View
475
Download
8
Category
Preview:
DESCRIPTION
minggu ke 4 -ruang-sampel-dan-kejadian
Citation preview
1
PROBABILITAS, RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
TI2131 TEORI PROBABILITASMINGGU KE 2-4
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRIFAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI2006
2
Program Studi Teknik Industri 2006
ProbabilitasSebuah ukuran ketidak-pastian.Sebuah ukuran tingkat keyakinan terjadinyasebuah kejadian yang tidak pasti (uncertain event).Sebuah ukuran tingkat peluang (likelihood of occurrence) dari sebuah kejadian yang tidakpasti (uncertain event).Diukur dengan nilai antara 0 dan 1 (atau antara0% dan 100%).
3
Program Studi Teknik Industri 2006
Type Probabilitas (1)
Objektif atau Probabilitas KlasikBerlandaskan pada kejadian yang sama (equally-likely) dan logis.Berdasarkan frekuensi relatif kejadian dalamwaktu yang lama.Tidak memperhatikan keyakinan perorangan.Dianggap sama untuk setiap peneliti (objektif).Contoh: pelemparan koin atau dadu.
4
Program Studi Teknik Industri 2006
Type Probabilitas (2)
Probabilitas SubjektifBerlandaskan pada keyakinan individu, pengalaman, intuisi, dan justifikasi personal.Ada perbedaan untuk setiap peneliti (subjektif).Contoh: pemasaran produk baru, ramalancuaca, hasil pertandingan olah raga.
5
Program Studi Teknik Industri 2006
Ruang Sampel & Kejadian
Himpunan (set) adalah kumpulan objek.Himpunan semua outcome yang mungkin munculdalam suatu percobaan/pengamatan disebut denganhimpunan semesta sampel (sample space)Masing-masing outcome disebut dengan elemen atautitik sampel
6
Program Studi Teknik Industri 2006
Ruang Sampel & Kejadian
Fakta bahwa a anggota (elemen) himpunan (semesta) A dapat dituliskan dalam simbol a ∈ AJika tiap anggota himpunan A1 juga merupakan anggotadari himpunan A2, maka himpunan A1 disebut denganhimpunan bagian dari himpunan A2 atau dapatdituliskan dalam bentuk simbol A1 ⊂ A2
7
Program Studi Teknik Industri 2006
Jika himpunan A tidak memiliki anggota maka Adisebut dengan himpunan kosong dan dituliskansebagai A = ∅.Himpunan dari semua elemen yang setidaknyamenjadi anggota salah satu dari himpunan A1 danhimpunan A2 disebut union dari A1 dan A2. Union inidisimbolkan dengan A1 ∪ A2
Ruang Sampel & Kejadian
8
Program Studi Teknik Industri 2006
Himpunan dari semua elemen yang termasuk dalamhimpunan A1 dan juga dalam himpunan A2 disebutdengan interseksi dari A1 dan A2. Interseksi A1 dan A2disimbolkan dengan A1 ∩ A2.Himpunan yang terdiri atas elemen yang bukan elemenA disebut dengan komplemen A (mengacu pada A) dan disimbolkan dengan A*.
Ruang Sampel & Kejadian
9
Program Studi Teknik Industri 2006
Dua buah himpunan dikatakan saling bebas(mutually exclusive) atau disjoint, jika interseksikeduanya adalah himpunan kosong. Himpunan Adikatakan mutually exclusive terhadap himpunan Bjika A ∩ B = ∅
Ruang Sampel & Kejadian
10
Program Studi Teknik Industri 2006
Beberapa Teorema (1)Teorema: 0)( =φP Bukti: Tuliskan hubungan berikut φ∪= SS dan juga diperoleh hubungan φφ =∩S . Dengan aksioma di atas, diperoleh
)()()( φPSPSP += . Karena P(S) = 1, maka 0)( =φP .
Teorema: ),(1)( APAP −= dimana A adalah komplemen dari A Bukti: Dari definisi komplemen, untuk setiap SA ⊂ maka diperoleh
AAS ∪= . Karena φ=∩ AA , maka dengan aksioma di atas diperoleh )()()( APAPSP += . Karena P(S) = 1, dengan demikian )(1)( APAP −= .
