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Modellprädiktive Regelung mit
analytischer Vorverarbeitung von
Beschränkungen
Knut Graichen Institut für Mess-, Regel- und Mikrotechnik | Universität Ulm
Elgersburg Workshop 2013
11.-14. Februar 2013
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 3
Motivation Modellprädiktive Regelung mit analytischer Vorverarbeitung von Beschränkungen
MPC – Dynamische Optimierung auf bewegtem Horizont
Anwendbarkeit von MPC
■ Nichtlineare Systeme
■ Mehrgrößensysteme
■ Stellgrößenbeschränkungen
■ Zustandsbeschränkungen
Herausforderungen
■ Hoher numerischer Aufwand insbesondere bei Zustandsbeschränkungen
Anwendbarkeit schwierig bei hochdynamischen / komplexen Systeme
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 4
Vortragsübersicht Modellprädiktive Regelung mit analytischer Vorverarbeitung von Beschränkungen
Effiziente Berechnung modellprädiktiver Regler
■ MPC-Formulierung & Optimalitätsbedingungen
■ Effiziente numerische Lösung
■ Stabilitätsaspekte
■ Beispiel 1: Chemischer Reaktor (Simulation)
■ Beispiel 2: Magnetschwebeversuch (Experiment)
Analytische Vorverarbeitung von Zustandsbeschränkungen
■ Motivation & Ansatz im Eingrößenfall
■ Erweiterung auf Mehrgrößenfall
■ Beispiel 3: Brückenkran
Zusammenfassung
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 5
MPC-Formulierung
Dynamisches Optimierungsproblem
Lösung auf bewegtem Horizont
■ Prädizierte Trajektorien
■ Optimales Kostenfunktional
■ Stellgröße (optimales Regelgesetz)
■ Weiterschieben von Horizont
■ keine Zustandsbeschrän-
kungen (zunächst)
■ keine Endbeschränkungen
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 6
MPC-Formulierung: Optimalitätsbedingungen
Dynamisches Optimierungsproblem
Pontryagin‘s Maximumprinzip mit Hamilton-Funktion
■ sei optimal. Dann existiert so, dass gilt
■ erfüllen die kanonischen Gleichungen
■ minimiert die Hamilton-Funktion für alle :
■ keine Zustandsbeschrän-
kungen (zunächst)
■ keine Endbeschränkungen
Num. Lösung z.B. mit
Gradientenverfahren
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 7
Gradientenverfahren: Algorithmus
Gradientenschritt für
Anmerkungen
■ Berücksichtigung von Stellgrößenbeschränkungen über Projektionsfunktion
■ Adaptive Liniensuche für Schrittweite [Gr/Käpernick´12]
■ Feste Anzahl von Rechenoperationen speicher-/rechenzeiteffizient ausführbar
■ Gradientenverfahren besitzt lineare Konvergenzrate [Dunn´96]
■ MPC-Stabilitätsuntersuchung in [Gr/Kugi´10, Gr/Käpernick´12]
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 8
Quadrocopter [Kä/Gr´12 einger.] Rohrreaktor [Rhein et al.´12 einger.]
