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7/23/2019 Modelli ed Equivalenze per la Valutazione Quantitativa di Sistemi Concorrenti
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Modelli ed Equivalenze per la Valutazione Quantitativa di
Sistemi Concorrenti
Tommaso Turchi
Universit degli Studi di Firenze
Facolt di Scienze Matematiche, Fisiche e NaturaliCorso di Laurea in Informatica
23 aprile 2010
Tommaso Turchi
Tommaso Turchi Modelli ed Equivalenze per la Valutazione Quantitativa di Sistemi Concorrenti
7/23/2019 Modelli ed Equivalenze per la Valutazione Quantitativa di Sistemi Concorrenti
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Outline
1 Motivazioni
2 Labelled Transition SystemsEquivalenza a tracceEquivalenza di testingBisimilarit
3 Rate Transition SystemsWeighed Trace EquivalenceWeighed Testing EquivalenceRate Aware Bisimilarity
4 Uniform Labelled Transition SystemsEquivalenza a tracceEquivalenza di testingBisimilarit
5 Conclusioni
ommaso Turchi
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7/23/2019 Modelli ed Equivalenze per la Valutazione Quantitativa di Sistemi Concorrenti
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Motivazioni
Le algebre di processo sono state utilizzate con successo per modellare il
comportamento e validare propriet di sistemi concorrenti.
ommaso Turchi
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Motivazioni
Le algebre di processo sono state utilizzate con successo per modellare il
comportamento e validare propriet di sistemi concorrenti.
Ingredienti base di unalgebra di processo:
un insieme di operatori,
un modello per descriverne la semantica,
una nozione di equivalenza.
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Motivazioni
Le algebre di processo sono state utilizzate con successo per modellare il
comportamento e validare propriet di sistemi concorrenti.
Ingredienti base di unalgebra di processo:
un insieme di operatori,
un modello per descriverne la semantica,
una nozione di equivalenza.
LTS e SOS
CCS
CSP
ACP
. . .
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Motivazioni
Le algebre di processo sono state utilizzate con successo per modellare il
comportamento e validare propriet di sistemi concorrenti.
Ingredienti base di unalgebra di processo:
un insieme di operatori,
un modello per descriverne la semantica,
una nozione di equivalenza.
LTS e SOS
CCS
CSP
ACP
. . .
PEPATIPP
EMPA
. . .
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Motivazioni
Le algebre di processo sono state utilizzate con successo per modellare il
comportamento e validare propriet di sistemi concorrenti.
Ingredienti base di unalgebra di processo:
un insieme di operatori,
un modello per descriverne la semantica,
una nozione di equivalenza.
LTS e SOS
CCSCSP
ACP
. . .
RTS
PEPATIPP
EMPA
. . .
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Motivazioni
Le algebre di processo sono state utilizzate con successo per modellare il
comportamento e validare propriet di sistemi concorrenti.
Ingredienti base di unalgebra di processo:
un insieme di operatori,
un modello per descriverne la semantica,una nozione di equivalenza.
ULTraS
CCS
CSP
ACP
. . .
PEPA
TIPP
EMPA
. . .
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Labelled Transition Systems
Definizione
Un Labelled Transition System S una tripla (S,A,) dove:S un insieme di stati,
A un insieme finito di azioni,
S A S una relazione ternaria detta relazione di transizione;
si denota con q
q quando (q, , q) .
Esempio
rotto
acceso spentooff
bang
on
bang
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Equivalenze comportamentali
Come definiamo unequivalenza fra processi?
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Equivalenze comportamentali
Come definiamo unequivalenza fra processi?
Nozioni di equivalenza
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Equivalenze comportamentali
Come definiamo unequivalenza fra processi?
Nozioni di equivalenza
Equivalenza a tracce identifica processi che effettuano le stessesequenze di azioni
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Equivalenze comportamentali
Come definiamo unequivalenza fra processi?
Nozioni di equivalenza
Equivalenza a tracce identifica processi che effettuano le stessesequenze di azioni
Equivalenza di testing identifica processi indistinguibili per unosservatore esterno, cio un processo che interagisce col sistema solomediante composizione parallela
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Equivalenze comportamentali
Come definiamo unequivalenza fra processi?