11
Program Studi Teknik Industri 2006
Beberapa Teorema (2)Teorema: Untuk dua kejadian A dan B, sedemikian sehingga BA⊂ , maka )()( BPAP ≤ . Bukti: Kejadian B dapat ditulis sebagai )( BAAB ∩∪= , dimana
φ=∩∩ )( BAA , maka dengan aksioma di atas diperoleh )()()( BAPAPBP ∩+= . Karena SBA ⊂∩ )( adalah suatu
kejadian maka 0)( ≥∩BAP , dengan demikian )()( BPAP ≤ .
12
Program Studi Teknik Industri 2006
•Mutually exclusive atau disjoint –dua set tidak memiliki elemen bersama,
tidak memiliki irisan, atau irisannya adalahset kosong.
•Partisi–adalah sekumpulan set yang mutually
exclusive yang secara bersama-samamencakup semua elemen, ataugabungannya membentuk set universal S.
Kejadian
13
Program Studi Teknik Industri 2006
A
A B∪A B∩
A2A1
A5A4
A3
Partisi
A BA BI BAA
Diagram set
Komplemen
14
Program Studi Teknik Industri 2006
• Sebuah proses yang menghasilkan satu daribeberapa hasil yang mungkin terjadi*, contoh:
Coin toss: Heads,TailsThrow die: 1, 2, 3, 4, 5, 6Pengenalan produk baru: sukses, gagal
• Setiap percobaan memiliki hasil observasitunggal.
• Hasil pasti dari percobaan random tidak dapatdiketahui sebelum dilakukan.
* Juga dikenal sebagai hasil dasar ( basic outcome), kejadian dasar atau kejadian sederhana
Percobaan - Experiments
15
Program Studi Teknik Industri 2006
Ruang sample atau set kejadianadalah set dari semua hasil yang mungkin ada darisebuah percobaan
contoh: pelemparan dadu S = (1,2,3,4,5,6)Kejadian
Kumpulan dari hasil dengan karakteristik yang samaContoh: muncul sisi genap A = (2,4,6)
Kejadian A terjadi jika sebuah hasil dalam set A terjadiProbabilitas sebuah kejadian
Jumlah probabilitas dari setiap hasil yang munculP(A) = P(2) + P(4) + P(6)
Kejadian
16
Program Studi Teknik Industri 2006
• Perhatikan contoh berikut:Percobaan pelemparan sebuah dadu seimbang• Ada 6 hasil yang mungkin (1,2,3,4,5,6)• Jika setiap hasil seimbang (equally-likely), probabilitas setiap
hasil adalah 1/6 = .1667 = 16.67%
Kejadian A (muncul sisi genap)• P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2• untuk setiap e dalam AP A P e
n An S
( ) ( )( )( )
=
= = =
∑36
12
P en S
( )( )
=1
Percobaan Ideal
17
Program Studi Teknik Industri 2006
Hearts Diamonds Clubs SpadesA A A AK K K KQ Q Q QJ J J J
10 10 10 109 9 9 98 8 8 87 7 7 76 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 2
Kejadian ‘Ace’Gabungankejadian ‘Heart’dan ‘Ace’
Kejadian ‘Heart’
Irisan kejadian ‘Heart’ dan ‘Ace’Adalah titik yang dilingkaridua kali: the ace of hearts
P Heart Ace
n Heart Ace
n S
( )
( )
( )
U
U
=
=
=16
52
4
13
P Heartn Heart
n S( )
( )
( )= = =
13
52
1
4
P Acen Ace
n S( )
( )
( )= = =
4
52
1
13
P Heart Acen Heart Ace
n S( )
( )
( )I
I
= =1
52
Pengambilan Kartu
18
Program Studi Teknik Industri 2006
Rentang nilai
Komplement - Probabilitas bukan A
Irisan - Probabilitasy A dan B
Kejadian mutually exclusive (A dan C) :
0 1≤ ≤P A( )
P A P A( ) ( )= −1
P A B n A Bn S( ) ( )
( )∩ = ∩
P A C( )∩ = 0
Aturan Dasar Probabilitas (1)
19
Program Studi Teknik Industri 2006
• Gabungan - Probabilitas A atau B atau keduanya
Kejadian mutually exclusive :
Probabilitas Bersyarat - Probabilitas A pada(given) B
Kejadian independen:
P A B n A Bn S P A P B P A B( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∪ = ∪ = + − ∩
P A C so P A C P A P C( ) ( ) ( ) ( )∩ = ∪ = +0
P A B P A BP B( ) ( )
( )= ∩
P A B P AP B A P B
( ) ( )( ) ( )
==
Aturan Dasar Probabilitas (2)
20
Program Studi Teknik Industri 2006
Aturan probabilitas bersyarat:
Jika kejadian A dan D saling independen secara statistik:
maka
maka
P A B P A BP B( ) ( )
( )= ∩ P A B P A B P BP B A P A
( ) ( ) ( )( ) ( )
∩ ==
P AD P A
P D A P D
( ) ( )
( ) ( )
=
=P A D P A P D( ) ( ) ( )∩ =
Probabilitas Bersyarat
21
Program Studi Teknik Industri 2006
P IBM T P IBM TP T
( ) ( )( )
.