Komplexität nichtlineare Dynamik
9 Zustandsgrößen
4 Stellgrößen
nichtlineares PDGL-System
500 Zustandsgrößen (Semidiskr.)
2 Stellgrößen
MPC-Abtastzeit 1 ms 0.1 min
MPC-Horizontlänge 1 s 5 min
MPC-Rechenzeit (ca.) 200 μs 200 ms
Quelle: www.ardrone.com Quelle: ANSYS CFX
Gradientenverfahren: Rechenzeiteffizienz
Beispielsysteme
Ziel: weitere Reduktion von
■ algorithmischer Komplexität
■ Rechenaufwand
Fixpunktschema
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 9
MPC-Formulierung für Fixpunktschema
Dynamisches Optimierungsproblem
Beschränkung auf eingangsaffine Struktur
■ Systemdynamik
■ Integralkostenfunktion
■ keine Zustandsbeschrän-
kungen (zunächst)
■ keine Endbeschränkungen
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 10
MPC-Formulierung: Optimalitätsbedingungen
Dynamisches Optimierungsproblem
Pontryagin‘s Maximumprinzip mit Hamilton-Funktion
■ sei optimal. Dann existiert so, dass gilt
■ erfüllen die kanonischen Gleichungen
■ minimiert die Hamilton-Funktion für alle :
■ keine Zustandsbeschrän-
kungen (zunächst)
■ keine Endbeschränkungen
Ziel: Reduktion
der Optimalitäts-
bedingungen
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 11
Reduktion der Optimalitätsbedingungen
Eingangsaffine Hamilton-Funktion
Separiertes Minimierungsproblem
Steuerfunktion mit
Kanonische RWA
Numerische Lösung mit Fixpunktschema
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 12
Integration in Rückwärtszeit
Integration in Vorwärtszeit
Fixpunktschema
Fixpunktiteration
■ Initialisierung mit
■ Stop, falls oder Konvergenzkriterium erfüllt
Erweiterung: Dämpfung der Fixpunktiterationen
■ Dämpfungsfaktor
■ Temporäre Trajektorien
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 13
Fixpunktschema
Fixpunktiteration
■ Initialisierung mit
■ Stop, falls oder Konvergenzkriterium erfüllt
Erweiterung: Dämpfung der Fixpunktiterationen
■ Dämpfungsfaktor
■ Temporäre Trajektorien
Integration in Vorwärtszeit
Integration in Rückwärtszeit
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 14
Vortragsübersicht Modellprädiktive Regelung mit analytischer Vorverarbeitung von Beschränkungen
Effiziente Berechnung modellprädiktiver Regler
■ MPC-Formulierung & Optimalitätsbedingungen
■ Effiziente numerische Lösung
■ Stabilitätsaspekte
■ Beispiel 1: Chemischer Reaktor (Simulation)
■ Beispiel 2: Magnetschwebeversuch (Experiment)
Analytische Vorverarbeitung von Zustandsbeschränkungen
■ Motivation & Ansatz im Eingrößenfall
■ Erweiterung auf Mehrgrößenfall
■ Beispiel 3: Brückenkran
Zusammenfassung
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 15
Fixpunktschema & MPC: Konvergenz & Stabilität
Dynamisches Optimierungsproblem
Annahmen für Konvergenz-/Stabilitätsbetrachtung
■ Betrachtung von Ruhelage
■ ist CLF auf
Satz (Stabilität bei optimaler Lösung):
Für alle mit dem Einzugsbereich
ist der Ursprung des MPC-geregelten Systems
asymptotisch stabil.
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 16
Fixpunktschema & MPC: Konvergenz & Stabilität [Gr´12]
Satz (Konvergenz des Fixpunktschemas):
Es existiert ein maximaler Horizont so, dass das Fixpunktschema für
alle und alle mit einer Konvergenzrate konvergiert:
Satz (Stabilität bei suboptimaler Lösung):
Das Fixpunktschema besitze die Konvergenzrate . Dann existieren
eine Mindestiterationsanzahl und ein max. initialer Optimierungsfehler
so, dass der Ursprung des MPC-geregelten Systems
asymptotisch stabil ist und der Optimierungsfehler exp. abnimmt.
