghitung E4 dan Invers Matrik
1-11-2
56-69-
2-34-5
7-86-10
11-12-
01-11
012-1
0114-
1-000
5100
2-010
7-001
EEEEA
1-000
5100
2-010
7-001
1/(-1)000
5/(-1)-100
(-2)/(-1)-010
(-7)/(-1)-001
E
1-
5
2-
7-
6
4
5
4
11-12-
01-11
012-1
0113-
AEEEN
12341-
3
41234
INVERS : PARTISI MATRIK (1)Partisi matrik A yang berordo (mxn)
adalah sub matrik-sub matrik yang
diperoleh dari A dengan cara
memberikan batasan-batasan garis
horisontal diantara dua baris dan
atau memberikan batasan-batasan
garis vertikal diantara dua kolom.
CONTOH
6863
4753
5532
4321
A
68
47 A
63
53A
55
43 A
32
21A
: adalah A matrik Partisi
2221
1211
31554
13343
53632
23443
34532
A
CONTOH
INVERS : PARTISI MATRIK (2)Andaikan A matrik bujur sangkar
berordo (nxn) yang mempunyai
invers, yaitu : A–1 = B, dan
partisinya masing-masing adalah :
Karena, AB=BA=I maka diperoleh
:
2221
1211
2221
1211
BB
BBB ;
AA
AAA
I0
0I
AA
AA
BB
BB
I0
0I
BB
BB
AA
AA
2221
1211
2221
1211
2221
1211
2221
1211
Dari perkalian matrik diperoleh hasil :
(1). A11 B11 + A12 B21 = I
(2). A11 B12 + A12 B22 = 0
(3). B21 A11 + B22 A21 = 0
(4). B21 A12 + B22 A22 = I
Dengan asumsi, A11–1 ada, dan
B22 = L–1 ada
Maka rumus untuk menghitung inver
matriknya adalah :
(1). B12 = –(A 11–1 A12)L–1
(2). B21 = – L–1(A21 A11–1)
(3). B11 = A11–1+(A11
–1A12)L–1(A21 A11–1)
(4). L = A22 – (A21A11–1A12)
CONTOH : Kasus n=4. Hitunglah invers
matrik berikut ini
Jawab :
6863
4753
5532
4321
A
68
47 A
63
53A
55
43 A
32
21A
: adalah A matrik Partisi
2221
1211
Menghitung L
1-1
56-
1-(-1)-
(-5)-6-
5-6
1L Jadi,
6-1-
5-1-
129
98 -
68
47
31
2-1
63
53-
68
47
AAAAL
03
11
1-2
23-
63
53AA
31
2-1
55
43
1-2
23-AA
1-2
23-
12-
2-3
)43(
1A
1-
121-
112122
1-1121
121-
11
1-11
Menghitung Invers Matrik
4-5
6-13
3-3
8-13
1-2
23-
12-
6-9
31
2-1
1-2
23-
)A(AL)AA(AB
1-2
69-
03
11
1-1
56- -
)A(A-LB
2-3
7-8
1-1
56-
31
2-1 -
L)A-(AB
1-1121
1-12
1-11
1-1111
1-1121
1-21
1-12
1-1112
1-112
56-69-
2-34-5
7-86-10
BB
BB A
2221
12111-
CONTOH :
Hitung invers matrik A berikut :
Jawab : Partisi matrik A
31554
13343
53632
23443
34532
A
315
133
536
A
54
43
32
A
234
345 A
43
32A
2221
1211
Menghitung L
21-
10
01
2-3
34-
54
43
32
AA
567
6-7-8-
234
345
2-3
34-A A
2-3
34-
23-
3-4
98
1A
1-1121
121-
11
1-11
1-1-1
1-2-0
101-
1)-(02)(-1-0)-(1
2)(-1-4)-(22)(-2-
0)-(12)(-2-1)-(0
1
1L
Jadi,
21-2
1-01-
21-1
123
234
345
-
315
133
536
567
6-7-8-
54
43
32
-
315
133
536
AAAAL
1-
121-
112122
Menghitung Invers Matrik
27-5
337-
25-2
303-
2-3
34-
3-2
4-1
22-
567
6-7-8-
2-3
34-
)A(AL)AA(AB
32-
41-
2-2
21-
10
01
1-1-1
1-2-0
101-
-
)A(A-LB
4172
5-20-2-
1-1-1
1-2-0
101-
567
6-7-8- -
L)A-(AB
1-1121
1-12
1-11
1-1111
1-1121
1-21
1-12
1-1112
1-1-132-
1-2-041-
101-2-2
417227-5
5-20-2-337-
BB
BB AJadi,
2221
12111-
SOAL TUGAS IV
Hitung invers matrik A berikut ini dengan cara :
111
4112
221
111
bbaa
bbaa
aabb
aabb
A
a. Metode Adjoint
b. Perkalian matrik elementer
c. Operasi elementer baris
d. Metode partisi matrik
Hitung invers matrik A berikut ini dengan 2 cara partisi yang berbeda:
13112
31123
11234
4321
32112
aaabb
aaabb
aaabb
bbbaa
bbbaa
A
4432
12121
31
131
1221
aaabb
aaabb
aaabb
bbbaa
bbbaa
A
Recommended