..
=
= =
I
1050
2
Probabilitas bahwa sebuahproyek yang dikerjakanIBM adalah (given) proyektelekomunikasi adalah:
Tabel Contingency
Acer IBM Total
Telekomunikasi 40 10 50
Komputer 20 30 50
Total 60 40 100
Frekuensi
Acer IBM Total
.40 .10 .50
.20 .30 .50
Total .60 .40 1.00
Probabilitas
Telekomunikasi
Komputer
22
Program Studi Teknik Industri 2006
P A B P AP B A P B
andP A B P A P B
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
=
=I
Syarat independensi secara statistik dari kejadian A dan B adalah:
P A ce H ea rt P A ce H ea rtP H eart
P A ce
( ) ( )( )
( )
=
= = =
I
1521 352
113
P H eart A ce P H ea rt A ceP A ce
P H eart
( ) ( )( )
( )
=
= = =
I
15 24
5 2
14
P Ace Heart P Ace P Heart( ) ( ) ( )I = = =4
521352
152
Independensi Kejadian (1)
23
Program Studi Teknik Industri 2006
a P T B P T P B
b P T B P T P B P T B
) ( ) ( ) ( ). * . .
) ( ) ( ) ( ) ( ). . . .
I
U I
== == + −= + − =
0 04 0 06 0 0024
0 04 0 06 0 0024 0 0976
Kejadian T (prob. 0,04) dan B (prob. 0,06) diasumsikanindependen
Independensi Kejadian (1)
U
24
Program Studi Teknik Industri 2006
Probabilitas gabungan dari beberapa kejadian independenadalah 1 dikurangi perkalian probabilitas komplemenmasing-masing:
P A A A An P A P A P A P An( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 1 2 3∪ ∪ ∪ ∪ = −L L
Probabilitas irisan dari beberapa kejadian independen adalahperkalian dari probabilitas masing-masing:
P A A A An P A P A P A P An( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3∩ ∩ ∩ ∩ =L L
Perkalian Kejadian Independen
25
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema Aditif
Jika A dan B adalah 2 buah kejadian, maka:P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B)
Jika A1,A2,…,An bersifat mutually exclusive, makaP(A1∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) +… +P(An)
Jika A1, A2, … , An adalah partisi dari suatu semestasampel, maka
P(A1∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) +… +P(An)= P(S)= 1
26
Program Studi Teknik Industri 2006
Untuk tiga kejadian A, B, dan C, P(A ∪B ∪C) = P(A) + P(B) + P(B) - P(A ∩B) -
P(A ∩ C) - P(B ∩C) + - P(A ∩B∩C)Probabilitas Badu harus menjalani operasi katupjantung adalah 0,8 dan probabilitas Badu harusmenjalani operasi pelebaran pembuluh darah 0,6 serta probabilitas Badu harus menjalani keduanyaadalah 0,5. Berapa probabilitas Badu harus menjalaniminimal salah satu operasi di atas?