Anmerkungen
■ Kompromiss zwischen Konvergenzrate und Größe von
■ In der Praxis deutliche Vergrößerung von durch Dämpfung der Fixpunktiterationen
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 17
Vortragsübersicht Modellprädiktive Regelung mit analytischer Vorverarbeitung von Beschränkungen
Effiziente Berechnung modellprädiktiver Regler
■ MPC-Formulierung & Optimalitätsbedingungen
■ Effiziente numerische Lösung
■ Stabilitätsaspekte
■ Beispiel 1: Chemischer Reaktor (Simulation)
■ Beispiel 2: Magnetschwebeversuch (Experiment)
Analytische Vorverarbeitung von Zustandsbeschränkungen
■ Motivation & Ansatz im Eingrößenfall
■ Erweiterung auf Mehrgrößenfall
■ Beispiel 3: Brückenkran
Zusammenfassung
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 18
Beispiel 1: Chemischer Reaktor (CSTR)
Klatt-Engell-Reaktormodell
■ Zustandsgrößen
■ Stellgrößen
■ Ausgangsgrößen
■ Nichtlineare Ansätze für Reaktionskinetik & -enthalpie
Stellgrößenbeschränkungen
■
■
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 19
CSTR: MPC-Formulierung
Arbeitspunktwechsel AP1 AP2 [Utz et al.´07]
■
■
Kostenfunktional
■ Abweichungen von AP2 :
■ Keine Endgewichtung ( „hinreichend langer“ Horizont)
Fixpunktschema
■ Heun-Integrationsverfahren mit fester Schrittweite
■ C-Implementierung mit Matlab/Cmex-Interface
■ Abtastzeit für MPC
■ Prädiktionshorizont
■ Dämpfungsfaktor
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 20
CSTR: Dämpfung / Prädiktionshorizont
Gewichtungen in Kostenfunktional
Maximal zulässiger Horizont
■ Notwendig für Konvergenz
der Fixpunktiterationen
■ Dämpfung der Fixpunktiterationen
erhöht deutlich !
■ Wert von abhängig von
Gewichtungen
Gewählte Einstellungen:
■
■
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 21
CSTR: Simulationsergebnisse (N = 2)
Sehr gute Ergebnisse bereits für N = 2 Fixpunktiterationen pro MPC-Schritt
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 22
CSTR: Rechenzeitvergleich
Testrechner
■ Intel Core i7 (M620, 2.67 GHz), 4 GB
■ Windows 7 / Matlab 2010b (64 bit)
Rechenzeitvergleich mit
■ Gradientenverfahren [Gr. et al. 2010]
■ ACADO-Toolkit [Houska et al. 2011]
Fazit
■ Faktisch optimales Verhalten
bereits für N = 2 Fixpunktiterationen
Fixpunktschema benötigt minimalen
Rechenaufwand & Speicherbedarf
Fixpunktschema (30 Stützstellen für Horizont)
Fixpunktiter. Rechenzeit [μs] Kostenfktl.
2 39 0.683
3 50 0.682
5 80 0.682
10 133 0.682
Gradientenverfahren [Gr. et al. 2010]
Gradienteniter. Rechenzeit [μs] Kostenfktl.
2 62 0.740
3 85 0.721
5 129 0.707
10 243 0.696
ACADO-Toolkit [Houska et al. 2011]
Steuerintervalle Rechenzeit [μs] Kostenfktl.
5 125 0.699
10 192 0.685
15 339 0.682
20 625 0.681
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 23
Vortragsübersicht Modellprädiktive Regelung mit analytischer Vorverarbeitung von Beschränkungen
Effiziente Berechnung modellprädiktiver Regler
■ MPC-Formulierung & Optimalitätsbedingungen
■ Effiziente numerische Lösung
■ Stabilitätsaspekte
■ Beispiel 1: Chemischer Reaktor (Simulation)
■ Beispiel 2: Magnetschwebeversuch (Experiment)
Analytische Vorverarbeitung von Zustandsbeschränkungen
■ Motivation & Ansatz im Eingrößenfall
■ Erweiterung auf Mehrgrößenfall
■ Beispiel 3: Brückenkran
Zusammenfassung
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 24
Beispiel 2: Magnetschwebeversuch
Spule 1
Spule 2
Spulenkern Spulenträger
Versuchsaufbau
■ 2 Spulen (je 2000 Windungen) mit Eisenkern
■ Schwebekörper (Hohlkörper) mit
■ dSPACE MicroAutoBox I (800 MHz)
Sensorik
■ Abstand (Laser)
■ Ströme
■ Temperatur
Charakteristik
■ Spannung 60 V, max. Strom 6 A je Spule
■ Stellgröße: PWM-Tastgrad
■ Maximaler Hub Schwebekörper
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 25
Schwebekörper: Modellbildung
Stromdynamik
■ Problematik: Induktionsströme,
Sättigung von Induktivitäten, Temperatur
■ Ansatz von nichtlinearem Modell
■ Bereichsweise Identifikation und
Interpolation von
Mechanisches Subsystem
■ Impulserhaltungssatz
■ Identifikation von magnetischer
Kraftkennlinie
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 26
Schwebekörper: Experimentelle Ergebnisse
MPC-Fixpunktschema
■ Cmex-Code
■ UKF für Zustandsschätzung
MPC-Parameter
■ Horizontlänge
■ Abtastzeit
■ Fixpunktiterationen
■ Dämpfung
MPC-Rechenzeit
■ Intel Core i7: 60 μs
■ dSPACE: 378 μs
ca. Faktor 2 schneller als
Gradientenverfahren
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 27
Schwebekörper: Video
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 28
Vergleich mit linearem MPC
Stabilisierung versch. Schwebehöhen
Schwebehöhe -40 mm
Anfangs-
zustand
Gesamt-Kostenfktl.