Nozioni di equivalenza
Equivalenza a tracce identifica processi che effettuano le stessesequenze di azioni
Equivalenza di testing identifica processi indistinguibili per unosservatore esterno, cio un processo che interagisce col sistema solomediante composizione parallela
Bisimilarit identifica processi che sono in grado di simularsi lun con
laltro, dopo ogni passo di ogni loro computazione
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Equivalenze comportamentali
Come definiamo unequivalenza fra processi?
Nozioni di equivalenza
Equivalenza a tracce identifica processi che effettuano le stessesequenze di azioni
Equivalenza di testing identifica processi indistinguibili per unosservatore esterno, cio un processo che interagisce col sistema solomediante composizione parallela
Bisimilarit identifica processi che sono in grado di simularsi lun con
laltro, dopo ogni passo di ogni loro computazione
Proponiamo alcuni esempi.
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Equivalenze comportamentali
Consideriamo un LTS e gli stati p, q e r.
p
p1
a
p2
b
p3
c
p4
d
q
q1
a
q2
b
q3
b
q4
c
q5
d
r
r1
a
r2
a
r3
b
r4
b
r5
d
r6
c
Problema: gli stati proposti sono equivalenti?
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l l
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Equivalenze comportamentali
Consideriamo un LTS e gli stati p, q e r.
p
p1
a
p2
b
p3
c
p4
d
trace
q
q1
a
q2
b
q3
b
q4
c
q5
d
trace
r
r1
a
r2
a
r3
b
r4
b
r5
d
r6
c
Sono equivalenti a tracce (T = {, a, ab, abc, abd})
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E i l li
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Equivalenze comportamentali
Consideriamo un LTS e gli stati p, q e r.
p
p1
a
p2
b
p3
c
p4
d
trace
test
q
q1
a
q2
b
q3
b
q4
c
q5
d
trace
test
r
r1
a
r2
a
r3
b
r4
b
r5
d
r6
c
Solo gli stati q e r sono testing equivalenti (considerare il test a?.b?.c?.)
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E i l li
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Equivalenze comportamentali
Consideriamo un LTS e gli stati p, q e r.
p
p1
a
p2
b
p3
c
p4
d
trace
test
bis
q
q1
a
q2
b
q3
b
q4
c
q5
d
trace
test
bis
r
r1
a
r2
a
r3
b
r4
b
r5
d
r6
c
Non sono bisimili (esiste una strategia vincente nel bisimulation game)
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R t T iti S t
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Rate Transition Systems
DefinizioneUn rate transition system R una tripla (S,A,) dove:
S un insieme di stati,
A un insieme di azioni,
S A [S R0] una relazione di transizione che associa aogni coppia stato-azione una funzione totale R : S R0.
La relazione di transizione associa a ogni coppia stato-azione (p, ) una
funzione totale (P, Q,. . . ) che assegna un numero reale non negativo aogni processo del sistema. Il valore 0 viene assegnato ai processi che nonsono raggiungibili da quello stato mediante lazione.
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R t T iti S t
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Rate Transition Systems
s3 s1 s2 s4
1
2
a
34
b5
6
7
8
p
P significa che, per un generico processo q:
se P(q) = x (= 0) allora q raggiungibile da p mediante lesecuzionedi , la cui durata esponenzialmente distribuita con rate x;
se P(q) = 0 allora q non raggiungibile da p mediante
Ogni nozione di equivalenza fra processi dovr tener conto dei rateassociati alle azioni nella propria valutazione.
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W i h d T E i l
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Weighed Trace Equivalence
Consideriamo un RTS e gli stati s1 e p1.
s1
a
s3
2
s2
1
b c
s4
s5
p1
a
p2
1 + 2
b c
p3
11+2
p4
21+2
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Weighed Trace Equivalence
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Weighed Trace Equivalence
Consideriamo un RTS e gli stati s1 e p1.
s1
a
s3
2
s2
1
b c
s4
s5
trace
p1
a
p2
1 + 2
b c
p3
11+2
p4
21+2
Sono equivalenti a tracce pesate(wt(s1, a) = wt(p1, a), wt(s1, ab) = wt(p1, ab) e wt(s1, ac) = wt(p1, ac))
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Weighed Testing Equivalence
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Weighed Testing Equivalence
Consideriamo un RTS e gli stati s1 e p1.
s1
a
s3
2
s2
1
b b
s4
s5
p1
a
p2
1 + 2
b
p3
11+2
p4
21+2
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Weighed Testing Equivalence
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Weighed Testing Equivalence
Consideriamo un RTS e gli stati s1 e p1.