Teorema Aditif
27
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema Aditif
Jika A dan A* merupakan dua kejadian yang bersifatsaling komplemen, maka:
P(A) + P(A*) = 1
28
Program Studi Teknik Industri 2006
Hukum ProbabilitasIdentity laws (A∪∅=A, A∩∅=∅), Idempotent law (A∪A=A, A∩A=A)Complement law (A∪A=S, A∩A=∅)Commutative law (A∪B=B∪A, A∩B=B∩A)De morgan’s law (A∪B=B∩A, A∩B=B∪A)Associative law A∩(B∩C)=(A∩B)∩C,
A∪(B∪C)=(A∪B)∪CDistributive law A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C)
29
Program Studi Teknik Industri 2006
Percobaan sebuah dadu 6 sisi, ada 6 hasil yang mungkin dari pelemparanpertama, yaitu (1,2,3,4,5,6) dan 6 hasil yang mungkin dari pelemparan kedua(1,2,3,4,5,6). Secara bersama-sama ada 6*6=36 hasil yang mungkin dari duakali pelemparan.
Umumnya, jika ada n kejadian dan kejadian i dapat terjadi dalam Ni cara yang mungkin, maka jumlah caradimana urutan dari n kejadian akan muncul adalahN1N2
...Nn.
Ambil 5 kartu dari tumpukanlengkap – denganpengembalian
52*52*52*52*52=525
380,204,032 hasil yang mungkin
Ambil 5 kartu dari tumpukanlengkap – tanpa pengembalian
52*51*50*49*48 = 311,875,200 hasil yang mungkin
Konsep Kombinatorial (1)
30
Program Studi Teknik Industri 2006
Urutan tiga huruf: A, B, dan C
A
B
C
B
C
AB
AC A
C
B
C
B
A
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Konsep Kombinatorial (2)(Diagram pohon / Tree Diagram)
31
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema: Multiplication Rule
Jika suatu operasi dapat berlangsung dalam n1 cara, dan darimasing-masing cara ini dilakukan operasi kedua yang dapatberlangsung dalam n2 cara, maka kedua operasi dapat dilakukansecara bersama dalam n1n2 cara. Secara umum teorema ini berlakujuga pada k operasi berturutan, yaitu k operasi ini dapat dilakukandalam n1n2…nk
Hasil dua pelemparan uang logam dapat muncul dalam 4 cara. Pelemparan uang logam pertama memiliki 2 cara kemunculan danpelemparan uang logam kedua memiliki 2 cara kemunculan, sehingga secara keseluruhan terdapat 4 (= 2 x 2) cara kemunculanhasil pelemparan 2 kali uang logam.
32
Program Studi Teknik Industri 2006
Ada berapa cara untuk mengurutkan 3 huruf A, B, dan C?
Ada 3 pilihan untuk huruf pertama, 2 untuk huruf kedua dan 1 Untuk huruf terakhir, sehingga ada 3*2*1 = 6 cara yang mungkin.
Ada berapa cara untuk mengurutkan 6 huruf A, B, C, D, E, dan F? (6*5*4*3*2*1 = 720)
Faktorial: Untuk setiap integer positif n, n faktorial didefinisikan:n(n-1)(n-2)...(1). n faktorial ditulis dengan n!. Jumlah n! adalah jumlah cara dimana n objek dapat diurutkan. Didefinisikan bahwa 1! = 1.
Faktorial
33
Program Studi Teknik Industri 2006
Permutasi
Permutasi adalah suatu penyusunan atas semuaatau sebagian dari kumpulan obyek tertentu.Jumlah permutasi dari n buah obyek yang berbedaadalah sejumlah n!Contoh: Dari tiga judul buku dapat disusun pada raksejumlah 3! = 1 x 2 x 3 = 6 permutasi
34
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema Permutasi
Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda yang diambil sejumlah r pada suatu waktu adalah:
nPr =
Berapa permutasi dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 sehingga dapat terbentuk suatu bilangan 3 digit (setiap bilangan dipakai sekali)? Bagaimanadengan 0, 1, 2, 3, 4, dan 5?
)!(!rn
n−
35
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema Permutasi
Jumlah permutasi dari n objek berbeda yang disusunsecara sirkular adalah (n-1)!Jumlah permutasi yang berbeda yang dapat disusundari n objek yang terdiri atas n1 objek dari jenispertama, n2 objek dari jenis kedua, dan seterusnyasampai nk objek dari jenis ke-k adalah :
!!!!
21 knnnnL
36
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema Permutasi
Dalam satu barisan terdapat 3 orang alumni TI, 3 orang alumni teknik lainnya, dan 2 orang alumni MIPA. Dalam berapa cara kedelapan orang itu dapatmembentuk barisan yang berbeda berdasarkan latarbelakang pendidikannya?