Nichtlin. MPC Lineares MPC
-45 mm 0.012 0.012
-50 mm 0.053 0.109
-55 mm 0.132 failed
Schwebehöhe -55 mm
Anfangs-
zustand
Gesamt-Kostenfktl.
Nichtlin. MPC Lineares MPC
-60 mm 0.013 0.014
-65 mm 0.055 0.078
-70 mm 0.150 failed
Schwebehöhe -70 mm
Anfangs-
zustand
Gesamt-Kostenfktl.
Nichtlin. MPC Lineares MPC
-55 mm 0.132 failed
-60 mm 0.056 failed
-65 mm 0.012 0.012
Regelgüte NMPC vs. lin. MPC
Zeit [s]
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 29
Vortragsübersicht Modellprädiktive Regelung mit analytischer Vorverarbeitung von Beschränkungen
Effiziente Berechnung modellprädiktiver Regler
■ MPC-Formulierung & Optimalitätsbedingungen
■ Effiziente numerische Lösung
■ Stabilitätsaspekte
■ Beispiel 1: Chemischer Reaktor (Simulation)
■ Beispiel 2: Magnetschwebeversuch (Experiment)
Analytische Vorverarbeitung von Zustandsbeschränkungen
■ Motivation & Ansatz im Eingrößenfall
■ Erweiterung auf Mehrgrößenfall
■ Beispiel 3: Brückenkran
Zusammenfassung
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 30
Motivation
Zustandsbeschränktes
dynamisches
Optimierungsproblem
Neues unbeschränktes
dynamisches
Optimierungsproblem
Verfahren der
beschränkten
Optimierung (SQP, IP)
Verfahren der
unbeschränkten
Optimierung
Analytik
Numerik
Analytische
Vorverarbeitung
Standard-
vorgehen
Schritt 1: Transformation
auf Normalform
Schritt 2: Einarbeiten
der Beschränkungen
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 31
Schritt 1: Transformation auf Normalform
Dynamisches Optimierungsproblem (Eingrößenfall: )
Annahme: wohldefinierter relativer Grad der Zustandsbeschränkung
Zustandstransformation mit „linearisierendem Ausgang“
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 32
Schritt 1: Transformation auf Normalform
Byrnes-Isidori-Normalform
Signalflussbild
„Beschränkungsdynamik“
„interne Dynamik“ bzgl.
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 33
Schritt 1: Transformation auf Normalform
Interpretation als „Ausgangsbeschränkungen“
■
■
Ausgangsbeschränkungen am Anfang und Ende der Integratorkette
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 34
Schritt 2: Einarbeiten der Beschränkungen
Sättigungsfunktion für
■
■ neue unbeschränkte Variable
Sukzessives Differenzieren & Einführen neuer Koordinaten
■ Beispiel
■ Allgemeiner Fall:
Resultat: Ersetzen von durch neue unbeschränkte Koordinaten
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 35
Step 2: Incorporation of constraints
Letztmaliges Differenzieren führt zu
Zweite Sättigungsfunktion
■
■ Neue Variable neue Stellgröße
Einhalten der Beschränkungen bedeutet
Zustandsabhängige Sättigungsschranken
𝛷−
𝛷+
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 36
Zusammenfassung der Transformation
Beschränkungen
Byrnes-Isidori-Normalform
Signalflussbild
Neues unbeschr. System
Sättigungsfunktion
int. Dyn. int. Dyn.