s1
a
s3
2
s2
1
b b
s4
s5
test
p1
a
p2
1 + 2
b
p3
11+2
p4
21+2
Sono weighed testing equivalenti (mustt(s1, L) = mustt(p1, L) emustt({s1 after a}, L) = mustt({p1 after a}, L))
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Rate Aware Bisimilarity
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Rate Aware Bisimilarity
Consideriamo un RTS e gli stati s1 e s2.
s1a b
u1
1
u2
2
v1
1 + 2
c
w1
s2a b
u3
1 + 2
v2
1
v3
2
cc
w2
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Rate Aware Bisimilarity
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Rate Aware Bisimilarity
Consideriamo un RTS e gli stati s1 e s2.
s1a b
u1
1
u2
2
v1
1 + 2
c
w1
bis
s2a b
u3
1 + 2
v2
1
v3
2
cc
w2
Sono rate aware bisimili (S/R = {(s1, s2), (u1, u2, u3), (v1, v2, v3), (w1,w2)})
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Uniform Labelled Transition Systems
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Uniform Labelled Transition Systems
Generalizzando ulteriormente la definizione di RTS si ottengono gli ULTraS.
Definizione
Sia D un ordine parziale completo. Un D-ULTraS R una tripla (S,A,)dove:
S un insieme di stati,
A un insieme di azioni,
S A [S D] una relazione di transizione.
Un LTS pu essere modellizzato come un D-ULTraS con D = B = {,}.
Un RTS pu essere modellizzato come un D-ULTraS dove D = R0.
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Uniform Labelled Transition Systems
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Uniform Labelled Transition Systems
Computazioni annotateSia R = (S,A,) un D-ULTraS, una computazione annotata unasequenza (A D).
AC(s) denota linsieme delle computazioni annotate che iniziano da s S.
Una computazione annotata AC(s) se e solo se:
= ;
= (a, v) ed esistono P e s tali che sa
P, P(s) = v = e AC(s).
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Uniform Labelled Transition Systems
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Uniform Labelled Transition Systems
Weighting function
Sia W un reticolo dove 0 denota il minimo e 1 il massimo. Una weightingfunction WD : S (A D)
2S W per un D-ULTraS S, A, misurail peso delle computazioni annotate da uno stato verso uninsieme di stati.
La weighting function WB per gli LTS definita in modo da ottenere:
WB(s, , S) =
1 se s raggiunge con uno stato in S,0 altrimenti.
La weighting function WR0 per gli RTS definita in modo da ottenere:
WR0 (s, , S) =
probabilit di raggiungere uno stato in S
con una computazione annotata da s.
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Equivalenza a tracce
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Equivalenza a tracce
Equivalenza a tracce
Sia (S, A,) un D-ULTraS e WD una weighting function.
Due stati s1, s2 S sono equivalenti a tracce se e solo se, per ognicomputazione annotata (A D):
WD(s1, , S) = WD(s2, , S)
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Equivalenza di testing
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q g
Insiemi Must
Sia R = (S,A,) un D-ULTraS, A A, s S e a A:
s must a se e solo se P = x. tale che sa
P;
s Must A se e solo se a A tale che s must a;
M(A
) = {s S | s Must A
}.
Equivalenza di testing
Sia (S, A,) un D-ULTraS e WD una weighting function.Due stati s1, s2 S sono testing equivalenti se e solo se, per ognicomputazione annotata (A D) e A A:
WD(s1, ,M(A)) = WD(s2, , M(A
))
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Bisimilarit
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Bisimulazione
Sia (S, A,) un D-ULTraS e WD una weighting function.Una relazione di equivalenza E S S una WD-bisimulation se e solose, per ogni (s1, s2) E, per ogni (A D)
e C S/E:
WD(s1, , C) = WD(s2, , C)
Bisimilarit
Due stati s1, s2 S sono WD-bisimili (s1 WD s2) se esiste una
WD-bisimulation E tale che (s1, s2) E.
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Conclusioni
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Teoremi di corrispondenza per gli LTS
Due stati sono equivalenti (tracce, testing o bisimili) su un LTS se e solo selo sono sul B-ULTraS corrispondente.
Teoremi di corrispondenza per gli RTS
Due stati sono equivalenti (tracce, testing o bisimili) su un RTS se e solose lo sono sul R0-ULTraS corrispondente.
Lavori futuri
Semantica delle algebre di processo mediante ULTraSSistemi temporizzati
Sistemi probabilistici
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