37
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema Partisi
Jumlah cara membagi suatu kumpulan n objek kedalam r sel dengan jumlah elemen n1 pada selpertama, n2 pada sel kedua, dan seterusnya sampaink elemen pada sel ke-k adalah:
di mana n1+ n2 + … + nr = n.
!!!!
,,, 2121 kr nnnn
nnnn
LL=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
38
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema Partisi
Contoh: Sebuah rombongan bakti sosial 6 orangmahasiswa menyewa 3 sepeda motor. Ada berapacara menumpang sepeda motor yang mungkindilakukan? Asumsikan ke-enam mahasiswa tersebutmampu mengendarai sepeda motor.
39
Program Studi Teknik Industri 2006
Kombinasi
Sering kali kita tertarik pada cara memilih r objek darisejumlah n objek tanpa memperhatikan urutan yang terbentuk. Cara pemilihan ini disebut dengankombinasi.Jumlah kombinasi dari n objek yang berbeda yang diambil sejumlah r dalam satu waktu adalah:
)!(!!
rnrn
rn
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
40
Program Studi Teknik Industri 2006
Contoh: Pada sebuah proyek perancangan sistemmanufaktur terdapat 12 orang lulusan TI, 8 lulusanteknik lainnya, dan 4 lulusan MIPA. Jika ingin dibentukkelompok beranggotakan 6 orang dengan komposisi 3 lulusan TI, 2 lulusan teknik lainnya, dan 1 lulusanMIPA, ada berapa alternatif kelomok yang dapatdibentuk?
41
Program Studi Teknik Industri 2006
n=10 (Total Number of Objects Available)
Total Number of # of Probability of # of Probability ofObjects Selected r Permutations Particular Permutation Combinations Particular Combination
1 10 0.1 10 0.12 90 0.011111111 45 0.0222222223 720 0.001388889 120 0.0083333334 5040 0.000198413 210 0.0047619055 30240 3.31E-05 252 0.0039582546 151200 6.61E-06 210 0.0047619057 604800 1.65E-06 120 0.0083333338 1814400 5.51E-07 45 0.0222222229 3628800 2.76E-07 10 0.1
10 3628800 2.76E-07 1 1
Permutasi dan Kombinasi(dengan Excel)
42
Program Studi Teknik Industri 2006
Probabilitas Bersyarat
Probabilitas terjadinya kejadian B ketika telahdiketahui bahwa kejadian A terjadi disebut denganprobabilitas bersyarat kejadian B atas kejadian A, disimbolkan dengan P(B|A). P(B|A) ini didefinisikansebagai:
P(B|A) = ,jika P(A) > 0)(
)(AP
BAP ∩
43
Program Studi Teknik Industri 2006
P A P A B P A B( ) ( ) ( )= ∩ + ∩
Dalam bentuk probabilitas bersyarat:
Secara umum (dimana Bi membentuk partisi):
P A P A B P A BP A B P B P A B P B
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
= ∩ + ∩= +
P A P A BiP A Bi P Bi
( ) ( )
( ) ( )
= ∩∑= ∑
Probabilitas Total & Bersyarat
44
Program Studi Teknik Industri 2006
Kejadian U: pasar saham tumbuh tahun depanKejadian W: kondisi ekonomi membaik tahun depan
P U WP U W
P W P W
P U P U W P U WP U W P W P U W P W
( ) .( )
( ) . ( ) . .
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( . ) ( . ) ( . ) ( . ). . .
=== ⇒ = − =
= ∩ + ∩= += += + =
7 53 08 0 1 8 2
7 5 8 0 3 0 2 06 0 0 6 6 6
Probabilitas Total & Bersyarat
45
Program Studi Teknik Industri 2006
Contoh: Probabilitas Bersyarat
Diberikan data sampel pemakaian merk shamposebagai berikut:
Jika diketahui seseorang tersebut adalah laki-laki, maka berapa probabilitas ia memakai shamposunsilk?
Sunsilk Clear Total Laki-laki 150 250 400 Wanita 400 200 600 Total 550 450 1000
46
Program Studi Teknik Industri 2006
• Teorema Bayes memungkinkan untuk menge-tahui probabilitas B bersyarat A jika diketahuiprobabilitas A bersyarat B.