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 37
Erweiterung auf Mehrgrößenfall
Dynamisches Optimierungsproblem (Mehrgrößenfall: )
Bedingungen für Zustandsbeschränkungsfunktionen
■ Anzahl Dimension der Stellgröße
■ Wohldefinierter vektorieller relativer Grad
Zustandstransformation mit „linearisierendem Ausgang“
■
■
■
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 38
Erweiterung auf Mehrgrößenfall (Skizze)
Beschränkungen
Byrnes-Isidori-Normalform
Kopplungsmatrix und Sättigungsschranken [Gr/Petit´09]
Neues unbeschr. System
int. Dyn. int. Dyn.
Sättigungsfunktionen
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 39
Unbeschränktes Optimalsteuerungsproblem
Zustands-/Eingangstransf. auf offenen Intervallen
Neues unbeschränktes Optimierungsproblem
Regularisierungsterm mit Parameter
■ Aktive Beschränkungen singuläre Bereiche in neuem OCP
■ Entspricht Barrierefunktion in Originalvariablen
■ Konvergenz für unter Annahme von Konvexität [Gr/Petit´09]
MPC: asympt. Stabilität wenn „hinreichend klein“ [Käpernick/Gr´12 einger.]
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 40
Vortragsübersicht Modellprädiktive Regelung mit analytischer Vorverarbeitung von Beschränkungen
Effiziente Berechnung modellprädiktiver Regler
■ MPC-Formulierung & Optimalitätsbedingungen
■ Effiziente numerische Lösung
■ Stabilitätsaspekte
■ Beispiel 1: Chemischer Reaktor (Simulation)
■ Beispiel 2: Magnetschwebeversuch (Experiment)
Analytische Vorverarbeitung von Zustandsbeschränkungen
■ Motivation & Ansatz im Eingrößenfall
■ Erweiterung auf Mehrgrößenfall
■ Beispiel 3: Brückenkran
Zusammenfassung
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 41
Beispiel: Brückenkran
Bewegungsgleichungen
Beschränkungen (Wagen & Seil)
■
■
Unbeschränkte MPC-Formulierung
■ 4 Sättigungsfunktionen für Zustands-/Stellgrößenbeschränkungen
■ Symbolische Berechnungen mit Mathematica
■ Abtastzeit , Prädiktionshorizont
■ Implementierung mit Gradientenverfahren Matlab/Cmex-Demo
../../../../MRMarchiv/movies/MPC_overheadcrane_GUIdemo.exe../../../../MRMarchiv/movies/MPC_overheadcrane_GUIdemo.exe../../../../MRMarchiv/movies/MPC_overheadcrane_GUIdemo.exe../../../../MRMarchiv/movies/MPC_overheadcrane_GUIdemo.exe../../../../MRMarchiv/movies/MPC_overheadcrane_GUIdemo.exe
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 42
Experimentelle Ergebnisse (Arbeitspunktwechsel)
Implementierung unter dSPACE (Rechenzeit: 508 μs)
Insgesamt sehr gute Regelgüte und Einhaltung der Beschränkungen!
Abweichung durch
PI-Geschw.regler
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 43
Zusammenfassung
Effiziente MPC-Berechnung mittels Gradienten-/Fixpunktschema
■ Basierend auf MPC-Formulierung ohne Endbeschränkungen
■ Stabilität gewährleistet für Mindestanzahl an Iterationen / Abtastschritt
■ Minimierung des Rechenaufwands durch Fixpunktiterationen
Handhabung von Zustandsbeschränkungen
■ wohl definierter (vektorieller) relativer Grad
■ Anzahl Zustandsbeschränkungen Anzahl Stellgrößen
■ Herleitung von unbeschränkten System in neuen Variablen
■ „analytische Vorverarbeitung“ mit Computer-Algebra
■ Verwendung für MPC mit Gradientenverfahren / Fixpunktschema
Vielen Dank an Bartosz Käpernick!
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