• Menggunakan definisi probabilitas bersyarat dan hukum probabilitas total.
P B A P A BP A
P A BP A B P A B
P A B P BP A B P B P A B P B
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
=
=+
=+
I
I
I I
Menggunakan probabilitastotal pada penyebut
Menggunakan probabilitasbersyarat
Teorema Bayes
47
Program Studi Teknik Industri 2006
• Sebuah pengaruh treatment logam (berdampak 0.1% terhadap populasi [ ]) tidak sempurna:
Jika dilakukan pada logam non-standar, perlakukan dinilaisukses dengan probabilitas 0.92 [ ]
Kejadian disebut false negative
Jika dilakukan pada logam standar, perlakukan akan me-nyimpang (false positive) dengan probabilitas 0.04 [ ]
Kejadian disebut false positive. .
P I( ) .= 0 001
P Z I P Z I( ) . ( ) .= ⇒ =92 08( )Z I
( )Z I
P ZI P Z I( ) . ( ) .= ⇒ =004 096
Contoh Teorema Bayes (1)
48
Program Studi Teknik Industri 2006
P I
P I
P Z I
P Z I
( ) .
( ) .
( ) .
( ) .
=
=
=
=
0 001
0 999
0 92
0 04
P I Z P I ZP Z
P I ZP I Z P I Z
P Z I P IP Z I P I P Z I P I
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
(. )( . )(. )( . ) ( . )(. )
.. .
..
.
=
=+
=+
=+
=+
=
=
I
I
I I
92 0 00192 0 001 0 04 999
0 000920 00092 0 03996
0 0009204088
0225
Contoh Teorema Bayes (2)
49
Program Studi Teknik Industri 2006
P I( ) .= 0 001
P I( ) .= 0 999 P Z I( ) .= 0 04
P Z I( ) .= 0 96
P Z I( ) .= 0 08
P Z I( ) .= 0 92 P Z I( ) ( . )( . ) .I = =0 001 0 92 00092
P Z I( ) ( . )( . ) .I = =0 001 0 08 00008
P Z I( ) ( . )( . ) .I = =0 999 0 04 03996
P Z I( ) ( . )( . ) .I = =0 999 0 96 95904
Probabilitasprior
Probabilitasbersyarat
Probabilitasgabungan
Contoh Teorema Bayes (3)
50
Program Studi Teknik Industri 2006
Contoh Aturan BayesSuatu perusahaan memiliki 3 buah pabrik B1, B2, dan B3yang masing-masing memasok sebanyak 30%, 25%, dan45% kebutuhan perusahaan. Dari data masa lalu diketahuitingkat cacat produk yang dihasilkan masing-masing pabrikberturut-turut adalah 2%, 3%, dan 2%.
Jika diambil sebuah produk jadi di kantor perusahaan, berapa probabilitas produk tersebut adalah cacat?Jika produk yang diambil adalah cacat, berapaprobabilitas produk tersebut berasal dari pabrik B2?
51
Program Studi Teknik Industri 2006
• Diberikan partisi B1,B2 ,...,Bn:
P B A P A BP A
P A BP A B
P AB P BP AB P B
i
i i
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
11
1
1 1
=∩
=∩∩∑
=∑
Gunakan probabilitastotal pada penyebut
Terapkan probabilitasbersyarat
Perluasan Teorema Bayes (1)
52
Program Studi Teknik Industri 2006
Pada saat kondisi mesin sangat baik, diperkirakan sebuah industri akanmenhasilkan produk yang baik dengan probabilitas 0,70; dalam kondisi biasaprobabilitasnya 0,40; dan pada kondisi buruk probabilitas menghasilkan produkyang baik hanya 0,20.Dalam suatu perioda, probabilitas bahwa kondisi mesin sangat baik adalah 0,30, moderat 0,50, dan buruk 0,50. Jika selama perioda tersebut dihasilkan produk yang baik, bepara kemungkinanbahwa kondisi mesin sangat baik?
Partisi Kejadian A (produk baik)
H – Mesin sangat baik P(H) = 0,30 P(A|H)=0,70M – Mesin moderat P(M) = 0,50 P(A|M)=0,40L – Mesin buruk P(L) = 0,20 P(A|L)=0,20
Perluasan Teorema Bayes (2)
53
Program Studi Teknik Industri 2006
P H A P H AP A
P H AP H A P M A P L A
P A H P HP A H P H P A M P M P A L P L
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( . )( . )( . )( . ) ( . )( . ) ( . )( . )
.. . .
.
..
=
=+ +
=+ +
=+ +
=+ +
=
=
I
I
I I I
0 70 0 300 70 0 30 0 40 0 50 0 20 0 20
0 210 21 0 20 0 04
0 210 45
0 467
Perluasan Teorema Bayes (3)
54
Program Studi Teknik Industri 2006
Probabilitasprior
Probabilitasbersyarat
Probabilitasgabungan
P H( ) .= 0 3 0
P M( ) .= 0 5 0
P L( ) .= 0 2 0
P A H( ) .= 0 7 0
P A H( ) .= 0 3 0
P A M( ) .= 0 4 0
P A M( ) .= 0 6 0
P A L( ) .= 0 2 0
P A L( ) .= 0 8 0
P A H( ) ( . )( . ) .I = =0 3 0 0 7 0 0 2 1
P A H( ) ( . )( . ) .I = =0 3 0 0 3 0 0 0 9
P A M( ) ( . )( . ) .I = =0 5 0 0 4 0 0 2 0
P A M( ) ( . )( . ) .I = =0 5 0 0 6 0 0 3 0
P A L( ) ( . )( . ) .I = =0 2 0 0 2 0 0 0 4
P A L( ) ( . )( . ) .I = =0 2 0 0 8 0 0 1 6
Perluasan Teorema Bayes (4)
55
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema Bayes – Distribusi (1)Teorema Bayes dalam aplikasinya dapat digunakan dalamproses perbaikan distribusi kemungkinan berdasarkaninformasi yang terbaru
Prior probability distribution
additional information(sampling distribution)
Posterior or revised distribution
56
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema Bayes – Distribusi (2)Contoh :Proporsi “pencemar/polutant” (didefinisikan sebagai
terdapatnya bahan-bahan lain yang tidak diinginkan) pada sebuah kemasan bahan baku yang diterima olehsebuah perusahaan diketahui sebagai berikut:
Proporsi pencemar P Probabilitas* 0.05 0.21 0.10 0.23 0.15 0.45 0.20 0.09 0.25 0.01 0.30 0.01
* diperoleh dari pengamatan untuk jangka waktu yang panjang.
57
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema Bayes – Distribusi (3)Sebuah informasi penelitian terakhir dari 50 kemasan yang
diperiksa diperoleh data bahwa 8 delapan kemasandinilai “tercemar/tidak murni”. Distribusi informasitersebut adalah:
Proporsi keberhasilan P Probabilitas * P x P X p( | ) ( | , )θ = = 850 0.05 0.002 0.10 0.064 0.15 0.091 0.20 0.117 0.25 0.064 0.30 0.011
0.349 *mengikuti distribusi binomial.
58
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema Bayes – Distribusi (4)Berdasarkan data terbaru, dilakukan revisi distribusi
probabilitas:
P A w a l S am p e l Jo in t* B a ru * * 0 .0 5 0 .2 1 0 .0 0 2 0 .0 0 0 4 2 0 .0 0 7 0 .1 0 0 .2 3 0 .0 6 4 0 .0 1 4 7 2 0 .2 1 8 0 .1 5 0 .4 5 0 .0 9 1 0 .0 4 0 9 5 0 .6 0 8 0 .2 0 0 .0 9 0 .1 1 7 0 .0 1 0 5 3 0 .1 5 6 0 .2 5 0 .0 1 0 .0 6 4 0 .0 0 0 6 4 0 .0 0 9 0 .3 0 0 .0 1 0 .0 1 1 0 .0 0 0 1 1 0 .0 0 2
0 .3 4 9 0 .0 6 7 3 7 1 .0 0 0
59
Program Studi Teknik Industri 2006
Teorema Bayes – Distribusi (4)
Kesimpulan:
Ekspektasi awal (0.1245) lebih kecil dariekspektasi baru (0.1474).Artinya, ada indikasi bahwa rata-rata proporsipencemar dalam setiap kemasan bahan bakutelah mengalami peningkatan sekitar 2,3 %.
Recommended